Диссертация рассеянного магистра

СЕДЬМОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ

началось без Пончика. Он вернулся к своим почтальонским обязанностям и отправился в Карликанию с письмом к Нуликовой маме-Восьмёрке.

— Конечно, волноваться обо мне маме не с чего, — сказал Нулик, — ведь я среди друзей! Но всё-таки не мешает написать ей, — она, наверное, так соскучилась…

На этом лирическая часть закончилась, и мы перешли к деловой.

— Как ты думаешь, Нулик, — спросила Таня, — если в фразе переставить слова, смысл её от этого изменится?

— Не думаю, — сказал Нулик. — «Я люблю мороженое» или «мороженое я люблю» — какая разница?

— Смысл, конечно, остался тот же, — согласилась Таня, — правда, несколько изменилась интонация. А если сказать «я не совсем понял правила деления» или «я совсем не понял правил деления» — это одно и то же?

— Что за экзамен? — возмутился Нулик.

— Не экзамен, а наглядный пример. Магистр спутал разность квадратов с квадратом разности двух чисел. В первом случае нужно сначала возвести каждое число в квадрат, а уж затем вычислить разность этих квадратов. Во втором — наоборот: надо сперва взять разность чисел, а уж потом возводить её в квадрат. А это совсем не одно и то же. Вот и Магистр, вместо того чтобы вычислить разность квадратов двух чисел — 500 и 498, вычислил квадрат их разности. Он вычел из первого числа второе, получил 2 и возвёл эту двойку в квадрат. Так у него в ответе и получилось 4.

— Понял! — закричал Нулик. — Надо было сперва возвести в квадрат 500, потом 498, а затем из одного квадрата вычесть другой. Только… не так это легко возвести в квадрат 498.

— А этого и не требуется, — сказала Таня. — Задача решается гораздо проще. Сперва сложим оба числа. Получим 998. Затем вычтем из одного числа другое. Получится 2. А теперь перемножим оба результата. Ответ — 1996. Просто и красиво.

— А главное, никакой затраты умственного труда! — восхитился Нулик и тут же принялся проверять Танино правило.

В общем, Нулик способный ребёнок, только очень уж самоуверенный…

— Ну и неуч этот Магистр! — негодовал он. — Не знать такого простого правила! А Единичка — молодец: сумела поддеть его на крючок! Я думаю, в музее она чихнула нарочно, чтобы мухи разлетелись.

— Вот мы сейчас к этим мухам и перейдём, — сказала Таня.

— Ну; здесь уж вам никакие правила не помогут! — позлорадствовал Нулик. — Раз три мухи разлетелись кто куда горазд, да ещё с разными скоростями, тут даже академик не скажет, когда они снова окажутся в одной плоскости.

— Хотя я и не совсем академик, — прищурился Сева, — но знаю всё-таки, что куда бы три мухи ни улетели, они всегда, каждое мгновение будут оставаться в одной общей плоскости. Это же основа геометрии!

— Интересно! — хихикнул президент. — Выходит, геометрия — наука о мухах.

— Уж ты скажешь! Не о мухах, а о точках, линиях, плоскостях. Просто муху можно условно принять за точку.

— Смотря какую муху! — не унимался Нулик.

— Прошу прекратить прения, — сказал Олег. — Переходим к вопросу о волшебных ножницах.

Сева поднял руку:

— Ножницы не сработали потому, что Магистр не знал, что такое «пи». По его мнению, греческой буквой «пи» обозначают 180 градусов, а на самом деле…

— На самом деле буквой «пи» обозначают отвлечённое число, — перебил Нулик. — Это и я знаю. Оно равно… равно…

— Президент хочет сказать, что число «пи» равно отношению длины любой окружности к её диаметру, — подсказал Олег.

Нулик важно кивнул:

— Вот именно.

— А ещё он хочет сказать, что отношение это равно приближённо трём целым и четырнадцати сотым, — насмешливо сказала Таня.

— Нечего подшучивать, — обиделся Нулик. — Я и вправду это хотел сказать.

