Алекс в стране чисел

Глава 11 Конец прямой

Несколько лет тому назад Дайна Таймина сидела откинувшись на диване у себя дома в Итаке, штат Нью-Йорк, где она преподает в Корнеллском университете. Кто-то из домочадцев спросил ее, чем это она занимается.

— Пробую связать крючком гиперболическую плоскость, — ответила она, имея в виду конструкцию, которая одновременно озадачивала и пленяла математиков в течение почти двух столетий.

— Разве математики умеют вязать крючком? — презрительно обронил ее собеседник.

Несмотря на такое пренебрежительное отношение к ее занятию, Дайна только укрепилась в своем намерении использовать женское рукоделие для развития науки. И ей это удалось: она изобрела так называемое «гиперболическое вязание» — технику, в результате которой получаются очаровательные изделия, — а кроме того, внесла вклад в понимание геометрии, причем таким способом, о котором математики до этого и не подозревали.

Гиперболическое вязание

Чуть ниже я дам подробное определение понятию гиперболический и расскажу о том, что дает возможность понять модели, связанные Дайной, пока же все, что нам надо знать, — это то, что гиперболическая геометрия идет полностью вразрез с геометрией интуитивной, а правила игры, столь тщательно прописанные Евклидом в его «Началах», полагаются там неверными. Возникновение в начале XIX столетия «неевклидовой» геометрии ознаменовало появление в математике водораздела, который отсек геометрию, отвечающую нашему опыту, от новой геометрии, целиком и полностью ему противоречащей, что, впрочем, вовсе не делает ее математически противоречивой — наоборот, математически она верна в той же степени, что и родившаяся до нее евклидова система.

Позднее в том же столетии выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) совершил интеллектуальный прорыв не меньшего значения: Кантор поставил наше интуитивное понимание бесконечности с ног на голову, доказав, что бесконечность может иметь различные размеры. Неевклидова геометрия и теория множеств Кантора стали вратами в необычные и чудесные миры, которые мы посетим на ближайших страницах.

«Начала» Евклида, как мы уже говорили, были и остаются самым влиятельным во все времена учебником по математике; в них заложены основы геометрии древних греков. Кроме того, в «Началах» установлен аксиоматический метод; Евклид исходил из ясных определений используемых терминов и правил, которым надлежало следовать, а затем строил из них весь корпус своих теорем. Правила, или аксиомы, представляют собой утверждения, которые принимаются без доказательства, и поэтому математики всегда стараются сделать их простыми и самоочевидными настолько, насколько это возможно.

Евклид доказал в «Началах» 465 теорем, исходя всего лишь из пяти аксиом, которые приобрели широкую известность как пять евклидовых постулатов:

Когда мы добираемся до пятого постулата, закрадывается подозрение, что тут не все в порядке. Начинаются постулаты достаточно бодро. Первые четыре легко формулируются, их несложно понять и легко принять. Но что же в их компании делает пятый? Он многоречивый, сложный и не слишком самоочевидный. Да и не столь уж фундаментальный: первый раз он требуется в «Началах» в предложении 29.

Несмотря на свою любовь к дедуктивному методу Евклида, математики невзлюбили его пятый постулат; он не только посягал на их чувство прекрасного, но и заставлял подозревать, что там принимается слишком много для простой аксиомы. И действительно, в течение 2000 лет много великих умов делали попытки изменить статус пятого постулата, пытаясь вывести его из остальных постулатов и тем самым разжаловать в теорему. Но никто в этом так и не преуспел. Быть может, величайшее свидетельство гения Евклида состоит как раз в понимании того, что и пятый постулат необходимо принимать без доказательства.

Больший успех сопутствовал математикам в попытках переформулировать постулат в других терминах. Например, англичанин Джон Уоллис еще в XVII веке понял, что все, имеющееся в «Началах», можно доказать, взяв первые четыре постулата неизменными и заменив пятый постулат следующим альтернативным вариантом: если задан любой треугольник, его можно увеличить или, наоборот, сжать до любого размера таким образом, чтобы длины сторон оставались в неизменном отношении друг к другу, а углы между сторонами не менялись. Хотя осознание того, что пятый постулат можно перефразировать как утверждение о треугольниках, а не о прямых, означало глубокое проникновение в суть происходящего, это не развеяло беспокойства математиков: альтернативный постулат Уоллиса, может, и был более (хотя и не так уж) интуитивным, чем пятый постулат, но он все равно не получался столь же простым или очевидным, как первые четыре. Были открыты и другие эквиваленты пятого постулата; Евклидовы теоремы по-прежнему оставались верными, если заменить пятый постулат утверждением о том, что сумма углов треугольника составляет 180 градусов, или что верна теорема Пифагора, или что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру равно π. Сколь бы неожиданным такое ни показалось, все эти утверждения математически взаимозаменяемы. Эквивалентное утверждение, которое наиболее удобным образом выражает суть пятого постулата, однако, касается поведения параллельных линий. Начиная с XVIII столетия математики, изучавшие Евклида, стали отдавать предпочтение следующему варианту, известному как постулат о параллельных:

Можно показать, что постулат о параллельных имеет отношение к геометрии двух различных типов поверхности, где все зависит от фразы «самое большее одна прямая», которая на языке математики означает «или одна прямая, или ни одной». В первом случае, проиллюстрированном на рисунке, для любой прямой L и точки P существует только одна проходящая через P прямая, параллельная L (она обозначена как L'). Этот вариант постулата о параллельных применим к поверхности наиболее очевидного типа — плоской поверхности, такой как лист бумаги, лежащий у вас на столе.

Постулат о параллельных

Теперь рассмотрим второй вариант постулата, в котором для любой прямой L и точки P вне ее нет ни одной прямой, проходящей через P и параллельной L. С ходу нелегко сообразить, что это может быть за поверхность. В какую ужасную даль от Земли нам придется отправляться на ее поиски?

Да никуда не придется. Мы так и останемся на Земле! Представим себе, например, что наша линия L — это экватор, и вообразим, что точка P — это Северный полюс. Единственные прямые линии, идущие через Северный полюс, — это линии долготы, такие как Гринвичский меридиан, и при этом все линии долготы пересекают экватор. Таким образом, прямой линии, которая проходила бы через Северный полюс и была бы при этом параллельна экватору, просто нет.

Постулат о параллельных говорит о том, что кроме геометрии поверхностей существует еще и геометрия поверхностей сферических. «Начала» имели дело с плоскими поверхностями, и в течение 2000 лет именно они оставались в фокусе математических изысканий. Сферические же поверхности, например поверхность Земли, представляли тогда больший интерес для штурманов и астрономов, чем для теоретиков. Лишь к началу XIX века математики создали теорию, которая охватывала как плоские, так и сферические поверхности, а произошло это только после того, как ученые познакомились с поверхностями третьего типа — гиперболическими.

