Галилей. Научный метод

ГЛАВА 3 Рождение новой физики

Галилей смог обобщить все приобретенные им знания о равномерном и ускоренном движении тел и о траекториях снарядов в одной из своих книг, имевшей огромное значение для его потомков — «Беседах и математических доказательствах...».

Сегодня знакомство с его теориями обязательно при введении в физику.

Галилей очень рано начал интересоваться механикой и сохранил этот интерес на протяжении всей жизни. В результате опытов ему приходилось менять гипотезы, постоянно пробовать и ошибаться, но сделанные ученым открытия остаются верными по сей день. Изучение движения послужило также опорой в борьбе против геоцентризма: для обоснования гелиоцентризма нужна была новая физика, и Галилей заложил ее фундамент.

Как и в случае с другими исследованиями ученого, для того чтобы появились новые идеи, надо было прополоть почву, на которой процветали аристотелевские представления о движении. Именно Аристотель был тем мыслителем, с которым Галилею пришлось спорить и вести диалог. Скорее всего, в самом начале работы на Галилея, стремившегося исправить ошибки, вытекающие из аристотелевских теорий, оказал большое влияние подход Архимеда.

Аристотель различал два состояния: движение и покой. Они были абсолютно разными по своей природе. Также он различал два типа движения: естественное и насильственное. Как мы уже объясняли, естественное движение проявляется в пяти элементах: воздухе, воде, земле, огне и эфире. Движение эфира, субстанции, из которой состоят небесные сферы, является вечным и круговым. Остальные элементы перемещаются по прямой линии вверх (воздух и огонь) и вниз (вода и земля). Таким образом, причина естественного движения — присущее каждому элементу стремление занять свое место и восстановить нарушенный порядок вещей. Как только элементы достигают своего места, то остаются в состоянии покоя.

Насильственное движение, напротив, происходит неестественным путем и отдаляет тело от принадлежащего ему места, например подброшенный камень, который летит вверх. Поскольку у всякого следствия есть причина, можно заключить, что насильственное движение всегда вызвано воздействием некой силы. Эта сила всегда проявляется при контакте источника движения и самого тела. По логике Аристотеля, не может существовать действия на расстоянии. Но движение реальных тел ставит под вопрос аристотелевскую теорию. Когда камень, подброшенный рукой, двигается вверх, в какой-то момент контакта между ним и рукой больше нет. Таким образом, возникает вопрос: как можно объяснить тот факт, что предмет продолжает двигаться по своей траектории? Аристотелю пришлось объяснить это тем, что сама среда, то есть воздух, передает импульс предмету: источник движения, рука, двигает камень вместе со слоями воздуха, которые его окружают, так, что они работают как новый источник и сообщают ему движение. Отсюда вытекает парадоксальный вывод, что среда не только оказывает сопротивление движению, но и является его источником.

Аристотелю удалось установить соотношение между увеличением силы и скоростью. Сегодня, если обозначить через F силу, а через v — скорость, его можно записать так:

то есть F пропорциональна υ. Сопротивление среды действует обратным образом: чем больше сопротивление, тем меньше скорость. Записав эту формулу в современном виде, получаем:

то есть скорость пропорциональна соотношению между силой и сопротивлением.

Если выразить аристотелевские идеи при помощи математических формул, то можно доказать невозможность существования вакуума, как утверждал сам Аристотель. По его мнению, чтобы произвести движение, сила (F) должна быть больше сопротивления (R) среды. Скорость, которую разовьет тело, будет прямо пропорциональна силе и обратно пропорциональна сопротивлению, таким образом:

где к — коэффициент пропорциональности. Исходя из этого уравнения, если сопротивление равно нулю (как в вакууме), то скорость была бы бесконечной, а движение мгновенным. Аристотель совершенно справедливо полагал, что это абсурдно, поэтому надо отказаться от идеи существования вакуума и считать Вселенную заполненной. Это верное по сути рассуждение показывает, что его исходные постулаты и следующие из них выводы были ошибочными.

Еще одним из основных постулатов аристотелевской физики было отрицание вакуума. Отсутствие всякой материи подразумевало, что телам при движении не оказывается никакого сопротивления, которое бы их замедляло. В таком случае их скорость сразу же стала бы бесконечно большой, что абсолютно невероятно.

Аристотелевские размышления не противоречат здравому смыслу. Представим себе лошадь, которая тянет повозку: она будет двигаться, только если лошадь будет тянуть ее с большей силой, чем сопротивление среды. При увеличении этой силы будет увеличиваться и скорость, а при увеличении силы сопротивления среды скорость будет уменьшаться (например, если повозка катится по неровной земле).

