Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

3 Дети и C²₅: история одной задачи

В этой главе использованы материалы моей статьи «Дети и C²₅» в журнале «Знание — Сила», № 2 за 1986 год.

Читатель уже мог заметить, что в наших занятиях, скажем, теорией вероятностей, нет ни определений, ни формул, ни теорем — ни даже арифметических подсчётов. Термин «теория вероятностей» используется просто за неимением лучшего. Ну, а что же тогда есть, если все эти стандартные математические ингредиенты отсутствуют?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно задать другой: а откуда вообще возникла теория вероятностей? Где её источник? Ясно: как и многие другие науки, как даже сама арифметика, теория вероятностей возникла из наблюдений над определёнными явлениями реального мира, а именно, над случайными, непредсказуемыми явлениями. Так вот, как раз такие наблюдения, предшествующие науке, вполне можно проводить вместе с детьми. Не любые, конечно, лишь самые простые. Да дети и сами, без нас, этим занимаются — например, тогда, когда играют в игры с использованием игральной кости (кубика с написанными на нём очками от 1 до 6). В наших силах, однако, чуть-чуть выпятить, самую малость подчеркнуть вероятностную природу их наблюдений, а также познакомить их с тем, что вероятностный мир тоже несёт в себе значительное многообразие. Можно, например, вместо кубика предложить детям кособокий многогранник, чтобы они увидели, как игра становится «несправедливой»: одни цифры выпадают чаще, чем другие. Или можно придумать игру, в которой требуется считать сумму очков на двух костях. Здесь тоже дети рано или поздно заметят, что, скажем, сумма 7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2. В такого рода деятельности мы не ограничены ничем, кроме собственной фантазии и реальных возможностей реальных детей. Если дети поняли что-то, если какое-то зерно запало в разум — очень хорошо. Если нет — неважно; тогда, значит, мы «просто играли».

Попробую сформулировать ещё раз. Нас интересует не наука сама по себе как готовый продукт деятельности прошлых поколений, а те предварительные, предшествующие ей наблюдения, которые когда-то послужили толчком к её появлению.

В этой главе я хочу рассмотреть более подробно один пример. В главе 1 рассказывалось об одном занятии; в этой главе речь пойдёт об одной задаче. Всего одна задача — а сколько она даёт поводов для размышлений!

Задача эта относится к области комбинаторики. Когда-то такую науку проходили в школе, в девятом классе (имеется в виду школа-десятилетка). Потом сочли очень трудной (вспомните хотя бы такое пугало, как бином Ньютона!) и из программы исключили. А все трудности старшеклассников состояли попросту в том, что им приходилось сразу начинать с формул, не пощупав ничего руками. В данном случае выражение «пощупать руками» надо понимать буквально. Ведь в комбинаторике речь идёт о подсчёте количества тех или иных комбинаций предметов. Только самих предметов-то и нет — их надо вообразить, и комбинации тоже. Вот если бы начать с комбинирования реальных кубиков, фишек… Но кто же станет этим заниматься в девятом классе!

Мы рассаживаемся вокруг мозаики. Задание такое: надо построить «бусы» — цепочку из пяти фишек, в которой две фишки должны быть красными, а оставшиеся три — синими. Это, разумеется, можно сделать разными способами. Так вот, наша задача как раз и состоит в том, чтобы перебрать все способы и при этом избежать повторений. По науке эти последовательности называются сочетаниями из пяти элементов по два; их количество в отечественной литературе обозначается C²₅, в англоязычной — и равно оно 5∙4/2 =10.

Ничего этого, конечно, дети не знают и на наших занятиях не узнают. Они просто строят бусы — по очереди, один за другим. Каждый результат проверяется всеми вместе — действительно ли он новый или совпадает с каким-нибудь из построенных ранее. Порой и спорим. Например, на рис. 34 изображено одно решение или два разных?

Рис. 34. Одинаковы ли эти бусы?

На самом деле спорить тут не о чем: мы можем договориться, что эти решения разные, а можем — что одинаковые. Получатся две разные задачи, и обе вполне интересны. Но более лёгкая из них та, в которой эти бусы считаются разными, и я предлагаю так и считать.

В конце концов мы доходим до 10 решений.

