Черная маска из Аль-Джебры

Простота и невероятность (Олег — Нулику)

Вот мы и расстались с «Абракадаброй». Директор подробно объяснил, как нам завтра пройти на строительство. Мы поблагодарили его за угощение и пошли побродить.

Был уже вечер. Ярко светились огни домов, вспыхивали и гасли разноцветные вывески. Из раскрытых окон доносилась музыка. Там за накрытыми столами собрались жители Аль-Джебры, чтобы отметить свой праздник.

Нам вдруг стало не по себе. Почему-то захотелось домой. Но тут совсем близко раздался голос из репродуктора: «Внимание! Внимание! Через пять минут в Павильоне невероятных задач начнется праздничное состязание. Председателем жюри единогласно избран всемирно известный барон Мюнхгаузен. Желающих принять участие просят поторопиться!»

Ты, уж наверное, догадался: мы снова очутились рядом с Парком Науки и Отдыха. Можно подумать, ноги несли нас туда сами!

Вот и Павильон невероятных задач. С трудом отыскали свободные места. На эстраду вышли судьи. Мюнхгаузена встретили громкими аплодисментами. Кстати, роль его исполняла буква Ка. Барон учтиво раскланялся и начал:

— Уважаемая публика! Разрешите мне объяснить правила предстоящего состязания. Каждый участник должен придумать задачу. На первый взгляд она должна быть очень простой — такой простой, чтобы всем показалось, что решить ее легче легкого. Это — первое условие. Второе… О, второе условие — невероятность решения! Разумеется, я не говорю о решении на бумаге. Наоборот, задача должна быть решена в числах, но практически она должна быть невыполнима.

Итак, повторяю: условие состязания — простота и невероятность. Я мог бы для примера рассказать вам что-нибудь из своей практики. Но, к сожалению, все истории, которые со мной случались, были не только просты, но и вполне вероятны. Почему высмеетесь? Все знают, что барон Мюнхгаузен самый правдивый человек на свете. Разве не правда, что я верхом на пушечном ядре влетел в неприятельский город? Разве не правда, что я нанизал на бечевку целую стаю живых уток и вместе с ними взлетел в воздух? Таких правдоподобных историй у меня сколько угодно. Ваше же дело — придумать задачу, не выполнимую на практике. Не подумайте только, что она должна быть бессмысленной. За бессмысленные задачи участники платят штраф и вызывают из состязания. Ну что ж, начнем? Попрошу желающих. На сцену поднялись пухлая Шестерка и латинская буква Эн. Барон Мюнхгаузен предложил им тянуть жребий. Первой получила слово Шестерка. Вот что она рассказала:

— В давние времена, на Востоке, жил могущественный и грозный шах. Он был несметно богат. Все трепетали перед ним. Приближенные не только исполняли, но и предупреждали любое его желание. Сначала это нравилось шаху. Но настал день, когда все ему наскучило. Не радовали его больше ни наряды, ни яства, привезенные со всех концов света…

День ото дня становился он все угрюмее. Напрасно поэты слагали в его честь стихи. Напрасно пели для него самые искусные певцы, танцевали самые прославленные красавицы. Ничто не могло развлечь скучающего владыку. Целыми часами сидел он в своих роскошных покоях, бессмысленно глядя в одну точку. Дошло до того, что он заболел.

Врачи сменялись у его ложа чародеями и предсказателями. Но все их старания ни к чему не приводили. От шаха осталась одна тень. И все поняли, что дни его сочтены.

И вот у решетки шахского дворца появился странник. Босые ноги его были изранены, сквозь грязные лохмотья просвечивало тело. Странник сказался искусным врачом и потребовал, чтобы его пустили к шаху. Стража грубо оттолкнула оборванца. Тот поднял отчаянный крик. Услыхал его вопли шах и пожелал видеть безумца, который осмелился нарушить его покой. Нищего впустили.

— О великий шах, — сказал он, — я пришел, чтобы излечить тебя от тяжкого недуга.

— Чтобы излечить, надо знать причину болезни, — возразил шах. — Откуда знать тебе то, чего я и сам не знаю?

— Ошибаешься, — сказал странник, — причина твоей болезни — скука. Скука — бич богатых. Им нечего желать, потому что желания их тут же исполняются. Им не о чем думать, потому что за них думают другие. Я принес тебе лекарство, которое заставит тебя думать.

Странник достал из-под рваного плаща небольшую доску, расчерченную черными и белыми квадратами. Он положил ее на низенький столик рядом с шахским ложем и выстроил на ней черные и белые фигурки.

