Большая Советская Энциклопедия (ФР)

Фредгольма уравнение

Фре'дгольма уравне'ние, интегральные уравнения вида:

, (1)

a £ x , s £ b , (Ф. у. 1-го рода) и

, (2)

a £ x , s £ b ,

(Ф. у. 2-го рода), где К (х , s ) — заданная непрерывная функция от x и s , называемая ядром уравнения, f (x ) — заданная функция, j(х ) — искомая функция, l — параметр (см. Интегральные уравнения ). Уравнения (1) и (2) были изучены в 1900—1903 Э. Фредгольмом . Теория Ф. у. 2-го рода проще и они чаще используются в приложениях. Построение устойчивых решений Ф. у. 1-го рода в общем случае возможно лишь с помощью специальных регуляризирующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач. Если l не является собственным значением уравнения (2), то это уравнение имеет единственное непрерывное решение, определяемое формулой:

, (3)

где R (x , s ; l) = D (x , s , l)/D (l) называется резольвентой уравнения (2). Здесь

,

d₀ (x , s ) = K (x , s ),

,

,

, .

Лит.: см. при ст. Интегральные уравнения .