Философия и логика времени

УДК: 531.111.5

Философия и логика времени, или О неполноте сознания

С.Б. Юрченко

Книга содержит междисциплинарное исследование феномена времени в рамках физики, метаматематики, философии и нейрофизиологии. Общее заключение гласит, что квантовый принцип неопределенности есть следствие сингулярного настоящего, порождающего нелокальность и анизотропное физическое время. При этом симметрия мнимого времени в квантовой механике (симметрия антиподов) получает антропное объяснение. Главный вывод, основанный на формализации потока сознания, позволяет обобщить геделевский формализм (теорему о неполноте) до всей нейролингвистической реальности мозга.

PACK: 04.20.Gz

Содержание

Введение

I. Проблема остановки времени

II. Причинность и дискретность

III. Исчисляемое время и континуум

IV. Релятивистское время и эфир

V. Квантовое время и симметрия

VI. Феноменологическое время и настоящее

VII. Мета-физика бытия

VIII. Квант времени и поток самосознания

IX. Психо-математика и фоновая зависимость

X. Вселенная и Хронодинамика

XI. Космологическое время

Заключение

Tempora mutantur et nos mutamur in illis

«Времена меняются, и мы меняемся с ними»

Введение

Статус пространства-времени в современной физике формулируется в виде проблемы «фоновой независимости» (background independence) [1]. В Ньютоновской механике движение происходит в абсолютном пространстве и едином времени. Это понимается как фоновая зависимость. Напротив, в специальной теории относительности (СТО) и в общей теории относительности (ОТО) нет никакой фоновой метрики, никакого инертного состояния (покоя), на котором разворачивается динамика. Само пространство-время является динамическим. В квантовой механике (КМ) время не является наблюдаемой величиной в том смысле, что не имеется ассоциированный с ним оператор времени. Эволюция квантовой системы ведется динамикой гамильтониана, для которого время остается независимым параметром и формально мнимой величиной. В квантовой гравитации (КГ) дискретное Планковское пространство-время совмещает качества ОТО и КМ: геометрия не фиксирована, а траектория частицы отсутствует. Теоретически возможны три стратегии для проблемы времени [2]:

Tempus ante Quantum (время до материи);

Tempus post Quantum (время после материи);

Tempus nihil est (время есть ничто).

В итоге время имеет два основных аспекта: (i) как физический параметр (активный, пассивный или фиктивный) и (ii) как математическая структура (непрерывная или дискретная).

I. Проблема остановки времени

3-мерное пространство выглядит настолько естественным для ума, что долгое время именно его принято было рассматривать как физическое, реальное вместилище мира. Все необходимые точки такого пространства уже заданы, время выражается лишь движением ума по этим точкам. Те из математиков, которые были склонны к теологии, как, например, Больцано, утверждали, что Бог охватывает все пространство единым взором, а потому время ему вовсе не нужно [3]. Время оказывалось ущербным свойством человека, не имеющим отношения к совершенному творению, поскольку в «очах Божьих» Вселенная представлена полностью. Иногда говорят, что если бы Риман ввел в свою геометрию время, он открыл бы теорию относительности. Именно поэтому пространство Минковского для этой теории представлено так, чтобы время в нем присутствовало явным образом, пусть даже в ущерб одной из пространственных координат. Лучше нам потерять часть пространства, чем лишиться времени в нем. Придерживаясь терминологии Больцано, тут можно сказать, что релятивизм – это теория для человеческого ума, а не для божественного. Какова же должна быть «теория Бога»?

С осознанием значения времени стала важной и его математическая структура, но поскольку время в традиции Декарта вводилось в анализ как дополнительная координата пространства, а пространство всегда было принято считать непрерывным, то и время автоматически получило те же континуальные качества. Впрочем, иное невозможно. Было бы странным, если бы некоторым точкам пространства не нашлось временной координаты. Что делало бы пространство в то время, когда времени нет?

В библейской книге Иисуса Навина (Joshua) рассказывается притча о том, как этот полководец приказал Солнцу остановиться, чтобы закончить битву с филистимлянами. Такое представление о времени является наиболее примитивным. Оно не только не учитывает биологические и нейрофизиологические временные процессы в теле и мозге человека, разделяя физическую и психологическую составляющие стрелы времени, но игнорирует время и в оценке изменяющейся материи. Время в такой модели выступает лишь в качестве атрибута циклической небесной механики, благодаря которой происходит смена суточных и годовых периодов. Достаточно остановить ее, чтобы время прекратило свой бег.

В античности уже появляется понятие физического детерминизма, в котором время принимается как параметр всей динамической реальности. Философы понимают, что остановка времени – это остановка всего, так что никакие действия, включая проведение битвы, невозможны. При этом самосознание по-прежнему воспринимает себя абсолютно. Идеализация заключается в том, что энтропийный процесс, одним из следствий которого является смерть всего живого, воспринимается как кара, судьба, божественный закон, определенный нравственными или случайными принципами, а не самим ходом времени. Мир движется, а наблюдатель находится в состоянии идеального созерцателя. Своим умом он может лицезреть неподвижное пространство локально со всем его содержимым. Эта модель соответствует тому, что античный человек видел в искусстве – скульптуре, архитектуре, живописи: застывшее вне времени пространство. Ныне мы действительно видим такую же картину на фотографии. Поэтому такую модель можно назвать «фотографической».

Начиная с классической механики Галилея и Ньютона, восприятие времени неизбежно подразумевает детерминизм, а не судьбу и случайность. Каждое действие имеет противодействие. Каждое событие определено прошлым и имеет последствия, которые отражаются в будущем. По мнению Лапласа, если знать начальные условия, то вычисление будущего – это лишь вопрос математической компетентности ума. Абсолютное пространство независимо от времени в том смысле, что если время равно нулю, пространство не исчезает. Иначе говоря, в отсутствии времени остается застывшее пространство. Собственно, таким оно и должно было быть в момент сотворения мира, который признавали натурфилософы и деисты. Эта модель так же является «фотографической». Время абсолютно одинаково для всех, и нужно оно лишь для того, чтобы показывать череду сменяющих друг друга «чистых» пространств. Динамика Вселенной в таком восприятии разворачивается как кинофильм. Назовем ее «анимационной» моделью.

Наконец, релятивизм устанавливает единое пространство-время, вводит в эксперимент наблюдателя, явным образом зависимого от инерциальной системы отсчета (ИСО) и ограниченного этой ИСО, лишая тем самым физическое время абсолютности. При этом в СТО преобразования Лоренца при скорости света говорят о том, что локальное время замедляется до бесконечности, а локальное пространство сжимается. В ОТО происходит то же самое и выражено в названии начального состояния мира «сингулярным». В этой точке уравнения ОТО распадаются, поскольку значения плотности материи и напряженность гравитационного поля становятся бесконечными. Это можно понимать как остановку времени, которая возникает и в предельных состояниях СТО при скорости света. Другой взгляд заключается в том, что ОТО просто неполна.

Но нетрудно заметить, что такое противопоставление не является логически дизъюнктивным. Если в оставленном времени величины становятся действительно бесконечными, поскольку мир перестает быть локальным, то неполнота любой локальной физической теории есть ее закономерное следствие. Мы покажем, что это действительно так. Мир лишается локальности в остановленном времени, и ОТО принципиально неполна в геделевском смысле. Для этого необходимо прояснить природу и суть того, что мы в просторечии называем «временем», не слишком хорошо понимая, а, возможно, совсем не понимая, что это такое. Л. Смолин говорит по этому поводу: «Я уверен, что имеется нечто основополагающее, что мы упускаем, некоторое ошибочное предположение, которое мы все делаем. Если это так, тогда нам нужно изолировать ошибочное предположение и заменить его новой идеей…Все больше и больше я чувствую, что КМ и ОТО глубоко заблуждаются в природе времени. Недостаточно совместить их. Проблема лежит глубже, в возврате к истокам физики» [4].

В КМ время отделено от пространства. Их сочетание можно описать только как вероятностное в понятиях дополнительности. Принцип неопределенности гласит: чем точнее определена одна величина, тем неопределеннее становится сопряженная с ней. С другой стороны, коллапс волновой функции нелокален, т.е. он происходит как бы в остановленном времени. Так каким должен быть мир в остановленном времени? Может ли он быть тем, что демонстрируют нам фотографии, – застывшим пространством, где ничто не движется? Это подводит нас вплотную к вопросу о том, чем является настоящее. Бессознательно принято считать, что настоящее – это очень маленький момент времени. «Сейчас» может длиться и час, и минуту, и секунду, обычно в уточнении этого понятия не принято заходить далеко. Физика связывает его с Планковскими единицами длины l и интервала t (обозначаемые в дальнейшим как ds и dt), так что «сейчас» на наш человеческий взгляд оказывается крошечным:

~ и (1.1)

где G и h есть гравитационная и Планковская постоянные, а c - скорость света.

Казалось бы, на такой ничтожной величине можно и остановиться. Она должна устроить всех. Но то, что настоящее является чем-то очень странным, заметил еще Августин. «Настоящим можно назвать только тот момент во времени, который невозможно разделить хотя бы на мельчайшие части, ибо он стремительно уносится из будущего в прошлое. Протяженности в нем нет! Если бы он длился, в нем можно было бы отделить прошлое от будущего; настоящее же не имеет длительности», - писал он, проявляя потрясающую математическую интуицию [5]. Гегель, почти через полторы тысячи лет после этого богослова, оперируя той же логикой, из которой следует, что у настоящего не может быть меры, заключает: «Истинное настоящее есть тем самым вечность» [6].

Но это кажется абсурдным для нашего восприятия времени, которое должно складываться из частей точно так же, как складывается любое математическое множество. Тут важно то, что такое множество однородно. Но и время должно быть однородным, как, например, песок, который используется для его измерения в песочных часах. Настоящее должно быть такой же песчинкой во времени. Даже если измельчить этот песок в нано-порошок, настоящее все равно останется конечной величиной. Выделим в тезис эти необходимые для нас качества времени:

Т е з и с А. Время должно быть однородным с конечной ненулевой мерой.

На уровне нашего словоупотребления это подразумевает, что «интервал» и «мгновение» есть синонимы. Мгновенность чего-либо содержит в себе очень маленький интервал, который математики называют бесконечно малой величиной или дифференциалом. Тем не менее следующий теоретик философии времени Бергсон вообще выбрасывает из своего рассуждения сомнительное настоящее: «Длительность - это непрерывное развитие прошлого, вбирающего в себя будущее и разбухающего по мере движения вперед» [7]. Настоящее оказывается такой вещью, о которой лучше не говорить, чтобы не сбить себя и своих слушателей с толку. Ведь если настоящее имеет протяженность, как выдержка в фотоаппарате, то, пожалуй, Вселенная в нем получится размытой, как это бывает на плохом снимке. А если настоящее равно нулю, то оно ничем не отличается от вечности, поскольку любая сумма нулей остается нулем. В таком времени некуда двигаться.

II. Причинность и дискретность

Если физический мир признается нами детерминированным, то кажется разумным предположить, что причинность требует дискретного времени. Очевидно, физическое событие А по определению всегда отделяется от физического события В некоторым интервалом времени, дающим нам возможность различить их как два отдельных события. Но что происходит в этом интервале времени? Если речь идет о двух событиях, одно из которых является непосредственной, плотно прилегающей физической причиной другого, то в этом интервале не должно что-либо происходить, иначе между ними окажется, по крайней мере, еще одно событие, которое не обнаруживается наблюдателем. В этом случае наблюдатель интерпретирует эти два события или последовательность детектируемых им попарных событий как причинное множество, ничего не подозревая о промежуточных событиях, которые, в конце концов, возможно, и определили весь этот физический процесс. Например, он видит как мука мгновенно превращается в хлеб (точный смысл этой фразы мы сможем прояснить ниже, когда дадим определение потоку самосознания). Но кто его замесил и испек? Все чудеса, выражаясь научным языком, имеют в своей основе ненаблюдаемые промежуточные события между начальным и конечным состояниями, а достоинства фокуса заключаются в том, насколько хорошо были скрыты звенья в его причинной цепи.

