Простая одержимость

Глава 1. Карточный фокус

Как и многие другие представления, это начинается с колоды карт.

Возьмем обычную колоду из 52 карт; положим ее на стол, подровняв со всех сторон. А теперь сдвинем самую верхнюю карту колоды, не пошевелив при этом ни одну из остальных карт. Насколько можно сдвинуть верхнюю карту, чтобы она еще не упала?

Ответ понятен: на половину длины карты, что мы и видим на рисунке 1.1. Если подвинуть ее так, чтобы на весу оказалось более половины карты, она упадет. Точка опрокидывания находится в центре тяжести карты, т.е. на середине ее длины.

Теперь сделаем кое-что еще. Пусть верхняя карта так и лежит, сдвинутая на половину своей длины — т.е. с максимальным нависанием, — а мы начнем осторожно сдвигать следующую карту. Насколько в сумме могут нависать две верхние карты?

Фокус состоит в том, что эти две карты надо рассматривать как единое целое. Где у этого целого находится центр тяжести? Ясно, что посередине общей длины — длины в полторы карты. Значит, центр тяжести расположен на расстоянии в три четверти длины карты от выступающего края верхней карты (см. рисунок 1.2). Суммарное нависание, следовательно, равно трем четвертям длины карты. Заметим, что верхняя карта по-прежнему свисает со второй на половину своей длины. Но две верхние карты мы сдвигали как единое целое.

Если теперь начать двигать третью карту и посмотреть, насколько можно увеличить нависание, окажется, что ее можно сдвинуть на одну шестую длины карты. Как и ранее, надо воспринимать три верхние карты как единое целое. Центр тяжести тогда расположен на расстоянии в одну шестую длины карты от выдвинутого края третьей карты (см. рисунок 1.3).

За край у нас выдвинута одна шестая третьей карты, одна шестая плюс одна четверть второй карты, а также одна шестая плюс одна четверть плюс одна вторая верхней карты, что в сумме дает полторы карты:

Это половина от длины трех карт; вторая половина находится за точкой опрокидывания. На рисунке 1.4 изображено, что у нас получилось после максимально возможного сдвига третьей карты.

Полное нависание теперь составляет одну вторую (за счет верхней карты) плюс одна четверть (за счет второй карты) плюс одна шестая (за счет третьей). Всего — одиннадцать двенадцатых длины карты. Потрясающе!

Можно ли добиться нависания, превышающего длину одной карты? Да, можно. Прямо следующая карта — четвертая сверху — при осторожном сдвигании добавит к нависанию одну восьмую длины карты. Я не буду проделывать все эти арифметические выкладки — или поверьте мне, или сделайте их сами, подобно тому как мы это только что сделали для трех первых карт. Вот чему равно полное нависание с четырьмя картами: одна вторая плюс одна четверть плюс одна шестая плюс одна восьмая — все вместе одна и одна двадцать четвертая длины карты (см. рисунок 1.5).

Если продолжать действовать в том же духе и целиком использовать всю колоду, то за счет пятидесяти одной карты накопится нависание, равное

(самую нижнюю карту сдвигать бессмысленно). Такая сумма на самую толику меньше, чем 2,25940659073334. Таким образом, мы добились полного нависания более чем в две с четвертью длины! (Рис. 1.6.)

Я был студентом, когда узнал про это. Дело было в летние каникулы, и я занимался подготовкой к следующему семестру, пытаясь несколько опередить программу. Свой вклад в оплату обучения я вносил, нанимаясь на время каникул рабочим на стройки — в Англии в те времена профсоюзы не сильно контролировали этот сектор. На следующий день после того, как я узнал про фокус с картами, мне предстояло в одиночку прибраться во внутренней части строящегося здания, где пачками хранились сотни больших квадратных потолочных панелей. Часа два я с забавлялся со стопкой из 52 панелей, пытаясь добиться нависания в две с четвертью панели. Проходивший мимо прораб застал меня глубоко погруженным в созерцание гигантской колышущейся башни, составленной из потолочных панелей, и он, я думаю, утвердился в своих худших подозрениях относительно целесообразности найма студентов.

Есть одна вещь, которую очень любят делать математики и которая оказывается очень плодотворной, — это экстраполировать, т.е. брать конкретную задачу и распространять ее выводы на более широкую область.

В нашей конкретной задаче у нас было 52 карты. Оказалось, что полное нависание составило более чем две с четвертью карты.

Но почему 52 карты? А если бы было больше? Сотня? Миллион? Триллион? А предположим, что у нас имелся бы неограниченный запас карт — какого максимального нависания мы смогли бы тогда добиться?

Сначала взглянем на нашу постепенно растущую формулу. При 52 картах полное нависание составило

Поскольку все знаменатели здесь четные, можно вынести одну вторую за скобки и переписать в виде

Если бы у нас была сотня карт, то полное нависание составляло бы

Имея в распоряжении триллион карт, мы добились бы нависания величиной в

Чтобы посчитать такое, требуется проделать немало арифметических действий, но у математиков есть способы спрямлять подобные вычисления, и я могу твердо заверить вас, что полное нависание в случае сотни карт будет лишь чуточку меньше, чем 2,58868875882, а для триллиона карт — на самую толику меньше, чем 14,10411839041479.

Полученные числа удивительны вдвойне. Во-первых, тем, что вообще удается добиться нависания в 14 с лишним карточных длин, пусть даже для этого понадобится триллион карт. Четырнадцать карточных длин — это более четырех футов, если брать стандартные игральные карты. А во-вторых, если об этом подумать, тем, что числа оказываются именно такими, а не большими. При переходе от 52 к 100 картам мы заработали дополнительное нависание лишь в одну треть длины карты (даже чуть-чуть меньше, чем в одну треть). А затем переход к триллиону — а колода в триллион стандартных игральных карт будет иметь такую толщину, что покроет большую часть расстояния до Луны, — принес нам всего лишь одиннадцать с половиной карточных длин.

Ну а если бы число карт у нас было неограниченным? Какого максимального нависания мы могли бы достичь? Замечательный ответ на этот вопрос состоит в том, что максимального нависания просто нет. Если в запасе имеется достаточное число карт, можно сделать нависание сколь угодно большим. Желаете получить нависание в 100 карточных длин? Пожалуйста, возьмите что-то около 405 709 150 012 598 триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов карт — колоду, высота которой намного превысит размеры известной нам части Вселенной. А можно сделать и большее нависание, и еще большее — настолько большое, насколько захотите, если только у вас есть желание иметь дело с невообразимо большим числом карт. Нависание в миллион карт? Пожалуйста, но, правда, количество необходимых для этого карт будет таким большим, что только для записи этого числа понадобится нормального размера книга — в этом числе будет 868 589 цифр.

Теперь нам предстоит сосредоточить свое внимание на выражении в скобках, а именно

Математики говорят, что это — ряд; ряд означает неограниченно продолжающееся суммирование членов, каждый из которых задается некоторым общим законом. В нашем случае члены ряда 1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅, ¹/₆, ¹/₇, … — это обратные величины к обычным натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….

Ряд 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + … играет в математике достаточно важную роль, чтобы иметь собственное название. Он называется гармоническим рядом.

Подведем промежуточный итог. Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела.

Грубый, но распространенный и доходчивый способ выразить то же самое — это сказать, что гармонический ряд суммируется к бесконечности:

Хорошо воспитанных математиков учат морщиться при виде таких выражений; но я думаю, что с ними вполне можно иметь дело, если знать опасности, которые вас тут подстерегают. Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен, использовал подобные выражения постоянно и весьма плодотворно. Но все же правильный, профессиональный математический термин, описывающий то, что здесь происходит, звучит так: гармонический ряд расходится.

Сказать-то я это сказал, но смогу ли я это доказать? Всем известно, что в математике каждый результат надо строго логически доказывать. Результат у нас такой: гармонический ряд расходится. Как его доказать?

Доказательство оказывается довольно простым и опирается только на самую элементарную арифметику. В Средние века его нашел французский ученый Никола Орем (ок. 1323-1382).[1] Орем заметил, что сумма ¹/₃ + ¹/₄ больше чем ¹/₂; равным образом и ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ также больше чем ¹/₂; то же верно и для суммы ¹/₉ + ¹/₁₀ + ¹/₁₁ + ¹/₁₂ + ¹/₁₃ + ¹/₁₄ + ¹/₁₅ + ¹/₁₆. Другими словами, будем брать сначала 2, потом 4, потом 8, потом 16 и т.д. членов гармонического ряда и группировать их вместе; получится бесконечное число таких групп, каждая из которых в сумме превосходит одну вторую. Полная сумма, следовательно, должна быть бесконечной. Не стоит переживать из-за того, что размеры этих групп растут очень быстро: «в бесконечности» полно места, и неважно, сколько групп мы уже образовали, следующая все равно окажется на своем месте и к нашим услугам. Всегда есть возможность добавить еще одну а это и означает, что сумма растет неограниченно.

Данное Оремом доказательство расходимости гармонического ряда, по-видимому, пролежало невостребованным в течение нескольких столетий. Пьетро Менголи передоказал этот же результат в 1647 году с помощью другого метода. Сорок лет спустя Иоганн Бернулли дал доказательство еще одним, третьим, способом, а вскоре после того старший брат Иоганна Якоб предложил четвертый способ. Судя по всему, ни Менголи, ни братья Бернулли не знали о найденном в XIV веке доказательстве Никола Орема — одном из хорошо забытых шедевров средневековой математики. Тем не менее доказательство Орема остается наиболее прямым и изящным среди всех доказательств, и его, как правило, и приводят в современных учебниках.

В рядах изумляет не то, что некоторые из них расходятся, а то, что так делают не все ряды. Когда мы складываем бесконечное число слагаемых, разве мы не вправе ожидать, что и ответ будет бесконечен? То, что это не всегда так, легко проиллюстрировать.

Возьмем линейку, на которой делениями отмечены четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. (чем дальше, тем лучше — я изобразил линейку, на которой отмечены доли в одну шестьдесят четвертую). Поставим остро заточенный карандаш у самого первого деления на линейке — нуля. Подвинем карандаш на один дюйм вправо. Теперь карандаш указывает на деление, обозначающее один дюйм, а переместили карандаш мы также на один дюйм (рис. 1.7).

Вслед за тем сдвинем карандаш вправо еще на полдюйма (рис. 1.8).

Далее сдвинем еще на четверть дюйма вправо, потом на восьмую часть дюйма, потом на шестнадцатую, на тридцать вторую и на шестьдесят четвертую. Где теперь находится карандаш, видно на рисунке 1.9.

А полное расстояние, на которое переместился карандаш, равно

что, как нетрудно посчитать, составляет 1⁶³/₆₄. Понятно, что если продолжать в том же духе, то мы всякий раз будем оказываться все ближе и ближе к двухдюймовой отметке. Точно на нее мы никогда не попадем, но нет предела тому, насколько близко к ней можно подобраться. Можно приблизиться менее чем на миллионную долю дюйма, можно на триллионную; или на триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллионную. Этот факт выражается таким образом:

Здесь имеется в виду, что слева от знака равенства выполняется суммирование бесконечного числа членов.

Важно осознать разницу между гармоническим рядом и этим новым рядом. В случае гармонического ряда сложение бесконечного числа слагаемых дало бесконечный результат. Здесь же сложение бесконечного числа слагаемых дает ответ 2. Гармонический ряд расходится. Наш новый ряд сходится.

В гармоническом ряде есть свое очарование, и он имеет прямое отношение к главной теме данной книги — Гипотезе Римана. Но вообще-то математиков больше интересуют сходящиеся ряды, нежели расходящиеся.

Предположим теперь, что вместо того, чтобы передвигаться направо на один дюйм, потом на полдюйма, потом на четверть дюйма и т.д., мы будем менять направление: дюйм вправо, полдюйма влево, четверть дюйма вправо, одна восьмая дюйма влево… После семи шагов мы попадем в точку, показанную на рисунке 1.10.

С математической точки зрения сдвиг налево означает сдвиг направо на отрицательную величину, и поэтому наши передвижения выражаются такой суммой:

что на самом деле равно ⁴³/₆₄. В действительности несложно доказать — и мы это сделаем в одной из последующих глав, — что если продолжать прибавлять и вычитать до бесконечности, то результат будет таким:

Теперь представим себе, что вместо линейки с делениями, обозначающими половины, четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. доли дюйма, в руках у нас линейка с делениями в третьи, девятые, двадцать седьмые, восемьдесят первые и т.д. доли. Другими словами, вместо половинок, половин от половин, половин от половин от половин… у нас нанесены трети, трети от третей, трети от третей от третей и т.д. Будем теперь упражняться в том же, что и раньше, — переносить карандаш сначала на дюйм, потом на треть дюйма, потом на одну девятую, потом на одну двадцать седьмую (рис. 1.11).

Совсем несложно убедиться, что если продолжать такую операцию до бесконечности, то получится полная сумма в 1¹/₂ дюйма. Другими словами,

А можно, конечно, и на нашей новой линейке менять направление движения: направо на дюйм, налево на треть, направо на одну девятую, налево на одну двадцать седьмую и т.д. (рис. 1.12).

Соответствующая арифметика, возможно, не так уж прозрачна, но, как бы то ни было, результат имеет вид

Итак, у нас имеются четыре сходящихся ряда: первый (1.1) подкрадывается слева все ближе и ближе к 2, второй (1.2) приближается к ²/₃ попеременно то слева, то справа, третий (1.3) подбирается слева все ближе и ближе к 1¹/₂, а четвертый (1.4) приближается к ³/₄ попеременно то слева, то справа. А перед этим мы познакомились с одним расходящимся рядом — гармоническим.

При чтении математической литературы полезно знать, в какой области математики вы находитесь — какую часть из этого обширного предмета изучаете. Та область, где обитают бесконечные ряды, в математике называется анализом[2]. Обычно считается, что анализ занимается изучением бесконечного, т.е. бесконечно большого и бесконечно малого (инфинитезимального). Когда Леонард Эйлер — о котором будет много всего сказано ниже — в 1748 году опубликовал свой превосходный первый учебник по анализу, он назвал его просто Introductio in analys in infinitorum — «Введение в анализ бесконечного».

Однако понятия бесконечного и инфинитезимального привели в начале XIX века к возникновению серьезных проблем в математике и в конце концов были полностью сметены с дороги в ходе большой реформы математики. В современный анализ эти концепции не допускаются.^{A1} Но они застряли в словарном запасе математиков, и в этой книге я нередко буду использовать слово «бесконечность». Надо только помнить, что оно представляет собой просто удобное и выразительное сокращение для более строгих понятий. Каждое математическое утверждение, где присутствует слово «бесконечность», можно переформулировать, не используя этого слова.

Когда мы говорим, что сумма гармонического ряда равна бесконечности, на самом деле имеется в виду, что если задаться сколь угодно большим числом S, то сумма гармонического ряда[3] рано или поздно превысит S. Видите? Никаких «бесконечностей». Во второй трети XIX века анализ был целиком переписан на языке подобного рода. Если какое-то выражение нельзя переписать таким образом, то оно не допускается в современную математику. Далекие от математики люди иногда меня спрашивают: «Раз вы знаете математику, ответьте на вопрос, который меня всегда занимал: сколько будет бесконечность разделить на бесконечность?» На это я могу ответить только: «Вы произносите слова, которые не имеют никакого смысла. Это не математическая фраза. Вы говорите о „бесконечности“ так, как если бы это было число. Но это не число. С таким же успехом вы могли бы спросить „Сколько будет истина разделить на красоту?“ Я ничего не могу по этому поводу сказать. Я умею делить только числа, а „бесконечность“, „истина“, „красота“ — это не числа».

Каково же тогда современное определение анализа? Для наших целей, как мне кажется, подойдет такое определение: это изучение пределов. Понятие предела лежит в основе анализа. Например, все дифференциальное и интегральное исчисление, составляющее наиболее значительную часть анализа, основано на понятии предела.

Рассмотрим такую числовую последовательность: ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, …. Каждая следующая дробь получена из предыдущей по простому правилу: новый знаменатель равен сумме старого числителя и старого знаменателя, а новый числитель равен сумме старого числителя и удвоенного старого знаменателя. Эта последовательность сходится к квадратному корню из числа 2. Например, возведение в квадрат числа ³³⁶³/₂₃₇₈ дает ^11309769/_5654884, что равно 2,000000176838287…. Говорят, что предел этой последовательности равен √2.

Рассмотрим еще один пример последовательности: ⁴/₁, ⁸/₃, ³²/₉, ¹²⁸/₄₅, ⁷⁶⁸/₂₂₅, ⁴⁶⁰⁸/₁₅₇₅, ³⁶⁸⁶⁴/₁₁₀₂₅, ²⁹⁴⁹¹²/₉₉₂₂₅, …. Здесь N-й член последовательности получается так: если N четно, то умножаем предыдущий член на ^N/_{(N + 1)}, а если N нечетно, то умножаем предыдущий член на ^{(N + 1)}/_N. Такая последовательность сходится к числу π. Последняя из приведенных дробей равна 2,972154… (данная последовательность сходится очень медленно).[4] А вот еще пример: 1¹, (1¹/₂)², (1¹/₃)³, (1¹/₄)⁴, (1¹/₅)⁵, … — эта последовательность сходится к числу, которое примерно равно 2,718281828459. Это необычайно важное число, и мы будем использовать его в дальнейшем.

Стоит заметить, что приведенные только что примеры — это примеры последовательностей, т.е. наборов чисел, записанных через запятую. Это не ряды, члены которых надо складывать. Но с точки зрения анализа ряд — это все-таки слегка замаскированная последовательность. Утверждение «ряд 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ¹/₃₂ + … сходится к 2» математически эквивалентно такому утверждению: «последовательность 1, 1¹/₂, 1³/₄, 1⁷/₈, 1¹⁵/₁₆, 1³¹/₃₂, … сходится к 2». Четвертый член этой последовательности представляет собой сумму первых четырех членов ряда и т.д. (Название последовательности такого типа на математическом языке — последовательность частичных сумм данного ряда.) Аналогично, утверждение «гармонический ряд расходится» эквивалентно утверждению «последовательность 1, 1¹/₂, 1⁵/₆, 2¹/₁₂, 2¹⁷/₆₀, 2²⁷/₃₂, … расходится». В этой последовательности N-й член равен предыдущему плюс ¹/_N.

Все это относится к анализу, т.е. к изучению пределов — того, как именно числовая последовательность может приближаться к некоторому предельному числу, никогда точно его не достигая. Когда говорится, что последовательность продолжается неограниченно, имеется в виду, что, сколько бы членов мы уже ни выписали, всегда можно написать следующий. Когда говорится, что последовательность имеет предел, равный a, имеется в виду, что, какое бы малое число x мы ни взяли, начиная с некоторого момента каждый член последовательности будет отличаться от a на величину, меньшую, чем выбранное x. А если вы предпочитаете говорить «Последовательность стремится к бесконечности» или «Предел N-го члена при N, стремящемся к бесконечности, есть a», то вы вправе так выражаться, если вы сами осознаете, что это просто удобная фигура речи.

Традиционное деление на дисциплины внутри математики таково.

• Арифметика — наука о целых числах и дробях. Пример теоремы из арифметики: вычитание нечетного числа из четного дает в ответе нечетное число.

• Геометрия — наука о фигурах в пространстве — точках, линиях, кривых, трехмерных объектах. Пример теоремы: сумма углов треугольника на плоскости равна 180 градусам.

• Алгебра — использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать. Пример теоремы: для любых двух чисел x и y имеет место равенство (x + y)×(x − y) = x² − y².

• Анализ — наука о пределах. Пример теоремы: гармонический ряд расходится (т.е. неограниченно возрастает).

Кроме этого, в современной математике есть, конечно, много всего другого. Например, в ней есть теория множеств, созданная Георгом Кантором в 1874 году а есть «основания» — раздел, который в 1854 году усилиями англичанина Джорджа Буля отделился от классической логики и в котором исследуются логические основы всех математических концепций. Сами традиционные категории также разрослись и стали включать в себя целые новые темы — геометрия вобрала в себя топологию, алгебра — теорию игр и т.д. Еще до начала XIX века происходило значительное просачивание из одной области в другую. Например, тригонометрия (само слово было впервые употреблено в 1595 году) содержит в себе элементы и геометрии, и алгебры. В XVII веке Декарт арифметизировал и алгебраизировал значительную часть геометрии (правда, чисто геометрические доказательства в стиле Эвклида сохранили свою популярность до наших дней за их ясность, изящество и остроумие).

Как бы то ни было, четырехчленное деление сохраняет свою роль в качестве первоначальной ориентировки в математике. Эта классификация полезна и для понимания одного из величайших завоеваний математики XIX столетия, о котором мы далее будем говорить как о «великом соединении» — привязывании арифметики к анализу, что привело к созданию совершенно новой области исследований — аналитической теории чисел. Позвольте познакомить вас с человеком, который одной только публикацией статьи объемом в восемь с половиной страниц дал жизнь аналитической теории чисел, успешно развивающейся и поныне.

Глава 2. Почва и всходы

О Бернхарде Римане известно немного. Он не оставил никаких документов, позволяющих судить о его внутренней жизни, — за исключением того, что можно почерпнуть из его писем. Его современник и друг Рихард Дедекинд оказался единственным близким к Риману человеком, оставившим подробные воспоминания. Но и они занимают всего 17 страниц и проясняют не так много. Я не могу поэтому даже пытаться охватить в дальнейшем изложении всю личность Римана, но все-таки надеюсь, что читатель вынесет из этого рассказа нечто большее, чем просто имя. В данной главе описание научной деятельности Римана и всего, что с ней связано, сведено к минимуму; об этом мы поговорим более подробно в главе 8.

Сначала опишем время и место жизни нашего героя.

Решив, что Французская революция дезорганизовала нацию и сделала французов в силу пробудившихся в них республиканских и антимонархических идей недееспособными, враги Франции попытались извлечь пользу из сложившейся ситуации. В 1792 году огромные силы, в основном состоящие из австрийских и прусских войск, но включавшие и отряд из 15 тысяч французских эмигрантов, двинулись на Париж. К их удивлению, армия революционной Франции оказала сопротивление, навязав наступавшим артиллерийскую дуэль в густом тумане у деревни Вальми 20 сентября того года. Эдвард Кризи в своем классическом труде «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» называет это битвой при Вальми.[5] Немцы называют ее канонадой при Вальми. Под тем или иным именем это событие часто берут за отметку, знаменующую начало серии войн, захлестнувших Европу в последующие 23 года. Эти войны известны как Наполеоновские, хотя есть своя логика в том, чтобы называть их (если бы такое название еще оставалось вакантным) Первой мировой войной, поскольку они в том числе включали столкновения в обеих Америках и на Дальнем Востоке. Когда все в конце концов завершилось мирным договором, выработанным на Венском конгрессе (8 июня 1815 года), Европа перешла в другой долгий (почти в столетие) период — период относительного мира.

Одним из последствий договора явилось некоторое упорядочение ситуации с германскими народами в Европе. До Французской революции говорящий по-немецки европеец мог оказаться подданным или габсбургской Австрии (в этом случае он почти наверняка был бы католиком), или королевства Пруссия (где он с большей вероятностью был бы протестантом) либо жителем одного из трехсот с чем-то мелких княжеств, раскиданных по карте того, что мы сейчас называем Германией. Мог он оказаться и подданным короля Франции или короля Дании либо гражданином Швейцарской конфедерации. («Упорядочение» надо понимать относительно — после него осталась достаточная доля беспорядка, чтобы периодически вызывать войны меньшего масштаба и внести свою лепту в создании предпосылок великих конфликтов XX века.) Австрия сохранила свою империю (включавшую огромное число ненемцев: венгров, славян, румын, чехов и т.д.); в Швейцарии, Дании и Франции при этом оставались те, кто говорил по-немецки. Но все же сделанное было неплохо — для начала. Триста с чем-то административно-государственных единиц, составлявших Германию XVIII столетия, консолидировались в 34 суверенных государства и 4 вольных города, и признанием их культурного единства послужило создание Германского союза.

Крупнейшими германскими государствами оставались Австрия и Пруссия. Население Австрии составляло около 30 миллионов человек, из них лишь 4 миллиона говорили по-немецки. В Пруссии насчитывалось около 15 миллионов подданных, большинство из которых говорило по-немецки. Кроме Австрии и Пруссии только одно германское государство обладало населением более 2 миллионов человек — Бавария. В каждом из четырех оставшихся было менее миллиона жителей: это королевства Ганновер, Саксония, Вюртемберг и Великое герцогство Баден.

Королевство Ганновер было образованием достаточно странным, потому что король в этом королевстве практически отсутствовал. Дело в том, что ввиду сложных династических причин он одновременно являлся королем Англии. Все четыре первых короля, именуемые в Англии «ганноверскими королями», носили имя Георг.[6] Четвертый из них сидел на троне и в 1826 году, когда появился на свет главный герой нашей истории про Гипотезу Римана.

Георг Фридрих Бернхард Риман родился 17 сентября 1826 года в деревушке Брезеленц в выдающемся на восток углу королевства Ганновер. Эта часть королевства известна под названием Вендланд; «венд» — старое немецкое название говорящих по-славянски народов, живших в этих землях. Вендланд был самой западной точкой, достигнутой славянами в ходе великого славянского переселения VI века. Само название «Брезеленц» происходит от слова «береза». Славянские наречия и фольклор сохранились там до Нового времени — философ[7] Лейбниц (1646-1716) поощрял их исследование, однако с самого конца Средневековья в Вендланде постоянно оседало немецкое население, и ко временам Римана это в значительной степени определило его состав.

Вендланд был, да и остается, до некоторой степени захолустьем. В настоящее время это наименее густонаселенный район земли Нижняя Саксония с плотностью населения всего в 110 человек на квадратную милю. Здесь мало промышленных предприятий и больших городов. В прежние времена главным связующим звеном с остальным миром была могучая — шириной около 250 ярдов — Эльба, протекающая всего в 7 милях от Брезеленца. В XIX столетии идущие по Эльбе корабли везли в Гамбург строевой лес и сельскохозяйственную продукцию из Центральной Европы, а на обратном пути загружали уголь и промышленные товары. Недавно, когда Германия в течение нескольких десятилетий была разделена на Восточную и Западную, как раз через Вендланд по Эльбе проходила граница, что ни в коей мере не способствовало развитию региона. Эта равнинная, однообразная местность, на которой фермы перемежаются пустошами, болотами и негустыми лесами, к тому же подвержена наводнениям. Крупное наводнение 1830 года могло оказаться первым значительным событием, вторгшимся из внешнего мира в детство Бернхарда Римана.[8]

Отец Римана Фридрих Бернхард Риман был лютеранским священником и ветераном войн с Наполеоном. Уже в зрелом возрасте он женился на Шарлотте Эбелль. Бернхард, бывший вторым ребенком в семье, испытывал особенно тесную привязанность к своей старшей сестре Иде (свою дочь он назовет этим же именем). За ним родились еще четверо детей — мальчик и три девочки. С точки зрения современного жизненного уровня, который мы склонны воспринимать как само собой разумеющийся, нелегко представить себе тяготы, которые приходилось преодолевать немолодому уже деревенскому священнику ради содержания жены и шестерых детей в бедном и малоразвитом районе на задворках государства в начале XIX столетия. Из шести детей Риманов только Ида прожила достаточно долго. Все остальные умерли рано, одной из причин чего могло быть плохое питание в детстве. Мать Римана также умерла рано, еще до того, как ее дети выросли.

