Приключения Мистера Томпкинса

Глава 4 Лекция профессора об искривленном пространстве, гравитации и вселенной

Леди и джентльмены!

Сегодня я намереваюсь рассмотреть проблему искривленного пространства и ее связь с явлениями гравитации. Не сомневаюсь, что каждый из вас без труда может представить себе искривленную линию (кривую) или искривленную поверхность, но при упоминании об искривленном трехмерном пространстве ваши лица вытягиваются и вы склонны думать, что это нечто весьма необычное и почти сверхъестественное. Почему искривленное пространство вызывает всеобщий «ужас»? Действительно ли понятие искривленного пространства труднее для понимания, чем понятие искривленной поверхности? Многие из вас, поразмыслив немного над этими вопросами, вероятно, скажут, что представить искривленное трехмерное пространство труднее по одной-единственной причине: мы не можем взглянуть на пространство «со стороны», как мы смотрим на искривленную поверхность шара, или, если обратиться к другому примеру, на такую особым образом изогнутую поверхность, как седло. Но те, кто так говорят, обрекают себя на незнание строго математического смысла кривизны, существенно отличающегося от общеупотребляемого значения этого слова. Мы, математики, называем поверхность искривленной, если свойства геометрических фигур, начерченных на ней, отличны от свойств фигур на плоскости, и измеряем кривизну отклонением от классических правил Евклида. Если вы начертите треугольник на плоском листе бумаги, то, как известно из элементарной геометрии, сумма его внутренних углов равна двум прямым. Вы можете изогнуть этот лист бумаги, придав ему форму цилиндра, конуса или какой-нибудь более сложной фигуры, но сумма углов начерченного на нем треугольника неизменно будет оставаться равной двум прямым углам.

Геометрия поверхности не меняется при этих деформациях и с точки зрения «внутренней» кривизны получающиеся поверхности (искривленные в обычном смысле) такие же плоские, как обычная плоскость. Но вы не можете наложить лист бумаги, не растягивая его, на поверхность сферы или седла, а если вы начертите треугольник на поверхности сферы (т.е. построите сферический треугольник), то простые теоремы евклидовой геометрии выполняться не будут. Например, треугольник, образованный северными половинами меридианов и заключенной между ними дугой экватора, имеет два прямых угла при основании и произвольный угол при вершине.

Возможно, вы удивитесь, когда узнаете, что на седловидной поверхности сумма углов треугольника, наоборот, всегда меньше двух прямых.

Таким образом, чтобы определить кривизну поверхности, необходимо изучить геометрию на этой поверхности. Взгляд же извне на поверхность часто бывает ошибочным. Глядя на поверхность извне, вы скорее всего отнесли бы поверхность цилиндра к тому же классу, что и поверхность обручального кольца. Между тем первая поверхность плоская, а вторая неизлечимо искривлена. Как только вы привыкните к этому новому строгому понятию кривизны, у вас не будет более никаких трудностей в понимании того, что имеют в виду физики, рассуждая о том, искривлено или плоско пространство, в котором мы живем. Проблема заключается только в выяснении того, подчиняются или не подчиняются обычным правилам евклидовой геометрии геометрические фигуры, построенные в физическом пространстве.

Но поскольку мы говорим о реальном физическом пространстве, нам необходимо прежде всего дать физическое определение терминов, используемых в геометрии, и, в частности, указать, что мы понимаем под прямыми, из которых построены фигуры.

Думаю, все вы знаете, что прямую чаще всего определяют как кратчайшее расстояние между двумя точками. Прямую можно построить, либо натянув нить между двумя точками, либо с помощью какого-нибудь эквивалентного, но более сложного процесса, установив опытным путем линию между двумя данными точками, вдоль которой минимальное число раз укладывается мерный стержень данной длины.