Концепт «причинное множество» (causal set) возник в физике в связи с тем, что в пространстве Минковского все времениподобные (t-подобные) мировые линии являются строго детерминированными, фактически отражая в траектории тела череду происходящих с ним событий. В пространстве Минковского световой конус ограничен множеством всех линий света, испущенного из данной точки, в которых Лоренцев интервал пространства-времени (метрика) равен нулю:

(2.1)

Иначе говоря, сами границы конуса описывают все возможные траектории тела, движущегося со световой скоростью, достичь которой по определению могут только безмассовые частицы (фотоны). Для тел, обладающих массой, эти границы недостижимы. Внутренняя область конуса содержит события, которые могут быть достижимы друг от друга досветовыми скоростями и поэтому быть причинно связанными между собой. Они не могут иметь причинной связи с событиями вне конуса, поскольку для такой связи необходима сверхсветовая скорость. Внешнюю область можно считать очень удаленным пространством, с которым события внутри конуса не имеют ничего общего. Эту область принято называть пространственноподобной (s-подобной).

Настоящее в этом пространстве, т.е. «застывшая» Вселенная изображается гиперповерхностью, а точка на ней и есть рассматриваемое событие, из которого исходят световые конуса в прошлое и будущее. Это значит, по крайней мере, что неявным для себя образом СТО и ОТО принимают концепцию пространства вне времени, а явным – считают настоящее чем-то конечным. Вообще говоря, это – противоречие в логических основаниях.

Рис.1

Локально световой конус выглядит вполне естественно. Тем не менее, он подразумевает, что в бесконечном будущем световой конус будет охватывать всю большую область, так что любое данное событие, сколь бы ничтожным оно ни было в данный момент времени, порождая математическую решетку (частично упорядоченное множество с верхними и нижними гранями) своих физических следствий, приобретет в этом бесконечном будущем поистине вселенское значение. Точно также в обратном конусе наберется бесконечное множество событий прошлого, которые так или иначе повлияли на это событие, что опять делает его чрезвычайно важным, ведь оно словно венчает собою все это прошлое. Конечно, этому есть простое объяснение: нужно лишь учесть вклад бесконечного множества других конусов в этот конкретный конус.

Не меньшую странность создает теория Большого взрыва или любая другая, допускающая момент сотворения мира. В этом случае конус прошлого любого события в ретроспективе должен перестать расширяться и начать стягиваться в одну точку, поскольку Большой взрыв оказывается самым первым событием во Вселенной и причиной всех причин. А это значит, что полный конус прошлого любого данного события должен стать сферой. Если же принимать теорию Большого хлопка (или Конца света), то и конус будущего тоже должен оказаться сферой, коллапсирующей в одну точку.

Но что было бы, если бы скорость передачи сигнала во Вселенной была бесконечной, как это скорее негласно, чем явно, предполагалось в дорелятивисткой физике? В этом случае световой конус развернулся бы до полупространства, поглотив всю внешнюю область конуса, все удаленное физическое пространство. При этом образовавшуюся плоскость, отделяющая полупространство будущего от полупространства прошлого, уместно интерпретировать как единое настоящее для всей Вселенной, т.е. эта гиперплоскость представляла бы собою по смыслу застывшую в этом самом «сейчас» Вселенную как 3-мерное физическое пространство, в котором все точки имеют мгновенную связь. Так устанавливается логическая параллель между абсолютным покоем и мгновенной нелокальной связью (дальнодействием).

Лемма 1. Мгновенная связь = Абсолютный покой

Такова по сути Ньютоновская модель мира, в которой время и пространство абсолютны. Его динамика выражается в том, что 3-мерное пространство в следующее мгновение, отделяющее прошлое от будущего, перейдет в новое состояние, а «застывшая» в покое Вселенная чуть изменится. Пользуясь наглядным формализмом, скажем, что динамическая Вселенная в абсолютном времени есть топологическое расслоение 4-мерного пространства M по точкам 1-мерной шкалы времени t в отображении р:

или ,

где есть обратное отображение из t в М. Тогда для каждого момента времени имеется слой не пересекающийся с другими слоями в М, так что Вселенная однозначно разлагается на счетное множество классов . Счетность здесь подразумевает, что само время является дискретным, т.е. все моменты времени можно пересчитать, а более строго, что t не превосходит по мощности натуральный ряд N. Пространство M/t называется факторизованным.

Факторизованное пространство M/t , таким образом, состоит из гиперповерхностей на рис.1. Будем называть каждую такую гиперповерхность в дальнейшем «стратой» ( stratum) и обозначать как W, подразумевая, что каждое W есть мгновенное состояние Вселенной в абсолютном времени. В таком разложении Вселенную удобно представить стопкой листов, нанизывающихся на шпиль времени, где каждый лист есть «чистое» физическое 3-мерное пространство. При этом на проекцию налагается требование Большого взрыва.

Условие (сингулярности). = сингулярность (2.2)

Это очень существенный пункт, поскольку ниже, обратившись к анализу математического континуума, мы придем к заключению, что условием сингулярности обладает любая точка непрерывной шкалы времени. Подобный формализм уже использовался Уилером для представления 4-мерного пространства классом 3-геометрий в декларированной им «Геометродинамике». При этом сам математический континуум остался вне рамок исследования. Мы же обратимся прежде всего именно к природе феномена непрерывности в «чистом» виде.

Рис.2

Высота этой стопки, при условии, что у нее есть дно (сингулярность), составляет возраст Вселенной, который на сегодняшний день определяют в 13,7 млрд. лет. Хотим ли мы этим сказать, что определять возраст чего-либо имеет смысл лишь в абсолютной шкале времени, а не в релятивисткой? Пожалуй, так. Понятие возраста изначально является характеристикой живых систем, которая отражает не только длительность некоторого физического процесса, но и его необратимость. Из биологии, т.е. из бытовых представлений о возрасте это понятие перекочевало в историю, позже в археологию, а затем и в космологию. Но последней, конечно, предшествовала теология и мифология. Например, в индуизме кальпа есть «день Брахмы», продолжающийся 4,32 млрд. лет, а общий срок существования мира составляет 311 триллионов 40 млрд. лет.

Тут важно то, что пока мы говорим о времени как о длительности процесса, время оказывается величиной пассивной или даже фиктивной, которая ничто не связывает, но как только мы переходим к понятию возраста, это требует привязки времени к чему-то конкретному, что имеет этот возраст. И тогда возникает вопрос: чему приписывается возраст в физике и в чем этот возраст там выражается? В данном случае, на возраст чего абсолютного указывают 13,7 млрд. лет?

Биологическое время всегда предполагает возраст. Его релятивистское замедление в СТО допускает, что тело в двух ИСО или разные тела в них могут получить разный возраст, но в СТО нет механизма, который не только позволял бы оценить возраст в ИСО, но и вообще сформулировать концепцию возраста для них, как это происходит в парадоксе близнецов, когда показания часов выражают уже не просто длительность физических событий, а именно возраст. Часы, показывающие разное время, - это триумф релятивизма, а не проблема живых систем. Но проблема возникает. Биологическое время, из которого и берется идея возраста, обладает таким образом не только абсолютностью, но и качественностью, и в целом соответствует активному времени (Tempus ante Quantum).

Это значит, что стратегия выбора статуса времени в описании Вселенной в первую очередь зависит от того, какое время – механическое или биологическое мы считаем более адекватным для ее описания. Говоря в самом общем смысле, это зависит от того, считаем ли мы Вселенную безжизненной или живой структурой. Конечно, в рамках релятивизма при определении «возраста» Вселенной можно обойти эту проблему, исходя из того, что возрастом можно считать космическое расстояние, пройденное светом. Техническая сложность такой оценки уже не принципиальна. По крайней мере, теоретически можно, вычислив расстояние до глобального горизонта, принять его за радиус и считать возрастом Вселенной, не приписывая его ничему и никому конкретно.

В физике имеется только один закон, признающий качественность, т.е. необратимость времени, – 2 начало термодинамики, описывающее энтропию. Все прочие законы физики, включая законы сохранения, равнодушны ко времени. Названное число (13,7 млрд. лет.) было определено именно термодинамически: прежде всего с помощью зонда WMAP, чья программа включена в Книгу рекордов Гиннеса за «самое точное измерение возраста Вселенной». Проще говоря, таков должен быть возраст микроволнового фона, который считается остаточным свечением горячей Вселенной и поэтому называется «реликтовым излучением». Но каким образом термодинамика соотносится с релятивизмом? Подход к этому уже имеется в проблеме энтропии черных дыр в ОТО и сопровождается соответствующими теоремами. Поставим вопрос прямо: что может быть математическим эквивалентом возраста в релятивизме?

Принцип относительности в СТО совершенно исключает какую-либо качественность времени (и пространства): оно ничего не меняет в ИСО. В ОТО эта качественность косвенно заявляет о себе в сингулярностях. Возможный путь: разбить все ИСО на классы эквивалентности, приписав каждому «плотность времени» с разницей в один квант времени. Такая модель отличалась бы от модели абсолютного времени на рисунке 2 лишь тем, что вместо страт в факторизованном пространстве Минковского M/t выступал бы класс эквивалентностей ИСО/~ со своими плотностями времени. Тогда, по крайней мере, теоретически можно было бы говорить о возрасте той или иной ИСО. К вопросу о возрасте какого-либо тела или региона в релятивизме мы вернемся позже, а сначала попробуем понять уже предполагающуюся структуру времени в релятивизме. Обратимся опять к рисунку 2 и зададимся другим фундаментальным вопросом: какова «толщина» каждой страты в этой модели? Иначе говоря, какова длительность физического мгновения вообще? Что есть настоящее? И может ли оно быть Планковской единицей?

В релятивизме шпиль времени с нанизанными на него единовременными Вселенными (стратами), как на рис.2, строго невозможен, поскольку световой конус всегда локален, а Вселенная целиком не может быть охвачена одним взором. Для локального наблюдателя в СТО и ОТО Вселенная в целом s-подобна. Именно световые конуса определяют для локального наблюдателя его t-подобные области в прошлом и будущем. И поэтому мы видим звезды на небе лишь такими, какими они были миллионы лет назад. Пространство за границами этих конусов в принципе недоступно нам. С другой стороны, если этой локальной точкой является сингулярность Большого взрыва, то вся Вселенная для нее остается t-подобной.

Но гораздо важнее то, что даже такая модель абсолютного времени, в которой Вселенная оказывается стопкой листов, каждый из которых требует бесконечной скорости связи внутри себя, логически не корректна и внутренне противоречива. Световой конус будущего при бесконечной скорости света должен поглотить вообще все пространство Минковского вместе с противоположным конусом, поскольку при бесконечной скорости любые точки Вселенной имели бы мгновенное взаимодействие друг с другом изначально. При мгновенной передачи сигнала время как таковое лишается смысла. Ему не в чем выражаться и незачем вообще начинаться. Все связано со всем, а это и есть отсутствие времени, у которого не может быть ни будущего, ни прошлого. Череда листов из застывших страт, нанизанных на шпиль времени, сводится к одному листу, к одному мгновению на шкале времени t. Но и это – ложное мнение.

Дело в том, что стопку таких листов в факторизованном пространстве M/t мы видим уже из сложившегося времени, и поэтому у нас возникает ложное мнение, будто время, по крайней мере, гипотетически может быть абсолютным. Но если смотреть из начальной точки, то стопке не из чего сложиться. Вселенная не может развиваться при бесконечной скорости связи всего со всем. Более того. При отсутствии времени пространство так же лишается смысла. Никакого «чистого» пространства в виде застывшей в настоящем Вселенной попросту быть не может. Такая Вселенная должна физически аннигилировать, схлопнуться в сингулярность, где время t = 0.

В этом смысле все рисунки, картины и снимки, будь то детский натюрморт с мертвыми цветами, портрет неувядающей Джоконды на фоне экзотического пейзажа, рекламный проспект с фотографией Ганга, который никуда не течет, астрономический снимок звездного неба, которого в действительности нет, или какой-либо регистратор квантовых частиц, призванный зафиксировать настоящее и порождающий корпускулярно-волновой дуализм, словом, все привычные и естественные нашему взору пространства, в которых нет времени, создают иллюзию. Этого просто не может быть! Логика запрещает их!

С тех пор как Д. Бом выдвинул гипотезу о том, что Вселенная есть голограмма, т.е. интерференционная картинка волн на плоскости, которая под лучом лазера «оживает» в трехмерный мир, эта идея стала очень популярна. Тут мы должны сказать, что любая фотография – это уже в некотором смысле голограмма. Она хранит то, чего нет. Воспользуемся такой иллюстрацией. Пусть имеются З-мерный шар и 2-мерная поверхность этого шара. Это – не одно и то же. Проекцией шара на плоскость будет круг, а проекцией его поверхности – окружность. Если теперь спроецировать круг и окружность в 1-мерное пространство, то оба они окажутся одним и тем же отрезком. Т.о. различие между шаром и сферой безвозвратно потеряно. На 2-мерную фотографию проецируется 4-мерное пространство-время, а не 3-мерное пространство, но их образы оказываются одинаковыми. Координата времени безвозвратно утрачена. В этом фундаментальная ложь фотографии.