Но даже если не говорить о бедности, то нам, живущим и работающим в странах с современной экономикой, все равно требуется усилие, чтобы представить себе, как в те времена и при тех обстоятельствах сложно было найти работу. За пределами больших городов средний класс практически отсутствовал. Тут и там можно было встретить торговца, пастора, школьного учителя, врача или государственного чиновника, но подавляющее большинство населения, не державшего в собственности землю, представляло собой ремесленников, домашних слуг или крестьян. Единственным достойным занятием для женщин было идти в гувернантки; во всех остальных случаях женщины целиком зависели от мужа или других мужчин в семье.

Когда Бернхард был еще ребенком, его отец получил новый приход в Квикборне, в нескольких милях от Брезеленца и ближе к великой реке. Квикборн и сегодня сонная деревня, состоящая из обшитых деревом домов и в основном немощеных улиц, по краям которых растут мощные старые дубы. Это местечко, еще меньшее, чем Брезеленц, оставалось домом для всей семьи до смерти старшего Римана в 1855 году. Оно было средоточием эмоционального мира Бернхарда практически до тридцатилетнего возраста. При каждой возможности он стремился вернуться туда и побыть в кругу семьи — единственном обществе, где он чувствовал себя легко.

Поэтому, когда мы читаем о жизни Римана, его следует представлять себе на фоне именно этого окружения — окружения родного дома, где он рос и воспитывался, которое он заботливо хранил в себе и вдали от которого тосковал. Равнинная, сырая местность; открытый ветрам, освещаемый лишь керосиновыми лампами и свечами, недостаточно отапливаемый зимой и плохо проветриваемый летом дом; долгие периоды болезней домашних, никто из которых не отличался крепким здоровьем (все, по-видимому, болели туберкулезом); один и тот же узкий круг общения семьи священника в отдаленной деревушке; однообразная пища в утяжеленном варианте и без того тяжелой национальной кухни («В течение длительного времени он страдал хроническими запорами», — пишет Нейеншвандер[9]). Как они все это перенесли? Но они не знали лучшей доли, а простой сердечной привязанности и любви порой достаточно, чтобы участием поддержать человеческий дух среди невзгод.

Всё это изобилие государств — королевств, княжеств, герцогств и великих герцогств, — составлявших во времена Римана северную Германию, по большей части представляло собой независимые друг от друга образования, каждое из которых проводило свою собственную внутреннюю политику. И в этой аморфной структуре находилось место для гордости за свое государство и для соревнования с соседями.

Во многих аспектах пример подавала Пруссия. Восточные области этого королевства оставались единственным германским государством, сохранившим после поражений 1806-1807 годов по крайней мере некоторую степень независимости от Наполеона. Под давлением постоянно нависающей угрозы пруссаки сконцентрировались на реформе внутренней жизни; в 1809-1810 годах, в частности, под руководством философа, дипломата и лингвиста Вильгельма фон Гумбольдта в Пруссии пересмотрели всю систему среднего образования. Классицист фон Гумбольдт был человеком, жившим в башне из слоновой кости, который однажды сказал: «Alles Neue ekelt mich an» — «Все новое меня отвращает» (его брат Александр был великим путешественником и естествоиспытателем). Но, как ни странно, реформы, проведенные этим закоренелым реакционером, в конце концов превратили образовательную систему в германских государствах в самую передовую в Европе с точки зрения учебного процесса.

В основу образовательной системы была положена десятилетняя гимназия, предназначенная для обучения с десятилетнего до двадцатилетнего возраста. В самом первоначальном виде учебный план в гимназии выглядел следующим образом:

Для сравнения, в 1840 году в широко известных английских школах для мальчиков 75-80 процентов учебного времени — 40 часов в неделю — отводилось на изучение классических языков и литературы (Джонатан Гаторн-Харди, «Феномен частных школ»).

В Квикборне не было гимназии, и Риман начал по-настоящему учиться в школе лишь в четырнадцатилетнем возрасте, что соответствовало четвертому классу гимназии. Сама гимназия находилась в городе Ганновере, столице королевства, в 80 милях от Квикборна. Выбор в пользу Ганновера определялся тем, что там жила бабушка Бернхарда по материнской линии, и это позволяло семье Риман сэкономить на плате за проживание. До поступления в гимназию Римана обучал отец при некотором содействии деревенского учителя по фамилии Шульц.

Четырнадцатилетнему Риману пришлось в Ганновере несладко: он был смертельно застенчив и к тому же сильно тосковал по дому. Его единственным внеклассным занятием, насколько нам известно, был поиск доступных ему по карману подарков, которые он посылал на дни рождения родителям, братьям и сестрам. После смерти бабушки в 1842 году ситуация несколько поправилась — Римана перевели в другую гимназию, на этот раз в городе Люнебург. Вот как Дедекинд описывает новое положение дел.

Не похоже, чтобы Риман был хорошим учеником. При его складе ума он мог сосредоточиваться только на вещах, которые он находил интересными; по большей части это была математика. Кроме того, он был перфекционистом, для которого скрупулезность в написании безупречного сочинения была важнее срока, в который он это сочинение напишет. Чтобы подтянуть его в плане школьных занятий, директор устроил так, что Риман поселился вместе с учителем древнееврейского языка по фамилии Зеффер или Зайфер. Заботами этого господина Риман настолько улучшил успеваемость, что в 1846 году его приняли в Геттингенский университет на богословский факультет. Предполагалось, что он станет священником, как и его отец.

Геттингенский университет был единственным университетом в области юрисдикции Ганноверской церкви, так что это был вполне естественный выбор. Название «Геттинген» будет постоянно возникать на протяжении всей этой книги, поэтому несколько слов о его истории будут нелишними. Геттингенский университет был основан в 1734 году Георгом II Английским (который являлся курфюрстом Ганновера[11]) и быстро попал в число лучших германских провинциальных университетов; в 1823 году в нем обучалось более 1500 студентов.

Однако 1830-е годы были тревожным временем. Из-за политических волнений, затронувших как студентов, так и профессоров, в 1834 году число обучающихся упало до цифры менее чем в 900 человек. Три года спустя ситуация достигла критической стадии, а Геттинген стал известен на всю Европу. В 1837 году король Англии и Ганновера Вильгельм IV умер, не оставив законного наследника, и английский трон перешел к его племяннице Виктории. Ганновер, однако, придерживался салических законов средневековых франков, по которым трон мог наследовать только потомок мужского пола. На этом Англия и Ганновер расторгли взаимные объятия. Новым правителем Ганновера стал Эрнст-Август, старший из здравствовавших потомков Георга III.

Эрнст-Август был большим реакционером. Его первым актом стала отмена либеральной конституции, пожалованной за четыре года до этого Вильгельмом IV. Семь видных профессоров Геттингенского университета отказались принести присягу в поддержку новой конституции и были уволены. Троих из них даже изгнали за пределы королевства. Уволенные ученые, известные как «геттингенская семерка», стали героями среди социальных и политических реформаторов по всей Европе.[12] К уволенным относились и двое братьев Гримм, прославившихся своими сказками; они были серьезными кабинетными учеными-филологами.

В ходе перемен, последовавших за прокатившимися по Европе волнениями и переворотами 1848 года, Ганновер получил новую либеральную конституцию. По крайней мере один из «геттингенской семерки», физик Вильгельм Вебер, был восстановлен в должности. Университет вскоре вернул себе свой былой блеск и в конце концов, как мы увидим, стал знаменитым центром знаний. Но когда Бернхард Риман появился там в 1846 году, этот подъем еще не наступил. Риману Геттингенский университет представился местом, находящимся в состоянии упадка, поскольку число студентов еще не выровнялось после событий девятилетней давности.

Тем не менее одно существенное обстоятельство делало Геттинген привлекательным местом для молодого Римана. Геттингенский университет был университетом Карла Фридриха Гаусса, величайшего математика своего времени (а возможно, и всех времен).[13]

Когда Риман прибыл в Геттинген, Гауссу было 69 лет. Его лучшие работы были уже сделаны, а преподавал он немного, относясь к преподаванию как к пустой трате времени. Однако его присутствие в любом случае должно было произвести впечатление на Римана, который к этому моменту уже заразился вирусом математики. Известно, что Риман ходил на лекции Гаусса по линейной алгебре и на лекции Морица Штерна по теории уравнений. В какой-то момент в течение академического 1846-47 года Риман, по-видимому, признался отцу, что его куда более интересует математика, нежели теология; отец, судя по всему, бывший добрым родителем, признал сделанный сыном выбор жизненного поприща. Так Бернхард Риман стал математиком.

О личности Римана в зрелом возрасте до нас дошло очень немногое. Основным источником служат короткие воспоминания Дедекинда, уже упоминавшиеся в начале главы. Эти воспоминания, написанные спустя 10 лет после смерти их героя, были напечатаны в качестве дополнения к первому изданию «Собрания трудов» Римана (однако, насколько мне известно, они так и не были переведены на английский).[14] Я существенно опирался на эти воспоминания, так что многие утверждения и в этой главе, и в главе 8 должны были бы сопровождаться словами «согласно Дедекинду», о чем читателю следует постоянно помнить. Хотя Дедекинд мог, разумеется, ошибаться фактологически, он имел самые большие основания претендовать на то, чтобы считаться Риману другом. Он был прямым и честным человеком, и мне никогда не встречалось никаких намеков на то, что он писал о своем герое как-то иначе, нежели скрупулезно излагая истину, за единственным и объяснимым исключением, о котором будет сказано чуть ниже. Другие доступные источники — это личные письма Римана, многие из которых сохранились, а также случайно зафиксированные комментарии студентов и коллег.

Всё вместе говорит нам следующее.

1. Риман был чрезвычайно застенчивым человеком. Он избегал человеческих контактов настолько, насколько это удавалось, и неуютно чувствовал себя в кругу других людей. Его единственные близкие привязанности — а они были и правда очень близкими — концентрировались в семье, а какие бы то ни было другие связи, если и возникали, касались математики и математиков. Когда он находился вдали от семьи, от дома отца в его приходе Квикборн, он страдал от тоски.

2. Он был очень набожным, в духе немецкого протестантизма (Риман был лютеранином). По его убеждению, суть религии, если буквально переводить с немецкого, как об этом пишет Дедекинд, заключалась в том, чтобы «ежедневно ответствовать за себя пред лицом Господа».

3. Он глубоко размышлял о философии и рассматривал свою работу в сфере математики в более широком философском контексте.

4. Он был ипохондриком, как в старом, так и в новом понимании этого слова. (Раньше оно стояло в ряду синонимов к выражению «подверженный депрессиям».) Дедекинд избегает этого слова, вероятно, из-за уважения к чувствам вдовы Римана, которая очень не хотела, чтобы ипохондрия Римана стала широко известной. Тем не менее Дедекинд ясно дает понять, что Риман был подвержен наплывам очень глубокой печали, в особенности после смерти своего отца, которого он боготворил. Способом справиться с этим для Римана было погружение в работу.

5. Он никогда не отличался хорошим здоровьем; особенно разрушительное влияние на него оказали долгие годы лишений, которым в той стране и в те времена бедному человеку приходилось подвергать себя, если он намеревался получить высшее образование.

Есть соблазн воспринимать Римана как довольно унылую личность, при этом несколько патетического склада. Но это означало бы, что мы принимаем во внимание лишь внешние черты и манеры. Под внешностью застенчивого и неуверенного в себе человека скрывался блестящий и потрясающе дерзкий ум. Сколь бы робким и вялым ни казался этот человек тем, кто эпизодически с ним встречался в обыденной жизни, в математике Риман демонстрировал бесстрашный размах и энергию, свойственные кампаниям Наполеона. Его математические друзья и коллеги, разумеется, знали об этом и относились к нему с почтением.

В связи с Риманом мне вспоминается один эпизод из романа Сомерсета Моэма «Луна и грош», основанного на жизни художника Гогена. Герой Моэма, подобно Гогену, умирает от проказы в хижине на острове в Тихом океане, куда он удалился в поисках своего видения искусства. Узнав, что тот умирает, местный доктор приходит в его хижину. Это бедная лачуга, убогая и полуразвалившаяся. Но, переступив порог, доктор в изумлении обнаруживает, что изнутри стены с пола до потолка завешаны великолепными, волшебной красоты картинами. Риман подобен той хижине: на взгляд извне он был достоин жалости; внутри же он сиял ярче солнца.

В области высшего образования реформы Вильгельма фон Гумбольдта в течение некоторого времени давали положительные результаты только в столице Пруссии Берлине. Положение в других немецких университетах оставалось таким, как оно описано у Генриха Вебера в предисловии к «Собранию трудов» Римана:

И действительно, реформы фон Гумбольдта временно оказали на немецкое высшее образование негативный эффект. Они привели к повышению спроса на квалифицированных учителей старших классов, а единственным способом удовлетворить этот спрос была подготовка этих учителей в университетах. Даже великий Гаусс в 1846-1847 годах читал в Геттингенском университете в основном элементарные курсы. В поисках более серьезных возможностей Риман перевелся в Берлинский университет. Два года, проведенные в этом учреждении, где наставниками были лучшие математические умы Германии, подвели Римана к полной математической зрелости.

(Читая эту главу, как и другие исторические главы, посвященные той эпохе, следует отдавать себе отчет: до того как в Европе благодаря Наполеону — впрочем, в некоторых странах даже еще позже — произошла переоценка ценностей, существовало четкое различие между университетами, назначение которых состояло в обучении и подготовке к тому, что считалось необходимым для думающей элиты в данной стране, и научными академиями и обществами, созданными для проведения исследований. Эти же исследования в основном, с большими или меньшими вариациями в зависимости от места, времени и наклонностей правителя, были ориентированы на практическую пользу для государства. Учреждения, подобные Берлинскому университету (основанному в 1810 году), где велась некоторая исследовательская работа, или Санкт-Петербургской академии наук на раннем этапе ее существования, были редким исключением из этого общего правила. Берлинская академия наук, где Гипотезе Римана предстояло впервые увидеть свет, была чисто исследовательским учреждением, построенным по образцу Королевского общества в Англии.)

Нам не известно практически ничего о бытовой стороне жизни Римана в берлинский период, жизни за пределами его математических занятий. Дедекинд сообщает только об одном достойном упоминания инциденте. В марте 1848 года берлинская толпа, разгоряченная февральской революцией в Париже, вышла на улицы, требуя объединения германских государств в единую империю. Возводились баррикады, солдаты пытались их снести, пролилась кровь. Прусским королем в то время был Фридрих-Вильгельм IV, несколько мечтательный и отрешенный от мира человек, находившийся под сильным воздействием идей романтизма, с сентиментальными воззрениями относительно своего народа и с представлениями об идеальном государстве как о патерналистской монархии. Во время кризиса он показал свою полную несостоятельность, отправив армию назад в казармы и оставив дворец незащищенным до того, как бунтовщики были рассеяны. Студенты университета образовали верные власти караульные отряды для защиты короля, и Риман нес службу в таком карауле с 9:00 одного дня до часа следующего дня, т.е. в общей сложности 28 часов.

По возвращении в Геттинген в 1849 году Риман начал работу над диссертацией, которую он защитил через два года, в возрасте 25 лет; диссертация была посвящена теории функций комплексной переменной. Через три года после этого он начал преподавание в Геттингене, а в 1857 году получил место экстраординарного профессора, что было его первой должностью, на которой ему платили постоянное жалованье. (Обычно предполагалось, что лекторы обходятся тем, что платят за обучение студенты, — столько студентов, сколько лектору удастся привлечь на свои лекции. Должность эта называлась Privatdozent — буквально «частный преподаватель».)

Если пользоваться языком, употребительным в современных биографиях знаменитостей, то 1857 год следует также назвать «годом прорыва» Римана. Его диссертация 1851 года ныне рассматривается как классический математический труд XIX столетия, но в момент своего появления она не привлекла большого внимания, несмотря на энтузиазм, который выказал Гаусс. Другие работы, написанные Риманом в начале 1850-х годов, не получили широкой известности и были опубликованы в доступном для публики виде только после его смерти. Относительная известность, которую он вообще приобрел, пришла к нему благодаря содержанию его лекций, но и тут таилась сложность: значительная часть этого содержания слишком опережала время, чтобы ее должным образом оценили. Однако в 1857 году Риман опубликовал работу по анализу, немедленно получившую признание как существенный вклад в эту науку. Она называлась «Теория абелевых функций».[15] В ней он обратился к актуальным проблемам, применив остроумные и новаторские методы. За год или два его имя стало известно математикам по всей Европе. В 1859 году он стал ординарным профессором[16] в Геттингенском университете; эта должность наконец принесла ему достаточные средства, чтобы жениться. Женился он три года спустя на Элизе Кох, подруге своей старшей сестры.

11 августа того же 1859 года, незадолго до своего 33-летия, Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук. Основанием для принятия его в ряды академии послужили те две единственные работы Римана, которые пользовались известностью, — диссертация 1851 года и работа 1857 года по абелевым функциям. Избрание в члены Берлинской академии наук было огромной честью для молодого математика. По традиции, новоизбранный член представлял в академию оригинальную работу по теме своих исследований. Работа, которую представил Риман, называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse).

Математика после этого уже никогда не была прежней.

Глава 3. Теорема о распределении простых чисел

Итак, сколько же имеется простых чисел, не превышающих некоторую заданную величину? Очень скоро мы это узнаем, но сначала — пятиминутное повторение на тему простых чисел.

Возьмем положительное целое число — для примера, 28. Какие числа делят его нацело? Ответ таков: 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Эти числа называются делителями числа 28. Будем говорить, что «28 имеет шесть делителей».

Разумеется, каждое число делится на 1; и каждое делится само на себя. Так что единица и само число — не слишком интересные делители. Если использовать слово, которое математики очень любят, — это «тривиальные» делители. Интересные же делители в нашем случае — это 2, 4, 7 и 14. О них говорят как о собственных делителях.

Получаем, что у числа 28 четыре собственных делителя. Но у числа 29 собственных делителей нет вовсе. Ничто не делит число 29 нацело, кроме, конечно, 1 и 29. Это — простое число. Простое число — это такое, у которого нет собственных делителей.

Приведем все простые числа, не превосходящие 1000.

 2  3  5  7  11  13  17  19

 23  29  31  37  41  43  47  53

 59  61  67  71  73  79  83  89

 97 101 103 107 109 113 127 131

137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251 257 263

269 271 277 281 283 293 307 311

313 317 331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457

461 463 467 479 487 491 499 503

509 521 523 541 547 557 563 569

571 577 587 593 599 601 607 613

617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719

727 733 739 743 751 757 761 769

773 787 797 809 811 821 823 827

829 839 853 857 859 863 877 881

883 887 907 911 919 929 937 941

947 953 967 971 977 983 991 997

Как видно, их 168. В этот момент обычно раздаются возражения, что в список простых чисел не включена единица. Разве единица не удовлетворяет определению? Ну, строго говоря, да — удовлетворяет, и закоренелые педанты могут для своего собственного удовлетворения вписать «1» в начало списка. Однако включение 1 в список простых чисел — серьезная помеха, и современные математики по взаимному согласию этого просто не делают. (Последним из крупных математиков, кто такое делал, был Анри Лебег в 1899 году.) На самом деле даже включение двойки — тоже помеха; однако присутствие 2 в конце концов себя окупает, а присутствие 1 — нет, так что мы ее выбрасываем, и все.

Если посмотреть на список простых чисел повнимательнее, то станет заметно, что они скудеют по мере продвижения вперед по списку. Между 1 и 100 имеется 25 простых; между 401 и 500 их 17; а между 901 и 100 — всего 14. Как видно, число простых в каждом блоке из сотни чисел убывает. Если бы мы продлили список, включив в него все простые числа до миллиона, то обнаружилось бы, что в последнем блоке из сотни чисел (т.е. среди чисел от 999 901 до 1000 000) всего лишь восемь простых. А если продлить до триллиона, то в последнем блоке из сотни чисел нашлись бы только четыре простых (конкретно, они таковы: 999 999 999 937, 999 999 999 959, 999 999 999 961 и 999 999 999 989).

Возникает естественный вопрос: истощатся ли рано или поздно простые числа до конца? Если продолжить список до триллионов триллионов или до триллионов триллионов триллионов триллионов, то дойдем ли мы в конце концов до точки, за которой простых чисел больше нет, так что последнее простое, встреченное нами по пути, окажется наибольшим простым числом?

Ответ на это около 300 года до P.X. дал Эвклид. Нет, простые числа не истончаются до конца. Всегда найдутся еще. Нет наибольшего простого числа. Сколь большое простое число вы бы ни взяли, всегда найдется еще большее. Простые числа продолжаются без конца. Доказательство: пусть число N — простое. Образуем такое число: (1×2×3×…×N) + 1. Оно не делится нацело ни на одно из чисел от 1 до N — в остатке всегда будет единица. Значит, или оно не имеет собственных делителей (и, следовательно, является простым числом, превосходящим N), или же наименьший из его простых делителей — некоторое число, превосходящее само N. Этим результат и доказан, поскольку наименьший собственный делитель любого числа с необходимостью является простым, ведь иначе в нем в свою очередь нашелся бы меньший делитель. Скажем, если N есть 5, то 1×2×3×4×5 + 1 есть 121, и наименьший простой делитель этого числа равен 11. С какого бы простого числа вы ни начали, вы получите большее простое. (Другое доказательство бесконечности числа простых чисел я дам в главе 7.iv, после того как покажу вам Золотой Ключ.)

При том что этот вопрос удалось урегулировать на столь раннем этапе истории математики, следующей по очереди вещью, естественным образом занимавшей головы математиков, была такая проблема: можно ли найти правило, закон для описания того, как именно истончаются простые числа? В пределах сотни имеется 25 простых чисел. Если бы простые числа были распределены строго равномерно, то, разумеется, в пределах тысячи их было бы в 10 раз больше, т.е. 250. Но из-за истончения там в действительности только 168 простых. Почему 168? Почему, скажем, не 158, или 178, или еще сколько-нибудь? Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?

Вот мы и пришли к тому вопросу, с которого, как и Бернхард Риман, мы начали: сколько имеется простых чисел, меньших заданного числа?

А что мы можем выяснить, действуя «от готового»? Я на самом деле знаю ответы на последний вопрос для довольно внушительных чисел. Некоторые из них показаны в таблице 3.1.

Здорово, конечно, но на самом деле не слишком информативно. Да, простые числа истончаются. Если бы они продолжали появляться в том же темпе, что и в первой тысяче, где их 168, то в последней графе их было бы что-то около 168 000 000 000 000 000. Но там в действительности лишь одна седьмая этого значения.

Сейчас я покажу фокус, который прольет немного света на эту туманную картину. Но сначала два слова о функциях.

Двухколоночная табличка вроде таблицы 3.1 иллюстрирует понятие функции. «Функция» — одна из важнейших концепций во всей математике, вторая или третья по значимости, на мой взгляд, после «числа» и, возможно, «множества». Основная идея функции состоит в том, что некоторое число (из правой колонки) зависит от другого числа (из левой колонки) в соответствии с некоторым заданным законом или процедурой. Конкретно для таблицы 3.1 процедура такова: «Посчитать, сколько имеется простых чисел в пределах, определяемых числом в левой колонке».

Другой способ сказать то же самое таков: функция — это способ превратить (математики говорят «отобразить») число в другое число. Функция в таблице 3.1 согласно выбранной процедуре превращает, или отображает, число 1000 в число 168.

Профессиональные термины здесь таковы. Поскольку слишком утомительно постоянно произносить слова «число в левой колонке» и «число в правой колонке», математики говорят о них соответственно как об «аргументе» и «значении» (или «значении функции»). Итак, суть дела во всякой функции — это получить значение по заданному аргументу, следуя некоторому правилу или процедуре.

И еще один ключевой профессиональный термин. Бывает, что правило, на котором основано определение функции, можно применить к одним числам или к одному типу чисел, но не к другим или другому. Скажем, правило «вычесть из аргумента единицу и взять обратное число» определяет весьма уважаемую функцию — математик сказал бы, что это функция 1/(1 − x), и мы довольно плотно с ней познакомимся в главе 9.iii, — но это правило нельзя применить к аргументу 1, поскольку такая попытка повлекла бы за собой деление на нуль, чего в математике не разрешается. (Нет никакого толка спрашивать: «А что если я попробую?» Нельзя, и все. Это против правил. Если вы попытаетесь, то игра остановится и все вернется в последнюю разрешенную позицию.)

В качестве другого примера рассмотрим функцию, действующую по правилу «посчитать, сколько делителей имеет аргумент». Мы видим, что число 28 имеет шесть делителей (будем сейчас включать и тривиальные делители тоже), а 29 — только два. Значит, данная функция превращает 28 в 6, а 29 (как и любое другое простое число) в 2. Это еще одна уважаемая и полезная функция, как правило, обозначаемая как d(N). Однако эта функция осмысленна только для целых чисел — и даже только для положительных целых чисел. Сколько делителей у числа 12⁷/₈? Сколько делителей у числа π? Не спрашивайте. Эта функция — не для них.

Относящийся сюда профессиональный термин — это «область определения». Область определения какой-нибудь функции — это те числа, которые она допускает в качестве аргумента. Функция 1/(1 − x) допускает в качестве аргумента все числа, кроме 1. Функция d(N) допускает в качестве аргумента любое положительное целое число; это и есть ее область определения. Область определения функции √x — все неотрицательные числа, поскольку из отрицательных извлекать квадратный корень нельзя (впрочем, по этому поводу я оставляю за собой право передумать далее по тексту).

Некоторые функции допускают все числа в свою область определения. Функция возведения в квадрат x², например, применима к любому числу. Любое число можно возвести в квадрат (т.е. умножить само на себя). То же верно и для полиномиальных функций (другими словами, многочленов) — т.е. функций, значения которых получаются сложением и вычитанием степеней аргумента. Примером полиномиальной функции может служить 3x⁵ + 11x³ − 35x² − 7x + 4. Область определения полиномиальной функции — все числа. Это обстоятельство сыграет свою роль в главе 21.iii. Но наиболее интересные функции имеют определенные ограничения на свою область определения: или возникают какие-то значения аргумента, при которых правило не действует (обычно из-за того, что пришлось бы делить на нуль), или же правило вообще применимо только к определенному классу чисел.

