Алекс в стране чисел

Глава 3 Кое-что про ничто

Каждый год в расположенный на побережье индийский город Пури стекается миллион паломников. Собираются они ради самого зрелищного фестиваля в индуистском календаре — Рат Ятра («парад колесниц»), во время которого по городу проезжают три гигантские разукрашенные колесницы. Когда я туда приехал, улицы были заполнены любителями цимбал и мантр, босоногими святыми людьми с длинными бородами, а также индийскими туристами — типичными представителями среднего класса, одетыми в модные футболки и сари неоновых цветов. Была середина лета — начало сезона дождей, и, если не лил проливной дождь, работники фестиваля опрыскивали водой лица проходивших мимо, чтобы дать немного прохлады. Хоть и не столь масштабные, процессии фестиваля Рат Ятры проходят одновременно по всей Индии, но праздник в Пури — главное событие, а участвующие в нем колесницы — самые большие.

Фестиваль начинается по-настоящему, только когда местный святой — Шанкарачарья из Пури — предстает перед толпой и благословляет собравшихся. Шанкарачарья — один из самых важных индуистских мудрецов, глава монашеского ордена, корни которого уходят в историю более чем на тысячу лет. Из-за него-то я и отправился в Пури. Он — не только духовный лидер, но и публикующий свои работы математик.

Сразу по прибытии в Индию я обратил внимание на не совсем обычное использование числительных. В гостинице, где я остановился, мне попался номер газеты «Times of India», и я прочел крупный заголовок на первой странице:

«Крор» — индо-английское слово, означающее 10 миллионов, так что в газетной статье говорилось о том, что в Индии внезапно обнаружилось 50 миллионов жителей, о существовании которых никто никогда не подозревал. Как можно не заметить столько граждан своей страны, даже если принять во внимание, что это менее 5 процентов всего населения? Но что озадачило меня гораздо больше — так это само слово «крор». В индийском английском языке для больших чисел используются иные слова, нежели в британском или американском английском. Например, слово «миллион» вообще не применяется. Миллион выражается как «десять лакх», где «лакх» — это сто тысяч. Поскольку о «миллионе» в Индии никогда не слышали, осыпанный «Оскарами» фильм «Миллионер из трущоб» вышел здесь под названием «Кроранер из трущоб». Очень богатым человеком считается владелец крора долларов или рупий, — а вовсе не миллиона указанных единиц. Индийские эквиваленты названий чисел таковы:

Стоит заметить, что для чисел выше тысячи индийцы используют разделительную запятую после каждых двух цифр, тогда как во всем остальном мире, где используется разделительная запятая, принято ставить ее через каждые три цифры.

Слова «лакх» и «крор» — наследие Древней Индии. Они происходят из слов «лакх» и «карод» (хинди), которые, в свою очередь, происходят из санскритских названий этих чисел — «лакш» и «коти». В Древней Индии изобретение слов для больших чисел было научным и религиозным предприятием. Например, в «Латисвара Сутра» — тексте на санскрите, датируемом самое позднее началом VI столетия, — перед Буддой встает проблема выразить числа большие чем сто «коти». На что он говорит:

«Одна сотня „коти“ называется „аюта“, сотня „ают“ дает „пиюту“, сотня „пиют“ дает „канкару“, сотня „канкар“ дает „вивару“, а сотня „вивар“ — это „кшобхья“».

Будда продолжает счет числами, кратными ста, пока не добирается до «таллакшана», что есть десять миллионов, умноженные на сто 23 раза, — как можно видеть, это 10, за которым следуют 53 нуля, или, другими словами, 10⁵³. Это колоссально большое число — настолько большое, что если измерить всю Вселенную от края до края в метрах, а потом возвести полученное число в квадрат, то получится как раз нечто в районе 10⁵³.

Но Будда на этом не остановился. Он разъяснил, что описал только лишь счетную систему таллакшана, и выше нее имеется другая система, в которой такое же количество членов. А выше той — еще одна, и в ней снова 24 названия для чисел. Но и это еще не все — кроме них есть еще шесть других систем, каковые Будда, разумеется, полностью перечислил. Последнее число в самой последней системе эквивалентно 10⁴²¹ — это единица с 421 нулем.

Пожалуй, стоит перевести дух и оглядеться. Во Вселенной, по имеющимся оценкам, примерно 10⁸⁰ атомов. Если взять наименьший из измеримых отрезков времени — так называемое планковское время — настолько малых, что в секунде их насчитывается 10⁴³, то окажется, что с момента Большого взрыва прошло «всего лишь» 10¹⁴⁰ таких отрезков времени, что во много (во много!!!) раз меньше, чем 10⁴²¹. Упомянутые Буддой большие числа лишены практического применения — по крайней мере, в отношении пересчета того, что существует в нашем мире.

Будда не только оказался способен измерить непредставимо большое, но и с неменьшим блеском прошелся по области непредставимо малого, дав объяснение того, сколь много атомов имеется в йоджане — древней единице длины порядка 10 километров. Йоджана, заметил он, имеет следующие эквиваленты:

На самом деле получается довольно неплохая оценка. Пусть, скажем, длина пальца — 4 сантиметра. «Первые атомы» Будды, таким образом, имеют длину 4 сантиметра, деленную на 7 десять раз, что составляет 0,04 м × 7^-10, или 0,000000000416 м, что более или менее соответствует размеру атома углерода.

Будда никоим образом не был единственным древним индийцем, который интересовался невероятно большим и невообразимо малым; литература на санскрите полна астрономически больших чисел. Некоторые из них использовались для нужд астрономии — науки, развитой в Индии в совершенстве, — но не все. Последователи джайнизма (религии, близкой индуизму) ввели единицу «раджа» как расстояние, которое бог проходит за шесть месяцев, если преодолевает 100 000 йоджан за каждое мигание глаза. Время, называемое «палья», определялось как продолжительность, необходимая для опустошения гигантского куба, имеющего размер йоджаны и заполненного шерстью новорожденных ягнят, если одна шерстинка вынимается из него раз в столетие. Зацикленность на больших (и малых) числах была в основе своей метафизической — некоторым интуитивным способом осознания бесконечного и попыткой разрешить экзистенциальные проблемы жизни.