Ныне хорошо известны геометрические иллюзии, создающие на плоскости объемные конструкции, которые в действительном 3-мерном пространстве существовать не могут, как, например, фигура, искажающая перспективу физически невозможным образом, или замкнутая лестница, которая идет только на подъем (или спуск). Считая ступень на такой лестнице шагом в следующую страту в пространстве M/t, процесс можно описать как временную петлю: тело, двигаясь из начальной точки пространства-времени вперед (или назад), возвращается в исходную точку. Еще страннее выглядела бы такая лестница на листе Мебиуса. Будучи неориентируемой поверхностью, он дает зеркальную симметрию: двигаясь по такой лестнице, тело образует сразу две виртуальные петли во времени – как в прошлое, так и в будущее. Если это была бы частица, то что должен думать о ней наблюдатель? И как он будет ее регистрировать?

Рис.3

Эти примеры показывают, что достаточно утраты одной из координат, чтобы ум оказывался способен порождать геометрические химеры. Если физическая реальность 4-мерна, то возможно, обычное представление о «чистом» 3-мерном физическом мире, который мы понимаем и описываем как классическое математическое пространство, также вводит нас в заблуждение. Учитываем ли мы значение времени в должной мере и не порождаем ли химеры, которые кажутся нам совершенно естественными? В частности, об этом свидетельствует наше изобразительное искусство. Подобно тому как «неправильные» рисунки и фотографии утрируют физическое пространство, все «правильные» фотографии и даже 3-мерные макеты утрируют время: создают иллюзию пространства вне времени.

Позже, определив поток самосознания, можно будет показать, что любой наблюдатель (мозг) адекватен по отношению к 3-мерному пространству, но не адекватен по отношению к (3+t)-мерному пространству, поскольку мозг в принципе не способен «видеть» и контролировать время. Речь здесь, конечно же, идет не о спонтанном отсчете времени, такими биологическими часами, как известно из биофизики, обладает даже клетка, но именно об осознании времени. В частности, это проявляется в том, что наблюдатель идет на компромиссы, делая время равноправной четвертой координатой пространства, но испытывает неизбежные трудности в его восприятии и описании.

Здесь скрывается фундаментальное свойство мышления. Самосознание изначально живет иллюзией настоящего, к которому предъявляет требование конечности и непрерывности. Внутри любого конечного интервала времени Δt, будь то даже Планковский квант или бесконечно малый дифференциал dt, реальность все равно продолжает двигаться, если только не признать, что dt = 0. Но для математики это совершенно неприемлемо, поскольку из нулей невозможно получить непрерывную действительную сумму, на которой основывается весь математический анализ. Однако мы видим фотографию, в которой времени нет: как загадочную даму, которая не увядает, как реку, которая никуда не течет, как звездное небо, которого нет. Т.о. иллюзия настоящего как возможность пространства вне времени предшествует в самосознании логике. Ниже мы покажем на структуре потока самосознания, что эта иллюзия жизненно необходима мозгу, и логике остается только идти на ухищрения, которые содержатся в дуализме дискретного и континуального, в трактовке бесконечности и нуля.

Вернемся к упомянутому ранее образу песочных часов, в которых каждая песчинка олицетворяет для нас квант времени. Сопоставим ему световые конуса. Перетекание песка из верхней колбы в нижнюю подобно для нас непрерывности времени. Но что тогда выражает такое состояние часов, когда между колбами нет ни одной песчинки?

Рис.4

Эта аналогия подсказывает, что настоящее не может быть выражено неким квантом-песчинкой, оно есть именно такое состояние часов, когда между двумя колбами (конусами) нет ни одного кванта. Таково начальное состояние часов, когда песок еще не начал пересыпаться из одной колбы в другую. Но это же состояние возникает периодически, перед и после каждой песчинки. Отсюда условие сингулярности (2.2) становится совершенно очевидным: сингулярность присутствует всюду. Итак, настоящее – это иллюзия. Но если настоящего нет, то нет и пространства! Это важно для КМ, где конечным результатом измерения должно быть именно такое пространство координат в мгновенном покое, т.е. в остановленном времени. Это становится важным для ОТО, когда ее уравнения приближаются к предельным состояниям – Большому взрыву, черным дырам и глобальному горизонту Вселенной. Наше желание получить самую достоверную информацию о реальности равно нашему желанию быть обманутыми. Ее просто не может быть!

Математически бесконечно большое обладает теми же свойствами, что и бесконечно малое. Бесконечно большая скорость взаимодействия означает бесконечно малую «толщину» страты в стопке динамической Вселенной на рис.2. Это значит, что мгновение должно быть равно нулю. Но любая сумма нулей останется нулем. Возраст такой Вселенной всегда должен быть равен нулю. Она попросту не может существовать в вечном настоящем. Во времена Ньютона еще не было фотографии, даже дагерротипа, но уже существовала гравюра, офорты и, наконец, живопись. И все они показывали застывшее пространство без времени, которого не может быть. Очевидно, Ньютону не приходило это на ум, иначе он должен был бы признать, что акт божественного сотворения мира, в который он верил, должен стать и актом его конца. При мгновенной связи всего со всем, все события уже произошли. У них не может быть истории. Надо сказать, что Эйнштейн, связав воедино локальные пространство и время, тоже не понял значение настоящего до конца. Именно поэтому он отвергал КМ и появление черных дыр в решениях собственных уравнений.

Лемма 2. Абсолютный покой = Отсутствие пространства

Эта лемма логически решает проблему временных петель. Достаточно признать, что физическое пространство невозможно вне времени (и даже в абстракции простому смертному требуется время для его обозрения), чтобы наложить дедуктивный запрет на замкнутые t-подобные линии, существование которых в рамках ОТО предсказывается метрикой Геделя, построенной под вращающуюся без расширения Вселенную. Конструктивное обоснование этого запрета, названного «гипотезой о защищенности хронологии» (chronology protection conjecture) предполагается получить из квантовой гравитации, т.е. из дискретного формализма. Мы его выражаем в этой лемме, полагая логически очевидным. Существование временной петли означает, что в ней найдется точка инверсии, в которой время обращается вспять. В этой точке пространство должно схлопнуться согласно лемме 2.

Но коль скоро условием сингулярности обладает любая точка на шкале времени, то почему Вселенная не схлопывается в настоящем, которое соответствует абсолютному покою в Ньютоновской модели и которую мы видим на фотографии? Намеки на нее появляются в физике в виде так называемых «нелокальных квантовых корреляций», которые проверены множеством экспериментов. Эти исследования были спровоцированы парадоксом Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР), целью которых было показать логическую несостоятельность КМ с ее принципом неопределенности. Суть парадокса заключалась в том, что коллапс волновой функции происходит мгновенно и пара спутанных (entangled) частиц при разлете их друг от друга на любое расстояние (за пределы светового конуса), согласно симметричным принципам КМ и ее претензии на описание полной вероятности должны сохранять информационную память о состоянии друг друга и реагировать на его изменение. Поскольку такая взаимосвязь должна превосходить скорость света, что исключается в СТО, то высказывалось предположение о существовании невыявленной переменной в постулатах КМ.

Чтобы понять парадоксальность таких мгновенных корреляций, возьмем, например, даты рождения и смерти любого человека. Говоря с некоторой вольностью, ЭПР-парадокс допускает, что эти события могут иметь мгновенную связь, т.е. в некотором описании эти события могут быть одновременными. СТО, хотя и утверждает относительность всякой одновременности, совершенно исключает возможность существования такой ИСО, в которой продолжительность какого-либо физического процесса, включая чью-либо жизнь, равнялась бы нулю. Позже мы убедимся, что эти события, как и вообще любые два события во Вселенной, могут быть одновременными при уточнении природы пространства Минковского.

Пионером в области таких исследований по поиску этой скрытой переменной был А. Аспект [8], тестировавший «спутанные состояния» пар сопряженных частиц, которые подтвердили ЭПР. Ныне этот мир мгновенных связей формально отделяется от локального релятивистского мира неравенствами Белла [9]. Теорема Белла давала три возможных вывода из ЭПР: (a) квантовая механика не работает, или (b) принцип локальности не действует, а релятивизм ложен, или (c) объективная реальность не существует. Последняя версия, конечно же, оказывается самой радикальной из них, объявляя иллюзорными и КМ, и СТО с ОТО. Но именно она и станет конечным выводом этого исследования. При этом все три теории останутся внутренне оправданными.

Вскоре после создания СТО в 1910 г. Игнатовский показывал, что исходя из линейности преобразований, принципа относительности и изотропности пространства, можно вывести преобразования Лоренца без постулата Эйнштейна об инвариантности скорости света [10]. Через год Франк и Роте продолжили этот дедуктивно-аксиоматический подход, уточнив, что в классе дробно-линейных функций преобразования различных ИСО зависят от их скорости. Добавление аксиомы изотропности пространства переводит эти преобразования в преобразования Лоренца, а аксиома абсолютности времени дает преобразования Галилея. Их вывод: «Среди всех уравнений преобразования, соответствующих однопараметрическим линейным однородным группам, существует три типа, в которых величина сокращения не зависит от направления движения в абсолютном пространстве. При преобразовании Лоренца скорость света во всех двигающихся системах при любом направлении распространения имеет одно и то же конечное значение. В преобразовании Доплера, однако, это верно только при распространении в одном направлении; для преобразования Галилея – только если скорость света является бесконечной» [11].

Т.о. собственно весь релятивизм выводится из классической механики, и непротиворечивость СТО есть лишь следствие непротиворечивости классической механики. Заметим, что аксиома об абсолютности времени, если она понимается в смысле дальнодействия, согласно лемме 2 убивает не только релятивизм, но и классическую механику Галилея и Ньютона, вообще все. Итак, формализм СТО логически вытекает из классической механики, при этом в нем появляется константа, которую уместно интерпретировать как скорость света. Она оказывается единственной абсолютной величиной на фоне всеобщего релятивизма. Еще одна фундаментальная аксиома об изотропности пространства в этом рассмотрении даже не обсуждается как несомненная истина. Но фундаментальной проблемой физики стало именно то, что классическая механика существенно отличается от КМ. Это значит, что на пути их объединения стоят два бастиона – скорость света и изотропное пространство. В действительности – это один бастион: скорость света и свойства пространства-времени логически связаны.

Такая анизотропия пространства (хотя говорить о «чистом» пространстве, как гласит лемма 2, вообще нет смысла) не ставит, конечно же, под сомнение равенство трех его координат, а подразумевает неравенство этого пространства в направлениях по времени. Время, а вместе с ним пространство, локально в прошлом и не локально в будущем относительно настоящего. Текущее настоящее оказывается точкой, которая все меняет. Космологически это выражается, например, в том, что в конусе будущего от этой точки пространство расширяется, а в ее конусе прошлого пространства становится меньше. Разве это не странно для заурядной, скользящей точки? По крайней мере, в математическом пространстве, как оно определяется классически, такое невозможно. Можно будет показать, что релятивизм не полон, а точнее принципиально не пополним в геделевском смысле. Он требует своего пополнения в абсолютизме, который делает его противоречивым.

Именно так! Это покажется абсурдным: то, что разрушает непротиворечивую теорию, не нужно ей. Но без него этой теории не обойтись. Устройство Вселенной не укладывается в простую двузначную логику. Ниже мы вернемся к теореме Геделя, которая обычно воспринимается не более как курьез формальной логики. Мы проясним ее фундаментальный статус для самосознания, установим связь с причинностью, теорией множеств, ультрафильтрами в топологии и обрисуем просматривающиеся здесь параллели с ОТО и КМ в рамках модели Большого взрыва.

Сначала нужно признать, что принцип причинности является фундаментальным для нашего самосознания. Он выражается как в нашем повседневном мышлении и бытии, так и в нашей логике, с помощью которой мы выстраиваем свои теории. Физически принцип причинности как таковой тождествен конечной скорости света и ее релятивистским эффектам. Невозможно иметь одно и не иметь другое. Если мы хотим жить в детерминированном мире, где все наши поступки имеют ожидаемые и осмысленные последствия, то нам следует приветствовать конечную скорость света, какой бы она не была.