Важно понимать, что табличка, подобная таблице 3.1, — это только модель функции. Сколько имеется простых чисел, меньших числа 31 556 926? Можно было бы ответить, внедряя в табличку дополнительные строки, но с учетом моего намерения удержать число страниц этой книги в некоторых разумных пределах имеется, очевидно, ограничение на то, сколько строк я могу вставить. Приведенная таблица — не более чем модель функции, ее «моментальный снимок», сделанный при определенных аргументах (выбранных с некоторым дальним прицелом).

На самом деле обычно не существует хорошего способа показать функцию во всей ее красе. Иллюстрировать какие-то конкретные свойства функции иногда помогает график, но в данном случае он достаточно бесполезен. Если вы попытаетесь изобразить содержимое таблицы 3.1 в виде графика, вы быстро поймете, что я имею в виду. Усилия по построению графика дзета-функции, которые будут предприняты в главе 9.iv, прояснят этот момент. Математики обычно получают некоторое общее представление о конкретной функции, тесно работая с ней в течение достаточно длительного времени, наблюдая при этом за всеми ее свойствами и особенностями. С помощью таблицы или графика не часто удается охватить функцию целиком.

Еще о функциях надо заметить, что наиболее важные из них носят имена. А действительно важные обозначаются специальными символами. Функция, модель которой приведена в таблице 3.1, носит имя «функции числа простых чисел» и обозначается символом π(N), что читается как «пи от эн».

Знаю, знаю — может возникнуть путаница. Ведь π — это отношение длины окружности к ее диаметру, то самое невыразимое

Но новое использование символа π не имеет к этому числу ровно никакого отношения. В греческом алфавите всего 24 буквы, и к тому времени, как математики собрались дать имя этой функции (лично ответственный за это — Эдмунд Ландау, который ввел такое обозначение в 1909 году, — см. главу 14.iv), все 24 буквы уже были порядком израсходованы, и пришлось пустить их по кругу. Мне жаль, что так получилось, но это не моя вина. Данное обозначение в настоящий момент является абсолютно стандартным, так что его придется терпеть.

(Если вы хоть раз занимались мало-мальски серьезным программированием на компьютере, то вам знакома концепция перегрузки символа. Использование буквы π для двух совершенно различных целей есть некоторое подобие перегрузки этого символа.)

Итак, функция π(N) определена как число простых чисел до N (включая само N, хотя это довольно редко имеет значение, и я не буду особенно следить за употреблением выражений «меньших, чем» и «не превышающих»). Но вернемся к нашему основному вопросу: есть ли какое-нибудь правило, какая-нибудь изящная формула, которая даст нам значение π(N), избавив от необходимости заниматься счетом?

Позвольте мне устроить небольшой фокус с таблицей 3.1. Я поделю первую колонку на вторую — аргументы на значения. Я не гонюсь за безумной точностью. И вообще буду пользоваться карманным калькулятором за 6 долларов, с которым я хожу в супермаркет. Вот что получается: 100 разделить на 168 даст 5,9524; 1 000 000 разделить на 78 498 даст 12,7392. Еще четыре результата подобного же вычисления дают нам таблицу 3.2.

Посмотрим пристально на эти значения. Они всякий раз возрастают на 7. Точнее, на число, которое болтается между 6,8 и 7,0. Может, вам это и не кажется чем-то особенно чудесным, но когда математик видит такую таблицу, над головой у него ярко вспыхивает лампочка и определенное слово приходит ему на ум. Позвольте объяснить.

Имеется определенное семейство функций, которые страшно важны в математике, — показательные функции. Не исключено, что вы о них кое-что знаете. Их еще называют «экспоненциальными», и это слово проникло из математики в обычный язык. Мы все надеемся, что наши деньги, вложенные в инвестиционные фонды, будут расти экспоненциально — другими словами, быстрее и быстрее.

С принятой нами точки зрения — иллюстрирования функций двухколоночными таблицами типа таблицы 3.1 — можно нестрого определить показательную функцию следующим образом. Если взять набор значений аргумента так, чтобы при переходе от строки к строке они росли как результат регулярного сложения, и если при этом окажется, что получающиеся значения функции растут как результат регулярного умножения, то перед нами — показательная функция. Слово «регулярный» здесь означает, что происходит прибавление одного и того же числа или умножение на одно и то же число.

Рассмотрим пример. Возьмем правило «вычислить 5×5×5×5×… — выражение, содержащее N пятерок».

Видите, как аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, в то время как значения каждый раз увеличиваются путем умножения на 5? Это показательная функция. Аргументы увеличиваются «по сложению», а значения — «по умножению».

Я для удобства выбрал вариант, когда аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, и буду придерживаться его и далее. Для данной конкретной функции это приводит к умножению аргумента на 5. Разумеется, в числе 5 нет ничего специального. Можно было бы выбрать функцию, в которой множитель равен 2, или 22, или 761, или 1,05 (что, кстати, дало бы таблицу накопления сложных процентов при ставке в 5%), или даже 0,5. В каждом из случаев мы получим показательную функцию. Вот почему я сказал, что имеется некоторое «семейство функций».

Еще один термин, который математики обожают, — «канонический вид». В ситуации, подобной данной, когда имеется явление (в нашем случае — показательная функция), которое может проявляться многими различными способами, есть, вообще говоря, один способ, которым математики желают представить все явление. В данном случае вот какой. Есть одна показательная функция, которую математики предпочитают всем остальным. Если бы вы принялись угадывать, то, наверное, предположили бы, что это та функция, в которой множителем является число 2 — самое простое в конце концов, на что можно умножить. Но нет! Канонический вид показательной функции, предпочтительный для математиков, имеет множитель 2,718281828459045235. Это еще одно магическое число наряду с π, которое проявляет себя во всех областях математики.[17] Оно уже встречалось нам в этой книге (см. главу 1.vii). Оно иррационально[18], так что последовательность знаков после запятой никогда не повторяется и его нельзя переписать в виде дроби. Символ e для этого числа был введен Леонардом Эйлером, о котором будет много всего сказано в следующей главе.

Но почему именно это число? Не слишком ли оно неуклюже, чтобы с его помощью определять канонический вид? Разве не много проще было бы с числом 2? Да, наверное, для целей умножения было бы проще. Я не могу объяснить важность числа e, не вдаваясь в вычисления, а я дал торжественный обет объяснить Гипотезу Римана с минимумом вычислений. По этой причине я просто убедительно попрошу вас принять на веру, что e — действительно, действительно важное число и что ни одна другая показательная функция не может и близко сравниться с этой e^N. Вот как выглядит наша таблица:

(здесь точность — 12 знаков после запятой). Основной принцип, конечно, сохраняется — аргументы (левая колонка) растут каждый раз за счет добавления 1; при этом значения в правой колонке каждый раз умножаются на e.

А если наоборот? Представим себе функцию, основанную на таком правиле: когда аргумент растет «по умножению», значения растут «по сложению». Что за функция получится?

Здесь мы вступаем в царство обратных функций. Математики имеют особое пристрастие к тому, чтобы обращать самые разные вещи — выворачивать их наизнанку. Если у есть 8 умножить на x, то как выразить x через y? Понятно, что это y/8. Деление обратно умножению. Еще есть такое любимое нами действие, как возведение в квадрат, когда мы умножаем число само на себя. И каково же его обращение? Если y = x², то чему равен x в терминах y? Ну да, это квадратный корень из y. Если вы немного знакомы с анализом, то знаете, что есть действие, называемое «дифференцированием», которое позволяет превратить функцию f в другую функцию — g, говорящую о том, какова мгновенная скорость изменения функции f при каждом ее аргументе. И каково же действие, обратное дифференцированию? Это интегрирование. Ну и так далее. Обращение станет ключевой темой позднее, когда мы вникнем в работу Римана 1859 года.

С точки зрения принятого нами подхода, когда функции показаны в виде таблиц, обращение просто означает отражение таблицы, при котором ее правая часть становится левой, а левая — правой. Правда, это быстрый способ нажить себе неприятности. Возьмем функцию возведения в квадрат — скорее всего, первую нетривиальную функцию, с которой вы познакомились в школе. Чтобы возвести число в квадрат, мы умножаем его само на себя. Вот соответствующая таблица:

(Я полагаю, что вы помните о правиле знаков, так что −3 умножить на −3 дает 9, а не −9).[19] А теперь поменяем колонки местами и получим обратную функцию:

Но постойте-ка! Каково же значение функции при аргументе, равном 9? Это −3 или 3? Похоже, что эта функция принимает такой вид:

Так дело не пойдет — слишком путано. Вообще-то… вообще-то существует математическая теория многозначных функций. Бернхард Риман был знатоком этой теории, и мы познакомимся с его идеями в главе 13.v. Но сейчас не время и не место для этого, и я не собираюсь тащить сюда сундук, набитый подобными вещами. Во всяком случае, что касается меня, то железное правило состоит в том, что на один аргумент — самое большее одно значение (ни одного значения, разумеется, если аргумент не лежит в области определения функции). Квадратный корень из 1 равен 1, квадратный корень из 4 равен 2, квадратный корень из 9 равен 3. Означает ли это, что я не признаю того факта, что −3 умножить на −3 даст 9? Разумеется, я его признаю, я просто не включаю его в мое определение «квадратного корня». Вот мое определение квадратного корня (по крайней мере на данный момент): квадратный корень из N есть единственное неотрицательное число (если таковое имеется), которое при умножении само на себя дает N.

По счастью, показательная функция не доставляет нам подобных хлопот. Вы можете шутя обратить ее и получить функцию, которая при выборе аргументов, получаемых друг из друга умножением, дает значения, получаемые друг из друга сложением. Разумеется, как и в случае показательных функций, обратные им функции также образуют семейство, зависящее от множителя; и, как и с показательной функцией, математикам намного, намного больше всех остальных нравится та, к значениям которой прибавляется единица, когда аргументы умножаются на e. Получаемую функцию называют логарифмической, а обозначают ln.[20] «Логарифм!» — вот слово, которое возникло в голове математика при вспышке лампочки, когда он увидел таблицу 3.2. Если y = e^x, то x = ln y. (Отсюда, кстати, путем простой подстановки следует, что для любого положительного числа у выполнено y = e^{ln y} — факт, которым мы не преминем как следует воспользоваться в дальнейшем.)

В математических сюжетах, имеющих отношение к данной книге — то есть к Гипотезе Римана, — логарифмическая функция присутствует повсеместно. Мы поговорим о ней куда более подробно в главах 5 и 7, и она будет играть роль настоящей звезды нашего рассказа, когда в главе 19 мы повернем наконец Золотой Ключ. Пока же давайте примем на веру, что это — функция в только что описанном смысле, по-настоящему важная математическая функция, и при этом обратная к показательной функции: если y = e^x, то x = ln y.

Теперь я перейду прямо к сути дела и покажу вам логарифмическую функцию, но вместо того, чтобы двигаться вперед шагами, соответствующими умножению на e, давайте умножать аргументы на 1000. Как мы уже говорили, когда функцию представляют в виде таблицы, надо выбрать аргументы (а также число знаков после запятой — в нашем случае четыре). Клянусь, что это та же самая функция. Чтобы лучше было видно, что тут происходит, я справа добавил в таблицу еще две колонки: первая из них — это просто правая колонка из таблицы 3.2, а вторая выражает в процентах отклонение нашей колонки номер 2 от колонки номер 3. Результат приведен в таблице 3.3.

Представляется разумным следующее утверждение: N/π(N) близко к ln N, причем тем ближе, чем больше становится N.

У математиков есть специальная запись для этого: N/π(N) ~ ln N. (Читается так: «N, деленное на π(N), асимптотически стремится к ln N»). Волнистый знак в этой формуле по науке называется «тильда», однако, судя по моему опыту, математики нередко называют его просто «волной».

Если слегка переоформить этот факт, следуя обычным правилам алгебры, то мы получим следующее утверждение.

Разумеется, мы эту теорему не доказали — мы просто увидели, что такое утверждение правдоподобно. Это очень важный результат, настолько важный, что он называется Теоремой о распределении простых чисел. Это не какая-то там теорема о распределении простых чисел, нет, а Теорема о Распределении Простых Чисел. Специалисты по теории чисел нередко пишут просто «ТРПЧ», и в этой книге мы так и будем поступать.

И наконец, получим два следствия из ТРПЧ (в предположении, конечно, что она верна). Чтобы вывести эти следствия, сначала заметим, что в некотором смысле (логарифмическом смысле!) при работе со всеми числами вплоть до некоторого большого N большинство из этих чисел вполне сравнимы по величине с самим N. Например, среди всех чисел от 1 до одного триллиона более 90 процентов имеют 12 или более разрядов и в этом смысле вполне сравнимы с триллионом (у которого 13 разрядов), а не, скажем, с одной тысячей (с ее четырьмя разрядами).

Если на интервале от 1 до N имеется N/ln N простых чисел, то средняя плотность простых в этом интервале составляет 1/ln N. А поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по размеру с числом N в том грубом смысле, который я только что описал, то справедливым будет заключение, что в районе числа N плотность простых чисел есть 1/ln N. Именно так и есть. В конце первого раздела данной главы мы подсчитали число простых в каждом блоке из 100 чисел, предшествующих 100, 500, 1000, 1 миллиону и 1 триллиону. Результаты этих подсчетов были такими: 25, 17, 14, 8 и 4. Соответствующие значения выражения 100/ln N (т.е. его значения при N = 100, 500 и т.д). с точностью до ближайшего целого числа таковы: 22, 16, 14, 7 и 4. Другой способ выразить то же самое — это сказать, что в окрестности большого числа N вероятность того, что некоторое число окажется простым, ~ 1/ln N.

Руководствуясь той же грубой логикой, можно оценить величину N-го простого числа. Рассмотрим отрезок числового ряда от 1 до K для какого-нибудь большого числа K. Если в этом интервале простых чисел, то в среднем следует ожидать, что первым простым, которое мы встретим, будет число К:C, вторым — число 2K:C, третьим — 3K:C и т.д. N-е простое будет находиться где-то около числа NK:C, а C-е (другими словами, последнее простое в этом интервале) окажется около числа K:C, что, понятно, равно просто K. И вот, если верна ТРПЧ, то количество простых чисел C есть К/ln K, а потому N-е простое в действительности встретится вблизи числа NK:(К/ln K), или, другими словами, вблизи числа Nln K. Поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по величине с числом K, здесь можно поменять местами N и K, а потому N-е простое есть по величине ~ N/ln N. Я знаю, что такое рассуждение выглядит небольшим жульничеством, но в действительности оно дает неплохую оценку, которая к тому же становится все лучше и лучше «по принципу волны». Эта оценка предсказывает, например, что триллионное простое число равно 27 631 021 115 929, а на самом деле триллионное простое число есть 30 019 171 804 121, так что ошибка составляет 8 процентов. Выраженные в процентах ошибки для тысячного, миллионного и миллиардного простого числа равны соответственно 13, 10 и 9.

Эти утверждения не просто следуют из ТРПЧ; сама ТРПЧ также следует из них. Если математически доказать справедливость любого из них, то в качестве следствия получится ТРПЧ. Каждый из этих результатов равносилен ТРПЧ, и его можно считать просто альтернативной формулировкой этой теоремы. В главе 7.viii мы познакомимся с другим, более важным способом переформулировать ТРПЧ.

Глава 4. На плечах гигантов

Первым человеком, которому открылась истина, содержащаяся в Теореме о распределении простых чисел (ТРПЧ), был Карл Фридрих Гаусс, живший с 1777 по 1855 год. Гаусс, как уже говорилось в главе 2.v, вполне может претендовать на звание величайшего математика из всех вообще когда-либо живших. В течение своей жизни он был известен как Princeps Mathematicorum — Князь Математиков, а после его смерти король Ганновера Георг V распорядился о выпуске памятной медали в его честь, с указанием этого титула.[21]

Гаусс был чрезвычайно невысокого происхождения. Его дед был безземельным крестьянином, а отец — перебивавшимся с места на место садовником и каменщиком. Гаусс ходил в самую скромную местную школу. Знаменитый эпизод, который, как рассказывают, произошел в этой школе, имеет гораздо больше шансов оказаться правдой, чем большинство обычных историй такого рода. Однажды учитель, желая устроить себе получасовой перерыв, дал классу задание сложить друг с другом первые 100 чисел. Почти мгновенно Гаусс бросил грифельную доску на учительский стол со словами «Ligget se!», что на местном крестьянском диалекте того времени означало: «Вот он [ответ]!» Карл мысленно расположил числа горизонтально в порядке (1, 2, 3, …, 100), затем в обратном порядке (100, 99, 98, …, 1), а после этого сложил два списка вертикально: (101, 101, 101, …, 101). Получилось 100 раз число 101, а поскольку числа были выписаны дважды, ответ равен половине этой суммы, т.е. 50 умножить на 101, что равно 5050. Совсем просто, когда вам об этом рассказали, но все же это не тот способ, который сам собой придет в голову обычному десятилетнему мальчику; да и обычному взрослому лет в тридцать тоже, если уж на то пошло.

Гауссу повезло в том, что учителя разглядели его способности и готовы были предпринять некоторые усилия, чтобы их развить. Еще большее везение состояло в том, что ему случилось жить в маленьком германском герцогстве Брауншвейг — в пределах той самой кляксы, что разделяет на две части королевство Ганновер на карте из главы 2.ii. В Брауншвейге в то время правил Карл-Вильгельм-Фердинанд, носивший полный титул герцог Брауншвейга-Вольфенбюттеля-Беверна. Мы уже встречались с ним, хотя в тот момент этого и не подозревали: известный как отважный воин, он носил чин генерал-фельдмаршала прусской армии и командовал теми самыми соединенными прусско-австрийскими силами, которые французы остановили у Вальми 20 сентября 1792 года.

Карл-Вильгельм поступил воистину благородно. Если существует Рай для математиков, то для герцога там должны быть зарезервированы роскошные апартаменты, чтобы он мог останавливаться в них всякий раз, как соберется заехать. Услыхав о таланте мальчика Гаусса, герцог распорядился, чтобы его привели к нему. Молодой Гаусс в тот момент не мог похвастаться значительными успехами на ниве светского этикета. Позднее, в течение своей жизни, после длительного знакомства с дворами и университетами, он производил впечатление человека мягкого и приветливого, но это не могло скрыть грубоватые черты лица и коренастую фигуру, изобличавшие крестьянское происхождение. Однако герцог оказался достаточно проницательным, чтобы с первого же взгляда не ошибиться в мальчике; впоследствии он оставался его другом, пока смерть не разлучила их, и обеспечивал постоянную финансовую поддержку, позволившую молодому Гауссу сделать блестящую карьеру в качестве математика, физика и астронома.[22]

Возможности герцога по поддержке Гаусса подошли к концу довольно плачевным образом. В 1806 году Наполеон был в зените своего могущества. В кампании предыдущего года он в битве при Аустерлице разбил соединенные войска России и Австрии, предварительно откупившись от пруссаков тем, что предложил им Ганновер. Затем он основал Рейнский союз, поставив под французское влияние всю западную часть современной Германии, и взял обратно свое обещание по сделке с Ганновером, на этот раз предложив его Британии. Против него держались только Пруссия и Саксония, а их единственным союзником была Россия, впрочем, боявшаяся пушек после поражения под Аустерлицем.

Чтобы помешать Саксонии стать французским сателлитом, пруссаки оккупировали ее, снова призвав в строй герцога Брауншвейгского — ему в то время был 71 год — и предложив ему возглавить их силы. Наполеон объявил войну, и его армия ударила на северо-запад через Саксонию по направлению к Берлину. Пруссаки пытались сконцентрировать силы, но французы, действуя очень быстро, не позволили им этого сделать и разгромили основные прусские силы под Йеной. Герцог находился с подразделением в Ауэрштедте в нескольких милях к северу; одна из фланговых частей Наполеона захватила его и рассеяла его войска.

Разбитый и смертельно раненный, герцог через эмиссара испросил у Наполеона разрешения удалиться домой, дабы там умереть. Император — вполне современный диктатор, не слишком приверженный правилам рыцарства — рассмеялся посланнику в лицо. Несчастного герцога, ослепшего и находящегося при смерти, поспешили на телеге перевезти на свободные территории за Эльбой. Секретарь Наполеона Луи де Бурьен в своих мемуарах так описывает печальный конец этой истории:

Последний путь герцога пролегал через Брауншвейг, и говорят, что Гаусс видел повозку из окна своей комнаты, выходящего на крепостные ворота. Герцогство Брауншвейгское после этого прекратило свое существование и стало частью наполеоновского марионеточного «королевства Вестфалия». Наследник герцога Фридрих-Вильгельм был лишен трона и бежал в Англию. Он также погиб, сражаясь с Наполеоном в битве при Катр-Бра в 1815 году, за несколько дней до Ватерлоо, но, правда, уже после того, как получил обратно свое герцогство.

(Чтобы отдать должное Наполеону, следует заметить, что некоторое время спустя, во время другого похода в западную Германию, когда Гаусс уже обосновался в Геттингене, Император пощадил этот город — потому, что «там живет величайший математик всех времен».)

После потери своего покровителя Гауссу пришлось искать работу. Ему предложили стать директором обсерватории в Геттингене, он согласился и приехал в Геттинген в конце 1807 года.[23] Геттинген уже пользовался достаточной известностью за то, что был оснащен лучше других провинциальных немецких университетов. Гаусс и сам учился здесь с 1795 по 1798 год; во время учебы его, судя по всему, привлекала великолепная университетская библиотека, в которой он и проводил большую часть времени. Теперь же он стал главным университетским астрономом и оставался в Геттингене до своей смерти в феврале 1855 года, последовавшей за несколько недель до его 78-летия. В течение последних 27 лет жизни он выбирался из любимой обсерватории лишь единожды — ради поездки на конференцию в Берлин.

Чтобы рассказать об отношениях, в каких состояли между собой Гаусс и ТРПЧ, надо объяснить главную особенность Гаусса как математика. Он опубликовал намного меньше, чем написал. Из его переписки, сохранившихся неопубликованных статей и различного рода указаний, которые можно найти в опубликованных работах, видно, что он представил миру лишь часть всех сделанных им открытий. Теоремы и доказательства, которые прославили бы кого-нибудь другого, Гаусс оставлял заброшенными в своих личных дневниках.

Есть, наверное, две причины, объясняющие столь вопиющее небрежение. Одна — отсутствие честолюбия. Уравновешенный, самодостаточный и экономный человек, лишенный материальных благ в детстве и юности и так, по-видимому, и не приобретший к ним вкуса в зрелом возрасте, Гаусс не сильно нуждался в чьем бы то ни было одобрении и не стремился к продвижению по социальной лестнице. Другая причина — намного более распространенная среди математиков во все времена — состояла в перфекционизме. Гаусс не мог заставить себя представить свои результаты на суд других, пока эти результаты не окажутся отшлифованы до блеска и расставлены в безупречном логическом порядке. На его личной печати было изображено дерево с редко висящими плодами и девизом «Pauca sed matura» — «Немного, но спелые».

Как я сказал, перфекционизм — частая проблема среди математиков, из-за которой чтение опубликованных математических статей нередко превращается в очень тяжелое занятие. В одной из книг, получивших некоторую известность в современной психологической литературе, «Представление себя в повседневной жизни», Эрвинг Гоффман развивает теорию «социальной драматургии», согласно которой каждый результат деятельности, создаваемый «для внутреннего пользования» в беспорядке и не без вмешательства случайности, представляется «для внешней аудитории» в виде законченного и совершенного творения. Эту мысль хорошо иллюстрируют рестораны. Блюда, приготовленные среди стука и звона посуды, криков поваров в раскаленной кухне, предстают перед публикой как творения безупречно сервированные, на сверкающих тарелках, подаваемые проворными мурлыкающими официантами. В значительной своей части так же устроен и интеллектуальный труд. Вот что пишет Гоффман:

Опубликованные математические статьи нередко содержат слегка раздражающие высказывания типа «Отсюда следует, что…» или же «Ясно, что…», тогда как в действительности совершенно не следует и абсолютно не ясно, пока вы не потратите те же шесть часов, что потратил автор, на прописывание промежуточных шагов и проверку их правильности. Об английском математике Г.X. Харди, с которым мы еще встретимся ниже, рассказывают такую историю. Дойдя на лекции до определенного места в своих рассуждениях, он сказал: «Теперь очевидно, что…» Тут он остановился, замолчал и несколько секунд простоял без движения с нахмуренными бровями. Потом вышел из аудитории. Минут через двадцать он вернулся, улыбаясь, и продолжил: «Да, действительно, очевидно, что…»

Но кроме отсутствия амбиций Гаусс демонстрировал и отсутствие такта. Он нажил массу неприятностей в общении с коллегами-математиками из-за того, что ссылался на открытия, которые он сделал, но не опубликовал за годы до того, как другие открывали то же самое, однако публиковали свои результаты. Дело было не в тщеславии — Гауссу не было свойственно тщеславие, — а в том, что доктор Джонсон называл «грубой бесчувственностью». Например, в опубликованной в 1809 году книге Гаусс ссылается на метод наименьших квадратов, придуманный им в 1794 году (способ найти наилучшую «подгонку» для некоторого количества экспериментальных данных). В момент, когда он сделал это открытие, он его, разумеется, не опубликовал. Принадлежащий к чуть более старшему поколению французский математик Адриен-Мари Лежандр открыл и опубликовал этот метод в 1806 году; он был разъярен, когда Гаусс приписал приоритет открытия себе. У нас нет сомнений в правоте Гаусса — тому имеются документальные подтверждения, — но если Гаусс желал, чтобы его имя ассоциировалось с этим результатом, ему надо было его опубликовать. Он, однако, не беспокоился, будет ли увековечено его имя, и не намеревался публиковать свои результаты, если ему не хватало времени отполировать их до полного совершенства.

В декабре 1849 года Гаусс вел переписку с немецким астрономом Йоханом Францем Энке (именем которого названа знаменитая комета)[24] Энке высказал кое-какие комментарии по поводу частоты появления простых чисел. Ответное письмо Гаусса начиналось так:

Итак, начиная с 1792 года — когда ему было лишь 15 лет! — Гаусс забавлялся пересчетом всех простых чисел в интервале из 1000 чисел за раз и довел эти вычисления до сотен тысяч («не добравшись толком и до миллиона»). Чтобы представить себе, усилия какого порядка здесь требуются, я задался целью извлечь все простые числа из отрезка в тысячу чисел от 700 001 до 701 000, пользуясь при этом лишь теми средствами, которые могли быть доступны Гауссу, — карандашом, несколькими листами бумаги и списком простых чисел до 829 — именно такие простые требуются в процессе поиска простых среди чисел до 701 000.[25] Сознаюсь, что я бросил это занятие через час, когда я провел вычисления с простыми делителями до 47 — что означает, что мне оставалось еще 130 простых делителей. Я приглашаю вас самостоятельно попробовать такое упражнение. Это и были гауссовы «свободные четверть часа» (unbeschäftigte Viertelstunde).