— Эту игру, — сказал он, — я назвал шахматами: ведь ей предстоит излечить шаха.

С этой минуты шах ни о чем, кроме шахмат, и знать не хотел. Целые дни проводил он вместе со странником за шахматной доской и подолгу размышлял над каждым ходом. Здоровье его заметно улучшилось. А когда ему удалось впервые выиграть партию, он почувствовал себя совершенно исцеленным.

— Требуй у меня всего, чего пожелаешь, — сказал он своему спасителю. — Захочешь, подарю тебе гору золота, захочешь — табун чистокровных арабских скакунов…

— О шах, — перебил его странник, — не надо мне ни золота, ни скакунов. В твоей стране столько голодных! Накорми их, — это будет для меня лучшим подарком.

— Какое мне дело до других! — воскликнул разгневанный шах. — Я обещал одарить тебя.

— Для себя мне немного нужно, — улыбнулся странник. — Видишь эту шахматную доску? На ней шестьдесят четыре клетки. Положи на первую клетку одно зернышко риса, на вторую — два зернышка, на третью — четыре, на четвертую — восемь. И так удваивай число зерен на каждой следующей клетке, до тех пор, пока не заполнишь последнюю. Вот и все.

— Только-то?! — облегченно вздохнул шах. — Мало же ты просишь! Я бы потребовал больше.

Принесли мешок риса, и шах сам начал выкладывать зерна. На первую клетку положил одно, на вторую — два, на третью — четыре…

Уже на седьмой клетке для шестидесяти четырех зерен не хватило места.

— Что же, — сказал странник, — вели ссыпать зерна в мешок.

Но шаху быстро наскучило считать. Он кликнул слуг. Теперь стали отсчитывать зерна они: шестьдесят четыре, сто двадцать восемь, двести пятьдесят шесть, пятьсот двенадцать, тысяча двадцать четыре…

Но это была еще только одиннадцатая клетка!

Стемнело. Зажгли светильники. Слуги чуть не падали от усталости. Когда они дошли до семнадцатой клетки, им нужно было отсчитать шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать шесть зерен. Но тут они сбились со счета. Несмотря на то что была уже глубокая ночь, шах велел разбудить мудрецов. Теперь он уже не смеялся, — побледнел, осунулся…

Прошли сутки, и еще одни сутки, и еще одни сутки, а мудрецы все считали… Вот уже и они стали валиться от усталости, а конца все еще не было видно. Слуги вносили все новые и новые мешки…

Но вот вбежал насмерть перепуганный хранитель шахских запасов. Он доложил, что в амбарах не осталось ни одного рисового зернышка.

— Негодяй! — закричал шах страннику. — Ты разорил меня!

— Я просил тебя накормить голодных, — ответил странник, — ты не захотел этого. Тогда я изменил свою просьбу. И ты счел меня глупцом. Попробуй теперь сосчитать, сколько зерен нужно положить на последнюю, шестьдесят четвертую клетку, и ты поймешь, кто из нас глупец. Опустоши все рисовые поля на свете — тебе и этого не хватит, чтобы со мной расквитаться.

— Ах так! — в бешенстве закричал шах. — Сейчас ты узнаешь, умею ли я платить сполна. Отрубить ему голову!

— Такова шахская справедливость, — закончила свой рассказ Шестерка. — А теперь прошу вас убедиться, что задача эта очень проста, но практически невыполнима. Число рисовых зерен росло по такому правилу: 1, 2, 4, 8, 16, 32, и так далее. Каждое последующее число больше предыдущего в два раза.

Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только, пожалуйста, не путайте ее с арифметической. В арифметической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего на одно и то же число — оно называется разностью прогрессии. В геометрической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего в одно и то же число раз, и число это называется знаменателем прогрессии.

В нашей задаче знаменатель прогрессии равен двум. Если хотите, эту прогрессию можно записать и так:

Нетрудно догадаться, что на шестьдесят четвертой клетке должно быть 2⁶³ — два в шестьдесят третьей степени зерен, потому что на первую клетку приходится 2⁰ — два в нулевой степени зерен, то есть одно зерно. Но если вы попробуете сосчитать, чему равно два в шестьдесят третьей степени, вы ужаснетесь. Такого огромного количества зерен никогда не смог бы раздобыть жестокий шах. Он не смог бы даже прочитать это число. Вот оно: 9 223 372 036 854 775 808 — девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь… Уф!

