Большая Советская Энциклопедия (ША)

Шаровые функции

Шаровы'е фу'нкции, однородные функции u_n степени п от прямоугольных координат х , у , z , удовлетворяющие уравнению Лапласа:

Существуют 2n + 1 линейно-независимых однородных многочленов от х , у , z целой положительной степени n , являющихся Ш. ф.: их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени n. Так, например,

u_o = a , u₁ = ax + by + cz ;

u₂ = a (x ² — z ² ) + b (y ² — z ² ) + cxy + dyz + ezx ,

где a , b , с , d , e — произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш. ф. Если вместо прямоугольных координат х , у , z ввести сферические координаты r , q, j, то Ш. ф. выражаются через сферические функции Y_п (q,j) по формуле

u_n = rⁿ Y_n (q,j).

Каждой Ш. ф. u_n степени n соответствует Ш. ф. r ^{¾2n ¾1} степени — n— 1.

Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями.

Лит. см. при статье Сферические функции .