Предложение, выделенное курсивом в отрывке из письма, которое Гаусс написал Энке, и составляет один из двух связанных с ТРПЧ результатов, обсуждавшихся в главе 3.ix. Как там было замечено, это утверждение эквивалентно самой ТРПЧ. Нет никаких сомнений в том, что Гаусс действительно работал над этим в начале 1790-х годов. Его заявлениям было найдено документальное подтверждение, так же как и другим заявлениям того же типа. Он просто не трудился публиковать свои результаты.

Любопытно, что первая опубликованная работа, относящаяся к ТРПЧ, принадлежит тому самому Адриену-Мари Лежандру, которого так возмутило заявление Гаусса об открытии им метода наименьших квадратов. В 1798 году — через пять или шесть лет после того, как Гаусс докопался до формулировки ТРПЧ, но не предоставил свои результаты в распоряжение человечества, — Лежандр опубликовал книгу, озаглавленную «Очерки о теории чисел», в которой он на основе своих собственных подсчетов числа простых чисел высказал предположение, что

для некоторых чисел A и B, которые «подлежат определению». В более позднем издании своей книги он уточнил это предположение (доказать которое он не смог) таким образом:

где A при больших значениях x стремится к некоторому числу, близкому к 1,08366. Гаусс обсуждает предположения Лежандра в своем письме к Энке в 1849 году он отвергает значение 1,08366, но не приходит ни к каким другим определенным выводам.

Нет сомнений, что если бы несчастный Лежандр прочитал письмо Гаусса к Энке, то оно вызвало бы у него еще один приступ гнева. По счастью, он скончался за несколько лет до того, как это письмо было написано.[26]

Раз уж эта глава посвящена обзору важных открытий и предположений, сделанных до 1800 года, и поскольку именно этот человек был создателем Золотого Ключа, о котором мы так много всего будем говорить в последующих главах, сейчас самое время представить вам другого математического гения высшей пробы, родившегося в XVIII столетии, — Леонарда Эйлера. Эйлер (1707-1783), как пишет Э.Т. Белл в своей книге «Творцы математики»[27], был, «вероятно, величайшим из всех ученых, которых породила Швейцария»; насколько мне известно, он остается единственным математиком, именем которого названы два числа: уже упоминавшееся число e, равное 2,71828…, и число Эйлера-Маскерони, для внятного описания которого в этой книге недостаточно места[28], равное 0,57721…^{A6} Чтобы познакомить вас с Эйлером, мне придется сначала представить вам новый географический регион, сыгравший важную роль в истории нашей темы.

Россия, как, я думаю, хорошо известно, вступила в современную эпоху несколько позднее остальной Европы, причем это вступление свершилось главным образом благодаря энергии и силе воображения Петра Великого, взошедшего на трон десятилетним мальчиком в 1682 году. Годами правления Петра обычно считаются 1682-1725, но в течение первых семи лет он правил совместно со своим подслеповатым, хромым и плохо выговаривающим слова сводным братом Иваном, а реальное управление находилось в руках сестры Ивана Софьи. Петр добился единоличного правления лишь в 1689 году в возрасте 17 лет. Но он и тогда не выказал большого интереса к государственным делам и провел следующие пять лет в забавах. По счастью, он был человеком острого ума и неуемной любознательности, и многие из его забав оказывались весьма полезными. Ему особенно нравилось общество иностранцев, которые к тому времени в значительном числе расселились в пригороде Москвы, в так называемой Немецкой слободе. Здесь, среди шотландских наемников, голландских купцов и немецких и швейцарских инженеров, Петр мог познакомиться с европейской наукой и культурой, а заодно удовлетворить свою страсть к фейерверкам и кораблям (в перерывах между бурными застольями и кутежами ночи напролет). В 1692-1693 годах на Плещеевом озере Петр сам построил военный корабль, от киля до мачт. В следующем 1694 году умерла его мать, и Петр стал полновластным государем.

В 1695-1696 годах этот необычный и необычной внешности человек — вдобавок к росту в 6 футов 7 дюймов он страдал нечастыми, но устрашающими лицевыми судорогами — напал на порт Азов на Черном море и отобрал его у турок-оттоманов. В 1697-1698 годах он инкогнито отправился во Францию, Британию и Голландию, став первым российским самодержцем, вообще выехавшим за границу; в ходе своего путешествия он учился. (По поводу его странствий в Британии хорошо известна — хотя и является, скорее всего, апокрифом — следующая история. Остановившись в сельском доме Джона Ивлина в пригороде Лондона, Петр однажды вошел в гостиную с мушкетом в руках и заявил на своем ломаном английском: «Я только что стрелял пейзан». — «Нет, нет, мой добрый друг, — со смехом ответил хозяин, — вы имеете в виду фазана». — «Nyet, — ответил Петр, качая головой, — Это быфф пейзан. Он быфф дерзкий, унт я стрелял его».) Вернувшись в Россию, Петр приступил к осуществлению целого ряда невиданных реформ, повелев боярам сбрить бороды, усмирив церковь и уничтожив старую московскую царскую гвардию — стрельцов, которые терроризировали его в детстве. В 1700 году он начал двадцатилетнюю войну со шведским королем Карлом; в 1703 году Петр вторгся на шведские земли и занял области вдоль Невы, от Ладожского озера до берегов Балтики. Там, на земле, которая все еще формально принадлежала могущественному и непобежденному врагу, в болотистой дельте Невы, он основал новую столицу, Санкт-Петербург.

Будучи одной из тех потрясающих личностей, существование которых опровергает взгляд на ход истории как на театр теней — бездушную пьесу, разыгрываемую обезличенными силами, — Петр продолжил реформы в сфере управления, дворянства, торговли, образования и даже повседневного одеяния своих подданных. Не все из этого заработало — другими словами, не все закрепилось; и не все достигло сумрачных, скрытых в лесах глубин этой обширной и древней страны; но нет сомнения, что положение, в котором Петр оставил Россию, было совсем не похоже на то, в котором он ее принял.

И, что имеет прямое отношение к теме данной книги, он превратил ее в место, гостеприимное для математиков и математики![29]

В январе 1724 года Петр издал указ об основании Академии наук в Санкт-Петербурге. В указе объяснялось, что в обычной ситуации академия наук, где ученые занимаются исследованиями и изобретениями для блага государства, отличается от университета, предназначение которого состоит в обучении молодых людей. Однако из-за острого недостатка образованных людей в России под управлением Санкт-Петербургской академии будут находиться еще университет и гимназия (т.е. учреждение для среднего образования). Предполагалось, что академия будет иметь также свои собственные обсерватории, лаборатории, мастерские, издательство, печатный цех и библиотеку. Петр ничего не делал наполовину.

Нехватка образования в России была и правда столь высока, что попросту не существовало россиян, способных стать членами академии. Более того, поскольку в России отсутствовало достаточное число начальных и средних школ, не было даже молодых россиян, в достаточной степени подготовленных для того, чтобы стать студентами в университете. Эти проблемы были решены путем импорта требуемого персонала. В Европе подобная практика была вполне распространенной. Первым директором Парижской академии наук, основанной за 60 лет до того, был голландский физик Кристиан Гюйгенс. Правда, Санкт-Петербург находился далеко от главных центров европейской культуры, а западноевропейцы все еще воспринимали Россию как страну темную и варварскую, и поэтому им следовало предложить очень привлекательные условия. Как бы то ни было, в конце концов колеса механизма закрутились, нехватка университетских студентов была компенсирована за счет импорта восьми немецких юношей. Санкт-Петербургская академия распахнула свои двери в августе 1725 года — слишком поздно для того, чтобы царь Петр мог председательствовать на церемонии: он умер за шесть месяцев до этого.

Среди иностранных ученых, присутствовавших на первом заседании Санкт-Петербургской академии наук, были два брата, Николай и Даниил Бернулли. Им было соответственно 30 и 25 лет — то были сыновья Иоганна Бернулли из швейцарского Базеля, того самого господина, с которым мы уже встречались в главе 1.iii в связи с гармоническим рядом. (Имелась целая династия математиков Бернулли; в описываемом поколении был и третий брат, который последовал примеру отца и стал профессором математики в Базельском университете и который «воплощал в себе математический гений своего родного города во второй половине XVIII столетия», как написано в «Словаре научных биографий».)

К несчастью, проведя менее года в Санкт-Петербурге, Николай Бернулли умер («от чахоточной лихорадки»), в результате чего в академии образовалась вакансия. Даниил Бернулли еще в Базеле был знаком с Леонардом Эйлером и сейчас же рекомендовал его. Эйлер был рад возможности занять академический пост в столь молодом возрасте и прибыл в Санкт-Петербург 17 мая 1727 года, через месяц после своего двадцатилетия.

По несчастливому стечению обстоятельств это произошло спустя десять дней после смерти императрицы Екатерины, жены Петра, которая наследовала ему на троне и которая продолжала воплощать в жизнь его план устройства академии. Для России наступали не лучшие времена. Пятнадцатилетний период между смертью Петра и воцарением его дочери Елизаветы был временем слабого, безвольного руководства, политики временщиков и периодических приступов ксенофобии. Все враждующие кланы содержали сети шпионов и доносчиков, и атмосфера в столице (каковой теперь являлся Санкт-Петербург) менялась с «плохо» на «очень плохо». В правление жестокой, коварной и сумасбродной императрицы Анны Иоанновны (1730–1740) Россия скатилась к одному из периодов государственного террора, к которому сама императрица испытывала особую склонность: в течение этого времени не прекращались суды по обвинению в измене, массовые казни и другие зверства. Этот период получил печальную известность под названием бироновщины, по имени фаворита Анны Иоанновны немца Эрнста Иоганна Бирона[30], на которого простые россияне возлагали всю вину.

Эйлер стойко выносил все это в течение 13 лет, с головой погрузившись в работу и твердо держась подальше от двора с его интригами. «Общая осмотрительность привила ему неистребимую привычку к работе», — пишет Э.Т. Белл, и это кажется разумным объяснением невероятной продуктивности Эйлера. Даже сейчас еще не закончено полное издание собрания его трудов. К настоящему моменту оно состоит из 29 томов по математике, 31 по механике и астрономии, 13 по физике и 8 томов переписки.

Но для друга Эйлера Даниила Бернулли, с которым они вместе поселились в первые годы жизни в Санкт-Петербурге, удушливая политическая атмосфера в послепетровской России оказалась слишком тяжелой. В 1733 году Даниил уехал обратно в Базель, а Эйлер возглавил кафедру математики в академии. Это позволило ему получать доход, достаточный для женитьбы. Его избранницей стала швейцарская девушка Екатерина Гзель, дочь художника, жившего в то время в Санкт-Петербурге.

В такой обстановке в 1735 году Эйлер и решил базельскую задачу, которую мы рассмотрим в следующей главе. Двумя годами позже в небольшом меморандуме о бесконечных рядах Эйлер получил результат, который я назвал Золотым Ключом и которому будет посвящена первая половина главы 7. Коротко говоря, Эйлер — одно из главных действующих лиц в нашем повествовании, однако это станет понятно немного позднее, по мере развертывания математической части истории.

К 1741 году Эйлер устал от окружавших его доносов и публичных экзекуций «изменников». На прусский трон к этому моменту взошел Фридрих Великий, уже приступивший к своему плану превращения прусского королевства (до 1700 года — всего лишь герцогства) в одно из наиболее могущественных государств в Европе. Он запланировал создание Академии наук в Берлине с целью заменить ею или с ее помощью вдохнуть новую жизнь в находившееся при смерти Научное общество этого города; он пригласил Эйлера — к этому моменту знаменитого по всей Европе — в качестве директора математического класса академии. Эйлер прибыл в Берлин 25 июля 1741 года, после месячного путешествия по морю и суше из Санкт-Петербурга. Мать Фридриха София-Доротея Английская (приходившаяся сестрой Георгу II) понравилась молодому Эйлеру (ему было всего 34 года), но не могла толком его разговорить. «Почему бы вам не побеседовать со мной?» — спросила она, на что Эйлер ответил: «Потому, мадам, что я приехал из страны, где тех, кто много говорит, отправляют на виселицу».

Но вообще-то Эйлеру полагалось заговорить. Это было частью плана по переселению его в Берлин. Фридрих желал видеть свой двор своего рода салоном, где блестящие люди обмениваются блестящими речами. Эйлер в самом деле был блестящим человеком, но, к сожалению, только в математике. Его высказывания на темы философии, литературы, религии, а также о событиях в мире, хотя и демонстрировали его хорошую информированность и здравый смысл, оставались довольно общими и невыразительными. Фридрих, кроме того, был эгоистом, любившим манипулировать людьми и хотя в принципе желал бы окружить себя гениями, в реальности же предпочитал посредственностей, которые ему льстили. Если не считать нескольких светил, таких как Вольтер и Эйлер, общий интеллектуальный уровень при дворе Фридриха, судя по всему, несколько недотягивал до выдающегося. В 1745-1747 годах Фридрих построил для себя летний дворец Сан-Суси в Потсдаме, в 20 милях от Берлина. (Эйлер помогал разработать систему водяных насосов для дворца.) Кто-то из гостей Сан-Суси спросил одного из наследных принцев: «Чем вы здесь занимаетесь?» Принц ответил: «Мы спрягаем глагол s'ennuyer». «S'ennuyer» означает «скучать». Языком двора Фридриха был французский — язык высшего общества по всей Европе.[31]

Эйлер задержался в Берлине на 25 лет, пережив там все ужасы Семилетней войны, когда иностранные армии дважды занимали Берлин, а каждый десятый подданный Фридриха умер от голода, болезни или пули. К тому времени на российском престоле воцарилась вторая Екатерина — Екатерина Великая. (Занятно, что на протяжении двух третей XVIII века — 67 лет из 100 — Россия, одна из наиболее трудных в управлении стран, управлялась женщинами, и в целом весьма успешно). Екатерина выказывала все признаки просвещенного монарха, при этом твердо удерживая трон. Более того, она была немецкой принцессой, и не исключено, что Эйлер каким-то образом свел с ней знакомство при дворе Фридриха еще до того, как ее отправили в Санкт-Петербург, чтобы выдать замуж за внука Петра Великого. Так или иначе, Эйлер оставил жеманство и интриги Сан-Суси и снова занял свою должность в Санкт-Петербурге — должность, которая невероятным образом ждала его, оставаясь незанятой. Последние 17 лет своей жизни он провел в России, до конца сохраняя работоспособность, и умер в возрасте 76 лет, полный сил и энергии (если не считать оставившего его зрения), в одно мгновение, держа внука на коленях.

В этом очерке о Леонарде Эйлере мне пришлось серьезно себя сдерживать, потому что по ряду причин Эйлер вводит в число наиболее любимых мною личностей в истории математики. Одна из причин — чтение его работ доставляет большое удовольствие. Эйлер всегда выражается коротко и ясно, без лишней суеты и без излишнего лоска, свойственного Гауссу. Эйлер писал преимущественно по-латыни, но это не препятствие для понимания его текстов, поскольку ему был присущ сдержанный и утилитарный стиль.[32]

Кристально ясная латынь Эйлера позволяет осознать, чего же лишилась западная цивилизация, когда ученые перестали писать на этом языке. Гаусс был последним из крупных математиков, кто придерживался латыни; ее забвение было одним из тех сдвигов, что принесли с собой Наполеоновские войны. Любопытно, что, хотя Венский конгресс, которым было отмечено окончание этих войн, представлял собой собрание реакционеров, намеревающихся восстановить в Европе status quo ante («как было прежде»), на самом деле эти войны до такой степени изменили все, что ничто после них не могло уже оставаться прежним. Историк Пол Джонсон написал об этом хорошую книгу «Рождение современности».

Другая причина, по которой меня привлекает фигура Эйлера, состоит в том, что он не гонялся за внешним блеском, не обладал какой-либо эксцентричной или курьезной чертой, а просто являл собой пример превосходного человека. Читая о его жизни, проникаешься его спокойной уверенностью в себе и внутренней силой. Эйлер ослеп на правый глаз, когда ему едва было 30 лет (бессердечный Фридрих называл его «мой Циклоп») и окончательно лишился зрения после шестидесяти. Похоже, что ни частичная, ни полная инвалидность не согнули его ни на йоту. Из его тринадцати детей лишь пятеро дожили до взрослого возраста и только трое пережили его. Его жена Екатерина умерла, когда Эйлеру было 69 лет; через год он женился во второй раз — тоже на девице по фамилии Гзель, сводной сестре Екатерины.

Он любил детей и, говорят, мог заниматься серьезными вычислениями в то время, как дети играли у его ног. (На меня как писателя, работающего дома в окружении двух маленьких детей, это производит действительно немалое впечатление.) По-видимому, он был не способен к интригам, никогда не терял друзей иначе как по причине смерти и был честен во всех своих начинаниях — хотя, если верить Стрэчи, готов был слегка поступиться принципами ради спокойной жизни![33] Он написал один из первых научно-популярных бестселлеров «Письма к немецкой принцессе», где объяснял обычным читателям, почему небо голубое, почему луна кажется больше, когда она восходит, а также рассматривал другие подобные вопросы, занимающие умы.[34]

В основе всего этого лежала твердая как гранит религиозная вера. Эйлер рос кальвинистом и всегда был привержен этой вере. Его отец, как и отец Римана, был пастором в деревенской церкви, и Эйлеру, как и Риману, изначально предназначалась церковная карьера. Сообщают, что во время жизни в Берлине «он каждый вечер собирал всю семью целиком и читал главу из Библии, сопровождая чтение проповедью». И это происходило ровно тогда, когда при дворе, согласно Маколею, «главнейшие темы разговоров вертелись вокруг нелепости религиозных убеждений любого толка». Трудолюбивый, благочестивый, стоический, преданный своей семье, живущий в простоте и просто изъясняющийся — неудивительно, что Фридрих его недолюбливал. Но настало время перейти от дней к трудам и взглянуть на первый великий триумф Эйлера — базельскую задачу.

Глава 5. Дзета-функция Римана

Базельская задача[35] названа в честь швейцарского города, в университете которого профессорами математики один за другим были двое братьев Бернулли — Якоб (с 1687 по 1705 год) и Иоганн (с 1705 по 1748 год). Мы упоминали в главе 1.iii, что оба брата Бернулли нашли доказательства расходимости гармонического ряда. В книге, где он опубликовал сначала доказательство брата, а потом и свое, Якоб Бернулли сформулировал приведенную выше задачу и обратился ко всем, кто знает, как с ней разобраться, с просьбой сообщить ему ответ. (Я очень скоро объясню, что значит «выразить в замкнутом виде».)

Заметим, что ряд, фигурирующий в этой задаче, — будем называть его «базельским рядом» — не слишком далек от гармонического ряда. Каждый член в нем, собственно говоря, равен квадрату соответствующего члена в гармоническом ряде. А возведение в квадрат числа, меньшего единицы, дает число еще меньшее: квадрат одной второй уменьшает ее до одной четвертой. И чем меньшее число возводится в квадрат, тем сильнее выражен этот эффект: одна четвертая лишь немного меньше одной второй, но квадрат одной десятой дает одну сотую, которая намного меньше, чем одна десятая.

Каждый член в базельском ряду, таким образом, меньше соответствующего члена в гармоническом ряду, и по мере продвижения вперед они делаются все меньше и меньше. Поскольку гармонический ряд лишь «едва-едва» расходится, вполне реальны надежды на то, что базельский ряд, составленный из меньших и даже много меньших величин, сойдется. Вычисление подсказывает, что на самом деле так и есть. Сумма первых десяти членов равна 1,5497677…, сумма ста членов составляет 1,6349839…, тысячи — 1,6439345…, а десяти тысяч — 1,6448340…. Действительно, впечатление такое, что ряд сходится к какому-то числу в окрестности 1,644 или 1,645. Но к какому?

В подобных ситуациях математиков не устраивает просто найти приближение, особенно когда рассматриваемый ряд сходится медленно, как в данном случае. (Сумма 10 000 членов все еще на 0,006 процента отличается от значения полной, бесконечной суммы, которая равна 1,6449340668….) Выражается ли ответ дробным числом, скажем, ⁹¹⁰⁸/₅₅₃₇ или ^{560 837 199}/_{340 948 133}? Или он имеет более сложный вид, может быть, в него входят корни, например, √⁴⁶/₁₇, или же корень пятой степени из ^{11 983}/₉₉₅, или же корень восемнадцатой степени из 7776[36]? Чему равен ответ? Неспециалист решил бы, что вполне достаточно знать это число с точностью до нескольких знаков после запятой. Но нет, математики желают знать его точно, если только это возможно. Не просто потому, что они одержимы навязчивой идеей, но и потому, что по опыту знают: получение точного ответа нередко открывает ранее запертые двери и проливает свет на более глубокие математические вопросы. Математический профессиональный термин для такого точного представления — это «замкнутый вид». А десятичное приближение, неважно, насколько точное, — «незамкнутый вид». Число 1,6449340668… — это незамкнутый вид. Сами видите, что многоточие сообщает нам, что правая часть не завершена и при желании можно проделать вычисление, чтобы добавить туда еще цифры.

Базельская задача была поставлена так: найти замкнутый вид ряда из обратных квадратов. Задача была в конце концов побеждена в 1735 году, через 46 лет после своей постановки, и сделал это молодой Леонард Эйлер, трудившийся в далеком Санкт-Петербурге. Потрясающий ответ имеет вид π²/6. Да, это «то самое» π, магическое число, равное 3,14159265…, — отношение длины окружности к ее диаметру. Что же оно делает в задаче, которая не имеет ни малейшего отношения не только к окружностям, но и вообще к геометрии?! Современных математиков это не так уж изумляет, они привыкли, что π можно встретить в математике где угодно, но в 1735 году этот ответ произвел сильное впечатление.

Базельская задача подводит нас к дзета-функции — объекту, с которым мы имеем дело в Гипотезе Римана. Но прежде чем мы сможем познакомиться с дзета-функцией, надо вспомнить кое-что из математических основ: степени, корни и логарифмы.

Степени — это прежде всего повторяющееся умножение. Число 12³ — это 12×12×12, где перемножаются три сомножителя, а 12⁵ — это 12×12×12×12×12, где сомножителей пять. Что получится, если умножить 12³ на 12⁵? Это будет (12×12×12)×(12×12×12×12×12), что, конечно, составляет 12⁸. Надо просто сложить степени: 3 + 5 = 8. В этом и состоит первое великое правило действий со степенями.

(Давайте я здесь прямо и скажу, что во всем этом разделе мы будем иметь дело только с положительными значениями буквы x. Возводить в степень нуль — пустая трата времени, а возведение в степень отрицательных чисел приводит к занятным проблемам, о которых мы поговорим позднее.)

Что будет, если разделить 12⁵ на 12³? То есть вычислить (12×12×12×12×12)/(12×12×12). Можно сократить три множителя 12 сверху и снизу, и в результате останется 12×12, т.е. 12². Как видно, это все равно что вычесть степени.

А теперь возведем 12⁵ в куб: (12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12) дает 12¹⁵. На этот раз степени перемножаются.

Таковы три самых важных правила, которые говорят нам, как обращаться со степенями. В дальнейшем мы будем ссылаться на них как на «правила действий со степенями» без дополнительных объяснений. Однако это пока не все правила. Нам потребуется еще несколько, потому что до сих пор у нас были степени, выражаемые положительными целыми числами. А как обстоит дело с отрицательными и дробными степенями? А со степенью нуль?

Начав с последнего, заметим, что если x⁰ вообще что-нибудь будет означать, то хорошо бы добиться согласованности с теми правилами, которые у нас уже есть, потому что они являются прямым выражением здравого смысла. Возьмем во 2-м правиле n равным m. Тогда в правой части, как видно, получится x⁰. А в левой части будет x^m: x^m. Но когда число делится само на себя, получается единица.

2-е правило можно использовать и для того, чтобы придать смысл отрицательным степеням. Разделим 12³ на 12⁵. Согласно 2-му правилу, ответ должен быть равен 12⁻². Но при этом он равен и (12×12×12)/(12×12×12×12×12), что после сокращения трех множителей 12 в числителе и знаменателе даст 1/12².

3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x^1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x. Значит, x^1/3 есть просто кубический корень из x. (Определение «кубического корня из x»: это число, куб которого равен x). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x^2/3 — это кубический корень из x, возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x²).

Поскольку 12 — это 3×4, получаем, что 12⁵ равно (3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4). Это можно переписать как (3×3×3×3×3)×(4×4×4×4×4). Короче говоря: 12⁵ = 3⁵×4⁵. Такое верно и в общем случае:

А что насчет возведения x в иррациональную степень? Что могло бы означать 12^√2, или 12^π, или 12^e? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к √2. Она выглядела так: ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к √2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 12¹ равно просто 12, а 12^3/2 — это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 12^7/5 — это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 12^17/12 равно 33,794038815…, 12^41/29 равно 33,553590738…, 12^99/70 равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к √2, очень похоже на правду, что 12^√2 = 33,588665890….

Итак, задавшись положительным числом x, можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций x^a для различных чисел a в интервале от −2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х⁰, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x — то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента x значение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x², x³, x⁸, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x^0,5.

Возведение чисел в степени на первый взгляд выглядит похожим на умножение. Умножение сначала представляют как кратное сложение: 12×5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12, затем на следующем уровне сложности объясняется, что такое 12×5¹/₂ где на самом деле содержится кое-что еще, кроме кратного умножения. Похожим образом обстоит дело и с возведением в степень. Определить 12⁵ совсем легко, это кратное умножение: 12×12×12×12×12. Чтобы справиться с , требуются дополнительные объяснения, подобные тем, что предложены в предыдущем разделе.

Как я уже говорил, математики обожают обращать выражения. Скажем, пусть задано выражение величины P через Q. Отлично, давайте посмотрим, можно ли выразить Q через P. И здесь аналогия между умножением и возведением в степень нарушается. Обратить умножение легко: если x = a×b, то a = x:b и b = x:a. Деление полностью решает проблему обращения умножения.

Аналогия нарушается, потому что a×b всегда и без единого исключения равно a×b, но, к сожалению, неверно (за исключением случайных совпадений), что a^b = b^a (единственный случай, когда это так для целочисленных степеней и не совпадающих a и b — это 2⁴ = 4²). Например, 10² есть 100, но 2¹⁰ есть 1024. Поэтому, если мы собираемся обратить x = a^b, то нам понадобятся две разные вещи: способ выразить a через x и b и, отдельно, способ выразить b через x и a. Первое — не проблема. Возведем обе части в степень ¹/_b и в соответствии с 3-м правилом получим a = x^1/b (что согласно 6-му правилу означает, что a есть корень b-й степени из x). Но как же выразить b через x и а? Правила действий со степенями не дают здесь никаких подсказок.