Олег примирительно погладил его по плечу:

— Хитрюга! А знаешь ли ты, что ещё Архимед нашёл, что длина окружности относится к своему диаметру, как 22/7? И отношение это точнее, чем 3, 14… Ладно, ладно, не дуйся. Скажи-ка лучше, на сколько же градусов должен был Магистр раскрыть ножницы, чтобы они сработали?

— Надо было 180 разделить на 3,14, — сказал президент, ничуть не растерявшись. — Получится примерно 57 градусов 17 минут 45 секунд. А вовсе не 1 градус, как это думал Магистр.

— Умница, — похвалила Таня. — Добавь ещё, что угол этот называется радианом.

— Да, да, — подтвердил Нулик, — градианом.

Никак не пойму, чего больше в этом ребёнке — остроумия или невежества?

После небольшого перерыва мы перешли к тому вопросу, который задал себе наш рассеянный учёный в Музее самообслуживания: почему на медалях с каждой стороны изображены разные учёные? Но если Магистра это озадачило, то меня нисколько.

Я начал свой рассказ с медали, на которой изображены Эвклид и Лобачевский.

Великий древнегреческий математик Эвклид жил в Александрии в годы царствования Птолемея I, в начале III века до нашей эры. В тринадцати томах своего знаменитого труда «Начала» Эвклид изложил основы геометрии, той самой науки, которую изучают в школе. Школьники хорошо знают, как порой сложны бывают доказательства теорем. Вот и царь Птолемей тоже спрашивал Эвклида, не может ли он упростить свои рассуждения и пойти по более лёгкому пути? Говорят, будто Эвклид ответил на это, что в геометрии нет царских дорог.

В основу геометрии Эвклид положил несколько постулатов, иначе говоря, аксиом. А аксиома, как известно, — это то, что принимается без доказательства. Так вот, с помощью эвклидовых аксиом можно доказать любую геометрическую теорему.

Но есть среди этих аксиом одна, пятая по счёту, которая не столь уж бесспорна, чтобы принимать её без доказательства. С другой стороны, доказать её не смог пока никто. Так же, впрочем, как и опровергнуть. Но самое главное, что многие теоремы геометрии Эвклида могут быть доказаны и без этой аксиомы.

Что же утверждает Эвклид в своём пятом постулате? Он утверждает, что через какую-либо точку можно провести только одну прямую, которая не пересекалась бы с другой прямой, то есть была бы ей параллельна. И с первого взгляда действительно кажется, что иначе и быть не может.

Но вот в XIX веке другой великий математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, дерзнул выдвинуть другой постулат, прямо противоположный эвклидовому: через любую точку можно провести не одну, а сколько угодно прямых, которые не пересекались бы с другой прямой. Все эти прямые он тоже назвал параллельными.

Невероятно? Противоречит здравому смыслу? Но всегда ли следует этому здравому смыслу доверять? Бывает, что он нас и подводит. Многие открытия были сделаны только потому, что учёные сумели пойти против привычных, общеизвестных, общепринятых истин, которые вовсе не всегда так уж безупречны и неуязвимы.

Так вышло и с постулатом Лобачевского: он положил начало новой геометрии, которую, в отличие от эвклидовой, стали называть неэвклидовой. И хотя сам Лобачевский называл свою геометрию воображаемой, его «воображаемая» геометрия нашла огромное практическое применение в современной физике.

— Надеюсь, теперь вам ясно, — заключил я, — почему Эвклид и Лобачевский оказались на двух сторонах одной медали?

Ребята молча кивнули.

— Прекрасно. Тогда обратимся к другой паре: Птолемей — Коперник.

Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (не смешивайте его, пожалуйста, с царём Птолемеем) жил во II веке нашей эры. Астрономия того времени считала, что Земля неподвижна, а все планеты, Луна и Солнце обращаются вокруг неё.