Чтобы показать, что результаты построения прямой с помощью такого метода зависят от физических условий, представим себе большую круглую платформу, равномерно вращающуюся вокруг своей оси [3], и пусть экспериментатор Э2 пытается найти кратчайшее расстояние между двумя точками на краю платформы. У экспериментатора имеется коробка с огромным числом стержней, каждый длиной 5 дюймов, и он пытается выложить из минимального числа этих стержней линию, соединяющую две данные точки А и В. Если бы платформа не вращалась, то наш экспериментатор расположил бы стержни вдоль штриховой линии между точками А и В. Но из-за вращения платформы его мерные стержни претерпевают релятивистское сокращение, о котором я рассказал вам в моей предыдущей лекции, причем те из них, которые расположены ближе к краю платформы (и, следовательно, обладают большими линейными скоростями), сокращаются сильнее, чем стержни, расположенные ближе к центру. Ясно, что для того чтобы каждый стержень покрывал как можно большее расстояние, стержни необходимо располагать как можно ближе к центру. Но поскольку оба конца линии закреплены на краю платформы, сдвигать все стержни от середины линии слишком близко к центру невыгодно.

В результате наш физик достигнет некоего компромисса между этими двумя условиями, и кратчайшее расстояние будет в конце концов представлено кривой, слегка выпуклой в сторону центра.

Если наш экспериментатор вместо отдельных стержней натянет между двумя данными точками А и В нить, то результат, как нетрудно понять, получится прежним, поскольку каждый отрезок нити претерпевает такое же релятивистское сокращение, как отдельные стержни. Я хочу особо подчеркнуть, что релятивистская деформация натянутой нити, происходящая, когда платформа начинает вращаться, не имеет ничего общего с обычными эффектами центробежной силы. Релятивистская деформация остается неизменной, как бы сильно ни была натянута нить, не говоря уже о том, что обычная центробежная сила действует в противоположном направлении.

Если наблюдатель, находящийся на платформе, вздумает проверить результат своих построений, сравнив полученную «прямую» с лучом света, то он обнаружит, что свет действительно распространяется вдоль построенной им линии. Разумеется, для наблюдателей, стоящих у платформы, луч света вообще не будет искривлен. Они будут интерпретировать результаты движущегося наблюдателя путем суперпозиции, или наложения, вращения платформы и прямолинейного распространения света. Они скажут вам, что если вы нанесете царапину на вращающуюся граммофонную пластинку, двинув рукой по прямой, то царапина на пластинке, конечно же, будет искривленной.

Но для наблюдателя, находящегося на вращающейся платформе, название «прямая» для построенной им кривой вполне разумно: эта кривая дает кратчайшее расстояние и совпадает с лучом света в системе отсчета нашего наблюдателя. Предположим, что он выбрал на краю платформы три точки и соединил их прямыми, построив тем самым треугольник. Сумма углов в этом треугольнике меньше двух прямых, из чего наш наблюдатель заключает (и совершенно справедливо), что пространство вокруг него искривлено.

Рассмотрим другой пример. Предположим, что два других наблюдателя на платформе (Э3 и Э4) решили оценить число пи, измеряя длину окружности платформы и ее диаметр. На мерный стержень наблюдателя Э3 вращение не влияет, поскольку движение стержня всегда перпендикулярно его длине. С другой стороны, мерный стержень наблюдателя Э4 всегда будет сокращен, и для длины окружности платформы этот наблюдатель получит большее значение, чем в случае невращающейся платформы. Деля результат, полученный наблюдателем 4, на результат, полученный наблюдателем 3, мы получим значение, превышающее значение пи, обычно приводимое в учебниках. Это также является следствием кривизны пространства.

Вращение влияет не только на измерения длин. Часы, расположенные на краю платформы, будут двигаться с большей скоростью и, как было показано в предыдущей лекции, их ход замедлится по сравнению с ходом часов, установленных в центре платформы.

Если два экспериментатора (Э4 и Э5) сверят часы в центре платформы, а затем экспериментатор Э5 на какое-то время отнесет свои часы на край платформы, то по возвращении в центр он обнаружит, что его часы отстают по сравнению с часами, все время остававшимися в центре платформы. Из этого экспериментатор Э5 сделает вывод, что в различных местах платформы все физические процессы идут с различными скоростями. Предположим теперь, что наши экспериментаторы остановились и немного поразмыслили над причиной необычных результатов, только что полученных ими в геометрических измерениях. Предположим также, что вращающаяся платформа закрыта со всех сторон и представляет собой вращающуюся комнату без окон, чтобы экспериментаторы не могли наблюдать свое движение относительно окружающих предметов. Могли бы в этом случае экспериментаторы объяснить все полученные результаты чисто физическими условиями на платформе без учета ее вращения относительно «твердой основы», на которой установлена платформа?