Речь здесь даже не идет о той фантастической истории, в которой кто-то может убить случайно своего предка, сделав невозможным собственное бытие. Временная петля подразумевает, что в какой-то момент время должно остановиться и пойти вспять. Такая точка остановки согласно лемме 2 становится точкой коллапса Вселенной. Иначе говоря, если бы библейскому персонажу Навину действительно удалось бы остановить время, он получил бы самое мощное оружие в истории человечества, позволяющее уничтожить всю Вселенную или, по крайней мере, некоторую окрестность в ней. Что касается сверхсветовой скорости, то это предполагает обратную стрелу времени, для которой нужна другая Вселенная, но не эта. Говорить о ней в нашей Вселенной бессмысленно.

Что есть мгновение? Математическое мгновение – это небольшой интервал времени, в пределе равный бесконечно малой величине. Логика, по которой мы мыслим, используется нами как вневременная. Мы выстраиваем силлогизм и говорим, что из идеи А следует идея В, не предполагая временной процесс между ними. Но точно также мы говорим, что из физического события А следует физическое событие В. А это уже требует времени. Следовательно, эти события должны быть разделены временем, а значит, находиться в разных стратах факторизованного пространства M/t. (рис.2).

В традиционном определении причинного множества в М используется бинарное отношение , обладающее свойствами:

(1) транзитивности:

(2) иррефлексивности:

(3) локальности:

где «card» означает мощность множества, которая не может быть бесконечной [12,13].

Отношение причинности является временным. Отсюда автоматически следует, что причинное множество должно быть дискретным, а любая его причинная (Марковская) цепь – вполне упорядоченной и конечной, т.е. счетной, в которой, кроме того, невозможны циклы, так чтобы никакое событие не могло оказаться причиной самого себя:

(2.3)

В этом случае в световом конусе должна возникать временная петля, а это значит, что некоторые события в этой цепи обращают время вспять. В пространства M/t эти события должны оказаться в нижних стратах, т.е. в предыдущих состояниях Вселенной, но мы уже пришли к выводу, что в такой модели вообще ничего не может происходить, никакой причинности. Отсутствие временных петель является обязательным для релятивизма.

III. Исчисляемое время и континуум

Реальный континуум не дан нам в практическом опыте, но существует только как математическая абстракция (связное компактное Хаусдорфово пространство). Согласно аксиоме Дедекинда, существует взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками прямой. Действительные числа – это все целые числа вида n, рациональные (дроби целых чисел вида n/k) и иррациональные числа (бесконечные десятичные дроби как, например, числа Пифагора π или Непера е). На прямой действительные числа признаются точками, которые являются бесконечно малыми величинами – дифференциалами. В таком определении континуум невозможно рассечь на два непересекающихся подмножества, чтобы между ними ничего не осталось: сечение либо принадлежит обоим частям, либо оказывается не охвачено ни одним из них. Через определение предела задаются правила дифференцирования и интегрирования для действительных (и комплексных) функций. Но континуум С «больше» счетного множества. Кантор указал простой алгоритм, по которому все рациональные числа (включая и целые) можно пересчитать, выстроив их в бесконечную таблицу:

Рис. 5

Это позволило ему определить единую счетную мощность для всех бесконечных дискретных множеств. А затем Кантор с помощью своего диагонального метода (который Гедель использовал для своей теоремы о неполноте) показал, что континуум невозможно пересчитать. Остановимся на этом результате, поскольку структура континуума прямо связана с нашими представлениями о причинности и тем, что мы считаем мгновением (настоящим), которое в свою очередь связано со скоростью света. В самой общей форме это выглядит так. Допустим, что множество всех действительных (рациональных и иррациональных) чисел не более чем счетно. Впрочем, достаточно будет ограничиться множеством всех этих чисел на отрезке от 0 до 1 (можно показать, что достаточно даже 1/10, 1/100, 1/1000… части отрезка), так что каждое рассматриваемое нами число будет десятичной дробью вида 0,1234…890…, в которой цифры комбинируются всеми возможными способами. Если их можно упорядочить (с помощью аксиомы выбора), т.е. пересчитать, как и все рациональные числа, то это значило бы, что континуум счетен (т.е. дискретен). Но затем Кантор показал, как получить число, которого нет в этом списке. Допустим, что все действительные числа можно пересчитать. Выстроим их в столбец.

Рис. 6

Новое число составим так. Двигаясь по диагонали от числа к числу, будем вписывать в новое число 0, если видим любую другую цифру от 1 до 9, а если видим 0, то пишем 1. Полученное число будет выглядеть так же, как и все остальные, но при этом оно будет отличаться от каждого из них по крайней мере в одном знаке. А значит, такого числа не могло быть в списке изначально. Следовательно, континуум С невозможно пересчитать, приписав ему мощность . Отсюда Кантор высказал свою континуум-гипотезу (СН), которую Гильберт поставил на первое место в своих знаменитых проблемах. Ее смысл заключался в том, что между счетностью (дискретностью) и несчетностью (континуальностью) нет промежуточных мощностей, а значит, между ними невозможно установить изоморфизм, невозможно редуцировать континуум С до N.

Обратим внимание на то, что в таком понимании континуума несчетность оказывается синонимом неупорядоченности: если С невозможно упорядочить – значит, его мощность превосходит счетную. Но по сути уже пересчет рациональных чисел создает хаос: их номера в пересчете по n будут, конечно, иметь естественный порядок следования <, но сами рациональные числа окажутся в разбросе. Если при этом мы полагаем, что процесс их создания в континууме должен быть последовательным, то пересчет Кантора никуда не годится. Он лишает континуум порядка уже на уровне рациональных чисел.

Лемма 3. Несчетность = Неупорядоченность

Фактически именно это и доказал Кантор. За изначально постулированный порядок в С несет ответственность аксиома выбора (АС). Она утверждает, что в любом множестве можно выбрать любую точку, не предлагая конструктивной процедуры, кроме одной – ткнуть пальцем. И поэтому последовательным случайным перебором можно исчерпать любое множество. Искусственность этой аксиомы вызвала у многих математиков сомнения в ее правомочности, хотя законов дедукции АС не нарушает. Так или иначе, мы ведь тоже убеждены, что можем своим умом локализовать любую точку в прошлом или будущем. Что нам мешает мысленно заглянуть в Юрский период или в сингулярность Большого взрыва? Или хотя бы в завтрашний день, который мы себе уже заранее расписали по часам и даже минутам?

Лемма 3 основывается на тезисе о том, что дискретность (счетность) всегда тождественна детерминизму (порядку). Этого же требует и физический релятивизм: причинность обеспечивается конечной скоростью передачи сигнала, а реальность внутри светового конуса должна быть дискретной (квантовой). То, что ОТО требует квантованного времени, вытекает из ее внутренней противоречивости, поскольку, основываясь на континуальной геометрии, она позволяет сформулировать внутри себя некую единицу длины – гравитационный радиус для масс покоя. Поэтому естественным продолжением ОТО считается квантовая гравитация (КГ), в которой вводится Планковская длина вместе с Планковским временем (1). Это делает дискретность несомненной. При этом СТО, основываясь лишь на одной фундаментальной величине – скорости света, на первый взгляд противоречия не создает. Тем не менее мы приходим к логическому выводу, что СТО так же требует дискретной геометрии. Достаточно признать, что скорость света является отношением фундаментальных единиц пространства и времени.

Лемма 4. Дискретность = Релятивизм = Причинность

Но возможно ли, чтобы мир был квантовым, а причинность в нем нарушалась? Применительно к математическому континууму это значило бы, что он не превосходит по мощности , но в отличие от натурального ряда почему-то не может считаться строго детерминированным, являясь хаотическим или содержа в себе нечто неуловимое. Результат Кантора следует тогда толковать не количественном смысле, а в качественном. Континуум С больше множества натуральных чисел N не потому, что за бесконечностью находятся новые числа: и т.д. (как это, например, было допущено в так называемой «теории трансфинитов», играющей на актуальной и потенциальной бесконечности и порождающей череду несчетных мощностей). Мы имеем одну-единственную бесконечность. Все зависит от того, как мы не нее «смотрим». Мы видим бесконечность по-разному. Это скорее вопрос для теории сознания, чем для математики.

Его можно обосновать так. После того как Гедель показал, что СН не противоречит стандартной теории множеств (ZF или NBG плюс AC), а затем Коэн «форсировал» этот результат доказательством, что отрицание СН также не приводит к противоречию, стало ясно, что гипотеза Кантора независима от созданной им теории. В заключении своего весьма обширного труда Коэн высказался так: «Точка зрения, которая, как предчувствует автор, может в конце концов стать принятой, состоит в том, что СН является, очевидно, ложной… Мы закончим эту книгу замечанием, что проблема СН не относится к числу тех, от которых можно избавиться, исключив из рассмотрения тот тип, к которому принадлежат множества действительных чисел» [14].

Физике для удовлетворения ее собственных нужд достаточно, чтобы математический анализ работал, и он успешно это делает. Но в самой математике этот анализ, основанный на континууме действительных чисел, оказывается в подвешенном состоянии. Это не значит, что он ложен. Но это может значить, что такой анализ, «построенный на песке» по выражению Г. Вейля [15], неявно для нас самих, скрывает в себе какую-то замечательную тайну. В нашем понимании это может подразумевать только одно: СН апеллирует к таким свойствам нашего мышления, которые не отражены в теории множеств. Возможно, эта тайна откроет нам глаза на нашу реальность и нас самих в ней.

Так что есть точка – бесконечно малая величина или ничто? Если она равна нулю, т.е. ее мера Лебега равна нулю, то и континуум С, как объединение всех точек, имеет нулевую меру, т.е. он в физическом смысле сингулярен. Т.о. точка должна иметь протяженность. Но если она является очень маленьким отрезком, которыми можно замостить С, то их число должно быть счетным. Иначе говоря, континуум состоит из дифференциалов счетной бесконечности и еще чего-то между ними, что и создает непроницаемый фон: невозможно найти в С дыру, которая не была бы числом. Вообще говоря, было бы очень странно, если бы, ковыряясь в числах, мы нашли среди них сапоги, и поэтому непроницаемый однородный континуум выглядит даже очень правильно с точки зрения нашей логики, которая не терпит оксиморонов.

Действительные (и комплексные) функции положены в основу математической физики. Но когда физик дифференцирует какую-нибудь функцию f, он лишь определяет через производную как изменяется во времени эта функция, используя точно разработанный языковой аппарат, никак не предполагая при этом, что время является квантовым и дифференциал dt есть тот самый Планковский квант времени, поскольку математический анализ изначально создавался явно или по умолчанию для континуального Риманова пространства. Действительная прямая принимается в математике всюду плотной и состоящей из бесконечно малых величин, которые не равны нулю. Ведь складывать нули бесполезно. Как объединение точек несчетный континуум C можно представить счетным множеством – суммой точек конечной меры (дифференциалов), между которыми есть еще некая неопознанная величина x:

Разумно предположить, что x и есть ничто, нуль. Так что же такое нуль? Он ведь тоже экзистенциален. По крайней мере, мы успешно им пользуемся. И он не дифференциал. Континуум-гипотеза Кантора основана на несчетности континуума C, в то время как его полная упорядоченность, из которой и делается вывод о несчетности с помощью диагонального метода, есть только предположение о том, что любые два числа можно сравнить:

(3.1)

С другой стороны, факт, что C всюду плотен, может быть выражен аксиомой:

(3.2)

Она гласит, что между любыми двумя сколь угодно близки числами существует по крайней мере еще одно число. Заметим, кстати, что это условие очень похоже на аксиому отделимости (сепарабельности) в топологии, которая в формулировке Хаусдорфа требует, чтобы у любых точек a и b имелись непересекающиеся (замкнутые) окрестности в рассматриваемом пространстве:

(3.3)

Эта аксиома равносильна утверждению, что пересечение всех окрестностей точки в отделимом пространстве состоит из самой этой точки:

(3.4)

Более обще: отделимое по Хаусдорфу пространство фильтруется, и каждый фильтр в нем стягивается в одну-единственную точку. Обратим внимание на то, что понятие фильтра является обобщением таких понятий как сходимость числового ряда и предел функции, на которые опирается весь математический анализ и соответственно вся физика метрических пространств. Насколько это важно, становится ясно из следующего рассуждения.

