200 знаменитых головоломок мира

ВЕЧЕР ПАРАДОКСОВ

— Удивительный век! — воскликнул мистер Олгуд, и все за столом повернулись к нему, ожидая, что он скажет дальше.

Это был обычный рождественский ужин в семействе Олгудов, на котором присутствовало и несколько соседей. Никто и не подозревал, что приведенное выше замечание повлечет за собой целую серию удивительных головоломок и парадоксов, к которым каждый присутствующий добавит что-то интересное. Маленький симпозиум был совершенно не подготовлен, так что мы не должны подходить слишком критично к кое-каким задачам, о которых речь впереди. Разнообразный характер вкладов каждого из присутствующих — это именно то, что и следовало ожидать в подобном случае, ибо собравшиеся были обыкновенными людьми, а не профессиональными математиками или логиками.

— Удивительный век! — повторил мистер Олгуд. — Один человек совсем недавно разработал проект квадратного дома, причем сделал это столь изобретательно, что все окна на всех четырех сторонах смотрят на юг.

— Это бы мне подошло, — сказала миссис Олгуд. — Терпеть не могу окон, выходящих на север.

— Не могу понять, как это можно сделать, — признался дядя Джон. — Допустим, он сделал окна-фонари па западной и восточной сторонах, но как, скажите на милость, ему удалось направить на юг окно с северной стороны? Может быть, он использовал зеркала или что-нибудь в этом роде?

— Нет, — ответил мистер Олгуд, — ничего подобного. Все окна не выступают за уровень стен, и все-таки все они выходят на юг. Видите ли, придумать проект такого дома совсем не трудно, если выбрать подходящее место для его постройки. А этот дом как раз и предназначался для джентльмена, который решил обосноваться на Северном полюсе. Если вы чуть-чуть подумаете, то поймете, что, находясь в этой точке, смотреть вы можете только на юг! Там просто нет таких направлений, как север, восток или запад. Все направлено на юг.

— Боюсь, мама, — заметил сын миссис Олгуд Джордж после того, как смолк смех, — что, как бы ты ни любила окна, выходящие на юг, жизнь в таком доме вряд ли оказалась бы для тебя здоровой.

— О да! — ответила она. — Твой дядя Джон тоже попал в ловушку. Я не сильна в головоломках и не способна схватывать их на лету. Думаю, что мой мозг устроен не так, как надо. Может быть, кто-нибудь объяснит мне вот что. Не далее как на прошлой неделе, я заметила своему парикмахеру, что в мире больше людей, чем волос на голове у каждого из них. На что он ответил: «Отсюда следует, мадам, что по крайней мере у двух людей должно быть одинаковое число волос на голове». Честно говоря, я не могу этого понять.

— Как лысые люди влияют на ответ? — спросил дядя Джон.

— Если существуют такие люди, — ответила миссис Олгуд, — на голове которых не удается разглядеть ни единого волоса даже с помощью наилучшей лупы, то мы не будем их учитывать вовсе. И все же я не вижу, как вы сможете доказать, что по крайней мере у двух человек совершенно одинаковое число волос.

— Думаю, что мне удастся разъяснить, в чем дело, — сказал мистер Филкинс, который тоже зашел вечером к Олгудам на огонек. — Допустим, что вся человеческая популяция на земном шаре состоит ровно из одного миллиона человек. Конечно, с равным успехом можно взять и другое число. Тогда ваше утверждение сводится к тому, что ни у кого число волос на голове не превосходит девятисот девяноста девяти тысяч девятисот девяноста девяти волос. Не так ли?

— Позвольте мне подумать, — сказала миссис Олгуд. — Да-да, вы правы.

— Очень хорошо. Поскольку существует только девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять различных способов ношения волос, то ясно, что среди миллиона человек один из этих способов должен повториться. Понимаете?

— Да, я это понимаю, во всяком случае мне кажется, что я это понимаю.

Следовательно, по крайней мере у двух человек должно быть одинаковое число волос на голове; а поскольку число людей на Земле намного превосходит число волос на голове любого человека, то количество таких совпадений должно быть огромным.

— Но, мистер Филкинс, — сказал маленький Билли Олгуд, — почему миллионный человек не может иметь, скажем, десять тысяч волос с половиной?