Прежде чем арабские числительные получили всеобщее международное признание, люди изобрели много других способов записи чисел. Первыми обозначениями для чисел, появившимися на Западе, были зарубки, клинописные знаки и иероглифы. Когда люди, говорившие на разных языках, развили свои собственные алфавиты, для представления чисел стали использовать буквы. Говорившие на иврите евреи использовали букву алеф (א) для обозначения 1, бет (ב) для обозначения 2 и т. д. Десятая буква — йод (י) — обозначала 10, после чего численные значения букв шли через десяток, а по достижении 100 — через сотни. Двадцать вторая, и последняя, буква древнееврейского алфавита — тав (ת) — имела значение 400. Использование букв для обозначения чисел не было лишено некоторой путаницы, а кроме того, способствовало развитию нумерологического подхода к счету. Например, гематриа заключалась в сложении чисел, выражаемых буквами в словах на иврите. Получившееся значение воспринималось как проявление боговдохновения и становилось основой для пророчеств.

Похожую систему использовали и древние греки — у них альфа (α) обозначала единицу, бета (β) — двойку и т. д. до 27-й буквы имевшегося в их распоряжении алфавита, сампи (ϡ), которая обозначала число 900. Греческой математической культуре — самой развитой в Древнем мире — не была свойственна жажда индусов к овладению колоссальными числами. Названием для самого большого из чисел, имевшихся в распоряжении древних греков, было слово «мириада», означавшее десять тысяч, что записывалось как заглавная буква М.

В основе римских числительных также лежал алфавит, хотя римская система имела более древние корни, чем даже греческая или еврейская. Символ для единицы выглядел как I — возможно, происходил он из засечки на счетной палочке. Пять обозначалось как V — возможно, из-за схожести с тем, как выглядит рука. Другие числа выглядели как X, L, С, D, M и соответственно обозначали 10, 50, 100, 500, 1000. Все остальные числа строились с использованием этих семи заглавных букв. Использование всего лишь семи символов в сравнении с 22 из иврита и 27 из греческого алфавита делало римскую систему более удобной, вот почему она оставалась основной числовой системой в Европе на протяжении более тысячи лет.

Тем не менее римские числительные очень плохо приспособлены к нуждам арифметики. Давайте попробуем вычислить 57 × 43. Лучшим способом решить эту задачу является хитроумный, но медленный метод, получивший название египетского или крестьянского умножения, поскольку возник он в Древнем Египте.

Для начала разложим одно из чисел, подлежащих умножению, по степеням двойки (эти степени, напомним, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д., где каждый раз происходит удвоение), а затем составим таблицу удвоений другого числа. В нашем примере — (57 × 43) — надо разложить число 57 и выписать таблицу удвоений числа 43. Я буду использовать арабские числительные, чтобы продемонстрировать, как это делается, но процесс остается тем же самым и при использовании римских числительных.

Умножение 57 × 43 эквивалентно сложению результатов из правого столбца в таблице удвоений, которые отвечают степеням двойки в разложении. Это, возможно, звучит не слишком понятно, но в действительности оказывается не так уж сложно. Наше разложение содержит в себе числа 32, 16, 8 и 1. В таблице 32 отвечает числу 1376, 16 — числу 688, 8 — числу 344, а 1 — числу 43. Таким образом, результат нашего умножения равен 1376 + 688 + 344 + 43, что дает 2451.

Если разбивать вычисления на удобоваримые кусочки, сводящиеся только к удвоению и сложению, то римские числительные оказываются вещью вполне пригодной. И тем не менее нам пришлось выполнить работы куда больше, чем это на самом деле нужно.

Сравним приведенное вычисление с умножением столбиком, которое все мы изучали:

Имеется очень простая причина, по которой наш метод и проще, и быстрее. Дело в том, что ни римляне, ни греки, ни евреи не изобрели символа для нуля. А когда дело доходит до вычислений, то именно 0, то есть ничто, становится невероятно важным и меняет все кардинальным образом.

Веды, священные индуистские тексты, передавались из поколения в поколение из уст в уста, пока наконец их не перевели на санскрит около двух тысяч лет назад. В одном ведическом пассаже о построении алтарей перечисляются следующие слова, обозначающие числа:

При наличии названий для каждого числа, кратного десяти, удается эффективно описать большие числа, из чего астрономы и астрологи (и, надо полагать, строители алтарей) почерпнули подходящий к своим задачам лексикон для огромных величин, требуемых в их вычислениях. В этом одна из причин, по которым индийская астрономия опережала свое время. Возьмем число 422 396. Индусы начинали с самой младшей цифры — той, что справа, — и последовательно описывали число, переходя справа налево: «шесть и девять дасы и три сахастры и две аюты и две ньюты и четыре праюты». Не так уж сложно осознать, что при этом можно не указывать степени десятки, потому что значение числа в списке определяется его положением. Другими словами, приведенное выше число можно было бы записать и просто как «шесть, девять, три, два, два, четыре».

Исчисление такого типа известно как «позиционная» система, и мы рассматривали ее выше. Бусинка на абаке имеет различные значения в зависимости от того, к какому столбцу она относится. Подобным же образом каждое число в приведенном выше списке имеет значение в зависимости от своей позиции. Но при этом позиционная система требует какой-то идеи для «заполнения места» в том случае, когда в данном столбце или в данной позиции никакого числа нет. Например, если в числе имеется две дасы, ни одной саты и три сахастры, то его нельзя записать как «два, три», потому что такая запись указывает на число, в котором две дасы и три саты. Заполнитель места требуется для того, чтобы ясно сигнализировать отсутствие саты, и индусы использовали для этого слово «шунья», означавшее «пустота». Наше число поэтому есть «два, шунья, три».