Здесь-то и появляются логарифмы. Ответ таков: b есть логарифм x по основанию a. Это просто-напросто определение логарифма. Логарифм числа x по основанию a (обычно записываемый как log_a x) определяется как такое число b, для которого верно равенство x = a^b. Это дает целое семейство логарифмических функций: логарифм x по основанию 2, логарифм x по основанию 10 (который более старшие читатели могут припомнить в качестве облегчающего вычисления средства, — его проходили в старших классах школы примерно до 1980 года) и т.д. Можно было бы представить их все в виде графиков, как это сделано для графиков функций х⁰ на рисунке 5.1.

Я не буду этого делать, потому что мне глубоко безразличны все члены логарифмического семейства, кроме одного — логарифма по основанию e, где e — необычайно важное, хотя и иррациональное число 2,71828182845…. Логарифм по основанию e — единственный, который меня интересует, и единственный, которым мы будем пользоваться в этой книге. На самом деле я больше не буду говорить «логарифм по основанию e», а буду говорить просто «логарифм».[37] Так что же такое логарифм числа x? По данному выше определению, это такое число b, для которого делается верным равенство x = e^b.

Поскольку ln x — это такое число b, для которого верно равенство x = e^b, ясно, что x = e^{ln x}. Это равенство — просто записанное математически определение того, что такое ln x. Но в дальнейшем оно будет играть такую важную роль, что мы сделаем из него правило.

Это верно для любого положительного числах. Например, ln 7 есть 1,945910… по той причине, что (с точностью до шести знаков после запятой) 7 = 2,718281^1,945910. Отрицательные числа не имеют логарифмов (хотя это еще одна вещь, по поводу которой я оставляю за собой право потом передумать). И нуль также не имеет логарифма. Не существует такой степени, в которую можно было бы возвести в, чтобы получить отрицательный или нулевой результат. Область определения логарифма составляют все положительные числа.

Логарифмическая функция присутствует повсеместно в рассматриваемой области математики. Мы уже встречали ее в главе 3.viii-ix, где она участвовала в Теореме о распределении простых чисел и в ее эквивалентных формулировках. Она будет появляться снова и снова в этой книге во всем, что имеет отношение к простым числам и дзета-функции.

Раз уж логарифмическая функция будет встречаться на каждом шагу, рассмотрим ее подробнее. На рисунке 5.2 показан график[38] функции ln x для аргументов, простирающихся до 55. В частности, отмечены значения этой функции для аргументов, равных 2, 6, 18 и 54. Эти аргументы растут «по умножению» на тройку, а как видно из графика, соответствующие значения функции растут равными шагами — т.е. «по сложению». Именно это обстоятельство подчеркивалось, когда мы говорили о логарифмической функции в главе 3.viii.

Дело стоит того, чтобы сказать еще несколько слов. Логарифмическая функция хороша тем, что она превращает умножение в сложение. Взглянем на линии, отмеченные на графике. Аргументы равны 2, 6, 18 и 54 — мы начинаем с 2, потом умножаем на 3, потом снова на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Значения функции, если ограничиться четырьмя знаками после запятой, равны 0,6931, 1,7918, 2,8904 и 3,9890 — они начинаются с 0,6931, потом прибавляется 1,0987, затем 1,0986 и еще раз 1,0986. Логарифмическая функция превратила умножение (на 3 в нашем случае) в сложение (прибавление числа ln 3, равного 1,09861228866811…).

Это следует из определения ln x и из правил действий со степенями. Из 8-го правила следует, что если a и b — любые два положительных числа, то a×b = e^{ln a}×e^{ln b}. Но, заменяя правую часть согласно 1-му правилу, получаем a×b = e^{ln a + ln b}. Однако a×b — само по себе некоторое число, и, согласно 8-му правилу, имеем a×b = e^{ln (a×b)}. Мы получили два различных выражения для a×b. Приравнивая их, получаем новое правило действий со степенями.

Это потрясающая штука. Она означает, что, когда мы сталкиваемся со сложной задачей на умножение, «взятие логарифмов» (т.е. применение того принципа, что из равенства P = Q следует равенство ln P = ln Q) позволяет свести ее к задаче на сложение, которая может оказаться проще. Звучит это почти банально, и тем не менее именно этот нехитрый приемчик понадобится нам в главе 19.v для того, чтобы повернуть Золотой Ключ.

Из того, что ln (a×b) = ln a + ln b, следует, что ln (a×a×a×…) = ln a + ln a + ln a + …. И это дает последнее правило действий со степенями.

Не повторяя необходимую цепь логических рассуждений, просто отметим, что это правило применимо ко всем степеням буквы а, включая и отрицательные. Особо важный частный случай состоит в том, что ln (1/a) = −ln a, поскольку 1/а есть не что иное, как a⁻¹. Так что если нам известно, что ln 3 = 1,09861228866…, то мы немедленно заключаем, что ln ¹/₃ = −1,09861228866…. Вот почему график функции ln x проваливается вниз к отрицательной бесконечности по мере того, как x делается все ближе и ближе к нулю. Это обстоятельство тоже поможет нам повернуть Золотой Ключ.

Как мы видим, ln x — медленно возрастающая функция. Неторопливость, с которой ln x возрастает, не только сама по себе обворожительна, но и важна. Главное здесь то, что ln x растет медленнее, чем любая степень буквы x. На первый взгляд это кажется довольно очевидным. Когда я говорю «степень буквы x», вы, должно быть, думаете о квадратах и кубах; а как вы знаете, график функции возведения в квадрат или куб так лихо вылетает за границы рисунка, что его и сравнивать нечего с еле плетущейся логарифмической функцией. Это, конечно, верно, но дело не в этом. Я имею в виду не степени вроде х² или х³, а степени типа х^0,1.

На рисунке 5.3 показаны графики некоторых функций x^a для малых значений a. Там выбраны a = 0,5, 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1, а пунктиром для сравнения показана логарифмическая функция. Как видно, чем меньше a, тем более плоским делается график функции x^a. А кроме того, для тех a, которые меньше определенного значения (на самом деле — значения 1/e, что равно 0,3678794…), кривая, отвечающая функции ln x, пересекает кривую x^a до того, как уйти достаточно далеко на восток.

Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a, все равно график функции ln x рано или поздно окажется более плоским, чем график x^a. Если а больше чем 1/e, то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же a меньше чем 1/e, то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x, мы увидим, как кривая ln x снова пересекает кривую x^a, после чего уже навсегда остается ниже нее.

Разумеется, путешествие может оказаться неблизким. Кривая ln x повторно пересекает кривую x^0,3 чуть к востоку от точки x = 379; она повторно пересекает кривую x^0,1 только после того, как пройдет через точку x = 332 105; и она повторно пересекает кривую x^0,001 только после прохождения точки x = 3 430 631 121 407 801. Если бы мы нарисовали график функции x в степени одна триллионная (т.е. x^{0,000000000001}), то она выглядела бы до безобразия плоской. Настолько, что ее нелегко было бы отличить от функции «остановки сердца», которая имеет высоту 1 над осью x, — ничего похожего на изящно восходящую кривую логарифмической функции. Логарифмическая кривая пересекла бы ее на малюсеньком расстоянии к востоку от e. И однако же степенная функция растет, хотя и чрезвычайно медленно, в то время как логарифмическая функция постепенно становится все более пологой. Рано или поздно они снова пересекутся, и тогда уже логарифмическая кривая навеки останется под кривой x^{0,000000000001}. Точка пересечения в этом случае наступит при таком большом аргументе, что я не могу его здесь записать: это число начинается как 44 556 503 846 304 183… и содержит еще 13 492 301 733 606 цифр.

Картина такова, как будто ln x старается быть функцией x⁰. Конечно, это не x⁰: для любого положительного числа выражение x⁰ определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln x и не есть x⁰, она умудряется при достаточно больших x поднырнуть под функцию x^ε со сколь угодно малым ε и оставаться там уже навсегда.[39]

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln x рано или поздно будет расти медленнее, чем x^0,001, и x^0,000001, и x^0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждение в некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln x)¹⁰⁰ рано или поздно будет расти медленнее, чем x^0,1, и x^0,0001, и x^0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x, то это же верно и для любой степени функции ln x. Каждая из функций (ln x)², (ln x)³, (ln x)⁴, …, (ln x)¹⁰⁰, … растет медленнее, чем любая степень x. Независимо оттого, сколь велико N и сколь мало ε, график функции (ln x)^N в конце концов поднырнет под график функции x^ε и останется там, внизу.

Такое нелегко себе представить. Функции (ln x)^N растут быстро — и даже очень быстро. И тем не менее, если на рисунке 5.3 отойти достаточно далеко на восток, то рано или поздно, при некотором впечатляюще большом аргументе, каждая из них опустится ниже кривой x^0,3, x^0,2, x^0,1 и вообще любой кривой из этого семейства, какую вы только потрудитесь нарисовать. Придется отправиться на восток в окрестность точки x = 7,9414×10³⁹⁵⁹, прежде чем (ln x)¹⁰⁰ опустится ниже, чем x^0,3; и однако же это случится.

Кое-что из сказанного понадобится нам прямо сейчас, а кое-что останется на потом. Но все сказанное важно для понимания Гипотезы Римана, и я призываю вас проконтролировать некоторые основные моменты — проверить, как вы их понимаете, прежде чем двигаться дальше. Для этого сгодится карманный калькулятор. Можете, например, найти ln 2 (он равен 0,693147…) и ln 3 (равный 1,098612…) и удостовериться, что при сложении их действительно получается ln 6 (равный 1,791759…). Но только обратите, пожалуйста, внимание, что (как я уже упоминал) прежде использовались логарифмы по основанию 10, так что клавиша «log» на многих карманных калькуляторах вычисляет именно десятичные логарифмы. Тот единственный логарифм, который нас здесь интересует, — логарифм по основанию e — на калькуляторе, как правило, вычисляется с помощью альтернативной клавиши, помеченной ln x. Вот эта клавиша вам и нужна. (Буква n указывает на «натуральный» логарифм; логарифм по основанию e по всем правилам называется «натуральный логарифм».)

Ну а теперь вернемся к базельской задаче.

Эйлерово решение базельской задачи прекрасно иллюстрирует сделанное в разделе I этой главы замечание, что поиск решений в замкнутом виде расширяет понимание, позволяя проникнуть в суть вещей. Эйлерово решение дало не только замкнутое выражение для ряда из обратных квадратов, но в качестве побочного продукта еще и замкнутые выражения для рядов , и т.д. Для четных N результат Эйлера дает в замкнутом виде точное значение для следующего бесконечного ряда (5.1):

Когда N равно двум, ряд сходится к π²/6, как уже было сказано; когда N равно 4, ряд сходится к π⁴/90; когда N равно 6, ряд сходится к π⁶/945 и т.д. Метод Эйлера дает ответ для каждого четного N. В более поздней публикации он сам добрался до N = 26, когда ряд сходится к числу 1 315 862π²⁶/11 094 481 976 030 578 125.

А что, если N нечетное? Полученный Эйлером результат ничего про это не говорит. Как не говорит и ни один другой результат, полученный за последующие 260 лет. Нет никаких идей относительно замкнутого выражения (если таковое вообще существует) ни для , ни для аналогичного ряда при других нечетных показателях степени. Никто не смог найти замкнутое выражение для этих рядов. Мы знаем, что они сходятся, и можем, конечно, методом грубой силы вычислить их значение с любой требуемой точностью. Мы просто не знаем, что они означают. Только в 1978 году было доказано, что ряд определяет иррациональное число.[40]

Итак, к середине XVIII века немало математиков задумывались над бесконечным рядом из выражения (5.1). Точные значения — замкнутый вид — были известны для всех четных чисел N, тогда как для нечетных можно было получать приближенные значения, беря сумму достаточного числа членов. Не будем забывать, что, когда N равно 1, соответствующий ряд становится просто гармоническим рядом, который расходится. В таблице 5.1 приведены значения выражения (5.1) (которое, напомним, есть ) с точностью до 12 знаков после запятой.

Эта таблица похожа на один из тех «мгновенных снимков» некоторой функции, которые мы рассматривали в главе 3.iv. Так примерно дело и обстоит. Вспомним утверждение Гипотезы Римана, приведенное во вступлении.

Таблица 5.1 дает нам первое представление о дзета-функции Римана и тем самым представляет собой первый шаг к пониманию Гипотезы Римана.

Коль скоро в предшествующих разделах данной главы мы потрудились придать смысл степенной функции x^a для любого числа a, а не просто для целых чисел, сейчас нет причины ограничивать букву N в выражении (5.1) целыми числами. Можно представить себе, как это число свободно парит, принимая различные значения — дробные, отрицательные и иррациональные. Нет, правда, гарантии, что ряд будет сходиться для всех чисел — как мы уже знаем из главы 1.iii, он не сходится при N = 1. Но можно, по крайней мере, попытать счастья, исследуя разные возможности.

В связи с осознанием этой новой мысли, сменим обозначение N на другую букву, которая имеет меньше традиционных ассоциаций с целыми числами. Очевидным выбором, конечно, была бы буква x. Но Риман в своей работе 1859 года не использовал икса. Подобные вопросы в его время не были урегулированы. Вместо этого он пользовался буквой s; а его работа 1859 года приобрела такое значение, что все математики, жившие после Римана, вслед за ним использовали ту же букву. В исследованиях, посвященных дзета-функции, аргумент всегда обозначается буквой s.

И вот наконец перед нами дзета-функция Римана (дзета, которая пишется как ζ, — это шестая буква греческого алфавита) (5.2):

Прежде чем двигаться дальше, давайте введем полезные математические обозначения, которые сократят работу по набору формул. (Думаете, легко вставить штуки, подобные выражению (5.2), в Microsoft Word?)

Если математики хотят сложить некоторое множество членов, которые все построены по общему закону, то они используют знак ∑. Это заглавная буква «сигма», восемнадцатая буква греческого алфавита, обозначающая греческую «с» (первую букву в слове «сумма»). Применяется она следующим образом. Суммируемый член, записанный с помощью данного правила, помещается «под» (на самом деле имеется в виду — справа, хотя вопреки логике говорится «под») знаком сигмы. А снизу и сверху от сигмы указывается, где сумма начинается и где заканчивается. Например, выражение

представляет собой математическую «стенографию» — краткую запись выражения √12 + √13 + √14 + √15. Сигма говорит нам: «Сложить их!»; выражения сверху и снизу от сигмы показывают, где начать сложение и где его закончить; и наконец, выражение под знаком сигмы говорит, что, собственно, надо складывать — в данном случае √n.

Математики не особенно педантичны по поводу стиля таких выражений. Приведенную выше сумму часто записывают как

поскольку ясно, что именно n пробегает значения от 12 до 15. Теперь, вовсю используя знак сигмы, мы можем не тратить силы на лишние символы, а записать выражение (5.2) в виде

А с учетом 5-го правила действий со степенями это же можно записать как

И более того, поскольку n с очевидностью (и часто) используется для обозначения положительных целых чисел 1, 2, 3, 4, …, математики сокращают запись еще сильнее и просто пишут

что выражает ту же самую дзета-функцию Римана. Читается это так: «дзета от s определена как взятая по всем n сумма от n в степени минус s». Здесь «по всем n» понимается как «по всем целым положительным п».

Получив дзета-функцию в виде изящного выражения, посмотрим повнимательнее на ее аргумент s. Из главы 1.iii мы уже знаем, что при s, равном единице, ряд расходится, и, следовательно, у дзета-функции нет значения. При s, равном 2, 3, 4, …, он всегда сходится и тем самым дает значения дзета-функции (см. таблицу 5.1). На самом деле можно показать, что ряд сходится при любом s, большем единицы. При s, равном 1,5, ряд сходится к 2,612375…. При s, равном 1,1, он сходится к 10,584448…. А при s, равном 1,0001, он сходится к 10000,577222…. Может показаться странным, что ряд расходится при s = 1, но при этом умудряется сходиться при s = 1,0001. Это, однако, нормальная ситуация в математике. На самом деле, когда s очень близко к 1, дзета-функция замечательным образом ведет себя подобно функции 1/(s − 1). Эта функция также имеет значения при всех s, кроме того случая, когда s в точности равняется 1, поскольку знаменатель тогда равен нулю, а на нуль делить нельзя.

Некоторую ясность может внести график. На рисунке 5.4 показан график дзета-функции. Как видно, когда аргумент s приближается к 1 справа, значения функции убегают на бесконечность, а когда s само уходит на бесконечность далеко справа, функция все более и более приближается к 1. (Я пририсовал еще два пунктира: линию s = 1 и график постоянной функции.)

На графике не показано ничего про дзета-функцию слева от линии s = 1. Это потому, что до сих пор мы предполагали, что s больше единицы. А если меньше? Если, скажем, s равно нулю? Ну, тогда выражение (5.2) примет вид

Но согласно 4-му правилу эта сумма равна 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …, что довольно очевидным образом расходится. Возьмем сумму ста членов: она будет равна 100; тысячи — 1000. Сложение миллиона слагаемых дает значение 1000 000. Да, ряд расходится.

С отрицательными числами дело обстоит еще хуже. Каково значение выражения (5.2), если s равно −1? Из 5-го правила следует, что 2⁻¹ — это просто ¹/₂, 3⁻¹ — просто ¹/₃ и т.д. Поскольку 1:¹/₂ есть просто 2, 1:¹/₃ — просто 3 и т.д., наш ряд принимает вид 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …, что определенно расходится. А как насчет s = ¹/₂? Поскольку 2^1/2 — это просто √2 и т.д., ряд принимает вид

Поскольку квадратный корень из любого целого числа меньше самого числа, каждый член этого ряда[41] больше, чем соответствующий член ряда 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + …. (Элементарная алгебра: если a меньше, чем b, то 1/a больше, чем 1/b. Например, 2 меньше, чем 4, но 1/2 больше, чем 1/4). Указанный ряд расходится, а значит, интересующий нас ряд также расходится. Ну и правда, если вы потрудитесь вычислить суммы, то окажется, что первые десять членов суммируются к 5,020997899…, первые сто — к 18,589603824…, первые тысяча — к 61,801008765…, а первые десять тысяч — к 198,544645449… и т.д.

Похоже, что на графике изображено все, что можно показать про дзета-функцию Римана. Кроме этого, ничего больше нет. Функция имеет значения, только когда s больше единицы. Или, как мы теперь можем сказать с использованием должного профессионального термина, область определения дзета-функции составляют все числа, большие единицы. Верно? Нет!

Глава 6. Великое соединение

Китайское слово Тай-е буквально переводится как «самый дальний дедушка» (прадедушка). Такой титул присвоен в семье моей жены ее деду по отцовской линии. Когда мы ездили в Китай летом 2001 года, нашей первейшей обязанностью было навестить Тай-е. Семья бесконечно им гордится, ибо он дожил до 97 лет в добром здравии и с ясной головой. «Ему девяносто семь лет! — говорили мне все. — Вам непременно надо встретиться с ним!» Я и встретился с ним — бодрым, располагающим к себе Буддой в цветущем человеческом воплощении, с румяным лицом и по-прежнему острым умом. Однако вопрос о том, правда ли ему 97 лет, довольно интересен.

Тай-е родился на третий день двенадцатого лунного месяца лунного года и сы по традиционному летосчислению, принятому в поднебесной.[42] По западному календарю это было 28 декабря 1905 года. Поскольку мой приезд пришелся на начало июля 2001 года, возраст Тай-е по современному западному исчислению в тот момент составлял 95¹/₂ лет и несколько дней. Так почему же все говорили, что ему 97 лет? Потому что по старому китайскому стилю, которого и придерживался Тай-е, возраст его при рождении составлял один год, и к этому добавлялся год всякий раз, как наступал Новый год по лунному календарю — каковой случился 24 января 1906 года по нашему календарю, через 27 дней после его рождения. Он не прожил еще и месяца в этом мире, а ему уже было два года! Таким образом, когда наступил лунный Новый год в 2001 году (что случилось также 24 января, хотя вообще-то лунный Новый год может выпасть на любую дату между 21 января и 20 февраля), Самый Дальний Дедушка отпраздновал свое 97-летие.

В традиционной китайской системе подсчета возраста нет ничего неправильного. Вы появляетесь в этом мире в такой-то день. Этот день является частью определенного года. Ясно, что этот год — ваш первый год. Если спустя 28 дней наступает следующий год — отлично, он будет вашим вторым годом. Все это вполне осмысленно. Единственная причина, по которой такая система выглядит странно, состоит в том, что современные люди (в Китае в той же степени, что и на Западе) привыкли при подсчете лет оперировать временем как чем-то таким, что можно измерить. Но когда Тай-е был молодым, китайцы воспринимали возраст человека как нечто, подлежащее счету.

Такое различие между числами для счета и числами для измерения глубоко проникло в людскую речь и само мышление. Похоже на то, что мы одной частью своей головы воспринимаем мир составленным из четко отделенных друг от друга твердых объектов, которым можно присвоить инвентарные номера, а другой частью видим мир в виде совокупности материалов, тканей и субстанций, которые надлежит делить на единицы и измерять. Параллельное осмысление обеих концепций дается нелегко. Мой шестилетний сын до сих пор путает слова для обозначения числа и количества, «many» и «much». После рождественских праздников он спросил у своего друга: «How much presents did you get?»[43]

Наше восприятие мира отражается в языке. Английский язык воспринимает мир как место, в основном поддающееся подсчету в существующих отдельно штуках: одна корова, две рыбы, три горы, четыре двери, пять звезд. Несколько реже наш язык воспринимает мир как нечто, нуждающееся в измерении при помощи соответствующих единиц: трава — одна былинка; бумага — два листа; скот — три головы; рис — четыре зернышка; бензин — пять галлонов. Слова «былинка», «лист», «голова», «зернышко», «галлон» — хотя, разумеется, каждое из них и может жить своей собственной жизнью — выступают здесь в роли единиц измерения. Китайский же язык, в отличие от английского, рассматривает практически все сущее как измеряемое. Одна (хотя и не самая главная) вещь, которую приходится зубрить при изучении китайского, — запоминание правильного «счетного слова» (таков точный перевод китайского грамматического термина лян цы) для каждого существительного: одна голова коровы, две ленты рыб, три постамента гор, четыре лопасти дверей, пять зерен звезд.[44] Во всем китайском языке только два слова можно выпустить на свободу без счетного слова: «день» и «год». Все остальное — коровы, рыбы, горы, двери, звезды — представляет собой род субстанции, которую необходимо разделить и измерить, прежде чем о ней можно будет говорить.

Затруднения по поводу определения количества в свое время вызвали многочисленные споры и привели ко многим неудобствам. Во времена миллениума, например, который большинство из нас отмечали, когда год 1999-й сменился годом 2000-м, немногочисленные сеющие раздор диссиденты говорили, что все это неправильно. Их недовольство основывалось на том факте, что наш обычный календарь сконструирован без нулевого года. Первому дню первого года от P.X. предшествовал последний день первого года до P.X. Так произошло, потому что Дионисий Малый — живший в VI веке монах, совместивший христианскую систему нумерации лет с месяцами и днями календаря Юлия Цезаря, рассматривал годы как вещь исчисляемую, в точности как наш Тай-е. Первому году христианской эры тем самым надлежало быть годом 1, второму — годом 2 и т.д.

Источник проблемы несложно понять. Возьмем обычную школьную линейку. (Не в первый уже раз на протяжении этой книги. Удивительно, сколь много математики — и даже высшей — можно соотнести с отметками на футовой линейке за 1 доллар 89 центов.) Ну да, на ней отмечены 12 дюймов. Да, вы можете их пересчитать: 1, 2, 3, …, 12. Но если вы муравей и начали путешествие от левого конца линейки к правому и только что прошли первые полдюйма, то где же вы? В середине первого дюйма? Да. Значит, в середине дюйма номер 1? Конечно, если угодно. Но какова точная мера расстояния, которое вы прошли? Хм, это 0,5 дюйма. Поскольку движение — это непрерывный процесс (ибо муравей рано или поздно пройдет через каждую точку на линейке), это число намного более интересно и важно для математика. Математик предпочитает поэтому говорить, что вы на половине пути (другими словами, на 0,5 пути) через нулевой дюйм, что и определяет ваше положение как 0,5.

Современные люди достаточно математически изощренны, чтобы большую часть времени думать подобным образом. Это в действительности и представляло собой источник смятения для упомянутых «жалобщиков» на миллениум или же, в зависимости от того, какую точку зрения вы принимаете, для беззаботных весельчаков поздним вечером 31 декабря 1999 года. Жалобщики говорили: «Если вы измерите время, прошедшее от момента начала новой эры до самого конца 1999 года, вы наберете только 1999 полных лет. Вам надо подождать, пока не истечет 2000-й год». Они применяли логику измерений к системе, основанной на логике счета. А предающиеся веселью говорили: «Наступает год с номером 2000. Ур-ра!» — чисто «счетная» логика. И однако, те же весельчаки могут скатиться на логику измерения при ответе на вопрос о возрасте их недавно родившегося ребенка: «Ах, ему всего полгода». Другими словами, его возраст составляет 0,5 года — измерительная логика, по крайней мере по контрасту с традиционным китайским подходом. (У них, правда, есть возможность запутать все дело еще больше, сказав «Шесть месяцев…»)

Я однажды вступил в мягкую полемику с писателем и любителем слов Вильямом Ф. Бакли-мл. относительно слова «data» — слово это во множественном или единственном числе? Происходит оно от латинского глагола dare — давать. Отсюда, следуя обычным процессам в латинской грамматике, можно образовать отглагольное существительное datum, означающее «то, что дано». Из него, в свою очередь, можно образовать множественное число: data — «те вещи, которые даны». Но мы говорим по-английски, а не на латыни. Масса существительных в латинском множественном числе используется в английском в единственном числе: agenda, например. Никто не говорит «The agenda are prepared». Английский — это наш язык, и если мы заимствуем слово из другого языка, мы можем поступать с ним, как нам нравится.

Проработав с данными (data) всю свою сознательную жизнь, я неплохо себе представляю, что это такое. Это особое «тело» или даже субстанция, состоящая из неисчислимых маленьких частичек, неотличимых одна от другой — подобно рису, песку или траве. Применительно к субстанциям и телам такого типа в английском языке надо употреблять глаголы в единственном числе («рис сварился») или же использовать счетные слова. Если вы желаете ухватить одну частичку и рассматривать именно ее, требуется счетное слово: «зернышко риса», «элемент данных». Именно так, кстати, инстинктивно и говорят люди, которые зарабатывают себе на жизнь обработкой данных. Среди людей, содержание работы которых — данные, никто никогда не скажет «One datum, two data».[45] Если бы они сказали такое, их никто бы не понял. И однако же грамматисты хотят, чтобы мы говорили «The data are…» Мое предсказание состоит в том, что они в конце концов проиграют бой.[46]

В качестве последнего примера приведу тот, который озадачивал меня в школьные годы, прошедшие под знаком англиканской церкви: рассмотрим те три дня, которые Иисус Христос пролежал в могиле перед тем, как воскреснуть в согласии со своим собственным пророчеством: «После трех дней воскресну». Трех дней? Он был распят в пятницу — Страстную пятницу. Воскресение состоялось в воскресенье. Это составляет 48 часов, если измерять, но, разумеется, три дня (пятница, суббота, воскресенье), если считать, как и поступали те эллинизированные интеллектуалы, которые составили Новый Завет.[47]

Гипотеза Римана родилась из столкновения, названного в заглавии данной главы великим соединением, между логикой подсчета и логикой измерения. Выражаясь точным математическим языком, она возникла, когда некоторые идеи из арифметики были скомбинированы с некоторыми идеями из анализа и образовалась новая штука, новая ветвь на древе математики — аналитическая теория чисел.