Среди вознамерившихся вывести постулат о параллельных из первых четырех постулатов и тем самым доказать, что это вовсе не постулат, а теорема, решительнее всех был настроен, пожалуй, Янош Бойяи (1802–1860) — студент из Трансильвании, обучавшийся инженерному делу. Его отец Фаркаш — тоже математик! — исходя из собственного неудачного опыта хорошо представлял себе, какие испытания уготованы сыну на сем пути. «Бога ради, заклинаю тебя, брось это дело, — убеждал он сына. — Оно опаснее, чем чувственные удовольствия, поскольку способно точно так же поглотить все твое время и лишить тебя здоровья, душевного спокойствия и счастья в жизни». Но Янош упрямо игнорировал отцовские увещевания; более того, в своем бунтарстве он был даже готов рассматривать возможность ложности этого евклидовского постулата! Не надо забывать, что для математиков «Начала» были чем-то вроде Библии для христиан — книгой, содержащей непререкаемую, священную истину. И хотя вопрос о том, является ли пятый постулат аксиомой или теоремой, обсуждался, и довольно активно, никто до Бояйи-младшего не осмеливался предположить, что это утверждение Евклида не совсем верно. Прошло время, и оказалось, что постановка этого вопроса открыла окно в новый мир.

Постулат о параллельных утверждает, что для любой заданной прямой и точки вне ее существует самое большее одна параллельная прямая, проходящая через указанную точку. Яношу хватило смелости предложить, что для любой заданной прямой и точки вне ее имеется более одной параллельной прямой, проходящей через эту точку. Хотя было не слишком ясно, как представить себе поверхность, для которой это утверждение верно, Янош понял, что геометрия, следующая из этого утверждения, взятого вместе с первыми четырьмя постулатами, по-прежнему остается математически последовательной. Это было революционным открытием, и Янош сумел осознать его судьбоносное значение. В 1823 году Янош написал отцу письмо, в котором заявлял: «Из ничего я создал новую вселенную».

На руку Яношу, вероятно, было то обстоятельство, что он работал один, и вне стен какого-либо математического заведения, и потому был в меньшей степени зажат в рамки традиционных воззрений. Более того, даже уже совершив свое великое открытие, он не думал, что станет математиком. После окончания университета Бояйи вступил в Австро-Венгерскую армию, где, по имеющимся отзывам, проявил себя среди сослуживцев как один из лучших фехтовальщиков и танцоров. Кроме этого, он был замечательным музыкантом и однажды, вызвав на дуэль сразу 13 офицеров, поставил условие, что в случае победы сыграет проигравшему пьесу на скрипке.

А тем временем другой, неизвестный Яношу математик, живший в еще большем, чем Трансильвания, удалении от европейских научных центров, тоже размышлял о пятом постулате. Он неуклонно продвигался вперед, несмотря на то что никто из коллег не поддерживал и не принимал его работы. В 1826 году профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) направил свою статью, в которой подвергал сомнению истинность постулата о параллельных, в журнал «Записки физико-математического отделения». Статью (она называлась «О началах геометрии») не приняли, после чего Лобачевский решил напечатать ее в университетском «Казанском вестнике», где ее, естественно, почти никто не заметил. Позже петербургские профессора подвергли его работу жесточайшей критике.

Ирония судьбы — в истории низвержения пятого постулата Евклида с пьедестала незыблемой истины был еще один драматичный момент: за несколько десятилетий до Яноша Бойяи и Николая Лобачевского еще один ученый сделал то же самое открытие, причем произошло это в самом сердце математической науки; однако этот человек не стал обнародовать свои результаты среди коллег. Почему Карл Фридрих Гаусс — величайший математик своего времени[70] — решил сохранить свою работу о постулате о параллельных в тайне, до сих пор точно не знает никто. Принято считать, что он не хотел вступать в распри с университетскими коллегами по поводу авторитета Евклида.

Однако, прочитав о результатах Яноша, опубликованных в 1831 году в приложении к книге его отца Фаркаша, Гаусс дал понять, что он еще раньше высказал предположение о возможной неправомерности постулата о параллельных. Гаусс написал своему старому университетскому товарищу Фаркашу письмо, в котором отозвался о Яноше как о «гении первой величины», однако же добавил, что не может воздать должной похвалы его замечательному научному открытию: «Ибо хвалить его означало бы хвалить самого себя. Содержание его труда целиком совпадает с моими собственными открытиями, некоторым из которых исполнилось уже 30 или 35 лет. Поначалу я собирался записать все это, дабы оно по крайней мере не ушло в небытие вместе со мной. Поэтому приятной неожиданностью стало известие, что я избавлен от сего труда, и в особенности я рад, что не кто иной, как сын моего старого друга, помог мне в этом деле». Узнав, что первым к цели пришел Гаусс, Янош очень огорчился. Когда же, уже годы спустя, он узнал, что русский математик Лобачевский тоже опубликовал доказательство раньше него, он был просто потрясен, а потом уверовал в то, что Лобачевский — вымышленный персонаж, изобретенный Гауссом в качестве изощренной уловки с целью лишить его, Яноша, первенства.

Финальный аккорд в исследования пятого постулата Гаусс сделал незадолго до своей смерти. Будучи уже серьезно больным, он выбрал для одного из своих самых способных учеников, 27-летнего Бернхарда Римана (1826–1866) — такую тему пробной лекции: «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Риман — болезненно застенчивый сын лютеранского пастора, готовясь к лекции, поначалу испытывал довольно серьезные затруднения, зато страдания были не напрасны — его лекции было суждено произвести революцию в математике. Впоследствии он способствовал перевороту и в физике — предложенные им новаторские идеи оказались теми ценнейшими семенами, из которых потом выросла общая теория относительности Эйнштейна.

Лекция Римана, прочитанная им в 1854 году, ознаменовала собой тектонический сдвиг в понимании геометрии, возникающий в результате низвержения постулата о параллельных — Риман дал описание всеобъемлющей теории, включающей как Евклидовы, так и не Евклидовы идеи. Ключевой концепцией, лежавшей в основе теории Римана, была кривизна пространства. Когда поверхность имеет нулевую кривизну, она является плоской, или евклидовой, и тогда выполняется все, что получено в «Началах». Когда же поверхность искривлена, то есть имеет положительную или отрицательную кривизну, она — неевклидова, и применительно к ней написанное в «Началах» неверно.

Простейший способ понять, что такое кривизна, учит нас Риман, — рассмотреть то, что происходит с треугольниками. На поверхности нулевой кривизны сумма углов треугольника — 180 градусов. На поверхности положительной кривизны эта сумма превышает 180 градусов. На поверхности отрицательной кривизны углы треугольника дают в сумме менее 180 градусов.

Сфера имеет положительную кривизну. Это можно понять, рассматривая сумму углов треугольника в левой части приведенного ниже рисунка: треугольник там составлен из отрезков экватора, Гринвичского меридиана и линии, идущей по 73-му градусу долготы к западу от Гринвича (эта долгота проходит через Нью-Йорк). Оба угла, под которыми линии долготы пересекают экватор, равны 90 градусам, так что сумма всех трех углов должна быть больше 180 градусов.

А поверхности какого типа имеют отрицательную кривизну? Другими словами, где искать те треугольники, углы которых в сумме дают меньше 180 градусов? Откройте пачку картофельных чипсов «Принглс», и вы поймете где. Нарисуйте треугольник на седловой части чипса (для чего можно использовать тюбик с нежной французской горчицей) — треугольник будет выглядеть как «вогнутый» в сравнении с «выпуклым» треугольником, который мы наблюдали на сфере. Ясно, что его углы в сумме дают менее 180 градусов.