Все тела суть смешение четырех субстанций подлунного мира; в зависимости от того, какова их пропорция в теле, оно будет легким или тяжелым. Чем тело тяжелее, тем выше его скорость при свободном падении. Здесь Аристотель снова делает утверждения, тысячу раз подтвержденные опытным путем, ведь все видели, что перо падает медленнее, чем железный шар. Именно этот ошибочный вывод стал той трещиной, с которой началось разрушение всей аристотелевской науки.

Сочинение De Motu («О движении») — это диалог, который Галилей написал на латыни в бытность профессором в Пизе и который никогда не был опубликован. Возможно, ученый был недоволен своими выводами, и тем не менее с исторической точки зрения этот труд представляет огромный интерес, поскольку позволяет понять эволюцию мысли Галилея. В любом случае, уже в нем мы видим критическое отношение к авторитету, воплощаемому Аристотелем, в частности к его делению свойств тел на легкие и тяжелые. Это были противоположные свойства, которые могла иметь любая субстанция. Галилей же отрицал существование чего-либо, похожего на легкость. Термин «легкий» не описывает никакого реального свойства предмета, это просто эпитет, означающий «менее тяжелый». Отказавшись от понятия легкости, изучать движение становилось проще.

Галилей описал воображаемую ситуацию, чтобы показать, что теории Аристотеля абсурдны. Как говорилось выше, Аристотель полагал, что скорость свободного падения была прямо пропорциональна весу тела (где вес — это действующая сила) и обратно пропорциональна сопротивлению среды.

Предположим, что у нас есть два однородных тела, и объем одного больше, чем другого (рис. 1). По Аристотелю, предмет большего объема упадет быстрее. Можно было бы предположить, что если мы соединим два тела штырем (рис. 2), их суммарная скорость будет ниже, чем скорость более объемного предмета, и выше, чем менее объемного, так как меньший предмет замедлил бы падение. Скорость падения была бы, таким образом, некоторой средней величиной.

И тем не менее это новое тело имеет больший объем, чем два предыдущих, и, следовательно, мы должны заключить, что оно упадет с большей скоростью, чем эти два отдельных предмета.

Таким образом, мы, исходя из одних и тех же принципов, получаем два противоречащих друг другу вывода. При помощи таких же остроумных рассуждений Галилей показал еще одно слабое место аристотелевской системы.

РИС. 1

РИС. 2

В физике Аристотеля существовало понятие абсолютных мест, а центр Вселенной был центром притяжения. Предположить, что этот центр, Земля, находился в движении, было абсурдом по нескольким причинам, но основной, которую часто называли последователи Аристотеля, была следующая: если бы Земля двигалась, то тяжелый предмет, сброшенный с высокой башни, никогда не упал бы к ее подножию, поскольку за время падения она сместилась бы.

Сегодня мы знаем, что на экваторе скорость вращения Земли достигает 460 м/сек, а скорость вращения вокруг Солнца составляет 30 км/сек. Помимо этого, вся Солнечная система вращается вместе с Млечным Путем со скоростью 270 км/сек. К этим движениям, в которые включена Земля, надо добавить скорость нашей галактики, которая приближается к соседним галактикам, например к Андромеде. С 1986 года нам известно, что Местное сверхскопление галактик, объединение примерно 30 галактик, сопровождающих Млечный Путь, движется со скоростью 600 км/сек к созвездию Венеры. Эта скорость является совершенно аномальной, и ее можно объяснить, только если предположить, что в созвездии Венеры существует огромный конгломерат материи, который был назван Великим Аттрактором, способный притянуть к себе все Местное сверхскопление галактик. Считается, что сверхскопление Шепли, состоящее из 17 скоплений галактик, тоже оказывает влияние на Местное сверхскопление. Дополняет картину расширение Вселенной — тенденция ее частей к удалению друг от друга. Как мы видим, Вселенная обладает огромной активностью; наша планета движется в космосе на огромной скорости, хотя здравый смысл и говорит нам обратное.

Исходя из сказанного выше, какова же скорость Земли? Нужно ли учитывать все эти движения, чтобы определить ее абсолютное значение? Понятие скорости является относительным по определению, а это значит, что ее можно вычислить только по отношению к чему-то. Взяв какой-либо ориентир, можно будет полагать, что определенное тело по отношению к нему находится в состоянии движения или покоя. Классическая физика основана на идее, что абсолютной точки отсчета для определения местоположения или скорости не существует (в отличие от физики Аристотеля, в которой существует главный абсолютный центр — центр Вселенной).

А поскольку предметы падают к основанию, это означает, что Земля неподвижна. Простой бросок какого-либо предмета служил доказательством неподвижности Земли. Так сам Галилей описывает эту проблему в своих «Диалогах...» словами Сальвиати, защитника системы Коперника:

«В качестве самого сильного довода все приводят опыт с тяжелыми телами: падая сверху вниз, тела идут по прямой линии, перпендикулярной к поверхности Земли; это считается неопровержимым аргументом в пользу неподвижности Земли. Ведь если бы она обладала суточным обращением, то башня, с вершины которой дали упасть камню, перенесется обращением Земли, пока падает камень, на много сотен локтей к востоку, и на таком расстоянии от подножия башни камень должен был бы удариться о Землю»[¹ Здесь и далее текст «Диалога...» в переводе А. И. Долгова.].