Во-первых, отделимое пространство не является строго дизъюнктивным. Континуум С невозможно разделить на две части так, чтобы между ними ничего не было. Точка фильтрации будет точкой прикосновения обеих частей. Как было сказано выше, если С ассоциировать с прямой , то ее невозможно рассечь так, чтобы сечение принадлежало одной части и не принадлежало другой (мы отказываемся от математической хитрости, заключавшейся в том, чтобы делить множество на открытые и замкнутые части, полагая, что обе части должны быть в равных положениях). Пусть нуль есть точка фильтрации. Тогда

или (3.5)

Тут можно задаться «детским» вопросом: нуль – это положительное или отрицательное число? Очевидно, и то, и другое. Или: ни то, ни другое. Для пространства Минковского это значит, что любая точка, из которой выводятся конуса прошлого и будущего, принадлежит обоим конусам: и прошлому, и будущему. Либо не принадлежит ни одному из них. И в какое же небытие проваливается эта точка? Она есть наше настоящее. Что происходит с нашим настоящим, ведь в пространстве Минковского оно оказывается не только t-подобной, но и s-подобной точкой. Пожалуй, эту точку вполне можно назвать сингулярной.

Предположим, что a, b – это физические события во времени, а отношение является причинным, т.е. временным, так что порядок означает: событие а предшествует во времени событию b. Если время t континуально, то согласно (3.2) имеется, по крайней мере, одно неопределенное событие x (потерянное звено) между любыми событиями в причинной цепи: , потому что имеет место временная последовательность: t(a) < t(x) < t(b). Это должно происходить всегда из-за несчетности C вопреки любой причинной плотности, установленной нами для реальности.

Но это делает наше полноценное описание и понимание реальности невозможным, поскольку наше представление о причинности тех или иных событий оказывается произвольным. Мы вполне можем жить в убеждении, что мука способна мгновенно превращаться в хлеб. Нас такое субъективное описание реальности не устраивает. Вернуть себе объективность, на которую мы полагаемся как в теории, так и на практике, можно лишь одним способом: признать, что время (а вместе с ним и пространство) должно быть квантовым (дискретным), но при этом не быть для наблюдателя отделимым (сепарабельным). Феномен несчетности должен быть тогда связан именно с неотделимостью: в «реальном» континууме невозможно чисто изолировать одну точку от другой, так чтобы у них не было общих точек в окрестности.

Лемма 5. Континуальность = Дискретность + Неотделимость

Как это возможно? Для топологии эти свойства несовместимы, ибо дискретность изначально означает изолированность множества точек в пространстве, которое автоматически становится отделимым. Это вплотную подводит нас к вопросу о математической структуре времени, в котором кванты неизбежно сопряжены с неопределенностью. Предположим снова, что t(a) и t(b) составляют два разных момента временного континуума, в которых происходят эти события, и прогресс времени выражается отношением <. Тогда на стреле времени найдется бесконечное множество событий между a и b, так, что невозможно прийти пошагово из a в b. В античной философии этот феномен был известен как апории Зенона.

IV. Релятивистское время и эфир

Древнегреческий философ Зенон был родом из Элеи, и поэтому последователей его школы принято называть «элеатами» (другой Зенон родом из Кития стал основателем стоицизма). Сам Зенон был учеником Парменида, который первым в греческой философии заявил: «Бытие тождественно мышлению», т.е. выразил тот самый постулат, который нам необходим, чтобы избавить нас от событий, которые мы в принципе не способны понять. Его знаменитый современник Гераклит утверждал, что в мире нет покоя (настоящего), все находится в непрерывном изменении. Зенон, как последователь Парменида, придумал свои апории с целью показать иллюзорность мышления, которым мы ограничены. Из них следовало, что движение невозможно, все находится в покое (настоящем).

Эти апории хорошо известны. Самой популярной из них является, пожалуй, история Ахиллеса и черепахи. Эпический воин Ахиллес и символ медлительности в животном мире – черепаха стартуют в один и тот же момент времени, но при этом черепаха находится на некотором расстоянии S₁ впереди героя Илиады. За то время, пока Ахиллес преодолевает этот отрезок, черепаха тоже успевает проползти некоторый новый отрезок пути S₂. Когда Ахиллес одолеет и его, черепаха опять отползет на расстояние S₃ и т.д. Кажется, Ахиллесу никогда не догнать черепаху, поскольку это рассуждение в себе самом не предполагает принципиального конца.

Процитируем высказывания некоторых математиков об этой апории.

Г. Вейль [16]: Представим себе вычислительную машину, которая выполняла бы первую операцию за ½ минуты, вторую — за ¼ минуты, третью — за ⅛ минуты и т. д. Такая машина могла бы к концу первой минуты “пересчитать” весь натуральный ряд (написать, например, счетное число единиц). Ясно, что работа над конструкцией такой машины обречена на неудачу. Так почему же тело, вышедшее из точки А, достигает конца отрезка В, “отсчитав” бесконечное множество точек S₁, S₂...S_n ...?

Д. Гильберт и П. Бернайс [17]: Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, завершенность которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться.

Н. Бурбаки [18]: Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии. От элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокс: как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера?

Апории Зенона не являются логическими парадоксами в строгом смысле. Само слово «апория» (ἀπορία) в переводе с др. греческого означает затруднение, безвыходность. Но классический парадокс содержит в себе два взаимоисключающих высказывания. В символической логике он записывается формулой: , и читается как «А эквивалентно не-А», выражая логическую тождественность некоего утверждения и его отрицания. Апории же основываются на нашем интуитивном понимании континуальности (непрерывности) и дискретности (прерывности) и показывают, что эти понятия неразрывно связаны между собою, что, собственно, и создает апорию. В частности, они показывают, что наше восприятие времени (и пространства) содержит в себе какой-то логический изъян. Возможно, эта внутренняя противоречивость в восприятии времени, которое мы считаем и непрерывным, и дискретным, связана в нашем мышлении с доминантной асимметрией полушарий мозга, позволяющих создать двуликую нейролингвистическую реальность и соединить несоединимое, т.е. апорию следует относить к явлениям асимметрии.

У нашего разума два разных принципа обработки поступающей к нему информации. Правое полушарие склонно осуществлять одновременную обработку сложного сигнала, континуально воспринимая реальность; левое же, напротив, особенно интересуется дискретной последовательностью сигналов. В книге нейропсихолога О. Сакса «Человек, который принимал жену за шляпу» приводятся истории людей с поврежденными зрительными центрами правого полушария [19]. Зрение этих людей оставалось отчетливым, но их мозг утрачивал способность к целостному (континуальному) восприятию реальности вплоть до того, что они переставали узнавать своих близких и части собственного тела. При этом их мозг прекрасно видел дискретные детали, которые не складывались для него в единую картину.

Главной особенностью времени является то, что время все время бежит. Точнее, бежит все, что находится во времени, и даже если мы убеждены, что не двигаемся с места, мы все равно бежим в будущее. Плотность этого движения соответствует плотности континуума. Невозможно найти дыру в математическом континууме. Наше самосознание (в своей левой части) между тем воспринимает время как дискретное, деля его на фрагменты, которые в обычном восприятия образуют триаду: прошлое, настоящее, будущее. Однако все оказывается не так просто. Если уподобить физическую реальность кинофильму, то какую бы высокоскоростную камеру мы не использовали, нам, как выражался Вольтер, «не поймать природу с поличным». Любые два ближайшие кадра, каждый из которых фиксирует настоящее, не будут абсолютно одинаковыми. Это значит, что между ними происходит что-то неуловимое. В этом неуловимом между двумя настоящими и движется реальность.

Итак, время как длительность содержит в себе фикцию, которую мы называем настоящим. Древнейшая мечта «Остановись, мгновенье, ты – прекрасно!» подразумевает попытку поймать именно это настоящее и сделать его вечным. Но неуловимое настоящее никому не дается в руки. Вместе с тем вся наша жизнь состоит из череды таких «сейчас». В этом смысле мы как будто живем в вечном настоящем. Наше бытие – это непрерывная (континуальная) череда настоящих. На этом настаивал Гегель. Но попытка зафиксировать «сейчас» ставит нас в тупик: это настоящее стало уже прошлым, а мы оказались в будущем. Настоящее не может быть измерено каким-либо моментом Δt, поскольку этот момент, как справедливо замечал Августин, всегда может быть разделен на части, одна из которых будет прошлым, а другая – будущим. Мы должны признать, что настоящее как мгновение равно нулю. Только нуль невозможно поделить на части. Но тогда настоящего – нет!

Лемма 6. Настоящее = Нуль

А поскольку настоящее присутствует всюду во времени, то лемма 6 подтверждает наш вывод, что условием сингулярности (2.2) обладает любая точка пространства-времени. Эта лемма прямо связана с леммой 2 об абсолютном покое, в котором невозможно пространство. Каждый такой нуль на t есть условно «застывшая» Вселенная или s-подобная страта, изображенная листом на рис. 2. Но сумма нулей всегда есть нуль (сингулярность), в который стягивается все 4-мерное многообразие физической теории. Вселенная и настоящее несовместимы. Как же так? Ведь вся наша жизнь состоит из этих мгновений. А сумма этих мгновений равна нулю. Но наша жизнь – не нуль. В нуле ничего не происходит. Мы же совершаем за свою жизнь кучу дел. Да и Вселенная не стоит на месте. Так что же такое настоящее? Другая апория Зенона о летящей стреле гласила именно это: летящая стрела не движется там, где она есть, не движется она и там, где ее нет. Б. Рассел по этому поводу удрученно заявил: «Мы живем в неизменном мире, а стрела в каждое мгновение своего полета фактически покоится». Но если мы уже пришли к поразительному выводу о том, что настоящее есть фикция, то эта история оказывается для нас тривиальной. Поскольку мгновение равно нулю, то и скорость любого тела, будь то стрела, бегун или ракета, в этом мгновении тоже равна нулю, поскольку в нуле ничего не происходит. Математически это соответствует тому, что скорость, которая определяется отношением пространства ко времени, в этом случае имеет вид:

Но, быть может, 0/0 = 1? И тогда появляется другой нетривиальный вывод: скорость мгновенного покоя есть скорость света, константная единица. Как ни странно, но математическое отношения нуля к самому себе может быть чем угодно, а не только нулем:

(4.1)

Это выражение не приводит к абсурду: , хотя, разумеется, делает константу отношения совершенно произвольной. Эта же странность присутствует в нашем восприятии скорости света. С одной стороны, мы совершенно точно знаем, что она есть конечная величина. С другой стороны, если свет находится в абсолютном покое (вечном настоящем), то его скорость должна быть нулевой или бесконечной. Но в этом случае наши уравнения становятся бессмысленными, и мы оказываемся в мире, где ничто не движется. Очевидный вывод: скорость света – это константа нашего мира, а не света, которая в другом мире может быть какой угодно. Но мы-то движемся в своем времени и пространстве. Световая скорость c = 300 000 км/с далека от математической бесконечности, хотя, конечно, все зависит от того, чем мерить, как это стало совершенно очевидным и столь же совершенно странным в теории фракталов, где любая конечная величина может считаться бесконечной. Такой же конечно-бесконечной оказывается и скорость света. И тем не менее она имеет абсолютный статус. Ведь это – скорость мгновенного покоя, «нулевая» скорость. Скорость любого тела в мгновенном покое является световой.

Лемма 7. Скорость света = Мгновенный покой

Т.о. именно скорость света, которой в СТО приписано привилегированное положение, обладает теми свойствами отвергнутого эфира, о котором Эйнштейн позже писал: «Основным условием восприятия теории эфира в сочетании со СТО является то, что эфиру не следует приписывать состояние движения… Если говорить проще, то эфир ОТО можно получить из эфира Лоренца, релятивизуя его… Согласно ОТО, пространство немыслимо без эфира… При этом эфир нельзя рассматривать, как состоящий из прослеживаемых во временном диапазоне частей. Такими свойствами может обладать только весомая материя. Эфир должен быть недвижим» [20].