Поверхность отрицательной кривизны называется гиперболической. Итак, поверхность чипса «Принглс» — гиперболическая. Впрочем, чипс — это всего лишь первый шаг к пониманию гиперболической геометрии, потому что у него есть край. Стоит только показать математику край, как он тут же захочет выйти за его пределы.

Можно посмотреть на это и другим способом. Проще всего представить себе поверхность нулевой кривизны без края: взять хотя бы ту страницу, что сейчас перед вами, разгладить ее, положить на стол, а потом продолжить по всем направлениям до бесконечности. Если бы мы жили на подобной поверхности и отправились на прогулку вдоль прямой линии в любом направлении, то никогда не добрались бы до края. Аналогичным образом, у нас есть очевидный пример поверхности положительной кривизны без края: это сфера. Если бы мы жили на сфере, то могли бы идти, никогда не останавливаясь и нигде не встречая края. (Конечно, мы и в самом деле живем на том, что представляет собой грубое приближение к сфере. Если бы Земля была совершенно гладкой, без всяких океанов и гор, встающих у нас на пути, и мы бы отправились в путь, в конце нашего путешествия мы снова вернулись бы к исходной точке — на самом деле мы двигались бы по окружности.)

А как же выглядит поверхность отрицательной кривизны без края? Она не может выглядеть как чипс, потому что если мы бы жили на чипсе «Принглс» размером с Землю и начали бы шагать в одном направлении, то в конце концов свалились бы за край. Математики долго гадали, как могла бы выглядеть «бескрайняя» гиперболическая поверхность — такая, по которой можно было бы путешествовать так далеко, как только захочется, и никогда не достигать края, но которая при этом не теряет своих гиперболических свойств. Понятно, что такая поверхность должна быть постоянно изогнута как чипс; так может, попробовать склеить ее из множества чипсов указанной формы? Увы, так у нас ничего не получится, потому что чипсы «Принглс» плохо состыковываются один с другим, а если заполнять образующиеся пустоты какой-то другой поверхностью, то эти добавленные области не будут гиперболическими. Другими словами, чипсы позволяют представить себе лишь локальные гиперболические свойства. Вещь, которую необычайно сложно представить — и которая требует напряжения мысли у даже самых блестящих математических умов, — это гиперболическая поверхность, которая продолжается без конца и без края.

Сферические и гиперболические поверхности — это математические противоположности. Покажем на примере, почему это так. Вырежем кусок из сферической поверхности — скажем, из баскетбольного мяча. Когда мы надавим на вырезанный кусок, чтобы он плотно прижался к земле и сделался плоским, он или растянется, или же разорвется просто потому, что в нем недостаточно материала для того, чтобы точно лечь на плоскость. А теперь представим себе резиновый чипс. Когда мы попробуем разложить его на плоскости, в нем окажется слишком много материала, и он сложится в складки. В то время как сферическая поверхность сворачивается, гиперболическая поверхность все время расширяется.

Вернемся к постулату о параллельных, который дает нам весьма точный способ классификации поверхностей на плоские, сферические и гиперболические. Для любой заданной прямой и точки вне ее:

Поведение параллельных линий на плоской или сферической поверхности можно понять интуитивно, потому что нам легко представить себе плоскую поверхность, которая продолжается до бесконечности, и потому что все мы знаем, что такое сфера. Гораздо более сложная задача — понять поведение параллельных линий на гиперболической поверхности, потому что совершенно не ясно, как будет выглядеть такая поверхность, когда она продолжается до бесконечности. Параллельные линии в гиперболическом пространстве расходятся все дальше и дальше друг от друга. При этом, отклоняясь одна от другой, они не изгибаются, потому что, раз мы говорим о параллельных линиях, они должны быть прямыми, и тем не менее они расходятся из-за того, что гиперболическая поверхность постоянно искривляется, уходя сама от себя, а по мере того, как поверхность расширяется, между любыми двумя параллельными линиями появляется все больше и больше места. Да уж, такая картина кого угодно сведет с ума, и неудивительно, что, несмотря на всю свою гениальность, Риман не сумел придумать никакой поверхности, которая имела бы заданные свойства.

В последние десятилетия XIX века проблема представления гиперболической плоскости возбуждала многих математиков. Одна из таких попыток, предпринятая Анри Пуанкаре, захватила воображение голландского художника-графика М. К. Эшера (1898–1972). Его знаменитая серия гравюр «Предел круга» возникла как результат знакомства с предложенной французским математиком «дисковой моделью» гиперболической поверхности. На гравюре «Предел круга IV» двумерная вселенная помещена на круг (диск), где ангелы и демоны уменьшаются по мере приближения к краю. Сами ангелы и демоны, однако, и не подозревают о том, что уменьшаются, потому что по мере того, как они сами становятся меньше, то же самое происходит и с их измерительными приборами. С точки зрения обитателей диска все они сохраняют свои размеры, а их вселенная продолжается до бесконечности.

«Предел круга IV»

Изобретательность, воплощенная в дисковой модели Пуанкаре, состоит в том, что она восхитительным образом иллюстрирует, как параллельные линии ведут себя в гиперболическом пространстве. Прежде всего, нам надо определиться с тем, что такое прямая линия на диске. Аналогично тому, как прямые на сфере линии выглядят искривленными, когда их изображают на плоской карте (например, маршруты самолетов являются прямыми, но на карте выглядят искривленными), линии, являющиеся прямыми в диско-мире, также кажутся нам искривленными. Пуанкаре определил прямую линию на диске как сечение диска окружностью, которая входит в него под прямым углом.

На левой картинке внизу изображена прямая линия между точками А и В, для нахождения положения которой надо построить окружность, проходящую через точки А и В и входящую в диск под прямым углом. Гиперболический вариант постулата о параллельных утверждает, что для каждой прямой L и точки P вне этой прямой имеется бесконечно много прямых, параллельных L, которые проходят через P. Это показано на рисунке внизу справа, где отмечено три прямых — L', L'' и L''', — которые проходят через точку P, но при этом все параллельны прямой L. Линии L', LL'' и L''' представляют собой части различных окружностей, которые входят в диск под прямыми углами. Глядя на рисунок, можно понять, как может получиться, что имеется бесконечно много прямых, параллельных L и проходящих через P, — просто потому, что можно нарисовать бесконечное число окружностей, которые входят в диск под прямыми углами и проходят через P. Модель Пуанкаре, кроме того, помогает нам понять смысл утверждения о том, что две параллельные линии расходятся: L и L' параллельны, но становятся все дальше и дальше друг от друга по мере приближения к краю диска.

Диско-мир Пуанкаре позволяет понять многое, но не все. При том что он снабжает нас концептуальной моделью гиперболического пространства, искаженного за счет взгляда через довольно странную линзу, он не показывает, как же гиперболическая поверхность будет выглядеть в нашем мире. Поиску более реалистичных гиперболических моделей — предприятию, которое подавало большие надежды в последние десятилетия XIX столетия, — нанес в 1901 году удар выдающийся немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943): он доказал, что невозможно описать гиперболическую поверхность, используя какую-либо формулу. Математическое сообщество приняло доказательство Гильберта без энтузиазма, поскольку математики решили, что если нет никакого способа описать поверхность с помощью формулы, то, значит, такая поверхность и не существует. Интерес к производству моделей гиперболических поверхностей стал угасать.