Несмотря на то что последователи Аристотеля были уверены в справедливости этого опыта, Галилей смог выявить их ошибку с помощью принципа инерции. Согласно ему, этот феномен будет наблюдаться и на неподвижной, и на двигающейся Земле, как мы увидим далее.

В том же сочинении Галилей излагает второй аргумент против идеи вращения Земли, на этот раз через сторонника Аристотеля, Симпличио:

«...итак, я повторяю и говорю, что если бы Земля двигалась, то камни, слоны, башни и города неизбежно полетели бы к небу, а раз это не так, я утверждаю, что Земля не движется».

Скорее всего, этот опыт современники Галилея проделывали часто: если двигаться по кругу, кажется, что некая сила выталкивает нас за его пределы. Этот довод подразумевает наличие центробежной силы, и Галилей не смог противопоставить ему никаких убедительных доводов.

В одном знаменитом отрывке «Диалогов...» Галилей предлагает подняться на корабль в штиль и внимательно понаблюдать за тем, как двигаются мухи и падают капли воды. Он пишет так:

«Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; [...] подвесьте наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, поставленный внизу. [...] Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту или другую сторону) [...] капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей. [...] Бабочки и мухи по-прежнему будут летать во всех направлениях, и никогда не случится того, чтобы они собрались у стенки, обращенной к корме, как если бы устали, следуя за быстрым движением корабля [...]».

Сегодня принципы Галилея используются для решения задач самого разного типа. Например, предположим, что некто едет в поезде, двигающемся с постоянной скоростью, и сидит на расстоянии х от начала вагона. Если наблюдатель со станции захочет определить положение этого человека (х’), беря за точку отсчета эту самую станцию, ему придется применить преобразование Галилея, по которому необходимо знать скорость поезда (v) и время, пройденное с момента, когда поезд проехал станцию (t):

x'=x+v_x-t.

Чтобы вычислить скорость в разных системах отсчета, нужно использовать простое сложение. Как видно на рисунке, если бы самолет ехал по взлетной полосе авианосца, находящейся в движении, у него была бы скорость V_A no отношению к авианосцу, но по отношению к стороннему наблюдателю, стоящему, например, на лодке, бросившей якорь, скорость самолета должна была быть прибавлена к скорости авианосца (V = V_p + + V_A) в случае, если они оба двигаются в одном направлении.

Принцип сложения скоростей действует применительно к предметам, двигающимся на небольшой скорости. Эйнштейн же открыл, что эта операция ошибочна в случае тел, движущихся со скоростью, близкой к скорости света (с = 300000 км/сек). Скорость света — это предел скорости, существующей в природе, поэтому результат сложения скоростей никогда не может быть больше ее значения. К тому же скорость света должна быть одинаковой для всех наблюдателей и всех систем отсчета. Луч света, исходящий от двигающегося поезда, никогда не превысит скорость света, поэтому преобразования Галилея не могут быть применены. Их можно считать верными с большой точностью для малых скоростей, но в общем случае необходимо придерживаться еще одного принципа, который учитывает это. Этот новый принцип был открыт Хендриком Антоном Лоренцом (1853-1928) и назван, соответственно, преобразованиями Лоренца. Его открытие стало одним из столпов, на которых Эйнштейн построил свою теорию относительности.

Этот феномен, который сегодня называют инвариантностью, показывает, что состояния покоя и движения на самом деле являются эквивалентными. Это не абсолютные состояния, как полагал Аристотель, а относительные. Все зависит от выбранной перспективы, точки зрения или, как говорится сейчас, от выбранной системы отсчета. Сидя внутри машины без окон, наблюдатель не сможет понять, находится она в состоянии равномерного прямолинейного движения или в состоянии покоя. Человек, сидящий в движущемся поезде, будет неподвижен относительно поезда, но в то же время будет двигаться по отношению к станции. Наблюдатель внутри движущегося корабля увидит, что капля из бутылки падает в стакан, стоящий у его ног, по прямой линии. А внешний наблюдатель заметит, что капля, чтобы попасть в стакан, описывает параболу. Своими рассуждениями Галилей смог доказать, что опыт Аристотеля с подбрасыванием тяжелого предмета бесполезен, так как и наблюдатель, и башня находятся в одной и той же системе отсчета.