Индусы были не первыми, кто ввел в обиход заполнитель места. Честь этого изобретения, судя по всему, принадлежит вавилонянам, которые записывали свои числовые символы в столбцы, применяя систему с основанием 60. Одна колонна отводилась для единиц, вторая — для «шестидесяток», следующая — для чисел, кратных 3600, и т. д. Если в числе не было значения, соответствующего заданному столбцу, то изначально там не писали ничего. Но это приводило к путанице, так что в конце концов вавилоняне ввели символ, обозначавший отсутствие значения. Правда, этот символ использовался только как элемент разметки.

Индусы же, приняв шунью за заполнитель места, на этом не остановились, а, наоборот, повысили его в ранг полноценного числа — нуля. В наши дни нет ничего сложного в том, чтобы воспринимать нуль как число. Но на самом деле эта идея далеко не очевидна. Западные цивилизации, например, так и не пришли ни к чему подобному даже за тысячи лет математических изысканий. Действительный масштаб концептуального скачка, совершенного в Индии, хорошо иллюстрируется тем фактом, что Древний мир, имея нуль перед своим носом, глядел прямо сквозь него. Абак содержал в себе концепцию нуля уже потому, что он опирался на позиционную идею. Когда римлянин желал выразить число «одна сотня и один», он передвигал бусинку в первом столбце для обозначения одной сотни, не передвигал ничего во втором столбце, что означало отсутствие десятков, и передвигал бусинку в третьем столбце, чтобы указать просто единицу. Второй, оставленный в покое столбец выражал «ничто». Вычислители на абаке знали, что к нетронутым столбцам надо относиться с тем же вниманием, что и к тем, в котором бусинки меняли положения. Но никто из них не снабдил числовым именем или символом значение, которое выражалось нетронутым столбцом.

Свои первые робкие шаги в роли полноправного числа нуль проделал под покровительством знаменитого индийского математика Брахмагупты, жившего в VII веке. Именно Брахмагупта показал, как шунья ведет себя по отношению к своим числовым братьям и сестрам. «Данное число минус шунья дает данное число», — писал он, понимая под этим, что если из положительного числа вычесть нуль, то получится то же самое положительное число: а - 0 = а. А если умножить шунью на любое число, то получится шунья — другими словами, 0 × а = 0.

Числа исходно возникли как средство счета, как абстракции, описывающие количества. Но нуль не был числом для счета в том же смысле; понимание его значения потребовало более высокого уровня абстракции. Однако чем меньше математика оказывалась привязанной к реальным вещам, тем более мощной она становилась. Обращение с нулем как с числом означало, что позиционную систему, превратившую абак в наилучший способ вычисления, прекрасно можно использовать и для записи символов. Но это не все — нуль сделал возможным появление таких понятий, как отрицательные числа и десятичные дроби, — понятий, которые мы ныне без труда постигаем в школе и которые глубоко внедрены в нашу повседневную жизнь, но ведь они вовсе не являются самоочевидными. Древние греки сумели совершить фантастические математические открытия без использования нуля, отрицательных чисел или десятичных дробей — потому что полагались на существенно пространственное понимание математики. Им представлялось бессмыслицей, что ничто может быть «чем-то». Пифагору вообразить отрицательное число было столь же трудно, как отрицательный треугольник.

Среди всех новаторских способов обращения с числами в Древней Индии самым, пожалуй, занятным был лексикон, применявшийся для описания чисел от нуля до девяти. Вместо того чтобы закрепить за каждой цифрой уникальное имя, они применяли колоритный набор синонимов. Нуль, как мы уже знаем, назывался шинья, но еще и «эфиром», «точкой», «дырой» или «змеем вечности». Единица — «землей», «луной», «путеводной звездой» или «свернувшимся молоком». Двойка выступала под названием «рука», тройка была «огнем», а четверка — «вульвой». То или иное имя выбиралось в зависимости от контекста и следовало принятым в санскрите строгим правилам версификации и просодии. Например, следующий стих представляет собой отрывок из описания манипуляций с числами в одном древнем астрологическом тексте:

Перевод таков:

На первый взгляд использование витиеватых альтернативных названий для каждого числа может показаться бесполезным, но на самом деле оно совершенно осмысленно. В те периоды в истории, когда рукописи были недолговечны и легко портились, астрономам и астрологам требовался способ резервного хранения данных для точной передачи чисел. Последовательности цифр легче запомнить, если они описаны в стихах с использованием разнообразных имен, нежели когда при их записи используется набор безликих, похожих друг на друга обозначений.

Другая причина, по которой числа передавались изустно, состояла в том, что имена числительные, возникавшие в различных районах Индии для чисел от одного до девяти (к нулю мы вернемся чуть позже), были разными. Два человека из разных районов и использующие разные числительные, могли говорить о числах и понимать друг друга, произнося слова, обозначавшие числа. К 500 году в Индии, однако, установилось определенное единство в использовании числительных и были узаконены три основных элемента, которые составляют современную десятичную числовую систему: десять цифр, зависимость значения от позиции, а также — к всеобщей радости — нуль.

Из-за простоты использования индийский метод быстро распространился по Ближнему Востоку и прочно утвердился в исламском мире, вот почему эта система приобрела известность под неправильным названием арабской. Далее метод проник в Европу благодаря предприимчивому итальянцу Леонардо Фибоначчи (Фибоначчи на итальянском языке означает «сын Боначчи»). Фибоначчи впервые познакомился с индийскими числительными еще в детстве, в городе Буджия (теперь это алжирский город), где его отец работал на Пизанской таможне. Осознав, что эта система намного превосходит римскую, Фибоначчи написал книгу о десятичной позиционной системе и опубликовал ее в 1202 году под названием «Liber Abaci». Книга начинается с хорошей новости:

Знакомством с индийской системой Запад во многом обязан именно «Liber Abaci» — гораздо больше, чем какой бы то ни было другой книге. В своем труде Фибоначчи описал, как можно умножать и делить, используя значительно более быстрые и элегантные методы, чем те, что были до того известны европейцам. В наши дни основы арифметики с использованием арабских числительных могут показаться безотрадно скучными, но в начале XIII века они воспринимались как настоящее чудо.