Что и возвращает нас к Дайне Таймине, с которой я встретился в Лондоне на южном берегу Темзы, представляющем собой набережную-променад, вдоль которой располагаются театры, художественные галереи и кинотеатры. Она кратко напомнила мне историю гиперболических пространств — предмет, который она преподавала в качестве ассистента в Корнеллском университете. Из Гильбертова доказательства невозможности описания гиперболического пространства с помощью формулы, сообщила она мне, имелось следствие: компьютеры также оказались не в состоянии создавать образы гиперболических поверхностей, потому что компьютеры могут создавать только образы, основанные на формулах. Однако в 1970-х годах геометр Уильям Тёрстон (р. 1946) предложил подход, хоть и не основанный на высоких технологиях, но оказавшийся весьма плодотворным. Не обязательно обладать формулой для создания гиперболической модели, говорит Тёрстон, все, что требуется, — это бумага и ножницы. Тёрстон, которому в 1981 году была присуждена Филдсовская медаль (высшая награда для математика) и который теперь был коллегой Дайны в Корнеллском университете, предложил модель, состоявшую в соединении друг с другом бумажных кусочков, имеющих форму подковы.

Дайна использовала модель Тёрстона на занятиях со студентами, но модель оказалась столь хрупкой, что неизменно рассыпалась на части, и Дайне каждый раз приходилось делать новую. «Ненавижу склеивать бумагу. Это занятие сводит меня с ума», — жаловалась она. И тут ей пришла в голову свежая идея — что, если вместо бумаги попробовать связать модель гиперболической плоскости?

Идея ее была проста: наберем один ряд петель, а затем в каждом следующем ряду будем прибавлять некоторое заданное количество петель. Например, можно прибавлять по одной петле через каждые две. В таком случае, если мы начали с ряда из 20 петель, то во втором ряду их будет 30 (мы добавили 10), в третьем — 45 (мы добавили 15) и т. д. (В четвертом должно оказаться 22,5 дополнительные петли, но, поскольку полпетли связать невозможно, будем округлять до большего или меньшего их целого числа.) По замыслу Дайны должен был получиться кусок вязаного полотна, который будет становиться все шире и шире, как будто он гиперболически расширяется сам из себя. Однако вязание на спицах — дело довольно хлопотное, из-за одной ошибки порой приходится распускать весь ряд. Поэтому вместо спиц Дайна взяла вязальный крючок. Если вязать крючком, то легче исправить ошибку, потому что в процессе вязания на крючке всего одна петля. Так что она довольно быстро приноровилась. Помогла еще и настойчивость в овладении рукоделием — привычка, приобретенная в детстве, которое она провела в 1960-х годах в Латвии.

В своей первой вязаной модели она добавляла в каждом ряду по одной петле через каждые две, как и в нашем примере, упомянутом выше. В результате, однако, получился кусок с большим количеством плотных сборок. «Как-то он слишком сильно скручивался, — объяснила она, — и не удавалось толком разглядеть, что же там происходит». Поэтому для второй модели она решила попробовать другой вариант, прибавляя в каждом ряду одну петлю через каждые пять. Результаты превзошли ожидания. Теперь получившееся полотно фалдило как надо. Дайна выбрала и отметила прямые линии, входящие в расширяющиеся «складки» и выходящие из них, и сразу увидела, что удается проследить за тем, как эти исходно параллельные линии расходятся друг от друга. «Именно такую картину я всегда и хотела увидеть, — сияла она от радости. — Давно не получала такого удовольствия. Разве это не здорово — сделать своими руками то, чего не удается сделать на компьютере».

Дайна показала модель гиперболического кроше своему мужу, и он пришел в такой же восторг. Дэвид Хендерсон — профессор геометрии в Корнеллском университете, специализирующийся на топологии, про которую Дайна, по ее словам, вообще ничего не знает. Он объяснил ей, что топологам давно известно, что, когда на гиперболической плоскости нарисован восьмиугольник, его можно сложить таким образом, что он будет напоминать штаны. «Надо построить восьмиугольник!» — сказал он ей, и именно так они и сделали. «Никто раньше никогда не видел гиперболических штанов!» — воскликнула Дайна, открыла спортивную сумку, достала оттуда связанный ею гиперболический восьмиугольник и показала мне, как он складывается. Получилось нечто, очень похожее на детские вязаные штанишки.

Новость о связанных Дайной моделях разлетелась по математическому факультету Корнеллского университета. Дайна рассказала мне, как она показала свою модель одному из коллег, который, как ей было известно, пишет работы о гиперболических плоскостях. «Он рассмотрел модель и начал складывать ее так и сяк. Вдруг лицо его просияло. „Так вот как выглядит ороцикл!“ — воскликнул он, имея в виду очень сложный тип кривых, которые до того ему никак не удавалось изобразить. На протяжении всей своей научной карьеры он писал о них, — поясняет Дайна, — но они так и оставались лишь в его воображении».

Не будет преувеличением сказать, что гиперболические модели Дайны способствовали более глубокому пониманию концепций, которые относятся к довольно неблагодарной области математики. Ее модели дали студентам возможность почувствовать гиперболическую плоскость, потрогать и пощупать поверхности, которые прежде подлежали только абстрактному пониманию. Эти модели, однако, не идеальны. Одна из проблем состоит в том, что из-за толщины пряжи и неровности петель вязаные модели — лишь грубое приближение к тому, что в идеале должно быть гладкой поверхностью. И тем не менее они намного универсальнее и точнее, чем чипсы «Принглс». Если бы кусок вязаной гиперболической поверхности имел бесконечное число линий, то теоретически на ней можно было бы жить, и более того — отправиться в бесконечно долгое путешествие в выбранном направлении и никогда не дойти до края.

Одно из достоинств моделей, связанных Дайной, состоит в том, что они, как оказалось, неожиданным образом выглядят вполне естественно, если учесть, насколько формальны они по своей сути. Если в каждом ряду прибавлять по петле через относительно большие промежутки, то модель будет похожа на капустный лист. При большем же увеличении числа прибавляемых петель (то есть если прибавлять петли чаще) полотно естественным образом будет складываться в нечто, напоминающее коралл. Дайна прилетела в Лондон по причине открытия инспирированной ее моделями выставки «Вязаный гиперболический коралловый риф», цель которой состояла в привлечении внимания к уничтожению морской среды. Благодаря своему математическому новаторству Дайна нечаянно породила глобальное движение любителей вязания крючком.

За последние десять лет Дайна связала более сотни гиперболических моделей. Самую большую из них она привезла с собой в Лондон. Она розового цвета, на нее пошло 5,5 километра пряжи, ее вес 4,5 килограмма. Дайна вязала ее шесть месяцев. Завершающие этапы работы были настоящим испытанием. «По мере того как она тяжелела, поворачивать ее становилось все труднее». Замечательное свойство модели — это ее невероятно большая поверхность, площадь которой составляет 3,2 квадратных метра (что в два раза превосходит площадь поверхности самой Дайны). Гиперболические поверхности дают максимальные площади при минимальном объеме, и именно поэтому их так любят некоторые растения и морские организмы. Когда организму требуется большая площадь поверхности — скажем, как в случае с кораллами, для поглощения пищи, — он растет гиперболическим образом.

