Большая Советская Энциклопедия (ЦИ)

Цилиндрические функции

Цилиндри'ческие фу'нкции, весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций , являющихся решениями дифференциального уравнения:

(1)

где n — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:

[где Г (z ) — гамма-функция ; ряд справа сходится при всех значениях х ], называется Ц. ф. первого рода порядка n. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:

Если n — целое отрицательное: n = — n, то J _n (x ) определяется так:

J_-n (x ) = (— 1) ⁿ J_n (x ).

Ц. ф. порядка n = m + ¹ /₂ , где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:

,

Функции J _n (x ) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции , Бесселя уравнение ). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли , посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка ¹ /₃ в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).

Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

y = C₁ J _n (x ) + C₂ J_{- n} (x ), (2)

где C₁ и C₂ — постоянные. Если же n — целое, то J _n (x ) и J_{- n} (x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):

При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

у = C₁ J_n (x) + C₂ Y _n (x )

(как при целом, так и при нецелом n).

В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента

и

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

общее решение которого имеет вид

y = C₁ l _n (x ) + C₂ K _n (x )

(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)

,

а также функции Томсона ber (х ) и bei (x ), определяемые соотношением

ber (x ) + i bei (x ) = I₀ (x ).

Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:

,

,

,

,

из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. J_n (x ) и Y_n (x ) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,

и

Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.