Вывод Галилея о том, что состояния покоя и равномерного движения эквивалентны и взаимозаменяемы, означал, что они являются относительными. Так он открыл дорогу новой относительной теории движения, противопоставленной аристотелевскому представлению о движении как о внутренней тенденции. Начиная с Галилея движение стали рассматривать как взаимоотношение тел. Так он писал в своих «Диалогах...»:

«Движение является движением и воздействует как таковое, поскольку оно имеет отношение к вещам, его лишенным, но на вещи, которые равным образом участвуют в этом движении, оно не воздействует совсем как если бы его не было. [...] Итак, очевидно, что движение, общее для многих движущихся тел, как бы не существует, если речь идет об отношении движущихся тел друг к другу (раз среди них ничто не меняется), и проявляется только в изменении отношения этих движущихся тел к другим, не обладающим таким движением (ибо здесь меняется их взаимное расположение) [...]».

Там, где он говорит об «общем движении», мы бы сказали «общая система отсчета». Так, Галилей утверждает, что когда разные тела находятся внутри единой системы отсчета, которая, в свою очередь, пребывает в состоянии движения, то его скорость должна считаться чем-то «несуществующим».

В качестве дополнения к предыдущему постулату мы должны сказать, что не всегда у движения есть источник или причина, как считал Аристотель. В случае равномерного движения его причины неважны и ими можно пренебречь. Больше не нужно было прибегать к странным теориям о слоях воздуха, работающим как источник; в действительности объяснять было нечего.

Как мы увидели, Галилей использовал понятие инерции, чтобы атаковать теорию Аристотеля и расчистить место для нового представления о пространстве. Однако ему не удалось отделаться от всех ошибочных идей, поэтому при формулировке принципа инерции, хотя взгляды исследователя и были верными, он допустил грубейшую ошибку.

В его сочинениях, главным образом в «Беседах...», мы находим некоторые интеллектуальные эксперименты, которые и сегодня являются интереснейшим введением к пониманию этого принципа. В первом примере Галилей описывает следующую ситуацию: на наклонной поверхности, гладкой настолько, что можно не принимать в расчет ее сопротивление, лежит бронзовый шар. Если мы отпустим его, он будет скользить, равномерно ускоряясь. Теперь расположим поверхность горизонтально и поместим шар на ее край. Слегка толкнув шар, спросим себя: «Какое расстояние пройдет движущееся тело?» Поскольку нет ни сопротивления, ни чего-либо другого, что тормозит предмет, его скорость будет постоянной. Как говорит Сальвиати, «если бы это расстояние было бесконечным, то и тело двигалось бы без конца, то есть вечно».

Галилей неоднократно упоминает принцип инерции в своем «Диалоге...» (хотя и не называет его принципом), например в следующем отрывке:

Сальвиати: ...если у вас имеется плоская поверхность, совершенно гладкая, как зеркало, из вещества твердого, как сталь, не параллельная горизонту, но несколько наклонная, и если вы положите на нее совершенно круглый шар из вещества тяжелого и весьма твердого, например из бронзы, то что, думаете вы, он станет делать, будучи предоставлен самому себе? Не думаете ли вы (как я думаю), что он будет неподвижным?

Симпличио: ...шар продолжал бы катиться до бесконечности, лишь бы продолжалась такая плоскость, и притом движением непрерывно ускоряющимся, ибо такова природа тяжелых перемещающихся тел, которые vires acuirant eundo (движение приобретают в пути), и чем больше будет наклон, тем больше будет и скорость.

Сальвиати: ...что произошло бы с тем же движущимся телом на поверхности, которая не поднимается и не опускается?

Симпличио: Здесь мне нужно немного подумать над ответом. Раз там нет наклона, то не может быть естественной склонности к движению, и раз там нет подъема, не может быть противодействия движению, так что тело [...] должно оставаться неподвижным.

Сальвиати: Так, думаю я, если бы шар положить неподвижно; но если придать ему импульс движения в каком-нибудь направлении, то что воспоследовало бы?

Симпличио: Воспоследовало бы его движение в этом направлении.

Сальвиати: Но какого рода было бы это движение: непрерывно ускоряющееся, как на плоскости наклонной, или постепенно замедляющееся, как на плоскости поднимающейся?

Симпличио: Я не могу открыть здесь причины для ускорения или для замедления, поскольку тут нет ни наклона, ни подъема.

Сальвиати: Так, но если здесь нет причины для замедления, то тем менее может находиться здесь причина для покоя. Поэтому сколь долго, полагаете вы, продолжалось бы движение этого тела?

Симпличио: Столь долго, сколь велика длина такой поверхности без спуска и подъема.

Сальвиати: Следовательно, если бы такое пространство было беспредельно, движение по нему равным образом не имело бы предела, то есть было бы постоянным?

РИС.З

РИС. 4

РИС. 5

Эксперимент, придуманный Галилеем для демонстрации принципа инерции: в отсутствие трения из-за инерции движения шар будет продолжать перемещаться бесконечно, если плоскость, по которой он катится, абсолютно ровная.