Маловероятно, что Дайна пришла бы к идее связать гиперболическую поверхность, если бы она родилась мужчиной, и это делает ее изобретения заметным событием в культурологической истории математики, где женщины в течение долгого времени были представлены в весьма малой степени. На самом деле вязание крючком — лишь один из немногих примеров традиционно женских рукоделий, вдохновляющих математиков на исследование новых подходов. Математическое вязание, производство килтов, вышивка и ткачество — все это даже составляет университетский курс, известный как «математика и текстильные ремесла».

Когда гиперболическое пространство впервые предстало перед мысленным взором ученых, казалось, что оно устроено наперекор всякому чувству реальности, но со временем оно заняло свое место как явление ничуть не менее «реальное», чем плоская или сферическая поверхность. Каждая поверхность имеет свою собственную геометрию, и нам следует выбрать ту из них, которая окажется самой подходящей, — или, как однажды заметил Анри Пуанкаре, «одна геометрия не может быть более истинной, чем другая; она может лишь быть более удобной». Евклидова геометрия, например, лучше всего подходит для школьников, вооруженных линейками, циркулями и плоскими листами бумаги, в то время как сферическая геометрия больше годится для авиапилотов, прокладывающих маршрут для своего самолета.

Физики также проявляли интерес к выяснению того, какая геометрия более всего подходит для их целей. Идеи Римана о кривизне поверхностей снабдили Эйнштейна средствами для совершения одного из величайших интеллектуальных прорывов. Ньютоновская физика предполагала, что пространство является евклидовым, или плоским. Общая теория относительности Эйнштейна, однако, утверждает, что геометрия пространства — времени (трехмерное пространство плюс время, рассматриваемое как четвертое измерение) — не плоская, а искривленная. В 1919 году британская научная экспедиция, направившаяся в Собрал — город на северо-востоке Бразилии, — сфотографировала во время солнечного затмения звезды, находящиеся позади Солнца, и обнаружила, что они немного смещены относительно своих реальных положений. Объяснение этому дала теория Эйнштейна, согласно которой свет от звезд, прежде чем достигнуть Земли, искривляется вблизи Солнца. Траектория луча света кажется изогнутой вблизи Солнца, если рассматривать луч в трехмерном пространстве (а это единственный доступный нам способ наблюдений), но на самом деле он следует по прямой линии, определяемой искривленной геометрией пространства — времени. Тот факт, что теория Эйнштейна правильно предсказала положение звезд, послужил доказательством верности общей теории относительности, а сам Эйнштейн стал мировой знаменитостью. Лондонская «Таймс» пестрела заголовками: «Революция в науке. Новая теория Вселенной. Ньютоновские идеи ниспровергнуты».

Эйнштейн был занят выяснением вопроса о пространстве — времени, которое, как он показал, искривлено. А что насчет кривизны нашей Вселенной, если не рассматривать время как еще одно измерение? Чтобы узнать, какая же геометрия более всего отвечает поведению наших трех пространственных измерений на больших масштабах, надо понять, как линии и формы ведут себя на экстремально больших расстояниях. Ученые надеются узнать это из данных, которые в настоящее время собирает спутник «Планк», запущенный в мае 2009 года и измеряющий реликтовое излучение космоса — так называемый «последний отблеск» Большого взрыва, — и делает это с более высоким разрешением и чувствительностью, чем были доступны когда-либо ранее. Среди рассматриваемых возможностей обсуждается Вселенная или плоская, или сферическая (но достаточно плоская), хотя все еще не исключено, что она может оказаться гиперболической. Есть немалая доля иронии в том, что геометрия, исходно считавшаяся лишенной смысла, оказалась пригодной для описания самого что ни на есть реального положения вещей.

Примерно в то же самое время, когда математики исследовали противоречащие здравому смыслу неевклидовы пространства, великий немецкий ученый Георг Кантор (1845–1918) перевернул вверх ногами наше понимание другого математического понятия — бесконечности. Кантор преподавал в Университете Галле-Виттенберг в Германии, где он и развил новаторскую теорию чисел, в которой бесконечность может иметь более одного размера. Идеи Кантора были столь необычны, что поначалу вызывали лишь насмешки. Многие математики того времени их совершенно не воспринимали. Анри Пуанкаре, например, отзывался о работах Кантора как о «заболевании, позорной болезни, от которой математика когда-нибудь излечится», а Леопольд Кронекер — профессор математики в Берлинском университете, учитель Кантора, — отвергал его как «шарлатана» и «развратителя юношества». Эта словесная война, надо думать, не прошла для Кантора даром и во многом обусловила нервный срыв, случившийся с ним в 1884 году, когда ему было 39 лет. То был первый из многочисленных эпизодов в его жизни, связанных с глубокой депрессией и пребыванием в клиниках. В своей книге о Канторе «Всё и более» Дэвид Фостер Уолис пишет: «В наши дни Психически Больной Математик занимает, по всей видимости, место, в предыдущие эпохи зарезервированное за Странствующим Рыцарем, Святым Мучеником, Терзающимся Художником и Сумасшедшим Ученым, представляя собой некое подобие Прометея, который отправляется в запретные края и возвращается с дарами, которыми готовы воспользоваться все, но за которые платит он один». Литература и кино во многом ответственны за придание связи между математикой и безумием этакого налета романтизма. Подобное клише удовлетворяет сюжетно-тематическим требованиям, предъявляемым к голливудскому сценарию (основной пример — «Игры разума»), но, конечно, представляет собой некорректное обобщение; и тем не менее великим математиком, стоящим за этим архетипом, вполне мог бы быть Кантор. Данный стереотип подходит к нему особенно хорошо, поскольку он вступил в схватку с бесконечностью — концепцией, связывающей математику, философию и религию. Он не только бросал вызов математическим доктринам, но и создавал основы абсолютно новой теории познания, которая для него была еще и способом понять Бога; неудивительно, что в процессе этих свершений он серьезно задел некоторых людей.

Бесконечность — это одна из самых головоломных концепций в математике. Мы уже видели ранее, при обсуждении парадоксов Зенона, что попытка представить себе бесконечное число все уменьшающихся расстояний полна математических и философских ловушек. Греки изо всех сил старались избегать бесконечностей. Евклид выражал идеи математической бесконечности через отрицательные утверждения. Например, его доказательство того, что имеется бесконечное число простых чисел, есть по существу доказательство отсутствия самого большого простого числа. Древние стеснительно избегали обращаться с бесконечностью как с самодостаточной концепцией, и именно поэтому бесконечный ряд, неизменно присутствующий во всех парадоксах Зенона, до такой степени ставил их в тупик.

К XVII столетию математики возжелали освоить операции, включающие бесконечно много шагов. Работы Джона Уоллеса, который в 1655 году ввел символ ∞ для бесконечности, чтобы использовать его в своей работе о бесконечно малых, расчистил дорогу для математического анализа Исаака Ньютона. Открытие полезных соотношений, включающих в себя бесконечное число членов, например, π/4 = 1 - ¹/₃ + ¹/₅ - ¹/₇ + …, показало, что бесконечность не так уж враждебна, и тем не менее ученые все равно относились к ней с осмотрительностью и подозрением. В 1831 году Гаусс проявил житейскую мудрость, заметив, что бесконечность — это «просто способ говорить» о пределе, который никогда не достигается, просто идея, выражающая потенцию продолжать действия бесконечно. Канторова же ересь состояла в рассмотрении бесконечности как вещи в себе.