Впрочем, не все сразу согласились сменить привычки. Во-первых, профессиональные вычислители на абаке ощущали угрозу, исходящую от более простого метода, а во-вторых, время для публикации книги оказалось не очень удачным: «Liber Abaci» вышла в период Крестовых походов, и церковь испытывала понятную подозрительность ко всему, что имело арабскую, исламскую, подоплеку. Некоторые даже усмотрели в новой арифметике дело рук дьявола — причем как раз по причине ее гениальной изобретательности. Страх перед арабскими числительными проявился и в этимологии некоторых современных слов. Из зефира возник «зеро», то есть нуль, но кроме того и португальское «chifre», означающее рога [дьявола], а также английское слово «cipher» — шифр, код. Некоторые ученые видят причину этого в том, что с числами, включающими «зефир», работали втайне, вопреки воле церкви.

В 1299 году во Флоренции арабские числительные были запрещены, потому что, как утверждалось, плавно написанные арабские символы легче подделать, чем ясные и выразительные римские V и I. Из 0 можно сделать 6 или 9, а 1 ничего не стоит преобразовать в 7. Как следствие, римские числительные окончательно ушли со сцены лишь примерно в конце XV века. Отметим, что для утверждения отрицательных чисел потребовалось гораздо больше времени — это произошло лишь в XV столетии, — поскольку многие были уверены, что они используются при вычислениях незаконных денежных ссуд или при ростовщических сделках, считавшихся святотатственными.

С принятием арабских чисел арифметика смогла соединиться с геометрией и превратиться из инструмента лавочников в настоящий составной элемент западноевропейской математики. И тем самым открыла путь, ведущий к научной революции.

Еще один, менее далекий по времени, вклад Индии в мир чисел — это арифметические приемы, собрание которых известно как ведическая математика. Их открыл в начале XX века молодой свами[21] — Бхарати Кришна Тиртха[22]. Он утверждал, что обнаружил их в Ведах. (Как бы вы реагировали, если бы некий священник заявил, что нашел в Библии метод решения квадратных уравнений?) Ведическая математика основана на следующем списке из 16 коротких изречений, или сутр, которые, согласно Тиртхе, не прописаны где бы то ни было в Ведах в явном виде, но извлекаются оттуда «с помощью интуитивного озарения»:

Всерьез ли это писалось? Да, и абсолютно всерьез. Тиртха был одним из наиболее уважаемых мудрецов своего поколения. В детстве он был вундеркиндом и к двадцати годам изучил санскрит, философию, английский язык, математику, историю и естественные науки, кроме того, стал талантливым оратором. Уже в самом начале своей взрослой жизни он понял, что ему предназначено судьбой занять видное положение в религиозных кругах Индии. Действительно, в 1925 году Тиртха был признан воплощением Шанкарачарьи и получил в свое ведение основанный древним святым, имеющий национальное значение монастырь в Пури, Орисса, на берегу Бенгальского залива. Этот пост — один из самых высокопоставленных в традиционном индуистском обществе. Как раз в Пури — центр фестиваля колесниц Рат Ятра — я и приехал, надеясь встретить там Шанкарачарью, официального главу ведической математики.

В 1930-х и 1940-х годах, исполняя роль Шанкарачарьи, Тиртха регулярно путешествовал по Индии — читал проповеди перед десятками тысяч людей и раздавал духовные наставления, но кроме того еще и пропагандировал свой новый способ вычислений. Те 16 сутр, учил он, следовало использовать так, как если бы они были математическими формулами. Хотя некоторые из них и могут показаться не слишком внятными, подобно названиям глав в книге для инженеров или нумерологическим мантрам, на самом деле они указывают на ясные правила. Одно из самых простых и понятных — правило номер два: «Все из 9 и последнее из 10». Его надо применять всякий раз, когда производится вычитание числа из степени десятки, например, 1000. Если я желаю вычислить, скажем, 1000 - 456, то я буду вычитать 4 из 9, 5 из 9 и 6 из 10: другими словами, первые два числа из 9, а последнее из 10. Ответ равен 544. (Остальные сутры предназначены для применения в других ситуациях, часть из которых мы рассмотрим ниже.)

Тиртха пропагандировал ведическую математику в качестве дара, который он бескорыстно преподносил своему народу. Тиртха утверждал, что математику, изучаемую в школе примерно 15 лет, можно выучить всего за восемь месяцев — нужно только использовать его сутры. Более того, он утверждал, что его систему можно распространить не только на арифметику, но и на алгебру, геометрию, математический анализ и астрономию. Благодаря моральному авторитету Тиртхи, его харизме и ораторскому таланту люди его просто обожали. На широкую публику, писал он, ведическая математика «произвела колоссальное впечатление, мало того — она вызывала трепет, изумляла и ошеломляла!». Для тех, кто спрашивал, является ли его метод математикой или магией, у него был готовый ответ: «Тут и то и другое. Магия, до тех пор, пока ты ее не понял, и математика, как только это случится».

В 1958 году, в уже весьма почтенном возрасте, Тиртха посетил Соединенные Штаты, что вызвало большую полемику — индуистским духовным лидерам не разрешалось покидать страну, и то был первый раз, когда какой бы то ни было Шанкарачарья выезжал за пределы Индии. Его поездка вызвала колоссальное любопытство в Соединенных Штатах, и, когда Тиртха добрался до Калифорнии, газета «Los Angeles Times» назвала его «одним из самых значительных — и наименее известных — людей в мире».