Птолемей тоже разделял эту неверную точку зрения и всё же умудрился с помощью сложнейших геометрических построений достаточно точно рассчитать движение планет по небу. Его вычислениями и таблицами пользовались астрономы в течение многих столетий. И только в середине XVI века великий польский астроном Николай Коперник создал новую систему мироздания, поместив в центре её не Землю, а Солнце.

Коперник буквально перевернул систему Птолемея, поставил её с головы на ноги. Он утверждал, что не Солнце обращается вокруг Земли, а Земля и все другие планеты обращаются вокруг Солнца. К сожалению, Коперник не до конца разобрался в строении Вселенной (да и можно ли вообще разобраться в этом до конца?). Он считал, что Солнце — не только центр нашей Солнечной системы, но и центр всей Вселенной, а звезды прикреплены к небесному куполу и вместе с ним обращаются вокруг Солнца.

С тех пор геоцентрическая система Птолемея уступила место гелиоцентрической системе Коперника — системе, где в центре не Земля (по-гречески «гео»), а Солнце («гелиос»). Но на самом деле Солнце — не центр Вселенной, а всего лишь маленькая звёздочка среди миллиардов других звёзд. Звезды эти объединяются в одно общее семейство, которое называется Галактикой. А таких галактик тоже великое множество. И все они составляют новое, ещё более обширное семейство — Метагалактику. Но и это ещё не конец…

Ясно, что всего этого Коперник в то далёкое время знать не мог. Так что не будем предъявлять к нему непосильных требований. Вполне достаточно и того, что он сделал. И хотя его представление о Вселенной прямо противоположно Птолемееву, нельзя отрицать, что учения Птолемея и Коперника — две стороны одной медали. Кто знает: не было бы Птолемея, может быть, не было бы и Коперника!

— Э, нет! — не согласился со мной Сева. — Была бы Вселенная, а Коперник найдётся!

— Перейдём к третьей медали, — продолжал я, — Ньютон — Эйнштейн.

Если в XVI веке Коперник установил, что Земля и планеты движутся вокруг Солнца, а в XVII веке немецкий астроном Иоганн Ке́плер открыл законы этого движения, то в конце того же XVII века гениальный английский учёный Исаак Ньютон завершил их труды. Ньютон объяснил, почему планеты движутся именно так, а не иначе. Он открыл закон всемирного тяготения, то есть доказал, что все тела взаимно притягиваются. И ещё он установил, что притягиваются они тем сильнее, чем массивнее, и тем меньше, чем дальше друг от друга. Если, например, расстояние между двумя телами увеличить вдвое, то сила их взаимного притяжения уменьшится, только не вдвое, а вчетверо, то есть в два в квадрате раза. Иначе говоря, сила притяжения зависит от квадрата расстояния между телами.

Ньютон открыл и много других законов. Он создал новую небесную механику. Он доказал, что все тела движутся по одним и тем же законам: и падающее яблоко, и хвостатая комета.

Открытие Ньютона было величайшим научным достижением. При этом законы Ньютона так точно подтверждались на опыте, что сомневаться в них никому и в голову не приходило.

Но вот в начале нашего столетия появились труды другого гениального физика — Альберта Эйнштейна.

— И он опроверг Ньютона?! — с надеждой в голосе перебил меня Нулик. (Очевидно, ему очень нравилось, когда кто-то кого-то опровергает.)

Пришлось огорчить его: Эйнштейн не опроверг ньютоновых законов. Но он их уточнил. Эйнштейн доказал, что законы движения, открытые Ньютоном, справедливы только в тех случаях, когда скорость движущегося тела мала по сравнению со скоростью света. А скорость света, как известно, составляет 300 тысяч километров в секунду. Так вот, если тело движется со скоростью, близкой к скорости света, законы Ньютона требуют существенных поправок. Вот Эйнштейн и поправил Ньютона. Но кого бы он поправлял, если бы Ньютона не было? Так что и эта пара не случайно помещена на одной медали.

Я с облегчением откинулся на спинку стула, намереваясь насладиться заслуженным отдыхом. Но отдохнуть мне не пришлось.

