Беседы об АСУ

Новые задачи, новые методы. Все новое…

Экономисты прошлого всегда высоко оценивали роль математики в развитии экономической науки.

Русский экономист В. Дмитриев, выпустивший в 1904 году книгу «Экономические очерки», предпослал ей такие эпиграфы:

«Никакое человеческое исследование не может называться настоящим знанием, если не прошло через математическое доказательство» (Леонардо да Винчи).

«Я утверждаю, что во всяком естественнонаучном знании можно найти лишь столько действительной науки, сколько в ней можно найти математики» (Иммануил Кант).

Известно мнение К. Маркса, который считал, что экономическая наука только тогда достигнет совершенства, когда ей удастся пользоваться математикой. Ему же принадлежат одни из первых экономических исследований с помощью количественных методов.

С начала нашего века и вплоть до второй мировой войны было предпринято несколько попыток исследования экономических явлений с помощью математических методов. Однако настоящим толчком для массового внедрения математики в экономику явилось изобретение электронно-вычислительных машин.

Почему же математика так мало смогла сделать в экономике без ЭВМ? Причина кроется в большой трудоемкости экономических расчетов. Как правило, все предлагаемые математические методы решения экономических и особенно управленческих задач требуют большого объема вычислений, а следовательно, без ЭВМ выполнить их стоит дорого. Известный же баланс, являющийся выражением экономической эффективности, гласит, что выигрыш, ожидаемый от применения нового метода решения, всегда должен быть больше затрат на само решение.

Можно возразить, что применение математики в технических расчетах не менее трудоемко, и все же перед войной во многих странах были созданы специальные организации, в которых сотни человек вели расчеты. С помощью обычных арифмометров по специальным программам решались дифференциальные уравнения высоких порядков, велись технические расчеты трудоемкостью в десятки человеко-лет.

Да, это так. Но технические расчеты производят обычно однократно. Рассчитали конструкцию изделия, и оно пошло в серийное производство и окупило все затраты. Экономические же расчеты приходится производить периодически. Так, месячный календарный план необходимо составлять каждому цеху на каждый месяц. А цеховые планы не единственные на предприятии, их много, и их многочисленность, естественно, не позволяла применять для их составления, для решения экономических задач, связанных с планированием, дорогие методы расчетов. Это и было одним из основных препятствий, которые не давали развиваться экономико-математической науке, науке о применении математических методов к решению экономических проблем.

А попытки были, и довольно серьезные… В конце 30-х годов молодой ленинградский ученый, ныне академик Л. Канторович предложил новый способ производственного планирования. Это было блестящее научное исследование даже по критериям нашего времени, и Л. Канторович в 1975 году был удостоен Нобелевской премии. Работа содержала и математическую модель большого класса экономических задач, и метод их решения, и необозримые горизонты применения метода в различных сферах экономики. Но решение задач было очень трудоемким. И это оказалось главной причиной, по которой метод не получил распространения и оставался известен лишь узкому кругу специалистов.

А через десяток лет, с появлением ЭВМ, когда начали открываться все более широкие горизонты их применения, американский ученый Дж. Данциг «переоткрыл» модель и метод решения Л. Канторовича и ввел его в науку под названием «линейное программирование». Кто сейчас не знает термина «линейное программирование»? Кто сейчас не знает, что оно неотделимо от ЭВМ?

Большинство математических методов решения экономических задач так же, как и линейное программирование, без ЭВМ не имеет смысла. Вот почему, говоря об экономико-математических методах, непременно прибавляют: «и ЭВМ».

Итак, в первую очередь применение ЭВМ и экономико-математических методов отличает АСУ от традиционной системы управления экономическим объектом.

Что такое ЭВМ и для чего они предназначены, теперь знают все. Удивительны все-таки темпы проникновения науки в нашу жизнь! Чуть больше четверти века прошло с момента появления этих машин, и вот программирование уже занимает место в школьных программах (правда, пока лишь в спецшколах). В метро два пятнадцатилетних знатока с ученым видом обсуждают достоинства алгоритмического языка «Фортран IV». И естественно, в салонном разговоре, где все стремятся «блеснуть воспитаньем», то и дело мелькает пижонское «компьютер», которое употребляют теперь даже те, кто никогда не работал на ЭВМ. (Те, кто работал, просто говорят — машина.)

С экономико-математическими методами дело обстоит значительно скромнее. Естественно, сфера применения их значительно уже, чем у ЭВМ, хотя, если очертить круг специальностей, которым они необходимы, несомненно, в него войдет большая часть специалистов, занятых в народном хозяйстве. Тем не менее пока экономико-математические методы еще не проникли в широкие массы экономистов и работников аппарата управления, кстати, основных их «пользователей» («пользователь» — новое слово, по-видимому, родившееся вместе с ЭВМ и означающее человека или группу лиц, использующих ЭВМ или математическое обеспечение; в «Словаре русского языка» С. Ожегова этого слова, конечно, нет). Эти методы по-прежнему остаются достоянием «широкого круга математиков, инженеров, экономистов, принимающих участие в создании АСУ и студентов соответствующих специальностей». В кавычки заключена стандартная фраза из аннотаций к книгам по экономико-математическим методам. К сожалению, упомянутый там «широкий круг» лиц на самом деле очень узок, если его соотнести к тому кругу, которому эти методы действительно должны быть известны и полезны. Увы, так, наверное, будет до той поры, пока «студенты соответствующих специальностей» не займут рабочие места.

А пока в экономическую жизнь медленно, но все настойчивее проникают из математики на первый взгляд совершенно абстрактные понятия, без которых, как потом выясняется, невозможно работать.

Одним из таких понятий, несомненно, является «экстремум» и связанное с ним понятие «экстремальная задача».

«Мы действительно живем в эпоху прикладных наук», — не без удивления вынужден был констатировать А. Эйнштейн. Казалось бы, какое прикладное значение может иметь такое чисто математическое определение: «…точки, в которых функция принимает минимальное или максимальное значение, называются точками экстремума, или экстремальными точками»? Оказывается, может иметь! И даже большое!

В математике функцией называется зависимость между величинами. В экономике тоже. Производительность труда рабочего зависит от вооруженности его техникой. Если землекопу дать лопату, у него будет одна производительность труда, если его посадить на экскаватор — другая. Техническая вооруженность рабочего, в свою очередь, зависит от затрат на приобретение техники — экскаватор стоит дороже лопаты. Таким образом, производительность труда зависит от затрат на вооружение рабочего техникой, или, как говорят экономисты, от фондовооруженности.

Представьте, читатель, что вы управляете некоторым землеройным предприятием и стремитесь увеличить его прибыль, то есть увеличить разницу между доходом и затратами на производство. Понятно, что прибыль зависит от фондовооруженности землекопов вашего предприятия. Математик бы сказал, что прибыль есть функция от фондовооруженности. Но как она зависит? На первый взгляд кажется довольно просто: чем больше фондовооруженность, тем больше прибыль. Поскольку принято функции — зависимости изображать в виде наглядных графиков, то такая зависимость упрощенно выглядит как прямая линия и в математике называется линейной.

Однако внимательный анализ зависимости показывает, что такой график неправильно отражает положение дел. Действительно, из него следует, что если фондовооруженность рабочих составляет 2 тысячи рублей, то прибыль будет в 2 раза больше, чем при фондовооруженности, равной тысяче рублей. Возможно, что такая зависимость где-то и существует, но не в вашем условном землеройном случае. У вас рабочему можно дать либо лопату, либо малую землеройную машину, либо большой экскаватор. Естественно, что в промежутке между этими случаями увеличение затрат на фондовооруженность к значительному увеличению прибыли не приводит. Более правильным будет эту зависимость изображать некоторой кривой, а не прямой линией, и поэтому называется она нелинейной.

Кстати, на первый взгляд несколько странным кажется деление функций на линейные и нелинейные. Что вызвало выделение прямой линии из многообразия всех кривых? Ответ прост: если зависимость линейная, то очень просто решать всевозможные задачи. В этом случае решение получается автоматически: чем больше, тем лучше, если прямая линия идет слева вверх направо в системе координат, и, наоборот, чем меньше, тем лучше, если линия идет слева вниз направо.

Из приведенного случая следует: чем больше фондовооруженность, тем больше прибыль; значит, отпускай побольше денег на оборудование, и прибыль будет расти неограниченно высоко?! Однако если рабочему дать два экскаватора, его производительность труда ведь не увеличится! Работать-то он может лишь на одном! А в то же время затраты на производство вырастут. Это значит, что, начиная с некоторого момента, увеличение фондовооруженности ведет к снижению прибыли, как это показано на первом рисунке. Заметим, что это справедливо лишь для конкретного случая с данным экскаватором. Может быть, в недалеком будущем будет изобретена новая землеройная машина невиданной производительности, и ее приобретение даст новый скачок прибыли. А пока увеличение фондовооруженности после некоторой точки нецелесообразно. Точка эта, в которой зависимость прибыли (ПР) от фондовооруженности (ФВ) принимает свое максимальное значение, называется точкой экстремума исследуемой функции. На рисунке она обозначена буквой Э.

Аналогично, если бы исследовалась зависимость себестоимости единицы продукции землеройного предприятия от фондовооруженности, то есть во сколько обходится, скажем, вырытый кубометр грунта в зависимости от ФВ, то кривая выглядела бы так, как на втором рисунке, и тоже бы имела экстремальную точку Э, в которой себестоимость была бы минимальна.

Задачи, в которых необходимо найти точку экстремума, и само значение экономического параметра в точке экстремума называются экстремальными задачами.

Теперь понятно, почему экономисты так заинтересовались экстремумами и экстремальными задачами. Ведь смысл их деятельности заключается в каждодневном поиске решений, в которых достигается максимум продукции или минимум трудоемкости, максимум прибыли или минимум себестоимости, в общем, максимум результата или минимум затрат.

Это значит, что экономисты все время решают экстремальные задачи, иногда даже не подозревая об этом. Как известный мольеровский персонаж, не подозревавший, что всю жизнь говорил прозой!

Итак, первым важным понятием, которым математика вооружила экономику, является понятие экстремальности экономических задач.

В течение ряда лет под Ленинградом периодически работал семинар под названием «Экстремальные задачи управления», сокращенно ЭЗУ. Этот семинар собирался по инициативе Ленинградского отделения Центрального экономико-математического института АН СССР. В его работе принимали участие экономисты и математики, энтузиасты плодотворного сотрудничества математики и экономики. В процессе работы семинара рассматривались и решались различные экстремальные задачи, возникающие в системе управления предприятием, необязательно при ее автоматизации. Сам дух семинара был экстремальным, и основной вывод его гласил: практически все задачи экономики и управления экстремальные!

В экономике, пожалуй, нет слова, охватывающего большее количество понятий, чем слово «план».

План перевозок представляет собой перечень того, что надо везти, откуда и куда, и каким транспортом; в то время как план предприятия по труду представляет собой оценку потребности в рабочей силе. План развития отрасли представляет собой перечень предприятий, подлежащих реконструкции, определение места строительства новых предприятий, установление будущих объемов производства, в то время как план материально-технического снабжения определяет оптимальные объемы и календарные сроки поставок необходимых материалов, энергии и пр., и пр., и пр.

Различны предметы планирования, различны периоды, на которые составляются планы, различны методы, используемые для составления плана.

Что же позволяет всю перечисленную и неперечисленную деятельность объединять единым словом «планирование»? Общим является составление прогноза развития экономической системы на некоторый промежуток времени. При составлении плана делается попытка предвидеть, как будет развиваться экономическая система в будущем, или скорее, как она должна развиваться, чтобы…

Вот это «чтобы» и есть основная трудность в планировании. Ведь любая система может развиваться по-разному, или, переводя на язык экстремальных задач, имеет много вариантов развития. Из них при составлении плана надо выбрать один-единственный вариант, при котором развитие системы наилучшим образом обеспечивает нужды народного хозяйства.

Общая черта всех задач планирования — многовариантность их решения. Слишком много факторов может влиять на экономическую систему в будущем. Как выбрать тот единственный путь, который приведет к составлению успешного плана? Конечно, тут помогает знание общих закономерностей развития системы. Возьмем, например, долгосрочное планирование.

Жрецы Месопотамии открыли связь между положением созвездий и наводнениями в междуречье Тигра и Евфрата. Правильное предсказание наводнений обеспечило им огромное экономическое и политическое влияние.

Однако и из общих закономерностей можно делать различные выводы, в частности и неправильные. Известный американский фантаст Артур Кларк в своей книге «Черты будущего» описывает такие курьезы.

Американский астроном С. Ньюкомб в самом начале нашего века писал: «Все данные современной науки указывают на то, что никакие возможные сочетания известных веществ, известных типов машин и известных форм энергии не позволяют построить аппарат, практически пригодный для длительного полета человека в воздухе». В своих рассуждениях он опирался на аналогичное мнение таких гигантов-физиков, как Л. Эйлер, Дж. Стокс, Г. Кирхгоф, Дж. Рэлей. Хотя соответствующие физические законы были уже известны, из них не было сделано правильного вывода. А в 1903 году во Франции братья У. и О. Райт осуществили свой успешный «антитеоретический» полет.

Другой пример. В 1956 году, за год до запуска первого искусственного спутника Земли, английский ученый Р. Вулли был назначен на пост королевского астронома. На вопрос журналистов о возможности космических полетов он ответил твердо и недвусмысленно: «Космические полеты — это совершеннейшая чепуха». И это после работ К. Циолковского, в эру бурного развития ракетной техники!

Забавно, что позднее Р. Вулли стал членом комитета, который консультирует английское правительство по проблемам исследования космоса.

Чтобы покончить с долгосрочным планированием, стоит рассмотреть еще один пример, показывающий, к каким результатам может привести одновариантный метод прогнозирования. Такой метод существует и называется экстраполяцией. Он заключается в анализе тенденций развития за прошедший период и в предположении, что такими же они и останутся в будущем. Так вот, если бы мы, скажем, в 1967 году проанализировали тенденции уменьшения длины женских юбок, допустим, с 1957 года и на основании этого составили прогноз на 1977 год, то результат получился бы ошеломляющим. И конечно, неправильным…

Конечно, можно высказываться и не так категорично и определенно. Нострадамус, астроном и самый известный предсказатель средневековья, выдавал свои прогнозы в виде непонятных иносказательных стихов. Смысл их настолько неясен, что допускает множество толкований. Скептики просто сомневаются, хотел ли он вообще заложить в них какую-нибудь информацию.