Программа пребывания Тиртхи была плотно забита лекциями и выступлениями на телевидении. Как правило, он говорил о мире во всем мире, однако одну лекцию он полностью посвятил ведической математике. Местом действия был Калифорнийский технологический институт, знаменитый Калтех — одно из самых престижных научных учреждений в мире. Тиртха, весивший не более пятидесяти килограммов, в традиционных одеяниях, торжественно уселся в кресло перед слушателями и тихим голосом, в котором, однако, слышались командные нотки, заговорил: «С самого детства я в равной степени увлекался как метафизикой, так и математикой. И не нахожу в этом ничего сложного».

Тиртха начал с того, что показал, как умножить 9 × 8 без использования таблицы умножения. Для этого надо воспользоваться сутрой «Все из 9 и последнее из 10», хотя лишь задним числом становится ясно почему.

Сначала он написал мелом на доске цифру 9, а за ней — разность между 9 из 10, составляющую -1. Ниже он написал цифру 8, а затем — разность между 8 и 10, составляющую -2:

Первую цифру ответа можно получить четырьмя различными способами: сложить числа в первом столбце и вычесть десять (9 + 8 - 10 = 7);

сложить числа во втором столбце и прибавить десять (-1 - 2 + 10 = 7);

сложить числа, стоящие на любой из диагоналей (9 - 2 = 7 или 8 - 1 = 7). В результате неизменно получается семь:

Вторая цифра ответа вычисляется путем перемножения двух чисел во втором столбце: (-1) × (-2) = 2. Окончательный ответ равен 72:

меня этот трюк вызывает чувство глубочайшего удовлетворения. Запись однозначного числа рядом с числом, выражающим его отличие от десяти, до некоторой степени подобна разборке данного числа на части с целью увидеть его внутреннее содержание, выявить его эго и альтерэго. Таким путем достигается более глубокое понимание поведения чисел. Пример типа 9 × 8, конечно, совершенно обыденный, но стоит только копнуть поглубже, как неожиданно проступят изящество и порядок. Данный метод работает не только для 9 × 8, но и для любой пары чисел. Тиртха далее написал мелом другой пример, 8 × 7:

Как и раньше, первую цифру ответа можно получить любым из четырех способов: 8 + 7 - 10 = 5, или -2 - 3 + 10 = 5, или 8 - 3 = 5, или же 7 - 2 = 5. Вторая цифра есть произведение цифр во втором столбце: (-2) × (-3) = 6. Ответ равен 56.

Способ, которым действует Тиртха, сводит умножение двух однозначных чисел к сложению и умножению разниц между исходными числами и числом десять. Другими словами, умножение двух однозначных чисел больше пяти сводится к некоторому сложению и умножению двух чисел меньше пяти. А это означает, что можно умножать на шесть, семь, восемь и девять без обращения к верхней (выше пятерки) части таблицы умножения. Это полезно для тех, кому запоминание таблицы умножения дается с трудом.

Этот метод по сути подобен вычислению на пальцах, который использовался в Европе по крайней мере с эпохи Возрождения и применялся во французских и российских деревнях чуть ли не до конца 1950-х годов. На каждой руке пальцам приписаны числа от 6 до 10. Чтобы перемножить два числа, скажем 8 и 7, соединим палец 8 с пальцем 7. Число цифр выше соединенных пальцев с одной стороны вычитаем из числа, соответствующего соединенному пальцу с другой стороны (или 7 - 2, или 8 - 3), что дает 5. Число цифр выше соединенных пальцев с каждой из сторон — 2 и 3 — затем перемножается, что дает 6. Ответ, как и раньше, равен 56.

Далее в своем выступлении Тиртха продемонстрировал, что данный метод работает и для умножения двузначных чисел, на примере 77 × 97. Он записал на доске:

Затем, вместо того чтобы выписывать разницу между числами 77 и 10, он записал отличие каждого из чисел от 100 (здесь-то и вступает в игру вторая сутра: когда мы вычитаем число из 100 или из любой большей степени числа 10, все цифры числа вычитаются из 9, кроме самой последней, которая вычитается из 10):

Как и прежде, для получения первой части ответа имеются четыре возможности. Тиртха выбрал два диагональных сложения: 77 - 3 = 97 - 23 = 74:

Вторая часть ответа получается, если перемножить обе цифры в правом столбце столбце: (-23) × (-3) = 69:

Ответ равен 7469.

«С помощью этих формул уравнения существенно упрощаются», — отметил Тиртха. Это высказывание искренне порадовало аудиторию. Хотя смех могла вызвать просто некоторая абсурдность ситуации, когда почтенный гуру в балахоне обучает основам арифметики самых способных студентов-математиков в Соединенных Штатах. А может, показанные Тиртхой арифметические фокусы и правда развеселили слушателей. Арабские числительные — это кладезь скрытых структур, даже на таком простом уровне, как перемножение двух однозначных чисел.

Далее Тиртха перешел к способам возведения в квадрат, деления, а затем — к алгебре. Аудитория, судя по всему, откликнулась с энтузиазмом. Когда лекция закончилась, один из слушателей спросил сидевшего рядом приятеля: «Ну как тебе?» На что тот ответил: «Просто обалдеть!»

Вернувшись в Индию, Тиртха получил приказ явиться в священный город Варанаси, где специальный совет индуистских старейшин обсудил совершенное им нарушение протокола — выезд за пределы страны. Было решено, что его поездка — первый и последний раз, когда какому бы то ни было Шанкарачарье было дозволено отправиться за рубеж; Тиртхе же после предписывалось пройти через очистительный ритуал — на тот случай, если во время своих путешествий он все же вкусил неиндуистской пищи. Через два года он скончался.

