Книга теорем 2

Суперпозиционные локи

Если аксиома 1 и аксиома 6 дают возможность взаимодействия самих лок, то возникнет вопрос о законах взаимодействия между всеми объектами, если поставлены в суперпозицию несколько лок одного числа полярностей.

Пример 13.

В своё время У.Гамильтон рискнул поставить в суперпозицию три изоморфных четырёхполярных локи. Теперь это известно как «кватернионы». Удивительно, что после этого никому не пришло в голову поставить в суперпозицию несколько изоморфных двухполярных лок. Если так же как (?)*(?) = + взять (?)*(?) = +, (j)*(j) = +, (k)*(k) = +. Согласно законам такой локи будет: (?)*(j)*(k) = +, (?)*(j) = k, (?)*(k)= j, (j)*(k)=?.

Кстати, для таких «кватернионов» выполняется комутативность!

Двухполярная лока 2

Такая лока должна иметь для суперпозиции две локи 1. Так как (0)*(0) = 0 и при иной единице (Е)*(Е) = Е, то свойства их сливаются и мы получаем тождество Е? 0.

Двухполярная лока 3

В такой локе введены в суперпозицию две двухполярных локи так, что: (А)*(А) = 0, (А)*(0) = А и (В)*(В) = 0, (В)*(0) = В по условию исходных лок. Элементами в суперпозиционной локе будут три объекта А, В, 0. Для полного комплекта взаимодействий остаётся выяснить, что будет поставлено в соответствие (А)*(В)? Постановка А, или В делает эти объекты тождественными 0. Остаётся (А)*(В) = 0. Сопоставляя с исходным, получаем парадокс (А)*(А) = (В)*(В) = (А)*(В) = 0. Здесь различие между А и В теряется.

Двухполярная лока 4

Возьмём три двухполярных локи так, что в первой будет (А)*(А) = 0, во второй — (В)*(В) = 0, в третей — (С)*(С) = 0 так, что (А)*(0) = А, (В)*(0) = В, (С)*(0) = С, (0)*(0) = 0. В этой суперпозиционной локе будет четыре объекта: А, В, С, 0.

Теорема 17. В суперпозиционной локе, состоящей из трёх двухполярных лок, законы отношений между объектами будут:

а) (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = 0.

б) (А)*(В) = С; (А)*(С) = В, (В)*(С) = А.

в) (А)*(В)*(С) = 0.

Доказательство.

1. (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = 0 по условию.

2. Для (А)*(В) в соответствие можно поставить только С, так как в ином случае мы получим объекты А, В тождественные единице. Если же поставить 0, то это будет противоречить условию, где (А)*(А) и (В)*(В) соответствуют 0.

3. То же самое для (А)*(С) = В, и для (В)*(С) = А.

4. Для взаимодействия (А)*(В)*(С) нельзя поставить в соответствие А, или В, или С, так как эти объекты станут тождественными единице. Остаётся объект 0, который не создаёт противоречия в системе отношений.

Двухполярная лока 5

Пять объектов А, В, С, D, 0 образованы взаимодействием четырёх лок 5. По условию (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = (D)*(D) =0 так, что (А)*(0) = А, (В)*(0) = В, (С)*(0) = С, (D)*(0) = D, (0)*(0) = 0.

Теорема 18. В суперпозиционной локе, состоящей из четырёх двухполярных лок нельзя поставить двум объектам в соответствие третий, кроме исходных (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = (D)*(D) =0, при этом отношения между объектами будут:

а) (А)*(В)*(С) = D, (A)*(B)*(D) = C, (A)*(C)*(D) = B, (B)*(C)*(D) = A.

б) (A)*(B) = (C)*(D), (A)*(C) = (B)*(D), (A)*(D) = (B)*(C).

в) (A)*(B)*(C)*(D) = 0.

Доказательство.

1. (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = (D)*(D) =0 по условию.

2. Взаимодействию (А)*(В)*(С) нельзя поставить в соответствие кроме D объекты А, В, С, 0, так как иначе получим ещё одну единицу.

3. То же самое с взаимодействиями (A)*(B)*(D), (A)*(C)*(D), (B)*(C)*(D).

4. Взаимоотношению (A)*(B) нельзя поставить в соответствие А или В, так как получим тождество объектов с 0. Также нельзя поставит С, так как при (A)*(B) = С из (А)*(В)*(С) = D получим (С)*(С) = D, что противоречит условию.

5. Точно так же для (A)*(C), (B)*(D), (A)*(D), (B)*(C), (C)*(D).

Внимание!

В этой теореме доказано важнейшее свойство: «Найдутся такие системы отношений, когда взаимодействию двух объектов нельзя поставить в соответствие один объект».

