Большая Советская Энциклопедия (ЯК)

Якобиан

Якобиа'н , функциональный определитель ½a_ik ½₁ ⁿ с элементами , где y_i = f_i (X₁ ,... , X_n ), l £ i £ n , — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

.

Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

y₁ = f₁ (. x₁ , x₂ ), y₂ = f₂ (x₁ , x₂ ) (1)

задаёт отображение области D, лежащей на плоскости x₁ , x₂ , на часть плоскости y ₁ , y ₂ . Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М , и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области D и j (y₁ , у₂ ) — функция, заданная в области D₁ (образе D), то

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов . Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

x₁ = j₁ (y₁ , y₂ ), x₁ = j₂ (y ₁ , y₂ ),

причём

(аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций . Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x₁ ⁽⁰⁾ ,..., x_n ⁽⁰ , y₁ ⁽⁰⁾ ,..., y_m ⁽⁰⁾ ) функций y₁ ,..., у_т , неявно заданных уравнениями F_k (x₁ ,..., x_n , y₁ ,..., у_м ) = 0, (2)

1 £ k £ m,

достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.

был отличен от нуля в точке М.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.