Глядя на различия между физическими условиями на платформе и на «твердой основе», посредством которых можно было бы объяснить наблюдаемые изменения в геометрии, наши экспериментаторы сразу же заметили бы, что существует какая-то новая сила, которая стремится отбросить все тела от центра платформы к ее окружности. Вполне естественно, что они приписали бы наблюдаемые эффекты действию этой силы, утверждая, например, что из двух часов те будут идти медленнее, которые расположены дальше от центра в направлении новой силы.

Но действительно ли эта новая сила нова, т. е. не наблюдаема на «твердой основе»? Разве мы не наблюдаем, как все тела притягиваются к центру Земли силой, которая получила название силы тяжести? Разумеется, в одном случае мы имеем притяжение к окружности диска, в другом — притяжение к центру Земли, но это означает только различие в распределении силы. Нетрудно, однако, привести другой пример, когда «новая» сила, порождаемая неравномерным движением системы отсчета, выглядит точно так же, как сила тяжести в этой лекционной аудитории.

Предположим, что космический корабль, предназначенный для межзвездных перелетов, свободно летит где-то в космическом пространстве настолько далеко от различных звезд, что внутри корабля сила тяжести не действует. Все предметы внутри космического корабля и сами путешествующие в нем экспериментаторы невесомы и свободно плавают в воздухе примерно так же, как Мишель Ардан и его спутники во время путешествия на Луну в знаменитом романе Жюля Верна.

Но вот двигатели включены и космический корабль приходит в движение, постепенно набирая скорость. Что происходит внутри него? Нетрудно видеть, что пока космический корабль ускоряется, все предметы внутри него обнаруживают стремление двигаться к полу, или, что то же, пол движется навстречу этим предметам. Например, если наш экспериментатор держит в руке яблоко и выпускает его, то яблоко продолжает двигаться (относительно окружающих корабль звезд) с постоянной скоростью — той самой, с которой двигался космический корабль, когда экспериментатор выпустил из рук яблоко. Но космический корабль ускоряется. Следовательно, пол кабины, двигаясь все быстрее и быстрее, в конце концов догонит яблоко и стукнет его. С этого момента яблоко останется в постоянном контакте с полом, будучи прижато к полу постоянно действующим ускорением.

Но для экспериментатора, находящегося внутри космического корабля, все выглядит иначе: яблоко «падает» с каким-то ускорением и, ударившись об пол, остается лежать на полу, придавленное к нему собственным весом. Бросая различные предметы, наш экспериментатор заметит, что все они падают с совершенно одинаковым ускорением (если пренебречь трением о воздух) и вспомнит, что это — закон свободного падения, открытый Галилео Галилеем. Но наш экспериментатор так и не сможет заметить ни малейшего различия между явлениями, происходящими в движущейся с ускорением кабине космического корабля и обычными явлениями гравитации. Он может пользоваться маятниковыми часами, ставить книги на полку, не боясь, что те улетят прочь, и повесить на гвоздь портрет Альберта Эйнштейна, который первым указал на эквивалентность ускорения системы отсчета и гравитации и на этой основе развил так называемую общую теорию относительности.

Но тут, как и в первом примере с вращающейся платформой, мы замечаем явления, оставшиеся неизвестными Галилею и Ньютону, когда те изучали гравитацию. Луч света, посланный через кабину, искривляется и освещает в зависимости от ускорения космического корабля каждый раз другое место экрана, висящего на противоположной стене. Разумеется, внешний наблюдатель интерпретирует это как суперпозицию равномерного прямолинейного движения света и ускоренного движения кабины, где производятся наблюдения. Геометрия также нарушается: сумма углов треугольника, образованного тремя лучами света, будет больше двух прямых углов, а отношение длины окружности к диаметру — больше числа пи. Мы рассмотрели лишь два из простейших примеров ускоренно движущихся систем отсчета, но установленная выше эквивалентность остается в силе для любого движения твердой или деформируемой системы отсчета.