Вернувшись к современному состоянию прогностики, следует отметить, что вопросам прогнозирования и долгосрочного планирования в зарубежной и в нашей экономике уделяется чрезвычайно большое внимание. Разработано несколько методик составления долгосрочных прогнозов развития народного хозяйства и отдельных его отраслей, которые успешно применяются на практике. Все они решают вопросы прогнозирования как многовариантную задачу.

Итак, долгосрочное планирование многовариантно. Ну а что можно сказать о плане на более короткий период? Ведь его составляют на основании прогноза или долгосрочного плана! А это уже выбранный, наилучший вариант, и краткосрочный (текущий) является фактически просто планом реализации долгосрочного плана. Уж он-то, кажется, должен быть единственным?!

К сожалению, и это не так. Вариантов краткосрочного (текущего) плана тоже может быть очень много. В основном это происходит потому, что при составлении долгосрочного плана невозможно учесть все условия, и в нем вольно или невольно закладывается многовариантность краткосрочного плана.

Долгосрочный план балансирует производство и потребности по основным видам продукции. К примеру, объем производства цемента должен быть таким, чтобы удовлетворить нужды строек страны. План же снабжения строек цементом решает более узкую задачу, но, оказывается, не менее многовариантную. Вот она.

Известны места, где цемент производится и в каком количестве. Известны места, где цемент потребляется и в каком количестве. Известны затраты на перевозку одной тонны цемента из каждого пункта производства в каждый пункт потребления (эти затраты зависят от расстояния и могут быть определены по транспортным тарифам). Это все дано. Требуется найти, сколько тонн цемента везти из каждого пункта производства в каждый пункт потребления. При этом хотелось бы так спланировать, чтобы суммарная стоимость перевозки, то есть народнохозяйственные затраты на перевозку, была бы минимальна. Откуда в этой задаче многовариантность?

Ну, во-первых, в Москву можно везти цемент и с Урала, и с Украины, и даже с Сахалина. А во-вторых, определив, откуда будет поступать цемент, надо решить, в каком количестве его надо оттуда везти. Значит, теоретически приходится перебрать все наборы чисел, сумма которых равна потребности. Каждый такой набор и есть вариант снабжения Москвы цементом. Перебрав их все, мы и обнаружим тот, в котором суммарная стоимость минимальна. Чтобы представить себе общее количество этих вариантов, необходимо привлечь такие числа-гиганты, по сравнению с которыми известное число зерен пшеницы, запрошенное себе изобретателем шахмат, просто карлик.

Вот почему некоторым не очень грамотным, но довольно решительным хозяйственникам гораздо проще забыть про многовариантность задачи и решать ее по какой-нибудь простой формуле, вроде «кто кого хочет, тот того и снабжает». В результате все быстро прикрепляются друг к другу, как в детской игре «найди пару», и Сахалину, например, может, ничего не останется, как везти свой цемент через всю страну в Калининград. Конечно, этот пример намеренно утрирован. Но многовариантное решение с помощью ЭВМ задачи транспортировки цемента только для самых крупных потребителей позволило стране сэкономить десятки миллионов рублей!

Вообще, решение почти любой экономической задачи подобно поискам адреса в большом городе, где имеется очень много возможных путей достижения цели. Бывают, конечно, ситуации, когда путь один. Но это либо в случае, когда весь город — одна улица, либо слишком очевидны преимущества одного пути перед всеми остальными.

Возникает вопрос, а как ЭВМ решает задачу выбора одного варианта из такого большого множества? Неужели она перебирает все эти мириады вариантов и из них выбирает наилучший?

Конечно, нет. Машина, безусловно, считает быстро, но и ей эта задача не по плечу. Здесь ей на помощь приходят математические методы. Механизм работы математических методов, грубо говоря, таков. Они дают ЭВМ рецепт, или, как уже говорилось, алгоритм определения, какие варианты являются заведомо бесперспективными и не подлежат рассмотрению, а сразу же отбрасывается. ЭВМ так и поступает и рассматривает только перспективные. Чем больше вариантов метод позволяет заранее отбросить, тем он лучше, эффективнее.

Вот почему не только экономико-математические методы не могут быть использованы без ЭВМ, но и ЭВМ не может работать без экономико-математических методов!

Итак, при решении задачи ЭВМ из всех возможных вариантов решения выбирает один, на котором достигается экстремум функции полезности. Кстати, этот вариант решения в экономике называется оптимальным. Термин «оптимальный» более распространенный, чем «экстремальный». От него в экономико-математических работах пошло много производных терминов, таких, как «оптимизация», «методы оптимизации» (это методы решения экстремальных задач), «оптимизационные задачи». Слово «оптимум» является синонимом слова «экстремум», а «оптимальный» оказался синонимом слова «наилучший».

Естественно, неправильным является употребление выражений «более оптимальный», «наиболее оптимальный», «оптимальнее» и т. д., которое, к сожалению, часто встречается в экономической литературе.

Может создаться впечатление, что многовариантность есть свойство лишь макроэкономических задач, то есть народнохозяйственных задач всей страны, реже отрасли. Однако это не так.

Вот условная микрозадача. Допустим, что на производственном участке установлены два станка: токарный и шлифовальный — для изготовления двух разных деталей. Процесс изготовления каждой детали состоит в том, что сначала заготовку обтачивают, а затем шлифуют (естественно, что наоборот нельзя). Время обработки каждой детали в часах приведено в небольшой таблице 1.

Из разобранного ранее примера с производственным планированием известно, что в этом случае необходимо составить календарный план, который называется гант-картой. В гант-карте видна не только технология, то есть порядок изготовления деталей, но и тот факт, что на одном станке в каждый момент времени может находиться не более одной детали, факт, который обычно игнорирует объемный метод планирования.

Составляя гант-карту (табл. 2), предполагают, что сначала будет изготавливаться деталь № 1 на токарном станке (цифра над ленточкой — номер детали). Потом она перейдет на шлифование, а на токарном начнет обрабатываться деталь № 2. Шлифовальный же станок, отшлифовав деталь № 1, перейдет на обработку детали № 2 и завершит, таким образом, изготовление всего комплекта.

Из такого календарного плана видно, что длительность изготовления всего комплекта деталей — семь часов, а не четыре, как следует из балансовых методов планирования, и что при изготовлении комплекта каждый станок простаивает по три часа.

Однако при составлении плана вставал вопрос: почему запускалась в обработку сначала первая деталь, а затем вторая? Что, первая имеет какие-нибудь преимущества перед второй?

Оказывается, нет, такой порядок — дело простого случая. А поскольку никаких объективных причин для такого порядка обработки нет, то стоит рассмотреть и другой вариант, когда сначала обрабатывается деталь № 2. Он представлен на таблице 3 и показывает, что время изготовления комплекта деталей при такой последовательности сократилось до шести часов, а простои станков до двух часов. Может быть, существует третий, более выгодный порядок обработки? Нет, поскольку других вариантов запуска не имеется, следовательно, это неизбежные простои.

Можно обижаться на подобное планирование и заявлять: «Что же это за такой прогрессивный метод планирования, при котором из шести рабочих часов станки стоят по два часа, при этом еще утверждается, что простои эти неизбежны?» На это можно возразить: «Если вам подают кофе, не старайтесь найти в нем пива. И наоборот».

Наличие простоев не зависит от метода планирования. При данной производственной программе на данном участке лучше не спланируешь. А менять производственную программу в задачи метода не входит. Этим должен заниматься человек, плановик. Рассмотрев полученный календарный план, он может решить, что простой станков неоправданно велики и следует на данный участок направить другие детали, которые лучше соответствуют производственным возможностям участка.

Вообще существует неверное представление, что методы оптимизации являются панацеей от всех бед. Это не так. Плохую организацию производства оптимальным планированием не изменишь. Оптимальное планирование может лишь заранее показать все дефекты организации производства и свести их влияние к минимуму. А это немало! Ведь без этих методов все недостатки всплыли бы в процессе выполнения плана, когда исправлять их уже поздно!

Методы оптимального планирования, вооружая плановика мощным орудием предвидения, фактически позволяют заранее обнаружить изъяны в организации производственного процесса и тем самым дают возможность принять действенные меры по их ликвидации.

В данном случае выбор между традиционными методами объемного или методами оптимального календарного планирования, конечно, решается в пользу вторых. В то время как объемный метод говорит, что вся работа будет выполнена за 4 часа (что неверно!), календарный не только показывает, что длительность будет больше и что неизбежны простои, но и указывает такой вариант запуска деталей, при котором общая длительность и простои будут минимальны.

Таким образом, ясно, что задача планирования работы участка хотя и микрозадача, но многовариантна. Принципиально она определяется различными последовательностями запуска деталей в производство. Для двух деталей это две последовательности (1; 2) — сначала деталь № 1, затем № 2 либо (2; 1), сначала деталь № 2, затем № 1. Для трех деталей последовательностей запуска уже будет больше: 123; 132; 213; 231; 312; 321.

Вообще всего порядков запуска будет ровно столько, сколько различных перестановок можно составить из номеров деталей. К примеру, из 10 деталей можно составить свыше трех с половиной миллионов различных перестановок, точнее:

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3 628 800 штук.

Если тратить всего по 10 минут на составление календарного плана, соответствующего каждой из этих перестановок, то придется затратить около 70 лет. Даже ЭВМ, «считающая» по 200 вариантов плана в секунду, должна будет работать более пяти часов.

А если деталей на участке не 10, а 100? Число вариантов плана в этом случае огромно: оно получится от перемножения всех чисел от 1 до 100.

(1 · 2 · 3 · 4 · 5 … 98 · 99 · 100).

Чтобы не писать такое длинное произведение, в комбинаторике принято обозначение 10!; 100! и читается «десять факториал», «сто факториал». Полученное число во много-много раз больше всех известных чисел-гигантов, и, конечно же, составить такое количество вариантов плана невозможно. Для чего же тогда вводится понятие многовариантности решения экономической задачи? Не для того ли, чтобы убедиться, что решить ее невозможно?

Не стоит спешить с подобными выводами. Во-первых, о многовариантности решения экономических задач сказано, чтобы исключить возможность случайного, неэффективного решения задачи теми, кто видит только один способ решения по закостеневшим формулам чуть не прошлого века.

Во-вторых, невозможность перебора всех вариантов еще не означает невозможность найти оптимальное решение. Тут приходят на помощь математические методы, которые, проанализировав задачу, исключают громадное количество бессмысленных вариантов, оставляя лишь очень немногие, разумность и реальность которых внушают доверие.

Иногда математический анализ позволяет сразу строить оптимальное решение. Допустим, на некоем условном участке изготавливается пять деталей. Времена их обработки приведены в таблице 4.

Проверьте, читатель, себя и попытайтесь за 10 минут выбрать из 120 (1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120; или 5!) возможных вариантов оптимальное (читай — лучшее) решение. Ответ: оптимальная длительность изготовления всех пяти деталей — 16 часов. Если у вас это не получится, воспользуйтесь методом решения, который придумал американский математик С. Джонсон, проведя детальный математический анализ.

Его алгоритм следующий. Просмотрев все времена обработки, выбирают наименьшее. Если оно в первом столбце, деталь ставится в начало последовательности, если во втором столбце — в конец. Занеся номер детали в последовательность, вычеркивают ее времена из обоих столбцов; если встречаются одинаковые наименьшие времена, берут любое.

Теперь, чтобы определить оптимальную последовательность обработки, достаточно столько раз просмотреть список времен, сколько деталей на участке. А это значительно легче, чем перебирать все последовательности. В частности, в нашем примере достаточно пять раз просмотреть таблицу 4, чтобы определить, что детали необходимо обрабатывать в последовательности 4, 1, 3, 2, 5.

Теперь остался один вопрос: для всех ли экономических задач существуют математические методы, позволяющие столь эффективно увертываться от громоздкого и сложного перебора вариантов?

К сожалению, это трудный вопрос…

Хотя сам критерий представляет собой строгое выражение зависимости, то есть некоторую формальную величину, тем не менее подходить к его выбору формально нельзя. В любой экономической ситуации он устанавливается лишь после тщательного, содержательного анализа задачи. А формализовать этот анализ, дать алгоритм выбора критерия, пока не представляется возможным.

И все же некоторые общие правила выбора критерия оптимальности для экономических задач сформулировать можно. Это не алгоритм, это лишь требования, которые предъявляются к критериям оптимальности в экономике. Однако сам факт формулировки требований уже помогает предотвратить многие ошибки.

Первое требование к любому критерию оптимальности гласит, что он должен быть измеряемой величиной, то есть чтобы он был выражен количественно. Математически это означает, что критерий должен быть числовой функцией, а по существу, каждому варианту решения задачи должно быть приписано некоторое число.

В рассмотренной ранее задаче планирования работы производственного участка в качестве критерия была выбрана общая длительность изготовления деталей. Длительность изготовления — это число; для каждого варианта плана его можно точно определить и из всех вариантов выбрать такой, для которого оно минимально. В этой задаче возможен и другой критерий, связанный с простоями оборудования. В первом из рассмотренных планов суммарное время простоев между операциями равно нулю, во втором — одному часу.

Возможна экономическая ситуация, когда второй план предпочтительнее первого. Допустим, что шлифовальный станок наиболее дефицитное оборудование. Тогда простой между операциями увеличивает рабочее время дефицитного станка и, естественно, крайне нежелателен. Понятно, что из всех вариантов плана надо выбрать такой, в котором минимум простоев между операциями.

Заметим, что первый критерий (длительность изготовления) не связан со вторым (простои станков) и даже иногда противоречит ему: в нашем примере по первому критерию оптимальным признается второй план, а по второму — первый. Но в этом нет ничего странного. Критерий — это лишь числовая характеристика экономической ситуации; меняется ситуация, меняется и критерий.

В рассмотренной раньше задаче о перевозке цемента в качестве критерия можно выбрать количество тонно-километров — произведение количества перевезенных тонн цемента на длину перевозки (выраженную в километрах).