— А что это за поправку внёс Эйнштейн в ньютоновы законы? — спросил Олег.

Я задумался. Ответить на такой вопрос было нелегко, то есть я хочу сказать, ответить так, чтобы дошло до всех, даже до Нулика. Ведь для этого мне пришлось бы рассказать о трудах Эйнштейна! Впрочем…

— Что вы знаете о теории относительности? — спросил я.

— Ничего, — честно сознался Сева. — Очевидно, Эйнштейн утверждал, что все в мире относительно?

— В том-то и дело, что не все. Эйнштейн как раз доказал, что в мире имеется одна величина, которая всегда остаётся постоянной. Это скорость света. И вот из постоянства скорости света и вытекает относительность всего остального.

— Ну, це ще треба розжуваты!

(Не пойму, с чего это Нулик заговорил вдруг по-украински?)

— Разжевать, говоришь? Ладно, попробуем. Давайте пофантазируем. Вообразите, что мы едем в машине по шоссе. Не по обычному, а по небесному. И не куда-нибудь, а на Марс. Да-да, вообразить можно всё что угодно! А чтобы межпланетный инспектор ОРУДа не отнял у нас прав, мы едем с дозволенной скоростью — 60 километров в час. Вот мы уже отъехали на солидное расстояние от Земли, примерно на 5 миллионов километров. И тут на шоссе появляются две другие машины. Одна догоняет нас, другая мчится навстречу. У обеих машин спидометры показывают скорость 80 километров в час. Но на что нам чужие спидометры? Мы хотим измерить скорости обеих машин сами. У нас для этого есть длинная, во всю длину машины, линейка и секундомер. Когда машины проносятся мимо нас, мы делаем нужные отметки и производим вычисления. Как вы думаете, с какой скоростью промчалась мимо догонявшая нас машина?

— Со скоростью 20 километров в час, — не задумываясь, ответила Таня. — Ведь эта машина шла со скоростью 80, а наша — 60 километров в час. Причём в ту же сторону. А 80–60=20.

— А какова скорость машины, мчавшейся нам навстречу?

— 140 километров в час, — ответил Сева. — 60+80=140.

— Интересная сказка! — вздохнул Нулик.

— Не сказка, а присказка, — возразил я. — Сказка ещё только начинается. Включаю недозволенную скорость. Теперь мы делаем 200 тысяч километров в секунду. Берегите ваши головные уборы! Нас догоняет луч света, пущенный с Земли, а навстречу нам несётся другой луч — с Марса. Приготовьте измерительные инструменты. Сейчас мы измерим скорость обоих лучей. Внимание! Заме́р! Ну что же вы молчите? Каковы скорости световых лучей?

— У того, который нас догонял, скорость пустяковая, — сказал Сева, — всего-навсего 100 тысяч километров в секунду! 300 000–200 000.

— А у второго — 500 тысяч километров в секунду, — подсчитала Таня. — 300 000+200 000.

Я хотел возразить, но это сделал за меня Олег.

— По моим измерениям, скорость каждого луча — 300 тысяч километров в секунду. Это вытекает из основного положения Эйнштейна: скорость света постоянна.

— Но это же противоречит здравому смыслу! — заволновался Нулик.

— Вот видите, — подхватил я, — рассудительному Нулику здравый смысл мешает. Хорошо, что не помешал Эйнштейну… Разумеется, Эйнштейн основывался не на воображаемых прогулках по небесному шоссе, а на очень тонких физических экспериментах. Результаты их убедили его в том, что никакие приборы никогда, ни при каких обстоятельствах не в состоянии обнаружить изменение скорости света. Она всегда остаётся неизменной. В чём же тут дело? Что же тогда меняется?

— Вот именно. Это-то я и хочу выяснить! — съязвил Нулик.

— Меняются сами приборы. Часы начинают идти медленнее. Сокращаются размеры предметов.

— Отчего же нельзя измерить, на сколько они сократились? — спросил Сева.