Вспомним традиционные категории математики, о которых мы говорили в главе 1.viii.

1. Арифметика — наука о целых числах и дробях.

2. Геометрия — наука о фигурах в пространстве.

3. Алгебра — использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать.

4. Анализ — наука о пределах.

Эта четырехчленная схема закрепилась в людских головах около 1800 года, а великое соединение, которое я собираюсь описать в данной главе, было соединением идей, до 1837 года существовавших каждая сама по себе под двумя из приведенных вывесок — арифметики и анализа. Это соединение создало такую дисциплину, как аналитическая теория чисел.

Сегодня мы достаточно искушены в подобных взлетах воображения, и они, возможно, чуть лучше нам удаются. В действительности на сегодняшний день наряду с аналитической теорией чисел существуют алгебраическая теория чисел и геометрическая теория чисел. (Мы дойдем до некоторых элементов алгебраической теории чисел в главе 20.v.) Но в 30-х годах XIX столетия соединение концепций из двух областей, до того считавшихся не связанными друг с другом, несколько ошарашивало. Однако, прежде чем можно будет познакомить вас с главным действующим лицом в этой части нашей истории, надо сказать еще кое-что о тех двух дисциплинах, которые он друг с другом соединил.

В то время, о котором у нас идет речь, — в начале XIX столетия — анализ оставался самой новой и самой привлекательной частью математики, где совершались великие достижения и где работали самые проницательные умы. К концу столетия об арифметике, геометрии и алгебре было известно больше, чем в начале, но об анализе — намного больше. В самом же начале того столетия основную концепцию анализа — концепцию предела — ясно не представляли себе и лучшие умы. Если бы вы спросили Эйлера или даже молодого Гаусса, о чем идет речь в анализе, они сказали бы: «О бесконечном и инфинитезимальном». Но если бы вы вслед за тем спросили Эйлера, а что же в точности означает «бесконечное», он бы разразился приступом кашля и ушел из комнаты или же развернул дискуссию о значении слова «означает».

Анализ на самом деле ведет свое начало от изобретения дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем в 70-х годах XVII века. Без сомнения, идея предела — идея, разграничивающая анализ и остальную математику, — имеет фундаментальное значение для дифференциального и интегрального исчисления. Если вы хоть раз сидели в аудитории на лекции по математическому анализу, то у вас, возможно, остались смутные воспоминания о графике, на котором изображены кривая и пересекающая ее в двух точках прямая. «А теперь, — говорит лектор, — если вы будете сдвигать эти точки все ближе друг к другу, то в пределе…» — а остальное вы позабыли.

Дифференциальное и интегральное исчисление не составляют всего анализа: расходимость гармонического ряда — это теорема из анализа, но она не относится к дифференциальному и интегральному исчислению, которых просто не было в те времена, когда жил Никола Орем. Имеются и другие достаточно обширные области анализа, которые, строго говоря, не относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Теория меры, например, развитая Анри Лебегом в 1901 году, а также солидный кусок теории множеств. Тем не менее мне кажется справедливым сказать, что даже новейшие области анализа, не связанные с дифференциальным и интегральным исчислением, были открыты в связи с идеей совершенствования последнего: в случае Лебега — в связи с совершенствованием определения интеграла.

Концепции, которыми оперирует анализ, — «бесконечное и инфинитезимальное», как сказал бы Эйлер, или «пределы и непрерывность», как поправил бы его сегодняшний коллега, — относятся к вещам, которые всего труднее охватить человеческим умом. Вот почему дифференциальное и интегральное исчисления так пугают столь многих образованных людей. Причины всех затруднений были сформулированы на очень раннем этапе развития математики — около 450 года до P.X. греческим философом Зеноном. Каким образом, спрашивал Зенон, оказывается возможным движение? Как можно говорить о том, что стрела летит, если в каждый данный момент времени она где-то должна находиться? Если все время составлено из моментов, а движение невозможно ни в какой заданный момент, то каким же образом вообще возможно движение?

В начале XVIII века, когда дифференциальное и интегральное исчисление впервые стало известно в широких кругах образованной публики, понятие бесконечно малого сделалось объектом многочисленных насмешек. Известным скептиком был ирландский философ Джордж Беркли (1685-1753 гг.; это его именем назван город в Калифорнии): «А что из себя представляют эти приращения текущих величин? Это не конечные величины, не бесконечно малые, ни даже ничто. Не следует ли называть их призраками почивших величин?»

Трудности, с которыми давались эти идеи, напоминают нам о том, что на определенном уровне математическое мышление является глубоко неестественным. Не говоря уже об анализе, это относится и к основам арифметики. В предисловии к Principia Mathematica Уайтхед и Рассел отмечали:

(И они не шутили. В Principia Mathematica на определение числа 1 отводится 345 страниц.)

Совершенно верно. Кит, в соответствии с любыми осмысленными стандартами сложности, является значительно более сложной штукой, чем «пять», и однако же его намного проще охватить человеческим умом. В языке любого человеческого племени, знакомого с китами, несомненно найдется слово для них. И однако же есть народы, в языке которых нет слова для «пяти», несмотря на то что его, так сказать, содержание находится у них в буквальном смысле на пальцах! Повторюсь: математическое мышление представляет собой глубоко неестественный способ мыслить и, вероятно, по этой-то причине и отталкивает столь многих. Но если это отталкивание удается преодолеть, то воздается сполна! Посмотрим на 2000-летнюю историю одомашнивания концепции нуля — числа, которое получило широкое признание математиков лишь около 400 лет назад. Ну и что бы мы без него сегодня делали?

Арифметику, в отличие от анализа, принято рассматривать как простейшую, легче всего постижимую область математики. Целые числа? Ясное дело, требуются для счета. Отрицательные числа? Без них не обойтись, если вы интересуетесь температурой в холодный денек. Дроби? Разумеется, понятно, что гайка в ³/₈ дюйма не навинтится на болт ¹³/₃₂. Если вы предоставите мне бумагу, карандаш и немного времени, я, пожалуй, смогу вам сказать, подойдет ли гайка размером ¹⁵/₂₃ к болту размера ²⁹/₄₄. Чего же тут бояться?

Но арифметика обладает тем занятным свойством, что в ней довольно легко сформулировать утверждения, которые невероятно трудно доказать. В 1742 году Кристиан Гольдбах выдвинул свою знаменитую гипотезу, что любое четное число большее двойки можно представить как сумму двух простых чисел. Усилия, прилагавшиеся лучшими умами на планете на протяжении двадцати шести десятков лет, не принесли ни доказательства, ни опровержения этого простого утверждения (которое послужило источником вдохновения по крайней мере для одного романа: «Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха» Апостолоса Доксиадиса.[48] В арифметике имеются сотни подобных гипотез, одни из них доказаны[49], а другие остаются открытыми.

Нет сомнения, что именно это имел в виду Гаусс, когда отверг предложение вступить в соревнование за награду, обещанную за доказательство Последней теоремы Ферма. Генриху Олберсу, который побуждал его участвовать, Гаусс ответил: «Должен сознаться, что теорема Ферма… не слишком меня интересует, поскольку я без труда мог бы произвести множество утверждений подобного типа, — таких, которые будет невозможно ни доказать, ни опровергнуть».

Следует, впрочем, сказать, что равнодушие Гаусса в данном случае — это точка зрения меньшинства. Задача, сформулировать которую можно в нескольких простых словах, но решить которую лучшие математические таланты не могут на протяжении десятилетий — или, как в случае гипотезы Гольдбаха или Последней теоремы Ферма, столетий, — обладает неотразимой привлекательностью для большинства математиков. Они знают, что могут прославиться, если решат ее, как это произошло с Эндрю Уайлсом, доказавшим Последнюю теорему Ферма. Из истории вопроса им также известно, что даже неудачные попытки могут привести к созданию мощных новых методов и получению новых результатов. И кроме того, никуда не делся «фактор Мэлори»: отвечая на вопрос «Нью-Йорк таймс», почему ему так хочется забраться на гору Эверест, Джордж Мэлори[50] ответил: «Потому что она есть».

Связь между измерением и счетом такова. Поскольку нет никакого теоретического предела точности, с которой можно измерить некую величину, список всех возможных измерений бесконечен и при этом бесконечно измельчен. Между измерением, которое дает 2,3 дюйма, и измерением, которое дает 2,4 дюйма, имеются промежуточные, более точные результаты в 2,31, 2,32, 2,33, …, 2,39 дюйма, которые можно разбивать далее, и так до бесконечности. Поэтому мы можем совершить мысленное путешествие, в котором, переходя от одного результата измерения к любому другому, мы связываем их через бесчисленное количество других, расположенных между ними, и при этом никогда не возникнет проблемы, что нам будет не на что наступить. Эта идея связности — путешествия через пространство или некоторый интервал без необходимости перепрыгивать через пустоты — лежит в основе жизненно важных математических понятий непрерывности и предела. Другими словами, она лежит в основе всего анализа.

Наоборот, если мы занимаемся счетом, то между семью и восемью ничего нет; нам приходится совершать прыжок от одного числа к другому, причем между ними нет никаких камешков, по которым можно было бы скакать. Да, измеряя что-то, можно получить результат в семь с половиной дюймов, но нельзя насчитать семь с половиной объектов. (Ваше возражение могло бы быть таким: «А что, если у меня семь с половиной яблок? Разве это не высказывание о результате счета?» Я бы ответил: «Я могу разрешить вам выражаться таким образом, но только если вы уверены, что там ровно семь с половиной яблок, — в той же степени, в которой Ларри, Керли и Моу[51] — это ровно три человека. А что, если у вас 0,501 или 0,497 от целого яблока?» И если мы желаем разрешить этот вопрос, то мы немедленно попадаем в царство измерений. «Семь с половиной струнных квартетов» — это жульничество.)

Великое соединение арифметики и анализа — соединение счета и измерения, чисел staccato и чисел legato — возникло в результате исследования простых чисел, предпринятого Леженом Дирихле в 30-х годах XIX века. Дирихле (1805-1859), несмотря на свои имя и фамилию, был немцем из городка близ Кельна, где он и получил большую часть своего образования.[52] Тот факт, что он был немцем, уже сам по себе заслуживает небольшого отступления, ибо соединение идей из арифметики и анализа, выполненное Дирихле и Риманом, происходило на фоне широких социальных изменений в математике в целом — подъемом немцев.

Первая десятка величайших математиков, работавших в 1800 году, выглядела бы примерно так: Арган, Бойаи, Больцано, Гаусс, Жермен, Коши, Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж, Пуассон, Уоллес, Фурье. Другой автор, или даже тот же самый, но в другом настроении, мог бы, конечно, добавить или вычеркнуть одну-две фамилии, но это не повлияло бы на самое поразительное свойство данного списка: практически полное отсутствие в нем немцев. Единственный из них — Гаусс. Еще в списке один шотландец, один чех, один венгр и один «спорный» (Лагранж, нареченный при крещении Джузеппе Лагранджа, считается «своим» и в Италии, и во Франции). Все остальные — французы.

Работавших в 1900 году математиков было вообще намного больше, так что составление подобного списка на тот год с большей вероятностью привело бы к потасовке. Однако мне представляется, что следующие фамилии вызовут локально минимальное количество возражений: Адамар, Борель, Вольтерра, Гильберт, Дедекинд, Кантор, Каратеодори, Клейн, Лебег, Миттаг-Лефлер, Пуанкаре, Харди. Четыре француза, итальянец, англичанин, швед и пятеро немцев.[53]

Появление немцев на ведущих позициях в математике тесно связано с историческими событиями, которые мы вкратце рассмотрели в главах 1 и 2. При всех реформах Фридриха Великого поражение под Йеной в 1806 году показало пруссакам, что им предстоит еще пройти значительный путь по совершенствованию и модернизации своего государства. Подъем националистических чувств, питаемый, с одной стороны, долгими войнами с Наполеоном, а с другой — движением романтизма, стимулировал дополнительное ускорение реформ, несмотря на то что их тормозил (с точки зрения националистов) провал на Венском конгрессе идеи объединения всех говорящих по-немецки народов. В годы, последовавшие за Йеной, прусская армия подверглась реорганизации на основе всеобщей воинской повинности, было отменено крепостное право, были сняты ограничения на развитие промышленности, пересмотрены система налогов и вся финансовая система, а также проведены образовательные реформы Вильгельма фон Гумбольдта, уже упоминавшиеся в главе 2.iv. Более мелкие немецкие государства последовали примеру Пруссии, и довольно скоро Германия в целом превратилась в место, где привольно себя чувствовали наука, промышленность, прогресс, образование — и, разумеется, математика.

Стоит, наверное, заметить, что была и еще одна, меньшая по масштабу, причина подъема немецкой математики в XIX столетии — Гаусс. Он единственный немец в списке, который я составил на 1800 год; но как один доллар стоит десятка десятицентовиков, так и один Гаусс стоил десятка обычных математиков. Одного того факта, что Гаусс находился в своей обсерватории в Геттингене и преподавал там (хотя он и не любил преподавать и, как мог, избегал подобных занятий), было достаточно, чтобы Германия, да и Геттинген, были отмечены на мысленной карте каждого, кто интересуется математикой.

Таков был мир, в котором вырос Лежен Дирихле. Родившись в 1805 году, он принадлежал к поколению, предшествовавшему поколению Римана. Он был сыном почтмейстера из городка в 20 милях к юго-западу от Кельна, в рейнских провинциях Пруссии. Его поколение первым выиграло от реформированной фон Гумбольдтом системы среднего образования. Он, по-видимому, исключительно быстро учился, поскольку к 16 годам имел достаточную подготовку для поступления в университет. Уже «подсев» к этому времени на математику, он отправился в город, который по-прежнему оставался мировой столицей математического знания, — Париж, везя с собой книгу, которой дорожил больше всего, Disquisitiones Arithmeticae Гаусса. В Париже с 1822 по 1825 год Дирихле посещал лекции многих великих французских светил того времени, включая по крайней мере четверых из тех, кто входит в приведенный выше список: Лапласа, Лежандра, Пуассона и Фурье.

В 1827 году, по достижении 22 лет, Дирихле вернулся в Германию и начал преподавать в университете Бреслау в Силезии. (Бреслау в настоящее время находится в Польше и на современных картах фигурирует под именем Вроцлава.) Он получил там должность при поддержке и поощрении Александра фон Гумбольдта — исследователя и путешественника, приходившегося братом Вильгельму. Оба брата фон Гумбольдт играли ключевую роль в культурном развитии Германии в начале XIX столетия.

Однако за пределами Берлина немецкие университеты находились в состоянии, описанном в главе 2.vii, занимаясь в основном подготовкой учителей, адвокатов и т.п. Разочаровавшись в Бреслау, Дирихле получил должность в Берлине, где и провел, преподавая, большую часть своей профессиональной жизни (с 1828 по 1855 год). Среди тех, кого он учил, был блестящий молодой ученый из местности Вендланд на севере Германии — Бернхард Риман, перешедший из Геттингенского университета в погоне за наилучшим математическим образованием. В главе 8 мы гораздо более подробно рассмотрим влияние, которое Дирихле оказал на Римана, а здесь лишь упомянем об этой связи и о том, что благодаря ей Риман приобрел глубокое уважение к Дирихле, считая его вторым по величине математиком после Гаусса.

Дирихле женился на Ребекке Мендельсон, одной из сестер композитора Феликса Мендельсона, образовав одну из многочисленных взаимосвязей между Мендельсоном и математикой.[54]

Сохранились некоторые записки о Дирихле и о стиле, в котором он читал лекции в годы своего пребывания в Берлине. Записки эти оставлены Томасом Херстом — англичанином, который занимался математикой, вел дневники и провел значительную часть 1850-х годов, путешествуя по Европе и принимаясь изучать математику везде, где это ему удавалось. Осень и зиму 1852-1853 года он провел в Берлине, где свел дружбу с Дирихле и стал посещать его лекции. Из дневника Херста:

Определяющая роль Дирихле в том, что относится к нашему рассказу, состоит в следующем. Вдохновленный результатом, доказанным Эйлером ровно за сто лет до того, — результатом, который я отныне буду называть Золотым Ключом, — Дирихле в 1837 году свел вместе идеи из анализа и арифметики для доказательства важного результата о простых числах. Этот момент многими рассматривается как начало аналитической теории чисел — арифметики с пределами. Открывшая новые горизонты работа Дирихле называлась, уж извините, Beweis des Satzes, doss jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Gleid und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind_f unendlich viele Primzahlen enthält — «Доказательство теоремы о том, что каждая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются целыми числами без общего делителя, содержит бесконечно много простых чисел».

Возьмем любые два целых числа и будем последовательно прибавлять одно к другому. Если наши два числа имеют общий делитель, то каждое из получающихся чисел тоже будет иметь этот делитель: например, последовательное прибавление числа 6 к 15 даст числа 15, 21, 27, 33, 39, 45, …, каждое из которых делится на тройку. Но если два исходных числа не имеют общего делителя, то в получающемся списке могут попадаться и простые числа. Например, будем последовательно прибавлять 6 к 35: получим 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, …, где масса простых (вперемешку, разумеется, с массой не простых, таких как 65 или 77). А как много простых? Может ли такая последовательность содержать бесконечно много простых чисел? Другими словами, может ли случиться так, что для любого сколь угодно большого числа N нам удастся получить более чем N простых чисел, достаточно долго прибавляя для этого 6 к 35? А может ли любая подобная последовательность, построенная из двух чисел без общего делителя, содержать бесконечно много простых чисел?

Да. Может. И именно так дело и обстоит. Возьмем любые два числа без общего делителя и будем последовательно прибавлять одно к другому. Получим бесконечно много простых чисел (наряду с бесконечно большим количеством не простых). Гаусс высказал предположение, что так должно быть, — зная мощь Гаусса, хочется сказать, что он это чувствовал интуитивно, — но твердо доказал это Дирихле в той работе 1837 года. Именно в доказательстве, которое привел Дирихле, реализовалась первая часть того самого великого соединения.

На самом деле все даже еще интереснее. Возьмем любое положительное целое число, скажем, 9. Как много чисел, меньших, чем 9, не имеют общего делителя с девяткой (единица не считается за делитель)? Таких чисел шесть — это 1, 2, 4, 5, 7, 8. Будем по очереди брать каждое из них и последовательно прибавлять к нему девятку.

Каждая из этих шести последовательностей содержит не просто бесконечно много простых чисел (выделены жирным), но и одну и ту же долю простых чисел. Другими словами, представим себе, что последовательности продолжены до окрестности какого-то очень большого числа N, а не просто до окрестности числа 134; тогда каждая последовательность будет содержать примерно одно и то же количество простых чисел, причем если верна Теорема о распределении простых чисел, то около ¹/₆(N∙ln N) (впрочем, эта теорема еще не была доказана во времена Дирихле). Если N — это 134, то ¹/₆(N∙ln N) составляет около 4,55983336…. Приведенные выше шесть последовательностей содержат 5, 5, 4, 5, 4 и 5 простых чисел, что дает среднее 4,6666… — на 2,3 процента больше, чем утверждается, что совсем неплохо для такой маленькой выборки.

Для доказательства своего результата Дирихле начал с арифметики в той форме, в какой она была подробно развита Гауссом в Disquisitiones Arithmeticae. Математики называют ее «арифметикой сравнений». Ее можно представлять себе как арифметику циферблата. Временно заменим 12 на циферблате часов на 0. Двенадцать часовых отметок на циферблате теперь имеют вид 0, 1, 2, 3, …, 11. Если времени сейчас восемь часов, а вы прибавите 9 часов, то что получится? Ага, вы получите пять часов. В данной арифметике, таким образом, 8 + 9 ≡ 5. Или, как это выражают математики, 8 + 9 ≡ 5 (mod 12), что читается как «девять плюс восемь сравнимо с пятью по модулю 12». Фраза «по модулю двенадцати» означает «я определяю результаты по циферблату с 12 часовыми отметками, от 0 до 11». Это может показаться тривиальным, но в действительности арифметика сравнений уходит очень глубоко и полна странных и трудных результатов. Гаусс был в ней великим гроссмейстером; ни одна из семи глав Disquisitiones Arithmeticae не обходится без знака ≡.

Не забудем, что Disquisitiones была постоянным спутником Дирихле в его молодые годы. Когда он приступил к упомянутой выше задаче в 1836 или 1837 году, ему было уже тридцать с небольшим лет, и к тому времени он не раз уже проштудировал работу Гаусса по сравнениям. Затем каким-то образом в поле его зрения попал результат Эйлера 1737 года — Золотой Ключ. Это и дало ему подсказку. Он соединил две вещи вместе, применил некоторые элементарные методы анализа и получил свое доказательство.

Дирихле, таким образом, был первым, кто подобрал Золотой Ключ — связующее звено между арифметикой и анализом — и всерьез воспользовался им. Однако (если продолжить ту аналогию, которую я здесь развиваю) утверждение о том, что он еще и повернул ключ, было бы некоторым преувеличением. Скорее я бы сказал, что он его взял, оценил его красоту и потенциальную мощь, затем отложил его в сторону, но использовал как образец для другого похожего ключа — серебряного, можно сказать, — чтобы отпереть дверь, ведущую к стоявшей перед ним конкретной проблеме. Великое соединение — аналитическая теория чисел — появилось во всем своем великолепии лишь 22 года спустя, в работе Римана 1859 года.

Вспомним, однако, что Риман был одним из учеников Дирихле и, без сомнения, знал о его работах. Действительно, в первом же абзаце своей статьи 1859 года он упоминает Дирихле вместе с Гауссом. Они были двумя его математическими кумирами. Если Риман повернул ключ, то Дирихле сначала показал ему этот ключ и продемонстрировал, что он в самом деле может что-то отпереть; и именно Дирихле заслуженно принадлежит бессмертная слава создания аналитической теории чисел.

Но что же представляет собой этот Золотой Ключ? Что именно оставил Леонард Эйлер, работая в своей комнате наедине со свечой, когда по улицам Санкт-Петербурга пробирались тайные агенты Бирона, что именно оставил он — для того чтобы через сто лет это нашел Дирихле?

Глава 7. Золотой Ключ и улучшенная Теорема о распределении простых чисел

Внимательный читатель уже, должно быть, заметил, что математические главы этой книги развиваются по двум основным колеям. Главы 1 и 5 были целиком посвящены различным бесконечным рядам, приводящим к математическим объектам, которые Риман назвал дзета-функцией. А в главе 3, посвященной простым числам, отталкиваясь от заглавия работы Римана 1859 года, мы рассмотрели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Эти два предмета — дзета-функция и простые числа, — очевидно, связны в силу того интереса, который к ним проявлял Риман. В самом деле, определенным образом связав одну концепцию с другой и повернув Золотой Ключ, Риман открыл целую область аналитической теории чисел. Но как он это сделал? Какова связь? Что именно представляет собой Золотой Ключ? В данной главе я намерен ответить на этот вопрос — предъявить вам Золотой Ключ. После этого мы начнем готовиться к повороту Золотого Ключа, рассмотрев улучшенный вариант ТРПЧ.

Начинается все с «решета Эратосфена». Золотой Ключ по существу представляет собой способ, которым Леонард Эйлер сумел выразить решето Эратосфена в терминах анализа.

Эратосфен из Кирены (в настоящее время — городок Шаххат в Ливии) был одним из библиотекарей великой александрийской библиотеки. Около 230 года до P.X. — примерно через 70 лет после Эвклида — он разработал свой знаменитый метод решета для нахождения простых чисел.

Работает этот метод следующим образом. Сначала выпишем все целые числа, начиная с 2. Разумеется, нельзя выписать их все, поэтому остановимся на сотне с небольшим.

 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

 12  13  14  15  16  17  18  19  20  21

 22  23  24  25  26  27  28  29  30  31

 32  33  34  35  36  37  38  39  40  41

 42  43  44  45  46  47  48  49  50  51

 52  53  54  55  56  57  58  59  60  61

 62  63  64  65  66  67  68  69  70  71

 72  73  74  75  76  77  78  79  80  81

 82  83  84  85  86  87  88  89  90  91

 92  93  94  95  96  97  98  99 100 101

102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

Теперь, начиная с 2 и сохраняя при этом саму двойку в неприкосновенности, уберем каждое второе число после 2.

 2  3  .  5  .  7  .  9  .  11

 .  13  .  15  .  17  .  19  .  21

 .  23  .  25  .  27  .  29  .  31

 .  33  .  35  .  37  .  39  .  41

 .  43  .  45  .  47  .  49  .  51

 .  53  .  55  .  57  .  59  .  61

 .  63  .  65  .  67  .  69  .  71

 .  73  .  75  .  77  .  79  .  81

 .  83  .  85  .  87  .  89  .  91

 .  93  .  95  .  97  .  99  . 101

 . 103  . 105  . 107  . 109  . 111

Первое выжившее число после двойки — это 3. Сохраняя теперь 3 в неприкосновенности, удалим каждое третье число после 3, если оно еще не удалено. Получим

 2  3  .  5  .  7  .  .  .  11

 .  13  .  .  .  17  .  19  .  .

 .  23  .  25  .  .  .  29  .  31

 .  .  .  35  .  37  .  .  .  41

 .  43  .  .  .  47  .  49  .  .

 .  53  .  55  .  .  .  59  .  61

 .  .  .  65  .  67  .  .  .  71

 .  73  .  .  .  77  .  79  .  .

 .  83  .  85  .  .  .  89  .  91

 .  .  .  95  .  97  .  .  . 101

 . 103  .  .  . 107  . 109  . 111

Первое выжившее число после тройки — это 5. Сохраняя теперь 5 в неприкосновенности, удалим каждое пятое число после 5, если оно еще не удалено. Получим

 2  3  .  5  .  7  .  .  .  11

 .  13  .  .  .  17  .  19  .  .

 .  23  .  .  .  .  .  29  .  31

 .  .  .  .  .  37  .  .  .  41

 .  43  .  .  .  47  .  49  .  .

 .  53  .  .  .  .  .  59  .  61

 .  .  .  .  .  67  .  .  .  71

 .  73  .  .  .  77  .  79  .  .