— Это уже вопрос расщепления волос, Билли, который не имеет отношения к данному вопросу.

— Вот еще любопытный парадокс, — сказал Джордж. — Если выстроить полк солдат на плоскости, — присутствующие подумали, что речь идет о ровном участке земли, — то лишь один солдат окажется стоящим вертикально.

Никто не смог понять, почему так происходит. Тогда Джордж объяснил, что, согласно Евклиду, плоскость может касаться сферы только в одной точке, и тот, кто стоит в той точке, и будет стоять по отношению к центру Земли вертикально.

— По той же причине, — заметил он, — если бы бильярдный стол представлял собой правильную плоскость, то все шары должны были бы собраться в центре.

Хотя Джордж и попытался пояснить свою мысль, положив визитную карточку на апельсин и растолковывая закон всемирного тяготения, миссис Олгуд отказалась признать этот факт. Она не могла понять, что крышка настоящего бильярдного стола теоретически должна иметь сферическую форму подобно кусочку кожуры апельсина, который чистил Джордж. Разумеется, стол настолько мал по сравнению с поверхностью Земли, что кривизну невозможно обнаружить, но тем не менее теоретически она присутствует. Поверхность, которую мы называем плоской, не идентична идеальной математической плоскости.

— Дядя Джон, — снова вмешался в разговор Билли. Олгуд, — между Англией и Францией есть один остров, и все же этот остров расположен от Франции дальше, чем Англия. Что это за остров?

— Это выглядит абсурдным, мой мальчик; ибо если я приму этот бокал за остров и поставлю его между двумя тарелками, то кажется совершенно невозможным, чтобы бокал отстоял от любой из тарелок дальше, чем они друг от друга.

— А разве Гернси не расположен между Англией и Францией? — спросил Билли.

— Да, конечно.

— Ну так вот я думаю, дядя, вы сумеете определить, что Гернси расположен примерно в двадцати шести милях от Франции, а расстояние между Францией и Англией в районе Дувра и Кале равно только двадцати одной миле.

— Мой учитель математики, — сказал Джордж, — пытался внедрить в мое сознание аксиому, что если равные величины умножить на равные, то снова получатся равные величины.

— Это само собой очевидно, — вставил мистер Филкинс. — Например, если три фута равны одному ярду, то дважды по три фута равно двум ярдам. Не правда ли?

— Но, мистер Филкинс, — спросил Джордж, — не равен ли этот бокал, наполовину наполненный водой, такому же сосуду, но наполовину пустому?

— Конечно, Джордж.

— Тогда из этой аксиомы следует, что полный бокал равен пустому. Правильно ли это?

— Нет, разумеется, нет. Я никогда не задумывался над этим в таком плане.

— Может быть, — предположил мистер Олгуд, — это правило не применимо к жидкостям.

— Но было бы совсем нелепо, — сказал с улыбкой Джордж, — если бы мы должны были исключить и твердые тела. Например, возьмем участок земли. Одна миля в квадрате равна одной квадратной миле. Следовательно, две мили в квадрате должны равняться двум квадратным милям. Не так ли?

— Постойте-ка. Ну конечно, нет, — сказал мистер Филкинс, — поскольку две мили в квадрате равны четырем квадратным милям.

— Тогда, — сказал Джордж, — если аксиома не справедлива в этих случаях, когда же она справедлива?

Мистер Филкинс обещал подумать над этим вопросом, и, может быть, читатель тоже поразмыслит об этом на досуге.

— Послушайте-ка, Джордж, — сказал его кузен Реджинальд Вули, — на сколько четыре четвертых превосходят три четвертых?

— На одну четвертую! — воскликнули все одновременно.

— Спроси еще что-нибудь, — предложил Джордж.

Некоторые из присутствующих не смогли понять, что правильным ответом будет «одна треть», хотя Реджинальд пытался объяснить, что если три каких-нибудь предмета увеличить на одну треть, то получится четыре предмета.

— Может ли кто-нибудь из вас быстро записать с помощью цифр число «двенадцать тысяч двенадцать сотен двенадцать»? — спросил мистер Олгуд.

У его старшей дочери, миссис Милдред, у единственной оказался под рукой карандаш.

— Это невозможно сделать, — заявила она после нескольких попыток на белоснежной скатерти; но мистер Олгуд показал ей, что можно записать «£ 13 212».