В гостинице в Пури, где я остановился, я встретил двух ярых поборников ведической математики и узнал от них много нового. Один из них — Кеннет Уильямс, 62-летний бывший преподаватель математики из Южной Шотландии — написал несколько книг на эту тему. «Этот метод так прекрасно изложен и выстроен в такую ясную систему, — сказал он мне. — Когда я впервые узнал о нем, я подумал — именно такой и должна быть математика». Уильямс — невзрачный, молчаливый человек, со лбом мыслителя, с аккуратной, тронутой сединой бородкой и голубыми глазами, прикрытыми тяжелыми веками. Вторым энтузиастом ведической математики был гораздо более разговорчивый Горав Текривал — 29-летний брокер из Калькутты, в безупречной белой рубашке и с темными очками от Армани. Текривал — президент Ведического математического форума Индии. Эта организация имеет свой веб-сайт, организует лекции и продает DVD.

Текривал помог мне добиться аудиенции у Шанкарачарьи. Естественно, он и Уильямс пожелали составить мне компанию. Мы наняли моторикшу и отравились в путь в Говардхан-Мат — название места звучало многообещающе в смысле математики, но, увы, не имело к ней никакого отношения и обозначало монастырь или храм. Мы ехали по небольшим улочкам, вдоль которых протянулись ряды торговых палаток, где продают еду и узорчатые шелковые ткани. Монастырь Мат представляет собой простое здание из кирпича и бетона размером с небольшую сельскую церковь. Оно окружено пальмами и садом с песчаной почвой, где выращивают базилик, алоэ и манго. Во внутреннем дворике растет баньян, ствол которого украшен оранжево-желтой тканью. Считается, что под этим деревом сидел и медитировал Шанкара — основатель этого ордена, индуистский мудрец, живший в VIII веке. Единственный современный элемент здания — сияюще-черный фасад второго этажа: покои Шанкарачарьи сделали пуленепробиваемыми после того, как в адрес монастыря прозвучали угрозы со стороны мусульманских террористов.

Нынешний Шанкарачарья из Пури — Нисчалананда Сарасвати, унаследовавший свой сан от преемника Тиртхи. Сарасвати гордится математическим наследием Тиртхи и уже опубликовал пять книг о ведическом подходе к числам и вычислениям. Нас встретили и препроводили в комнату, которую Шанкарачарья использует для аудиенций. Она была обставлена довольно скромно — мы увидели старинный диван с обивкой глубокого красного цвета и стоящее перед ним низкое кресло с большим сиденьем и деревянной спинкой, покрытое красным платком. То был трон Шанкарачарьи. Ожидая прибытия святого мудреца, мы уселись на полу лицом к креслу.

Наконец Сарасвати, облаченный в бледно-розовые одежды, вошел в комнату. Затем его старший ученик прочитал стихи религиозного содержания, после чего Сарасвати сложил руки для молитвы и обратился к изображению Шанкары на задней стене. Усевшись наконец на своем троне — в позе полулотоса, — он придал своему лицу подобающее выражение, нечто среднее между безоблачностью и печалью. Перед началом церемонии стоявший передо мной человек в синих одеждах бросился на пол и растянулся перед троном, раскинув руки. Раздраженно охая и вздыхая — ни дать ни взять рассерженный дедуля, — Шанкарачарья без лишних церемоний велел его выпроводить.

Религиозные традиции требуют, чтобы Шанкарачарья изъяснялся на хинди, поэтому я попросил старшего ученика быть моим переводчиком. Первый вопрос, который я задал, звучал так: «Какова связь между математикой и духовностью?» Через несколько минут последовал ответ: «По моему мнению, создание, существование и уничтожение всей нашей Вселенной всегда происходят в математических формах. Мы не делаем различия между математикой и духовностью. Мы воспринимаем математику как первоисточник индийских философских учений».

Затем Сарасвати рассказал историю о том, как однажды в лесу встретились два правителя. И вот первый правитель сказал второму, что ему достаточно лишь раз взглянуть на дерево, чтобы сказать, сколько на нем листьев, а затем произнес число. Второй правитель не поверил ему и принялся, срывая листья с дерева, пересчитывать их по одному. Закончив счет, он получил число — то самое, которое сообщил ему первый правитель. Сарасвати заметил, что эта история свидетельствует о том, что у древних индийцев была способность пересчитывать много объектов, просто рассматривая их как целое, вместо того чтобы перебирать их один за другим. Это и многие другие навыки той эпохи, добавил он, ныне утеряны. «Все эти потерянные знания можно восстановить с помощью серьезного созерцания, серьезной медитации и серьезных усилий», — сказал он. Процесс изучения древних писаний с целью спасения древнего знания, добавил он, — это именно то, что Тиртха делал с математикой.

В течение всей аудиенции в комнате присутствовало около двух десятков людей — они хранили молчание, пока Шанкарачарья говорил. Ближе к концу церемонии один человек среднего возраста — как выяснилось, консультант по программному обеспечению из Бангалора — задал вопрос о значении числа 10⁶². Это число присутствует в Ведах, сказал он, а потому должно что-нибудь означать. Шанкарачарья согласился с ним. И далее началась дискуссия по поводу того, что индийское правительство пренебрегает наследием страны. Шанкарачарья посетовал, что тратит большую часть своего времени и сил на защиту традиционной культуры, в связи с чем ему не удается уделять достаточно времени математике. В тот год он посвятил ей всего пятнадцать дней…

На следующий день за завтраком я спросил вчерашнего компьютерного консультанта, чем вызван его интерес к числу 10⁶², и он прочел мне целую лекцию о научных достижениях Древней Индии. Тысячи лет назад, сказал он, индийцы знали о мире гораздо больше, чем известно сейчас. Он упомянул о том, что они могли летать на аэропланах. Когда я спросил, имеются ли тому какие-либо доказательства, он ответил, что археологи нашли вырезанные на камне изображения самолетов, которым тысячи лет. Использовали ли эти самолеты реактивные двигатели? Нет, сказал он, они черпали энергию из магнитного поля Земли. Эти летательные аппараты были сделаны из композитных материалов. Скорость их была небольшой — между 100 и 150 километрами в час. Постепенно мои вопросы стали раздражать его все больше и больше, поскольку мое желание получить должное научное объяснение воспринималось им как оскорбление индийского научного наследия. В конце концов он больше не захотел со мной говорить.