А вот еще одна не совсем, правда, экономическая задача. Из десяти инженеров необходимо выбрать заведующего группой взамен ушедшего на пенсию. Естественный критерий — деловые качества. Но, к сожалению, говорить пока всерьез об измерении деловых качеств не приходится, поэтому в качестве критерия оптимизационной задачи они не подходят, и о решении этой задачи как экстремальной пока остается только мечтать. Правда, сейчас интенсивно разрабатываются методы перевода качественных показателей в количественные с помощью экспертных оценок, но до практической ценности их для решения подобных задач пока далеко: ведь экспертные оценки дают люди. А в таком деле, как назначение начальника, так много заинтересованных лиц, что легко и ошибиться. «Чины людьми даются, а люди могут обмануться», — говорил Чацкий.

В чем же смысл количественной оценки того или иного параметра экономической ситуации?

Если есть несколько вариантов решения экономической задачи, то возникает желание сравнить их с целью выбора наилучшего. И если количественная оценка каждого варианта дана, то наилучшим будет вариант с минимальным (если это оценка затрат) или с максимальным (если это оценка результатов) значением.

Следующее утверждение значительно менее очевидно: если для каждой пары вариантов можно указать, какой из них лучше, то возможна и количественная оценка. И тем не менее оно тоже справедливо.

Итак, если количественная оценка экономической ситуации дана, то для любых двух вариантов ее решения можно однозначно и правильно указать, который лучше, если же чисел нет — нельзя. Но можно с уверенностью утверждать, что данная экономическая ситуация в этом случае недостаточно изучена. Действительно, что еще может означать тот факт, что есть два варианта решения экономической задачи, но неизвестно, какой лучше? Возможно, лучше тот, в котором мы чего-то еще не знаем. Известный английский физик лорд Кельвин выразился более категорично: «Когда вы можете измерить то, о чем вы говорите, и выразить это в числах, вы что-то знаете об этом предмете. Когда же вы не можете выразить его в числах, ваше знание бедно и неудовлетворительно: оно, возможно, начало знания, но едва ли вы имеете в мыслях нечто близкое к уровню науки, каков бы ни был предмет исследования».

Правда, надо заметить, что желание измерить, оценить количественно в экономико-математических исследованиях иногда опережает возможности науки. Тогда количественные оценки, которые должны следовать за глубоким познанием качественных зависимостей, подменяются экспертной оценкой даже там, где экспертов не может быть просто в силу новизны или неисследованности ситуации. Эта страсть все иметь в числах, баллах, шкалах тонко подмечена в следующем высказывании: движение к измеримым, хотя и ложным, целям предпочтительнее продвижения к не поддающейся измерению и поэтому представляющейся сомнительной истине!

И тем не менее… критерий оптимальности в оптимизационной задаче должен быть измеряемой величиной!

Второе требование, предъявляемое к критерию оптимальности, еще более категоричное: в каждой задаче критерий оптимальности должен быть единственным!

Человеку, практически связанному с решением экономических задач, такое требование покажется немыслимым. Ведь он привык работать в ситуациях, которые характеризуются десятками показателей, и все их необходимо улучшать!

Возьмем самый главный план любого завода — техпромфинплан. Только в число показателей, утверждаемых министерством, входят и объем реализуемой продукции, и фонд зарплаты, и производительность труда, и прибыль, и рентабельность, и показатели качества, и еще многое другое. И конечно же, желательно, чтобы все эти показатели принимали оптимальное значение, то есть те, которые надо увеличивать, были возможно больше, а которые уменьшать — возможно меньше. Но, как было сказано, каждый показатель выражается числом, то есть может служить в качестве критерия. Вот и набирается добрый десяток критериев.

Чтобы разобраться в таком противоречии, надо рассмотреть ситуацию попроще. Есть всего три показателя: выпуск продукции, затраты ресурсов и качество. Можно ли все три показателя сразу принять в качестве критерия? Ясно, что нет. Ведь выпуск продукции связан с затратами ресурсов; можно даже сказать, что он прямо пропорционален им: выпуск будет тем большим, чем больше затраты. В этой ситуации требование увеличивать выпуск, и одновременно уменьшать затраты так же логически бессмысленно, как требование выполнить директиву, § 1 которой требует увеличить выпуск, а § 2 требует уменьшить выпуск.

А есть ли выход из этой противоречивой ситуации? Есть, и даже два!

Если продукция предприятия для всего народного хозяйства является дефицитной, то надо добиваться максимального выпуска ее, не обращая внимания на затраты ресурсов. Здесь экономия не нужна. В этом случае критерий — максимум выпуска продукции, а на расход ресурсов лишь накладывается ограничение — тратить не более того, что есть на предприятии. Это условие называется ограничением задачи.

Другой вариант: пусть народному хозяйству страны требуется ровно столько продукции, выпускаемой предприятием, сколько задано ему планом (бывает и так!). В этом случае максимизировать выпуск бессмысленно, и, естественно, на передний план выступают заботы о затратах, которые надо минимизировать (это критерий), а количество продукции должно быть плановым (это ограничение).

А как относиться к такому критерию, как качество? Может, достаточно повысить качество продукции, как на нее увеличится спрос, и второй вариант (плановый выпуск с минимизацией затрат) сведется к первому (увеличивай неограниченно выпуск до полного расхода ресурсов)?

Возможно, и так, но заметим, что повышение качества тоже связано с затратами. У качества изделия много показателей: внешний вид, надежность, долговечность и т. д. Объединяет их одно: улучшение каждого показателя вызывает дополнительные затраты. Но до какой степени можно улучшать качество и можно ли вопрос об уровне качества решить?

Рассказывают, что компания, прокладывавшая телефонно-телеграфный кабель через пролив Ла-Манш, заказала усилительную радиолампу сверхповышенной надежности. Разработка и создание этой лампы стоили 20 тысяч долларов, но компания пошла на затраты, так как по условиям контракта в случае отказа какого-либо устройства она должна была поднимать кабель и ремонтировать его. Аналогичные радиолампы обычной надежности у нас стоят менее полтинника, и вряд ли кто-нибудь захотел бы сменить ее в своем радиоприемнике на двадцатитысячедолларовую. В этом нет технической необходимости. А это и есть ограничение. И если изделие улучшается сверх этой необходимости, так сказать, изготовители добиваются качества ради качества ценой дополнительных затрат, это должно порицаться.

Не следует забывать, что, когда в новой пятилетке объявлялся поход за улучшение качества продукции, имелось в виду не беспредельное его повышение, а именно выход на технически обоснованные параметры, на уровень мировых стандартов!

Итак, в обоих рассмотренных случаях качество не может быть критерием при формировании плана: на него просто вводится дополнительное ограничение, оно не должно быть ниже заданного.

Стоит рассмотреть еще один довольно важный вопрос: за счет чего можно увеличить выпуск продукции при ограниченных затратах и за счет чего уменьшить затраты?

Ответ на него, естественно, может быть только один: за счет уменьшения себестоимости. Себестоимость, как известно, есть затраты на единицу произведенной продукции; это основное мерило эффективности производства. Следовательно, оба критерия — и выпуск, и затраты — эквивалентны уменьшению себестоимости продукции. В обоих случаях надо минимизировать себестоимость продукции. Только в первом — с ограничением на суммарные затраты, а во втором — с ограничением на выпуск.

Какие же выводы можно сделать из рассмотренной ситуации?

Во-первых, когда на заводских плакатах пишется: «Дать больше продукции, лучшего качества, с меньшими затратами!», то вовсе не ставится оптимизационная задача с тремя критериями. В этом случае администрация и общественные организации призывают свой коллектив работать так, чтобы вывести продукцию на уровень стандартов и снизить ее себестоимость.

Во-вторых, когда необходимо оптимизировать решение по многим критериям, внимательное изучение экономической ситуации, как правило, позволяет построить один критерий. Среди показателей, претендующих на то, чтобы быть критерием, выбирается один наиболее важный, а на остальные накладываются ограничения сверху или снизу в зависимости от смысла показателя. Выбор двух или более показателей в качестве критериев не имеет смысла, так как приводит к логической противоречивости задачи, следующей из противоречивости критериев.

Задача о перевозке цемента первоначально могла быть сформулирована так: «Максимально удовлетворить потребителей при минимуме затрат на перевозки». Однако после того, как Госплан сбалансировал производство цемента и потребность в нем, появились ограничения: все потребители должны быть удовлетворены, все поставщики должны распределить свой цемент. А в качестве критерия остались лишь затраты на перевозку. Так что критерий лишь один.

Аналогично обстоит дело и при формировании техпромфинплана — один из его показателей надо выбрать в качестве критерия, а на остальные наложить ограничения, благо сами величины ограничений «спускаются» из министерства.

На этом можно было бы и покончить с проблемой количества критериев в экстремальной экономической задаче, если бы мы походя не задели одну из самых сложных и животрепещущих проблем экономики предприятия. Это вопрос о том, который из показателей выбрать в качестве критерия?

Хотелось бы иметь один универсальный, наиболее полно характеризующий работу предприятия. Это было бы тем более ценно, что такой показатель позволял бы сравнивать работу различных предприятий. Но какой из перечисленных основных показателей мог бы выполнять такую функцию? Объем товарной продукции? Но мы уже убедились, что для народного хозяйства не всегда выгодно его максимизировать. Производительность труда? Но она, как мы видели, сильно зависит от фондовооруженности.

Наиболее реально в качестве такого показателя было бы выбрать прибыль — разность между ценой продукции и ее себестоимостью. Однако в нашей плановой системе цены устанавливаются государством централизованно. Кроме ряда явных преимуществ, такое ценообразование имеет и тот недостаток, что прибыль не может служить мерилом качества работы предприятия, поскольку зависит не только от работы предприятия (себестоимости), но и от того, какую цену утвердят центральные органы. Так что вопрос, какой из показателей выбрать в качестве критерия, приходится решать в каждом конкретном случае особо. Часто его решить так и не удается.

И тем не менее… критерий оптимальности в оптимизационной задаче должен быть единственным!

Многие экономисты склоняются к тому, чтобы во всех экономических задачах выбрать один критерий — максимум премии. Во-первых, считают они, он числовой, во-вторых, единственный, то есть удовлетворяет всем требованиям, и, наконец, в-третьих, он имеет то преимущество перед остальными критериями, что на него ориентируются все исполнители как оптимальных, так и неоптимальных решений!

В одной из книг, где указаны эти требования, третье сформулировано так: «…поскольку социалистическое хозяйство представляет собой единую систему с общей целью, надо, чтобы в любой частной задаче критерий оптимальности отражал эту общую цель».

На первый взгляд все просто. Наше социалистическое хозяйство имеет ясную цель, сформулированную в высших директивных документах, решениях партийных съездов и правительства. Эта цель — построение коммунистического общества, максимальное удовлетворение материальных и духовных потребностей советских людей. В «Основных направлениях развития народного хозяйства СССР на 1976–1980 годы» записано: «Главная задача десятой пятилетки состоит в последовательном осуществлении курса Коммунистической партии на подъем материального и культурного уровня жизни народа на основе динамичного и пропорционального развития общественного производства и повышения его эффективности, ускорения научно-технического прогресса, роста производительности труда, всемерного улучшения качества работы во всех звеньях народного хозяйства». Так определена цель страны на десятую пятилетку.

Структура народного хозяйства тоже известна. Оно подразделяется на отрасли, возглавляемые министерствами. Отрасли содержат предприятия и объединения. Предприятия состоят из цехов и участков. Последней, неделимой экономической единицей является рабочее место и, естественно, человек, который на нем работает. Необходимо сформулировать цели каждого звена, чтобы они совпали с целью всей системы. Не правда ли, просто?

Трудности начинаются с самого начала. Дело в том, что критерий народного хозяйства до сих пор, к сожалению, в виде единственного количественного показателя выразить не удалось. Его формулировка в настоящее время все еще находится в стадии разработки. Это большая задача макроэкономики. Многое в ней уже стало ясно. По крайней мере, установлено, что попытки найти или сконструировать единый показатель, характеризующий развитие народного хозяйства, — это чистейшей воды утопия. В результате выявилось первое несовершенство теории: первые два требования к критерию оптимальности (численность и единственность) не выполняются.

Трудности встречаются и при поиске методики разработки такого критерия для каждого элемента системы, который отражал бы общую цель народного хозяйства.

Общепринято, что для нижестоящего звена этот критерий всегда устанавливается сверху, формулируется звеном более высокого уровня. Предполагается, что это более высокое звено свою-то цель хорошо знает и для своих составляющих элементов формулирует цели так, что они либо совпадают, либо в крайнем случае отражают его собственную цель. Вот здесь-то и появляется на сцене премия.

Сформулировать цель для элемента более низкого уровня иерархии можно. Но чтобы он придерживался этой цели, ему за это надо платить премию, причем, чтобы точнее и активнее он следовал этой цели, тем больше должна быть премия.

Пусть цель некоторой системы известна. Как в виде функции сформулировать ее для составляющих элементов так, чтобы цели системы и элементов совпадали? Задача эта непростая, как может показаться на первый взгляд, и решить ее в общетеоретическом плане, в терминах «система — элемент», пока не удалось. Поэтому стоит попробовать получить решение хотя бы для одной конкретной системы, например, для системы министерство — предприятие.

Цель отрасли (министерства) ясна: во-первых, выполнить народнохозяйственный план, во-вторых, повысить производительность труда отрасли за счет сверхпланового выпуска необходимых народному хозяйству изделий.

Обычно Госплан СССР задает отрасли перечень изделий с указанием количества каждого изделия, которое должно быть выпущено, — это первая задача. Кроме того, известно, какие из этих изделий являются дефицитными для всего народного хозяйства и по ним желательно план перевыполнить, — это вторая задача. Она не менее важна, чем первая, поскольку связана с ростом производительности труда — одного из основных показателей развития общества.

Исходя из своих задач, отрасль ставит аналогичную задачу предприятию: а) выполнить план по номенклатуре и количеству изделий, б) перевыполнить его по дефицитным изделиям.

Для оценки деятельности предприятия вводится ряд показателей, о которых уже говорилось. Допустим, что есть показатель работы предприятия, назовем его П, который характеризует все показатели. Система планирования в этом случае может быть построена очень просто. Пусть в текущем году предприятие достигло показателя П; на следующий год ему задается план, скажем, П + 8 % П, если намечаемый прирост производства отрасли равен 8 процентам. Такой подход к планированию называется «планированием от достигнутого».