— Теперь моя очередь, — сказала Милдред. — Я хочу всем задать вопрос. При царе Ироде во время избиения младенцев много бедных малюток закопали в песок, так что лишь их ножки торчали наружу. Как смогли бы вы отличить мальчиков от девочек?

— Я думаю, — сказала миссис Олгуд, — что здесь какой-то подвох, что-нибудь связанное с их бедными маленькими душами.

После того как все сдались, Милдред напомнила всей компании, что избиению подвергались лишь мальчики.

— Когда-то давным-давно, — начал Джордж, — Ахиллес состязался в беге с черепахой...

— Стоп, Джордж! — вмешался мистер Олгуд. — Мы не станем здесь касаться этого вопроса. Я знал в молодости двух человек, которые были закадычными друзьями, но поссорились из-за этой дьявольской выдумки Зенона так, что уже не разговаривали друг с другом до конца своей жизни. Я подвожу черту под ней да еще под одной глупой шуткой Зенона, касающейся летящей стрелы. Я не думаю, чтобы кто-нибудь их понимал, поскольку сам я никогда их не мог понять.

— Очень хорошо, отец. Вот кое-что другое. Почтовое ведомство решило провести линию телеграфных столбов через высокий холм между Термитвилем и Верцльтоном, но оказалось, что железнодорожная компания прокладывает путь в том же направлении, делая глубокую выемку грунта. Поэтому решили ставить столбы вдоль этого пути, который шел на постоянном уровне. Далее: столбы должны располагаться на расстоянии ста ярдов друг от друга, длина линии через холм равна пяти милям, а длина соответствующего участка железнодорожного пути составляет лишь четыре с половиной мили. Сколько столбов сэкономили, решив проводить линию вдоль железнодорожного пути?

— Это очень просто подсчитать, — сказал мистер Филкинс. — Определим, сколько раз сто ярдов укладывается в пяти милях и сколько в четырех с половиной. Затем вычтем из одного другое и получим число сэкономленных столбов.

— Совершенно верно, — подтвердил мистер Олгуд. — Нет ничего проще.

— Именно это сказали и работники почтового ведомства, — заметил Джордж, — но это совершенно неверно. Если вы посмотрите вот на этот рисунок, который я здесь набросал, то заметите, что нет вовсе никакой разницы. Если столбы должны располагаться на расстоянии в сто ярдов, то их потребуется при проводке линии вдоль поверхности холма ровно столько же, сколько и при проводке ее вдоль железнодорожного пути.

— Ты, конечно, ошибаешься, Джордж, — сказала миссис Олгуд, — ведь если столбы располагаются друг от друга на расстоянии в сто ярдов, а путь увеличивается на полмили, то на эти полмили потребуются дополнительные столбы.

— Посмотри-ка на рисунок, мама. Ты можешь заметить, что расстояние между столбами не совпадает с расстоянием между их основаниями, измеренными вдоль поверхности земли. Когда я стою на ковре, то нахожусь от тебя ровно на таком же расстоянии, как если бы я, не сходя с этого места, залез сейчас на стул.

Но миссис Олгуд все же осталась не удовлетворенной таким объяснением.

В этот момент мистер Смусли, помощник приходского священника, сидевший в конце стола, сказал, что он хотел бы задать присутствующим один небольшой вопрос.

— Предположим, что Земля — правильная гладкая сфера и что железный пояс охватывает ее вдоль экватора, касаясь его в каждой точке.

— «Весь шар земной готов я облететь за полчаса», — пробормотал Джордж, цитируя эльфа Пэка из шекспировского «Сна в летнюю ночь».

— Так вот, если увеличить длину пояса на шесть ярдов, то на каком расстоянии от Земли окажется пояс, если считать это расстояние всюду одинаковым?

— При такой огромной длине, — сказал мистер Олгуд, — я не думаю, чтобы стоило даже упоминать о нем.

— А что вы скажете, Джордж? — спросил мистер Смусли.

— Хорошо, без вычислений я сразу же могу сказать, что это расстояние выражается в ничтожных долях дюйма.

Реджинальд и мистер Филкинс придерживались того же мнения.

— Я думаю, для всех вас будет удивительным, — сказал помощник священника, — узнать, что эти лишние шесть ярдов сделают расстояние между поясом и Землей очень близким к одному ярду!