Главный вопрос комбинаторики — сколько всего имеется решений. Но мальчики ещё очень далеки от него. Они вообще пока не видят разницы между «это невозможно» и «у меня не получается», и выражают твёрдую уверенность в том, что уж я-то могу построить и одиннадцатое решение, и двенадцатое, и вообще сколько захочу. Приходится взяться за дело мне самому. Ребята перебирали свои решения как попало, без всякой системы. Зато я демонстрирую образец систематичности: перебираю решения в строго определённом порядке. Сначала ставлю одну красную фишку на первое место, а вторую — поочерёдно на второе, третье, четвёртое, пятое места. Когда эта серия исчерпана, ставлю первую фишку на вторую позицию и т. д. Вы думаете, это производит впечатление? Ни малейшего. Единственное, что они поняли — это то, что у меня тоже ничего не вышло. (Как бы ещё не подорвать свой авторитет…) Отличить одно решение от другого они уже могут, а вот отличить порядок от беспорядка им пока не по силам. Надо отложить эту задачу эдак на полгодика. (А пока, может быть, приучать их аккуратно складывать все игрушки на свои места. Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?)

Прошло полгода, а может и больше, и задача появляется снова. Разумеется, я меняю её физическое оформление. Каждый получает листок, на котором нарисованы сцепленные друг с другом кружочки, по пять штук в каждом ряду (рис. 35).

Рис. 35. Эти бусы изображены на бумаге; в каждой цепочке нужно закрасить две бусинки, но так, чтобы все бусы получились разными.

Таких рядов заготовлено штук по пятнадцать — на случай неизбежных ошибок и повторений. Задача состоит в том, чтобы в каждой цепочке два кружочка закрасить, а остальные три оставить пустыми. Чемпионом будет тот, кто найдёт больше всего решений. И ещё одна деталь, на первый взгляд пустячная. Я даю всем ребятам фломастеры разных цветов, а в дальнейших обсуждениях этот факт старательно игнорирую: каждый раз два кружка можно закрашивать любым цветом. Дети не всегда понимают, какая деталь является важной, а какая не имеет отношения к делу, и я пытаюсь, как могу, подчеркнуть чисто комбинаторную природу задачи. Помнится, в другой группе я вместо кружков рисовал то пять квадратов, то пять треугольников и т. п.

Несколько минут самостоятельной работы (показывающей, между прочим, что задача на бумаге труднее задачи на мозаике — и это несмотря даже на прошедшие полгода), затем шумный обмен мнениями и результатами. Теперь у всех по 10 решений.

— А вы помните, у нас уже была один раз очень похожая задача?

Ведь вот как легко промахнуться, подставив свою точку зрения вместо ребячьей! Что значит похожая? Мне как-то казалось само собой разумеющимся, что похожая задача — это та, в которой тоже фигурировали сочетания из пяти предметов по два. А дети решили, что похожая — это когда они тоже что-то рисовали фломастерами. Не люблю подсказывать, но на этот раз приходится. Мальчики с радостью хватаются за мозаику, строят бусы на ней и даже сами догадываются сверить решения на мозаике и на листочках. Кто-то вспоминает, что в прошлый раз тоже получилось 10 решений. Это, наконец-то, повод для первого сомнения:

— А что, и правда больше нельзя построить?

Я загадочно улыбаюсь и перехожу к другому заданию…

Кажется, я набрёл на золотую жилу. Или лучше сказать — на нового Протея. Эта задача допускает необычайное обилие непохожих друг на друга физических обличий; поэтому к ней можно возвращаться множество раз. Вот, например, как выглядит очередной вариант. В порядке очереди каждый из участников получает листок клетчатой бумаги, на котором нарисован прямоугольник размером 3x4 клетки. (Секундный спор о том, квадрат это или нет, после чего можно формулировать условие задачи.) Итак, требуется нарисовать все возможные дороги из левого нижнего угла в правый верхний, но при одном условии: из каждой клетки можно передвигаться только направо или вверх (рис. 36). Если вам, уважаемый читатель, не совсем ясно, как связана эта задача с предыдущей, потерпите немного — сейчас всё разъяснится.

Рис. 36. Найти все пути из левого нижнего угла в правый верхний.

Работа кипит — чувствуется возросшая квалификация моих «математиков»: и ошибок меньше, и все 10 решений найдены довольно быстро. (А меж тем мы того и гляди наткнёмся на новый подводный камень: мальчики уже начинают привыкать к тому, что во всех комбинаторных задачах ответом служит число 10. Не в этот раз, но в другой кто-то из них так и сказал: «Задача про 10». Надо срочно принимать меры — т. е. давать задачи с другим количеством решений.) Я, наконец, задаю главный вопрос: чтобы пройти из угла в угол листочка, сколько шагов надо сделать направо и сколько вверх? Увы, осечка. Я считаю шагом переход из клетки в соседнюю, а ребята — любой прямолинейный отрезок. Надо договориться о том, как правильно понимать слово «шаг». Договариваемся. Ну теперь-то уж ответ очевиден? Опять нет! Я в недоумении. После занятия обдумываю причину. А ведь и в самом деле, вопрос казался мне простым только по недомыслию. Ведь именно на этом свойстве — что количество шагов по горизонтали и по вертикали одинаково для всех путей — основано координатное представление векторов, т. е. тот факт, что при сложении векторов их координаты тоже складываются. Отчётливо помню, как когда-то меня, уже достаточно взрослого, поразило это свойство векторов. На его основе можно сделать хорошую серию задач и с её помощью даже дать намёк на отрицательные числа, если допускать шаги назад, но подсчитывать их со знаком минус. (Кажется, эта идея так и осталась нереализованной.)

Ну а пока, на занятии, мы старательно подсчитываем шаги: оказывается, каждая дорожка содержит ровно три шага направо и ровно два шага вверх. Поэтому на следующем занятии мы решаем «новую задачу»: пишем последовательности букв ВВППП, ВПВПП, ВППВП и т. д. — в каждой три буквы П и две буквы В. По замыслу каждая буква П означает шаг направо, а буква В — шаг вверх (рис. 37).

Рис. 37. Шаг вправо обозначается буквой П, шаг вверх — буквой В.

Надо было видеть то волнение, которое охватило ребят, когда я показал им эту связь! Они немедленно потребовали разрезать листок, на котором написаны наши пятибуквенные слова, и, отталкивая друг друга, стали прикладывать каждое слово к соответствующей дорожке. Я остаюсь сторонним наблюдателем, однако пытаюсь невзначай подкинуть ещё одну мысль.

— Может быть, мы заодно ещё какие-нибудь решения найдём, — говорю я. — Одиннадцатое, двенадцатое…

Один лишь Женя откликается на мои слова:

— Нет, — говорит он. — Ведь здесь десять и там тоже.

— Но, может быть, они разные? Здесь одни десять решений, а там другие?

К этому моменту, однако, все бумажки уже разложены, и наши надежды не оправдались: обе группы по 10 решений в точности соответствуют одна другой, или, как говорят математики, находятся во взаимно однозначном соответствии. Как тем не менее важно хотя бы на мгновение усомниться в результате, чтобы потом ощутить его как результат!

Сейчас, на волне энтузиазма, можно продвинуться чуточку дальше.

— А скажите, ребята, можно было обозначить шаги направо и вверх другими буквами? Не П и В, а другими?

— Конечно! Какими хочешь можно.

— Ну, какими, например?

— Например, А и Б, — говорит Петя.

— Или, например, твёрдый знак и мягкий знак, — это Дима.

— Или, например, — говорю я, — шаг направо обозначить плюсом, а шаг вверх — запятой.

— О-о-о! — хохочут мальчики.

— Или, — продолжаю я бесстрастным тоном, — шаг направо обозначать белым кружком, а шаг вверх — закрашенным.

— Как это?

— А вот так.

Я беру ту дорожку, что на рис. 37, беру соответствующее ей слово ППВПВ — и рисую рядом «бусы», показанные на рис. 38.

Рис. 38. Вместо буквы П рисуем белый кружок, вместо буквы В — закрашенный.

И в наступившей паузе — паузе перед взрывом — ещё успеваю соединить свои кружочки линиями, придав им окончательное сходство со второй задачей. Узнали! Тут ошибиться нельзя: озарение сопровождается радостным воплем и чуть ли не плясками. На столе всё смешивается, и продолжать дальше становится решительно невозможно. Пора кончать занятие. Теперь можно отступить примерно на месяц, отвлечься, позаниматься другими задачами. Пусть идея уляжется, пустит корни. К тому же однотипные задачи могут надоесть.

Мы приближаемся к финишу. На столе пять коробок из-под спичек и два шарика: нужно класть эти два шарика в две коробки, оставляя остальные три коробки пустыми (рис. 39). И чтоб не повторяться.

Рис. 39. Два шарика нужно положить в пять коробок разными способами. Главная трудность теперь в том, что нужно помнить все уже использованные ранее варианты: ведь физически они на столе больше не присутствуют.

Работа начинается вполне бойко, но уже на четвёртом или пятом шаге возникает ожесточённый спор, было уже такое решение или нет. Мальчики обращаются ко мне как к арбитру, но я делаю вид, что тоже не помню. Разумеется, с моей стороны это «домашняя заготовка»: вполне можно было набрать достаточное количество коробочек и шариков, разложить коробочки по пять в ряд, и получилась бы в точности та же задача, что и раньше. А сейчас каждое решение приходится сравнивать с теми, которые «были да сплыли». Как же быть?

Между прочим, далеко не каждый ребёнок сообразит, что делать в такой ситуации. Нужно обозначить одним значком пустую коробку, другим — коробку с шариком, и все найденные решения записывать. Но за этим скромным словечком «обозначить» прячется грандиозная идея, родившаяся и выросшая вместе с человеческой цивилизацией. Достаточно вспомнить во многом ещё загадочную историю возникновения письма, эволюцию пиктограмм в иероглифы, иероглифов — в алфавитное письмо и т. д.

Сколько существует на свете математика, она всегда занималась изобретением и усовершенствованием систем обозначений — сначала для чисел, потом для арифметических операций, для переменных, и далее — для всё более и более абстрактных сущностей. Уже в XX веке учение о знаковых системах осознало себя в качестве самостоятельной науки — семиотики.

К более серьёзному разговору об использовании знаков мы ещё вернёмся в главе 5 (стр. 115). Пока же скажу лишь то, что на нашем кружке я всегда старался не только решать отдельные задачи, но и формулировать, хотя бы для себя самого, какие-то более общие цели. Знакомство с семиотической идеей — одна из таких «сверхзадач». Мы не раз обсуждали то, что числа обозначаются цифрами, звуки речи — буквами, а, скажем, музыкальные звуки — нотами. Вспоминали и другие системы знаков, например, дорожные знаки. Так что эта идея для моих кружковцев уже не совсем новая. Вот мальчики и предлагают рисовать решения. Поначалу они и в самом деле пытаются делать что-то вроде реалистических рисунков; очевидно, они находятся пока на пиктографическом уровне. Но это трудно, и довольно скоро мы переходим на иероглифический уровень: рисунки становятся более абстрактными — теперь пустая коробка обозначается квадратом, а заполненная — квадратом с кружком внутри. Я предлагаю в последнем случае рисовать просто кружок. Очередное препятствие: дети не умеют рисовать аккуратно, и нарисованный ими круг не всегда легко отличить от квадрата. Я делаю ещё одно предложение: рисовать круг с крестом. Теперь, после всех этих эволюций, одно из решений выглядит так, как на рис. 40.

Рис. 40. Первая, вторая и четвёртая коробки пусты, в третьей и пятой лежит по шарику.

— А почему крестом?

— А какая разница, как обозначать, — отвечаю я. Это я пытаюсь равнодушным пожиманием плеч ещё раз намекнуть на ту идею, про которую специалист по семиотике сказал бы что-нибудь вроде: «Относительная самостоятельность знака по отношению к означаемому и его (в известных пределах) произвольность».

Между прочим, получившаяся задача в одном отношении сложнее предыдущих: теперь каждое новое решение нужно сравнивать не с другими решениями, а с их условными обозначениями. На этот раз мальчики находят всего 9 решений, и после нескольких безуспешных попыток приходят к выводу, что больше решений нет.

И вот, наконец, наступает минута моего триумфа, та, которую я так долго ждал и так упорно готовил. Петя вдруг восклицает, тыча пальцем в лист бумаги:

— Ой, смотрите! Пэ, вэ, пэ, вэ, пэ!

Дима вскакивает очень взволнованно:

— Да, да, папа, я уже давно хотел тебе это сказать!

— Значит, должно быть ещё одно решение, — подхватывает Женя.

— А давайте, — предлагает Дима, — принесём решение той задачи и найдём, чего не хватает.

У детей всегда — сказано — сделано: он уже бежит в кабинет, чтобы искать там нужные решения. Ходить, однако, далеко не приходится. Подобно известному роялю в кустах, конверт с решениями всех предыдущих задач оказался здесь же, на столе.

Мы обсудили, какой из вариантов — с буквами, с дорожками или с бусами — удобнее для нас, и выбрали бусы. Во время работы случился небольшой конфуз. Когда мы раскладывали полоски с «бусами», одна из них случайно перевернулась на 180°. В результата одно из прежних решений пропало, а другое, ему симметричное, оказалось повторённым дважды. Мы едва не запутались.

Почему-то все ребята как один были убеждены, что недостающий вариант обязательно окажется последним. Тем не менее тот факт, что он вышел уже четвёртым, нисколько их не обескуражил. Они положили шарики в соответствии с этим новым вариантом, продиктовали мне рисунок десятой строчки, а потом разложили остальные бусы — каждые к своему рисунку. А я закончил задание с чувством абсолютного триумфатора.

То, что произошло сегодня, кажется мне крайне важным. Мы не просто решили задачу. Мы решили её путём сведения к другой, изоморфной ей и уже ранее решённой задаче. Это — важнейшая общематематическая идея, и разве не чудо, что нашёлся такой материал, на котором эту идею удалось продемонстрировать шестилеткам? Да к тому же так, что они сами до неё додумались!

События на нашем кружке меняются с головокружительной быстротой. Не успели мы разобраться с одной великой идеей, как тут же на подходе другая. Как-то сам собой возникает вопрос: почему каждый раз получается ровно 10 решений? Их в самом деле больше не существует, или мы просто не сумели их найти? Как доказать, что их всего десять?

Итак, доказательство. Центральное понятие для всей математики, я бы даже сказал — формообразующее, выделяющее математику из всех других наук. Представление о том, что является доказательством и что не является, эволюционировало на протяжении веков и обрело современный вид лишь приблизительно на рубеже XIX–XX веков. Математикам прошлых эпох, даже самым великим, казались вполне убедительными такие рассуждения, которые сейчас с негодованием отвергнет любой школьный учитель. Если вдуматься, мы имеем дело с очень странным явлением. Почему какие-то абстрактные и порой совершенно «потусторонние» рассуждения делают для нас то или иное утверждение более убедительным? Один очень умный старшеклассник задал учителю такой вопрос:

— То, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, совершенно очевидно — можно убедиться на примерах. Тем не менее нам этот факт доказывают. С другой стороны, то, что электрическое напряжение равно силе тока, умноженной на сопротивление, нисколько не очевидно. Однако этот факт нам почему-то не доказывают, а только иллюстрируют опытами. Почему?

Такой вопрос — редкость. Большинство школьников воспринимают доказательства как некий принятый в математике ритуал. В математике так полагается, и всё тут. Как тут не вспомнить один исторический анекдот, относящийся, кажется, к XVIII веку. Один человек, бравший уроки математики, будто бы сказал своему учителю:

— К чему все эти туманные рассуждения! Ведь вы же дворянин, и я тоже. Дайте мне честное слово, что теорема верна — мне этого вполне достаточно.

Но не то же ли самое происходит с нами, когда мы читаем, скажем, учебник истории? Никаких доказательств, одни лишь «формулировки теорем»: было так, было там, было тогда. Точка. И вот оказывается, что «честное слово дворянина» — в данном случае автора учебника — вполне достаточно для того, чтобы всему поверить. На самом деле каждодневная работа математика не так уж сильно отличается от работы историка. Это иллюзия — полагать, что математик находит доказательство и на этом успокаивается, ибо в подавляющем большинстве случаев он производит на свет ложные доказательства. Но он видит, что тем же методом можно доказать, скажем, и иное, заведомо ложное утверждение — и он продолжает поиск, ищет ошибки, ищет противоречия, ищет другие пути к цели. Он осваивает новую область. И успокаивается только тогда, когда все части, все детали картины приходят в согласие друг с другом. Примерно такой же гармонии деталей, их согласованности друг с другом ищет и историк, да и любой исследователь. А потом в учебнике нам покажут только кратчайший путь из А в В. Стоит ученику сбиться с этого пути, «свернуть направо на один светофор раньше», и он попадает в совершенно незнакомый район и уже не знает, как оттуда выпутаться. В то время как специалист хорошо знает не только кратчайший путь, но и все окрестности — недаром же он их излазил вдоль и поперёк.

Однако дискуссия на эту тему увела бы нас слишком далеко. Поэтому вернёмся к детям. Материала, на котором можно знакомить детей с идеей доказательства, не так уж много, но он всё же существует. Например, задачи типа «четвёртый — лишний» с неоднозначными ответами. В них важно не только дать ответ, но и правильно его объяснить. Решали мы также и задачи такого типа: доказать, что мы видим глазами, а слышим ушами, но не наоборот (доказательство: если закрыть глаза, мы перестаём видеть, а если закрыть уши, перестаём слышать); доказать, что облака ближе к земле, чем солнце (доказательство: облака заслоняют солнце); доказать, что мы думаем головой, а не животом. Я сам так и не сумел придумать убедительного решения этой задачи[13]; на кружке же я предложил вот какое: если человеку отрубить голову, он перестаёт думать. Мне возражали, но никто не сказал, что то же доказательство проходит и для живота.

Ну а что могло бы послужить доказательством в нашей комбинаторной задаче? Ясно, что это должен быть упорядоченный перебор возможностей, т. е. такой перебор, при котором мы были бы абсолютно уверены, что ничего не пропустили. Год назад мальчики эту идею не восприняли. Может быть, сейчас они уже созрели?

Вернёмся к тому обсуждению, рассказ о котором мы прервали на полуслове. Итак, как же убедиться, что, кроме найденных десяти решений, других нет? Дима:

— Нужно много лет пробовать, и если ничего не найдёшь, значит, и нет.

Я возражаю:

— А вдруг всё-таки есть?

Женя пессимистично заявляет:

— Я больше ничего найти не смогу.

Петя спрашивает у меня, действительно ли я сам не знаю, сколько будет решений, или я-то знаю точно, а спрашиваю только для разговора. Признаюсь, что сам я знаю точно. Тогда мальчики вообще перестают понимать, чего мне ещё надо. Выручил меня Дима. Он произнёс какую-то фразу… Откровенно говоря, я не очень уловил его мысль, и не очень вдумывался, так как думал в этот момент о своём. Но во фразе, которую он сказал, фигурировали слова «самая левая коробочка». Я за них ухватился и поспешил интерпретировать всю фразу в нужном мне направлении. Итак: возьмём первый шарик и положим в первую, самую левую коробочку. Куда теперь можно положить второй шарик? Это ясно: в одну из оставшихся, т. е. во вторую, в третью, в четвёртую и в пятую. Итого получаем 4 решения. Исчерпав все те решения, когда первый шарик лежит в первой коробочке, положим его во вторую. И опять для второго шарика остаётся 4 пустых места: мы можем его положить в любую из четырёх коробочек, оставшихся пустыми. Теперь кладём первый шарик в третью коробочку и т. д. Одним словом, мы получаем 5 раз по 4 решения, то есть… 20 решений! Вот так раз! Мальчики в полном ошеломлении, а я как можно скорее сворачиваю все дела и заканчиваю занятие.

Ну, уж на этот-то раз я бил без промаха. Теперь наверняка все будут думать и разбираться, почему для правильного ответа число 20 ещё следует разделить пополам.

[Эх, чёрт побери! Обидно. Этот невыносимо честный Дима (нынешний) заставляет меня признаться, что я тут слегка приврал. Выдал желаемое за действительное. Я потом ужасно огорчался, что не сообразил поступить на кружке именно так, как написано выше. В реальности вместо этого я объяснил детям, почему будет именно 10 решений, а вовсе не 20, и почему, положив первый шарик во вторую коробку, уже не нужно класть второй шарик в первую. Жаль, красивая история пропала.

После этого был ещё долгий спор с Димой. Я сам его не запомнил и в дневник не записал, но вот что потом вставил туда он сам:

Так что, может, я и зря расстраивался. И без того понять мои рассуждения было трудно, а тут бы я нагромоздил одну трудность на другую.]

Хочу рассказать об одной беседе с Димой. Ему 5 лет и 9 месяцев. Задним числом немножко странно, что с таким в общем-то маленьким мальчиком можно вести разговоры на такие серьёзные темы. Однако же вот — есть дневник… (С некоторых пор я стал записывать не только то, что происходило на кружке, но и какие-то смежные истории.)

Началось всё с несколько неожиданной и посторонней для нас темы: есть ли Бог? Я обычно уклонялся от прямого ответа (которого я, впрочем, и не знаю), думал — вот вырастет и сам решит для себя этот вопрос. Стратегия не очень успешная, так как общался он не со мной одним. Вот и сейчас — он уже от кого-то узнал, что «Бога нет, потому что его никто не видел». Я, как всегда, увёл разговор в свою сторону. Я сказал, что если дело обстоит таким вот именно образом, то он никак не сможет меня убедить в том, что существует мечта (её ведь никто не видел, не правда ли?).

Дима сделал несколько подходов.

— А у тебя какая есть мечта?

Я ответил, что никакой мечты у меня нет.

— Ну, а что ты больше всего на свете хочешь?

Я отвечал, что ничего не хочу.

— Но ты ведь хочешь, чтобы я вырос умным?

Это уже было явное моральное давление, но я устоял: сказал, что вообще ничего не хочу, и всё тут.

На некоторое время он задумался; потом задал тот вопрос, из-за которого я, собственно, эту историю здесь и рассказываю: он спросил у меня, как вообще можно других людей в чём-то убедить.

— Есть разные способы, — ответил я. — В математике, например, придумывают доказательства.

— Как это? — спросил Дима.

Я напомнил ему нашу совсем ещё свежую историю про 10 решений и про то, как мы старались сделать наш перебор систематическим, чтобы быть твёрдо уверенными, что мы ничего не пропустили.

— А в физике, — сказал я, — делают опыты.

— A-а, понятно.

(К тому времени мы уже читали книгу Л. Л. Сикорука «Физика для малышей» и производили некоторые из описанных в ней опытов.)

— Вот, например, такой вопрос: какие предметы падают быстрее — лёгкие или тяжёлые?

— Конечно, тяжёлые падают быстрее.

— Ты так думаешь. А другой человек может сказать, что все предметы падают одинаково быстро.

— Ну-у, нет!

— А почему нет?

— Ну, ведь если мы возьмём камень и лист бумаги, то камень упадёт быстрее.

— Вот видишь: чтобы убедить этого другого человека, что он неправ, ты сделаешь опыт, верно? Возьмёшь камень и лист бумаги и посмотришь, что упадёт быстрее.

— Да.

— А теперь давай сделаем другой опыт.

Идею этого опыта мне подсказал кто-то из друзей. Сначала мы берём два одинаковых листа бумаги, и они, разумеется, падают одинаково медленно. После этого я комкаю один из листов и скатываю его в плотный комок. Я хочу спросить, какой из двух листов теперь упадёт быстрее, но Дима меня опережает.

— А теперь вот этот (он показывает на комок) стал тяжелее.

— Почему!?!

— Потому что он упадёт быстрее.

Вот, оказывается, как обстоит дело.

Для того, чтобы физический опыт мог вас в чём-то убедить, нужно сначала, чтобы ваша логика развилась до такого уровня, когда вы осознаете недопустимость логических кругов. Без логики никакие выводы из наблюдений сделать невозможно. Что же из них первично, а что вторично? Понятия не имею! Видимо, они вырастают вместе в каком-то симбиозе…

Я, однако, не унимаюсь. Мы продолжаем бросать в паре всё, что попадается под руку: пуговицу и большой тяжёлый лист ватмана; пуговицу и гирю; пластмассовый пустотелый кубик и деревянный кубик того же размера, и т. п. Дима обескуражен результатами. Попытался было предположить, что пуговица тяжелее листа ватмана, но быстро отказался от этой идеи перед лицом её очевидной нелепости.

— Значит, бывает по-разному. Иногда лёгкие вещи падают быстрее, а иногда тяжёлые.

Он уже почти готов удовлетвориться такой квазитеорией. И вдруг — эврика:

— A-а, понимаю, папа! Это ему воздух мешает падать.

— Кому?

— Лист большой, и ему воздух мешает падать, не пускает его. А пуговица маленькая, ей воздух меньше мешает.

— Правильно! А если бы воздуха не было, что бы тогда было?

— Тогда бы все падали одинаково.

— Молодец. А когда я лист бумаги скомкал в комочек, что произошло?

Дима подбирает слова, чтобы сформулировать ответ. Я не выдерживаю и отвечаю за него:

— Воздух ему перестаёт мешать.

— Нет, — поправляет меня Дима, — не перестаёт, а начинает меньше мешать.

Читатель уже знает, что один из моих ведущих принципов — это никогда не «внедрять» в ребёнка свою точку зрения, даже намёком. Но в иерархии принципов есть ещё один, более важный: никогда не следовать безоглядно ни одному принципу. Может быть, сейчас — удобный момент проявить гибкость? С явным намёком на «единственно правильный ответ» я указываю ещё раз на скомканный лист бумаги и говорю:

— И что, разве он действительно становится при этом тяжелее?

Дима смеётся вместе со мной: мол, ну надо же было сморозить такую глупость! Он отвечает:

— Ну конечно же нет! Может быть, только совсем немножечко тяжелее.

Вечером, записывая эту беседу в дневник, я обдумываю её ещё раз. Я неожиданно осознаю одно обстоятельство, которое раньше от меня ускользало. То, что мы произвели, не является в точном смысле слова физическим экспериментом. Эксперимент — это вопрос, заданный природе, с неизвестным заранее ответом. А в нашем случае Дима знал все ответы заранее. Не обязательно было реально бросать гирю с пуговицей — собственный опыт жизни ребёнка в окружающем его физическом мире оказывался вполне достаточным, чтобы правильно предсказать результат этого опыта. Можно сказать, что ни один из опытов не сообщил ему ничего нового — если говорить только о фактах. Новым было лишь сопоставление и упорядочение известных фактов. По существу, мы произвели то же самое доказательство путём перебора логических возможностей, которое раньше проделали с шариками в коробочках. Данная ситуация проливает некоторый дополнительный свет на то, почему в обучении так полезны вопросы. С помощью вопросов мы помогаем ребёнку сопоставить те элементы его жизненного опыта, которые до этого существовали как бы отдельно — лежали в кладовке памяти на разных полках и никак друг с другом не соприкасались.

* * *

Летом мы снимали дачу в Подмосковье, и к нам в гости приехал Петя. Мальчики вспоминали, как они недавно ходили в зоопарк, и как им показывали обезьян. Я вмешался в их разговор и сказал, что это не им показывали обезьян, а их показывали обезьянам. Такая инсинуация с моей стороны не могла не вызвать решительный протест, но они не сразу нашли, что ей противопоставить.

— Мы на них смотрели.

Такой аргумент разбить легче лёгкого:

— Ну и подумаешь, смотрели! Они тоже на вас смотрели.

Второй аргумент был гораздо серьёзнее:

— Мы можем ходить где хотим, а обезьяны не могут. Они в клетке сидят.

Но я и на это нашёл, что возразить.

— Нет, вы ходите не где хотите. Например, вам нельзя ходить внутри клетки. А обезьянам нельзя снаружи. Просто есть решётка, и обезьяны ходят где хотят с одной стороны решётки, а вы — с другой.

Так мы ещё спорили некоторое время, и вдруг Дима воскликнул радостно, как бы поймав меня на подвохе:

— Ой, папка! Ведь это же мы опять математикой занимаемся!

Интересная эволюция… На самом первом занятии кружка дети бросились наперегонки считать разложенные на столе пуговицы. Тогда они именно так представляли себе математику — это когда считают. Теперь математика стала для них чем-то вроде логической игры в стиле Льюиса Кэрролла.

* * *

Немного жаль, что я лишил следующую главу некоторых из её наиболее лакомых кусочков. Но, во-первых, хотелось показать материал в новом разрезе: читателю трудно было бы самостоятельно уследить за развитием сюжета, прыгая от раздела к разделу. И, во-вторых, то, что я рассказываю в начале этой главы, относится к незаписанному периоду, т. е. вообще осталось бы за кадром. Будем надеяться, что кое-что интересное для следующей главы ещё осталось.