 .  83  .  .  .  .  .  89  .  91

 .  .  .  .  .  97  .  .  . 101

 . 103  .  .  . 107  . 109  . 111

Первое выжившее число — это 7. Следующий шаг состоит в том, чтобы, сохраняя теперь 7 в неприкосновенности, удалить каждое седьмое число после 7, если его еще не удалили до этого. Первое число, которое выживает после этого, — 11. И так далее.

Если проводить эту процедуру бесконечно, то оставшимися числами будут все простые числа. В этом и состоит «решето Эратосфена». Если остановиться прямо перед тем, как пришло время обрабатывать простое число p — другими словами, прямо перед тем, как надо будет удалять каждое p-е число, если оно еще не было удалено, — то мы получим все простые числа, меньшие p². Поскольку выше мы остановились прямо перед обработкой семерки, у нас имеются все простые до 7², т.е. 49. После этого числа остаются и не простые числа, такие как 77.

Решето Эратосфена — вещь достаточно простая. И ему уже 2230 лет. Как же оно перенесет нас в середину XIX века, к глубоким результатам в теории функций? А вот как.

Я собираюсь повторить только что проведенную процедуру. (Именно по этой причине мы разобрали ее столь тщательно.) Но на этот раз я применю ее к дзета-функции Римана, которую мы определили в конце главы 5. Дзета-функция от некоторого аргумента s, большего единицы, записывается как

Стоит заметить, что такая форма записи предполагает выписывание всех положительных целых чисел — в точности как в начале наших действий с решетом Эратосфена (с тем только исключением, что на сей раз включена 1).

Сделаем такое: умножим обе части равенства на . Получим

где мы пользовались 7-м правилом действий со степенями (которое говорит, например, что 2^s умножить на 7^s равно 14^s). А теперь вычтем второе из этих выражений из первого. В одну из левых частей входит ζ(s) с множителем 1, а в другую — та же ζ(s) с множителем . Вычитая, получаем

Вычитание устранило из бесконечной суммы все члены с четными числами. Остались только члены, в которые входят нечетные числа.

Вспоминая решето Эратосфена, умножим теперь обе части порченного равенства на , руководствуясь тем, что 3 — это первое выжившее число в правой части:

Теперь вычтем это выражение из того, которое мы получили ранее. При вычитании левых частей будем рассматривать как неделимую штуку, — просто как некоторое число (каковым оно, конечно, и является при любом заданном s). Вся эта штука входит в левую часть одного выражения с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитая, получаем

Из бесконечной суммы исчезли все члены, содержащие числа, кратные тройке! Первое выжившее число — это теперь 5.

Умножив теперь обе части полученной формулы на , будем иметь

А теперь, вычитая это равенство из предыдущего и рассматривая на этот раз как неделимую конструкцию, видим, что в левую часть одного выражения она входит с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитание дает

Все слагаемые с числами, кратными 5, исчезли при вычитании, и первое выжившее число в правой части — это 7.

Замечаете сходство с решетом Эратосфена? Но вы должны заметить и отличие. При работе с исходным решетом мы оставляли сами простые числа в неприкосновенности, удаляя только их кратные — числа, полученные из них умножением на 2, 3, 4, …. Здесь же при вычитании мы устраняем из правой части как само простое число, так и все его кратные.

Если продолжать описанную процедуру до достаточно большого простого числа, скажем, до 997, мы получим

Теперь заметим, что если s — любое число, большее единицы, то правая часть этой формулы совсем ненамного больше чем просто 1. Например, при s = 3 правая часть этой формулы равна 1,00000006731036081534… Поэтому выглядит довольно правдоподобным предположение, что если продолжать указанный процесс до бесконечности, то для любого числа s большего 1 получится следующий результат (7.1):

где в левой части содержится ровно одно выражение в скобках для каждого простого числа, причем эти скобки продолжаются налево без конца. Теперь поделим обе части полученного выражения последовательно на каждую из этих скобок (7.2):

Это — Золотой Ключ. Чтобы он предстал перед нами во всей красе, давайте немного его почистим. Дроби с дробными знаменателями нравятся мне ничуть не больше, чем вам, а кроме того, есть еще полезные математические приемы, которые позволят нам сэкономить на наборе формул.

Прежде всего вспомним 5-е правило действий со степенями: оно говорит, что a^−N есть 1/a^N и a⁻¹ есть 1/a. Поэтому выражение (7.2) можно записать поаккуратнее:

Есть даже еще лучший способ. Вспомним про обозначение ∑, введенное в главе 5.viii. Когда мы складываем компанию слагаемых единообразной структуры, их сумму можно записать коротко, используя знак ∑; у этого имеется эквивалент для умножения, когда сомножители имеют единообразную структуру: тогда используется знак ∏. Это заглавная греческая буква «пи», используемая в этом качестве из-за слова «product» (произведение). Используя знак ∏, выражение (7.2) можно переписать таким образом:

Читается это так: «Дзета от s равна взятому по всем простым числам произведению от величины, обратной единице минус p в степени минус s». Подразумевается, что маленькое p под знаком ∏ означает «по всем простым».[55] Вспоминая определение функции ζ(s) в виде бесконечной суммы, можно подставить эту сумму в левую часть и получить

И сумма в левой части, и произведение в правой части простираются до бесконечности. Это, кстати, дает еще одно доказательство того факта, что простые числа никогда не кончаются. Если бы они вдруг кончились, то произведение в правой части содержало бы конечное число множителей, и тем самым мы его немедленно вычислили бы как какое-то число при абсолютно любом аргументе s.[56] При s = 1, однако, левая часть представляет собой гармонический ряд из главы 1, сложение членов которого «уводит нас в бесконечность». Поскольку бесконечность в левой части не может равняться конечному числу в правой, количество простых чисел с необходимостью бесконечно.

Что же такого — как вы, должно быть, недоумеваете — замечательного, такого неординарного и вызывающего имеется в выражении (7.3), что оно удостоилось столь высокопарного имени?

Окончательно это прояснится только в одной из последующих глав, когда мы на самом деле повернем Золотой Ключ. На данный же момент главное, что должно производить впечатление (на математиков оно, во всяком случае, производит большое впечатление), — это что в левой части выражения (7.3) мы имеем бесконечную сумму, пробегающую все положительные целые числа 1, 2, 3, 5, 6, …, а в правой его части — бесконечное произведение, пробегающее все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….

Выражение (7.3) — Золотой Ключ — на самом деле называется «эйлерова формула произведения».[57] Она впервые увидела свет, хотя и в несколько иной обработке, в статье Variae observationes circa series infinorum, написанной Леонардом Эйлером и опубликованной Санкт-Петербургской академией в 1737 году. (Заглавие переводится как «Различные наблюдения о бесконечных рядах». Прочитайте еще раз оригинальное латинское название и убедитесь в справедливости моего тезиса из главы 4.viii о легкости, с которой читается Эйлерова латынь.) Точная формулировка утверждения о Золотом Ключе в той работе такова.

Латынь означает: «Если из последовательности простых чисел образовать следующее выражение…, то его значение будет равно сумме ряда…» Опять же, если вы знакомы с десятком основных латинских окончаний (-orum — родительный падеж; -etur — пассивный залог сослагательного наклонения настоящего времени и т.п.), то эйлерова латынь вас не отпугнет.

Делая наброски идей, из которых выросла данная книга, я сначала полез в математические тексты у себя на книжной полке, чтобы найти доказательство Золотого Ключа, подходящее для читателей, не являющихся специалистами. Я остановился на одном, показавшемся мне подходящим, и включил его в книгу. На более поздней стадии работы над книгой мне подумалось, что стоит, пожалуй, проявить авторское тщание, и я отправился в научную библиотеку (в данном случае — замечательное отделение по наукам, промышленности и бизнесу Нью-Йоркской публичной библиотеки в центре Манхэттена) и отыскал оригинальную статью в собрании трудов Эйлера. Данное им доказательство Золотого Ключа занимает десяток строк и куда проще и изящнее, чем доказательство, которое я извлек из своих учебников. Поэтому я заменил первоначально выбранное доказательство эйлеровым. Доказательство, приведенное в разделе iii этой главы, по сути и есть эйлерово доказательство. Я знаю, что это писательский штамп, но он от этого не перестает быть верным: нет ничего лучше, чем обратиться к первоисточнику.

После того как мы увидели, что же собой представляет Золотой Ключ, пришло время готовиться к тому, чтобы его повернуть. Для этого понадобится вспомнить некоторое количество математики, включая кусочек дифференциального и интегрального исчислений. В оставшейся части данной главы я приведу все, что нужно знать из дифференциального и интегрального исчисления, чтобы понять Гипотезу Римана и оценить ее значение. А затем, обратив необходимость в удобство, я воспользуюсь этими сведениями, чтобы представить улучшенный вариант ТРПЧ — вариант, имеющий более непосредственное отношение к работе Римана.

Обучение дифференциальному и интегральному исчислению традиционно начинается с графика. График, с которого мы начнем, — тот же, что и изображение логарифмической функции в главе 5.iii; теперь он воспроизведен на рисунке 7.1. Представьте себе, что вы — очень маленький (бесконечно малый, если получится представить) гомункулус, взбирающийся вверх по графику логарифмической функции слева направо. Если вы начали свое путешествие из какой-го точки, находящейся недалеко от нуля, то сначала путь вашего восхождения очень крутой и вам требуется скалолазное снаряжение. Но по мере продвижения ландшафт становится более пологим. К тому времени, как вы достигнете аргументов в районе 10, вы можете распрямиться и просто шагать, как на прогулке.

Степень крутизны кривой изменяется от точки к точке. Но в каждой точке наклон кривой имеет определенное численное значение — точно так же, как ваша машина, когда вы разгоняетесь, имеет определенную скорость в каждый данный момент времени — скорость, которую вы фиксируете, бросая взгляд на спидометр. Через мгновение она может слегка измениться, но в каждый определенный момент времени она имеет некоторое определенное значение. Точно так же для любого аргумента в своей области определения (которую составляют все числа, большие нуля) логарифмическая функция имеет некоторый определенный наклон.

Как нам измерить этот наклон и что это такое? Сначала давайте определим «наклон» наклонной прямой линии. Это подъем по вертикали, деленный на смещение по горизонтали. Если, пройдя по горизонтали расстояние в 5 единиц, вы поднялись на 2 единицы вверх, то, значит, наклон равен двум пятым, т.е. 0,4 (рис. 7.2).

Чтобы найти наклон некоторой кривой в произвольной точке на ней, построим прямую линию, касающуюся кривой в выбранной точке. Ясно, что имеется ровно одна такая прямая. Если я слегка ее «покачаю» (можно представлять себе, что прямая — это стальной стержень, а кривая — стальной обод), то точка касания с кривой слегка сместится. Наклон кривой в данной точке — это наклон этой единственной касательной в этой точке. Для ln x наклон при аргументе x = 10, если вы его измерите, равен ¹/₁₀. Наклон при аргументе 20, конечно, меньше этого; измерение дает ¹/₂₀. Наклон при аргументе 5 больше — и измерение дает ¹/₅. На самом деле еще одно поразительное свойство логарифмической функции состоит в том, что при любом аргументе x ее наклон равен 1/x — числу, обратному x (обозначаемому еще как x⁻¹).

Если вы когда-нибудь слушали лекции по дифференциальному исчислению, то все это вам хорошо знакомо. Дифференциальное исчисление в действительности начинается с такого утверждения: из любой функции f можно произвести другую функцию g, которая выражает наклон функции f при любом ее аргументе. Если f — это ln x, то g — это 1/x. Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f. Например, 1/x — это производная функции ln x. Если вам дали какую-то функцию f, то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.

Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f — это g, то производная функции 7f — это 7g. (Так что производная от 7∙ln x равна 7/x.) Производная суммы f + g — это производная функции f плюс производная функции g. Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения f и g не равна произведению производной функции f на производную функции g.[58]

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции x^N. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа N производная функции x^N есть функция Nx^N−1. Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.

Конечно, x⁰ — это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x¹ — это просто x, график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x⁻¹, хотя x⁰ вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем, что производная ln x есть как раз x⁻¹. Это еще одно свидетельство того, что ln x как будто пытается выдать себя за x⁰.

Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение P через Q, то как выразить Q через P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = e^b, тот как найти b через a? Как ln а.

Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию f и получили функцию g. То есть g представляет собой производную функции f. А f представляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x — это 1/x, так что ln x — это… (что?) функции 1/x? Ответ: интеграл, вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только N не равно −1, то интеграл от функции x^N равен x^N+1/(N + 1). (Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln x изо всех сил старается вести себя как функция x⁰, каковой она, конечно, не является).

Если производные годятся для того, чтобы выражать наклон функции — т.е. скорость, с которой функция изменяется в данной точке, — то для чего же годятся интегралы? Ответ: для нахождения площадей под графиками.

Функция, показанная на рисунке 7.3, а это в действительности функция 1/x⁴, т.е., другими словами, x⁻⁴, — ограничивает собой некоторую площадь между аргументами x = 2 и x = 3. Чтобы найти эту площадь, сначала надо найти интеграл от x⁻⁴. Согласно приведенному выше общему правилу, этот интеграл равен −¹/₃x⁻³, т.е. −1/(3x³). Эта функция, как и всякая другая, имеет значение для каждого x из своей области определения. Чтобы найти площадь между аргументами 2 и 3, надо вычислить значение интеграла при аргументе 3, затем вычислить значение интеграла при аргументе 2, а потом вычесть второе значение из первого.

При x = 3 значение функции −1/(3x³) равно −¹/₈₁, при x = 2 оно составляет −¹/₂₄. Вычитаем, не забывая, что вычесть отрицательное число — это все равно что прибавить соответствующее положительное: −¹/₈₁ − (−¹/₂₄) = ¹/₂₄ − ¹/₈₁, что равно ¹⁹/₆₄₈, т.е. примерно 0,029321.

У математиков есть специальный способ для записи всей этой процедуры: , что читается как «интеграл от икс в минус четвертой степени по дэ-икс от двух до трех». (Не слишком озадачивайтесь этим самым «по dх» — назначение этих слов состоит в указании, что именно x является основной переменной, с которой мы работаем, и именно ее интеграл надо найти. Если под знаком интеграла окажутся еще другие переменные, то они будут там присутствовать праздно, интегрирование ведется не по ним. В главе 19 у нас появится такой пример.)

Далее. Иногда оказывается возможным отправить правый конец интегрирования на бесконечность, но при этом получить конечную площадь. Это напоминает ситуацию с бесконечными суммами: если значения ведут себя должным образом, такие суммы могут сходиться к конечному значению. То же и здесь. У функций, которые ведут себя должным образом, площадь под кривой может оказаться конечной, несмотря даже на то, что область бесконечно длинная. Интегралы связаны с суммами на глубинном уровне. Даже знак интеграла, впервые использованный Лейбницем в 1675 году, представляет собой вытянутое S, обозначающее «сумму».

Смотрите: предположим, что вместо того, чтобы останавливаться на тройке, мы бы продолжили интегрирование до x = 100. Тогда, поскольку куб числа 100 равен 1 000 000, наше вычисление приобрело бы вид:

Ясно, что если бы мы пошли еще дальше, то второе слагаемое стало бы еще меньше. По мере того как мы спешим к бесконечности, оно постепенно угасает, стремясь к нулю, и у нас есть полное право написать:

Стоит заметить, что, когда интеграл используется для вычисления площади, x исчезает из ответа: вместо x подставляются числа и в ответе получается число.

Вот и все. Клянусь, это все, что нам понадобится из дифференциального и интегрального исчисления. И поскольку ничего нового вводиться не будет, пользоваться дифференциальным и интегральным исчислением мы начнем прямо сейчас. С их помощью мы определим новую функцию, которая чрезвычайно важна в теории простых чисел и дзета-функции.

Сначала рассмотрим функцию 1/ln t. Ее график показан на рисунке 7.4. Обозначение для аргумента заменено с x на t по той причине, что букве x отведена другая роль, чем просто быть бессловесной переменной.

На рисунке затемнена некоторая область под графиком, поскольку мы сейчас устроим небольшое интегрирование. Как только что объяснялось, интегрирование — это способ вычислить площадь под графиком функции. Сначала надо найти интеграл от интересующей нас функции, а потом взять калькулятор. Итак, каков же интеграл от функции 1/ln t?

К сожалению, в домашнем хозяйстве нет обычной функции, которая позволила бы выразить интеграл от 1/ln t. Но интеграл этот весьма важен. Он снова и снова появляется в исследованиях, связанных с Гипотезой Римана. Поскольку нежелательно писать всякий раз, как потребуется эта монструозная конструкция, мы попросту определим новую функцию, выражаемую этим интегралом, и выдадим ей свидетельство, что это добропорядочная и уважаемая функция, ни в чем не уступающая другим своим коллегам.

У этой новой функции есть имя: ее зовут интегральный логарифм. Для нее обычно используется обозначение Li(x). (Иногда пишут li(х).) Она определена как функция, выражающая площадь под кривой — то есть под графиком функции 1/ln t — от нуля до x.[59]

Здесь не обошлось без некоторой ловкости рук, потому что у функции 1/ln t нет значения при t = 1 (из-за того что логарифм единицы равен нулю). Я обойду эту сложность, не углубляясь в нее, — просто заверю вас, что имеется некоторый способ привести все в порядок. Надо еще заметить, что при вычислении интегралов области ниже горизонтальной оси считаются отрицательными, так что по мере увеличения t область справа от 1 «тратится» на сокращение области слева от 1. Другими словами, Li(x) выражается затемненной областью на рисунке 7.4, причем отрицательный вклад в площадь, набираемый слева от t = 1, гасится положительным вкладом от площади справа от t = 1 (когда x лежит справа).

На рисунке 7.5 показан график функции Li(x). Мы видим, что она принимает отрицательные значения, когда x меньше единицы (поскольку соответствующая площадь на рисунке 7.4 дает отрицательный вклад), но по мере того, как x уходит направо от 1, положительный вклад в площадь постепенно сокращает отрицательный, так что Li(x) возвращается из отрицательной бесконечности, достигает нуля (т.е. отрицательный вклад в площадь полностью сокращается) при аргументе x = 1,4513692348828…, а после этого уже постоянно возрастает. Наклон этой функции в каждой точке равен, конечно, 1/ln x. А это, как мы видели в главе 3.ix, есть вероятность того, что целое число в окрестности числа x окажется простым.[60]

Именно поэтому данная функция так важна в теории чисел. Дело в том, что по мере того, как N делается все больше и больше, мы имеем Li(N) ~ N/ln N. Но ТРПЧ утверждает, что π(N) ~ N/ln N. Секундное размышление показывает, что знак волны транзитивен — т.е. что если P ~ Q, a Q ~ R, то должно быть и P ~ R. Так что если ТРПЧ верна — а мы знаем, что это так, она была доказана в 1896 году, — то должно быть верно и π(N) ~ Li(N).

Это не просто верно. Это, в некотором роде, еще вернее. Я хочу сказать, Li(N) дает на самом деле лучшую оценку функции π(N), чем N/ln N. Намного лучшую. Таблица 7.3 показывает, почему Li(x) играет центральную роль в нашем исследовании.

На самом деле ТРПЧ чаще всего формулируют как π(N) ~ Li(N), а не как π(N) ~ N/ln N. Поскольку знак волны транзитивен, два утверждения эквивалентны, как можно видеть из рисунка 7.6. Из работы Римана 1859 года следует и точное, хотя и не доказанное, выражение для π(N), и во главе этого выражения стоит Li(x).

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с таблицей 7.3. Для всех приведенных там значений N функция N/ln N дает заниженную оценку для π(N), а функция Li(N) — завышенную. Оставим это замечание без комментариев до тех пор, пока оно нам не понадобится.

Глава 8. Не лишено некоторого интереса

До сих мы интересовались далекими предпосылками Гипотезы Римана — предысторией Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ) и работы Римана 1859 года, где Гипотеза и была впервые высказана. В данной главе мы обратимся к непосредственным истокам той работы. Вообще-то здесь переплетены две истории: Бернхарда Римана и Геттингенского университета в 1850-х годах: в придачу к этому мы предпримем короткие путешествия за национальным колоритом в Россию и Нью-Джерси.

Следует держать в поле зрения целостную картину европейской интеллектуальной жизни 1830, 1840 и 1850-х годов. Разумеется, то было время огромных перемен. Колоссальные изменения, произведенные Наполеоновскими войнами, выпустили на свободу новые патриотические и реформаторские силы. Полным ходом шла промышленная революция. Подвижки в мыслях и чувствах, которые мы условно объединяем под названием «движение романтизма», проникали повсюду и уже достигли широких слоев населения. 1830-е годы, годы возрождения духа после истощения долгими войнами, были неспокойным временем, отмеченным Июльской революцией во Франции, Польским восстанием (в то время Польша принадлежала Российской империи[61]), мечтами немцев о национальном единстве и великим Биллем о реформе в Британии.[62] Алексис де Токвиль, посетив Соединенные Штаты, написал книгу, в которой глубоко проанализировал новые любопытные эксперименты с демократической формой правления.[63] В течение следующего десятилетия зашевелились темные силы, причем кульминация пришлась на 1848 год, «год революций», перипетии которого, как мы видели в главе 2, на какое-то время нарушили даже сокровенное уединение Бернхарда Римана.

В течение всего этого периода Геттинген был тихой провинциальной заводью, освещаемой главным образом присутствием Гаусса. Момент политической известности университета пришелся, как уже упоминалось, на 1837 год, когда была уволена «геттингенская семерка». Главным результатом этого стала потеря университетом части своего престижа. Великим центром математических исследований оставался Париж, но при этом быстро набирал силу Берлин. В Париже Коши и Фурье произвели пересмотр анализа, заложив основы современного подхода к пределам, непрерывности и дифференциальному и интегральному исчислению. В Берлине новых успехов добились Дирихле в арифметике, Якоби в алгебре, Штайнер в геометрии и Эйзенштейн в анализе. Любой, кто в 1840-х годах желал серьезно заниматься математикой, должен был находиться в Париже или Берлине. Вот почему молодой Бернхард Риман, которому весной 1847 года исполнилось 20 лет, не удовлетворенный уровнем обучения в Геттингене и всеми силами жаждавший заниматься серьезной математикой, отправился в Берлин. Он учился там два года, в течение которых огромное влияние на него оказал Лежен Дирихле — человек, который поднял Золотой Ключ в 1837 году. Дирихле испытывал личную привязанность к застенчивому, задавленному бедностью молодому Риману, выказывая к нему отношение, на которое Риман, выражаясь словами Генриха Вебера, «отвечал почтительной благодарностью».

Вернувшись в Геттинген после пасхальных каникул 1849 года, Риман принялся за свою диссертацию под руководством самого Гаусса. Ясно, что он рассчитывал стать преподавателем в университете. Однако путь к этой цели был неблизкий. Чтобы преподавать в Геттингене, необходимо было не только защитить диссертацию, но и получить еще более высокую квалификацию, так называемую Habilitation — вторую степень, для которой требовалось подготовить текст диссертации и прочитать пробную лекцию. Все вместе — и первая диссертация, и вторая — заняло у Римана более пяти лет — с двадцати двух и почти до двадцати восьми. В течение этих лет ему вообще ничего не платили.

С самого начала вместе с математикой Риман записался на ряд курсов по физике и философии. Эти предметы были обязательными для всех, кто желал преподавать в гимназии, к чему в основном и свелись бы перспективы карьеры для Римана, если бы он не сумел получить должность университетского преподавателя. Выбирая эти курсы, он, надо полагать, хотел подстраховаться. Однако он проявил глубокий интерес к обоим предметам, так что, вероятно, немалую роль при выборе сыграли и его личные склонности. Обстановка в Геттингене к этому времени улучшилась. Физик Вильгельм Вебер — один из членов «геттингенской семерки», уволенный в 1837 году, — вернулся в университет и снова стал там преподавать; в политическом климате наступила заметная оттепель. Старый друг и коллега Гаусса — они вдвоем изобрели электрический телеграф — Вебер читал курс экспериментальной физики, который посещал и Риман.[64]

Эти пять лет неоплачиваемой научной работы должны были даться Бернхарду Риману нелегко. Он находился вдали от дома; от Геттингена до Квикборна было 120 миль, что означало двухдневное путешествие, столь же неудобное, сколь и дорогое. Однако он все же не был в полном одиночестве: в 1850 году в университет прибыл Рихард Дедекинд. Дедекинду было 19 лет — на пять меньше, чем Риману, — и он также планировал написать диссертацию. Из биографического очерка, написанного Дедекиндом и включенного в «Собрание трудов» Римана, явствует, что он питал приязнь и симпатию к своему старшему коллеге, а также глубоко восхищался его математическими способностями; несколько труднее решить, каковы в данном случае были чувства самого Римана.

Оба они защитили свои диссертации с интервалом в несколько месяцев — Риман в декабре 1851 года, а Дедекинд на следующий год. Обоих экзаменовал Гаусс, которому к тому моменту шел восьмой десяток, что не помешало ему сохранять исключительную чуткость к редким математическим талантам. По поводу диссертации, представленной молодым Дедекиндом, еще не достигшим своей математической зрелости, Гаусс написал отзыв, который лишь едва выходил за рамки сухого официального одобрения. Но по поводу диссертации Римана он разразился — а Гаусс был человеком, который нечасто расточал похвалы, — таким пассажем: «Существенная и ценная работа, которая не просто удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к докторским диссертациям, но и намного превосходит их».

И Гаусс не ошибся. (В том, что касается математики, он вряд ли вообще когда-либо ошибался.) Докторская диссертация Римана является ключевой работой в истории теории функций комплексной переменной. Я постараюсь подробно рассказать о теории функций комплексной переменной в главе 13, а пока достаточно сказать, что это очень глубокая, мощная и прекрасная ветвь анализа. До настоящего времени практически первое, что изучается в курсе теории функций комплексной переменной, — это условия Коши-Римана, которыми определяются хорошо себя ведущие и заслуживающие дальнейшего изучения функции. Эти уравнения в их современном виде впервые появились в докторской диссертации Римана. Эта работа также содержит первые наброски теории римановых поверхностей, которая представляет собой слияние теории функций с топологией (последний предмет в те времена также был новинкой, в нем не существовало какой бы то ни было связной системы знания, а только разрозненные результаты, восходящие ко временам Эйлера).[65] Докторская диссертация Римана была, одним словом, шедевром.

И Риман, и Дедекинд приступили ко второй ступени академического марафона, которому они себя посвятили, — второй диссертации и пробной лекции, которые требовались для занятия преподавательской должности в университете.

Оставим на некоторое время Бернхарда Римана в его комнате в далеком Геттингене за трудами над диссертацией на право чтения лекций и перенесемся назад на год или два во времени и на тысячи миль в пространстве — в Санкт-Петербург. Много воды утекло под мостами этого города с тех пор, как мы побывали здесь в последний раз, наблюдая, как Леонард Эйлер радовался жизни и плодотворно работал, несмотря на старость и слепоту, во времена правления Екатерины Великой. Эйлер умер в 1783-м, а сама императрица — в 1796 году. Екатерине наследовал ее эксцентричный и безответственный сын Павел. Четырех с половиной лет правления Павла оказалось более чем достаточно для знати, чтобы организовать переворот, удушить Павла и посадить на трон его сына Александра.

