Играют ли коты в кости? Эйнштейн и Шрёдингер в поисках единой теории мироздания

Несмотря на изящество и простоту ньютоновской теории всемирного тяготения, Эйнштейн считал ее фундаментально малопривлекательной. Ньютон рассматривал гравитацию как мгновенную невидимую силу, действующую между двумя удаленными массами. Незримые нити тяготения, протянувшиеся сквозь пространство, каким-то образом управляли небесными телами. Соглашаясь с Махом в том, что природа должна быть измеримой и наблюдаемой, Эйнштейн искал более глубокого объяснения.

Более того, специальная теория относительности установила верхний предел для скорости распространения взаимодействий — скорость света. Теория Ньютона не удовлетворяла этому ограничению. Теория предсказывала, что если Солнце исчезнет, Земля тут же начнет двигаться по прямой, еще до того, как ее достигнут последние лучи Солнца. Но как Земля узнает об этом, прежде чем свет преодолеет разделяющее Землю и Солнце расстояние? Эйнштейн пришел к выводу, что феномен гравитации нуждается в переформулировке на языке теории относительности.

Будучи ярым приверженцем максвелловского подхода к электродинамике, основанного на концепции поля, Эйнштейн хотел сформулировать полевую теорию гравитации. Поле — это отображение потенциального действия силы с заданными значениями в каждой точке пространства. Напряженность поля в определенной точке задает величину силы, которая будет действовать на помещенную туда пробную частицу. Электрическое поле, например, определяет величину силы, которая будет действовать на электрон, протон или другое заряженное тело в любом заданном месте. Магнитное поле определяет то же самое для магнитной силы.

Рассмотрим, например, поле, которое определяет высоту и направление океанских волн. Несчастный моряк, оказавшийся в месте, где это поле исключительно велико, мог бы увидеть, как судно раскачивают огромные волны, сбивающие его с курса. Даже если бы он не знал, каков источник этих мощных волн (к примеру, подводное землетрясение), он все равно ощущал бы на себе их удары. То есть хотя причина возмущения может находиться очень далеко, поле действует как проводник этого возмущения, и воздействие получается локальным.

Обратив внимание на заметные сходства между электромагнетизмом и гравитацией, такие как закон ослабления силы обратно пропорционально квадрату расстояния между телами, Эйнштейн в 1910 году вознамерился вывести полевые уравнения гравитации. Результатом этой работы стала его совершенная общая теория относительности. Проводя аналогию между силами, он заложил основы для своих последующих попыток их объединения.

В разгар своей битвы Эйнштейн приехал в Вену и представил отчет о проделанной работе. Его потрясающий доклад на конференции вдохновил юного Шрёдингера, в его двадцать с половиной лет, перейти от прикладных вопросов, таких как измерение свойств света и излучения, к более фундаментальным вопросам: загадкам гравитации и свойствам Вселенной в целом. Параллели между электромагнетизмом и гравитацией, которые провел Эйнштейн, позднее возбудили у Шрёдингера интерес к поиску единой теории всех сил природы. Венская конференция 1913 года стала поворотной точкой в его карьере. Казалось, ничто в мире не способно ускользнуть от его пытливого ума.

Сумерки империи

Блестящая столица Австро-Венгерской империи теряла свое величие. Ее центральный огонь скоро погаснет, а сателлиты разлетятся, как головешки на ветру. Угасание будет таким же быстрым и полным, как солнечное затмение. Хотя не все было так мрачно. В моменты сгущающейся темноты звезды, которые не заметны днем, имеют все шансы засверкать. Город Габсбургов закатил вечеринку — праздничный съезд ученых, который окажется последним для золотого века Вены. Были приглашены тысячи лучших в Европе немецкоговорящих ученых. От Праги до Будапешта и от Берлина до Цюриха, ученые всех возрастов собрались, чтобы обсудить новые удивительные теории частиц, атомов, света, электричества, статистическую физику и другие вопросы. Однако некоторые известные личности все же отсутствовали: Планк и Арнольд Зоммерфельд, уважаемый директор Мюнхенского физического института, не прибыли. Тем не менее энтузиазм по поводу новых открытий сделал последний вальс австро-венгерской физики запоминающимся.

Никаких средств не пожалели в тот год для съезда немецких естествоиспытателей и физиков (той же группы ученых, перед которой выступал Минковский пять лет назад в Кёльне). Встреча проходила с 21 по 28 сентября 1913 года в новом здании Физического института Венского университета, неподалеку от Больцмангассе. В свое время Франц Экснер согласился остаться на посту директора института только при условии строительства нового здания. После заседаний в большом лекционном зале более семи тысяч участников конференции посетили роскошный прием в императорском дворце, банкет, организованный городской администрацией Вены, и вечеринку, устроенную самими венскими физиками.

Среди обсуждаемых вопросов в тренде были излучение и атомная физика. В числе докладчиков присутствовали германский физик Ханс Гейгер, изобретатель счетчика Гейгера (первый вариант его конструкции был предложен в 1908 году) и бывший коллега знаменитого физика новозеландского происхождения Эрнеста Резерфорда. В 1909 году в Университете Манчестера Гейгер и Эрнест Марсден под руководством Резерфорда провели хитрый эксперимент по исследованию структуры атома. Облучая золотую фольгу пучком альфа-частиц (альфа-частица — это ядро атома гелия), они обнаружили, что почти все частицы беспрепятственно проходят сквозь фольгу. Однако небольшая часть отражалась обратно под острым углом, как бейсбольные мячи отскакивают от бетонной стены. Из этих неожиданных результатов Резерфорд сделал вывод, что атомы представляют собой в основном пустое пространство, но при этом содержат крошечные положительно заряженные центральные части, которые Резерфорд назвал ядрами. Его модель атома, предложенная в 1911 году, представляла собой подобие Солнечной системы, где отрицательно заряженные электроны вращались вокруг положительно заряженного ядра, и она коренным образом изменила концепцию атома. Атомы больше не могли рассматриваться как неделимые и твердые крошечные шарики, скорее они представляли собой сложные (составные) тела, главным образом содержащие идеальную пустоту. Доклад Гейгера на конференции был посвящен по большей части практическим способам детектирования альфа- и бета-частиц (последние позднее были отождествлены с электронами).

Как молодой исследователь Физического института Экснера и Института исследований радия, Шрёдингер тоже заинтересовался проблемой регистрации радиации. Месяцем ранее Шрёдингер посетил деревню Зеехам на озере Обертрумер, что под Зальцбургом, чтобы измерить содержание радия А — продукта распада радия[6] — в атмосфере. Проведя почти две сотни измерений с использованием набора трубок и электрометра, он вычислил, как меняется содержание радия А в атмосфере со временем. Любопытно, что, как показал Шрёдингер, даже пиковые значения радия А отвечали только за часть атмосферной радиации. Основываясь на результатах Шрёдингера и других работах, многие ученые пришли к выводу, что должны существовать другие источники атмосферной радиации, например гамма-излучение. Исследователи продолжили поиски возможных источников дополнительной радиации.

Сентябрьская конференция идеально подходила Шрёдингеру, поскольку была связана с его работой и проводилась в его родном городе. Он мог послушать доклады о последних открытиях в области радиоактивности, атомного ядра и связанных с этим тем. В одном таком докладе, сделанном германским астрофизиком Вернером Кольхёрстером из Галле, описывались полеты на воздушном шаре на высоте нескольких миль над Землей с оборудованием для регистрации радиации. Подтверждая результаты более ранних работ австрийского физика Виктора Гесса, он сообщил, что «проникающая радиация», по-видимому, имеет внеземное происхождение, потому что ее интенсивность усиливается с увеличением высоты. Сегодня мы называем эту радиацию, приходящую из-за пределов Земли, «космическими лучами». Историки науки Ягдиш Мехра и Гельмут Решенберг считают, что эта конференция стала «днем рождения космических лучей» благодаря докладу Кольхёрстера^{25}.

В этом же году многие участники конференции, включая Эйнштейна, впервые узнали о замечательной теории Бора, предложенной им для объяснения атомной структуры. Эйнштейн полагал, что теория Бора была «одним из величайших открытий»^{26}. Хотя ни в одном из докладов модель Бора не упоминалась, весть о триумфальном открытии пришла неформально, благодаря личному участию венгерского физика Дьёрдя де Хевеши, который был свидетелем ее разработки. Де Хевеши находился в Манчестере в 1912 году, когда Бор, будучи постдоком, работал там с Резерфордом. Он увидел, как совместные попытки Бора и Резерфорда в разработке атомной теории увенчались успехом. Затем де Хевеши посетил Институт исследований радия в Вене и сообщил потрясающие новости о работе Бора всем заинтересованным участникам конференции.

Бор взял за основу планетарную модель атома Резерфорда и использовал понятие кванта, чтобы объяснить стабильность атома и структуру спектральных линий. Вообще электроны не должны были иметь устойчивых орбит вокруг атомного ядра. Из-за потери энергии на электромагнитное излучение они должны были в конце концов упасть на ядро. Согласно классической физике, частота этого излучения должна быть синхронизирована с частотой обращения электронов по орбите.

Но этого не происходит. Атомы довольно устойчивы. Что-то должно объяснять, почему электроны остаются на устойчивых орбитах. Бор блистательно показал, что момент импульса электрона должен принимать только дискретные значения — кратные величине ħ, равной деленной на 2π постоянной Планка. Другими словами, Бор показал, что момент импульса, как и энергия, должен квантоваться.

