Газета Троицкий Вариант # 43

Андрей Окуньков: «Математикам необходимо встречаться друг с другом»

А. Окуньков. (Фото с сайта «Радио Свобода»)

Какую роль в жизни ученых играет человеческое общение? «Огромную! При всех современных средствах связи живое слово и участие учителя в науке незаменимо», — профессор Принстонского университета, лауреат Филдсовской премии 2006 года Андрей Окуньков в студии «Радио Свобода» рассказал о своих учителях и о той математике, которую они ему открыли. Беседовала Ольга Орлова. ТрВ печатает полный вариант интервью.

- Какую роль учителя сыграли в Вашей жизни? Как они Вас учили?

— Мне очень посчастливилось, что судьба меня свела с моими учителями Гришей Ольшанским и Александром Александровичем Кирилловым. Хотя учили они меня совершенно по-разному, одна, но главная черта у них была одна — стремление к простой глубине. Математика нынче глубока — часто, сложна — почти всегда. А в руках Гриши и Александра Александровича она вдруг оказывалась простой и ясной.

Гриша приводил такую метафору. Проводят опыт: человека уравновешивают на доске и задают совершенно невинный вопрос, скажем, перемножить два числа. От умственной концентрации кровь приливает к голове, равновесие доски теряется. Мораль: сложные вещи надо объяснять так, чтобы кровь к голове не приливала.

Иной может доказать трудную теорему, но она потом, как слон, проглоченный удавом, десятилетиями переваривается и долго усваивается. А бывает, научный результат выглядит как кулинарная миниатюра в дорогом ресторане. Красиво, можно поразиться, но это опять же не тот материал, из которого строится тело науки. А математика Кириллова и Ольшанского — это как хлеб, что-то важное и простое, когда кусок науки сразу готов занять свое место.

А.А. Кириллов на лекции. Летняя школа в Дубне. 2009 г. (Фото С. Третьяковой)

- Было ощущение, что Ваши учителя — великие математики?

— О да, конечно. Но как раз чисто по-человечески они настолько понятны и приветливы, что это нисколько не давило, если так можно выразиться. И еще, порой слово «великий» употребляется как оправдание каких-то не столь приятных личных качеств ученого. Ничего подобного в нашем семинаре не было; наоборот, Гриша и Александр Александрович для меня всю жизнь остаются эталонами честности и доброты.

- Настолько приветливы, что было уместно называть учителя Гришей?

— Это не от фамильярности, конечно, а скорей от чувства несовместимости Гриши с официальными научными структурами былых времен. Это сейчас собираются конференции в честь Гриши и звучат слова о вкладе Григория Иосифовича в современную математику, а до того, как он обрел дом в Институте проблем передачи информации, такое было бы очень трудно себе представить. Это же часть истории, Вы можете открыть старый том «Функционального анализа», ведущего нашего журнала, найти статью Гриши, и там в конце будет адрес автора. Как бы Вы объяснили какому-нибудь западному математику, почему автор этой фундаментальной статьи работает во ВНИИПИ Стромсырье?

— Мне кажется, стоило бы рассказать о самом Институте про блем передачи информации — это ведь уникальный институт.

— Ее хочу ни одного конкретного администратора обидеть, но думаю, что коллеги со мной согласятся: общее отношение ученых в России к администрации такое, что это уж никак не подспорье. И вдруг такое чудо на земле! Тут надо очень много добрых слов сказать и о старом директоре академике Кузнецове, и о нынешнем директоре Александре Петровиче Кулешове. И особенно надо вспомнить Роланда Львовича Добрушина, имя которого теперь носит наша математическая лаборатория. Эта лаборатория уникальна, даже не по числу математиков мирового уровня на квадратный метр, а потому, какой живительной отдушиной, научной и человеческой, она оставалась на протяжении своей истории.

Я сам туда попал в 1993 г. — тоже не самое легкое время было для математики. Что тогда происходило в экономике, Вы, полагаю, помните. Моей старшей был год. Учиться в очной аспирантуре...

- ...мало кто мог себе позволить.

— Да, это было невозможно. А Институт проблем передачи информации меня приютил и поддержал. Социально скромное положение младшего научного сотрудника было все же куда приемлемей положения аспиранта в университете. Научно, если бы не внимание Гриши и Роланда Львовича, то из меня никакого математика не вышло бы. Люди разъехались, семинары опустели. Только благодаря Грише мои первые робкие математические шаги приобрели и направление, и какую-то уверенность.