Тут мы подходим к вопросу величайшей важности. Как мы только что видели, в ускоренно движущейся системе отсчета может наблюдаться ряд явлений, оставшихся неизвестными для обычного гравитационного поля. Существуют ли эти новые явления, такие как искривление луча света или замедление часов, и в гравитационных полях, порождаемых тяжелыми массами? Или, иначе говоря, существуют ли эффекты ускорения и эффекты гравитации, которые не только очень похожи, но и тождественны? Разумеется, ясно, что хотя с эвристической точки зрения весьма соблазнительно принять полное тождество этих двух разновидностей эффектов, окончательный ответ может быть дан только с помощью прямых экспериментов. И к величайшему удовлетворению нашего человеческого разума, требующего простоты и внутренней непротиворечивости законов Вселенной, эксперименты подтверждают существование новых явлений, о которых идет речь, и в обычном гравитационном поле. Разумеется, эффекты, предсказываемые гипотезой об эквивалентности полей ускорения и гравитационного поля, очень малы. Именно поэтому они и были открыты только после того, как ученые специально занялись их поиском.

Используя приведенный выше пример ускоренно движущихся систем отсчета, мы можем легко оценить два наиболее важных релятивистских гравитационных явления по порядку величины: изменение скорости хода часов и искривление луча света.

Рассмотрим сначала пример с вращающейся платформой. Из элементарной механики известно, что на частицу с единичной массой, расположенную на расстоянии r от центра, действует центробежная сила, вычисляемая по формуле

(1)

где омега — постоянная угловая скорость вращения нашей платформы.

Полная работа, совершаемая этой силой при движении частицы от центра до края платформы, равна величине

(2)

где R — радиус платформы.

Согласно сформулированному выше принципу эквивалентности мы должны отождествить центробежную силу F с силой тяжести на платформе, а работу W — с разностью значений гравитационного потенциала в центре и на краю платформы.

Напомним, что, как было показано в предыдущей лекции, часы, движущиеся со скоростью u, замедляют свой ход в

(3)

Если скорость u мала по сравнению со скоростью света с, то остальными членами можно пренебречь. По определению угловой скорости получаем r = R*омега, и «коэффициент замедления» можно представить в виде

(4)

Формула (4) показывает, как изменяется скорость хода часов в зависимости от разности значений гравитационного потенциала в местах расположения часов.

Если мы поместим одни часы у основания, а другие — на вершине Эйфелевой башни (высота башни 300 м), то разность значений гравитационного потенциала между ними будет так мала, что часы у подножия будут идти медленнее, чем часы на вершине башни, только в 0,99999999999997 раз.

С другой стороны, разность значений гравитационного потенциала между поверхностью Земли и поверхностью Солнца гораздо больше и порождает коэффициент замедления, равный 0,9999995, что может быть подтверждено высокоточными измерениями. Разумеется, никто не собирается помещать обычные часы на поверхность Солнца и наблюдать за их ходом! У физиков для этого имеются гораздо лучшие средства. С помощью спектроскопа мы можем наблюдать колебания различных атомов на поверхности Солнца и сравнивать их с периодами колебаний атомов тех же элементов, помещенных в пламя бунзеновской горелки в лаборатории. Колебания атомов на поверхности Солнца должны замедляться в число раз, задаваемое формулой (4), и поэтому испускаемый ими свет должен быть чуть более красноватым, чем в случае земных источников. Такое «красное смещение» действительно наблюдается в спектрах Солнца и нескольких других звезд, спектры которых легко поддаются измерениям, и результаты экспериментов согласуются со значением, которое дает наша теоретическая формула.

Таким образом, существование красного смещения доказало, что процессы на Солнце происходят действительно несколько медленнее, чем на Земле, из-за более высокого гравитационного потенциала на поверхности Солнца.