Хотя ведическое знание является фантастическим, оккультистским и, в общем, довольно сомнительным, ведическая математика вполне выдерживает тщательное, критическое рассмотрение, несмотря на то что сутры по большей части туманны вплоть до полного отсутствия смысла, а принятие истории об их происхождении в Ведах требует временной атрофии способности к сомнению. Некоторые из методов столь специфичны, что представляются не более чем курьезами — взять хотя бы подсказки для превращения дроби ¹/₁₉ в десятичную. Но некоторые и правда очень ясные и точные.

Рассмотрим пример умножения 57 × 43, к которому мы уже обращались в данной главе. Стандартный метод умножения этих чисел состоит в том, чтобы записать две промежуточных строки, а затем сложить их. Но, используя третью сутру — «Вертикально и крест-накрест», — можно довольно ловко найти ответ таким способом:

Шаг 1

Запишем числа друг над другом:

Шаг 2

Перемножим цифры в правом столбце: 7 × 3 = 21. Последняя цифра этого числа есть последняя цифра в ответе. Запишем ее внизу в правом столбце и перенесем возникшую 2:

Шаг 3

Найдем сумму скрестных произведений: (5 × 3) + (7 × 4) = 15 + 28 = 43. Прибавим перенесенную 2, что даст 45. Последняя цифра этого числа — то есть 5 — записывается внизу в левом столбце, а 4 переносится:

Шаг 4

Перемножим цифры в левом столбце: 5 × 4 = 20. Прибавим к этому перенесенную 4, что даст 24, и получим окончательный ответ, 2451:

Данный метод можно обобщить на умножение чисел любой величины. Изменения затрагивают только порядок, в котором числа скрестно перемножаются.

Рассмотрим, например, умножение 376 × 852:

Шаг 1

Начинаем с правого столбца: 6 × 2 = 12:

Шаг 2

Далее берем сумму скрестных произведений между столбцом единиц и столбцом десяток: (7 × 2) + (6 × 5) = 44 плюс перенесенная 1. Получается 45:

Шаг 3

Теперь переходим к скрестным произведениям между столбцом единиц и столбцом сотен и прибавляем к ним вертикальное произведение в столбце десяток: (3 × 2) + (8 × 6) + (7 × 5) = 89 плюс еще перенесенная 4. Получается 93:

Шаг 4

Сдвигаясь налево, перемножим накрест первые два столбца: (3 × 5) + (7 × 8) = 71, к чему прибавим перенесенную 9. Получается 80:

Шаг 5

И наконец, найдем вертикальное произведение в левом столбце: 3 × 8 = 24, к чему прибавим перенесенную 8. Получается 32. Окончательный ответ: 320 352.

«Вертикально и крест-накрест», или «скрестное умножение», оказывается быстрее, чем умножение столбиком и занимает меньше места. Кеннет Уильямс сказал мне, что всякий раз, как он объясняет ведический метод школьникам, они воспринимают его очень легко. «Почему же, — спрашивают его дети, — нам не объясняли такого раньше?» В школах предпочитают умножение столбиком по той причине, что в нем подробно расписаны все промежуточные стадии вычисления. При использовании приема «Вертикально и крест-накрест» часть алгоритма остается скрытой.

Уильямс полагает, что этот прием — штука небесполезная и даже может помочь более слабым ученикам. «Наша задача — сориентировать, а не требовать, чтобы дети знали все и всегда. Некоторым детям хочется знать, как работает алгоритм умножения, другие не желают вникать в детали, и все, что им нужно, — это иметь возможность выполнить вычисление». Если учитель настаивает на следовании общим, но непонятным правилам, сказал он, то может оказаться, что ребенок так и не научится умножать и вообще ничего не получит от обучения. А для более сообразительных детей, добавил Уильямс, ведическая математика оживляет преподавание арифметики. «Математика — предмет творческий. Коль скоро дети видят, что имеются различные методы, им приходит в голову, что они и сами могут изобрести свой собственный, и таким образом начинают относиться к предмету более творчески. Математика — на самом деле штука веселая, даже забавная, а ведическая математика дает хороший способ преподавать ее именно таким образом».

Одной аудиенции с Шанкарачарьей не хватило, чтобы обсудить все, что хотелось, так что мне предоставили еще одну. В самом начале церемонии старший ученик заявил: «Мы хотели бы кое-что сказать касательно нуля». После чего сам Шанкарачарья в течение десяти минут оживленно вещал на хинди, а старший ученик переводил. «В современной математической системе нуль рассматривается как несуществующая сущность, — объявил он. — Мы намерены исправить это аномальное положение. Нуль нельзя рассматривать как несуществующую сущность. Попросту говоря, одна и та же сущность не может существовать в одном положении и не существовать в другом». Суть рассуждения Шанкарачарьи, как мне кажется, сводилась к следующему. Люди рассматривают 0 внутри числа 10 как существующий, но при этом 0 сам по себе рассматривается как нечто несуществующее. Здесь имеется противоречие: нечто должно или существовать, или нет. Так что нуль существует. «В ведической литературе нуль рассматривается как вечносущее число, — сказал он. — Нуль нельзя никаким образом уничтожить. Он представляет собой неразрушаемый фундамент. Он лежит в основе всего». Я решил больше не задавать вопросов, поскольку мои замечания сначала переводили на хинди, обсуждали, а потом ответ переводили обратно на английский, так что эти ответы всякий раз запутывали меня еще больше. Пусть, подумал я, переводимые слова просто проплывают надо мной, пока аудиенция не закончится.