— А чем, позволь спросить, ты собираешься измерять? Уж не линейкой ли? Так ведь её длина тоже изменилась. Может быть, секундомером? Так и его ход изменился. И чем ближе скорость движущегося тела к скорости света, тем эти изменения больше. Вот почему при таких больших скоростях пользоваться законами движения Ньютона без существенных поправок нельзя.

Нулик покачал головой:

— Уж эти мне великие люди! Эйнштейн додумался, а ты сиди и мучайся, как его проверить…

— Освобождаю тебя от мучений, — милостиво изрёк я. — Теория относительности Эйнштейна не один раз проверена на опыте. Никто из учёных уже не сомневается в её правильности.

Через некоторое время (надо было всё-таки хоть немного отдохнуть после серьёзного разговора) мы наконец вышли на непреодолимую Апорийскую дорогу. Впрочем, преодолевать её пришлось опять-таки мне одному.

— В прошлый раз, — начал я, — Нулик спросил, что такое софизм? Сейчас я ему отвечу. Софизмом в наше время принято называть нелепое, ложное, но хитро придуманное умозаключение, основанное на заведомой несуразице.

— Какой же чудак станет выдумывать заведомую чушь?

— И опять ты торопишься! — пристыдил я Нулика. — В намеренно ошибочных, заумных рассуждениях древних учёных из школы софистов (иначе мудрецов) таились подчас мысли глубокие, оригинальные, блестящие. Недаром софисты оказали большое влияние на развитие многих наук, особенно математики и философии! Самым известным софистом был Зенон из города Элеи. До нас дошли четыре его софизма, или апори́и, что по-гречески значит «непреодолимое препятствие». Вот с одной из апорий Зенона и столкнулся Магистр на острове Оазис. Зенон утверждал, что для того, чтобы пройти какой-нибудь путь, нужно непременно миновать и его середину. Само по себе утверждение верное. Но далее Зенон рассуждает так: если мы дошли до середины пути, перед нами остаётся ещё полпути, у которого тоже есть своя середина. Итак без конца. Сколько бы мы ни шли, впереди всегда какая-то непройденная часть пути, у которой тоже есть своя середина. А в другой апории Зенон «доказывает», что движения в природе вообще не существует. Все это, конечно, нелепо, но попробуйте найти у Зенона логическую ошибку. Магистр, например, не сумел опровергнуть Зенона.

— А Единичка сумела, — сказала Таня, — взяла да и пробежала весь путь от начала до конца.

— Стало быть, Зенон ошибся? — спросил Нулик.

— Как тебе сказать… Зенон по-своему прав. Если делить путь на отрезки так, как это предлагает он, конца этому пути действительно никогда не будет. Если же идти просто, не обращая внимания на рассуждения Зенона, как это сделала Единичка, одолеть любую дорогу, в том числе и Апорийскую, вполне возможно.

— Не понимаю, какая всё-таки польза от Зеноновой мудрости? — проворчал Сева. — Кому она нужна?

— Апории Зенона заставили учёных задуматься над противоречивыми взаимоотношениями между пространством, движением и временем. Но самое, пожалуй, главное то, что Зенон один из первых представил себе бесконечно малую величину, то есть такую величину, которая постоянно стремится к нулю, но никогда его не достигает. А учение о бесконечно малых и бесконечно больших величинах играет огромную роль в современной математике. Впрочем, — спохватился я, — об этом вам пока ещё рановато…

— Выходит, Магистр ошибался, когда утверждал, что не обнаружил на острове ни одного софизма, — сказал Сева.

— Разумеется, — подтвердила Таня. — А под конец он попросту сбился со счёта. Ему померещились 12 бочек вместо 11.

— Бочек было 11 в том случае, если четвёртая слева и восьмая справа — одна и та же, — поправил её Олег.

Сева удивлённо поднял брови:

— По-твоему, Магистр и Единичка сели в разные бочки?

Олег загадочно улыбнулся:

— Ну, об этом мы узнаем, когда познакомимся со следующей главой диссертации…