— Очень близким к одному ярду! — воскликнули все в изумлении; но мистер Смусли оказался совершенно

прав. Увеличение расстояния не зависит от первоначальной длины пояса, который мог охватывать апельсин с тем же успехом, что и Землю. В любом случае увеличение длины на шесть ярдов приводит к увеличению расстояния всюду между поясом и охватываемым телом на величину, очень близкую к одному ярду. Это способно вызвать удивление у людей, далеких от математики.

— Слышали вы историю о небывало раннем развитии ребенка миссис Перкинс, который умер на прошлой неделе? — спросила миссис Олгуд. — Ему было лишь три месяца от роду, когда он лежал при смерти, а убитая горем мать спросила у доктора, неужели ничего нельзя придумать для спасения ребенка. «Абсолютно ничего!» — сказал доктор. Тогда ребенок посмотрел жалостливо в лицо матери и сказал: «Абсолютно ничего!»

— Невозможно! — настаивала Милдред. — Всего лишь трех месяцев от роду!

— Бывают невероятные случаи преждевременного развития детей, — сказал мистер Филкинс, — достоверность которых часто находит серьезные подтверждения. Но уверены ли вы, миссис Олгуд, что этот случай произошел на самом деле?

— Совершенно, — ответила леди. — Но в самом ли деле вы удивлены тем, что ребенок трех месяцев не может совершенно ничего сказать? Чего бы вы ожидали от него?

— Кстати, о смерти, — сказал торжественно мистер Смусли. — Я знал двух людей, отца и сына, которые погибли в одном и том же сражении с бурами. Они оба носили имя Эндрю Джонсон и были похоронены рядом, но возникла некоторая трудность, как различить их по могильным плитам. Что бы вы сделали?

— Очень просто, — сказал мистер Олгуд. — На одной из плит следовало написать «Мистер Эндрю Джон-сон-старший», а на другой — «Мистер Эндрю Джонсон-младший».

— Но я забыл сказать, что отец погиб первым.

— А какая разница?

— Видите ли, хотелось быть абсолютно точным; отсюда и возникла трудность.

— Но я не вижу никакой трудности, — сказал мистер Олгуд; не видел ее и никто из присутствовавших.

— Хорошо, — объяснил мистер Смусли, — дело вот и чем. Если отец умер первым, то после этого сын уже нс был «младшим». Разве не так?

— Если быть совершенно точным, то да.

— Именно этого они и хотели — быть совершенно точными. Теперь: если он уже не был «младшим», то он п не умер «младшим». Следовательно, было бы неправильным делать такую надпись на его могиле. Понимаете, в чем дело?

— Я сейчас вспомнил, — сказал мистер Филкинс, — одну любопытную вещь. Некий человек написал мне как-то, что, роясь у себя в саду, он откопал две старинные монеты. На одной была надпись «51 г. до н. э.», а на второй — «Георг I». Как я узнал, что он пишет неправду?

— Быть может, вам было известно, что этот человек склонен ко лжи? — спросил Реджинальд.

— Но это не было бы доказательством того, что и в данном случае он лжет.

— Может быть, — предположила Милдред, — вы знали, что в те времена не делали монет?

— Напротив, в оба исторических периода чеканились монеты.

— Были они серебряными или медными? — спросил Билли.

— Мой приятель ничего не писал об этом, и я не вижу, Билли, как бы это могло помочь.

— Понял! — воскликнул Реджинальд. — Надпись «до н. э.» не могла появиться до рождества Христа. Тогда еще не могли предвидеть это событие. Это обозначение было принято лишь позднее, дабы отличить даты, предшествующие тем, которые составляют «нашу эру». Это очень хорошо, но я не могу понять, почему второе утверждение также ложно.

— Реджинальд совершенно прав, — сказал мистер Филкинс, — относительно первой монеты. Вторая же не могла существовать потому, что первый из королей Георгов не носил при жизни имя «Георг I».

— Почему же? — спросила миссис Олгуд. — Он ведь действительно был Георгом I.

— Да, но этого никто не знал, пока не появился Георг II.

— Тогда не было и Георга II, пока на трон не взошел Георг III?

— Нет, не обязательно. Второй Георг стал Георгом II потому, что уже был Георг I.