- Но ведь был уже Интернет, были книги в конце концов. Можно, наверное, было и по ним выучиться?

— Книги и Интернет я очень люблю, но не всем хорошим в себе им обязан. На самом деле потрясающе, до какой степени в математике живое человеческое общение незаменимо — при всех современных средствах связи, при современных средствах поиска информации. С одной стороны, мы люди, и какой-то человеческий импульс нам необходим даже для самых абстрактных занятий. С другой — удивительно тяжело передать какую-либо глубокую мысль из одной головы в другую. Можно снять трехмерное, четырехмерное видео, а резонанса, а значит и передачи информации, не произойдет. Когда мы с кем-то говорим, мы задействуем множество механизмов, которые помогают настроиться на волну собеседника. И тогда в голове наконец щелкает: о, счастье! Вот почему математикам просто необходимо встречаться друг с другом.

А. Окуньков на конференции в ИППИ РАН, август 2009 г.

- А как в личном общении передаются какие-то вещи философского плана, которые в статьях писать у математиков не принято?

— Постоянно. В научной мудрости, кстати, Александр Александрович остается непревзойденным. Многие его высказывания со мной остались на всю жизнь. Он, конечно, не Конфуций, не стремился говорить афоризмами, не то чтобы у нас на семинаре висела перетяжка со словами...

- «математика — царица всех наук»!

— Вот-вот, ничего такого не было. Но какие-то фразы, которые просто были частью его мыслительного процесса, на мой ум произвели совершенно неизгладимое впечатление. И я их до сих пор повторяю. Например, однажды он сказал: «Современные математики приходят на работу в кабинет и садятся доказывать теорему. Это ошибка. Классики науки так не делали, они считали и смотрели, что получится». То есть такое отношение к математике как к своего рода химии — смешали, бабахнуло, не бабахнуло.

И в том же ключе: «Легче обобщить пример, чем специализировать теорию». То есть догадаться, что какая-то общая теория применима к какой-то конкретной задаче, — это гораздо сложнее, чем развить общую теорию, опираясь на «один хорошо сосчитанный пример». Это, кстати, точные слова Александра Александровича: «один хорошо сосчитанный пример». Я на всю жизнь научился ценить такие примеры и нахожу в этом глубочайшую мудрость.

- Для практика вроде бы вещь очевидная?

— Я понимаю, это как если бы выпускник бизнес-школы находил глубочайшую мудрость в том, чтобы не тратить больше, чем зарабатываешь. Но, увы, как современным математикам, так и финансистам зачастую не приходит в голову стоять хотя бы одной ногой на земле.

А.М. Вершик и другие участники конференции в ИППИ РАН, август 2009 г. (Фото Н. Деминой)

- В чем разница между математикой, которую Вам открыли учителя, и математикой, в которой живете теперь Вы и которую Вы открываете уже своим ученикам?

— Есть вещи, которые практически не изменились, — это базовые, магистральные направления в развитии математики. Потому что математика — это вертикальная, логическая структура. Для того, чтобы кто-то возвел блистательный шпиль, нужно много отесанных или неотесанных глыб положить в основание этого здания. И только потом оно увенчается каким-то блистательным доказательством. Поэтому центральные проблемы математики меняются не на протяжении одного поколения, а на гораздо больших временных горизонтах. Если Вы посмотрите на проблемы Гильберта или «миллионные» задачи, то большинство из них эволюционировало на промежутке порядка ста лет. Как ни убыстряется темп развития математики, а основные ее направления меняются медленно.

- А что изменилось?

— То, как мы работаем, как мы идем к своей цели. Понятно, что много времени математики просто думают — это процесс, который трудно объяснить. И это думанье — а в хорошие дни прямо-таки мышление — периодически приводит к озарению. Это момент большого счастья. Но так бывает в жизни каждого математика, может быть, дюжину раз. А большую часть времени мы, как первопроходцы в джунглях, в темноте, с каким-то маленьким ножиком, с подручными средствами, пробираемся сквозь мглу неизвестно куда.

Но, к счастью, мощь этих подручных средств растет, и прорубаемся мы с их помощью все эффективнее. Тот «один хорошо сосчитанный пример», про который мы говорили раньше, обычно был записан карандашом в тетрадке. А теперь для всех сколько-нибудь рутинных вычислений у нас есть очень мощные и умные программы. А ведь вычисления — это, действительно основа. Как в физике эксперименты. Глядя на них, мы строим и проверяем наши догадки. Все равно, конечно, на них уходит много сил и времени: недели, а порой и месяцы, чтобы написать, отладить и дождаться ответа. Но посчитать подобной сложности пример старыми методами было бы, конечно, немыслимо.