Я отвлекся и стал разглядывать Шанкарачарью. На нем было оранжевое одеяние, с большим узлом, завязанным сзади на шее, а его лоб был вымазан бежевой краской. Интересно, размышлял я, как это — жить так, как живет он. Мне говорили, что он спит в пустой комнате, где нет никакой мебели, ест каждый день одно и то же надоевшее карри и не испытывает никакой необходимости или привязанности к собственности. В самом начале церемонии к нему подошел паломник и вручил ему чашу с фруктами. Приняв фрукты, Шанкарачарья немедленно раздал их нам. Мне досталось манго.

Всячески пытаясь осмыслить мудрость Шанкарачарьи, я стал думать об утверждении, что «нуль есть существующая сущность», и повторял его в своей голове как мантру. Внезапно ход моих мыслей нарушился, вслед за чем пришло более глубокое понимание этой фразы. Согласно индуистскому мышлению, ничто не было ничем. Ничто было всем. И аскетичный, добровольно отказавшийся от всех земных благ Шанкарачарья был идеальным олицетворением этого ничто. Напротив меня восседал господин Нуль собственной персоной — воплощение «шуньи» в крови и плоти.

Индийской философии так же внутренне присуща концепция «несуществования», как и индийской математике — концепция нуля. Концептуальный скачок, приведший к изобретению нуля, произошел в цивилизации, которая приняла пустоту как суть Вселенной. Символ изображения нуля, возникший в Древней Индии, в полной мере воплотил в себе главное откровение Шанкарачарьи о том, что математику невозможно отделить от духовности. Окружность, олицетворяющая нуль, была выбрана потому, что выражает циклическое движение небесного свода. Нуль означает ничто, и это означает вечность.

Законная гордость, связанная с изобретением нуля, привела к тому, что математическое мастерство стало частью индийской национальной идентичности. Школьникам предписано учить таблицу умножения до 20, что в два раза больше, чем учил я в обычной английской школе[23]. В предшествующие десятилетия индийские школьники должны были заучивать таблицу умножения до 30. Один из ведущих неведических индийских математиков С. Г. Дани сказал мне по этому поводу: «Когда я был ребенком, у меня сложилось твердое впечатление, что математика представляет собой нечто исключительно важное». Для взрослых было обычным делом задавать детям математические задачки, и правильные решения весьма приветствовались. «Помимо своей практической пользы, математика — это нечто такое, чему в Индии придается большое значение как среди коллег, так и в кругу друзей».

Дани — старший профессор математики в Институте фундаментальных исследований Тата в Бомбее. Он носит очки в черепаховой оправе, его курчавые волосы камуфлируют залысину на академический манер, верхнюю губу прикрывают усы. Он вовсе не фанат ведической математики; по его мнению, в Ведах нельзя найти арифметические методы Тиртхи, да и особой пользы от этих методов нет. «Не думаю, что они делают математику какой-то особенно интересной. Главное в них то, что эти алгоритмы ускоряют счет, а не то, что они делают это занятие таким уж интересным или позволяют лучше усвоить алгоритм вычислений. Весь интерес — в результате, а не в процессе».

Поэтому я был удивлен, когда Дани положительно отозвался о трудах Тиртхи, связанных с ведической математикой. Дани воспринимает Тиртху на эмоциональном уровне. «Я сочувствую ему, у него был комплекс неполноценности, который он попытался преодолеть. Когда я был ребенком, я тоже испытывал нечто похожее. В те годы (вскоре после обретения независимости) многие в Индии полагали, что нам следует всеми правдами и неправдами забрать обратно (у британцев) все, что мы утратили. В наибольшей степени это относилось к предметам искусства, которые англичане вывезли из страны. Ведь мы действительно столько потеряли! Я был уверен — мы должны получить обратно эквивалентный объем того, что потеряли.

Ведическая математика — ошибочная попытка вернуть арифметику Индии».

Некоторые из приемов ведической математики настолько просты, что я задался вопросом, встречаются ли они где-нибудь еще в литературе по арифметике. Я решил, что хорошей отправной точкой для начала поисков будет книга Фибоначчи «Liber Abaci». Вернувшись в Лондон, я отыскал ее экземпляр в библиотеке, открыл там главу про умножение и увидел, что первый же из предложенных Фибоначчи методов — не что иное, как «вертикально и крест-накрест». Я исследовал вопрос несколько глубже и обнаружил, что умножение на основе «все из 9 и последнее из 10» было излюбленным методом нескольких европейских авторов, живших в XVI веке. (На самом деле имеется даже предположение, что эти методы повлияли на принятие знака ×. К 1631 году, когда × впервые появился в качестве обозначения для умножения, уже были опубликованы книги, в которых оба метода умножения иллюстрировались большими знаками, выполненными в виде пересекающихся линий.)

Ведическая математика Тиртхи, как представляется, есть, по крайней мере отчасти, переоткрытие некоторых арифметических приемов, широко распространенных во времена Возрождения. Может быть, они пришли из Индии, а может быть, и нет, но каково бы ни было их происхождение, очарование ведической математики для меня состоит в том, что она позволяет по-детски непосредственно радоваться числам, а также структурам и симметриям, которые в ней содержатся. Арифметика играет существенную роль в повседневной жизни, причем важно вычислять правильно, и именно поэтому нас столь методично учат ей в школе. Однако, сосредоточившись на практических аспектах, мы перестали замечать, насколько восхитительна индийская система числительных. Она стала огромным шагом вперед по сравнению со всеми предыдущими методами счета, и более того — оставалась непревзойденной в течение тысячи лет. Сейчас мы воспринимаем позиционную десятичную систему как нечто само собой разумеющееся, не задумываясь о том, насколько она многогранна, изящна и эффективна.