Причина, по которой математиков до Кантора нервировало отношение к бесконечности как к любому другому числу, состояла в том, что здесь скрывалось множество головоломок, о самой знаменитой из которых Галилей писал в «Двух новых науках» и которая известна как парадокс Галилея:

Вывод Галилея состоял в том, что, когда дело доходит до бесконечности, такие числовые концепции, как «больше чем», «равно» и «меньше чем», теряют смысл. Эти термины могут быть понятны и осмысленны в приложении к конечным количествам, но не к бесконечным. Утверждения, что чисел вообще больше, чем квадратов, или что чисел столько же, сколько квадратов, лишены смысла, поскольку вся совокупность как чисел вообще, так и квадратов бесконечна.

Георг Кантор придумал новый способ осмысления бесконечности, который устранил парадокс Галилея. Вместо того чтобы рассматривать отдельные числа, Кантор рассмотрел группы чисел, которые назвал «множествами». Кардинальное число всякого множества есть число членов в этой группе. Так, {1, 2, 3} — множество с кардинальным числом 3, а {17, 29, 5, 14} — множество с кардинальным числом 4. «Теория множеств» Кантора заставляет сердце биться чаще, когда рассматриваются множества с бесконечным числом членов. Он ввел новый символ для бесконечности — ℵ₀ (произносится «алеф-нуль»), используя первую букву древнееврейского алфавита, снабженную нижним индексом, и сказал, что это есть кардинальное число множества натуральных чисел, то есть {1, 2, 3, 4, 5…}. Каждое множество, члены которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами, также обладает кардинальным числом ℵ₀. Таким образом, поскольку имеется взаимно-однозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами, множество квадратов {1, 4, 9,16, 25…} имеет кардинальное число ℵ₀. Подобным же образом, множество нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9…}, множество простых чисел {2, 3, 5, 7, 11…} и множество чисел, внутри которых содержится 666, то есть {666, 1666, 2666, 3666…}, — все они имеют кардинальное число ℵ₀. Если имеется множество с бесконечным числом членов и если возможно пересчитать члены один за другим, так что в конце концов каждый будет посчитан, то кардинальным числом такого множества является ℵ₀. По этой причине ℵ₀ стал известен как «счетная бесконечность». Причина же, по которой все это представляется столь замечательным, состоит в том, что Кантор показал, что можно двигаться и дальше. Сколь бы большим ни было ℵ₀, это сущее дитя в семье канторовских бесконечностей.

Я введу бесконечность большую чем ℵ₀, используя историю, которую, как говорят, Давид Гильберт приводил на своих лекциях. История эта — о гостинице со счетно-бесконечным (то есть ℵ₀) числом номеров. Это хорошо известное и весьма любимое математиками заведение иногда называют Гильбертовым отелем.

В Гильбертовом отеле имеется бесконечное число номеров, на дверях которых прибиты таблички 1, 2, 3, 4…. Однажды у регистрационной стойки отеля появляется путешественник и к своему разочарованию узнает, что в гостинице нет свободных мест. Он спрашивает, есть ли хоть какой-нибудь способ найти для него номер. Администратор отеля отвечает, что, конечно, есть. Все, что надо проделать, — это расселить уже имеющихся постояльцев по номерам следующим способом: того, кто жил в номере 1, — переселить в номер 2, того, кто жил в номере 2, — переселить в номер 3 и так далее, переселяя гостя из каждого номера n в номер n + 1. Как только это будет сделано, у каждого из старых постояльцев по-прежнему будут свои собственные апартаменты, а номер с табличкой 1 освободится для вновь приехавшего. Вот и отлично!

На следующий день возникает более сложная ситуация. Приезжает автобус, и каждому пассажиру этого автобуса нужен номер. А в автобусе бесконечное число сидений, занумерованных как 1, 2, 3 и так далее, и все они заняты. Есть ли теперь хоть какой-то способ расселить всех без исключения пассажиров? Другими словами, хотя гостиница и полна, может ли администратор так перетасовать постояльцев по номерам, чтобы в итоге освободить бесконечное число номеров для пассажиров автобуса? Да это легче легкого, говорят нам.

Все, что надо проделать на этот раз, — это переселить каждого постояльца в номер, на двери которого написано число в два раза большее, чем то, что написано на номере, где этот постоялец живет в данный момент. Тем самым заполнятся номера 2, 4, 6, 8…. А все номера, на дверях которых написано нечетное число, освободятся, и пассажирам автобуса дадут ключи от них. Пассажир, ехавший на первом сиденье, получит номер 1 (первое из нечетных чисел), пассажир, ехавший на втором сиденье, получит номер 3 (второе нечетное число) и т. д.

На третий день в Гильбертов отель прибывает много автобусов. Бесконечно много. Автобусы выстраиваются на стоянке перед гостиницей: сначала автобус 1, затем автобус 2, вслед за ним автобус 3 и т. д. В каждом автобусе — бесконечное число пассажиров (это автобусы того же типа, что приезжали накануне). И понятно, каждому пассажиру требуется номер. Есть ли способ найти для каждого пассажира из каждого автобуса номер в (уже заполненном) Гильбертовом отеле? Не проблема, отвечает администратор. Прежде всего ему надо освободить бесконечно много номеров. Он делает это тем же способом, что и накануне, — переселяет каждого постояльца в комнату с удвоенным номером. В результате свободными оказываются все нечетные номера. Все, что ему надо сделать, чтобы разместить там бесконечное число групп автобусных пассажиров, — это найти способ пересчитать всех пассажиров, потому что, как только он найдет такой способ, он поселит первого пассажира из списка в номер 1, второго — в номер 3, третьего — в номер 5 и т. д.

Администратор проделывает следующее. Сначала составляется список пассажиров, в котором каждый пассажир представлен записью вида m/n, где m — это номер автобуса, на котором данный пассажир приехал, а n — номер его места в автобусе. Если начать с пассажира, ехавшего на первом месте в первом автобусе (путешественник 1/1), а затем следовать по зигзагообразной кривой, показанной ниже, — так, что вторым окажется путешественник, занимавший второе место в первом автобусе (1/2), затем тот, кто сидел на первом месте во втором автобусе (2/1), и т. д. — в концов концов окажутся переписанными все без исключения пассажиры.

Теперь перенесем на язык символьной математики то, что мы узнали про Гильбертов отель.

Когда номер нашли для одного путешественника, это эквивалентно формулируется как 1 + ℵ₀ = ℵ₀.

Когда номер нашли для счетно-бесконечного числа путешественников, мы узнали, что ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀.

Когда счетно-бесконечное число пассажиров в каждом автобусе из счетно-бесконечного числа автобусов смогли расселиться по номерам, мы узнали, что ℵ₀ × ℵ₀ = ℵ₀. Таковы правила, которых мы ожидаем от бесконечности: прибавление бесконечности к бесконечности дает бесконечность, и умножение бесконечности на бесконечность также дает бесконечность.