Революционная позиция Эйнштейна отличалась от классической механики Ньютона в том, что она отвергла классическую стратегию «Tempus nihil est» и остановилась полностью на «Tempus post quantum». Релятивизация эфира – это превращение его материей в динамическое пространство-время. В роли активного фактора геометризации выступает материя. Это признается как фоновая независимость ОТО. Но мы стоим на позиции «Tempus ante quantum», в которой активным является время. Недвижимый эфир – это множество световых точек вне прогресса времени. Дело не только в том, что без материи он лишается динамических свойств, но прежде всего в том, что эфир не имеет возраста, а Вселенная его имеет. Динамика пространства-времени – это эффект аккумуляции времени из эфира. В этом смысле Вселенная есть накопитель времени. Выражаясь образно, если мы скажем, что некая точка пространства-времени имеет возраст, например, в 13,7 млрд. лет, из каких бы соображений мы при этом ни исходили, приписывая этому месту возраст, то в основании этой точки находится световая точка, возраст которой всегда равен нулю.

Сказать: «Эфир не существует» - значит высказаться корректно. Он не существует во времени. Но отрицать существование чего-либо – значит уже признавать его существование в языке, в мысленной реальности. В логике отрицание существования чего-либо всегда подразумевает, что это нечто не может существовать в непротиворечивом смысле относительно какого-то набора аксиом. Так в каком смысле существует эфир? Только лишь в смысле неподвижного пространства, или прежде всего в смысле неподвижного времени? Первое лишь делает его светоносной средой электродинамики Максвелла или нулевым гравитационным полем ОТО. Второе говорит о большем, о том, что эфир есть сплошная сингулярность, охватывающая всю Вселенную и связывающая ее в одну-единственную световую точку. Говорить, что в пространстве имеется множество световых точек так же правомерно, как говорить, что среди чисел имеется множество нулей. Как различить эти нули между собой? Различия появляются в метрическом пространстве, т.е. в поле, изменяющемся во времени, где становится возможным локализовать окрестность световой точки и приписать ей координаты этого пространства и этого времени. Но вне времени и пространства уместно говорить лишь о единственной световой точке – о сингулярности, которая для всех одинакова.

Оговорка Эйнштейна, которому эфир показался излишней гипотезой, подразумевает первое и буквально означает, что пространство-время возникает как релятивизованный эфир. Но что это значит? Релятивизованный – значит дискретный согласно лемме 4. Если теперь ассоциировать стрелу времени с числовой прямой, то мгновенный покой (световая точка) на ней есть величина иррациональная. Бесконечность, которую может обозреть наблюдатель (мозг), всегда счета и состоит из рациональных чисел. Поэтому ее всегда можно задать конструктивно как натуральный ряд.

Континуум в математике не имеет конструктивного определения и понимается интуитивно через косвенные определения, примерно точно так же как «бог» в теологии. Иррациональное число более конструктивно и математически представляется через бесконечный ряд рациональных чисел, т.е. само по себе оно уже есть бесконечность. Актуализация его как числа есть актуализация бесконечности как таковой. Из нее Кантор и вывел несчетность континуума через противоречие. Это – круг в доказательстве, заметить который мешает только априорная убежденность, что континуум уже существует и он непротиворечив. Именно такова была критиков «интуиционистов» вроде Брауэра, считавших актуализацию бесконечности недопустимой.

Запрет этот бессмыслен, поскольку все, что может мыслиться мозгом, уже актуализировано этим мозгом, в том числе и на нейрофизиологическом уровне. Истории с поражением зрительных центров правого полушария мозга лучше всего об этом свидетельствуют. Такой мозг действительно становится зрительным интуиционистом, не способным к актуализации образа и пытающимся угадать его в частных признаках. Но при этом шляпа может оказаться похожей на жену. В действительности, Кантор доказал противоречивость иррационального числа, которое невозможно выразить законченной последовательностью знаков. Оно не принадлежит потенциальной бесконечности, которая всегда счетна, т.е. дискретна. Именно актуализация бесконечности приводит к парадоксу Рассела в теории множеств. Это значит, что континуум возникает при актуализации счетной бесконечности: как дискретное множество, которое оказывается не сепарабельным. Только поэтому оно становится несчетным (не причинным).

Нужно признать, что истинный континуум (эфир) вообще не является математической структурой в том смысле, что любая метрика на нем равна нулю и никакая координатная система отсчета невозможна со всеми мерами наблюдателей. Он находится ниже границы дифференцирования. Пространство-время накладывается на него как топология и геометрия, в которых становятся возможным условно локализовать точку континуума, приписав ей пространственно-временные координаты и меру, отличную от нуля. Строго говоря, это – не объективная истина, а субъективная, та истина, которая наблюдателю (мозгу) жизненно необходима. Мы вправе локализовать для себя любое настоящее в прошлом или будущем как момент времени, но в действительности никакого локального настоящего нет, а вместе с ним нет ни прошлого, ни будущего. Истинное настоящее – континуально, т.е. его нет. Истинный континуум недоступен самосознанию.

Признание эфира требует пересмотра традиционных представлений в математике. Позже мы вернемся к этому в «теории фильтров». А пока скажем, что тот континуум, с котором имеет дело математика, а вместе с ней и физика, есть самообман наблюдателя. Такой континуум в действительности есть лишь дискретное неотделимое множество, как это выражено нами в «странной» лемме 5, математическим следствием которой оказывается то, что полный порядок приводит к противоречию, а физически это выражается в нарушении причинности и появление нелокальных связей. Если бы в математике не сложилась иллюзия, что она имеет дело с континуумом и что ее анализ описывает истинную непрерывность (которая всегда должна быть равна нулю), то в физике никогда бы не было сомнений в том, что физический мир квантовый, но при этом в нем есть нечто, что в принципе неуловимо.

Из этого автоматически следует, что СТО и ОТО являются неполными теориями, а релятивизм не может дать адекватную модель Вселенной. Есть нечто, что изначально не входит в их уравнения, а точнее – входит неосознанно. Этим объясняются некоторые странности в устройстве двух световых конусов прошлого и будущего, образованных всеми мировыми линиями света, испущенными из одной точки пространства Минковского. Эта точка математически является вершиной конусов и естественным образом принадлежит им обоим. Любое массивное тело (кроме фотона), связанное с этим событием, имеет в этой точке собственную скорость, которая строго не может быть световой, но тем не менее точка представлена как световая. И по-другому она представлена быть не может, ибо находится в мгновенном покое. Но мы все еще думаем, что мгновение – это очень маленький кусочек времени, привнося эту невнятность и в математику, где с одной стороны точка признается бесконечно малой величиной, неотличимой от нуля, а с другой описывается дифференциалом, имеющим конечную меру. Чем точка отличается от кванта? Только тем, что она есть нуль, а квант есть дифференциал.

Мгновенный покой любого тела не может быть выражен неким действительным числом на прямой как координата отсчета, к которой мы всегда апеллирует, когда говорим, что тело находится там-то. Он – отсутствие координаты. В мгновенном покое тело находится нигде! Оно оказывается вне времени и пространства, т.е. в эфире. При этом его мировая линия, если она континуальна, должна вся состоять из световых точек (мгновенных покоев) и пролегать всегда по границе световых конусов. В континуальном мире все должно двигаться со скоростью света, т.е. покоиться. Для нас эта скорость света конечна, но для самого света скорость покоя в остановленном времени бесконечна. Движение невозможно, как настаивает Зенон, а пространство Минковского состоит полностью из световых точек. Оно и олицетворяет континуальный эфир. Поэтому с точки зрения релятивизма за пределами светового конуса находится очень удаленное пространство, с которым у внутренности конуса не может быть причинных связей. Но с точки зрения эфира (если у него может быть точка зрения) абсолютно все точки в пространстве Минковского имеют мгновенную связь друг с другом. По сути, это – одна-единственная точка. Нуль, который присутствует повсюду как фон. Этим объясняется ЭПР-парадокс.

В точке пересечения световых конусов заключена та парадоксальность, которой требует лемма 5 от времени: быть дискретным и при этом неотделимым. В понимании времени мы пользуемся уже готовой в нашем уме моделью математического континуума, в котором можно локализовать любую точку согласно АС, и назвать число, исполняющее согласно аксиоме Дедекинда роль имени этой точки. Но можно ли считать полноценным имя, которое записывается бесконечной дробью, т.е. число, в котором фигурирует бесконечность? Если письмо с таким адресом отправить по почте, оно точно никуда не дойдет. Разве само это число уже не содержит в себе некую физическую неопределенность и некую принципиальную неотделимость от континуума? Континуум выглядит эластичным не только в том смысле, что его нельзя проткнуть самым тонким инструментом, но и в том, что из него невозможно вырвать отдельную точку. Еще более очевидным это выглядит на стреле времени. Существование настоящего кажется нам несомненным, мысленно его всегда можно локализовать как точку отсчета (которая для удобства считается целочисленной), на которую мы естественным образом ссылаемся, начиная свои физические рассуждения: «пусть в момент времени t…» и т.д. В этом – дискретность времени. Но эту точку невозможно изолировать от прошлого и будущего. Это – неотделимость.

Т.о. пространство Минковского должно быть именно таким - дискретным и неотделимым, представляя собою ничто иное как совокупность всех точек мгновенного покоя в физическом пространстве. Но эти точки являются фиктивными для физического пространства. Они не принадлежат динамической Вселенной, как на этом настаивал Эйнштейн. Пространство Минковского можно было бы назвать иллюзией, но оно и есть эфир, на котором формируется геометрия СТО и ОТО. Для ума, способного взглянуть на мир с точки зрения эфира, иллюзией является как раз Вселенная. В этом смысле ОТО не обладает фоновой независимостью. Да, эфир не имеет физического смысла. Ничто и есть ничто. Но без этого ничто невозможно все остальное. Все покоится на нем. Эфир – это несущественный фон, но этот фон неустраним из физического мира. Добавление в рис. 4 суперконуса Большого взрыва подразумевает, что сингулярность – это не начало времени, а отсутствие времени. Если сингулярность принимать за точку отсчета, то она находится везде, в любой световой точке, в любом мгновенном покое. Достаточно ткнуть пальцем куда угодно, чтобы попасть в сингулярность.

Лемма 5 объясняет и то, почему никакая ИСО не может повлиять на скорость света: ни уменьшить ее, ни увеличить. Ведь странность c(t) заключается в том, что она не складывается с другими скоростями:

(4.2)

Очевидно, если две физические величины не складываются, то они имеют разную природу. Приведенное уравнение есть оксиморон. Этому можно найти лишь одно объяснение. Мы неправильно интерпретируем константу с. Это вовсе не скорость, а точка покоя. Невозможно деформировать ничто. Невозможно изменить мгновенный покой. Он либо есть, либо его нет. Стандартное для релятивистской физики утверждение: «Невозможно разогнать тело до световой скорости, потому что его кинетическая энергия должна возрасти до бесконечности», - следует понимать с точностью до наоборот: невозможно абсолютно остановить тело, потому что его масса покоя должна аннигилировать.

Именно с этой скоростью мы проносимся над бездной небытия, которая поджидает нас в каждом прекрасном мгновении. Эфир мелькает перед нами в каждом настоящем. Каким-то чудесным образом мы всю жизнь без усилий скользим над этой бездной. Именно к этому неподвижному как вечное настоящее эфиру приближаются Ахиллес и черепаха. Фактически рассуждение Зенона выстраивается на искусственном замедлении времени, так что можно провести аналогию с метрикой Лоренца. При каждом шаге наших рассуждений об Ахиллесе и черепахе мы делаем короче фрагмент физического времени Δt, хотя при этом тратим на него одно и то же психологическое время (так можно размышлять целый день о секундном движении стрелки на часах, но часы от этого не остановятся). Т.о. время как бы «замедляется», а пространство, которого также становится все меньше, как бы «сжимается».

Можно сказать иначе. Пусть координатная ось пути S является твердым стержнем Тогда по мере нашего мысленного продвижения по ней эта ось сжимается, как это должно происходить с действительным стержнем в СТО согласно преобразованиям Лоренца, которые описывают отношение двух мер к одной величине, но не отношение двух величин, и поэтому замедление времени есть фактически результат измерения одного и того же эталона двумя мерами.