Попробуйте подсчитать, сколько это килограммов риса, если каждое зернышко в среднем весит 0,0182 грамма. Знаете, что получится? Больше ста шестидесяти семи триллионов килограммов! Стоит ли доказывать, что моя задача хоть и проста, но практически невыполнима?

Шестерка поклонилась и села. Ей долго хлопали. Потом поднялась латинская буква Эн. Она сказала так:

— Уважаемая Шестерка познакомила нас с геометрической прогрессией, где все числа непрерывно растут. Такая прогрессия называется возрастающей. Я позволю себе занять ваше внимание сразу двумя геометрическими прогрессиями — возрастающей и убывающей. И сделаю это на одном и том же примере. Задача моя будет так же проста, как предыдущая, и так же невыполнима. Моя предшественница рассказала прелестную сказку об изобретателе шахмат и коварном шахе. Позвольте и мне задать вам задачу, связанную с шахматами.

Эн вынула из кармана платок, развернула его и показала публике. На платке были нарисованы шестьдесят четыре квадрата, черные и белые, — как на шахматной доске.

— Будем считать, — продолжала Эн, — что этот платок заменяет нам шахматную доску. Обратите внимание — толщина платка равна 0,1 — одной десятой миллиметра. Складываю платок пополам. Теперь его толщина стала вдвое больше: две десятых миллиметра. Зато и площадь его стала меньше в два раза. Складываю платок еще раз вдвое. Теперь его толщина в четыре раза больше первоначальной, но и площадь уменьшилась в четыре раза. Я предлагаю складывать этот платок вдвое до тех пор, пока возможно. А потом продолжайте складывать мысленно.

Эн бросила платок в зал, кто-то его подхватил и стал перегибать: раз, второй, третий… Перегнул в шестой и крикнул:

— Готово! Теперь видна только одна клетка. Толщина платка увеличилась в шестьдесят четыре раза. Ничего невозможного тут нет.

— Вы сложили платок только шесть раз, — возразила Эн самонадеянному зрителю, — а надо было шестьдесят четыре! Понимаете разницу? Если бы вам удалось это сделать, толщина платка стала бы такой большой, что он перерос бы горы, миновал солнце и уперся бы в какую-нибудь отдаленную звезду.

— А вы докажите! — крикнули в зале.

Тогда Эн стала решать задачу на доске.

— Неужели вы не догадались, что я почти повторила предыдущую задачу? После каждого перегибания толщина платка увеличивается вдвое и возрастает по закону геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Разница только в том, что после шестидесяти четырех перегибаний толщина платка станет больше не в 2⁶³, а в 2⁶⁴ раз. Оно и понятно: ведь эта прогрессия начинается не с 2⁰ — двух в нулевой, а с 2¹ — двух в первой степени. Толщина развернутого платка 0,1 миллиметра. Чтобы вычислить толщину сложенного платка, надо 0,1 умножить на 2⁶⁴. Получается 1 844 674 407 371 километр.

Один триллион восемьсот сорок четыре миллиарда шестьсот семьдесят четыре миллиона четыреста семь тысяч триста семьдесят один километр.

А ведь расстояние от Земли до Солнца всего-навсего около ста пятидесяти миллионов километров!

Кажется, условие состязания выполнено: задача проста и практически невыполнима.

— А где же обещанная убывающая прогрессия? — спросил Сева.

— Да здесь же, — ответила Эн. — Ведь в то время как толщина платка увеличивается, площадь его все время уменьшается: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, и так далее. Это и есть убывающая геометрическая прогрессия. После шестидесяти четырех перегибаний площадь станет в 1/2⁶⁴ раз — в одну вторую, взятую в шестьдесят четвертой степени раз, меньше первоначальной. И если бы мы складывали платок дальше, то она все время приближалась бы к нулю, а толщина (или высота) стремилась бы к Великанам в Бесконечность. Вы согласны? Тогда благодарю за внимание.

В зале снова зашумели, захлопали. Барон Мюнхгаузен позвонил в колокольчик и сказал:

— Жюри одинаково восхищено и той и другой задачей. Обеим участницам вручается первый приз.

Он передал победительницам шахматные доски с красивыми фигурами из слоновой кости и добавил:

— Меня так заинтересовали оба выступления, что следующее путешествие я совершу в Бесконечность. А потом — кто знает? — может быть, доберусь и до Нуля!

Барон поклонился. Соревнования кончились, и мы отправились спать. Ведь завтра нам идти на строительство! А перед этим не мешает хорошенько отдохнуть.

Олег.