Давайте на секунду остановимся. Мы уже получили один потрясающий результат. Взглянем снова на таблицу с номерами мест и номерами автобусов. Рассмотрим каждого путешественника, обозначаемого символом m/n, как дробь ^m/_n. Если продолжить нашу таблицу до бесконечности, в ней будут указаны все без исключения положительные дроби — просто потому, что положительные дроби и представляют собой выражения ^m/_n для любых натуральных чисел m и n. Например, дробь ⁵⁶²⁸/₇₈₅ окажется перечисленной, когда мы доберемся до 5628-й строки и 785-го столбца. Зигзаговый метод подсчета всех пассажиров во всех автобусах можно поэтому использовать и для пересчета всех положительных дробей. Другими словами, множество положительных дробей и множество натуральных чисел имеют одно и то же кардинальное число ℵ₀. Интуитивно кажется, что дробей должно быть больше, чем натуральных чисел, потому что между любыми двумя натуральными числами имеется бесконечное число дробей, и, однако же, Кантор показал, что наша интуиция неверна. Положительных дробей ровно столько же, сколько и натуральных чисел. (Конечно, положительных и отрицательных дробей тоже столько же, сколько натуральных чисел, потому что имеется ℵ₀ положительных дробей и ℵ₀ отрицательных, а из предыдущего мы знаем, что ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀)

Чтобы оценить, насколько необычным является этот результат, рассмотрим числовую прямую, которая позволяет воспринимать числа как точки на линии. Вот числовая прямая, начинающаяся в 0 и устремляющаяся в бесконечность:

Каждую положительную дробь можно рассматривать как точку на этой числовой прямой. Из предыдущих глав мы знаем, что имеется бесконечно много дробей, заключенных между 0 и 1, а равным образом между 1 и 2 или между двумя любыми другими числами. Теперь представим себе, что мы поднесли к числовой прямой микроскоп, который позволяет разглядеть, что происходит между точками, представляющими дроби ¹/₁₀₀ и ²/₁₀₀. Как мы показали выше, имеется бесконечно много точек, представляющих дроби между двумя указанными точками. И куда бы на числовой прямой мы ни направили микроскоп и сколь бы маленький интервал между двумя точками он ни показывал, там всегда будет бесконечно много точек, представляющих дроби в данном интервале. Поскольку имеется бесконечно много точек, представляющих дроби всюду, куда ни посмотри, осознание того факта, что все их, без единого исключения, можно пересчитать, поместив в упорядоченный список, сбивает с толку.

И теперь главное. Это доказательство того, что имеется кардинальное число, большее ℵ₀. Сначала — назад в Гильбертов отель. На этот раз гостиница пуста, когда появляется бесконечное число людей, желающих поселиться. Но теперь путешественники приехали не в автобусах; они представляют собой толпу, причем каждый одет в футболку, надпись на которой представляет собой десятичное разложение некоторого числа, лежащего между 0 и 1. Ни у каких двух людей написанные на груди десятичные разложения не совпадают, и при этом использованы все десятичные разложения между 0 и 1. (Конечно, десятичные разложения бесконечно длинные, поэтому для их изображения требуются бесконечно широкие футболки, но, поскольку мы уже кое на что согласились, когда попытались представить себе гостиницу с бесконечным числом номеров, я полагаю, что в случае с футболками прошу не так уж и о многом.)

Некоторые из прибывших атакуют стойку регистрации, пытаясь выяснить, может ли гостиница их принять. Все, что для этого надо сделать администратору, — это найти способ составить список, в котором присутствовало бы каждое десятичное число между 0 и 1, поскольку, как только такой список будет составлен, расселение не составит труда. Задача не кажется нерешаемой — ведь, в конце концов, наш находчивый администратор однажды уже придумал, как организовать в список всех пассажиров из бесконечного числа автобусов, в каждом из которых было бесконечно много пассажиров. И тем не менее эта новая задача оказывается нерешаемой! Нет способа пересчитать все десятичные разложения между 0 и 1 таким образом, чтобы стало возможным внести все их в упорядоченный список. Дабы продемонстрировать это, я покажу, что для каждого бесконечного списка чисел, лежащих между 0 и 1, всегда найдется число между 0 и 1, которого в этом списке нет.

Вот как это делается. Вообразим себе, что первый из прибывших одет в футболку с разложением 0,6429657, второй — 0,0196012 и администратор отводит им номера 1 и 2. И пусть он так и продолжает назначать номера следующим, кто прибывает, в результате у него получается бесконечный список, начало которого выглядит следующим образом (не будем забывать еще, что разложения продолжаются до бесконечности):

Наша цель, как было сказано, состоит в том, чтобы предъявить десятичное разложение, лежащее между 0 и 1, которого нет в этом списке. Мы этого добьемся, используя следующий метод. Сначала построим число, первая десятичная цифра которого совпадает с первой десятичной цифрой из номера 1, вторая десятичная цифра — со второй из номера 2, третья — с третьей из номера 3 и т. д. Другими словами, мы выберем цифры, стоящие на диагонали. Для удобства мы их подчеркнем:

Полученное число такое: 0,6182811….

Мы почти у цели. Теперь, в качестве последнего действия, построим число, которого нет в списке администратора: изменим каждую цифру в только что полученном числе, прибавляя 1 к каждой цифре, так что 6 станет 7, 1 станет 2, 8 станет 9 и т. д.; в результате получится число

Это оно и есть! Это то самое десятичное разложение, не включенное в список, которое мы искали. Оно не может быть в списке администратора, потому что мы искусственно построили его таким, чтобы оно там не содержалось. Это не число из номера 1, потому что его первая цифра отлична от первой цифры числа из номера 1. Наше число — не из номера 2, потому что его вторая цифра отлична от второй цифры числа из номера 2, и т. д. — откуда видно, что наше число не может относиться ни к какому номеру n, потому что его n-я цифра непременно отлична от n-й цифры в разложении из номера n. Поэтому наше хитрое разложение 0,7293922… не может быть равным никакому из разложений, написанных на футболках путешественников, расселенных по номерам отеля, ведь всегда по крайней мере одна цифра из этого десятичного разложения будет отличаться от десятичного разложения, приписанного данному номеру. В списке вполне может оказаться число, первые семь десятичных цифр которого равны 0,7293922, и, однако же, оно будет отличаться от нашего специального числа по крайней мере одной цифрой где-то дальше в разложении. Другими словами, даже если администратор все дальше и дальше будет продолжать раздавать номера, он не сможет найти номер для путешественника, на котором надета футболка с придуманным нами числом, которое начинается как 0,7293922….

Я взял список, начинающийся с произвольных чисел 0,6429657… и 0,0196012…, но равным образом я мог бы рассмотреть список, начинающийся с любых других чисел. Для каждого списка, который можно создать, всегда удастся выписать, используя предложенный выше «диагональный» метод, такое число, которое в данном списке не присутствует. Пусть в Гильбертовом отеле бесконечное число номеров, но в нем нельзя расселить такое бесконечное число людей, которое определяется десятичными разложениями всех чисел между 0 и 1. Всегда кто-то останется на улице. Отель для этого просто недостаточно вместительный[72].

Сделанное Кантором открытие того, что имеется бесконечность большая, чем бесконечность натуральных чисел, было одним из величайших математических прорывов XIX столетия. Это сногсшибательный результат, и сила его не в последнюю очередь определяется тем, что его совсем несложно объяснить: некоторые бесконечности — счетные, и их размер равен ℵ₀, а некоторые бесконечности — не счетные, а потому большие. И эти несчетные бесконечности тоже могут иметь различные размеры.