(4.3)

Эти преобразования для двух ИСО, в одной из которых находится наблюдатель, а в другой – объект, легко вернуть к каноническому виду теоремы Пифагоры, если принять:

c = v₀, ,

Здесь скорость света принимается за нулевую как эталон, который выражается отношением двух других эталонов – длины Δs₀ и времени Δt₀. Искажение становится наглядным в виде дополнительного члена для наблюдателя, состоящего из эталона времени и пространственного коэффициента σ, «растягивающих» интервал объекта в ИСО наблюдателя, где , и - мера наблюдателя, объекта и эталона соответственно:

(4.4)

Заметим, что эта формулировка математически корректна, но при этом использует вместо скорости света эталон, который отвергнут в СТО. В ОТО он подразумевается как Планковские интервал и длина из (1), а для квантовой гравитации эталон – это в общем и целом начальные кванты времени dt и пространства ds, которые не следует путать с дифференциалами. Конечно, если речь идет о Планковских единицах, которые сами определены через скорость света, то такая подмена есть тавтология. Было бы желательным определять эти константы не по измеренной скорости света, но от какой-то более фундаментальной величины. Например, через трансцендентальное число π. Почему оно имеет такое значение в нашем мире? Если оно лежит в основании нашего пространства, то можно было бы предположить, что физическое (3+ t)-мерное пространство-время есть в каком-то смысле π-мерное, т.е. фрактальное.

Назовем уравнение (4.4) рекурсивным преобразованием, имея в виду, что входящие в него переменные могут быть выражены рекурсивно из начальных единиц. Его можно интерпретировать как процесс геометрического стягивания треугольника в одну из его вершин путем очень большого, но все же конечного числа сечений. Практической ценности это уравнение не имеет, но крайне важной оказывается его структура. Она подразумевает, что релятивизм должен по-квантово разворачиваться из сингулярности, а не появляться вдруг в уже готовом пространстве-времени, как это собственно и постулируется в СТО. Т.о. уравнение (4.4) возвращает релятивистским эффектам дискретность, а значит и причинность.

Время наблюдателя не меняется, но его мера стремится к бесконечности по степени приближения скорости объекта к световой точке покоя. Понятно, что, прикладывая свою увеличивающуюся меру к интервалу объекта, он будет получать все меньшее количество единиц, поскольку здесь дискретный релятивистский мир встречается с континуальным эфиром. Выражаясь более точно, скорость света есть предел всех скоростей (фильтр Коши), но эта граница не принадлежит им. Соответственно, квант времени dt есть точка континуума, к которому сходятся все дискретные интервалы Δt_n, образующие математический фильтр релятивистского времени, локализованного внутри светового конуса. Дальше только сама световая точка, т.е. нуль, который становится фигуральной, а не математической величиной.

Именно так, в виде эффекта «высоко-мерного» наблюдателя понимали релятивизм Лоренц и Пуанкаре, считая его фиктивным и не имеющим физического смысла (позже они признали интерпретацию Эйнштейна). В нашем рассмотрении апории Зенона этот эффект оказывается равносильным тому, что Ахиллес и черепаха приближаются к абсолютному покою, который находится на финише их забега. Подробное математическое описание такой истории можно дать в координатах Риндлера, составленных для равномерно ускоренного наблюдателя. Более простое описание дается независящей от времени метрикой Ферма по «чистым» пространствам, представленным стратами в факторизованном пространстве Минковского M/t. при расслоении Вселенной, которые можно уподобить полям Киллинга:

(4.5)

В данном очень узком случае эта метрика сводится к зависимости траектории от одной координаты и лишается квадратичной формы:

Следовательно:

. (4.6)

Что же должно случиться с Ахиллесом и черепахой на финише? В действительности с ними там ничего не происходит. Они замедляются лишь во времени зеноновского наблюдателя, как если бы этот наблюдатель пролетал мимо Ахиллеса и черепахи с ускорением, которое его самого приближает к скорости света, и фотографировал их, будто кинозвезд, которым нет до него дела. Значит ли это, что в состоянии абсолютного покоя должен оказаться сам этот (риндлеровский) наблюдатель? И как это должно отразиться на нем? Так, например, эффект Унру, связанный с координатами Риндлера, говорит, что этот наблюдатель узрит излучение нагревающегося вакуума. И тогда на финише этой истории он попадет в кипящее море Дирака где, пожалуй, рискует свариться заживо. В любом случае, кому бы мы ни приписывали происходящие эффекты согласно принципу относительности, термодинамика (ТД) разрушает этот принцип, по крайней мере, в их применении к живым системам. Время – абсолютная величина. И термодинамический нуль есть безусловный холод.

В конце концов, принцип относительности можно свести к такому геометрическому утверждению: любая кривая в прямых координатах является прямой в кривых координатах. Все зависит от наблюдателя (метрики). Применительно к ТД это значит, что температура ( и энтропия) – величина условная. Так и есть. Энтропия определяется локально, только в сравнение с другим состоянием. Но об этом говорили еще античные софисты: по уговору - холодное, по уговору – теплое, а в действительности – никакое. Релятивизм можно считать новейшим словом в софистике. Это не значит, что он ложен. Элеаты, последователи Парменида, и стоики, последователи Гераклита, и были софистами, пока их науку рассуждать не превратили в шарлатанское искусство на забаву публике.

Рис.7

В декартовых координатах на первой диаграмме траектории Ахиллеса (красная) и черепахи (зеленая) пересекаются на финише и далее расходятся. Именно так все и должно происходить в действительности, когда герой Илиады легко догонит и обгонит ползающую рептилию. Но в рассуждении Зенона речь фактически идет не о об однородном классическом времени t, но о нисходящей последовательности моментов времени Δt, будто это происходит в релятивистском пространстве-времени. Именно поэтому прямые Ахиллеса и черепахи на второй диаграмме, где вместо времени мы откладываем его уменьшающиеся интервалы, искривляются, хотя их скорости остаются линейными. По сути, искривиться должна сама координатная ось пространства, став логарифмической кривой. А это и ведет нас к псевдоевклидовой геометрии в ОТО.

В такой интерпретации искривленные линии Ахиллеса и черепахи на второй диаграмме можно считать траекториями их свободного (ускоренного) падения в черную дыру, где время подвергается гравитационному замедлению до бесконечности, т.е. останавливается, а пространство пропорционально сжимается до нуля. Эти персонажи, как в замедляющейся прокрутке кинокадров, движутся все медленнее и медленнее и, в конце концов, застывают на горизонте событий черной дыры будто вечные памятники самим себе на последнем кадре. Это – тот самый фотофиниш, на котором Ахиллес и черепаха одновременно рвут грудью ленточку. Ведь на фотографии, фиксирующей мгновенный покой и наше смертельное настоящее, ничего не происходит.

Гравитационное замедление можно сравнить с эффектом Доплера. Только речь в нем идет не о единицах времени и пространства, а о частоте и длине волн. Если к нам приближается мотоцикл, то рев его двигателя не только усиливается, но и повышается, а по мере его удаления от нас этот звук обратно затихает и понижается. Вся эта октава из меняющихся частот и длин звуковой волны играется на арфе Доплера. Именно этот эффект, выраженный красным смещением (понижением частоты и увеличением длины волн) в спектре звезд позволил Хабблу утверждать, что Вселенная расширяется. А если Вселенная со временем расширяется (под воздействием темной энергии), то в обратной прокрутке она должна сжиматься. Этот факт послужил эмпирическим аргументом в пользу Большого взрыва.

К апории Зенона эффект Доплера применим в том смысле, что в этом рассмотрении мы сокращаем промежуток времени (увеличиваем частоту наших рассмотрений на одну и ту же единицу времени) и соответственно сокращаем отрезки пути (уменьшаем длину шага Ахиллеса и черепахи на одном и том же отрезке пространства), замедляя движение тел.. Кажется, что со временем Ахиллеса и черепахи на финише должно произойти то же самое: их души замерли в мгновенном покое, в нуле вечного настоящего, в нирване. Иначе говоря, на границе горизонта событий черной дыры Ахиллес и черепаха должны умереть, - и не потому, что их разорвет гравитация, а именно потому, что остановится время – как физическое, так и психологическое.

Надо сказать, что физика этого не подтверждает. Хотя в ней никогда прямо не рассматривалось психологическое время и его связь с физическим временем, молчаливо всегда подразумевается, что они разные как время объекта и время наблюдателя. Так, принцип относительности Галилея, положенный в основу СТО (вместе с абсолютным статусом скорости света, которая, кажется, требует для себя исключения из этого принципа) гласит, что с наблюдателем ничего не происходит при переходе из одной ИСО к другой ИСО. Покоимся мы или движемся, наше психологическое время как будто остается неизменным. Мы не становимся заторможенными оттого, что летим в самолете. Хотя тут можно сказать, что на орбитальной скорости Земли, в которой мы все движемся с рождения, скорость самолета сказывается незначительно, и никто ведь, кажется, не проводил специальные психо-тесты в самолетах.

Вопрос о том, что происходит с психологической стрелой времени в релятивистской Вселенной, остается открытым. Собственно, то возмущение, которое вызвала и вызывает до сих пор у широкой публики теория относительности, связано именно с этой двусмысленностью, возникающей между физическим и психологическим временем. Только поэтому в «парадоксе близнецов», где каждый брат считает свое психологическое время абсолютным, он с удивлением обнаруживает своего брата постаревшим. И при этом ни одному из них нельзя отдать приоритет, поскольку привилегированные ИСО отвергнуты в СТО. Конечно, теория, которая дает такой ответ, крайне неудовлетворительна. Ведь близнец-путешественник, чтобы достичь своей полетной скорости, т.е. той самой ИСО, к которой применимы преобразования Лоренца, должен пройти через ускорение и при этом, возможно, погибнуть от перегрузок. Тогда в свидетельстве о смерти будет фигурировать ускорение, которое стало причиной не только его инфаркта или инсульта, но и той скорости, с которой связан эффект замедления времени. Но чья это скорость? Мертвым можно считать любого из близнецов.

В ОТО этот абсурд не возникает. Тонкость в том, что СТО основывается на концепции скорости, а ОТО – на концепции ее производной, т.е. ускорении. Казалось бы, это не может иметь принципиального значения, ведь речь идет об одной и той же сущности. Тем не менее, теория показывает, насколько неоднозначна природа ускорения. Как уже было сказано, пространство для скоростей, из которых выводятся групповые преобразования, принимается аксиоматически изотропным, но пространство-время ускорения уже не изотропно. В ОТО именно ускорение связывает инерцию с гравитацией. А гравитация определяется однозначно: Земля вращается вокруг Солнца, но не наоборот. Погибает упавший в черную дыру, а не тот, кто смотрел на это падение со стороны.

Вообще говоря, этот парадокс не корректен для СТО в ее собственных рамках. Наблюдатель в СТО – это вовсе не живой человек, а некий прибор-регистратор. Время в СТО задано так, что для него не имеет силы философский закон о переходе количества в качество, который всегда справедлив для живых систем – как в биологическом, так и психологическом смыслах. Организм со временем стареет, а мозг накапливает память и меняется. Этот же закон имеет место и в ТД: энтропия системы со временем меняется. Именно введение энтропии в физику сделало ее время качественно неоднородным. Пожалуй, это странно. Логически 1 начало ТД (сохранение энергии) согласно теореме Нетер следует из симметрии динамики во времени. При этом 2 начало (энтропия) выводится из нарушения симметрии (переходе количества в качество).

Каким образом сама ТД оказывается внутренне непротиворечивой с точки зрения логики времени? Речь здесь идет по сути об отождествлении температурной и временной (по плотности времени) шкал. Такое отождествление подразумевается в проблеме энтропии черных дыр, где ТД сходится с ОТО в виде параллели между температурой и гравитацией. Противоречивость термодинамики означала бы, что в рамках некой «хронодинамики» - динамики времени (которую и подразумевают СТО и ОТО) закон сохранения энергии имеет исключения. Он имеет такое исключение несомненно для эфира, в каждой точке (сингулярности) которого все физические величины становятся бесконечно большими или маленькими, как, например, гравитация и температура в черных дырах. Для Вселенной как замкнутой системы нарушение закона сохранения энергии может пониматься в виде той самой темной энергии, возникающей из ниоткуда (эфира).

В рамках такой хронодинамики релятивистский постулат СТО согласуется с 1 началом ТД, но не согласуется с ее 2 началом, точнее не имеет эквивалентного ему постулата. При этом 3 начало ТД, говорящее о недостижимости абсолютного нуля, равносильно недостижимости скорости света в ней, выраженной вторым и последним постулатом СТО. Уже очевидно, что термодинамическое время ближе к биологическому, чем релятивистское. Тот факт, что в СТО возникает проблема с трактовкой живых систем, означает, что время в этой теории не адекватно природе. В ней чего-то не хватает.

Знаменательно то, что этого парадокса нет в ОТО. Значит ли это, что ОТО адекватна ТД и биологии? Вероятно. Но ведь ОТО является логическим продолжением СТО и должна наследовать ее нечувствительность к живым системам. В чем сокрыта особенность ОТО, делающая ее более адекватной теорией? Только ускорение, связывающее две формы массы. Но что общего у гравитации с термодинамикой?