Чтобы заставить предприятие достичь этой цели, планирование подкрепляется системой материального стимулирования. За выполнение П + 8 % П предприятию платится премия, а за каждый процент перевыполнения плана — дополнительная премия. Под премией подразумеваются отчисления в фонды материального поощрения, на социально-культурные мероприятия и прочие «пряники», а за невыполнение, естественно, «кнут», то есть, во-первых, никакой премии, во-вторых, всякие административные неприятности: выговоры, увольнения и освобождение от должности.

А нельзя ли обойтись без административных мер? Ведь все просто: выполнил и перевыполнил план — получай премию, не выполнил — нет премии!

На самом деле все сложнее. Чтобы предприятие получило максимальную премию (а в этом кровно заинтересовано каждое предприятие), ему надо из года в год перевыполнять план, то есть увеличивать объем производства не на плановые 8 процентов, а, допустим, на 10, и в результате за пятилетку выйти на уровень производства, значительно превышающий запланированный.

Однако не исключено, что найдется изворотливый и недобросовестный директор, который захочет получить за пятилетку еще большую премию. Обязательно ли для этого организовать еще более напряженную работу? Ничуть не бывало. Ему достаточно на первом году допустить срыв плана, не получить за это премии, но зато в последующие годы легко добиваться перевыполнения плана даже на 15 процентов вместо запланированных 8, и за пять лет получить «пряников» больше, чем соседнее предприятие-труженик. Правда, в конце пятилетки завод не выйдет на установленный директивами уровень производства. Но что такому руководителю до этого!

Ясно, что в подобных случаях без административных санкций, которые должны подкреплять материально-пряничную систему стимулирования, не обойтись.

Описанный упрощенный пример не претендует на то, чтобы описать всю сложную систему взаимоотношений между министерством и предприятием. Он лишь иллюстрирует то, как нелегко эту систему правильно построить и сколь много там можно встретить подводных камней.

Интересно, что, когда этот пример был изложен слушателями курсов повышения квалификации работников управления, они ничуть не были поражены… «Подумаешь, удивил! — говорили они. — Сколько еще встречается директоров, которые, приходя на предприятие, в первый год стараются „завалить“ дела как можно сильнее, кивая, естественно, на плохое старое руководство, зато потом какой простор для улучшения!»

Итак, согласование критериев отрасли и предприятия дело непростое. Ну а уровнем пониже, предприятия с цехом?

Их отношения строятся на основе системы внутризаводского стимулирования, которая разрабатывается самим предприятием.

Естественно, что собственная цель цеха также предельно проста — максимум премии. Следовательно, предприятие должно назначить цеху такой критерий работы, чтобы он старался работать как можно лучше, напряженнее и за это получать больше премии. Что же ему задается предприятием?

Обычно цеху задается месячная производственная программа. В ней указывается, во-первых, перечень деталей, которые надо изготовить, с указанием их количества (план по номенклатуре); во-вторых, план повышения производительности труда, которая характеризуется объемом выполненной работы в нормо-часах (о них уже говорилось).

Стимулировать только один показатель — это плохо. Пусть план цеха по номенклатуре 100 гаек и 100 винтов, а объем 1000 нормо-часов. Наилучший вариант, если цех за месяц сделает примерно 105 гаек и 105 винтов в объеме 1100 нормо-часов. Но допустим, что премию назначили только за перевыполнение объема. Тогда цех может сделать 220 гаек и ни одного винта, если гайки делать проще. План по объему при этом будет выполнен на 110 процентов, премию цех получит неплохую, а заводу от такой работы один вред, поскольку и винтов нет, и лишние гайки будут лежать мертвым грузом.

Если же премию назначать лишь за строгое выполнение плана по номенклатуре, то цех в лучшем случае выпустит 100 гаек и 100 винтов. Как его заставить сделать хоть на одно изделие больше? Кроме того, могут возникнуть казуистические вопросы, вроде — платить ли премию, если цех сделал 99 гаек и 101 винт?

Следовательно, работу цеха необходимо стимулировать по обоим показателям. Но как?

Попробуем систему поощрения построить так: будем увеличивать премию за перевыполнение плана по объему, но уменьшать ее (штраф) за каждую невыполненную позицию номенклатуры. Кажется, теперь получилось то, что надо. Однако такая система может привести к тому, что для покрытия штрафов по невыполненным позициям номенклатуры цех наделает столько ненужных деталей, что ими будут забиты все склады. Скажем, вместо винтов, которые ему упорно не хочется выпускать, он сделает 150 гаек и дополнительно еще 100 никому не нужных сейчас шайб из программы следующего квартала.

Здесь уместно сказать, что такое положение может сложиться не от того, что начальник цеха — человек злонамеренный и своекорыстный. Нет, он вполне деловой и против винтов лично ничего не имеет, но а) нормы на их изготовление значительно жестче, чем на гайки и шайбы, поэтому рабочие их делать не любят; б) инструмента для их изготовления не хватает; в) наверное, такое же положение в заготовительном цехе, потому что заготовки на гайки идут потоком, а на винты — со скрипом; г) и т. д. и т. п.

Конечно, когда из планово-диспетчерского отдела поступает эмоционально окрашенное распоряжение, тогда все появляется: и заготовки, и инструмент, и желание — не портить же с отделом отношения! А пока есть объективные причины увильнуть от этих проклятых винтов и при этом не потерять премии, то трудности можно спихнуть и на соседний цех, пусть помогают…

Что же можно сказать о системе стимулирования со штрафами? Оказывается, можно заштрафовать за невыполнение плана по номенклатуре так, что никаким увеличением объема премию не вытащишь, и тогда полностью теряется стимул к увеличению объема. А если перестимулируешь объем, то никто план по номенклатуре не будет выполнять. Тогда может быть принято иное решение: дать премию за перевыполнение объема и выговор за невыполнение плана по номенклатуре!

Итак, напрашивается вывод, что одно материальное стимулирование справиться с задачей согласования критериев разных уровней не в силах. А может быть, дело в несовершенстве системы стимулирования?

Вопрос этот остается пока открытым…

Теория согласования критериев, та самая теория, которая позарез нужна, в настоящее время находится еще в состоянии младенчества и, как положено младенцу, молчит или издает невразумительные звуки. А практика упорно строит новые системы внутризаводского хозрасчета, подбирает коэффициенты, вводит проценты… Время от времени в печати появляются сообщения о новой (самой лучшей!) системе стимулирования, которая в конечном итоге не обходится без выговора. Практика, как известно, без теории слепа!

И тем не менее необходимо, чтобы при решении любой частной задачи критерий оптимальности отражал общегосударственную цель!

Наша экономическая машина работает сейчас успешно. Но и в этих условиях нам небезразлично, какой ценой достигается этот успех. Эффективность производства — вот один из основных лозунгов десятой пятилетки! А эффективность производства существенно зависит от эффективности управления. Прежде чем принимается какое-нибудь управленческое решение, необходим анализ соотношения «затраты — результаты». И если из него видно, что какие-то звенья производства функционируют недостаточно эффективно просто потому, что ими неграмотно управляют, с этим мириться никак нельзя. Всеобщее движение за качество и эффективность должно вызвать глубокие сдвиги в качестве и эффективности управленческого труда. А это возможно только за счет широкого внедрения оптимизационного подхода к задачам управления.

Что же касается экспериментов, которые вызывают опасение, то их просто не будет. Экономико-математическая наука предложила иной метод исследования — метод экономико-математического моделирования.

Модели вообще являются фундаментальнейшим научным инструментом и всегда использовались для проверки новых идей и особенно для выяснения количественных зависимостей. В том случае, когда в силу сложности, громоздкости или слишком большой стоимости эксперименты с реальными объектами вести невозможно или нецелесообразно, ученые прибегают к моделированию. «Не огорчайтесь, — гласит научная мудрость, — если построенная вами модель никуда не годится — это все равно самый дешевый способ строительства!»

Вообще моделирование означает получение и исследование сущности явления вне условий реальной действительности.

Слово «модель» в науке имеет несколько смысловых оттенков. И каждый из них занимает свое особое место в моделировании.

Во-первых, под моделью понимают физическую копию, чаще всего уменьшенную, реального объекта. Так, расчет конструкций самолета очень трудоемок и недостаточно точен. Для выяснения его поведения в движущемся потоке воздуха строят его уменьшенную физическую модель и исследуют ее в аэродинамической трубе. Иногда строят увеличенные копии объекта, например модель молекулы.

Во-вторых, со словом «модель» всегда связывают некоторую идеализацию действительности, представление, в котором отсутствуют некоторые детали, связи. Модель какого-нибудь человеческого органа, предназначенная для изучения его функциональных характеристик, необязательно сохраняет все особенности органа; в ней, как правило, отсутствует система кровоснабжения, нервная система либо еще что-нибудь.

Наконец, часто употребляемый глагол «моделировать» означает «определять результаты исследования с помощью модели». Он неразрывно связывает процесс построения модели с ее исследованием.

Долгое время в науке доминировали физические модели. Развилось даже два типа физического моделирования: это уже упоминавшееся построение «портретных» моделей (уменьшенная или увеличенная копия) и моделирование «по аналогии», в котором используются сходные свойства различных явлений. Скажем, некоторые свойства потока воды в трубах аналогичны свойствам «потока» электричества в проводах, так что изучать тот или иной поток жидкости можно успешно на электрической модели.

Математики предложили свою форму моделирования — «символическое», или математическое, моделирование. В математических моделях исследуемый процесс описывается с помощью символов, переменных величин и соотношений между ними — уравнений и равенств. Затем зависимости эти исследуются, а для получения конкретного результата в модель подставляют имеющиеся параметры реального объекта. Все оказалось просто и выгодно. Вместо дорогого эксперимента — составление нескольких уравнений и расчеты! Правда, оставшийся пустяк: как описать объект или процесс с помощью уравнений, — пока относится не к науке, а к искусству моделирования.

Естественно, что при изучении экономических явлений тоже прибегают к моделированию, так как эксперименты на реальных экономических объектах, как показала практика, чрезвычайно дорого обходятся народному хозяйству. Понятно также, что физическое моделирование в этом случае неэффективно: если мы даже построим модель завода, уменьшенную в тысячи раз, то это ничего не даст для изучения вопросов, связанных с планированием и управлением. Ведь сущность экономических проблем в основном лежит в отношениях между людьми, а их физически не смоделируешь. Поэтому в исследовании экономических процессов и используется экономико-математическое моделирование — математическое описание экономических процессов.

Экономико-математическая модель, как и прочие модели, должна быть некоторым приближенным отображением действительности. То, что модель не сама действительность, а ее приближенное отображение, не должно смущать — любая наука изучает именно приближенные отображения, а не саму действительность. Ч. Карр и Ч. Хоув, известные американские специалисты по экономико-математическим методам, в книге «Количественные методы принятия решений в управлении и экономике» утверждают, что «действительность есть объект изучения для философов, но не для ученых». Я не уверен, что это их утверждение понравится адептам философской науки, но не об этом речь.

Если рассмотреть первую попавшую экономическую ситуацию, то бросится в глаза обилие взаимодействующих факторов и сложность связывающих их отношений. И чтобы получить какой-нибудь результат, либо сравнить несколько результатов, либо принять решение, необходимо упростить ситуацию и рассмотреть только основные соотношения и наиболее важные свойства изучаемого объекта. Такие упрощения являются одной из основных целей количественного анализа и в моделировании носят название идеализаций. Идеализация — это пренебрежение несущественными связями и свойствами объекта во имя отыскания эффективного решения. Как правило, она является первым шагом моделирования, когда необходимо для рассмотрения объекта отделить его существенные свойства от несущественных, и состоит в том, чтобы как можно больше свойств объявить несущественными и не включать их в модель, чтобы она получилась проще для исследования.

Но с упрощением надо быть осторожным. На этом пути можно перестараться и вместе с водой выплеснуть ребенка, то есть пренебречь каким-нибудь существенным свойством и не достичь необходимого эффекта от построения модели.

Теперь стоит подробнее остановиться на вопросе, какие цели преследуются при построении моделей.

Первая цель — простая, утилитарная — это оптимизация. Имеется некоторая экономическая ситуация, в которой необходимо выбрать один из многих возможных вариантов действия. В обычной обстановке этот вариант выбирается, исходя из опыта или из каких-нибудь «правдоподобных рассуждений». В случае же математической модели имеется возможность точно сформулировать существенные условия (их в моделировании называют ограничениями), определить критерий оптимальности, а математические методы и ЭВМ позволят найти оптимальный вариант.

Хорошим примером, иллюстрирующим целесообразность моделирования экономической ситуации, является составление плана перевозок какого-либо продукта. Обычно он формируется на основании здравого смысла — везти к ближнему потребителю, исключить встречные перевозки и прочее. При моделировании же выбирается одна из разновидностей транспортной задачи, которая достаточно хорошо похожа на реальную ситуацию. Создается ее модель, и находится алгоритм ее решения. Он и дает оптимальный план перевозок.

Вторая цель моделирования более сложная. Она заключается в исследовании математической модели для того, чтобы определить, «как себя ведет» уже найденное оптимальное решение при изменении исходных данных. Известно, что в процессе выполнения плана, допустим, производственного участка возможны неполадки и поломки станков, отсутствие заготовок и инструмента и т. д., что приводит к увеличению времени выполнения операций. Очень важным является вопрос: как это увеличение влияет на общее время работы всего участка? Ведь есть детали, которые изготавливаются не на самом загруженном оборудовании. Тогда удлинение операции на них не сказывается на времени выполнения плана участка. И напротив, нарушения по операциям, которые выполняются на самом загруженном оборудовании, приводят к срыву всего планового задания. Подобный анализ модели позволяет мастеру сосредоточить внимание только на критических операциях.

И наконец, третья важная цель моделирования связана с определением в явном виде взаимосвязей, характеризующих экономическую систему, когда они настолько сложны, что простое визуальное изучение их невозможно.

Наиболее характерным примером здесь является информационная модель предприятия с описанием движения потоков информации на предприятии. (Потоки информации — это потоки документов, которые люди, управляющие предприятием, передают друг другу.) Кстати, исследование этих потоков, их основных направлений, завихрений и тихих омутов составляет одну из первоочередных задач проектирования АСУ. Почему?

Во-первых, автоматизация управления — это в большой степени автоматизация документооборота, а чтобы автоматизировать, надо, как минимум, иметь его схему.

Во-вторых, ни на одном предприятии такой схемы не имеется хотя бы в силу гигантских масштабов документооборота. На большом предприятии только число наименований документов превосходит тысячу, а ведь некоторые документы тиражируются тысячами ежедневно, например, сменное задание на некоторых заводах выдается каждому рабочему на каждую смену.

