Большая Советская Энциклопедия (ВЫ)

Вычет

Вы'чет, 1) в теории чисел. Число а называется вычетом числа b по модулю m , если разность а — b делится на m (a , b , m > 0 — целые числа). Например, число 24 есть В. числа 3 по модулю 7, так как 24—3 делится на 7. Совокупность m целых чисел, каждое из которых является В. одного и только одного из чисел 0, 1,..., m — 1, называется полной системой В. по модулю m . Например, числа 1, 6, 11, 16, 21, 26 образуют полную систему В. по модулю 6. Число а называется вычетом степени n (n ³ 2 — целое) по модулю m , если существует целое число х , такое, что разность x ⁿ — a делится на m . В противном случае а называется невычетом степени n . Например, 2 и 3, соответственно, вычет и невычет второй степени (квадратичные) по модулю 7.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 7 изд. М., 1965.

А. А. Карацуба.

2) В теории аналитических функций вычетом однозначной аналитической функции f (z ) относительно её изолированной особой точки z ₀ называется коэффициент при (z — z ₀ )^-1 в разложении этой функции в ряд по степеням разности (z — z ₀ ) (Лорана ряд ) в окрестности точки z ₀ . Обозначение: выч f (z ) [или res f (z )].

Если g — окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z ₀ (такая, что внутри неё функция f (z ) не имеет особых точек, отличных от z ₀ ), то

Важное значение вычетов вытекает из следующей теоремы. Пусть f (z ) — однозначная аналитическая функция в области D , за исключением изолированных особых точек, Г — простая замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью и не проходящая через особые точки функции f (z ); если z ₁ ,..., z _n — все особые точки f (z ), лежащие внутри Г , то

Поскольку вычеты вычисляются сравнительно просто, эта теорема является эффективным средством для нахождения интегралов.

Лит. см. при статье Аналитические функции .

А. А. Гончар.