Чтобы измерить кривизну луча света в гравитационном поле, более удобно воспользоваться примером с космическим кораблем (с.51). Если l — расстояние от одной стенки кабины до другой, то время, за которое свет преодолевает это расстояние, определяется величиной

(5)

За это время космический корабль, двигаясь с ускорением g, пройдет расстояние L, величина которого может быть вычислена по формуле

(6)

известной из элементарной механики. Следовательно, угол, задающий изменение направления луча, есть величина порядка

(7)

Угол ф тем больше, чем больше расстояние l, проходимое светом в гравитационном поле, В формуле (7) ускорение g космического корабля может быть интерпретировано как ускорение силы тяжести. Если я посылаю луч света через эту аудиторию, то величину l можно считать примерно равной 1000 см. Ускорение силы тяжести g на поверхности Земли составляет 981 см/с2, и при с = 3 * 10^10 см/с мы получаем

(8)

Ясно, что при таких условиях наблюдать кривизну луча света заведомо невозможно. Но вблизи поверхности Солнца g = 27000 см/с2, а общий путь, проходимый светом в гравитационном поле Солнца, очень велик. Как показывают точные вычисления, отклонение луча света, проходящего вблизи поверхности Солнца, достигает величины 1,75». Такое отклонение наблюдали астрономы по смещению видимого положения звезд вблизи солнечного диска во время полного затмения Солнца. Вы видите, и в этом случае наблюдения подтверждают абсолютное тождество эффектов ускорения и гравитации.

Теперь мы можем снова вернуться к проблеме кривизны пространства. Как вы помните, используя наиболее разумное определение прямой, мы пришли к заключению, что геометрия, возникающая в неравномерно движущихся системах отсчета, отличается от геометрии Евклида и что пространства с такой геометрией следовало бы считать искривленными. Поскольку любое гравитационное поле эквивалентно некоторому ускорению системы отсчета, это означает, что любое пространство с гравитационным полем является искривленным пространством. Сделав еще один шаг вперед, можно утверждать, что гравитационное поле есть не что иное, как физическое проявление кривизны пространства. Таким образом, кривизна в каждой точке пространства должна определяться распределением масс, и вблизи тяжелых тел кривизна пространства должна быть максимальной. Я не могу вдаваться здесь в весьма сложную математическую теорию, описывающую свойства искривленного пространства и их зависимость от распределения масс. Упомяну только о том, что кривизна пространства, вообще говоря, описывается не одним числом, а десятью различными числами, общеизвестными под названием компонент гравитационного потенциала g и представляющими собой обобщение гравитационного поля классической физики, который ранее я обозначил W. Соответственно, кривизна в каждой точке описывается десятью различными радиусами кривизны, обычно обозначаемыми R. Эти радиусы кривизны связаны с распределением масс фундаментальным уравнением Эйнштейна

(9)

где T зависит от плотностей, скоростей и других свойств гравитационного поля, порождаемого тяжелыми массами.

В заключение лекции я хотел бы обратить ваше внимание на одно из наиболее интересных следствий из уравнения (9). Если мы рассмотрим пространство, равномерно заполненное массами, как, например, наше пространство заполнено звездами и звездными системами, то придем к заключению, что помимо случайно большой кривизны вблизи отдельных звезд пространство должно обладать вполне закономерной тенденцией к равномерному искривлению на больших расстояниях. С точки зрения математики существует несколько различных решений фундаментального уравнения Эйнштейна. Одни из них соответствуют пространству, которое замыкается и поэтому обладает конечным объемом, другие — бесконечному пространству, аналогичному седловидной поверхности, о которой я упоминал в начале этой лекции. Второе важное следствие из уравнения (9) состоит в том, что такие искривленные пространства должны находиться в состоянии непрестанного расширения или сжатия. Физически это означает, что заполняющие пространство частицы должны были бы разлетаться или, наоборот, слетаться. Кроме того, можно показать, что в случае замкнутых пространств с конечным объемом стадии расширения и сжатия должны были бы периодически чередоваться. Такие пространства получили название пульсирующих вселенных. С другой стороны, бесконечные «седловидные» пространства постоянно находятся в состоянии сжатия или расширения.

Ответ на вопрос о том, какое из этих различных математически возможных решений соответствует пространству, в котором мы живем, должен быть найден не физикой, а астрономией, и я не буду рассматривать его здесь. Упомяну лишь о том, что все имеющиеся астрономические данные вполне определенно свидетельствуют о том, что наша Вселенная расширяется, хотя вопрос о том, не сменится ли когда-нибудь расширение сжатием, а также о конечности или бесконечности Вселенной, остается пока открытым.