Горизонты техники для детей, 1966 №4

Математика в часы досуга

Помните ли вы, ребята, статью, напечатанную в январском номере нашего журнала и озаглавленную «СТО»? В этой статье мы рассказывали о различных способах записи чисел. Сегодня мы познакомим вас с игрой, которую назовем «чародейским веером», построенной на использовании правил записи чисел.

Напомним заключительную часть статьи «СТО», где говорилось о десятичной системе записи чисел, созданной арабскими математиками много тысяч лет тому назад и используемой до сего времени почти во всех странах мира.

По этой системе любое число записывается при помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а величина, которую обозначает каждая цифра, зависит от места цифры в записи числа. Так, например, число 1111 состоит из четырех единиц, последняя из которых обозначает количество единиц, предпоследняя — десятков, третья справа — число сотен, а четвертая справа — количество тысяч. Записанное нами число мы читаем: одна тысяча сто одиннадцать.

Вспомните, ребята, как в первом классе вы учились считать по палочкам. Набрав один десяток палочек, вы откладывали их в сторону. Так поступали и со вторым, третьим, четвертым, пятым, шестым, седьмым, восьмым, девятым и десятым десятком, после чего говорили, что десять десятков — это сто. Все действия вы производили с десятками. Число десять — основная величина десятичной системы. В этой системе важную роль играет цифра 0 (ноль). Сам по себе ноль означает ничто, а совсем иную величину обозначает в числах 10, 100, 1000 и т. д. Ноль показывает, как важно место каждой цифры в записи числа.

Десятичная система записи очень удобна и наглядна. Но всё-таки иногда удобнее пользоваться другой системой. В современной вычислительной технике применяется, например, двоичная система, в которой все числа записываются при помощи двух цифр: 0 и 1. В будущем, наверное, многие из вас станут инженерами и техниками, научатся обслуживать сложные электронные машины и понимать их язык, читая показания в двоичной записи.

Как же выглядит двоичная система записи? Поначалу некоторым может показаться эта система трудной и даже непонятной. Чтобы этого не произошло, внимательно прочитайте наши объяснения и поупражняйтесь.

Итак, в десятичной системе самая большая цифра 9, а 10 записывается уже двумя цифрами (1 и 0), первая из которых (1) переходит на одно место влево. В двоичной системе самая большая цифра — 1, а число 2 например, в этой системе надо записать, перемещая единицу на одно место влево. Двойка в двоичной системе записывается, как десять в десятичной. 10 — это значит «два» (2) по двоичной системе. Число «три» (3) записывается следующим образом: вместо 0 ставится 1. «Три» записывается как 11 (читайте всё-таки три, а не одиннадцать). Но уже для записи числа «четыре» (4) у нас нет больше обозначений. Придется проделать операцию перемещения цифры «1» на третье место влево и записать 100 (это, конечно, не будет «сто», как в десятичной системе, а «четыре»). Ноли показывают, какое место занимает единица в записи числа «четыре». В десятичной системе такое безвыходное положение» имеется после числа 99, так как число 100 нельзя иначе написать, как только тремя цифрами.

Вернемся к двоичной системе. Числа «пять», «шесть», «семь» можно записать тремя цифрами (см. таблицу), причем семь имеет вид 111, то есть в нем сочетаются три самые большие цифры двоичной системы. Чтобы записать число «восемь», надо переместить единицу на одно место влево. Три «нуля» после единицы показывают, что записана восьмерка, а не четверка, где имелось лишь два нуля после единицы.

А теперь постарайтесь сами записать в двоичной системе несколько следующих чисел: девять, десять, одиннадцать и т. д. до тех пор, пока не появится необходимость перемещения в записи еще на одно место влево.

Сравнивая свои записи с таблицей, вы, наверное, заметите, что при записи числа «шестнадцать» вам пришлось передвинуться на одно место влево. Давайте рассмотрим обе системы.

Десятичная система: единицы, десятки, тысячи.

Двоичная система: единицы, двойки, четверки, восьмерки и т. д.

Постараемся записать в двоичной системе, например, число «пятнадцать».

Его можно записать так: 15 = 8 + 4 + 2 + 1, то есть у нас имеется в данном случае одна единица, одна двойка, одна четверка и одна восьмерка. Располагая их на соответствующих местах, получим следующую запись в двоичной системе: 1111. Помните, что это не тысяча сто одиннадцать, а всего лишь число пятнадцать, записанное в двоичной системе.

Итак, тайну нашего «чародейского веера» мы уже познали. Теперь приступим к непосредственному приготовлению к игре. Вырежьте 5 картонных прямоугольников (таких, какие показаны на обложке) и напишите на них следующие числа в десятичной системе: на первом все числа, которые в двоичной системе имеют (см. таблицу) на конце единицу, то есть 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 и 31. На втором прямоугольнике надо написать те числа, у которых в двоичной системе единица находится на втором месте, считая справа налево, то есть 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30 и 31; на третьем — числа, с единицей на третьем месте справа налево, то есть 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 31; на четвертом прямоугольнике — числа с единицей на четвертом месте, при этом считать надо также справа налево, а именно 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31; и, наконец, на пятом прямоугольнике надо записать числа с единицей, находящейся на пятом месте справа налево, то есть 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 и 31. На каждой карточке теперь имеется 16 цифр. Все пять карточек укладываем в виде веера и, вручая их одному из участников игры, просим его выбрать произвольное десятичное число от 1 до 31, а мы обязуемся при одном условии отгадать, какое число он выбрал. Условие заключается в следующем: пусть мальчик, у которого в руках наш «веер», даст вам все прямоугольники, на которых находится задуманное им число. Посмотрев на прямоугольники, вы сразу сможете догадаться, какое число задумал товарищ. Вот так это выглядит на примере: участник игры выбрал число 21 и, конечно, дает вам первый, третий и пятый прямоугольники, на которых первыми написаны числа 1, 4 и 16, сумма которых как раз равна 21.

Это очень быстрый способ отгадывания и не требует знания двоичной системы счета. Для нас же, немного ориентирующихся в двоичной системе, пригодится и другое объяснение. Если избранное число находится на первом прямоугольнике, то в двоичной системе оно должно иметь единицу на конце. Это же число находится и на третьем прямоугольнике, на котором, как вы помните, написаны числа с единицей на третьем месте, считая справа налево. На пятом прямоугольнике же, где также имеется задуманное число, единица находится на пятом месте справа налево. Значит, избранное число в двоичной системе записывается как 10101, что соответствует 21 в десятичной записи (см. таблицу).

Зная секрет, продолжайте игру с другими цифрами.

Анеля Новицкая