В-третьих, наконец, документооборот предприятия складывался исторически, путем изменения существующих и введения дополнительных общегосударственных, отраслевых, внутризаводских информационных потоков. Эти потоки наслаивались друг на друга, заменяли друг друга, вследствие чего на предприятии возникли дублирующие друг друга документы, «тупиковые» документы, которые никому не предназначены и для управления давно не применяются. Естественно, что при автоматизации необходимо «почистить» такой документооборот. И единственным известным средством анализа и чистки этих потоков является информационная модель.

Построить информационную модель в памяти ЭВМ не очень сложно, хотя и хлопотно (очень много информации). Упрощенно все выглядит так. Сначала в ЭВМ вводятся данные о работниках управления — их можно получить из штатного расписания предприятия, дополнив данными, кому подчиняется каждый работник. Тогда в машине будут такие сведения: фамилия, и. о., должность, кому подчиняется. Имея всю эту информацию, ЭВМ с помощью специальных алгоритмов точно восстанавливает структурную схему управления.

Далее, в ЭВМ вводится информация о каждом документе. Здесь и наименование документа, и его характеристика (назначение, цель, функции), и частота обращения, и номер изготовителя документа, и номер получателя. После этого можно считать, что цель моделирования почти достигнута. Алгоритмы обработки выявят «тупиковые» и дублирующие документы, подсчитают характеристики системы документооборота, установят нагрузку на исполнителей и т. д.

Сознательное экономико-математическое моделирование, можно считать, родилось в годы второй мировой войны. Однако всю историю применения количественных методов в экономике, о которой говорилось, можно отнести и к истории, вернее, к предыстории моделирования. Ведь известные формулы К. Маркса фактически являются математическими моделями!

Несмотря на еще юный возраст, экономико-математическое моделирование уже имеет довольно разветвленную структуру. Прежде всего модели делятся на дескриптивные (описательные) и предсказательные, которые часто называются прагматическими.

Дескриптивные модели предназначены для выяснения количественных характеристик изучаемых систем. Это уже известная нам информационная модель предприятия, сюда же можно отнести статистические модели структуры общества, которыми увлекаются демографы, и пр.

Но подавляющая часть моделей — предсказательные, и создаются для изучения поведения системы в будущем. К ним относятся все модели прогнозирования и планирования. А так как планирование относится к наиболее распространенному виду управленческой деятельности, то предсказательные модели называются еще прагматическими, ибо предвидение поведения системы в будущем позволяет предпринять шаги по использованию этого поведения на практике. Этим объясняется и столь широкое распространение предсказательных моделей.

Есть и еще другая классификация: математические модели в экономике, как и во всех других науках, делятся на детерминистические и вероятностные.

Детерминистические (от латинского слова «детермино» — определяю) — это модели, в которых все точно может быть определено. Например, механика И. Ньютона — это детерминистическая модель природы. Пользуясь ее законами, можно предсказать поведение любой механической системы в будущем, если имеется достаточная информация о ее прошлом. Каждый, наверное, помнит школьную задачу по физике: «Камень сброшен с вышки и через три секунды стукнулся о землю. Какова высота вышки?» Формулы механики позволяют вычислить эту высоту, а также положение брошенного камня в любой момент времени с начала до конца падения.

В управлении производством широко используются детерминистические модели. Так, почти все модели производственного планирования — детерминистические. На основании изучения прошлого системы: производственных возможностей, сбыта продукции, качества исполнения и других показателей — строится модель ее будущего — план. Как правило, он строго определен и задается в объемах, датах и т. д.

В вероятностных моделях независимо от количества информации, имеющейся о прошлом системы, точно описать будущее ее невозможно, и оно может быть предсказано только с некоторой степенью вероятности. Применение вероятностных моделей вызвано тем, что любой экономический процесс все время находится под воздействием большого числа непредсказуемых факторов, вследствие чего этот процесс, как правило, протекает совсем не так, как планируется. Возникает идея: если эти факторы пусть случайно, но стабильно действуют на систему, то нельзя ли, собрав о них информацию и статистически обработав ее, заложить ее в план в качестве некоторых вероятностных характеристик.

Этот прием довольно широко используется. Так, нормативное время выполнения той или иной операции рассчитано на среднего рабочего. Неудивительно, что часть рабочих выполняет эту операцию быстрее, часть медленнее. На каком-то участке может подобраться бригада рабочих, которые все работают быстрее среднего, и тогда такой бригаде часто не будет хватать работы. Чтобы такого не случалось, на производстве систематически ведется учет среднего коэффициента выполнения норм каждым рабочим, бригадой, участком, цехом. И план на последующие периоды всегда задается с учетом этого коэффициента.

Другой пример использования вероятностных моделей — управление запасами. Известно, что время поставки материалов, заготовок, готовых деталей является случайной величиной, зависящей от многих трудно прогнозируемых факторов, включающих и добросовестность поставщика. И может случиться так, что какого-либо компонента производственного процесса на складах не окажется. Тогда считай не прибыли, а убытки. Во избежание подобного на складах обычно хранится страховой запас, назначение которого — снабжать производство в случае непредвиденной задержки сырья и материалов поставщиками. Однако на какую задержку надо рассчитывать?

Статистика помогает оценить средние значения их и в соответствии с этим выбрать величины страховых запасов.

Энтузиасты применения вероятностных моделей считают, правда, что прогнозирования средних величин задержек недостаточно для планирования. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют, утверждают они, получить гораздо больше информации о будущем, следовательно, надо использовать и эту информацию.

С данным утверждением не совсем можно согласиться. Как правило, такая информация бывает бесполезной.

Рассмотрим такую ситуацию. Собираясь в аэропорт встречать жену, прилетающую из отпуска, вы, читатель, узнаете по телефону в справочном бюро, что самолет по расписанию прибывает в 10 часов 15 минут. И вы и сотрудница справочного бюро знаете, что самолет совершенно точно в 10.15 не прилетит. Примерно известно, что из 100 самолетов 10 прилетают между 10.00 и 10.15, 40 между 10.15 и 10.30, 30 между 10.30 и 11.00, 10 между 11.00 и 12.00, а 10 между 12.00 и 12.00 следующих суток. Допустим, ответ на ваш вопрос о прилете самолета выдан в виде таблицы 5.

Разве вы не приедете в аэропорт задолго до 10.00, а не к 10,15, хотя вероятность прибытия самолета между 10.15 и 11.00 равна 70 процентам? Еще как приедете! Жена все-таки…

Не следует забывать, что предсказательные модели должны быть и прагматическими, то есть приносить практическую пользу. А дополнительная информация о вероятности реализации плана, кроме дополнительного беспокойства, практически ничего не приносит. Действительно, пусть производственному участку задан некоторый объем работы, спланированный с учетом статистики выполнения. И пусть известны распределение вероятностей выполнения плана и другие статистические характеристики. Что же, руководители будут сидеть и наблюдать, как именно реализуется производственный процесс, а потом, если он не выполнится, ахать по поводу того, что он реализовался хуже среднего?

Нет, прагматический подход предполагает другое поведение. В процессе выполнения плана необходимо постоянно осуществлять оперативное управление: учитывать ход производства, анализировать отклонения и вырабатывать решения по изменению хода производства, проводить эти решения в жизнь.

Стоит отметить роль систем оперативного управления, которые существуют практически на всех этапах управления производством. Они избавляют от надобности конструировать слишком сложные и дорогостоящие вероятностные модели планирования. (Дорогостоящими вероятностные модели становятся из-за необходимости сбора огромного количества статистических данных.) С другой стороны, чем точнее планирование, то есть чем тщательнее составлена вероятностная модель планирования, тем меньше нагрузка на систему оперативного управления. Этот баланс: «затраты на планирование — затраты на управление» — и определяет степень применимости вероятностных моделей.

Третий принцип классификации моделей связан с характером используемого математического аппарата. Различают модели линейного программирования, модели нелинейного программирования, модели массового обслуживания и т. д.

Наконец, четвертая классификация моделей связана с понятием, о котором мы уже говорили, с понятием «системы».

В узком смысле моделирование применяется для описания экономических или управленческих ситуаций. В более же широком является моделированием систем, или, как сейчас принято говорить, больших систем.

Существует много определений системы. Например, системой называется «организованное сложное целое; совокупность или комбинация предметов или частей, образующих комплексное единое целое». Другие определения не менее широкие и расплывчатые. Расплывчатость их объясняется попыткой объять необъятное, включить в круг понятия как можно больше «систем» из разных областей науки.

Интересно поглубже заглянуть в причины возникновения современной науки «системотехники», упомянутой уже вскользь, научной основой которой является «теория сложных систем». Дело в том, что во многих дисциплинах в последнее время появились очень сходные теоретические построения. Разработаны модели, которыми могут быть описаны физические, биологические, социальные явления. В то же время наблюдается резкая специализация наук, связанная с углублением знаний, выработкой специфического языка, и т. д., вследствие чего ученые разных профессий практически утрачивают возможность общаться друг с другом. Из-за этого научные понятия, гипотезы, методы одной научной области не могут применяться в другой, что, естественно, обедняет науку в целом. К. Боулдинг, американский специалист по системам, пишет: «Физики… разговаривают только с физиками, экономисты — с экономистами, более того, физики-ядерщики общаются только с ядерщиками, эконометристы — с эконометристами. Приходится удивляться тому, что наука не топчется на месте в обществе отшельников, замкнувшихся в четырех стенах и бормочущих что-то на собственном, только им понятном языке».

В этой ситуации и возникла идея создать науку, системотехнику, изучающую общие закономерности, присущие разным наукам, а в качестве объекта исследования была выбрана «система». Больших успехов системотехника достигла в изучении производственных систем, где в качестве основного инструмента также используется моделирование.

Различают две основные разновидности моделирования больших производственных систем. В одной из них процесс управления заранее запрограммирован в модели, и вся система промоделирована на ЭВМ, так что участия человека практически не требуется. По исходным данным машина вырабатывает и выдает готовое решение. Эта разновидность и называется собственно моделированием систем.

Чтобы понять применение и выгоды моделирования, стоит рассмотреть примеры, приведенные в книге видных системотехников Р. Джонсона, Ф. Каста, Д. Розенцвейга «Системы и руководство».

Авиакомпании «Юнайтед эрлайнс» проводила моделирование работы крупного аэропорта на большой ЭВМ. В течение нескольких минут на модели воспроизводится несколько суток работы аэродрома. Как и в реальных условиях, в модели присутствуют и погодные условия, и задержки при взлете и посадке, и невыходы на работу, и многое другое. Кроме того, «миниаэропорт», заложенный в ЭВМ, осуществлял свое «обслуживание» с учетом времени суток, сезона, на нем проводилось «техобслуживание» того же вида и длительности, что и в действительности, «персоналом» той же квалификации и численности. В модели был и свой «резервный парк самолетов».

Естественно, что компанию интересовало, как изменение коммерческой политики сказывается на работе аэропорта; и в этом случае модель стала не только важным инструментом, используемым при принятии решений, но позволила понять много общих проблем функционирования системы.

Другой пример — задача обслуживания боевой техники батальона сухопутных войск США. Надо было найти минимальную численность технического персонала и потребность в запасных частях, необходимых для поддержания боеготовности батальона в различных условиях. При моделировании была разработана сложная схема основных видов деятельности (боевых операций) батальона, разработано и запрограммировано множество вариантов технического обслуживания, получены оценки последствий всех возможных изменений в составе имущества, технического персонала и т. д. В результате было установлено наилучшее соотношение между численностью механиков, объемом запасного имущества и боевыми возможностями батальона.

Приводя последний пример, невозможно не остановиться на одной его особенности — это военный пример. В нем присутствует самая ужасная черта нынешних военных воззрений: война планируется как большая хозяйственная операция. При планировании и анализе этой «хозяйственной» операции по молчаливому уговору, как табу, запрещены такие слова, как кровь, смерть, слезы… Присутствуют «достижение цели», «потери», «вероятность успеха» и т. д., а критерий: минимизация затрат на достижение «цели». Можно подсчитать и «экономический эффект» — одна оптимально спланированная военная операция «экономит» не меньше, чем дюжина атомных бомб. Вот так и такая «тихая» наука, как теория систем, в руках агрессора превращается в орудие массового уничтожения. Невольно хочется воскликнуть: господа ученые, поосторожнее с модельками!

Другая разновидность моделирования больших систем сводится к тому, что в ЭВМ моделируются только основные параметры системы, а само управление ею остается в руках человека. Принимая то или иное решение, он «проигрывает» его на модели и смотрит, к чему это приводит. Особенно широко такой вид моделирования применяется при исследованиях конкурентных ситуаций, и называется он деловыми играми. Деловые игры особенно широко практикуются при обучении управляющего персонала, так как для развития управленческой интуиции такие игры очень полезны.

Предлагаемые американской Ассоциацией организации и управления деловые игры проводят обычно так. Моделируется целая отрасль. В игре принимают участие от двух до шести команд, представляющих фирмы, работающие в данной отрасли. В ходе игры участники принимают решения по производственной и коммерческой политике «своих» фирм, а ЭВМ рассчитывает последствия, к которым приводят принятые решения. Окончательный подсчет доходов определяет правых и неправых.

Таким образом, моделирование на ЭВМ служит мощным средством исследования систем и решения сложных управленческих задач.

В заключение еще раз стоит пояснить, почему моделирование за столь короткий срок так широко и глубоко проникло в совсем новую для себя область — практику управления. Наилучшим образом это, пожалуй, сформулировано в следующем официальном документе, составленном американским институтом промышленного проектирования.

«Теперь можно поставить главный вопрос: для чего предприниматели, ученые, специализирующиеся в области руководства, и все, кто связан с руководством, интересуются моделированием систем?

Во-первых, моделирование позволяет ускорить или замедлить реальное время. Другими словами, предприниматель за несколько минут может промоделировать годовую деятельность предприятия или, как при замедленной демонстрации кинофильма, может растянуть реальный процесс и анализировать его наиболее важные моменты.

…Моделирование впервые предоставляет руководителям возможность иметь лабораторию, при помощи которой можно анализировать деятельность предприятия и рассматривать ее как в замедленном, так и в ускоренном темпе.