Момент импульса — это физическая величина, равная произведению импульса тела (который, в свою очередь, является произведением скорости тела на его массу) на радиус орбиты. В классической физике это непрерывный параметр, то есть он может принимать любое значение. Если постановщик просит танцора закрутить партнершу чуть быстрее, танцор может потянуть чуть сильнее за ее руку, чтобы придать ей дополнительный момент силы[7] (технически называемый крутящим моментом) и тем самым увеличить ее момент импульса.

Бор же обнаружил удивительный факт: нельзя придать электронам произвольную скорость вращения или выбрать произвольный радиус орбиты. Электроны могут изменять свои состояния, только поглощая или испуская конечные порции энергии и приобретая или теряя фиксированные порции момента импульса. Поэтому вместо непрерывного изменения положения или скорости электроны внезапно перескакивают с одной орбиты на другую подобно тому, как танцоры кажутся движущимися дискретно в свете стробоскопа.

Изменение энергии электрона происходит каждый раз, когда он поглощает или испускает фотон. Энергия фотона равна его частоте, умноженной на постоянную Планка. Этот квант энергии передается электрону или отнимается у него всякий раз, когда происходит поглощение или излучение фотона. Бор показал, что частота испущенного фотона совершенно не зависит от орбитальной частоты электрона. Она зависит только от разности энергии первоначального и конечного состояния электрона.

Гипотеза Бора о квантовании момента импульса и энергии впервые позволила точно предсказать радиусы орбит и уровни энергии электронов в атоме водорода. Бор предложил своего рода «законы Кеплера» (правила движения планет) для атомной «солнечной системы». Хотя гипотеза была определенно неполной — она описывала только устройство атома водорода, не объясняя, почему квантуются энергия и момент, — она прекрасно соответствовала имевшимся экспериментальным данным. Соответствие результата Бора формуле Ридберга для длин волн спектральных линий атома водорода стало лакмусовой бумажкой, подтвердившей гипотезу.

Формула, предложенная в 1888 году шведским физиком Иоганном Ридбергом, давала простой алгоритм вычислений длин волн в атомных спектрах. Она предсказывала несколько различных последовательностей линий в спектре атома водорода, известных как серия Лаймана, серия Бальмера, серия Пашена и т. д. Бор показал, что эти серии и формула Ридберга в целом выводятся из его предположений об электронах и фотонах в атомах водорода. Каждая спектральная линия соответствует предсказанной длине волны фотона, испускаемого при переходе электрона между двумя различными энергетическими уровнями.

Модель Бора теперь называется «старой квантовой теорией». Его ad hoc предположения улучшили наше понимание устройства атомов, но не могли быть объяснены с помощью каких-либо известных физических принципов. Потребовались труды Шрёдингера, Луи де Бройля, Вернера Гейзенберга и других ученых 1920-х годов, чтобы у квантовой теории появился более надежный фундамент.

Наброски революции

Самый долгожданный доклад на Венской конференции 1913 года во вторник утром (23 сентября) представил Эйнштейн. Он назывался «Сегодняшний статус проблемы гравитации». Большой лекционный зал был битком набит желающими узнать о новых теориях человека, опубликовавшего так много замечательных работ за один год. Эйнштейн не разочаровал публику. Он сделал один из наиболее важных научных докладов: конспект своих идей касательно нового объяснения гравитации, которое должно было выйти за пределы законов Ньютона. Предложив привлекательные кусочки маховской философии, высшую математику дозированными порциями и заманчивые предсказания о поведении света звезд во время солнечных затмений, он дал голодной публике почувствовать восхитительный вкус своей общей теории относительности.

Эйнштейн начал доклад с краткой истории электромагнетизма, обсудив кулоновский закон обратных квадратов. Он показал, как в ХIХ веке исследования Фарадея и других ученых вскрыли глубокую взаимосвязь между электричеством и магнетизмом. Кульминацией этих работ стали уравнения Максвелла. Эйнштейн подчеркнул, что в результате была сформулирована единая теория электромагнитного поля, объединявшая два феномена природы, которые первоначально считались независимыми. Он указал, что уравнения Максвелла задают максимальную скорость передачи сигналов — скорость света в вакууме. Чтобы совместить классические идеи об относительной скорости с инвариантностью скорости света, была разработана специальная теория относительности.

Теперь, продолжил Эйнштейн, настало время рассмотреть другую фундаментальную силу природы — гравитацию. До сих пор теория гравитации находилась на том же уровне, что и электростатика во времена открытия закона Кулона. Ньютоновский закон обратных квадратов для гравитации с его концепцией дальнодействия схож с идей Кулона и точно также неполон. Настало время, подчеркнул Эйнштейн, разработать полную полевую теорию всех сил природы, включая гравитацию, без использования архаичной идеи мгновенной передачи взаимодействий на любые расстояния.

Специальная теория относительности не позволяла гравитации мгновенно распространяться между двумя удаленными массивными телами. Взаимодействие определенно не могло передаваться быстрее, чем со скоростью света. Поэтому необходимо было переформулировать гравитацию в терминах локальной теории поля, в которой существовал бы верхний предел для скорости передачи взаимодействия.

Проводя аналогию между электромагнетизмом и гравитацией, Эйнштейн, очевидно, готовил почву для единого объяснения обоих явлений. Он хотел продолжить работу Максвелла по объединению различных сил путем добавления в этот набор гравитации. Объяснение гравитации самой по себе стало бы только первым шагом.

Шрёдингер внимательно слушал выступление человека, который позже станет его наставником. Кристально четкое объяснение глубокой взаимосвязи между силами, данное Эйнштейном, открыло ему глаза на потрясающие перспективы фундаментальной теоретической физики. Впоследствии Шрёдингер не будет ставить перед собой никаких ограничений, выбирая проблемы для исследования, включая вселенские вопросы, более широкие, чем измерения атмосферной радиации, на которых он был сосредоточен в тот момент. В то время Шрёдингер был одним из немногих ученых, кто разделял амбиции Эйнштейна по объединению сил природы во всей их полноте «Концепция, которую выдвигает Эйнштейн, — писал он позднее, — включила с самого начала (и не только в многочисленных последующих попытках обобщения) все виды динамических взаимодействий, а не только гравитацию»^{27}.

С выросшими амбициями в области физики, Шрёдингер вскоре начнет посвящать много времени чтению философской литературы и сфокусируется на признаках единства в природе Последующие поиски объединяющих принципов приведут его к работам немецкого философа XIX века Артура Шопенгауэра, к восточным мистикам и другим философам, стремившимся объяснить механизмы, лежащие в основе мироздания.

Определенно Шрёдингер мог симпатизировать заинтересованности Эйнштейна в философии Маха, который был болен и находился в отставке, но все еще активно интересовался наукой. Эйнштейн облек в новую форму маховскую критику ньютоновской концепции инерциальной системы отсчета (движущейся с постоянной скоростью по отношению к абсолютному пространству) и его расплывчатую альтернативную идею о том, что притяжение далеких звезд может быть причиной инерции и ее специфической связи с массой. В эйнштейновской интерпретации идей Маха коллективная масса всех тел во Вселенной оказывала влияние на объекты таким образом, что их естественным движением становилось движение по прямой линии с постоянной скоростью. Следовательно, инерция — это некоторый совокупный эффект распределенной массы Вселенной, подобно ночной засветке пасмурного неба, которая порождается всеми уличными фонарями в городе. Во время перерывов между заседаниями Эйнштейн посещал Маха в его венской квартире и обсуждал с пожилым седобородым философом научные вопросы, занимавшие их обоих.

В наиболее технической части доклада Эйнштейн обрисовал свои идеи, облечь которые в математическую форму ему помог Гроссман. Они устанавливали связь распределения массы в пространстве с его четырехмерной геометрией, а также с такими локальными движениями объектов, которые мы называем падением в гравитационном поле. Он указал, что его теория опирается на идею точного равенства инертной (отвечающей за то, как объект ускоряется под действием силы) и гравитационной (отвечающей за то, как объект притягивается другими телами посредством сил гравитации) масс. В результате в уравнениях движения собственная масса объекта сокращается, то есть в некоторой точке пространства любой массивный объект будет демонстрировать одинаковое поведение. Таким образом, положение объекта, а значит и геометрия пространства в этой точке, заданная распределением массы во Вселенной, определяет его поведение.

Кульминацией доклада Эйнштейна стало точное, проверяемое предсказание об отклонении света звезд Солнцем. Он показал, как масса Солнца изменяет геометрию пространства-времени вокруг него, заставляя все тела двигаться по искривленным (с нашей точки зрения) траекториям, а не по прямым. Даже свет удаленных звезд должен отклоняться от прямого пути вблизи Солнца. Продолжив лучи света, попадающие в телескоп, в обратную сторону, мы обнаружим, что видимые положения звезд на небесной сфере изменились. Поскольку обычно мы не можем наблюдать звезды днем, мы не замечаем этот эффект искривления лучей. Однако, как указал Эйнштейн, во время полного солнечного затмения сдвиг положения звезд был бы наблюдаемым. Он предположил, что этот сдвиг можно измерить во время предстоящего затмения, которое можно будет наблюдать на территории Восточной Европы в августе 1914 года, и сравнить с результатами предсказаний его теории.

Венская конференция серьезно повлияла на карьеру Шрёдингера. Оставив экспериментальные измерения радиации, он обратил свой взор на теоретические исследования и изучение фундаментальных физических проблем. Однако прежде чем он смог углубиться в исследования атомной физики, гравитации и других областей науки, заинтересовавших его на конференции, произошло судьбоносное событие, которое все изменило.

28 июня 1914 года эрцгерцог Франц Фердинанд, наследник австро-венгерской короны, и его жена были застрелены сербским националистом Гаврилой Принципом в Сараево. Месяц спустя началась Первая мировая война, и Шрёдингера мобилизовали. Он воевал на итальянском фронте, выполняя различные обязанности, вплоть до командования батареей. Когда Германия присоединилась к войне на стороне Австро-Венгрии, Эйнштейн был категорически против этого и отказался принимать в ней участие.

Вернувшись в Вену весной 1917 года, Шрёдингер продолжил военную службу, ведя метеорологические наблюдения вместе со своим другом Гансом Тирингом. К сожалению, война на три года приостановила академическую карьеру Шрёдингера — удручающе долгий срок для молодого исследователя. В Вене он стремился наверстать упущенное время, возобновил учебу и свои теоретические исследования.

Война также отсрочила проверку предсказания Эйнштейна об искривлении лучей света. Германский астрофизик Эрвин Финли-Фрейндлих, студент Клейна и убежденный последователь Эйнштейна, с энтузиазмом готовил экспедицию в Крым, где ожидалось полное солнечное затмение, с надеждой зарегистрировать новое физическое явление. Однако до того, как он смог провести свои измерения, он был арестован русскими военными и интернирован как военнопленный. Потребовалось еще пять лет, чтобы закончилась война и стало возможным провести требуемые измерения и подтвердить гипотезу Эйнштейна. Тем временем Эйнштейн продолжил разработку теории гравитации.

Самая удачная мысль

Идеи общей теории относительности Эйнштейн начал вынашивать задолго до конференции 1913 года. В 1907 году, спустя всего лишь два года после публикации работ по специальной теории относительности, Эйнштейна посетила, как он скажет позднее, «самая удачная мысль в его жизни». Он вспоминал: «Я сидел в кресле в своем патентном бюро в Берне. Внезапно меня озарила мысль: если человек находится в свободном падении, он не чувствует свой вес. Я опешил. Этот простой мысленный эксперимент произвел на меня глубочайшее впечатление. Именно это привело меня к теории гравитации»^{28}.

Эйнштейн натолкнулся на принцип эквивалентности — простую, но глубокую идею, которая легла в основу общей теории относительности. Принцип эквивалентности следует из обычного наблюдения: поскольку инертная масса равна гравитационной, то под действием гравитации все объекты ускоряются одинаково. Легенда гласит, что Галилей бросал пушечное ядро и мушкетную пулю с Пизанской башни, чтобы проверить, так ли это. Отсюда, в частности, следует, что свободно падающие объекты, движущиеся вниз в точности с ускорением свободного падения, находятся в состоянии невесомости. Ведь если объект, лежащий на весах, свободно падает, а весы падают вместе с ним с таким же ускорением, то они не будут чувствовать никакого веса. Похожие ощущения испытывают на крутых спусках любители американских горок.

Тогда Эйнштейн сделал еще один шаг, постулировав, что ни один физический эксперимент не должен позволять определить, находится лаборатория в состоянии свободного падения или покоится вдали от тяготеющих тел. Так должно происходить из-за того, что все предметы и приборы в свободно падающей лаборатории движутся с одинаковым ускорением.

Эйнштейн понял, что существует возможность «собрать» общую теорию гравитации из отдельных свободно падающих систем отсчета, рассматривая каждую из них так, как если бы она покоилась. Если внешние силы отсутствуют, в каждой системе отсчета все тела будут двигаться по прямолинейным траекториям. Однако наблюдатель из другой системы отсчета может видеть эти траектории искривленными. Вот почему мы наблюдаем искривление траекторий тел под действием гравитации — потому что мы рассматриваем эти движения из нашей системы отсчета.

Чтобы понять, как это работает, давайте вернемся к нашему «световому пинг-понгу», рассмотренному в главе 1. Представим себе, что космонавт направляет луч света в сторону зеркала, расположенного на одной из стен его прозрачного корабля, в то время как его сестра наблюдает за ним с Земли в сверхмощный телескоп. Предположим, что космический корабль свободно падает в направлении планеты. С точки зрения космонавта, световой луч распространяется по кораблю вдоль идеально прямой линии. Если он направит луч горизонтально на высоте одного метра от пола, луч отразится от зеркала на той же высоте. Однако с точки зрения его сестры, космический корабль падает, и поэтому луч света будет выглядеть изогнутым вниз. В то время как луч достигнет зеркала, корабль и зеркало опустятся ниже. Поэтому свет будет двигаться по искривленному пути — от более высокой начальной точки до точки отражения, находящейся чуть ниже.

Это явление позволило Эйнштейну предсказать искривление света звезд вблизи Солнца во время солнечного затмения еще до того, как он достаточно освоил математику, чтобы подкрепить свою теорию надежной геометрической базой. Сначала он пытался слегка изменить специальную теорию относительности, включив идею изменения скорости света от точки к точке. Однако он не мог заставить математику работать так, как нужно. Он начал задумываться о более строгих математических методах, таких как изменение метрики — способа расчета расстояний, — но ему не хватало математических знаний.

Примерно в конце 1912 года Эйнштейн узнал о результатах эксперимента венгерского физика барона Лоранда фон Этвёша по проверке эквивалентности инертной и гравитационной масс. Эйнштейн предлагал такой эксперимент и сам, до того как узнал о масштабных исследованиях Этвёша. В течение многих десятилетий Этвёш совершенствовал конструкцию крутильных весов, для того чтобы регистрировать даже малейшие различия между значениями инертной и гравитационной масс. В разных модификациях эксперимента он достигал все большей и большей точности, но так и не обнаружил расхождений. Для Эйнштейна эксперимент Этвёша означал, что принцип, обнаруженный в его «самой удачной мысли», был не просто абстракцией, но глубокой эмпирической истиной. «Древнейший» — как часто персонифицировал Эйнштейн бога — создателя уравнений — оставил важную подсказку, и поиск решения проблемы гравитации, подобной загадке Сфинкса, стал для Эйнштейна целью дальнейшей работы.

Вытащенный из трясины

В июле 1912 года, поработав около года в Университете Цюриха и чуть более года в Университете Праги, Эйнштейн вернулся в Цюрих, чтобы занять должность в своей альма-матер. Швейцарской высшей технической школе Цюриха (ЕТН). Одним из главных достоинств этого места, помимо работы в любимой Швейцарии, была возможность посотрудничать с другом Гроссманом, профессором математики. Новая должность оказалась удобной для разработки общей теории относительности. Эйнштейн быстро погружался в зыбучие пески высшей математики и нуждался в сильной руке, которая вытащила бы его на безопасное место. Бывший однокурсник, помогавший Эйнштейну с математикой в университете, стал незаменимым помощником в поисках геометрического описания гравитации.

Гроссман мало интересовался физикой, но с энтузиазмом подключился к проекту Эйнштейна. Он прочитал Эйнштейну ускоренный курс геометрии Римана, в том числе научил его работать с тензорами, описывающими свойства неевклидовых, многомерных многообразий. (Напомним, что тензоры — это математические объекты, которые преобразуются определенным образом, а многообразия — это поверхности с произвольным числом измерений.) Он также познакомил Эйнштейна с работами немецкого математика Элвина Кристоффеля, итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро и его студента Туллио Леви-Чивита, внесших большой вкладе дифференциальную геометрию.

Неоценимая помощь Гроссмана вернула Эйнштейну надежду выразить свои идеи в математической форме. Эйнштейн лихорадочно работал над теорией, временно отказавшись от всех других научных занятий. Когда Зоммерфельд пригласил его в Мюнхен выступить с докладом о квантовой теории, он отказался, написав в ответ: «Я сейчас занят исключительно проблемой гравитации и полагаю, что я могу преодолеть все трудности с помощью моего друга-математика. Но одно можно сказать наверняка, никогда прежде я не беспокоился так сильно о чем-либо, я стал с большим уважением относиться к математике, более тонкие детали которой до сих пор, в своем невежестве, я считал излишней роскошью! По сравнению с этой проблемой первоначальная теория относительности выглядит просто по-детски»^{29}.

Одно время Эйнштейн так часто приходил домой к Гроссману по вечерам, что пожилая горничная устала спускаться по лестнице, чтобы открывать ему дверь. И Эйнштейн предложил Гроссману «оставить входную дверь открытой, чтобы не беспокоить старушку»^{30}. В течение года Эйнштейн и Гроссман работали над предварительным вариантом своей теории, который Эйнштейн представил на Венской конференции 1913 года. Историки называют эту раннюю форму Entwürf, или «Проект», по названию статьи Эйнштейна и Гроссмана «Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения», опубликованной в то же время. Статья содержала многие, хотя и не все, элементы общей теории относительности.

В специальной теории относительности наблюдатели, путешествующие с постоянными по отношению друг к другу скоростями, обнаруживают одинаковые законы физики. Например, уравнения Максвелла выглядят одинаково для обоих наблюдателей. Одна из ключевых целей Эйнштейна при создании общей теории относительности заключалась в том, чтобы расширить принцип относительности и на наблюдателей, движущихся по отношению друг к другу с ускорением. В отличие от механики Ньютона, где предпочтительными были инерциальные (или неускоренные) системы отсчета, Эйнштейн хотел, чтобы его теория годилась для всех случаев жизни. Исследователь в лаборатории, находящейся в вагоне тормозящего перед станцией поезда, или на карусели, вращающейся по кругу, должен иметь возможность описывать свои эксперименты с помощью той же физики, что и исследователь, работающий в обычном здании. Математически это означает, что уравнения движения должны иметь одинаковую форму как для ускоренных (включая ускорение, замедление и вращение), так и для инерциальных систем отсчета. Эйнштейн назвал такое условие «общей ковариантностью».

К сожалению, Эйнштейн пришел к выводу, что «Проект» не отвечает поставленной цели: обеспечить независимость от выбора системы отсчета. Он недотягивал до идеала Маха — требования исключить предпочтительность инерциальных систем отсчета и установить своего рода демократию для всех видов движения, включая ускоренные. Вместо этого все еще существовала «элита», в которую входили только некоторые виды систем отсчета. Эйнштейн обратился к другому своему бывшему сокурснику, Мишелю Бессо, за советом относительно научной корректности «Проекта». Если теория верна физически, возможно, он мог бы смириться с определенными математическими ограничениями, такими как отсутствие общей ковариантности. Эйнштейн настойчиво защищал свои идеи, но отказывался от них в мгновение ока, если видел более эффективный путь. Некоторое время он пытался убедить себя, что общая ковариантность не является необходимой для полной теории, если уравнения получаются простыми и дают физически достоверные результаты.

Бессо и Эйнштейн решили посмотреть, как «Проект» пройдет астрономическую проверку: описание скорости прецессии (сдвига в направлении вращения) перигелия (ближайшей к Солнцу точки орбиты) Меркурия. Будучи самой близкой к Солнцу планетой, Меркурий сильнее всего подвержен влиянию притяжения Солнца и, следовательно, наиболее пригоден для проверки гравитационных теорий. Хотя теория тяготения Ньютона очень хорошо описывала движения других планет Солнечной системы, ей не удавалось объяснить медленный поворот эллиптической орбиты Меркурия с периодом 3 миллиона лет. Эйнштейн выразил надежду, что «Проект» позволит точнее описать орбиту Меркурия. К его огорчению, расчеты, выполненные Бессо, показали, что теория по-прежнему неправильно предсказывает скорость прецессии.

Другое предсказание об отклонении видимого положения звезд из-за сильного влияния Солнца, которое Эйнштейн и Гроссман сделали в «Проекте», могло бы быть проверено Финлей-Фройндлихом во время солнечного затмения 1914 года, не будь он взят в плен. Но даже если быемуиудалось получил результаты в 1914 году, он, вероятнее всего, обнаружил бы, что «Проект» и здесь предсказывает ошибочные значения. Теория нуждалась в обстоятельном пересмотре, что вынудило Эйнштейна сражаться с уравнениями гораздо дольше, чем он предполагал.

Борьбу пришлось продолжить без Гроссмана, а также без Милевы. Потому что, сосредоточившись на работе, Альберт практически забыл о семье. В результате Милева погрузилась в глубокую депрессию, а их брак трещал по швам. Переезд Эйнштейна в Германию стал последней каплей. Он получил предложение от Макса Планка и физика Вальтера Нернста занять три важные должности в Берлине: члена престижной Прусской академии наук, профессора Берлинского университета и директора недавно основанного института физики. Одно из преимуществ заключалось в том, что Эйнштейн освобождался от лекционной нагрузки и мог посвятить все свое время исследованиям. Неохотно последовав за Альбертом в Берлин в апреле 1914 года, Милева оставалась там в течение нескольких месяцев, прежде чем вернуться с детьми в Цюрих. Через некоторое время они начнут вести переговоры о разводе, на которые уйдет несколько лет.

Альберт тем временем воспылал новой страстью — к кузине Эльзе Левенталь, которая затем стала его женой. Она была намного более домашней и заботливой, чем Милева. Эльза часто обращалась с ним как с ребенком, которого необходимо кормить, холить и лелеять, например заботилась об укрощении его непослушных волос. Она также с гордостью принимала участие в социальных мероприятиях, используя любую возможность, чтобы показаться с ним на публике. В свою очередь, Эйнштейн получил возможность полностью освободить себя от повседневных забот и сосредоточиться на расчетах. Он неустанно трудился над теорией гравитации, отвлекаясь лишь на игру на скрипке во время музыкальных пауз.

Гонка к вершине

Перед тем как Эйнштейн, задыхаясь, достиг пика своих устремлений, он почувствовал, что ту же высоту стремится взять Давид Гильберт. В июне 1915 года Эйнштейн выступил перед взволнованной аудиторией в Гёттингене; среди слушателей был и Гильберт. Эйнштейн рассказал о своих успехах в построении общей теории относительности и препятствиях, которые еще остались неразрешенными, в том числе о вопросе общей ковариантности.

Заинтригованный проблемой описания неевклидова пространства-времени, искривленного присутствием распределенной в нем материи и энергии, Гильберт решил продолжить поиск полевых уравнений общей теории относительности самостоятельно. Внезапно у Эйнштейна появился соперник. Он был подавлен тем, что один из самых талантливых математиков в мире претендует на трофей, о котором он мечтал годами. Гонка шла практически на равных, но Эйнштейн пересек финишную черту первым. Поздней осенью он отпраздновал победу, добившись корректной формулировки.

Впрочем, в качестве утешительного приза за Гильбертом признается авторство альтернативного подхода к общей теории относительности, который называется лагранжевым. Математически лагранжиан — это разность между кинетической (энергией движения) и потенциальной (энергией положения) энергией механической системы, записанная в виде функции от координат. Можно наглядно представить различие между потенциальной и кинетической энергией на примере пружинного ружья. Сожмите пружину, и потенциальная энергия увеличится, то есть увеличится потенциал выстрела. Спустите пружину, и ее потенциальная энергия перейдет в кинетическую, при этом ружье выстрелит. Потенциальная энергия положения преобразуется в кинетическую энергию движения. Теперь вычтем потенциальную энергию системы, выраженную через координаты, из ее кинетической энергии, выраженной через скорость, и получим лагранжиан.

Как показал блестящий ирландский математик и астроном XIX века Уильям Роуэн Гамильтон, если проинтегрировать лагранжиан по заданному интервалу времени, то мы получим величину, называемую действием. Гамильтон доказал, что любая механическая система эволюционирует (движется на этом временном интервале) таким образом, чтобы свести к минимуму величину действия (или, в некоторых случаях, чтобы его максимизировать). Этот принцип, называемый принципом наименьшего действия, естественным образом приводит к уравнениям движения, называемым уравнениями Эйлера — Лагранжа. Таким образом, зная лагранжиан системы, можно определить, как она будет эволюционировать.

В качестве простого примера из классической механики рассмотрим некоторый объект, скажем коробку из-под чая, выброшенную астронавтом несколько десятилетий назад и медленно движущуюся в вакууме в отсутствие каких-либо сил, действующих на нее. Ее кинетическая энергия равна половине массы, умноженной на квадрат скорости. Потенциальная энергия коробки равна нулю из-за отсутствия сил и однородности пустого пространства. Таким образом, лагранжиан коробки состоит только из ее кинетической энергии. Принцип наименьшего действия утверждает, что траекторией такого объекта, обеспечивающей минимальное действие, будет прямая линия. Подставьте лагранжиан в уравнения Эйлера — Лагранжа, и в результате вы получите уравнения, описывающие движение с постоянной скоростью. Таким образом, довольно простой лагранжиан обрекает нашу коробку на бесконечное путешествие по прямой линии с постоянной скоростью.

Вклад Гильберта в общую теорию относительности — лагранжиан Эйнштейна — Гильберта (приводящий к действию Эйнштейна — Гильберта) — тоже является довольно простым. Тем не менее он достаточно богат на математические следствия и порождает уравнения поля в общей теории относительности. Кроме того, если у вас есть потребность модифицировать общую теорию относительности физически значимым способом, лагранжиан обеспечивает необходимые для этого средства. Мы увидим, что Шрёдингер в своих попытках расширения общей теории относительности для учета других сил в конечном итоге сделает именно это (модифицирует лагранжиан).

Гамильтон разработал другой способ описания механических систем: так называемый гамильтонов подход. Вместо вычитания потенциальной энергии из кинетической обе величины складываются. Эта сумма называется гамильтонианом и может быть использована для получения системы уравнений, описывающей взаимосвязь координат и импульса системы. Как и метод Лагранжа, гамильтонов подход также сыграл важную роль в современной физике, в том числе, как мы увидим, в формулировке квантовой механики Шрёдингера. Гамильтонов набор математических инструментов также может быть применен к общей теории относительности, как показал Эйнштейн, когда наконец сформулировал ее окончательную версию.

Великолепное творение

Эйнштейн предал гласности свой шедевр в практически окончательной форме на собрании Прусской академии наук 4 ноября 1915 года. Он был горд представить уравнения поля для полной теории гравитации, основанной на геометрии пространства-времени. 18 ноября он выступил перед той же аудиторией с другим докладом, в котором предложил свое решение вековой проблемы прецессии орбиты Меркурия. Два месяца спустя, когда расчеты были окончательно проверены, он писал своему другу Паулю Эренфесту: «Можете ли Вы представить себе мою радость от подтверждения идеи общей ковариантности, которая дала в результате правильные уравнения для движения перигелия Меркурия? От волнения я на несколько дней потерял дар речи»^{31}.

К тому времени, как Эйнштейн опубликовал окончательный вариант своей теории в престижном журнале Annalen der Physik (20 марта 1916 года), немецкий физик Карл Шварцшильд, проходя военную службу на русском фронте, уже нашел первое точное решение. Оказывается, он прочитал доклад Эйнштейна от 18 ноября и сделал вычисления для случая гравитирующего массивного сферического объекта, подобного звезде. Среди тьмы войны блестящее творение Эйнштейна осветило небо ярче, чем взрывы снарядов, подарив надежду и вдохновение по крайней мере одному солдату. К сожалению, Шварцшильд умер 11 мая 1916 года от неизлечимого аутоиммунного заболевания в возрасте сорока двух лет. Много десятилетий спустя решение Шварцшильда будет использовано для описания черных дыр. С тех пор было найдено множество других точных решений уравнений общей теории относительности.

Золотой храм Эйнштейна построен на твердом фундаменте: содержащейся во Вселенной материи и энергии. Начните с любого распределения материи и энергии, описываемого тензором энергии-импульса Т_μν, и полевые уравнения общей теории относительности позволят вам определить компоненты другого математического объекта — тензора Эйнштейна G_μν, описывающего геометрию пространства-времени. Уравнение G_μν = 8πT_μν (которое может быть записано в различных формах) считается одним из наиболее важных вкладов Эйнштейна наряду с его формулой Е = тс² и уравнением фотоэффекта. Все три гениальных уравнения высечены на мемориале Эйнштейна в Вашингтоне.

Случай, как-то рассказанный известным физиком Ричардом Фейнманом, иллюстрирует вездесущность уравнений Эйнштейна в современных дискуссиях о теории гравитации. В 1957 году Фейнмана пригласили на первую Американскую конференцию по общей теории относительности в Чапел-Хилл в штате Северная Каролина. Когда он прибыл в аэропорт и собирался взять такси, оказалось, что он не знает, проводится конференция в Университете Северной Каролины или в Университете штата Северная Каролина. Поэтому он спросил таксиста, не заметил ли он каких-нибудь людей, выглядящих отрешенными и повторяющих: «Джи-мю-ню, джи-мю-ню»^{32}.

Суть уравнений Эйнштейна заключается в том, что геометрия в некоторой области пространства, выраженная тензором Эйнштейна, определяется находящейся там материей и энергией посредством тензора энергии-импульса. Другими словами, масса и энергия деформируют пространство-время, указывая ему, где и как искривляться. Геометрия пространства-времени, в свою очередь, определяет то, как движутся в нем тела. То есть уравнения Эйнштейна изящно объединили содержимое Вселенной с ее формой.

Любой тензор можно записать в терминах его компонент в виде матрицы, или таблицы. Тензор Эйнштейна и тензор энергии-импульса могут быть записаны как матрицы 4x4. У этих матриц по шестнадцать компонент, но не все они являются независимыми. Существует правило симметрии, требующее, чтобы элемент из определенной строки и столбца (например, из третьей строки и четвертого столбца) совпадал с элементом, у которого номера строки и столбца переставлены местами (в нашем примере — из четвертой строки и третьего столбца). Это похоже на зеркальную расстановку шахматных фигур относительно диагонали шахматной доски. Мы называем такие тензоры симметричными.

С учетом условия симметричности тензор Эйнштейна содержит десять независимых компонент. Так же, как и тензор энергии-импульса. Таким образом, уравнения Эйнштейна, которые связывают два тензора, дают десять независимых соотношений между компонентами. Они показывают, как материя и энергия влияют на различные характеристики пространства и времени. Некоторые из этих соотношений приводят к растяжению или сжатию. Другие — описывают скручивание или поворот. Все, что может случиться с пространством и временем из-за гравитационного воздействия вещества и энергии, содержится в этих уравнениях.

Но если уравнения Эйнштейна так просты и изящны, то почему потребовалось столько времени, чтобы их вывести? Как говорится, дьявол кроется в деталях. Вы не можете просто взять тензор Эйнштейна и непосредственно определить движения астрономических объектов, таких как планеты или звезды. То, как объекты движутся, определяется еще одним математическим объектом, который называется метрическим тензором. Переход от тензора Эйнштейна к метрическому тензору вовсе не очевиден и требует нескольких шагов.

Предположим, вам известно распределение массы и энергии в некоторой области пространства, и вы хотите определить, как в ней будут двигаться тела. Вот алгоритм расчета. Сначала используйте уравнения Эйнштейна, чтобы получить тензор Эйнштейна из тензора энергии-импульса. И тензор Эйнштейна, и связанный с ним тензор кривизны Римана (первый является своего рода сокращенной записью последнего) кодируют информацию о кривизне пространства-времени от точки к точке. Затем используйте компоненты либо тензора Эйнштейна, либо тензора Римана, чтобы построить геометрический объект, называемый аффинной связностью (или связностью Кристоффеля). Связность определяет то, как компоненты векторов (объектов, обладающих длиной и направлением) преобразуются, если вы перемещаете их параллельно самим себе от точки к точке. Далее, используйте аффинные связности, чтобы вычислить компоненты метрического тензора. Метрический тензор сшивает ткань пространства-времени, указывая, каким образом измерять расстояния между точками. Он предлагает модификацию теоремы Пифагора для искривленного пространства-времени. Наконец, используйте метрику для определения наиболее коротких путей, по которым в пространстве могут двигаться объекты. Из-за деформации пространства-времени они, как правило, будут изогнутыми, как, например, эллиптические орбиты планет вокруг Солнца.

Хотя математика общей теории относительности может напугать даже аспирантов, давайте воспользуемся аналогией, чтобы проиллюстрировать ее различные уровни. Начнем с плоской безграничной пустыни, представляющей собой пустое пространство-время. Раскидаем камни различных размеров и масс, — пусть символизируют разнообразные массивные объекты во Вселенной (например, звезды и планеты). Мы обнаружим, что более тяжелые камни будут давить на песок гораздо сильнее, чем легкие, оставляя гораздо более глубокие вмятины. А области вдали от камней останутся плоскими. Следовательно, чем большая масса находится в конкретном регионе, закодированная в тензоре энергии-импульса, тем больше эта область прогибается, демонстрируя большую кривизну, измеряемую тензором Эйнштейна.

Теперь представьте, что в нашей аналогии вы не можете ходить по песку или по камням — они слишком горячие. Поэтому нам нужно построить крепкий навес, поддерживаемый структурой, которая соответствует топографии. Мы собираем множество шестов (локальных координатных осей) и перекладин (аффинных связностей), чтобы построить каркас. Перекладины должны соединять шесты не как попало, а так, чтобы избежать пересечения отдельных перекладин. Точно так же аффинные связности определяют, как оси координат изменяются при сдвиге в пространстве в зависимости от расположения горок или ям.

Наконец, сошьем плотный навес, скроенный точно по каркасу. В некоторых местах мы должны сшить соседние лоскуты крепче, чтобы обеспечить изгиб ткани. В других местах нужно, наоборот, ослабить соединение между соседними лоскутами. Выкройка, которая определяет, как правильно прострочить навес, чтобы он точно соответствовал каркасу (и следовательно, горкам и ямам в песке), символизирует метрический тензор. Таким образом, мы видим, как метрический тензор стягивает ткань пространства-времени под управлением аффинной связности, которая в свою очередь зависит от тензора Эйнштейна, формируемого тензором энергии-импульса. Теперь понятно?

Давайте прогуляемся по нашему навесу в пространстве-времени. Нам нужен самый быстрый маршрут, поэтому мы стремимся к прямой линии. Тем не менее навес прогибается там, где под ним есть массивная группа камней, искривляя линии, которые на плоской ткани были бы прямыми. В итоге получается, что мы следуем по изогнутой линии, огибающей данную область по эллипсу. Удивительно, но мы попали на орбиту — в точности как молодой Шрёдингер, бегавший вокруг своей тети, когда они играли в планеты.

Вечная Вселенная

После того как работа над общей теорией относительности была завершена, Эйнштейн решил применить ее ко всей Вселенной в целом. Он хотел показать, что Вселенная является относительно стабильным скоплением звезд и других небесных тел. Конечно, звезды движутся, но медленно. Предложенная Эйнштейном космология придала бы ньютоновскому «абсолютному пространству» неизменность и устойчивость, без обращения к тому, что он, следуя Маху, рассматривал как фикцию.

Эйнштейн решил начать свои космологические расчеты с основного предположения о том, что пространство изотропно, то есть одинаково во всех направлениях. Чтобы задать форму пространства, он выбрал простое четырехмерное геометрическое тело, которое называется гиперсферой. Гиперсфера является многомерным обобщением сферы. Если вы живете на гиперсфере и отправляетесь в путешествие в любом направлении, вы в конечном итоге вернетесь к отправной точке, как если бы совершили кругосветное путешествие на Земле. Преимущество Вселенной, имеющей форму гиперсферы, в том, что она конечна, но не имеет границ. Только наблюдатель за пределами Вселенной заметил бы ее «поверхность». В пространстве гиперсферы нет никаких границ, только бесконечное повторение. Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес замечательно отобразил эту концепцию в своем рассказе «Вавилонская библиотека», в котором он представил космос в виде огромной, но конечной и повторяющейся коллекции книг.

Эйнштейн пытался найти статическое решение для своих полевых уравнений, но вскоре обнаружил одну проблему. Единственное решение, которое он нашел, оказалось неустойчивым. Если слегка подтолкнуть такую Вселенную, лишь чуть-чуть изменив распределение материи, она либо схлопнется, либо раздуется, как сдувающийся или надуваемый воздушный шар. Для описания вечной, стабильной Вселенной такое решение, разумеется, не годилось, а до открытия Эдвином Хабблом космологического расширения — последствий того, что мы сегодня называем «Большим взрывом», — оставалось более десяти лет. Поэтому Эйнштейн резонно полагал, что пространство должно быть статичным, и считал модели, описывающие расширяющуюся Вселенную, нефизическими.

Для исправления ситуации он пошел на довольно решительную меру и добавил дополнительное слагаемое к геометрической части своих уравнений, чтобы получить решения, заслуживающие, по его мнению, доверия. Это слагаемое называется космологической постоянной и обозначается греческой буквой лямбда (λ) — отсюда второе название этого слагаемого: лямбда-член. Оно уравновешивает гравитационную неустойчивость растягиванием геометрии пространства в противоположном (гравитационному притяжению) направлении. Эйнштейн не придавал космологической постоянной никакого физического смысла, но в то время считал ее важной для целостности своей теории.

Представьте, что в нашей аналогии с навесом в пустыне каркас, который мы построили, медленно погружается в песок. Вместо перестройки каркаса с нуля мы могли бы использовать какие-нибудь домкраты, размещенные по краям, и вытащить навес наверх. Мы бы не получили никаких архитектурных призов за наш проект, но он выполнил бы свою задачу. Точно так же лямбда-член хотя и не прибавляет изящества уравнениям, но выполняет требование сохранения космической стабильности.

В 1917 году Эйнштейн опубликовал свою модель статической Вселенной, в которой включил космологическую постоянную в полевые уравнения. Тем не менее он не мог утверждать, что его решение уникально. Голландский математик Биллем де Ситтер изящно продемонстрировал, что в отсутствие материи полевые уравнения Эйнштейна приводят к решениям, которые экспоненциально расходятся из-за наличия космологической постоянной. Модель де Ситтера показала, что до тех пор, пока существует космологическая постоянная, пустота будет неустойчивой. Так как Эйнштейн добавил космологическую постоянную в качестве временной заплатки, не основываясь на научных фактах, он не принял модель де Ситтера всерьез. Он признал, однако, что прогресс в понимании динамики Вселенной потребует гораздо более серьезных астрономических исследований. К счастью, Хаббл как раз ими занялся на большом телескопе на горе Маунт-Вилсон в Южной Калифорнии. В конечном итоге он обнаружил, что космос расширяется и не является статичным.

Предвосхищение темной энергии

Можно смело утверждать, что Эрнст Мах, умерший в 1916 году, отверг бы идею включения в уравнения общей теории относительности слагаемого, которое не имело ничего общего с чувственным опытом. Так же как Ньютон ввел абсолютное пространство, просто чтобы определить инерцию, введение Эйнштейном космологической постоянной несомненно было не маховским шагом. Другой последователь Маха — Шрёдингер — предложил свою альтернативу.

Шрёдингер впервые познакомился с полными уравнениями общей теории относительности Эйнштейна в конце 1916 года, когда командовал батареей в Прозеко во время войны^{33}. Вернувшись в Вену весной 1917 года, он обнаружил, что многие из его университетских коллег, в том числе Тиррииг, заняты поисками интерпретации и применений теории Эйнштейна. Например, совместно с австрийским физиком Йозефом Лензе, Тирринг показал, как вращающиеся объекты влияют на пространство-время вокруг них, и получил результат, известный как «увлечение инерциальных систем отсчета», или эффект Лензе — Тирринга.

В ноябре 1917 года Шрёдингер отослал в немецкий журнал Physikalische Zeitschrift две статьи, посвященные различным аспектам общей теории относительности. В первой статье рассматривался вопрос определения гравитационной энергии и импульса независимым от выбора системы координат способом. Шрёдингер исследовал решение Шварцшильда и показал, что один из способов определения гравитационной энергии приводит к удивительному результату, когда объект не обладает энергией вообще. Примечательно, что данная работа Шрёдингера предвосхитила десятилетия дискуссий о проблеме корректного определения энергии в общей теории относительности.

Во второй работе «О системе решений общековариантных уравнений гравитации» Шрёдингер обратился к вопросу о физическом смысле космологической постоянной. Он ставил под вопрос введение дополнительного слагаемого на геометрической стороне уравнений (тензор Эйнштейна), утверждая, что такого же результата можно достичь модификацией материальной стороны (тензора энергии-импульса). Как заметил Шрёдингер, «полностью аналогичная система решений существует в своей первоначальной форме без слагаемых, добавленных господином Эйнштейном. Разница поверхностная и незначительная: потенциалы остаются неизменными, только тензор энергии-импульса для материи принимает иную форму»^{34}.

Дополнительное слагаемое Шрёдингера должно было противодействовать гравитационному притяжению материи за счет добавления некоей отрицательной энергии, что приводило к нулевой эффективной плотности массы. С нулевой плотностью массы во всем пространстве Вселенная больше не будет стремиться к гравитационному коллапсу и сохранит стабильность. Шрёдингер обосновал нулевую массу, используя аргумент Маха, что наблюдать можно только избыток массы. Аргумент сродни тому, что мы замечаем черные и белые тона только тогда, когда они контрастируют с другими цветами. Мы могли бы считать совершенно черное или белое небо не имеющим никакого цвета вообще.

Вскоре Эйнштейн опубликовал ответ на космологические статьи Шрёдингера, что положило начало многолетнему научному диалогу, с многочисленными разветвлениями и неожиданными поворотами. Он отметил, что гипотеза Шрёдингера допускает два варианта: новую константу или новый тип энергии с отрицательной плотностью, которая варьируется от точки к точке. Первый случай, утверждал Эйнштейн, эквивалентен космологической постоянной, только добавленной на другой стороне уравнения. Вторая возможность, с другой стороны, была бы нефизической (потому что допускает существование отрицательной плотности энергии) и затрудняла бы анализ. Как писал Эйнштейн, «не только не следует исходить из гипотезы о существовании ненаблюдаемой отрицательной плотности в межзвездных пространствах, но также не следует постулировать гипотетический закон пространственно-временного распределения этой плотности массы. Курс, взятый господином Шрёдингером, не представляется возможным для меня, поскольку уводит слишком глубоко в гипотетические дебри»^{35}.

Интересно, что понятие субстанции с отрицательной плотностью энергии, или, в другой интерпретации, с отрицательным давлением, возникло в последние годы в качестве возможного решения одной космологической головоломки. В 1998 году две команды астрономов своими исследованиями уточнили хаббловский закон расширения Вселенной. Они обнаружили, что Вселенная не просто расширяется, а расширяется с ускорением. Неведомая сила ускоряет разбегание галактик. Космолог из университета Чикаго Майкл Тернер назвал эту силу темной энергией.

Любопытно, что предположение о существовании субстанции, противодействующей гравитации, сделанное Шрёдингером и критиковавшееся Эйнштейном, идеально подходит для описания этой силы. По этой причине историк науки Алекс Харви недавно высказал мысль, что именно Эйнштейн открыл концепцию темной энергии^{36}. «Открыл» — может быть, слишком громкое слово, учитывая, что в то время не было никакой реальной физической мотивации. Точнее, в 1917 году он предполагал, что такое вещество с отрицательной энергией могло бы быть в пространстве возможностей — но никогда не думал, что Вселенная на самом деле расширяется с ускорением из-за какой-то неизвестной субстанции. Тем не менее интересно, что основа для концепции темной энергии была заложена так давно.

Мировая известность

Первая мировая война закончилась 11 ноября 1918 года, оставив после себя до неузнаваемости изменившуюся Европу. Империи пали, границы сместились, появились новые лидеры и начали возникать предпосылки возникновения новой мировой войны. Австро-Венгерская монархия распалась на несколько государств, в том числе на Австрию (первоначально под названием «Немецкая Австрия»), Венгрию и Чехословакию. Демократическая, но сильно ослабленная Веймарская республика контролировала большую часть того, что когда-то было Германской империей. Победившие державы потребовали от Германии заплатить большую цену за столь кровавую войну. Она была вынуждена уступить часть территории, снизить численность армии и платить обширные репарации, приведшие к народным волнениям и экономической депрессии. Это способствовало приходу к власти нацистов.

Во время войны у Эйнштейна не было шансов проверить свою гипотезу об искривлении света звезд гравитацией Солнца. Неудачная экспедиция Финлей-Фройндлиха стала для него большим разочарованием. Эйнштейн начал неспешную переписку с британским астрономом Артуром Эддингтоном, который был очень заинтересован в проверке теории Эйнштейна. Согласно множеству дошедших до нас свидетельств, Эддингтон был одним из немногих людей, которые действительно понимали общую теорию относительности в то время^{37}.

Квакер и пацифист, Эддингтон (как и Эйнштейн) был противником войны и выступал за международное научное сотрудничество. Естественно, во время кровавого конфликта открытое сотрудничество между британскими и немецкими учеными было невозможно. Перемирие предоставило Эддингтону грандиозную возможность оказать помощь в проверке теории Эйнштейна и восстановить доверие между учеными обоих государств.

Эддингтон и Фрэнк Уотсон Дайсон, королевский астроном Великобритании, определили, что идеальная возможность для измерения гравитационного отклонения света возникнет 9 мая 1919 года. В этот день солнечное затмение будет происходить над частью Южного полушария в тот момент, когда Солнце будет находиться рядом со звездным скоплением Гиады. Дайсон назначил Эддингтона организатором проекта по наблюдению затмения, что, в свою очередь, помогло спасти последнего от интернирования как отказавшегося нести военную службу^{38}.

В январе 1919 года, чтобы создать репер для последующих наблюдений, Эддингтон тщательно измерил несмещенные положения звезд Гиад. Затем он организовал две экспедиции, чтобы зарегистрировать их положения на небе во время затмения. Первая команда во главе с самим Эддингтоном отправилась на Принсипи, остров в Гвинейском заливе у западного побережья Африки. Вторая группа была отправлена в Собрал, в Бразилию, как резервная команда на случай непогоды. Обе команды сфотографировали расположение звезд вокруг закрытого Луной солнечного диска и отправили свои данные в Великобританию для детального сравнения с предыдущими фотографиями. Завершив обработку данных 6 ноября, Эддингтон был рад сообщить, что угловые отклонения (примерно на 1,61 угловой секунды для Принсипи и на 1,98 угловой секунды для Собрала) были близки к величине в 1,75 угловой секунды, предсказанной общей теорией относительности Эйнштейна. При этом они были намного больше величины, вычисленной на основе ньютоновской теории, дающей всего половиyу этого значения.

На заседании Королевского общества под председательством Дайсона ученые в битком набитом зале приветствовали результаты, признавая их, наряду с выводами смещения перигелия Меркурия, важными доказательствами в пользу общей теории относительности. В эпоху политических революций результаты наблюдения затмения показали, что в науке также происходят колоссальные изменения. Англичанам было очень непросто признать всего через год после окончания войны, что немецкий физик превзошел Ньютона. Как провозгласил Томсон, «это не отдельные частные результаты… Это открытие не просто отдаленных островов, но целого континента новых научных идей наибольшей важности для некоторых из самых фундаментальных вопросов, связанных с физикой. Это величайшее открытие, связанное с гравитацией, с тех пор как Ньютон сформулировал этот принцип»^{39}.

В статье New York Times автор открытия был представлен как «доктор Эйнштейн, профессор физики в университете Праги»^{40}, что показывает, насколько мало он был известен. Не только его имя не было упомянуто, еще и неправильно было указано место работы, поскольку прошло уже более семи лет, с тех пор как он оставил свою должность в Праге.

И вот в мгновение ока Эйнштейн становится известен на весь мир. Свергнув Ньютона, он по праву становится знаменитостью. А слава в XX веке значила намного больше, чем во времена Ньютона. Новости распространяются гораздо быстрее в эпоху радио, чем в эпоху ручного печатного станка. Газеты по всему миру раструбили сообщение лондонской Times с заголовком из трех строк: «Революция в науке… Новая теория Вселенной… Идеи Ньютона повергнуты»^{41}.

Возвышенные облака чистой геометрии

Краска едва успела высохнуть на шедевре Эйнштейна, а он уже начал замечать его недостатки. Две стороны его полевых уравнений выглядели несбалансированно. Слева находилось тонкое представление геометрического рисунка гравитации. Справа все виды материи и энергии, включая энергетические эффекты электромагнитного поля, были перемешаны в тензоре энергии-импульса. Эйнштейн придавал большое значение уравнениям Максвелла для электромагнитного поля, и ему не нравилось видеть их на вторых ролях. Он пришел к мысли, что электромагнитные поля должны быть описаны на языке геометрии точно также, как и гравитация, а не включены в тензор энергии-импульса. Воспоминания о его первых шагах в геометрии в юности и любовь к геометрии, возникшая во время сотрудничества с Гроссманом и другими учеными, побудили его попытаться описать все законы природы на основании геометрических принципов.

Эйнштейн считал, что следом за специальной и общей теорий относительности необходим третий прорыв, позволивший бы завершить трансформацию законов природы и объединить электромагнетизм с гравитацией. Тогда уравнения Максвелла и теория гравитации стали бы частными случаями некоторой единой теории поля, построенной полностью на геометрических соотношениях.

Шрёдингер был согласен с Эйнштейном в том, что общая теория относительности неполна, поскольку электромагнетизм не представлен на геометрической стороне. «Мы находимся в исключительной необходимости полевых уравнений для электромагнитного поля, — писал Шрёдингер, — уравнений, которые можно было бы рассматривать как чисто геометрические ограничения структуры пространства-времени. Теория 1915 года этого не дает, за исключением случая чисто гравитационного взаимодействия»^{42}.

Поскольку Эйнштейн сконцентрировался на чистой геометрии вместо геометрии, задаваемой материальными эффектами, его интерес к экспериментальным данным уменьшился. В его статьях и докладах по общей теории относительности подчеркивалась необходимость экспериментальных проверок — через смещение перигелия Меркурия, искривление лучей света, гравитационное красное смещение, — однако из-за движения в направлении единой теории поля в его риторике стали преобладать более абстрактные аргументы. Есть некая ирония в том, что студент, который обожал лабораторию и прогуливал лекции по высшей математике, поскольку они казались ему не важными, стал сторонником математической строгости и красоты при построении теорий. Как он сказал в своей лекции «О методе в теоретической физике», «опыт остается, конечно, единственным критерием физической полезности для математических конструкций. Но творческие принципы принадлежат математике. В определенном смысле именно поэтому я убежден в том, что чистая мысль может познать реальность, о чем мечтали философы еще в античности»^{43}.

Исследователи, связанные с гёттингенской научной школой, в которой преобладал геометрический подход, помогли направить растущий интерес Эйнштейна в русло абстрактных математических конструкций. Эренфест, друг и соратник, который был Эйнштейпу почти братом, оказал на него сильное влияние. Эренфест учился в Гёттингене и посещал лекции Клейна. Он и его жена Татьяна (тоже математик), с которой он познакомился на лекциях Клейна, очень интересовались связью геометрии с физикой. Они предложили свой дом в голландском городке Лейдене в качестве убежища, куда Эйнштейн мог бы приехать из Берлина, чтобы отдохнуть от теоретических изысканий и помузицировать в тесном кругу (Эйнштейн играл на скрипке, а Эренфест — на фортепиано). Ценитель острых вопросов, которые вскрывают суть проблем, Эренфест стал для Эйнштейна, пытавшегося встроить электромагнетизм в общую теорию относительности, внимательным и критически настроенным слушателем.

Сам Клейн, хотя и был уже в отставке, проявлял интерес к концепции гравитационной энергии и импульса в общей теории относительности. Как и Шрёдингер в своей первой статье 1917года, Клейн считал, что эти величины следует определять таким способом, который не зависит от выбора координат. Все наблюдатели, утверждал он, должны измерять одинаковые значения гравитационной энергии и импульса. Клейн переписывался с Эйнштейном по этому вопросу в 1918 году. Хотя Эйнштейн не изменил свое определение, комментарии Клейна, вероятно, сподвигли его попытаться унифицировать описание гравитации и электромагнетизма. Разные определения энергии и импульса для двух взаимодействий могли рассматриваться как временная заплатка, но не как удовлетворительное фундаментальное решение.

Гильберт, лауреат премии Клейна и, без сомнения, величайший систематизатор геометрии со времен Евклида, определенно оказал значительное влияние на Эйнштейна^{44}. Эйнштейн отмечал, что формулировка общей теории относительности, предложенная Гильбертом, направлена на объединение электромагнетизма и гравитации в соответствии с идеями германского физика Густава Ми, представлявшего электрон как устойчивый пузырь в электромагнитном поле. Вслед за Ми Гильберт утверждал, что материя не существует независимо, а скорее представляет собой результат сгущения энергетических полей. Эти поля, в свою очередь, могут быть описаны геометрически. Эйнштейн поначалу отвергал аргументы Гильберта, но постепенно пришел к мнению, что геометрия более фундаментальна, чем материя.

Рассмотрение электрона и других материальных частиц как следствия геометрии похоже на объяснение веревочных узлов через изучение того, как их вязать. Представьте себе девочку, нашедшую хитро завязанный узел на клубке пряжи и считающую узел чем-то отдельным от нити. Она просит у мамы коробочку с узлами, чтобы поиграть. Мама, которая работает профессором в Гёттингене, терпеливо объясняет ей, что узлы — это не отдельные предметы, и показывает, как завязать узел, используя нить. Нить является фундаментальной, а узлы — нет. Схожим образом Гильберт и Ми предполагали, что на первом плане должна стоять геометрия полей, а их скручивания проявляют себя как частицы.

Одним из наиболее одаренных студентов Гильберта был Герман Вейль (известный друзьям как «Питер»), защитивший докторскую диссертацию в Гёттингене в 1908 году. После хабилитации в 1913 году Вейль занял пост в ЕТН в Цюрихе и на короткое время стал коллегой Эйнштейна, что дало им возможность познакомиться. В 1918 году Вейль опубликовал свой грандиозный обзор общей теории относительности и ее перспектив, названный «Пространство, время, материя», который он впоследствии несколько раз редактировал в соответствии с развитием своих идей. Он отправил одну из первых копий Эйнштейну, который назвал этот обзор «симфоническим шедевром»^{45}.

Ободренный похвалой Эйнштейна, Вейль надеялся, что новая статья под названием «Гравитация и электричество», которую он уже написал, также будет воспринята с энтузиазмом. В статье предлагался способ тонкой подстройки общей теории относительности, позволяющий включить уравнения Максвеллав качестве следствий. Он послал Эйнштейну рукопись, надеясь, что тот порекомендует ее к публикации.

Хотя поначалу Эйнштейн обрадовался тому, что Вейль, казалось, нашел способ провести тайком электромагнетизм в театр гравитации, он изменил свое мнение, когда увидел, что это вторжение испортит все представление. Идея Вейля основывалась на модификации способа параллельного переноса (процесса, при котором вектор перемещается от точки к точке, сохраняя свое направление). В стандартной общей теории относительности аффинная связность, которая определяет правила преобразования компонент векторов, и метрический тензор, который определяет интервалы в пространстве-времени (четырехмерные расстояния), связаны друг с другом определенным математическим соотношением. В нашей аналогии с навесом в пустыне роль этого соотношения играет связь между каркасом и навесом. Вейль изменил эту связь, добавив дополнительный фактор, который назвал калибровкой. Так же, как железные дороги в разных странах (к примеру, в России и Польше) могут иметь различный размер колеи, Вейль предложил изменять единицу измерения четырехмерного расстояния от точки к точке. В качестве бонуса дополнительный калибровочный фактор приводил к эффекту, эквивалентному электромагнитному полю. Однако Эйнштейн считал изменение единицы измерения нефизическим, поэтому он и не мог дать добро на такую радикальную перестройку своей теории. Вейль был очень огорчен тем, что Эйнштейн отверг его идею.

Будучи так и не использованной в общей теории относительности, идея калибровки Вейля позже нашла очень успешное применение в другой области — физике элементарных частиц. В своей современной форме калибровка, вместо реального пространства, производится в некотором абстрактном пространстве. Интерес к бозону Хиггса, необходимому для объяснения значений масс некоторых частиц, во многом связан с вейлевской концепцией калибровки.

Приключения в пятом измерении

Другой выпускник Гёттингена, финский физик Гуннар Нордстрём, предложил свой вариант единой теории в 1914 году. Она примечательна тем, что в ней впервые рассматривалось пятое измерение, дополняющее три пространственных и одно временное. Нордстрём обнаружил, что введение пятого измерения дает больше возможностей для теоретического маневра, необходимого для объединения уравнений Максвелла с гравитацией. Эта теория, однако, не основывалась на общей теории относительности, и два года спустя Нордстрём отказался от своих идей в пользу подхода Эйнштейна. Хотя нет никаких свидетельств, что Эйнштейн прислушался к Нордстрёму, но на него сильно повлияла другая пятимерная теория.

В апреле 1919 года Эйнштейн получил письмо от Теодора Калуцы, малоизвестного приват-доцента из университета Кенигсберга. (В германской академической системе приват-доцент — это лектор, который зарабатывает, продавая билеты на свои лекции, не получая жалованья от университета.) Калуца двадцать лет занимал этот пост, и ему едва хватало средств, чтобы содержать семью. Возможно, помня скромное начало своей собственной карьеры, Эйнштейн уделил его письму особое внимание, несмотря на невысокий академический статус отправителя. Хотя в то время Калуца находился очень далеко от мейнстрима, однажды он прочувствовал на себе головокружительную атмосферу Геттингена. Будучи студентом, Калуца провел там один год (в 1908-м) и познакомился с геометрическими идеями Клейна, Гильберта и Минковского. Он также встретил там Вейля^{46}. Так у Калуцы зародились идеи уникального подхода к объединению, которые дадут всходы одиннадцать лет спустя.

В письме Эйнштейну Калуца изложил мысль, которая пришла к нему как своего рода откровение. Однажды он работал в своем кабинете и вдруг понял, что при добавлении дополнительного измерения и дополнительных компонент к тензорам общей теории относительности получившаяся теория будет приводить не только к уравнениям гравитационного поля, но и к уравнениям Максвелла. Тензор Эйнштейна вместо матрицы 4x4 станет матрицей 5x5. Вместо 16 компонент, из которых 10 независимы по соображениям симметрии, тензор будет иметь 25 компонент, и 15 из них будут независимыми. Это означает, что добавятся пять независимых компонент, четыре из которых могут описывать электромагнетизм, а пятую можно просто игнорировать. Простое изменение числа измерений, казалось, давало достаточно простора для объединения. По воспоминаниям сына Калуцы, находившегося в тот момент с ним в комнате, он был так взволнован, что застыл на месте в течение нескольких секунд, а затем вскочил и начал напевать мелодию из «Женитьбы Фигаро»^{47}.

Обе схемы, Нордстрёма и Калуцы, разработанные независимо друг от друга, базировались на идее увеличения размерности пространства-времени. Для математиков или матфизиков, привыкших к пьянящему воздуху Геттингена, введение дополнительного измерения было таким же простым делом, как сложение чисел. Одно измерение для линий, два измерения для квадрата и три для куба. Добавим еще одно измерение и получим гиперкуб. Так же как куб является трехмерным объектом, ограниченным шестью квадратами, гиперкуб является четырехмерным объектом, ограниченным восемью кубами. Прибавьте к этим четырем измерениям время, и вы получите пятимерное пространство-время, в котором временному измерению обычно присваивается четвертый номер, а дополнительному пространственному измерению — пятый.

Однако экспериментаторам из мейнстрима той эпохи концепция пятого измерения представлялась чем-то заимствованным из книг Герберта Уэллса или бульварной прессы, а никак не подлинной наукой. Помимо времени, не существовало никаких видимых свидетельств наличия других измерений дополнительно к длине, ширине и высоте. Теория, использующая пять измерений, казалась такой же невероятной, как если бы учила проходить сквозь стены или добывать золото из воздуха.

Калуца опередил скептиков, использовав в своей теории цилиндрические условия, чтобы сделать прямое наблюдение пятого измерения невозможным. Также как хомячок, который бегает в колесе, никуда не сдвигается, в теории Калуцы все наблюдаемые величины не изменяются при перемещении в пятом измерении. Поскольку пятое измерение закольцовано, оно не дает заметных эффектов, кроме своего неявного воздействия, привносящего электромагнетизм в общую теорию относительности. Пятое измерение надежно спрятано за сценой, поэтому любые возражения экспериментаторов могли быть сняты.

Первой реакцией Эйнштейна было желание похвалить статью Калуцы как превосходящую статью Вейля. В отличие от теории Вейля, она не искажала известные соотношения, такие как величины пространственно-временных интервалов. Однако, выполнив ряд вычислений, основанных на теории Калуцы, Эйнштейн поскучнел. Пытаясь описать движение электронов при совместном воздействии электромагнитного и гравитационного полей, он не смог получить разумное решение. Вместо этого он столкнулся с математическим препятствием в виде сингулярностей — мест, где одна или несколько величин становятся бесконечными. Нужно было каким-то образом удалить из теории эти проблемные точки, как удаляют больной зуб.

Указав на недостаток теории Калуцы, Эйнштейн очертил новое направление для расширения общей теории относительности: создание теории движения электронов в пространстве. Боровская модель атома объясняла основные спектральные линии простых элементов, таких как водород, показывая, как квантование момента импульса и энергии ограничивает движение электронов дискретными орбитами. Однако она не предлагала полной теории движения электронов в других случаях, например при их полете в катодной трубке. Исследуя последствия различных подходов к объединению, Эйнштейн использовал дилемму электронов в качестве пробного камня.

Эддингтон был полностью согласен с Эйнштейном по поводу важности проблемы электрона. Используя теорию Вейля в качестве отправной точки, Эддингтон предложил альтернативную единую теорию, основанную на изменении аффинной связности и создании четырехмерной геометрии, отличной от геометрии Римана. И все-таки он не был уверен, что его теория адекватно объясняет движение электронов. Эддингтон писал: «При выходе за пределы евклидовой геометрии возникает гравитация; при выходе за пределы римановой геометрии возникают электромагнитные силы; что остается для дальнейших обобщений? Очевидно, это будут не те максвелловские силы, которые удерживают электрон в атоме. Но проблема электрона довольно сложна, и я не могу сказать, удастся ли с помощью данного обобщения предложить методы для ее решения»^{48}.

Встав на путь объединения, Эйнштейн столкнулся с вопросом выбора между теориями Вейля, Калуцы и Эддингтона. Хотя он не нашел удовлетворительных теорий, но заимствовал некоторые идеи, чтобы построить свои собственные модели. Все это время он также пытался описать электрон в модифицированной версии общей теории относительности.

1919 год подошел к концу, и начались «бурные двадцатые». Жизнь Эйнштейна в корне переменилась. Ему было за сорок, и возраст, когда обычно делаются главные открытия в области теоретической физики, остался позади. Тем не менее его стремление расширить свою теорию относительности до единого описания всех сил и материи только усиливалось. Он, наконец, развелся с Милевой (по иронии судьбы в День святого Валентина) на том условии, что если он когда-либо получит Нобелевскую премию, то отдаст ей все деньги. Ничто не может компенсировать потерянных надежд, но нобелевские деньги, по крайней мере, обеспечат ей комфортное существование.

После окончательного оформления развода 2 июня Альберт женился на Эльзе. Несколько месяцев спустя, после объявления Эддингтоном результатов затмения, она поняла, что обменялась клятвой верности с самым известным ученым в мире. Эльза была счастлива, стоя рядом с мужем, когда он путешествовал по всему миру, встречался со знаменитостями, принимая почести и знаки уважения.

Сделка Милевы окупилась сторицей. Эйнштейну присудили Нобелевскую премию 1921 года по физике, которую он получил в следующем году. Бывший муж Милевы оказался в центре постоянного внимания, а она и двое их сыновей отступили в тень и жили на деньги премии. Обеспечив себе хорошее положение в академической среде, прославленный и передавший все бытовые проблемы в руки Эльзы, Эйнштейн стал свободен, как орел, и был готов воспарить к величественным вершинам единой теории.