Самая простая для понимания несчетная бесконечность называется с, она выражает число людей, прибывших в Гильбертов отель одетыми в футболки со всеми десятичными разложениями между 0 и 1. Подобно тому, что мы делали выше, поучительно интерпретировать с, глядя на числовую прямую. Каждый персонаж с десятичным разложением между 0 и 1 на футболке можно также понимать как точку на прямой, лежащую между 0 и 1. Символ с был исходно выбран потому, что он напоминает о слове «континуум» — непрерывном множестве точек на числовой прямой.

И здесь мы подошли к еще одному странному результату. Мы знаем, что имеется с точек, лежащих между 0 и 1, но при этом мы также знаем, что имеется ℵ₀ дробей на всей числовой прямой, взятой целиком. Поскольку мы доказали, что с превосходит ℵ₀, получается, что на отрезке прямой между 0 и 1 помещается больше точек, чем имеется точек, представляющих дроби на всей числовой прямой.

Кантор снова завел нас в мир, противоречащий интуиции. Дроби, хоть их и бесконечно много, ответственны только за очень малую, просто крохотную часть числовой прямой. Они рассыпаны там гораздо реже, чем числа того другого типа, которые в основном и составляют числовую прямую, — числа, которые нельзя выразить в виде обыкновенной дроби, то есть наши старые друзья — иррациональные числа. Оказывается, что иррациональные числа сидят на числовой прямой настолько плотно, что в любом конечном интервале их больше, чем дробей на всей числовой прямой.

Мы определили с как число точек на числовой прямой, заключенных в интервале между 0 и 1. Сколь много точек имеется между 0 и 2 или между 0 и 100? В точности c. На самом деле между любыми двумя точками на числовой прямой имеется ровно c точек, независимо от того, насколько далеко друг от друга располагаются выбранные концы. Но еще более поразительным является то, что совокупность точек на всей числовой прямой также есть c, что видно из следующего доказательства, проиллюстрированного на рисунке.

Наша цель — показать, что имеется взаимнооднозначное соответствие между точками, лежащими между 0 и 1, и точками на всей числовой прямой. Для этого найдем для каждой точки на числовой прямой пару из отрезка от 0 до 1. Сначала нарисуем полуокружность, висящую над этим отрезком. Эта полуокружность играет роль посредника в том плане, что она организует в пары точки, лежащие между 0 и 1, и точки на всей числовой прямой. Возьмем любую точку на числовой прямой, обозначенную буквой а, и проведем прямую линию из a к центру окружности. Эта прямая пересекает полуокружность в точке, которая единственным образом определяет расстояние между 0 и 1, обозначенное a', если провести прямую вертикально вниз до пересечения с числовой прямой. Организуем пару из каждой точки a и точки a', которая однозначно определяется для нее указанным выше способом. Когда выбранная точка а устремляется к плюс бесконечности, соответствующая точка между 0 и 1 приближается к 1, а когда выбранная точка устремляется к минус бесконечности, соответствующая точка приближается к 0. Если каждую точку на числовой прямой можно соединить в пару с единственной точкой, лежащей между 0 и 1, и наоборот, то, значит, число точек на числовой прямой равно числу точек, лежащих между 0 и 1.

Различие между ℵ₀ и c — это различие между числом точек на числовой прямой, представимых в виде дробей, и полным числом точек, включая дроби и иррациональные числа. Однако разрыв между ℵ₀ и c столь огромен, что если бы мы наугад выбирали точки на числовой прямой, то вероятность выбрать дробь была бы равна нулю. По сравнению с несчетной бесконечностью иррациональных чисел дробей, можно сказать, попросту очень мало.

С каким бы трудом идеи Кантора ни воспринимались поначалу, история реабилитировала его трактовку числа алеф; не только сам алеф прижился среди чисел практически повсеместно, но и зигзаговые и диагональные доказательства по всеобщему признанию были провозглашены наиболее яркими во всей математике. Давид Гильберт заявил, что «никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

К несчастью для Кантора, этот рай стоил ему дорого — он заплатил за него своим душевным здоровьем. Поправившись после первого срыва, ученый стал уделять больше внимания другим предметам, таким как теология и история эпохи Елизаветы, и пришел к убеждению, что автором пьес Уильяма Шекспира на самом деле был ученый Фрэнсис Бэкон. Доказательство этой гипотезы стало для Кантора личным крестовым походом, идеей фикс, определявшей его все более странное поведение. В 1911 году Кантора пригласили в Университет Сент-Эндрюс прочитать лекцию по математике. Представ перед публикой, он с жаром принялся обсуждать свои теории о Шекспире и Бэконе, чем немало смутил собравшихся, ожидавших услышать о последних достижениях математической мысли. Кантор испытал еще несколько тяжелых приступов депрессии и много времени проводил в больнице. Умер выдающийся математик в 1918 году.

Набожный лютеранин, Кантор вел широкую переписку с духовными лицами по поводу значимости своих результатов. Он полагал, что его подход к бесконечности продемонстрировал ее постигаемость человеческим разумом, а поэтому подвел человека ближе к Богу. Среди предков Кантора были и евреи, что, как полагают многие, повлияло на его выбор буквы алеф в качестве символа для бесконечности: великий математик мог знать, что в мистической еврейской традиции Каббалы алеф обозначает высшее проявление Бога. Сам же Кантор говорил, что гордится своим выбором алефа, поскольку эта буква, первая буква древнееврейского алфавита, — очень подходящий символ для нового начала.

Алеф годится и для завершения нашего путешествия в мир математики. Эта наука, как я писал в начальных главах этой книги, возникла из стремления человека придать смысл тому, что его окружает. Делая насечки на стволах деревьев или считая на пальцах, наши далекие предки изобрели числа. Числа помогали и в земледелии, и в торговле, они открыли человечеству дверь в «цивилизацию». Затем, по мере развития математики, предметом ее стали в меньшей степени реальные вещи, а в большей — абстракции. Греки ввели в обиход такие концепции, как точка и линия, а индусы изобрели нуль и тем самым проложили дорогу к еще более радикальным абстракциям — отрицательным числам. Хотя эти концепции казались сначала идущими вразрез с интуицией, они довольно быстро были приняты, и ныне мы пользуемся ими ежедневно. К концу XIX столетия, однако, пуповина, связывающая математику с непосредственным опытом, была разорвана раз и навсегда. После Римана и Кантора она потеряла какую-либо связь с интуитивным восприятием мира.

Обнаружив кардинальное число ℵ₀, Кантор не остановился и доказал, что имеются даже еще большие бесконечности. Как мы видели, c — это число точек на прямой. Оно же есть число точек на двумерной поверхности. (Еще один удивительный результат, который вам придется принять с моих слов на веру.) Пусть d — число всевозможных кривых, линий и загогулин, которые можно нарисовать на двумерной поверхности. Используя теорию множеств, можно доказать, что d больше, чем с. Можно двинуться и дальше — показать, что должна иметься бесконечность еще бо́льшая, чем d Никто, впрочем, не смог предъявить множество вещей, кардинальное число которого было бы больше, чем d.

Кантор увел нас далеко за пределы вообразимого. Это довольно чудесное место и, занятным образом, противоположное тому, в котором пребывает племя в бассейне Амазонки, о котором говорилось в начале книги. У мундуруку много вещей, но не хватает чисел, чтобы их пересчитать. Кантор предоставил нам числа в неограниченном избытке, зато теперь у нас не хватает вещей, которые можно было пересчитывать с их помощью.