Второе достоинство моделей очень значительно, так как оно позволяет удовлетворить насущную потребность предпринимателей в эффективном планировании и прогнозировании. Предприниматель может, моделируя систему, заглянуть вперед, прежде чем делать решающий шаг, и заранее проверить новые идеи и изменения. В течение нескольких часов можно получить результаты деятельности за год при различных предположениях. Следует учитывать и то, что в реальных условиях экспериментальная проверка новых идей в управлении предприятием во многих случаях невозможна, непрактична и неэкономична из-за нарушений или затрат, связанных с изменением существующих процессов».

Сфера применения экономико-математических моделей довольно четко очерчена в уже упоминавшейся книге Ч. Карра и Ч. Хоува. В жизни, говорят они, приходится часто сталкиваться с основным выбором между бездеятельностью (ничего не делать) и деятельностью (что-нибудь делать). В противоположность первому для исследователей нет ничего более интересного, чем человеческая деятельность. Так обозначается первая область применения моделирования — область человеческой деятельности.

Изучение почти любой деятельности людей можно проводить как изучение ситуаций, в которых приходится принимать решение. А такие обстоятельства возникают всякий раз, когда человек должен сделать выбор одного из нескольких возможных действий. Правда, ситуация принятия решения может оказаться и не связанной с проблемой выбора, однако если все разрешается само собой, то и исследовать нечего. Изучению, как правило, подвергаются ситуации сложные, когда выбор сделать трудно.

Так что вторая область применения экономико-математических моделей — это ситуации, при которых возникает необходимость принимать решения.

Принятие решений вообще — настолько широкая проблема, что ее изучает целый ряд наук, включающий экономику, психологию, этику, политику, юриспруденцию, социологию. И среди них наука об управлении экономическими объектами, то есть то, что изучает экономика.

Как и всякую теорию, теорию принятия решений можно развивать с помощью научного метода, который предполагает исследование причинных связей и зависимостей, а также с помощью других, менее строгих, но все же достойных упоминания методов — интуиции, откровения, авторитета, традиции, здравого смысла.

Научный метод также включает различные подходы. Описательный подход предполагает исследование того, как осуществляется выбор решения в настоящее время. В противоположность ему нормативный устанавливает, как должен производиться выбор решения. Поэтому он часто называется рациональным подходом и, естественно, является наиболее распространенным.

Итак, ответ на вопрос, для чего разрабатываются экономико-математические модели, становится ясным: для анализа и решения проблем управления в экономических ситуациях.

Естественно, что такая важная и обширная область науки, как теория принятия управленческих решений, не могла обойтись без специального названия, и их появилось сразу несколько. Наиболее распространенным оказалось — «исследование операций».

Как это бывает иногда с названиями и терминами, они не совсем точно отражают суть дела. Термин «исследование операций» появился в годы второй мировой войны вместе с зарождением самой науки. Как раз в это время в США и Англии, в связи с удаленностью театров военных действий и сложностью планирования военных операций, многие крупные ученые были привлечены к решению вопросов снабжения армии, планирования боев и прочее. Занимаясь исследованием военных операций, они и заложили начало новой науки.

В настоящее время круг проблем, которые исследует эта наука, существенно расширился (хотя те военные операции тоже остались), но название по привычке сохранилось. Многие ведущие ученые в этой области считают, что, несмотря на то, что данный термин недостаточно точно отражает суть дела, а порой даже вводит в заблуждение, к нему следует относиться с должным уважением. В США, впрочем, достаточно популярно и другое название — «наука управления».

История исследования операций началась в 1941 году, когда английский исследователь Ф. Хичкок формализовал одну из центральных задач, названную «транспортной задачей». Вообще надо заметить, что характерной особенностью данной науки является обилие специфических задач с не очень строгими названиями. Более того, формулируются эти задачи порой как полушутливая головоломка и не имеют прямого отношения ни к военным, ни к прочим операциям. Может даже создаться впечатление, что та или иная задача вообще не имеет прикладного значения. Вот, например, задача о ранце.

Солдат размышляет перед походом: «Обжился на постое, кое-каких вещичек накопил, а с собой все не возьмешь, ранец мал… Вот и решай, что оставить, что выкинуть…» Формально задача ставится так. Ранец имеет некоторую предельную «грузоподъемность». Каждая вещь характеризуется, во-первых, ценностью ее в глазах владельца, во-вторых, весом. Требуется определить набор вещей, общий вес которых не превышает «грузоподъемность» ранца, а суммарная ценность максимальна.

Задача эта, в общем, непростая. Житейское правило «берем самое дорогое» к оптимальному решению не приводит. Скажем, в ранце можно унести не более 100 единиц груза, а предметов всего пять, вес и ценность которых перечислены в таблице 6.

Тогда по житейскому правилу надо брать предметы № 1 и 2 с суммарной ценностью 130, а оптимальное решение, которое находится перебором, утверждает — надо брать вещи № 3, 4 и 5 с суммарной ценностью 140 и не превышающие предельную «грузоподъемность» ранца. Кстати, уже для такой простой задачи перебрать надо 32 варианта решения!

Или вот такая задача. Коммивояжер (бродячий торговец, агент по сбыту) должен посетить несколько городов по одному разу и вернуться в свой город. Учитывая, что расстояние между каждой парой городов известно, необходимо составить такой маршрут, длина которого минимальна.

На рисунке изображена условная карта, содержащая четыре города. Расстояния между городами указаны в таблице 7. Попробуем составить маршрут коммивояжеру, учитывая, что его родной город носит № 1.

Простое житейское правило предлагает всегда направляться в город, который расположен ближе всего. По этому правилу надо сначала переместиться в город № 4, из № 4 в № 3, из № 3 в № 2, а потом вернуться в № 1. Суммарное расстояние 24 километра. Однако полный перебор всех возможных маршрутов показывает, что если сначала посетить город № 3, за ним № 2, потом № 4 и вернуться в № 1, то суммарное расстояние будет только 22 километра.

А теперь встает законный вопрос: так уж важна солдатская проблема о загрузке ранца? Особенно если учесть, что, наверное, ни в одной армии мира солдаты уже не носят ранцев и вообще вся пехота стала моторизованной. Проблемы бродячих торговцев тоже кажутся не очень серьезными: по крайней мере для нашей экономики! Все же не надо поспешно отбрасывать эти задачи.

Задача о солдатском ранце возникла в связи с весьма серьезной прикладной проблемой. Известно, что транспортный корабль характеризуется некоторой грузоподъемностью, которую нельзя превысить. А каждый предмет (здесь имелись в виду танки, пушки и прочие «предметы» того же сорта) имеет ценность в свете предстоящих операций. Вот в связи с задачей о загрузке транспортных средств при планировании операций и появился ранец. Почему бы прямо не назвать вещи своими именами?

Во-первых, шла война, и вряд ли строгая военная цензура позволила бы опубликовать даже сугубо теоретические размышления на такую тему. А во-вторых, ведь не только корабли можно грузить. При загрузке самолетов, вагонов, грузовиков приходится решать аналогичную задачу. А как трактовать, например, такую экономическую ситуацию: какие гарнитуры выпускать фирме, ну, скажем, «Двенадцать стульев», в предстоящем году: в стиле «мадам Петухова» или «генеральша Попова»? Каждый вид гарнитуров характеризуется, во-первых, затратами трудовых ресурсов на изготовление, а во-вторых, прибылью от продажи. Трудовые ресурсы фирмы ограничены. По-видимому, руководству фирмы придется решать все ту же «задачу о ранце».

С проблемой, о чем же задача: о корабле, о самолете или стульях, — первым сталкивается ученый, который ее и формулирует. Естественно, что название и содержание задачи в большой степени зависит от его чувства юмора. А поскольку с юмором в среде ученых не бедно, то и появилось в науке об исследовании операций множество задач с «именами».

Но вернемся к бродячему торговцу. Ясно, что не праздным любопытством и не любовью к головоломкам были движимы исследователи, решая «задачу о коммивояжере». Оказалось, что не только очень большое количество сбытовых и снабженческих задач может быть сформулировано в терминах этой «головоломки». Нельзя не удивиться, узнав, насколько много оказалось похожих экономических ситуаций в самых разных областях человеческой деятельности. Некоторые из них стоит разобрать.

На сверлильном станке с программным управлением должна обрабатываться сложная деталь, в которой надо просверлить несколько десятков отверстий. Порядок выполнения работы устанавливается программой, по которой под сверло подводится то место заготовки, где надо сверлить отверстие; после того как отверстие просверлено, подводится следующее место и т. д. А можно всю эту производственную ситуацию представить и так: сверло — коммивояжер обходит в некотором порядке один город — отверстие за другим и в конце маршрута возвращается в исходную позицию. Порядок «обхода» устанавливается при составлении программы и в конечном счете от него зависит длительность работы. Если при этом за счет оптимального маршрута сэкономлено всего несколько минут работы станка, то при выпуске сотен тысяч деталей в год, как это бывает в крупносерийном производстве, будет получена годовая экономия в десятки тысяч рублей. А для этого, как оказалось, необходимо только решить полушутливую «задачу о коммивояжере»!

А вот «сладкий» пример. Одна из кондитерских фирм производит мороженое разных сортов на одном и том же оборудовании. Неприятность заключается в том, что при переходе от производства одного сорта мороженого к другому оборудование надо очищать, промывать и готовить к изготовлению следующего сорта. Время на очистку существенно зависит от того, с какого сорта на какой переходят. Так, ванильное мороженое и ванильное с шоколадной пудрой можно выпускать друг за другом, лишь слегка изменив технологию, то есть не тратя на переналадку времени. А если вслед за шоколадным мороженым следует фруктовое, то необходима длительная очистка. Перед началом производства надо составить такой календарный план, чтобы минимизировать время на выпуск всех сортов. Где здесь города, а кто бродячий торговец? Довольно неожиданно оказывается, что если в качестве городов считать сорта мороженого, то время переналадок в часах и минутах будет не чем иным, как расстоянием между ними. Ведь расстояние можно мерить не только в километрах, но и в часах пути. И тогда «вкусная задача» обернется все той же «задачей о коммивояжере».

Если же представить себе гигантский прокатный стан, который переналаживают с одного вида проката на другой несколько суток, то и вообще станет не до шуток.

Все эти примеры позволяют сделать один важный вывод. Не всякая ситуация принятия решений настолько индивидуальна, что требует своей специфической модели. Большое количество практических случаев внутренне очень сходны, хотя внешне кажутся абсолютно непохожими друг на друга, как работа сверлильного станка и производство мороженого.

Это внутреннее сходство обнаруживается при моделировании и выражается в том, что экономико-математические модели принятия решений одинаковы. Такое их свойство позволяет управляющему персоналу концентрировать внимание не на самих ситуациях, а на их экономико-математических моделях. Особенным вниманием пользуются те из них, которые являются наиболее общими, то есть описывают много различных случаев, как, например, «задача о коммивояжере», «задача о ранце» и другие задачи с «именами».

Существует закон: не следует разрабатывать для данной сложившейся экономической ситуации новую модель, если уже созданная достаточно хорошо ее описывает. Из этого закона следует необходимость изучения экономико-математического моделирования как одной из самых важных дисциплин во всех учебных заведениях, готовящих управленческий персонал. Ведь о созданных уже моделях надо же как-то узнавать! На них, кстати, очень удобно пояснять, как они разрабатываются.

Существует так называемая транспортная задача. По известности и распространенности она далеко превосходит даже «задачу о коммивояжере». Управленческая ситуация, в которой возникла эта задача и от которой она получила свое название, довольно обычна.

Имеется некоторый однородный груз, который хранится в нескольких пунктах — в пунктах отправления. Этот груз необходимо перевезти в ряд других пунктов — пунктов получения. Известно, какое количество груза (например, в тоннах) находится в каждом пункте отправления и сколько его необходимо каждому пункту получения. Известны расстояния от каждого пункта отправления до каждого пункта получения. Пункты отправления в дальнейшем пусть называются поставщиками, а пункты получения — потребителями.

Количество груза, находящегося в пункте отправления, обычно называют «мощностью» поставщика. Количество груза, которое необходимо потребителю, — его «спросом». Количество груза, которое перевозится от поставщика к потребителю, называется «поставкой». А полное распределение поставок — «планом поставок». В задаче требуется, естественно, определить план поставок.

Уже в предыдущих примерах показывалось, что в «транспортных задачах» всегда очень много возможных вариантов плана поставок, поэтому надо отыскать оптимальный. И тут-то, естественно, встает вопрос о критерии. Так как работа транспорта характеризуется грузооборотом, который измеряется в тонна-километрах (произведение веса перевезенного груза в тоннах на расстояние в километрах), то в качестве критерия оптимальности можно выбрать объем грузооборота, минимизация которого, очевидно, выгодна народному хозяйству. Это, кажется, достаточный аргумент, чтобы даже наиболее обостренное чувство гражданского долга не испытывало беспокойства. А откуда может появиться беспокойство, если критерий модели основан на том суждении, что он выгоден народному хозяйству?

Дело в том, что основным показателем работы транспортного предприятия является количество тонна-километров. И если работать по оптимальному плану, то при тех же грузах и расстояниях объем грузооборота окажется меньше, и тогда придется искать новых заказчиков на транспорт либо смириться с тем, что предприятие (база) окажется незагруженным и не выполнит плана. Как быть? Ясно, что гораздо спокойнее планировать по-старому: и не надо знать математики, и при тех же грузах грузооборот больше. Кажется, создалась парадоксальная ситуация: план народному хозяйству выгоден, а предприятию невыгоден! Нет, ничего парадоксального здесь нет, просто это один из примеров несогласованности критериев, к сожалению, довольно распространенный в экономике. Уже почти хрестоматийным стал пример про то, что металлургическим предприятиям план задается в тоннах литья, и поэтому всякая рационализация, направленная на снижение веса каждого изделия, «бьет» по плану предприятия и, как правило, встречается в штыки. И тем не менее план по-прежнему задается в тоннах! Понятно, по придумать другой более объективный показатель нелегко, наверняка он будет очень сложным. А утруждаться не хочется! Вот и действуют по принципу: «Лучше простая ошибка, чем сложная истина».

Будем все же следовать гражданскому долгу и ориентироваться на выгоды народного хозяйства, то есть в «транспортной задаче» минимизировать грузооборот. Модель задачи обычно строится в виде таблицы.