- Это первое. А что еще изменилось?

— Когда прорубаемся в тростнике, мы часто имеем довольно смутное представление о том, что делают наши коллеги. Исторически много туннелей в математике было прорыто параллельно.

- То есть многие вещи переоткрывались, и не один раз? Но ведь обычно результаты публикуются моментально?

— Верно. Но математика столь велика, что никому не по силам знать ее всю. Даже в одной отдельной области уследить за новинками и удержать в памяти всю классику было реалистично еще, может быть, лет 20–30 назад. А что теперь? Теперь мы должны опираться на современные средства поиска информации, которые, надо сказать, очень помогают. Например, Американское математическое общество предлагает подписчикам электронную базу данных более-менее всех статей по математике с разнообразными и эффективными средствами поиска, рефератами и т.д.

Г. Ольшанский на конференции в ИППИ РАН

- А если то, что Вас интересует, другой ученый назовет другим словом? Вы же с ним не договаривались об обозначениях?

— Да, тогда простой контекстный поиск не поможет. Но есть гораздо более хитрые вещи.

Например, математика полна последовательностей. Скажем, нам надо заплатить /7 =1,2,3,... копеек пользуясь 1- , 2- , и 5-копеечными монетами. Сколькими способами это можно сделать? Это, конечно, просто элементарная иллюстрация, а не вопрос, который математиков действительно волнует, хотя мы часто и вынуждены искать способы заплатить ту или иную сумму. Итак, мы получаем последовательность 1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,1 1,13,14,16,18, потому что, например, 5 копеек можно сложить как 5=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1, итого четырьмя способами.

Хорошо, у нас есть последовательность, а что мы про нее можем сказать? Давайте введем ее в «Онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей» Нейла Слоэна. Мы узнаем, что у нее есть номер А000115, т.е. она уже людям встречалась, что, конечно, не удивительно. Что Вам может показаться удивительным: для этой последовательности есть простая формула, а именно, ее /7 -ый член есть ближайшее целое к ((N +4)2)/20. Например, для n=5 получаем 81/20 приблизительно равно 4. Мы бы, конечно, и сами об этом со временем догадались, но все-таки приятно, что кто-то уже за нас задачу решил. Мне лично эта энциклопедия помогала много раз, и не с воображаемыми задачами, а с настоящими, полевыми.

- Но есть еще другая проблема — проблема проверки результатов. Сейчас создаются специальные компьютерные программы, чтобы можно было проверять математические доказательства.

— Да, но, по-моему, лучше так объяснять глубокие вещи, чтобы та самая доска, о которой говорил Ольшанский, из равновесия не выходила. Чисто по-человечески, когда я вижу хорошую идею, для меня это гораздо убедительнее, чем компьютерный сертификат логичности. Цель математики, как и науки в целом, — не узнать ответ «да» или «нет» на все мыслимые вопросы, а в том, чтобы понять наш мир. Предположим, прилетели бы инопланетяне и сказали: «Гипотеза Римана верна, и вот формальное доказательство. Вы можете проверить на своей машине». Ну и чему мы, собственно говоря, научились от этого? Ничему не научились.

- Вы хотите сказать, что важно не просто формально получить доказательство, а важно то, чтобы это доказательство было естественно принято сообществом и осмыслено?

— Да. Доказательство — это не цель математики, а мера нашего понимания. Есть феномен, который Риман осознал. И это величайшее открытие. И мы его до сих пор очень плохо понимаем. Я, например, совсем не понимаю. Но даже мои замечательные коллеги, я думаю, не так хорошо понимают. Ну и какой бы мерой понимания было бы инопланетное доказательство?

- Доказательство важно как свидетельство понимания проблемы?

— Именно так. Моя любовь — это математическая физика. Очень часто задают вопрос: зачем математические физики доказывают те вещи, которые физически очевидны? Вот существует природа, и ткань мироздания на наших глазах не рвется, значит, математика работает. Зачем математически выводить, скажем, фазовый переход? Ведь вот была вода, она вскипела, все видят. Зачем это доказывать? Когда доказательства нет, это не конец света, но когда есть, это важная мера нашего понимания. Если мы можем математически описать и даже доказать какое-то явление, значит, оно нами понято.