Эта теорема наносит серьёзный удар по формальным системам науки XX века. Получилось, что привычно следующее за высказываниями умозаключение, в системах высказываний выполнимо не всегда.

Двухполярная лока 6

Суперпозиционная лока, образованная пятью простыми двухполярными локами, имеет шесть объектов А, В, С, D, E, 0. При этом по условию исходных лок (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = (D)*(D) = (Е)*(Е) =0. Причём (А)*(0) = А, (В)*(0) = В, (С)*(0) = С, (D)*(0) = D, (Е)*(0) = Е, 0)*(0) = 0.

Теорема 19. Законы отношений в суперпозиционной локе 6, состоящей из пяти лок 2, будут:

a) (А)*(В)*(С)*(D)*(E) = 0,

b) (А)*(В)*(С)*(D) = E, (А)*(В)*(С)*(E) = D, (А)*(В)*(D)*(E) = С, (А)* (С)*(D)*(E) = В, (В)*(С)*(D)*(E) = А.

c) (А)*(В)*(С) = (D)*(E), (В)*(С)*(D) = (А)*(E), (С)*(D)*(E) = (А)*(В), (А)*(D)*(E) = (В)*(С), (А)*(С)*(D) = (В)*(E), (А)*(В)* (D) = (С)* (E), (А)*(В)* (E) = (С)*(D), (В)*(С)*(E) = (А)*(D).

Доказательство.

1. Взаимодействию (А)*(В)*(С)*(D)*(E) нельзя поставить в соответствие любой из этих объектов, иначе он превращается в единицу. Остаётся 0. Это не противоречит системе.

2. Каждому из приведённых отношений в п. b) можно ставить в соответствие только оставшийся объект, кроме 0, иначе появятся дополнительные единицы. Например, взаимодействию (А)*(В)*(С)*(D) нельзя ставить в соответствие ни один объект уже имеющийся во взаимодействии, так как он тогда приобретает роль единицы. Нельзя так же ставить в соответствие 0, так как это войдёт в противоречие со взаимодействием п. а).

3. Взаимодействию трёх объектов нельзя ставить в соответствие один объект. Например, если (А)*(В)*(С) = А, или В, или С, то появляются единицы. Если (А)*(В)*(С) = D. То из доказанного (А)*(В)*(С)*(D) = E будет (D)*(D) = E, но по исходному условию (D)*(D) = 0. Такое же противоречие изначальному условию будет, если взаимодействию поставим в соответствие Е или 0.

4. Остаётся взаимодействию трёх объектов ставить в соответствие два оставшихся объекта.

Внимание! Не только двум, но и трём взаимодействующим объектам в суперпозиционной локе 6 нельзя поставить в соответствие один объект.

Примечание. В суперпозиционных локах 3, 4, 5, 6 альтернативность выбора отсутствует так, что выбор объектов может быть произвольным; от этого законы взаимоотношений в системе не меняются.

Двухполярная лока 7

Такая лока состоит из шести лок 2, а, следовательно, в ней будет семь полярных объектов А, В, С, D, E, F, 0.

Теорема 20.

В суперпозиционной локе 7 законы отношений при взаимодействии объектов будут:

a) (А)*(В)*(С)*(D)*(E)*(F) = 0,

в) Всей совокупности взаимодействующих объектов (не считая 0) без одного будет поставлен в соответствие отсутствующий в этой совокупности объект. Например, (А)*(В)*(С)*(D)*(E) = F,

с) Взаимодействию трёх объектов можно поставить в соответствие только три объекта. Например, (А)*(В)*(С) = (D)*(E)*(F),

d) Не каждому взаимодействию трёх объектов можно поставить в соответствие единицу. Например, если примем (А)*(В)*(С) = 0, то (D)*(E)*(F) = 0, но (А)*(В)*(D)? 0.

е) Взаимодействию двух объектов можно поставить в соответствие четыре объекта, не входящих в это взаимодействие. Например, (А)*(В) = (С)*(D)*(E)*(F).

Доказательство.

Каждый из пунктов а), в), c), d), e) доказывается так, что если мы всё же ставим, вопреки написанному в теореме, некоторый объект, то получим противоречие, приводящее к тому, что все объекты в локе тождественные.

Например:

1. если для (А)*(В)*(С)*(D)*(E) ставим в соответствие А, или другой объект, то получаем этот объект тождественным единице;

2. если для (А)*(В)*(С) поставим в соответствие D, то совокупность (А)*(В)*(С)*(D)*(E)*(F) = 0 выразится как (D)*(D)*(E)*(F) = 0. Но (D)*(D) = 0 по условию. Значит, (E)*(F) = 0. Однако по условию (Е)*(Е) = 0. Получили F? 0.