В другом своем мысленном эксперименте Галилей приходит к таким же выводам, но еще более изобретательным путем.

Эксперимент состоял в том, чтобы представить себе поверхность настолько гладкую, что она не создает никакого сопротивления, разделенную на три части: одна наклонная, вторая горизонтальная и третья наклонная под таким же углом, но противоположная первой.

В первой фазе эксперимента (рис. 3) на край одной из плоскостей ставят шар, тоже настолько гладкий, что поверхность не оказывает никакого сопротивления.

Поскольку трение отсутствует, шар докатится до конца плоскости и поднимется по наклонной части до той же высоты, откуда он был брошен.

Теперь представим, что угол наклонной поднимающейся плоскости уменьшился (рис. 4). Мы снова запускаем шар с того же конца, и он опять поднимется до той же высоты, но теперь ему придется пройти большее расстояние. По мере того как третья плоскость опускается, шар будет проходить все большее расстояние, чтобы подняться до исходной высоты.

Что же произойдет, когда поверхность опустится на угол в 180° и станет горизонтальной (рис. 5)? В этом последнем из возможных вариантов расстояние, которое должен пройти шар, станет бесконечным. Это значит, что шар продолжит свой путь на постоянной скорости без остановки, бесконечно. Галилей пишет:

«Если большему наклону соответствует большая скорость, и, напротив, на плоскости, поднимающейся вверх, то же самое тело, приведенное в движение такой же силой, пройдет тем большее расстояние, чем меньше будет угол, то скажите мне, что случится с этим телом на поверхности, которая не будет ни подниматься, ни опускаться».

Несмотря на эти четкие объяснения и примеры, Галилей пришел к ошибочному выводу, что по принципу инерции тела бесконечно двигаются не по прямой линии, а по кругу. По мнению Галилея, было абсурдно предположить, что траектория вечно движущегося предмета может быть прямой. В шарообразном и замкнутом мире, каким продолжал представлять его Галилей (идея Джордано Бруно о бесконечной Вселенной не нашла отклика среди других мыслителей того времени), не было места для прямых бесконечных линий. Поэтому инерционное движение должно было происходить по круговой траектории.

Этот вывод показывает, что Галилей еще не четко разделял материю и пространство, то есть, как пишет историк Александр Койре, еще не произошла геометризация пространства, которую мы увидим у Ньютона. Наконец, круговое инерционное движение согласовывалось с движением планет (Галилей не знал о результатах Кеплера в этой области) и служило объяснением траектории движения планет вокруг Солнца.

Как бы там ни было, благодаря принципу инерции Галилей смог дать отпор критике идеи движения Земли со стороны последователей Аристотеля: поскольку мы сами являемся частью той же системы отсчета, что и Земля, то не видим признаков ее движения, потому что покой, который мы наблюдаем, есть не что иное, как «разделяемое движение». Все, кто участвует в движении Земли, не будут воспринимать его таковым; это движение будет невидимым и неосязаемым. С практической точки зрения находиться в состоянии покоя или равномерного движения — это одно и то же, и поэтому перипатетики не могут доказать неподвижность Земли, кидая с высоты камень.

Хотя размышления и эксперименты Галилея правильно описывали понятие инерции, он ошибался, думая, что инерционное движение является круговым. Принцип инерции правильно сформулировал только философ Рене Декарт, который писал, что это движение происходит по прямой линии: «Тело, раз начав двигаться, продолжает это движение с равной силой и в том же направлении до тех пор, пока другие тела не остановят его или не замедлят его движения». По мнению английского ученого Исаака Ньютона, принцип инерции занимал особое место в физической науке, и поэтому он присвоил ему статус основного принципа. Ньютон сформулировал его следующим образом: «Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные к телу силы не вызовут изменения этого состояния».

Исаак Ньютон в 1677 году, когда он был студентом в Тринити-колледже, гравюра Бернета Ридинга.

Хотя этот вывод помог ему преодолеть серьезное препятствие, представление Галилея о круговом инерционном движении привело его к заключению, что на поверхности Земли не могут наблюдаться последствия ее вращения, за исключением приливов (что, как мы увидим в следующей главе, также было ошибочным предположением). Галилей опять ошибся, поскольку вращение предусматривает наличие ускорения, и его признаки можно наблюдать на поверхности Земли, как в случае с эффектом Кориолиса и с маятником Фуко.

Поскольку Земля вращается, она является неинерциальной системой отсчета, и здесь возникают кажущиеся силы, проявляющиеся в некоторых природных явлениях, например в эффекте Кориолиса и опыте с маятником Фуко, физически доказывающих движение Земли.

Гаспар-Гюстав де Кориолис.

Эффект Кориолиса, названный по фамилии описавшего его в 1835 году ученого, Гаспара-Гюстава де Кориолиса (1792-1843),— это феномен, при котором кажется, что на тело, движущееся на вращающейся поверхности, действует некая сила. Если это тело будет пытаться прямолинейно двигаться вперед во вращающейся системе отсчета, наблюдатель, находящийся в той же подвижной системе, увидит, что тело описывает параболу, и справедливо подумает, что на него действует внешняя сила. Другой наблюдатель, вне этой системы, не увидит никакой параболы, для него предмет будет двигаться по прямой. Мы должны учитывать этот эффект, например, в случае с маршрутами самолетов, соединяющих города на значительном расстоянии друг от друга, иначе самолет, двигаясь по прямой до заданной точки, только отклонялся бы от нее и никогда бы ее не достиг. Этот эффект заметен только на больших расстояниях (на коротких дистанциях им можно совершенно пренебречь, поэтому эффект Кориолиса не влияет на направление закручивания воды в сливе). При таких атмосферных явлениях, как бури или ураганы, сила Кориолиса направляет воздушные массы против часовой стрелки в Северном полушарии и по часовой — в Южном.

Французский физик Леон Фуко (1819-1868) продемонстрировал в 1851 году под куполом Пантеона в Париже, что у земного вращения есть видимые признаки. Поскольку колебания маятника остаются неизменными по отношению к инерциальному наблюдателю, когда такой маятник и наблюдатель находятся в неинерциальной системе, возникают фиктивные силы, которые вызывают прецессию движения маятника. Соответственно, Земля не является инерциальной системой отсчета и поэтому не может быть неподвижной.

Принцип инерции связан только с равномерным движением, поэтому еще требовалось найти объяснение движению с ускорением, которое, как впоследствии указал Ньютон, подразумевает приложение некоей силы. Галилей посвятил часть своих опытов и размышлений попытке объяснить ускоренное движение.

Изучая ускоренное движение, Галилей пользовался в первую очередь разработками Архимеда и поставил под вопрос идеи Аристотеля. Впоследствии, уточнив свои эксперименты, он смог установить зависимость пройденного расстояния от времени свободного падения.

В юности Галилей полагал, что при свободном падении тела сохраняют постоянную скорость, а не ускоряются. Однако он не был согласен с Аристотелем и утверждал, что эта скорость пропорциональна разнице между силой и сопротивлением (а не их соотношению). Оба они были неправы, но размышления Галилея показывают, как развивалась его мысль.

Галилей был знаком с сочинением Архимеда о плавающих телах (он открыл его благодаря своему учителю, Риччи, который, в свою очередь, узнал о сочинении от Тартальи, переводчика трудов Архимеда на итальянский). По гидростатическому принципу Архимеда, на всякое тело, погруженное в жидкость, снизу вверх действует выталкивающая сила, равная весу вытолкнутой жидкости.

Утверждения Архимеда о весе и выталкивающей силе были распространены на все тела, не только на погруженные в воду. Соответственно, вес каждого тела мог меняться в зависимости от сопротивления окружающей среды (Архимед констатировал, что выталкивающая сила меняет вес погруженных тел), и необходимо было иметь в виду разницу между весом и сопротивлением (см. приложение «Атмосфера и трение»).

Изначально Галилей придерживался представлений Аристотеля, полагавшего, что тела падают с постоянной скоростью. Таким образом, скорость пропорциональна разнице между удельным весом тела (Р) и сопротивлением среды (Я, удельный вес воздуха), что сегодня записывается как:

v = k(P-R),

где k — коэффициент пропорциональности. В вакууме сопротивления нет, следовательно, скорость тела пропорциональна его удельному весу. Это уравнение совместимо с понятием вакуума (не существующего в аристотелевской Вселенной). Именно в вакууме тело двигается со своей собственной скоростью, не подверженной сопротивлению среды.

Несмотря на новаторский подход, Галилей продолжал думать, что при свободном падении тела двигаются без ускорения. По его мнению, если ускорение и существовало, то оно возникало только в момент начала движения. Затем скорость становилась постоянной и пропорциональной разнице между удельным весом и сопротивлением среды. Со временем Галилей изменил свое мнение.

Основываясь на трудах Архимеда, Галилей связал удельный вес тел с их скоростью в свободном падении. Архимед определял удельный вес как вес тела, поделенный на его объем. Погружая предметы в жидкость, он пришел к выводу, что когда удельный вес твердого тела равен удельному весу жидкости, то тело погружается в воду, не касаясь при этом дна, а затем его поверхность поднимается над водой. Если же удельный вес тела больше веса жидкости, то количество вытолкнутой им воды равно его весу. Таким образом, Архимед определил, что существует выталкивающая сила (Е), которая действует на погруженное тело и направляет его вверх, на поверхность, и что эта сила равна разнице между весом вытесненной жидкости и весом погруженного тела.

Плотность (р) тела определяется как отношение массы (т) тела к его объему (V). Математически можно записать так:

p=m/V

Удельный вес (γ), в свою очередь, определяется как отношение веса (Р) к объему (V):

T=P/V

Поскольку вес равен массе, помноженной на ускорение свободного падения, мы получаем следующее равенство:

T=P/V=mg/V=pg

Как мы видим, в то время как плотность — постоянная величина в любой точке Вселенной, удельный вес пропорционален плотности и зависит от ускорения свободного падения (на уровне моря он будет больше, чем на вершине горы, а на более тяжелых планетах его значение будет больше, чем на легких).

В сочинении «Беседы и математические доказательства...», написанном под арестом, когда Галилей был уже стар, перечисляются основные открытия и размышления, сделанные ученым на протяжении всей жизни. Работа стала фундаментом, на котором Ньютон развивал свои идеи, сегодня считающиеся классическими. В книге описано равномерное движение, равномерно ускоренное движение и движение бросаемых тел, или параболическая траектория снарядов.

В первой и самой короткой части своей книги Галилей выявляет связь между пройденным расстоянием (s) и затраченным временем (t), которая определяет равномерное прямолинейное движение. Записанная при помощи современных математических символов, эта зависимость выглядит следующим образом:

S=v • t

Момент, когда космонавт Дэвид Скотт кидает молоток и перо на поверхность Луны, чтобы проверить, упадут ли они одновременно.

Страница из «Бесед и математических доказательств...»— труда, в котором Галилей собрал все свои размышления о движении.

Фуко при помощи маятника демонстрирует вращение Земли (рисунок хранится в Политехническом институте Лондона).

Как мы видели в предыдущей главе, Галилей изначально полагал, что движение во время свободного падения было равномерным, а не ускоренным. Впоследствии он пришел к выводу, что оно является ускоренным, но при этом пропорциональным пройденному расстоянию. У нас нет доказательств того, что Галилей нашел правильное решение, а именно, что ускорение пропорционально квадрату времени, до 1604 года. В одном из своих писем к Сарпи, датируемом этим годом, он утверждает следующее:

«Размышляя о движении, [...] я покажу затем остальное, то есть что расстояние, пройденное во время естественного движения, дважды пропорционально времени [...]».

Здесь Галилей уже связывает пройденное расстояние с квадратом времени.

Во второй главе «Бесед...» ученый опять верно пишет, что в случае свободного падения скорость увеличивается в зависимости от времени. Он говорит об этом так:

«Мне кажется, что мы установили следующее определение равномерно ускоренного движения, о коем будем говорить далее: равномерно или единообразно ускоренное движение есть такое, при котором в равные промежутки времени приобретаются и равные моменты скорости».

Записав эту формулировку в современном виде, где v — скорость, а — ускорение, a t — время, мы получим:

v = a -t.

В случае если начальная скорость не равна нулю, в это уравнение необходимо ввести дополнительную величину v₀.

Галилей всегда исходит из сопротивления среды для вывода зависимости. Он объясняет, какие размышления привели его к такому выводу (и это показывает, что помимо своих опытов он опирался еще и на весьма изощренные умопостроения):

«Итак, когда я наблюдаю, как камень, падающий сверху и бывший до этого в состоянии покоя, по мере движения набирает скорость, почему бы мне не предположить, что это увеличение — следствие самой простой и самой очевидной зависимости? В таком случае, если мы посмотрим внимательно, то не найдем никакого другого более простого увеличения, чем то, которое происходит всегда одним и тем же образом».

Свободное падение было одной из главных физических задач, которые пришлось решать Галилею. Это было связано с огромными трудностями: чтобы экспериментально изучать этот тип движения, необходимо прибегнуть к технике моментальной фотографии, которой в то время не существовало. Предметы падают слишком быстро, и чтобы верно изучить их движение, нужны очень точные приборы. Галилей преодолел эту трудность интереснейшим образом: он использовал наклонные плоскости, способ, «уменьшающий притяжение», чтобы проделать опыт, поддающийся измерению. Угол наклона этих плоскостей можно было постоянно увеличивать, вплоть до вертикального положения.

Как мы говорили в первой главе, Галилей измерял время водяными часами. Он отметил положение шара на наклонной плоскости в равные промежутки времени. По этим отметкам он увидел, что расстояния, пройденные за эти промежутки, соотносились друг с другом так же, как нечетные числа: 1:3:5:7. Поскольку эти пропорции не менялись с увеличением угла наклона, они должны были сохраняться и при свободном падении.

Время, необходимое для того, чтобы пройти каждый интервал расстояния, равно 1, 3, 5, 7 и так далее, а это значит, что для прохождения первого промежутка затрачивается одна единица времени, в конце второго промежутка оказывается затрачено 1+3 = 4 единицы времени. Пройденные промежутки расстояния все увеличиваются, и каждой единице времени соответствуют 1, 4, 9, 16 единиц расстояния. Рассмотрим следующую таблицу.