Флайер конференции «Классические группы, взгляд из бесконечности», состоявшейся 13–14 августа 2009 г. в ИППИ РАН, к 60-летию Г.Ольшанского. На ней — подписи участников конференции. (Фото Н. Деминой)

- Но что, если просто нет, не можем найти простого доказательства?

— Это проблема, настоящая, серьезная, может быть, даже главная. Наука сложна, и сложность ее уже заметно превосходит возможности одного индивидуального ученого, пусть и вооруженного самой современной техникой. Посмотрите, какого размера стали научные проекты в других науках, какого сосредоточения физических, материальных и людских усилий требуется для того, чтобы сделать прорыв в науке!

- Вы имеете в виду, что многие научные проекты сейчас носят мобилизационный характер? Что по многим наукам внутри одной страны уже невозможно провести эксперимент?

— Я даже не говорю про очевидные вещи типа Большого коллайдера. Но даже в математике для того, чтобы доказать действительно большие теоремы, требуется привлечь экспертизу разных людей. Представьте, что Вы строите дом. Значит, Вам нужны каменщик, водопроводчик, электрик. Конечно, если Вы строите что-то маленькое на даче, то, может быть, с помощью того, чему Вас учили, и подручного справочника Вы могли бы сами подобные работы выполнить. Но если речь идет о том, чтобы что-то сделать на высшем уровне, нужен человек, который всю жизнь занимается данной проблемой.

Подобного рода сотрудничество может быть в одной статье, или может быть так, что завершающая статья опирается на результаты десяти других, в которых другие люди своими методами доказывали необходимые утверждения. Конечно, в математике не без гениев, которые могут многое, но такого человека, который может все, нет. В этом смысле важен баланс между верой в свои силы и реалистичным планированием.

- А насколько велика роль математики в общественных науках?

— Трудный вопрос. К очевидной сложности процессов в обществе примешивается то, что как только любая общественная теория начинает применяться, она начинает сама с собой взаимодействовать. Получается парадоксальная ситуация, когда, например, не так важно смоделировать собственно экономические процессы, как знать, какие модели используют другие агенты на рынках ценных бумаг. Есть формулы, которые применяются не потому, что они верные, а потому что «их применяют все».

- Получается, есть высшая математика — сама по себе, и есть простая математика для общественных наук?

— Я бы сказал, есть высшая математика (с приложениями в физике, например) и есть математическая грамотность. Это как «спорт высших достижений» и «спорт здоровья населения». И, кстати, я гораздо больше волнуюсь за математическую грамотность. Математика высших достижений довольно динамично развивается, в том числе и в России. Сейчас в Москве есть ряд научных центров: Институт проблем передачи информации, Стекловка, Независимый университет. Открылся новый факультет в Высшей школе экономики. И это в сумме большая масса. А есть математика в смысле уровня грамотности среднего инженера. За ее состояние я как-то больше волнуюсь. Даже в Америке.

- В Америке средний уровень математической грамотности понижается?

— Да, даже в тех вещах, которые, казалось бы, являются частью американской мечты. Например, каждый американец мечтает выйти богатым человеком на пенсию. Казалось бы, элементарная составляющая этого плана — выучить азы теории вероятности, которые позволяют принимать сколько-нибудь небессмысленные финансовые решения.

Большинству американцев это чуждо. Даже людям довольно образованным. И в России тоже общий уровень математической грамотности, боюсь, не растет. Как, собственно говоря, и уровень физкультуры. Огромная честь и хвала нашим олимпийцам за те медали, которые они завоевывают. Но я переживаю за здоровье населения и за надежность тех расчетов, по которым построены наши рядовые мосты.

- Есть люди, которые любят свое время, а есть люди, которые жалеют о том, что они не родились в какие-то другие исторические времена, им хотелось бы жить не здесь и не сейчас. Вы какую математику больше любите ту, в которую когда-то вошли, или ту, которую Вы сейчас несете своим ученикам?

— Мне бы хоть одним глазком в будущее заглянуть... Я понимаю уже сейчас, что молодежь и сильнее, и быстрее, и глубже. Нет никакого сомнения, что ученики с годами меня перерастут. Так всегда бывает. Я только мечтаю о том, чтобы мне подольше понимать, о чем они будут говорить, чтобы подольше это не превращалось в инопланетное доказательство гипотезы Римана.