3. если для взаимодействия любых четырёх объектов (С)*(D)*(E)*(F) поставим в соответствие один отсутствующий, то (С)*(D)*(E)*(F) = А. Тогда в (А)*(В)*(С)*(D)*(E)*(F) = 0 получим (А)*(В)*(С)*(А) = 0. Но (А)*(А) = 0 по условию. Приходим к (В)*(С) = 0, что противоречит (В)*(В) = 0.

Теорема 21.

В суперпозиционной локе 7 выбор объекта для постановки в соответствию взаимодействующим двум объектам влияет на законы отношения между взаимодействующими тремя и парно объектами.

1. Если взаимодействию (А)*(В) двух любых объектов поставим в соответствие один объект С, то (А)*(В) = С. Тогда во взаимодействии четырёх объектов (С)*(D)*(E)*(F) будем иметь (А)*(В)*(D)*(E)*(F) = (А)*(В) = С. Иначе (D)*(E)*(F) = 0. Но тогда из (А)*(В)*(С)*(D)*(E)*(F) = 0 получим (А)*(В)*(С) = 0.

2. Из (А)*(В)*(С) = 0 имеем (А)*(В) = С, (А)*(С) = В, (В)*(С) = А. Соответственно из (D)*(E)*(F) = 0 имеем (D)*(E) = F, (E)*(F) = D, (D)*(F) = E.

3. Если же выберем, например, (А)*(В) = F, то (А)*(В)*(F) = 0, откуда (А)*(В) = F. Однако в предыдущем мы имели (А)*(В) = С.

Примечание.

Начиная с первой, до суперпозиционной локи 7, не появлялись изоморфные локи. В локе 7 количество их будет соответствовать числу объектов. Семь изоморфных лок содержат одинаковые законы отношений для взаимодействия шести, пяти, четырёх объектов. Изоморфизм начинается от выбора взаимодействий по три объекта так, что выбранным «тройкам» можно поставить в соответствие единицу. Или изоморфизм мы наметим, выбирая по желанию постановку в соответствие двум объектам третий.

Двухполярная лока N

В суперпозиционных локах наблюдаются закономерности:

1. Взаимодействию всех элементов из числа лок можно поставить в соответствие только единицу: (А)*(В)*… *(N) = 0.

2. Любому числу взаимодействующих объектов можно поставить в соответствие оставшееся число объектов: (А)*(В)*(С)*…*(Х) = (Y)*(Z)*….*(N).

3. Постановка в соответствие двум объектам третьего возможна, когда взаимодействию всех трёх объектов ставится в соответствие единица, тогда (X)*(Y)*(Z) = 0, (X)*(Y) = Z, (X)*(Z) = Y, (Y)*(Z) = X.

4. Если число лок кратно трём, то каждым трём объектам можно ставить в соответствие единицу. Например, для (А)*(В)(C)*(D)*(E)*(F)*(G)*(H)*(I) = 0, будет (А)*(В)(C) = 0, (D)*(E)*(F) = 0, (G)*(H)*(I) = 0.

Теорема 22.

Если в суперпозиционной локе N общее число входящих лок 2 кратно трём, то взаимодействию каждых трёх различающихся выбранных объектов можно поставить в соответствие единицу, так, чтобы при этом в каждой «тройке» не присутствовал объект от других «троек».

Доказательство.

1. Если (А)*(В)*(С) = 0, …., (X)*(Y)*(Z) = 0, …, (L)*(M)*(N) = 0, то это не будет противоречить тому, что (А)*(В)*… *(N) = 0, так как частичная или полная совокупность таких взаимодействующих «троек» будет соответствовать условию (А)*(В)*(С)*…* (X)*(Y)*(Z) = (K)*(L)*….*(N).

2. Так как любую «тройку» можно заменить единицей, то взаимодействие остальных объектов не нарушается.

Теорема 23. Если в число слагающих суперпозиционную локу N двухполярных лок кратно трём, то постановка в соответствие двум объектам третьего возможна только в каждой «тройке».

Доказательство.

1. Если (А)*(В)*(С) = 0 и любое другое взаимодействие трёх объектов (X)*(Y)*(Z) = 0, то (X)*(Y) = Z не вносит противоречие, так как в любом числе взаимодействий, заменяя (X)*(Y), получим (Z)*(Z) = 0, что соответствует условию.

2. Если берём объект А из любого (А)*(В)*(С) = 0 и находим его в (А)*(Y)*(Z) = 0, то из (А)*(В)*(С) = (X)*(Y)*(Z) получим, заменой А = (Y)*(Z), (А)*(В)*(С) = (А)*(X), то есть (В)*(С) = Х. Однако из (А)*(В)*(С) = 0 будет (В)*(С) = А.