Помимо влияния Архимеда, в работах Галилея заметны и отсылки к Евклиду, например в его стремлении вывести заключения и постулаты на основе других заключений и постулатов.

Как и Евклид, Галилей часто прибегал к геометрическим и визуальным аргументам. Иногда его выводы подразумевают проделанные опыты, например следующий постулат: «Я полагаю, что скорости, развиваемые одним и тем же телом на различных наклонных плоскостях, равны, если равны высоты этих плоскостей». Для его доказательства Галилей предложил взять маятник, который запускают, приподнимая под определенным углом. Маятник описывает дугу, двигаясь до точки равновесия на той же самой высоте. Если бы на некоем расстоянии отточки А, к которой прикреплен маятник, вбили гвозди (в точках Е и F), таким образом уменьшив его длину, то в этом случае он все равно достиг бы той же высоты.

Даже при наличии гвоздей в точках Е или F маятник все равно достигает той же высоты.

Сравнивая второй столбец с последним, мы видим, что расстояние равно квадрату времени. Из предыдущего уравнения следует, что пройденное расстояние (s) всегда пропорционально квадрату затраченного времени. Таким образом:

Сейчас (см. приложение «Масса и сила притяжения») соотношение между расстоянием и квадратом времени записывают следующим уравнением:

В случае когда тело находится в состоянии свободного падения, ускорение (а) равно 9,81 м/сек². Галилей излагает эти выводы так:

«Если тело, выйдя из состояния покоя, падает равномерно ускоренно, то расстояния, проходимые им за определенные промежутки времени, относятся между собою, как квадраты времени».

Одно из следствий, вытекающих из предыдущего открытия, — постулат, который Галилей уже записывал в одном своем манускрипте за несколько лет до этого:

Тело, двигающееся по любой наклонной плоскости, заканчивающейся в точке А, затратит одинаковое количество времени, чтобы покрыть это расстояние.

«Пусть В А — диаметр окружности, поднятой вертикально, и проведены любым образом линии AF, АЕ, AD, АС из точки А до окружности: я докажу, что одинаковые тела скатятся за одно и то же время и по перпендикулярной линии ВА, и по наклонным плоскостям по линиям СА, DA, ЕА, ЕА так, что начиная движение одновременно из точек В, С, D, Е, F, они придут в точку А одновременно, будь линия ЕА сколь угодно коротка».

Согласно теории, предложенной французским мыслителем Жаном Буриданом (ок. 1300 — 1358), причиной движения тел является не среда (как полагал Аристотель), а действие силы, способной «быть запечатленной» в теле, называемой импетус. Это была его интуитивная догадка. Теорию импетуса защищал физик университета Падуи Джамбаттиста Бенедетти (1530-1590). Он предложил следующий мысленный опыт: в колодец, идущий сквозь Землю до самого ее центра, брошен камень. По Аристотелю, камень, дойдя до центра Земли, должен остановиться, потому что это естественный центр притяжения. Бенедетти же, напротив, утверждал, что камень проделает колебательные движения рядом с центром и остановится, когда кончится сила действия импетуса.

Еще одна центральная проблема математиков того времени касалась траектории снарядов. Они, в том числе и Тарталья, прибегали к теории импетуса («толчка»), то есть силы, которая сообщается телам и уменьшается из-за трения в среде. Исходя из этой теории ученые делили движение снаряда на три части: сначала он движется прямолинейно, под действием силы, сообщенной ему; потом сила уменьшается, так как импетус уравновешивается силой притяжения, и траектория становилась полукруглой; наконец, в третьей части снаряд падает вертикально.

Галилей же предложил сделать обобщение, которое позволяло выйти за рамки теории толчка. Он придумал такой эксперимент: возьмем шар, равномерно движущийся по горизонтальной плоскости. Когда он дойдет до края, его движение должно разделиться на две четкие составляющие. Это, с одной стороны, горизонтальное движение, остающееся равномерным, то есть при нем тело преодолевает равные расстояния за равные промежутки времени (если мы применим принцип инерции, это было бы движение с сопротивлением, которым можно пренебречь). С другой стороны, это вертикальная составляющая, в которой движение тела равноускоренное, так что пройденные расстояния пропорциональны квадратам времени, как было установлено раньше. Комбинация этих двух движений даст параболическую траекторию.

Сейчас для определения положения точки (х, у) траектории снаряда, выпущенного горизонтально, используются следующие уравнения:

х= v_x · t

y=½gt²

где v_x — горизонтальная составляющая скорости, являющаяся постоянной величиной, a g — ускорение свободного падения, на уровне моря равное 9,81 м/с². Таким образом, это движение делится на две части, которые можно рассматривать как отдельные и дополняющие друг друга.