Ускорение по физическому смыслу есть мера изменения скорости во времени. И эта мера абсолютна! Его абсолютность выражается в том, что ускорение ведет скорость по направлению к эфиру. Скорость Ахиллеса и черепахи на первой диаграмме рис.7 выражена прямыми, которые могут двигаться в бесконечность, не создавая сингулярность (хотя, как мы теперь знаем, отсчет их движения начался с мгновенного покоя в световой точке). Но в зеноновском замедлении их движение становится равноценным ускоренному (риндлеровскому). Прямые искривляются и катастрофически падают в черную дыру абсолютного покоя (в световую точку). История двух живых систем закончилась. Количество перешло в качество, с которым мы все знакомы и о котором так скорбел царь Соломон. Т.о. неадекватность СТО заключается в том, что она игнорирует закон перехода количества к качество, присущий термодинамическим системам.

СТО

ОТО

ТД

Постулат

относительности

Закон сохранения

энергии

?

Постулат

равенства масс

Рост

энтропии

Постулат скорости

света (покоя)

Недостижимость

абсолютного нуля

Таб.1

Логически парадокс в СТО разрешим только одним способом, упомянутым ранее: упорядочить все ИСО в сторону эфира, разбив их на классы эквивалентности ИСО/~, так чтобы для любых двух из них можно было бы установить приоритет. Это не отменяло бы релятивистские эффекты с близнецами, но при этом не возникал бы парадокс, поскольку теоретически умереть мог бы только один из них, – тот, кто прошел через ускорение. Постулаты СТО, как уже было сказано, можно сопоставить 1 и 3 началам ТД. Но в ней отсутствует постулат, аналогичный 2 началу (энтропии). Именно о таком «постулате порядка», выражающем переход количества в качество, может идти речь. По смыслу он долен связать относительность всех ИСО с абсолютностью той ИСО, которую можно назвать световой или эфирной.

Проблемой оказывается установить этот порядок. Все ИСО находятся в условном покое, и все известные нам скорости определяются лишь в отношении их друг к другу. Сами по себе они лишаются смысла. Есть лишь одна абсолютная скорость – скорость света. Но как вычислить скорость ИСО по отношению к ней, если эфир все ИСО игнорирует и не складывается с их скоростями? Эта же проблема, кстати сказать, существует и в ТД, поскольку энтропия – тоже величина условная, имеющая отдаленный ориентир в виде абсолютного температурного нуля. Можно вычислить орбитальную скорость Земли относительно Солнца, но как вычислить ее скорость относительно эфира? Собственно говоря, скорость света и есть скорость Земли относительно эфира. Но таковой она оказывается вообще для всех.

Тем не менее релятивистское замедление времени – это физический факт, который учитывается в спутниковой навигации однозначно. Объяснение этого эффекта заключено именно в том порядке, о котором мы говорили. Хотя его невозможно установить для скоростей в общем смысле, он может быть определен локально. С какой бы скоростью ни двигалась Земля относительно любой удаленной точки, например, Солнца, скорость спутника на ее орбите относительно этой точки будет больше, как это следует из простого сложения скоростей. Наконец, гравитационное замедление всегда определяется однозначно.

Ранее на рисунке 6 во второй диаграмме мы условно заменили в декартовых координатах время на зеноновские интервалы времени Δt и получили траекторию Ахиллеса как ускоренное падении в черную дыру. Попробуем сделать это в пространстве Минковского. Такая диаграмма не может быть корректной, ибо эфир с релятивизмом несовместим, и он попросту разрушает структуру пространства Минковского. Поскольку световой конус олицетворяет совокупность световых точек, пребывающих в мгновенном покое, то весь он есть сплошная сингулярность. Формально это возвращает нас к модели абсолютного времени, как на рисунке 2, поскольку именно эфир и есть это вечное настоящее. Это значит, что световой конус должен развернуться до полуплоскости, совпав с физическим пространством (листом), т.е. с s-подобной стратой W в факторизованном пространстве M/t.

Однако теперь мы понимаем, что физическое пространство-время СТО и ОТО возникает над этим абсолютным покоем как релятивизованный эфир. Хотя Эйнштейн постулировал в СТО скорость света как абсолютную без объяснения, но его космологическая константа «лямбда» Λ в ОТО косвенно предполагала неподвижный вакуум как статическое пустое пространство, т.е. именно этот эфир, о котором Эйнштейн писал: «Отрицать эфир — это значит, в конечном счете, признать, что пустое пространство не обладает физическими свойствами. С таким воззрением не согласуются основные факты механики. Принято считать, что эфир является специфической средой, которая лишена всех механических и кинетических свойств, но одновременно определяющая механические и электромагнитные процессы» [20].

Квантовый дуализм был столько раз экспериментально проверен и так успешно применяется в физике, что сомневаться в нем не приходится. Он наглядно проявляется в интерференции световых волн, т.е. фотонов. Но нас в данном случае интересуют не кванты вещества, а кванты времени. Возьмем произвольный отрезок времени Δt и начнем его делить на части по типу множества Кантора или кривой Коха. Известно, что такое множество U, построенное на бесконечном дроблении интервалов, континуально, но при этом вроде бы как пустое, (имеет нулевую меру Лебега), а кривая Коха, построенная на том же бесконечном дроблении прямой, нигде не дифференцируема и уже не линейна (имеет фрактальную размерность 1,26).

Допустим, что мера множества Кантора равна нулю, т.е. нормирована: . Процесс деления его на части будем называть рангами. Тогда каждый ранг n дает собственную меру :

Понятно, что множество имеет мощность , так что общая единичная мера сохраняется. Тогда:

В таком разложении имеет мощность континуума , но при этом его мера в каждой точке равна нулю при том, что общая мера должна сохраниться. Это множество сингулярно. Именно таким в нашем преставлении является эфир, состоящий из световых точек, образующих идеальное пространство Минковского. Обобщенная -функция Дирака, сформулированная для точечных масс и зарядов, в каждой световой расходится, т.е. имеет в значении бесконечность, но при локализации ее в любой окрестности координат дает единичный интеграл. В нашем понимании такая локализация вещественной окрестности возможна лишь на вышестоящем ранге, т.е. на некотором покрытии эфира мерой такой, что .

Если делить интервал времени до бесконечности, придав этой процедуре вид эффекта Доплера, то в пределе мы должны получить квант времени, равный нулю. Это и есть то настоящее, в котором Ахиллес догоняет черепаху. Если вернуться к аналогии с песочными часами, то наша цель измельчить песчинку до такого состояния, чтобы ее присутствие ничем не отличалось бы от ее отсутствия. Но сумма нулей, как уже говорилось, всегда равна нулю. А это и есть то, что Гегель определял как вечное настоящее. В физике это вечное настоящее, в котором нет времени и поэтому корреляции между двумя частицами происходят мгновенно, оказывается нелокальным миром, предсказанным ЭПР. Но наше самосознание и тождественный ему мир не могут существовать в таком состоянии. Мы живем в локальном релятивистском мире, где время движется, «набухает» по выражению Бергсона. А вместе с ним набухает, т.е. расширяется и наша Вселенная. И это пространственное расширение подобно обратному процессу деления временного интервала.

Это значит, что континуальный эфир лежит ниже границы математического анализа, на которой производится дифференцирование. В физическом смысле появление бесконечно малой величины равноценно появлению дискретного метрического пространства-времени. КМ говорит нам, что нижней границей этого пространства-времени является физический вакуум. Именно принцип неопределенности позволяет перейти от абсолютного покоя к движению, от нелокального мира к локальному. Благодаря этому принципу световая точка эфира становится точкой пространства-времени. В противном случае, как мы уже говорили, все в мире должно двигаться со скоростью света. Такая Вселенная не может существовать. Вакуум можно назвать буфером, который отделяет бытие от небытия.

Совершенно условно (а по-другому это, пожалуй, сделать нельзя) мы попробуем проиллюстрировать траекторию Ахиллеса в искаженном пространстве Минковского. Эта история становится историей другого мифического персонажа – Орфея, спускающегося в ад. В таком сюрреалистическом пространстве световой конус представлен сильно развернутым, чтобы как-то отделить его от физического пространства, хотя по сути они сливаются, делая подобными «застывшую» в мгновенном покое 3-мерную Вселенную и эфир, который мы представляем гиперплоскостью нулевой толщины. Ньютоновская модель была, можно сказать, инфантильной моделью эфира, в котором Вселенная логически невозможна. Она выстраивается над ним как класс страт M/t.

Рис.8

Также условно мы вынуждены выразить класс эквивалентностей ИСО/~, каждая из которых имеет собственную плотность времени с точностью до кванта времени и соответственно определенную энергию гравитационного поля, в котором метрический тензор не зависит от времени, образуя t-подобное поле Киллинга. Конечная подалгебра Ли этих полей должна распространяться и на плотности времени. Иначе говоря, класс ИСО/~ есть циклическая (коммутативная) группа плотностей, разложенных по степеням кванта времени с алгебраическим сложением по скоростям (ИСО) и групповым умножением по дифференциалам (плотности времени).

Геометрически этот класс составляет некий «бутон конусов» , каждый из которых состоит из мировых линий с квантовыми инерциальными метриками Бутон должен обладать странным свойством: , отражающим тот факт, что абсолютный покой в пространстве эквивалентен абсолютному покою во времени, поскольку в обоих случаях необходима скорость света, как это и подразумевается в преобразованиях Лоренца. Ахиллес, т.е. Орфей, в свободном падении при равномерном ускорении a = const приближаясь к границе конуса, приближается к нелокальному миру вечного настоящего. Сингулярность, в которую он попадает, ничем не отличается от сингулярности, лежащий в основании Вселенной.

Рекурсивная форма преобразований Лоренца, представленная выше формулой (4.4), подразумевает, что имеется восходящая через упорядоченное множество (квантовых) ИСО череда интервалов, которая начинается в эфире, релятивизуя его, по выражению Эйнштейна, в пространство-время. Математически инерциальные квантовые метрики соответствуют циклической группе дифференциалов , образующих класс канонических накрытий (покрытий) континуума , который сам является сингулярностью (эфиром):

В отличие от классического определения покрытия как объединения семейства множеств, включающего в себя данное множество, принятое здесь словоупотребление имеет иной смысл. В классе канонических покрытий, каждое из которых полностью покрывает континуум , данное множество является нижней границей:

Было бы желательным определить «точки» (дифференциалы ) так, чтобы имело место , когда каждая восходящая точка является «оболочкой» (замыканием) предыдущей, так что . Топология такого класса пространств определялась бы открытыми шарами с радиусом . Положим, что каждому покрытию и метрике в нем топологически соответствует своя дифференциальная мера , такая что есть классическая мера Лебега для дифференциала и , :

(4.7)

Если нормировать шар как единичную сферу, то можно говорить о касательных пространствах покрытия в точках с линейным элементом , в котором интерпретируется как элемент длины (вектор смещения) . Далее для кривой от параметра t задается функция , по которой определяется метрика [21]. В этом случае мера определяет «соприкасающуюся индикатрису», а условие (2.2) требует, чтобы сама точка была световой и наследственно сингулярной, поскольку для нелокального эфира мера любого интервала равна нулю, что соответствует мгновенным квантовым корреляциям в нем:

Поскольку ускоренное движение в пространстве-времени по его физическому смыслу есть прохождение тела через множество ИСО, то его геодезическая S в «бутоне» должна быть лестницей, т.е. степенным рядом Тейлора и складываться из суммы N таких инерциальных метрик:

(4.8)

Переход от одной инерциальной метрики к другой происходит за счет квантового «приращения ускорения», которое, как это следует из его геометрического смысла, является s-подобным, т.е. световым. Из Лагранжевой механики нам известно, что ускорение не имеет производной. Экстремальный вариационный принцип Гамильтона требует, чтобы действие всегда происходило выше сингулярной мера континуума, т.е. геодезическая S должна скользить по покрытию эфира с классической мерой , никогда не падая в него. Падение в приводит к нелокальности. Здесь можно вспомнить теорему о разложении меры , которая гласит, что любую меру Лебега – Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярной. Для лагранжиана, являющегося в общем случае разностью кинетической и потенциальной энергии , вытекает из экстремального принципа в уравнении Эйлера-Лагранжа требование сохраняться во времени: