Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Примечания

1

Вот (неполный) список других сюжетов, которые он изучал: логика, время, движение и скорость, пространство, геометрия, случайность, восприятие, рассуждения подростков, воображение, речь, нравственные суждения ребёнка, причинность, классификация и многое другое.

2

Боюсь, что читатели уже забыли, сколько стоили билеты в ту эпоху: автобус и метро — 5 копеек, троллейбус — 4 копейки, трамвай — 3 копейки.

3

Все наши мальчики занимались английским языком. Уроки английского им давала Алла, и порой мы использовали одни и те же картинки.

4

В. Г. Житомирский, Л. Н. Шеврин «Геометрия для малышей» (М. Педагогика, 1975). К тому же жанру можно отнести книги Л. Л. Сикорук «Физика для малышей» (М. Педагогика, 1983) и Е. И. Левитан «Малышам о звездах и планетах» (М. Педагогика, 1986). Мне больше всех понравилась «Физика» Сикорука. Все три книги превосходно иллюстрированы. Не знаю, переиздавались ли они с тех пор.

5

Здесь имеется в виду Женя — младшая сестрёнка Димы; ей в этот момент чуть больше года.

6

Наташа — мама Жени; упоминаемая ниже Люда — мама Андрюши. Родители почти всегда присутствовали на занятиях — ведь занятия длились недолго, а детей надо было потом забирать и уводить домой. С одной стороны, меня это довольно сильно сковывало: я никогда не чувствовал себя на кружке полновластным хозяином ситуации и не мог дать волю эмоциям; с другой — служило к росту моей «славы»: родители ранее и не подозревали, что математикой можно заниматься так интересно и разнообразно.

7

Люда, Андрюшина мама — преподаватель музыки.

8

Катя — мама Пети.

9

Образ Андрюши, который предстаёт из этих заметок, совершенно не соответствует действительности. Всё из-за того, что пропущены первые 20 занятий, на которых он был таким же полноценным и активным участником, как и остальные.

10

Через год пошли в школу Петя и Женя, но мы всё же продолжали заниматься, пока ещё через год в школу не отправился Дима.

11

Имеется в виду Р. М Фрумкина. Мы часто советовались с ней по самым разным поводам, и этот случай был одним из них.

12

Виталий — папа Пети.

13

Видимо, такого решения и не существует. Сравнительно недавно я узнал, что древние египтяне, приготавливая мумии, аккуратно сохраняли для будущей жизни все органы человека, и только один мозг выбрасывали за явной ненадобностью.

14

Типичный случай не только не помню точной ссылки, но даже и — о каком журнале идет речь Читатель должен постоянно иметь в виду, что я ни в какой момент не считал себя профессионалом раннего обучения, так что и занимался этим делом не систематически, а как бог на душу положит

15

Реалии тех лет начинают забываться. Я ходил на работу три раза в неделю — остальные два дня были «библиотечными». Но иногда наступал аврал — особенно к концу года, когда надо было писать отчеты Кроме того, я, как и очень многие в моем положении, подрабатывал репетиторством

16

Степан Пачиков, наш близкий друг; в дальнейшем — организатор Московского детского компьютерного клуба и компьютерной фирмы ПараГраф. Живёт в США.

17

Напомню — этот текст писался в 1981 году.

18

Венгерский математик, специалист по теории вероятностей. В аспирантуре учился в Москве. Век буду ему благодарен за его подарок.

19

Золтан П. Дьенеш — один из лидеров «активного», т. е. основанного на конкретной деятельности, математического образования. Сейчас блоки Дьенеша можно заказать по Интернету.

20

Действительно, я и диссертацию защитил скорее по своей собственной задаче, чем по задаче моего руководителя… — Дима.

21

Женин папа.

22

Прогресс компьютерных технологий идет так быстро, что порой ощущаешь себя настоящим ископаемым ведь мне еще довелось в молодости работать на вычислительных машинах с перфолентами! На практике это означает вот что работаешь на телеграфном аппарате, который пробивает отверстия в длин ной бумажной ленте, после двух часов работы сделаешь одну единственную ошибку — и твою ленту можно выбрасывать После этого перфокарты воспринимались как технологическое чудо вместо того, чтобы выбрасывать всю колоду, можно было заменить только одну ошибочную карту С перфокартами была другая проблема, которой не было с перфолентой если уронишь колоду карт на пол, как потом собрать их в правильном порядке Описания всех этапов этой истории хватило бы на целую статью.

23

Значок означает «существует», а значок — «для всех» или просто «все».

24

Логические связки, означающие «и», «или», «не» и «влечёт».

25

Одна из учениц Ж. Пиаже.

26

Я уже давно не видел российских букварей и не знаю, как они сейчас выглядят. Так что пишу я о том букваре, который был принят в школе 15–20 лет назад.

27

Ровно в тот день, когда я работал над корректурой этой главы, я позвонил Григорию Ефимовичу Крейдлину. Среди прочего, я узнал от него, что другие лингвисты подхватили эстафету, и за прошедшие более 20 лет понимание слова «даже» значительно расширилось и углубилось. То есть на самом деле мы решаем задачу ещё более сложную, чем я предполагал, когда об этом писал.

28

Clara Claiborne Park «The Siege. The First Eight Years of an Autistic Child», Little, Brown and Company, 1967.

29

Oliver Sacks «An Anthropologist on Mars», Vintage Books, 1996; «The Man Who Mistook His Wife for a Hat», HarperCollins, 1985.

30

Steven Pinker, «The Language Instinct. How the Mind Creates Language», HarperPerennial, 1994.

31

Наш близкий друг, математик. Ныне — профессор одного из американских университетов.

32

Я хочу сделать здесь одно важное замечание. В дальнейшем тексте будет ещё много инвектив и филиппик в адрес школы. Я не хочу их убирать: именно так я тогда думал и так чувствовал. Однако несколько позже я приобрёл собственный — совсем небольшой — опыт работы в школе. Я не хочу сказать, что моя точка зрения кардинально изменилась; но она очень сильно обогатилась большим количеством дополнительных нюансов и более ясного понимания школьных проблем. Проблемы эти столь трудны, что мне сегодня кажется почти чудом тот факт, что школа умудряется решать хотя бы даже небольшую их часть. При этом она в очень большой степени лишена моральной поддержки со стороны общества. От авторов вроде меня учителя не слышат в свой адрес ничего кроме критики. Увы.

33

Г. И. Глейзер «История математики в школе, IV–VI классы», М.: Просвещение, 1981; то же, VII–VIII классы, 1982; то же, IX–X классы, 1983. Поразительно! Полез на полку за книгами, чтобы дать точную ссылку — а там лежат закладки на тех же местах!

34

М. Веннинджер «Модели многогранников», М.: Мир, 1974. У изображённых в книжке фигур очень смешные названия: малый битригональный додекоикосододекаэдр, большой кубокубооктаэдр, квазиромбокубооктаэдр, большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр и т. п.

35

Г. А. Гальперин не только прекрасный математик (ныне — профессор Чикагского университета), но ещё и страстный любитель всевозможных задач на смекалку.

36

В. П. Труднев «Считай, смекай, отгадывай!» (М.: Просвещение, 1964).

37

Петина младшая сестричка/

38

С. Пейперт «Переворот в сознании: дети, компьютеры и плодотворные идеи» (М.: Педагогика, 1989.)

39

Напиток.

40

Об устройстве этой системы я прочитал в уже упоминавшейся ранее (стр. 138) книжке Глейзера для IV–VI классов. Позже из более солидных источников я узнал, что на самом деле система записи чисел у майя была несколько сложнее: кроме основания 20 в ней важную роль также играло число 18. Но к нашему рассказу это прямого отношения не имеет.

41

Задача о площадях «косых квадратов» оказалась необычайно богатой, но более подходящей для детей постарше В 1989 году в детском компьютерном лагере в Переславле Залесском мы с группой ребят 10–14 лет прозанимались этой темой две недели Она сама собой вывела нас сначала на теорему Пифагора, потом на задачу Эйлера о том, когда треугольные числа равны квадратным (нужно, чтобы из одного и того же числа камешков можно было сложить треугольник и квадрат), отсюда к уравнению Пелля (решить в целых числах уравнение х² — 2у² = 1) и, наконец, к конкурсу на наибольшую пифагорову тройку чисел (целые числа а, Ь, с такие, что a² + b² = с²) Конкурс выиграл, как ни странно, мальчик Митя 9-ти лет Позже, по мотивам этих занятий, Митя задал нам вопрос о том, можно ли сложить из одного и того же количества шаров пирамиду и куб. Эта задача сводится к совсем уж серьезной математике, которую даже, что кроме 1 таких чисел нет.

42

Эта задача впоследствии стала очень знаменитой и получила множество разнообразных названий (например, «сиракузская задача») По сей день она так и остается нерешенной.

43

С помощью компьютера проверено, что эта гипотеза верна по крайней мере до 2,7∙10¹⁶

44

Обычно в письменных вступительных вариантах давали пять задач: три лёгких, четвёртую потруднее и пятую — трудную.

45

Решение. Нужно разложить число 36 на три сомножителя всеми возможными способа ми 1 1 36, 1 2 18, 1 3 12, 1 4 9, 1 6 6, 2 2 9, 2 3 6, 3 3 4. Потом посчитать суммы этих со множителей 1 + 1 + 36 = 38, 1 + 2 + 18 = 21 и т. д. Оказывается, все эти суммы — разные, и только сумма 13 появляется два раза 1 + 6 + 6 = 2 + 2 + 9 = 13. Поскольку второй математик, посчитав скамейки, сказал, что данных недостаточно, мы делаем вывод, что сумма как раз равна 13 (иначе данных было бы достаточно). Информация, извлеченная из фразы «мой старший сын — рыжий», состоит в том, что имеется старший сын. Значит, ответ — 2, 2, 9 (во втором варианте — 1, 6, 6 — старшего сына просто нет).

46

Галя — мама Дины.

47

Катя — мама Сани

48

Младшая сестренка Дины

49

Моя племянница.