— Тогда первый Георг был Георгом I потому, что до него не было короля, носившего такое имя..

— Как ты не понимаешь, мама, — сказал Джордж Олгуд. — Ведь мы не называем нашу королеву Викторию Викторией I; но если бы когда-нибудь появилась Виктория II, то ее стали бы так называть.

— Но ведь уже было несколько Георгов, поэтому и он был Георгом I, а несколько Викторий еще не было, значит, два случая не одинаковы.

Присутствующие оставили попытки убедить миссис Олгуд, но читатель, конечно, уже ясно понял, о чем идет речь.

— Есть один вопрос, — сказала Милдред, — который я хотела бы, чтобы вы мне разъяснили. Я привыкла покупать у нашего зеленщика пучки спаржи, каждый 12 дюймов в окружности. Я всегда измеряю их рулеткой, чтобы убедиться, что покупаю полное количество. Однажды у зеленщика не оказалось больших пучков, и он предложил мне взять вместо одного большого два маленьких пучка по 6 дюймов в окружности. «Это одно и то же, — сказала я, — и, конечно, цена останется прежней». Но зеленщик настаивал на том, что два маленьких пучка содержат больше спаржи, чем один большой, и потребовал сверх обычной цены несколько пенсов. Вот я и хочу узнать, кто из нас был прав? Содержат ли два маленьких пучка столько же спаржи, сколько и один большой, или же в них больше спаржи, чем в большом?

— Это старая головоломка, — сказал, рассмеявшись, Реджинальд, — про мешок зерна, который Семпроний занял у Кая, и ваш зеленщик, вероятно, где-то о ней прочитал. Во всяком случае, он вас здорово надул.

— Так они содержали то же количество спаржи?

— Напротив, вы оба были не правы, и вы ему слишком много переплатили. Вы получили лишь половину того количества, которое было в большом пучке, и, следовательно, вам надлежало заплатить лишь половину прежней суммы, а не переплачивать сверх нее.

Да, это было скверное мошенничество. Круг, длина окружности которого вдвое меньше длины окружности другого круга, обладает по сравнению с последним в 4 раза меньшей площадью. Следовательно, 2 маленьких пучка содержали спаржи в 2 раза меньше, чем большой пучок.

— Мистер Филкинс, можете ли вы ответить вот на какой вопрос? — начал Билли. — В соседней деревне живет человек, который каждое утро за завтраком съедает по два яйца.

— Не вижу в этом ничего особенного, — вставил Джордж. — Если бы два яйца съедали по человеку, это было бы интересно.

— Не перебивай мальчика, Джордж, — сказала его мать.

— Ну так вот, — продолжал Билли, — этот человек не покупает, не занимает, не выменивает, не выпрашивает, не ворует и не находит эти яйца. Он не держит кур, и ему не дают эти яйца. Как же он их получает?

— Быть может, он их меняет на что-нибудь еще? — спросила Милдред.

— Это бы значило их выменивать, — ответил Билли.

— Может быть, их ему посылают друзья? — предположила миссис Олгуд.

— Я же сказал, что их ему не дают.

— Я знаю, — сказал Джордж уверенно. — Чужая курица пришла к нему в дом и снесла их.

— Но это значило бы, что он их нашел, разве не так?

— Не взял ли он их напрокат? — спросил Реджинальд.

— Если так, то он не смог бы их вернуть после того, как съел, а это значило бы, что он их украл.

— Может быть, собака зарыта в слове «класть», — сказал мистер Филкинс. — Кладет ли он их на стол?

— Сперва он должен их получить, не так ли? Вопрос был, как он их получает?

— Сдаемся! — сказали все за столом. Тогда маленький Билли перебрался под защиту своей матери, ибо Джордж был способен в подобных случаях на грубые поступки.

— У человека были утки, — крикнул он, — и его слуга собирал яйца каждое утро!

— Но ты сказал, что он не держит домашнюю птицу! — запротестовал Джордж.

— Я не говорил; правда, мистер Филкинс? Я сказал, что он не держит кур.

— Но он их находит, — сказал Реджинальд.

— Нет; я сказал, что их находит его слуга.

— Ну тогда, — вставила Милдред, — его слуга дает их ему.

— Вы же не можете давать человеку его собственность?

Все согласились, что ответ Билли вполне удовлетворителен.