Пусть имеется три поставщика и три потребителя. Мощности и спросы указаны в заголовках таблицы 8. На пересечении столбцов и строк в клетках таблицы указаны расстояния между поставщиком и потребителем, например, от поставщика № 2 до потребителя № 1 — 2 километра. Суммарная мощность всех поставщиков равна 200 тоннам, и этому же числу равен суммарный спрос потребителей. Это условие естественное, но вовсе необязательное. Оно упрощает задачу, но для модели несущественно, и дальше будут рассматриваться экономические ситуации, в которых это условие не выполняется.

В чем заключается задача? Требуется составить план поставок, то есть определить, сколько груза везти от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы весь груз поставщиков был вывезен, а все спросы потребителей были удовлетворены. Если посмотреть в таблицу, то это означает, что в каждую клетку надо записать число-поставку, причем так, чтобы сумма поставок в строке была равна мощности, а сумма поставок в столбце составляла спрос. Если теперь остановиться на мгновение и посмотреть на таблицу, то задача о перевозке груза почти пропала и осталась математическая головоломка в виде таблицы, которую надо заполнить числами так, чтобы суммы по столбцам и строкам были равны определенным величинам. Вот так осуществляется моделирование: реальные объекты и соотношения заменяются числами и зависимостями между ними.

Решать эту задачу можно разными способами. Например, в таблице 9 представлен один из возможных вариантов плана поставок. Каждая клетка таблицы разделена на две части. В верхней по-прежнему записано расстояние в километрах, а в нижнюю занесен объем поставки в тоннах. Так, поставщик № 1 везет потребителю № 1 2 тонны, поставщик № 2 везет потребителю № 3 42 тонны и т. д. Принцип составления плана поставок в таблице чисто «потолочный», единственное условие, которое контролировалось: суммы поставок в строках должны быть равны мощностям, а суммы поставок в столбцах — спросам. Объем грузооборота нетрудно подсчитать, для чего надо в каждой клетке верхнее число умножить на нижнее, а суммы сложить. Тогда грузооборот составит:

3 · 2 + 1 · 8 + 4 · 35 + 2 · 3 + 3 · 30 + 1 · 42 + 6 · 45 + 5 · 22 + 2 · 13 = 698 тонна-километров.

Однако «потолочный» принцип все же не является доминирующим при практическом составлении плана поставок. Обычно верх берет великий и универсальный здравый смысл. Составляется план в соответствии с ним (см. таблицу 10).

Самыми маленькими расстояниями в таблице являются расстояния от потребителя № 2 до поставщика № 1 и от потребителя № 3 до поставщика № 2 — 1 километр. Принимается решение везти на эти расстояния максимальное количество груза, то есть всю мощность поставщиков № 1 и № 2. Заносятся эти поставки в соответствующие клетки таблицы. Поскольку нераспределенной осталась только мощность поставщика № 3, то распределяется и она: не хватает 15 тонн потребителю № 3, недостающие 15 тонн потребителю № 2, а остальные 50 тонн поставляются потребителю № 1. В остальные клетки ничего не записывается, так как ничего не поставляется. Объем грузооборота оказался равен:

1 · 45 + 1 · 75 + 2 · 15 + 5 · 15 + 6 · 50 = 525 тонна-километрам.

Итак, здравый смысл позволил сэкономить 173 тонна-километра. Что же дальше?

Дальше здравый смысл молчит. Кажется, что лучше не придумаешь. При внимательном рассмотрении таблицы 10 вызывает, правда, некоторое беспокойство тот факт, что из-за слишком активного применения принципа «вези к ближайшему» пришлось в конце концов везти 50 тонн на максимальное расстояние — 6 километров. Поневоле вспоминается пример с цементом, когда все быстро прикрепились к ближайшим поставщикам и в результате пришлось с Сахалина груз везти в другой конец страны!

Математический анализ «транспортной задачи» позволяет создать алгоритм получения оптимального решения, который, в общем, не имеет ничего общего с правилом, диктуемым здравым смыслом. В этом случае получается решение, представленное в таблице 11.

Объем грузооборота для него 360 тонна-километров, то есть еще на 165 тонна-километров меньше. Эти 165 тонна-километров — чистый выигрыш от применения математики. Вот ответ на третий вопрос — какую конкретную пользу можно получить от применения экономико-математических методов.

Использование модели «транспортной задачи» в планировании перевозок приносит гигантский экономический эффект. В литературе приводятся такие факты. Затраты на перевозки всех грузов всевозможными видами транспорта по стране в 1968 году составили более 20 миллиардов рублей. В результате укрупнения автотранспортных предприятий расширяются массовые перевозки таких продуктов, как хлеб, молоко, кирпич, сборные железобетонные конструкции, песок и т. д. В Москве песок перевозится с десятка пристаней, а кирпич и сборный железобетон — с нескольких десятков заводов на сотни строительных площадок, хлеб с нескольких десятков заводов в тысячи магазинов. Анализ показывает, что, если при планировании перевозок пользоваться моделью «транспортной задачи», это даст возможность сэкономить до 40 процентов средств!

На этом можно было закончить рассказ о «транспортной задаче» как о примере моделирования, если бы не необходимость посмотреть, в каких еще ситуациях используется ее модель. А на этой модели, оказывается, можно решать еще несколько классов задач!

Имеются поля, на которых выращиваются сельскохозяйственные культуры. Площадь каждого поля известна, задан план съема каждой культуры.

Поскольку все поля разные, то на каждом поле можно добиться одинаковой урожайности лишь в том случае, если затрачивать разное количество труда. (Можно, конечно, принять другое, аналогичное предположение: затрачивается одинаковый труд, но при этом будет получен разный урожай — это не меняет задачи.) Требуется так распределить площади под все культуры, чтобы получить заданный по каждой культуре урожай с минимальными затратами труда. Здесь довольно прозрачно проглядывает транспортная модель, не так ли?

Каждое поле и его площадь — это поставщик и его мощность. Требуемый съем (урожай) культуры, поделенный на урожайность (объем урожая с одного гектара), дает требуемую посевную площадь под каждую культуру — спрос потребителя. Расстоянием являются затраты труда, а поставка — площадь поля, которое надо выделить под данную культуру. Теперь нетрудно составить транспортную модель в виде таблицы и, решив с ее помощью задачу, получить оптимальное распределение посевных площадей под культуры. Так, моделью сугубо сельскохозяйственной проблемы явилась «транспортная задача».

А вот ситуация, которая довольно часто складывается на промышленном предприятии. Имеется участок, на котором все рабочие умеют выполнять все работы. Несмотря на такую универсальность, у каждого рабочего все же есть свои любимые работы, на которых его производительность труда больше, и есть работы, где из-за отсутствия навыка или по другим причинам он не может показать высокую производительность труда. Пусть индивидуальная производительность труда каждого рабочего при выполнении каждой работы известна. Возникает задача: как назначить работу каждому рабочему, чтобы суммарная производительность участка была максимальной?

Кажется, что все просто: надо дать каждому рабочему «его» работу, ту, на которой его индивидуальная производительность труда максимальна. Однако убедившись, что моделью данной ситуации является «транспортная задача», это решение бракуется, поскольку оно похоже на правило «минимального расстояния», отвергнутое при решении «транспортной задачи».

Итак, предполагается, что рабочие — это поставщики; мощность каждого поставщика (рабочего) равна единице. Потребитель — работа; спрос тоже равен единице. Расстояние — это индивидуальная производительность. А вот поставка вводится искусственно: считается, что она равна единице, если рабочий на работу назначен, и нолю, если не назначен. Тогда все сходится. Поскольку каждый рабочий может выполнять лишь одну работу, значит, в каждой строке может быть лишь одна единица-поставка, остальные ноли, следовательно, сумма поставок в строке равна единице (мощность). Аналогичное рассуждение справедливо для столбца.

В таблице 12 представлен такой план распределения работ для пяти рабочих и пяти работ. Согласно этому плану рабочий № 1 выполняет четвертую работу, рабочий № 2 — пятую, № 3 — вторую, № 4 — первую, № 5 — третью. (Цифра в верхней части каждой клетки — производительность.)

Описанная производственная ситуация хорошо моделируется «транспортной задачей». Но она имеет свое «имя» и называется «задачей о назначениях». «Задача о назначениях» тоже имеет довольно широкое применение. Так, размещение заказов по однотипным предприятиям формулируется аналогично распределению работ по рабочим, только вместо «№ рабочего» в таблице надо поставить слово «№ предприятия», вместо «№ работы» — «№ заказа», а вместо производительности — «выгодность».

Можно привести пример совсем уже сложной экономической ситуации, моделью которой является все та же «транспортная задача». Это проблема развития и размещения производства. Формулируется она так.

Пусть известен спрос на некоторый вид продукции по всей территории страны. Известно, в каких пунктах есть предприятия по выпуску данной продукции и в каких могут быть построены новые. Для всех действующих предприятий известна себестоимость выпускаемой продукции. Можно определить также затраты на реконструкцию их с целью расширения производства, а также себестоимость продукции после расширения.

Для предприятий, которые могут быть заново построены, известны различные варианты их мощности, капиталовложения и себестоимость по каждому варианту строительства.

Кроме того, может быть разработана транспортная сеть, которая будет функционировать в период, для которого осуществляется планирование. Это значит, что можно рассчитать затраты на перевозку единицы груза из всех пунктов производства (включая те, которые предполагается построить) во все пункты потребления.

Требуется определить, какие предприятия должны быть расширены и до какой мощности, какие ликвидированы или переведены на выпуск другой продукции, какие вновь построены, чтобы весь спрос был удовлетворен. При этом сумма затрат на производство и транспортировку продукции должна быть минимальной.

Несмотря на обилие исходных данных, на многочисленные ограничения и оговорки, моделью данной ситуации является тоже «транспортная задача», хотя и более сложная, чем рассмотренные раньше. В ней отсутствует лишь ограничение, что сумма мощностей должна быть равна сумме спросов. Более того, поскольку в качестве поставщиков выбраны все предприятия, на которых в принципе может быть произведена данная продукция, а также действующие со всеми вариантами расширения, и те, которые могут быть построены, то их суммарная мощность окажется, конечно же, больше общего спроса. И лишь в процессе решения задачи из их числа отбираются те, у которых затраты на производство и транспортировку продукции минимальны. Кстати, одновременно с решением задачи размещения получается и оптимальный план перевозок.

Из всех рассмотренных примеров следует общий вывод: «транспортная задача» давно переросла рамки модели планирования транспортировки однородного груза, от которого она получила название. В настоящее время она представляет собой достаточно общую модель, описывающую большое количество управленческих ситуаций. Несомненным достоинством ее является изученность и простота алгоритмов решения.

И поэтому, приступая к анализу своей ситуации принятия решения, каждый экономист должен прикинуть, не укладывается ли она в рамки транспортной модели. Если да, то должен считать, что ему повезло!

«Линейное программирование» не имеет ничего общего с составлением программ для ЭВМ. Термин этот был предложен американским ученым Т. Купмансом и, как впоследствии выяснилось, оказался крайне неудачным в основном как раз из-за ассоциаций с программированием. Фактически же «линейное программирование» представляет собой набор методов решения экстремальных, чаще всего плановых, экономических задач. Многие ученые считают, что более удачным был бы термин «линейное планирование». А слово «линейное» здесь употреблено потому, что все зависимости, используемые при построении этих моделей, линейные, то есть на графике имеют вид прямой линии. Но об этом уже говорилось.

Чтобы от слов о «линейном программировании» перейти к нему самому, стоит рассмотреть такой пример планирования.

Пусть руководство уже упоминавшейся фирмы по выпуску мебели «Двенадцать стульев» решает проблему, какую мебель выпускать в следующем месяце. Фирма, как известно, умеет делать гарнитуры «Мадам Петухова» и «Генеральша Попова». Каждый вид продукции характеризуется, во-первых, затратами высококачественных пород древесины и импортных обивочных материалов, а во-вторых, размерами получаемой прибыли. Естественно, что ресурсы фирмы, дерево и материалы ограничены. Необходимо составить план производства, при котором прибыль была бы максимальна.

Итак, правление фирмы сидит перед таблицей, в которую сведены все данные, и думает, как лучше решить эту задачу.

Заместитель председателя правления фирмы И. Воробьянинов берет слово:

«Учитывая, что за „генеральшу“ платят больше, — говорит он, — считаю, что необходимо выпускать названный гарнитур в количестве 10 штук, а оставшиеся неиспользованными 60 кубометров древесины продать налево дружественной фирме „Милости просим“. Тем самым мы получим 5 тысяч рублей прибыли плюс…»

«Не надо, Киса, — жестом останавливает его председатель правления О. Бендер, — сегодня ночью мне пришла в голову плодотворная дебютная идея. Сейчас я вам ее изложу…»

Гроссмейстер еще не знает, что его идея уже известна под названием «линейного программирования» и что он получил очередной удар со стороны классиков. Он бодро продолжает:

«Допустим, что мы решим выпускать X гарнитуров „Мадам Петухова“ и Y гарнитуров „Генеральша Попова“. Поскольку на каждый гарнитур первого типа надо 10 кубометров древесины, а на каждый гарнитур второго типа — 5 кубометров, то всего нам понадобится 10 · X + 5 · Y.

Понятно, что это количество не должно превышать 110 кубометров. Запишем это так: 10x + 5y < 110.

Данное условие, совместно с другим естественным условием: x и у не могут быть отрицательными — на графике изображается в виде некоторой области (на приведенном справа рисунке она заштрихована). Наклонная граница представляет собой график линейной зависимости: 10x + 5y = 110. Неравенство в предыдущем выражении означает, что данному условию удовлетворяют все внутренние и граничные точки области. В этом легко убедиться. Точка с координатами x = 4, y = 8 удовлетворяет неравенству, так как 10 · 4 + 5 · 8 < 110. При подстановке координат любой внутренней или граничной точки неравенство будет справедливо.

Аналогичное соотношение можно составить по обивочным материалам: 40x + 80y < 800. Этому неравенству соответствует заштрихованная область на втором рисунке справа.

Поскольку оба неравенства должны выполняться одновременно — на каждый гарнитур необходимо и дерево, и обивочные материалы — обе области надо совместить. Это сделано на рисунке слева. Разберемся, что собой представляет область с двойной штриховкой.

Во-первых, вспомним, что каждая точка на графике — это план производства. Так, точка с координатами x = 4; y = 6 означает план, при котором будет произведено 4 гарнитура „Мадам Петухова“ и 6 гарнитуров „Генеральша Попова“.

Во-вторых, каждая точка в заштрихованной области первого рисунка — это план, который обеспечен древесиной, каждая точка в заштрихованной области второго рисунка — это план, который обеспечен обивкой. Таким образом, точки области третьего рисунка с двойной штриховкой — это планы производства, обеспеченные и древесиной и обивкой, то есть область допустимых планов. Из них необходимо выбрать оптимальный план, при котором прибыль будет максимальной. Величина прибыли выражается просто. Если выпустить x гарнитуров первого типа, получив по 400 рублей прибыли за каждый, и у гарнитуров второго типа, получив по 500 рублей прибыли за гарнитур, то всего будет получено 400x + 500у рублей прибыли.

Так вот — триумфально заключил великий комбинатор — величина прибыли достигает максимума в точке пересечения наклонных границ. На третьем рисунке она обозначена буквой О. Ее координаты легко вычислить, решив совместно уравнения этих прямых. Получим: x = 8, y = 6. Итак, оптимальный план выпуска: восемь „мадам“ и шесть „генеральш“. Прибыль составит 400 · 8 + 500 · 6 = 6200 руб. При этом мы используем и всю древесину, и все обивочные материалы. И никаких противоречий с уголовным кодексом!»

«Конгениально…» — прошептал экс-предводитель.

Выражаясь современным языком исследования операций, талантливый сын турецкого подданного для принятия решения о плане производства построил модель «линейного программирования». Неравенства, ограничивающие заштрихованные области на первых двух рисунках, называются ограничениями модели. Формула, выражающая прибыль, называется целевой функцией. А совокупность ограничений и целевой функции — это и есть модель «линейного программирования».

Задача «линейного программирования» («ЛП-задача», как говорят и пишут для сокращения) заключается в том, чтобы найти допустимый план, то есть план, удовлетворяющий ограничениям и который в то же время максимизирует значение целевой функции.

Для решения «ЛП-задачи» вовсе нет необходимости рисовать области допустимых решений и по ним искать точку оптимума. Разработанный стандартный метод, называемый симплексным алгоритмом, позволяет по записанной в специальном виде модели «линейного программирования» («ЛП-модели») отыскать оптимальное решение.

Симплексный алгоритм очень трудоемок, и решение сколь-нибудь значительных «ЛП-задач» возможно только на ЭВМ. В библиотеках стандартных программ современных вычислительных центров, как правило, есть и симплексный алгоритм. Поэтому решение управленческой задачи практически заканчивается после того, как модель построена и получена необходимая для решения информация. Дальше следует чисто техническая работа: вызов программы симплексного алгоритма и работа ее на ЭВМ.

Широкая область применения «ЛП-модели» объясняется в первую очередь вычислительными удобствами. Но главная причина их распространенности кроется в другом: в них заложено решение широко распространенной задачи планирования — задачи о балансировке ресурсов. Возникает она вот почему.

Как правило, ресурсы предприятия складываются годами, и к началу каждого планового периода предприятие уже располагает некоторым набором ресурсов, который изменить можно лишь незначительно. Если у предприятия есть 123 токарных и 87 фрезерных станков с соответствующим количеством рабочих, то резко нарушить это соотношение за год практически невозможно. В то же время предприятию может понадобиться изготавливать в этом году изделия, в которых в два раза больше токарных работ, чем фрезерных. При общем балансе это означает, что для выполнения программы необходимо 140 токарных и 70 фрезерных станков. Ясно, что если изготавливать только эти изделия, то часть фрезерных станков будет простаивать, а токарная группа будет перегружена. Поэтому производственная программа «разбавляется» другими изделиями. Вот ценность «ЛП-задачи» и заключается в том, что с ее помощью можно приготовить оптимальную «смесь» изделий, то есть такую производственную программу, когда ресурсы используются максимально.

Легко видеть, что, имея всего только два вида ресурсов, задачу решить непросто, скажем, методом подбора или каким-нибудь другим методом, основанным на здравом смысле. Лишь методы «линейного программирования» позволяют найти оптимальный набор.

К сожалению, вычислительные удобства решения «ЛП-задач» иногда не помогают, а даже вредят делу, так как часто незадачливыми экономистами делаются попытки решать этим методом задачи, явно не описывающиеся моделью «линейного программирования».

Иногда в модели наблюдаются существенные нелинейные ограничения, а нелинейные задачи решаются очень трудно даже на ЭВМ. Чтобы обойти эту трудность, допускается определенная идеализация: нелинейное ограничение заменяется на линейное. При этом получается «ЛП-задача», которая хорошо решается. Правда, иногда такое решение плохо описывает экономическую ситуацию, то есть получается решение, имеющее довольно слабое отношение к реальной действительности.

Однако если тщательно изучить экономическую ситуацию с нелинейными ограничениями, то в ней нередко можно выделить часть, в которой линейная модель может быть полезна если не для принятия решения, то для описания или исследования. Ведь не зря в других науках, особенно в физике, линейные модели почти сплошь применяются для исследования нелинейных явлений. Так что при грамотном подходе и к этой сфере задач могут быть применены модели «линейного программирования».

Плохо, когда линейная модель строится вместо нелинейной потому, что экономисты не умеют решать задачи с нелинейными зависимостями. Но совсем плохо, когда применяют линейную модель потому, что считают, что все должно быть линейно; и очень потом удивляются, когда действительность не совпадает с расчетами. Так, начинающий стрелок, уверенный, что пуля должна лететь по прямой линии в центр мишени, недоумевает, что она попадает выше «яблочка», хотя он прицеливается очень тщательно. Примерно так же рядовой заводской экономист, слыхом не слышавший про нелинейные модели, во внутризаводских плановых и экономических расчетах убежденно пользуется линейными моделями, а отклонения, вызванные нелинейностями, сглаживает всевозможными коэффициентами. Если в конце месяца на самом деле оказывалось все не так, как планировалось, — не беда: чем разбираться в сути дела, проще по отчетным данным определить поправочный коэффициент и в следующем месяце поправить план на этот коэффициент. А если какая-нибудь голова в отраслевом институте еще и написала и разослала методику, в которой указано, что этот коэффициент в среднем по отрасли равен, к примеру, 1,08, то и совсем прекрасно, над его определением и думать не надо. Хорош ли этот принцип планирования?

Пусть трудовые затраты на одно изделие составляют 1000 нормо-часов. А на 10 изделий? Очевидный ответ: 10 тысяч — неправильный. Ведь при увеличении количества однотипных операций производительность труда рабочего увеличивается, снижаются расходы времени на переналадки, на исправление брака и пр. Все это тот же заводский экономист знает, знает, но считает по простой формуле. И по этой же формуле оплачивает перевыполнение нормы. А здесь, оказывается, в одну кучу сваливаются и трудовой энтузиазм, и недостатки планирования.

Но это лишь один порок линейности. Второй, худший, заключается в следующем. Пусть по итогам выполнения плана выявится, что участок вместо 10 тысяч нормо-часов за месяц выпустил продукции, на которую по нормам надо затратить 12 тысяч. Не разобравшись и не исследовав, вследствие чего это получилось: из-за плохого ли планирования, плохого нормирования или благодаря хорошей работе, — экономисты просто вычисляют коэффициент выполнения норм: ¹²/₁₀ = 1,2 — и следующий план участку дают в 1,2 раза больший.

Как видно, подобное использование статистических показателей в плановых моделях фактически узаконивает недостатки планирования и нормирования. Все плановые расчеты пестрят коэффициентами ритмичности, поточности, сменности, использования рабочего времени и т. д. и т. п. И везде средние величины получены без достаточного статистического обоснования, а коэффициенты практически ничего не характеризуют в силу существенной нелинейности процессов…

Надо ли после этого отказываться от линейных моделей?

Нет. Надо лишь вдумчиво исследовать экономические процессы и строить модели, в достаточной степени отражающие действительность — модели линейные и нелинейные, в том числе и модели «линейного программирования»!

В настоящее время в экономической науке описано гигантское количество ситуаций, когда для принятия решения предлагается применять модели «линейного программирования». Однако нередки случаи, когда из-за недостаточного экономического анализа ошибочно пользуются этим методом и дискредитируют идею оптимизации с помощью линейных моделей. Вот одна из таких ситуаций.

На участке имеется два разных станка, на которых обрабатываются два вида деталей. Известно, сколько часов каждая деталь изготавливается на каждом станке, сколько времени может проработать каждый станок и какая прибыль будет получена от каждой детали. Требуется найти оптимальный план выпуска деталей. Все данные по производству сведены в таблице 14.

Не правда ли, эта таблица очень похожа на «мебельную», составленную О. Бендером! В ней даже числа подобраны те же, чтобы без подробного анализа было ясно, что у этих двух задач одна и та же модель. Ясно, что и оптимальное решение задачи будет таким же — 8 деталей № 1 и 6 деталей № 2.

А можно ли было пользоваться в данном примере этой моделью? Оказывается, нельзя, так как между ситуациями огромная разница. В то время как «мебельная задача» имеет глубокий экономический смысл, задача о выпуске деталей практически его лишена. Если мебельная фирма выпускает готовые изделия — гарнитуры, то производственный участок изготавливает лишь части изделий, обрабатывает лишь детали, предназначенные для сборки изделий. И если каждый участок будет сам решать, какие детали ему производить, то вряд ли что удастся потом собрать. Как правило, в плане, что задается участку сверху, есть перечень, какие детали и в каком количестве необходимо изготовить. И считать прибыль в качестве критерия работы участка вряд ли целесообразно, так как в этом случае придется перестраивать все внутризаводские экономические отношения. Участки деталями ведь не торгуют!

Совсем другое дело, когда эта модель применяется при формировании производственной программы предприятия. Правда, и в этом случае возникают трудности, связанные с выбором критерия, о которых довольно подробно уже говорилось. Но это трудности, а не бессмыслица.

А вот пример неправомерного применения «линейного программирования» к решению «задачи о питании».

Организм человека испытывает потребность в некотором количестве питательных веществ, необходимых для поддержания определенного энергетического уровня. Поэтому в ежедневный рацион должны входить белки, жиры, углеводы, минеральные соли, витамины.

Однако люди с большей охотой едят то, что им нравится, то есть разные лакомства и деликатесы, а не то, что в действительности необходимо организму, хотя по калорийности эта пища и полноценна.

Что такое калорийность? Это количество энергии, накопленной в пищевых веществах — белках, жирах и углеводах; энергетическая ценность пищевых продуктов, выраженная в калориях. Человек должен ежедневно принимать пищу калорийностью в 2500–5000 калорий.

Количество калорий, необходимых каждому человеку, зависит от выполняемой им работы, от физической активности, от пола, возраста, от географической широты (холодный или жаркий климат).

Пусть требуется определить набор продуктов, обеспечивающих потребность в питательных веществах, но с минимальной калорийностью.

Различные пищевые продукты содержат питательные вещества и витамины в разных пропорциях. Известны минимальные потребности человека в питательных веществах. Известна калорийность каждого продукта. Все данные сводятся в таблицу 15, которая весьма похожа на таблицу все той же «мебельной задачи» и вызывает соблазн применить ее для построения модели «линейного программирования». Надо заполнить графы и строки таблицы, произвести необходимые вычисления, и диета с минимальной калорийностью готова!

Однако попытки воспользоваться этим методом составления меню, как правило, разочаровывают. В зависимости от заложенных в набор продуктов то получается, что надо есть одни соевые бобы, то выходит, что надо есть сырые овсяные хлопья «Геркулес» пополам с недоваренной свеклой.

Энтузиасты научной организации… питания пробовали решать «задачу о диете» (минимизировать стоимость питания), заменив в последнем столбце таблицы калорийность продукта его ценой. Но опять получилась неувязка. Проведенный Институтом питания Академии медицинских наук расчет показал, что наиболее экономичная диета, хоть и удовлетворяла физиологическим требованиям, тем не менее не включала «ряд традиционных для населения продуктов, таких, как ржаной хлеб, капуста, говядина и крупа…». Что именно она тогда включала? Сотрудники института пожелали об этом умолчать, хотя отметили, что треску она содержала «в гораздо большем объеме, чем это определяется вкусами и привычками населения».

Таким образом, решение «задачи о диете» применительно к питанию человека, как правило, приводит лишь к практически неприменимым результатам. А вот почему бы не составлять по такому методу кормовой рацион для скота и птицы? Здесь дело даже не в том, что человек не станет есть всю жизнь одни соевые бобы, а корова станет. Во-первых, перечень продуктов, потребляемых человеком, чрезвычайно велик и, включив их все в таблицу, решить задачу практически невозможно. Во-вторых, минимизация стоимости питания никогда не числилась в перечне жизненных критериев человека. Иначе не были бы изобретены, например, бараньи котлеты в слойке. А вот выращивание товарного скота и птицы как раз подразумевает минимизацию затрат.

Есть еще и другие варианты «задачи о диете», имеющие широкое практическое применение. Они больше известны под названием «задача о смесях». В них оптимизируются смеси, встречающиеся в самых различных отраслях: смеси различных нефтепродуктов для получения авиационных бензинов с заданными свойствами, смеси нескольких шихтовых материалов для получения шихты, набор химических элементов, который удовлетворяет определенным свойствам и т. д.

Необходимо заметить, что метод «линейного программирования» уже понят и принят многими экономистами. В их число пока, правда, не входят рядовые заводские экономисты, но работники отраслевых НИИ, вузов, квалифицированные инженеры информационно-вычислительных центров довольно бойко пишут линейные неравенства. Под давлением времени они разобрались в его сущности, почувствовали его полезность и относительную несложность использования. К сожалению, это практически единственный математический аппарат, который более или менее широко применяется на практике. А хотелось бы, чтобы «широкие массы» увидели достоинства и смысл более сложного аппарата: нелинейного и динамического программирования, массового обслуживания, имитационных моделей и пр. Кроме уже описанных задач о диете, смесях и транспортной задаче, «линейное программирование» применяется в энергетике, металлургии, нефтяной промышленности, сельском хозяйстве и т. д. Интересным является применение его в таком деле, как техническая подготовка производства, например определение оптимального раскроя материалов. И все же наиболее эффективным линейное моделирование оказалось именно при составлении планов в различных сферах экономики, и особенно при использовании его в автоматизированных системах управления.