Вскоре вся нация оказалась поглощена конфликтом с Наполеоном, а ее говорящая по-французски аристократия — блеском светской жизни, как это описано Толстым в «Войне и мире». После войны Александр на какое-то время увлекся «управляемым самодержавием», затем последовал провал восстания группировки, боровшейся за либеральные идеи и известной под именем декабристов, и в 1825 году трон перешел к Николаю I, склонному к более старомодному абсолютизму.

Однако подтверждение и возобновление принципов абсолютизма не могло предотвратить грандиозных социальных перемен, наиболее достопамятная из которых — первый великий расцвет русской литературы (Пушкин, Лермонтов и Гоголь). Университет в Санкт-Петербурге, в то время отделенный от академии, разросся и процветал; кроме того, были основаны новые университеты в Москве[66], Харькове и Казани. Казанский университет мог похвастаться присутствием великого математика Николая Лобачевского, который занимал должность ректора до своего увольнения в 1846 году. Лобачевский был создателем неэвклидовой геометрии, о которой довольно скоро нам будет что сказать.[67]

В 1849-1850 годах, через 25 лет после воцарения Николая I, интеллектуальная жизнь в России подверглась еще одному всплеску репрессий, вызванному реакцией Николая на европейские революции 1848 года. Число принимавшихся в университеты было сокращено, а учившиеся за границей россияне получили указание вернуться. В такой обстановке молодой преподаватель Санкт-Петербургского университета выпустил две замечательные статьи о ТРПЧ.

Первое, что необходимо сказать о Пафнутии Львовиче Чебышеве, это что его фамилия — кошмар для всякого, кто занимается поиском по базам данных. В своих изысканиях для данной книги я насчитал 32 различных варианта написания его фамилии: Cebysev, Cebyshev, Chebichev, Chebycheff, Chebychev и т.д., и т.д.[68]

А если вы обратили внимание и на необычное имя Пафнутий, то вы не одиноки. Примерно в 1971 году на него обратил внимание математик Филип Дж. Дэвис. Дэвис решил исследовать происхождение имени Пафнутий и написал о своих изысканиях исключительно забавную книгу «Нить» (1983). Если очень коротко, то имя Пафнутий имеет коптское происхождение (Papnute — «Божий человек») и проникло в Европу через коптское христианство; такое имя носил один из второстепенных Отцов Церкви в IV столетии. Присутствовавший на Никейском соборе епископ Пафнутий (Paphnutius, как обычно пишется его имя) высказывался против целибата духовенства. К более позднему времени относится вскользь упоминаемый Дэвисом преподобный Пафнутий Боровский, сын знатного татарина; в возрасте 20 лет он удалился в монастырь, где и оставался до своей смерти в 94-летнем возрасте (1478). Вот что говорит агиограф этого Пафнутия: «Он был девственник и аскет и в силу этого великий чудотворец и пророк». (Примерно посередине моей работы над этой главой я получил электронное письмо от читательницы моей веб-колонки с просьбой предложить имя для ее новой собаки. Так что теперь некий Пафнутий гоняет белок где-то на Среднем Западе.)

Наш с вами Пафнутий был также в некотором роде чудотворцем. Он удостоился чести добиться единственных реальных успехов на пути к доказательству ТРПЧ в период между тем, как Дирихле поднял Золотой Ключ в 1837 году, и тем, как Риман повернул его в 1859-м. Занятно, что наиболее оригинальная работа Чебышева оказалась в стороне от основного направления исследований по ТРПЧ и послужила образованию менее значительного бокового течения, которое развивалось само по себе и слилось с главным потоком лишь 100 лет спустя.

Чебышев на самом деле написал две статьи по ТРПЧ. Первая, датируемая 1849 годом, озаглавлена «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»[69]; стоит отметить схожесть с заглавием статьи Римана, написанной 10 лет спустя. В этой работе Чебышев взял Золотой Ключ Эйлера, поиграл с ним немного, примерно как Дирихле за 12 лет до того, и пришел к следующему интересному результату.

Вся проблема, конечно, лежала в этом «если». Чебышев не смог преодолеть эту проблему, как, впрочем, в течение полувека не смог и никто другой.

Вторая статья Чебышева, датируемая 1850 годом, значительно более любопытна. Вместо использования Золотого Ключа она начинается с формулы, доказанной шотландским математиком Джеймсом Стирлингом в 1730 году и выражающей приближенные значения факториальной функции для больших чисел. (Факториал числа N равен 1×2×3×4×…×N. Факториал числа 5, например, равен 120: 1×2×3×4×5 = 120. Обычно для факториала числа N используется обозначение N!. Формула Стирлинга утверждает, что для больших значений N его факториал примерно равен ). Чебышев превратил ее в другую формулу, содержащую ступенчатую функцию — функцию, которая имеет одно значение на некотором интервале аргументов, а затем прыгает к другому значению.

Вооруженный только этими средствами и используя ряд вполне элементарных приемов из дифференциального и интегрального исчисления, Чебышев получил два важных результата. Первый состоит в доказательстве «постулата Бертрана», выдвинутого в 1845 году французским математиком Жозефом Бертраном. Постулат гласит, что между любым числом и его удвоением (например, между 42 и 84) всегда найдется простое число. Второй результат Чебышева таков.

Вторая статья Чебышева важна в двух отношениях. Прежде всего, использование в ней ступенчатой функции могло вдохновить Римана на использование подобной же функции в его работе 1859 года (об этом будет подробно рассказано ниже). Не подлежит сомнению, что Риман знал о работе Чебышева; имя российского математика появляется в записках Римана (где оно пишется как «Tschebyschev»).

Но большего внимания заслуживает сама идея подхода, развитого Чебышевым во второй статье. Он получил свои результаты без использования теории функций комплексной переменной. У математиков есть короткий способ для выражения этого факта: они говорят, что методы Чебышева «элементарны». Риман в своей работе 1859 года не использовал элементарные методы. Для решения исследуемой им проблемы он привлек всю мощь теории функций комплексной переменной. Полученные результаты оказались столь замечательными, что другие математики последовали его примеру, и в конце концов ТРПЧ была доказана с использованием неэлементарных методов Римана.

Вопрос о том, можно ли доказать ТРПЧ элементарными методами, оставался открытым, но по прошествии нескольких десятилетий общее мнение утвердилось в том, что это невозможно. Так, в тексте Алберта Ингэма 1932 года «Распределение простых чисел» автор сообщает в подстрочном примечании: «Доказательство теоремы о распределении простых чисел „в терминах вещественных переменных“, т.е. доказательство, не вовлекающее, будь то явным или неявным образом, понятие аналитической функции комплексной переменной, никогда не было обнаружено, и теперь понятно, почему так и должно быть».

Ко всеобщему изумлению, такое доказательство было обнаружено в 1949 году Атле Сельбергом — норвежским математиком, работавшим в Институте высших исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси.[70] История получения этого результата неоднозначна, поскольку Сельберг предварительно сообщил о своих, еще неокончательных, идеях эксцентричному венгерскому математику Паулю Эрдешу, который использовал их и получил свое собственное доказательство одновременно с Сельбергом. После смерти Эрдеша в 1996 году были написаны две его популярные биографии, и любознательный читатель может найти полный отчет об этой запуганной истории в любой из них. Доказательство называется «доказательством Эрдеша-Сельберга» в Венгрии и «доказательством Сельберга» за ее пределами.^{A2}

В дополнение к своим исследованиям Чебышев был замечательным научным руководителем, умевшим увлечь своими темами. Его ученики несли идеи и методы учителя в другие российские университеты, повсюду пробуждая интерес и поднимая уровень преподавания. Сохраняя активность и на восьмом десятке лет, Чебышев был также оригинальным изобретателем, сконструировавшим несколько арифмометров, которые сохранились до нашего времени в музеях Москвы и Парижа. В его честь назван лунный кратер, расположенный около 135°W 30°S.[71]

Я не могу расстаться с Чебышевым, не упомянув, по крайней мере мимоходом, о его знаменитом отклонении — знаменитом, я хочу сказать, среди специалистов по теории чисел.

Если разделить простое число (отличное от 2) на 4, то остаток должен быть или 1, или 3. Демонстрируют ли простые числа какое-нибудь отклонение? Да: в пределах до p = 101 имеются 12 простых, которые дают остаток 1, и 13 тех, что дают остаток 3. В пределах до p = 1009 счет равен 81 к 87. В пределах до p = 10 007 счет равен 609 к 620. Ясно видно, что остаток 3 встречается не намного, но все же отчетливо чаще, чем остаток 1. Это дает пример чебышевского отклонения, первое замечание Чебышева о котором относится к 1853 году. Отклонение, которое таким образом выказывают остатки, в конце концов нарушается при p = 26 861, когда простые, дающие остаток 1, на короткое время вырывают первенство. Однако это не более чем единовременное отклонение: настоящая первая зона, где происходит нарушение, составлена из 11 простых чисел от p = 616 877 до p = 617 011. Простые с остатком 1 удерживают лидерство только для 1939 из первых 5,8 миллиона простых (предел, до которого я дошел в своих проверках). Они ни разу не вырываются вперед среди последних 4 988 472 из этих простых чисел.

Что касается делителя 3, то для него отклонение выражено даже еще радикальнее. Здесь остаток (для чисел, больших p = 3) может быть или 1, или 2, и имеющееся отклонение — в пользу 2. Оно ни разу не нарушается до p = 608 981 813 029. Вот это вам отклонение! Нарушение выявили в 1978 году Картер Бейс и Ричард Хадсон. Нам еще представится случай упомянуть чебышевское отклонение в главе 14.

Осенью 1852 года — первого года работы над своей диссертацией на право чтения лекций — Риман снова встретил Дирихле. Весь эпизод достаточно трогателен, и я приведу отрывок из биографии, написанной Дедекиндом:

Последнее замечание показывает, сколь высокие требования Риман предъявлял к себе, а также говорит о его сильнейшем чувстве долга и твердой решимости оправдать каждую минуту времени, проводимого в Геттингене, в своих глазах, в глазах отца (который, как-никак, обеспечивал его существование) и в глазах Бога.

Процедура получения второй ученой степени состояла в том, что Риману надо было сначала представить написанную диссертацию, а затем подготовить пробную лекцию, которую следовало прочитать перед всем профессорским составом. Сама по себе диссертация — она называлась «О представимости функции тригонометрическим рядом» — является краеугольной работой, в которой миру был представлен интеграл Римана, изучаемый теперь как фундаментальное понятие в институтских курсах дифференциального и интегрального исчисления. И однако, лекция Римана намного превзошла текст диссертации.

Предполагалось, что Риман подготовит для лекции три темы, из которых Гаусс, как его руководитель, выберет одну, на которую лекция и будет прочитана. Три предложения Римана касались двух вопросов по математической физике и одного по геометрии. Гаусс выбрал лекцию, озаглавленную «О гипотезах, лежащих в основами геометрии», и Риман прочитал ее собравшимся профессорам 10 июня 1854 года.

Это одна из десяти лучших математических работ, представленных вообще когда бы то ни было, поистине сенсационное достижение. Ее прочтение, как утверждает Ханс Фрейденталь в «Словаре научных биографий», было «одним из озарений в истории математики». Идеи, содержащиеся там, были настолько передовыми что прошло несколько десятилетий до их полного принятия и 60 лет до того момента, как они нашли свое приложение в физике, в качестве математического аппарата общей теории относительности Эйнштейна. Джеймс Р. Ньюмэн в книге «Мир математики» отзывается об этой работе как об «эпохальной» и «непреходящей» (забыв, правда, включить ее в свою обширную антологию классических математических текстов). При этом потрясает еще и то, что работа практически не содержит математических обозначений. Пролистывая ее, я обнаружил пять знаков равенства, три знака квадратного корня и четыре знака ∑, что в среднем составляет менее одного символа на страницу! Имеется всего одна настоящая формула. Все это было написано с целью быть понятым — или, возможно (см. ниже), непонятым обыкновенным профессором в провинциальном университете средней руки.

Отправной точкой для Римана стал ряд идей, высказанных Гауссом в статье 1827 года, озаглавленной «Общее исследование искривленных поверхностей». В предшествовавшие тому несколько лет Гаусса привлекали к работе по подробной топографической съемке Баварского королевства (в ходе этой работы, между прочим, он изобрел гелиотроп — устройство для наблюдений на больших расстояниях за счет отражения вспышек солнечного света от системы зеркал). Колоссальный ум Гаусса вычленил из материала, с которым он работал, некоторые соображения о свойствах двумерных поверхностей и о том, как эти свойства можно было бы описать математически. Статья Гаусса широко рассматривается в качестве работы, положившей начало новой дисциплине — дифференциальной геометрии.

Риман в своей лекции развил эти идеи и обобщил их на пространства любого числа измерений. Что еще более важно, он привнес совершенно новый взгляд на весь предмет. Гаусс воспринимал его в терминах искривленных двумерных листов, вложенных в обычное трехмерное пространство, из которого их можно разглядывать, — что было естественным обобщением его опыта работы в качестве топографа. Риман переместил точку зрения таким образом, что она стала внутренней по отношению к рассматриваемому пространству.

Я полагаю, вы знакомы с идеей, содержащейся в общей теории относительности Эйнштейна, о том, что с тремя пространственными измерениями и одним временным можно математически обращаться как с четырехмерным пространством-временем и что этот четырехмерный континуум изогнут и искорежен за счет присутствия массы и энергии. С точки зрения Гаусса геометрию этого пространства-времени надо было бы развивать, представляя себе, что оно вложено в пятимерный континуум, подобно тому как Гаусс рассматривал двумерные поверхности вложенными в обычное трехмерное пространство. Тем, что современные физики так не думают, мы обязаны Риману. На самом деле, если вы отправитесь в ближайший университет и запишетесь там на курс по общей теории относительности, то названия тем, которые вы будете проходить (по порядку), могут оказаться такими:

• метрический тензор;

• тензор Римана;

• тензор Риччи;

• тензор Эйнштейна;

• тензор энергии-импульса;

• уравнение Эйнштейна G = 8πT.

Охватив это, вы овладеете основами общей теории относительности.

Хотя цель данной книги состоит в описании открытий Римана в арифметике и великой Гипотезы, которая берет в них свое начало, нельзя сказать, что эти геометрические исследования не имеют никакого отношения к делу. Общий склад ума Римана, а также все его лучшие математические работы родились из напряжений, возникавших между соображениями двух противоположных свойств. С одной стороны, он был великим глобалистом, всегда склонным воспринимать вещи в полном объеме. Для Римана функция не представляет собой просто множество точек; еще менее она передается каким бы то ни было изобразительным способом типа графика или таблицы и еще менее — набором выражений, содержащих алгебраические формулы. (В одном из немногих засвидетельствованных отрицательных отзывов о ком бы то ни было Риман отмечает, что берлинский математик Готхольд Эйзенштейн «остановился на уровне формального вычисления».) Но что же тогда такое функция? Это объект, который без нарушения правил нельзя лишить ни одного из его атрибутов. Риман воспринимал функцию способом, каким, говорят, шахматные гроссмейстеры воспринимают шахматную партию — всю целиком, как единое целое, Gestalt.

Однако в напряженных отношениях с этой тенденцией была противоположная ей, причем также ясно прослеживающаяся в работах Римана тенденция сводить всякий математический предмет к анализу. «Риман <…> всегда мыслил в аналитических терминах», — говорит Лаугвитц. Писатель имеет в виду анализ в его бесконечно-малом аспекте: пределы, непрерывность, гладкость; локальные свойства чисел, функций и пространств. Если задуматься об этом, то должно показаться довольно странным, что исследование бесконечно малых окрестностей точек и чисел может снабдить нас знанием о глобальных свойствах функций и пространств. Это становится особенно явным в общей теории относительности, где начинают с изучения микроскопических областей пространства-времени, а приходят к осознанию формы Вселенной и рассмотрению предсмертной агонии галактик. Тем, что нам удается рассуждать столь необычным способом и в чистой, и в прикладной математике, мы обязаны главным образом математикам начала XIX века, и более всего — Бернхарду Риману.

Великая лекция Римана была в действительности документом философским в той же мере, что и математическим. В этом смысле много раз отмечавшаяся туманность многих ее мест могла быть сознательным выбором Римана. (Впрочем, см. замечание Фрейденталя ниже.) То, о чем он говорил, касалось природы пространства на самом фундаментальном уровне. А для среднего, довольного собой стареющего профессора того времени — вроде тех людей, что заседали в числе геттингенских слушателей лекции Римана в тот июньский день, — природа пространства была делом решенным. Она была открыта за 70 лет до этого Иммануилом Кантом в его «Критике чистого разума». Пространство представляет собой предсуществующую часть нашего рассудка, посредством которого мы организуем чувственные восприятия, и оно с необходимостью эвклидово, другими словами, плоское — такое, в котором прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, а сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Неэвклидова геометрия, описанная Лобачевским в 1830-х годах, с этой точки зрения воспринималась как философская ересь. Работа Римана была куда большей ересью; в этом могла состоять причина, по которой он представил свои мысли на уровне столь большой общности, что их связь с неэвклидовой геометрией должна была ускользнуть от всех, кроме наиболее математически подкованных людей в сидевшей перед ним аудитории. (Но, конечно, не от Гаусса. Гаусс на самом деле еще ранее сам изобрел неэвклидову геометрию, но не опубликовал своих результатов из опасений, как он писал, «что болваны поднимут шум и гам». В XIX столетии немцы относились к своей философии весьма серьезно.)

В статье из уже упоминавшегося «Словаря научных биографий» Ханс Фрейденталь говорит о философских способностях Римана следующее.

Я недостаточно подготовлен для того, чтобы судить об истинности этого высказывания. Однако с чем я могу согласиться от всего сердца, так это с другим замечанием Фрейденталя: «Стиль Римана, на который повлияла философская литература, демонстрирует худшие черты немецкого синтаксиса; этот стиль должен представляться шифром всякому, кто не постиг немецкий язык во всей его глубине». Сознаюсь, что хотя у меня есть экземпляр собрания трудов Римана в немецком оригинале — а это один том в 690 страниц — и хотя я приложил все старания, чтобы разобраться в его словах там, где он отклоняется от непосредственно математического изложения, как, например, в своей знаменитой лекции, мое знакомство с его великими мыслями главным образом основано на переводах и вторичных источниках.[72]

Дедекинд получил вторую степень вскоре после Римана, и оба математика начали преподавание в осенне-зимнем семестре 1854 года; Риману исполнилось 28, а Дедекинду 23. Впервые в жизни Риман получал жалованье. Однако вряд ли это было серьезное жалованье. Преподавателям обычно платили посещавшие их лекции студенты (формально университет переводил плату за обучение от студентов к преподавателям). В то время в Геттингене было немного студентов, изучавших математику, — первая лекция Римана собрала их в количестве восьми — и лекции нередко отменялись из-за того, что не было записавшихся. По-видимому, Риман и Дедекинд ходили на лекции друг друга, хотя мне и не удалось установить, платили ли они друг другу за обучение.

Следующая проблема состояла в том, что Риман, по-видимому, не был хорошим лектором. Дедекинд откровенно высказывается по этому поводу:

Дедекинд, отзывающийся о герое своих записей с неизменной симпатией, далее утверждает, что с годами риманова манера чтения лекций улучшилась. Не исключено, что это правда, но сохранившиеся письма студентов Римана показывают, что даже в 1861 году «его мысли часто подводили его, и он был не в состоянии объяснить простейшие вещи». Отношение к этой проблеме самого Римана было, как всегда, достаточно трогательным. После своей первой лекции, состоявшейся 5 октября 1854 года, он пишет отцу: «Надеюсь, что через полгода мне будет легче с моими лекциями и мысль о них не будет отравлять моего пребывания в Квикборне и нашего с тобой общения, как это случилось в прошлый раз». Он был безнадежно застенчивым человеком.

Самым крупным событием того осенне-зимнего семестра стала смерть Гаусса 23 февраля 1855 года, в возрасте 77 лет. Он находился в добром здравии до самого конца и умер внезапно, от сердечного приступа, сидя в своем любимом кресле в дорогой его сердцу обсерватории.[73]

Профессорскую должность Гаусса сразу же предложили Дирихле, который принял приглашение и уже через несколько недель прибыл в Геттинген. С учетом того, сколь великодушно Дирихле отнесся к нему в Берлине, а также тесного общения между ними в 1852 году во время приезда Дирихле в Геттинген, Риман должен был воспринять это с воодушевлением. А мозг Гаусса, кстати, был забальзамирован и оставлен на хранение на факультете физиологии Геттингенского университета, где находится и поныне.

Дирихле также был воодушевлен; в Берлине ему приходилось слишком много работать. Насчет воодушевления его жены полной уверенности нет. Привыкнув к берлинскому высшему обществу, Ребекка Дирихле, урожденная Мендельсон, должна была счесть Геттинген тоскливым и провинциальным. Она изо всех сил старалась скрасить свое пребывание там, устраивая балы — Дедекинд упоминает, что на одном из них присутствовало от 60 до 70 человек, — и вечера музыки в берлинском стиле. Сам Дедекинд, будучи человеком и светским, и музыкальным, расцвел в таком окружении. С Риманом, конечно, все обстояло наоборот, и если его другу хотя бы иногда удавалось затащить его на одно из таких мероприятий, то бедному Риману, должно быть, приходилось в муках терпеть, пока оно не закончится.

Куда большую муку он пережил в октябре того же 1855 года, когда умер его отец, а вскоре после того и младшая сестра Клара. Это положило конец лелеемой им связи с Квикборном. Брат Римана занимал должность почтового служащего в Бремене, и три оставшихся сестры Римана, не имея других средств к существованию и даже жилья (после того как должность викария в Квикборне занял новый пастор), переехали жить к брату.

Несчастный Риман должен был быть совершенно опустошен. Он набросился на работу и в 1857 году написал основополагающую статью о теории функций, упоминавшуюся в главе 1, — статью, принесшую ему известность. Но напряженная работа в соединении с горем повлекла за собой нервный срыв. У Дедекиндов был летний домик в горах Гарц в нескольких милях к западу от Геттингена.[74] Дедекинд смог уговорить Римана провести там несколько недель; он сам ненадолго приезжал туда и ходил с Риманом на прогулки.

В ноябре, после возвращения Римана в Геттинген, его назначили доцентом в университете со скромным жалованьем в 300 талеров в год. Но беда не приходит одна. Его брат Вильгельм в тот же месяц скончался в Бремене, а затем, в начале следующего года, умерла его сестра Мария. Семья, которую Риман боготворил и в которой сосредотачивалась вся его эмоциональная жизнь, исчезала у него на глазах. Он перевез двух оставшихся сестер к себе в Геттинген.

Летом 1858 года во время лекции в Швейцарии у Дирихле случился сердечный приступ, и в Геттинген его перевезли с немалым трудом. Пока он лежал тяжелобольным, его жена скоропостижно умерла от удара. Дирихле воссоединился с ней в мае следующего года. (Его мозг составил компанию мозгу Гаусса на факультете физиологии.) Должность Гаусса теперь освободилась.

От смерти Гаусса до смерти Дирихле прошло четыре года, два месяца и двенадцать дней. За этот отрезок времени Риман потерял не только двух коллег, которых он ценил более всех других математиков, но и отца, брата, двух сестер и жилище викария в Квикборне — то единственное место на земле, которое было ему домом и прибежищем с самого детства.

В то самое время, как эмоциональная жизнь Римана омрачалась одним ударом за другим, его звезда на математическом небосклоне восходила. К концу 1850-х годов блеск и оригинальность его работ стали известны математикам почти по всей Европе. Болезненно застенчивый молодой студент, лишь за десять лет до того приехавший в университет, чтобы начать работу над своей диссертацией, теперь стал заметным математиком, и о Геттингенском университете, который в начале 1850-х годов слыл прежде всего университетом Гаусса, начали говорить как об университете Гаусса, Дирихле и Римана. (Но не Дедекинда, которому еще предстояло создать свои лучшие работы. Дедекинд, кстати, уехал из Геттингена, получив должность в Цюрихе, осенью 1858 года.)

Не слишком неожиданным поэтому был выбор руководства университета в пользу Римана как второго преемника Гаусса. 30 июля 1859 года он получил должность ординарного профессора, что означало обеспеченное существование, и — видимо, как признание за ним необходимости содержания двух оставшихся в живых сестер — апартаменты Гаусса в обсерватории. Скоро последовали и другие знаки отличия. Первый — 11 августа, когда он был произведен в члены-корреспонденты Берлинской академии наук. Риман вернулся в Берлин спустя немногим более 10 лет после того, как уехал оттуда, но вернулся со скромной коллекцией венков на своем челе и был встречен с почетом теми, чьи имена составляли славу немецкой математики: Куммером, Кронеккером, Вейерштрассом, Борхардом.

Венцом триумфа Римана стало представление им на суд академии своей работы «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ее первой фразе он благодарит двух людей, к этому моменту уже покойных, помощь которых (хотя и предоставившаяся намного более охотно со стороны Дирихле, чем со стороны Гаусса) позволила ему покорить высоты. Во второй фразе он демонстрирует Золотой Ключ. В третьей присваивает имя дзета-функции. Первые три предложения работы Римана 1859 года в действительности таковы:

Гипотеза Римана, появляющаяся на четвертой странице той работы, утверждает некий факт о дзета-функции. Чтобы продвинуться в понимании Гипотезы, нам предстоит теперь более серьезно углубиться в устройство дзета-функции.

Глава 9. Расширение области определения

Итак, мы начинаем приближаться к Гипотезе Римана. Просто чтобы освежить память, сформулируем ее еще раз:

И мы уже знаем, что такое дзета-функция! Если s — некоторое число, большее единицы, то дзета-функция определяется таким выражением (9.1):

или же, несколько более изысканным образом,

где слагаемые бесконечного ряда отвечают всем положительным целым числам. Мы видели, что если к этой сумме применить процедуру, напоминающую решето Эратосфена, то ее можно переписать как

то есть

где множители в бесконечном произведении отвечают всем простым числам.

Таким образом, получаем

что я и назвал Золотым Ключом.

Пока все прекрасно, но что это там говорилось насчет нетривиальных нулей? Что такое нуль функции? Что представляют собой нули дзета-функции? И когда они нетривиальны? Не переживайте, сейчас все будет!

Позабудем на время о дзета-функции. Рассмотрим бесконечную сумму совсем другого типа:

Сходится ли она вообще когда-нибудь? Без сомнения. Если x равно ¹/₂,то сумма представляет собой просто-напросто выражение 1.1 из главы 1.iv, поскольку (¹/₂)² = ¹/₄, (¹/₂)³ = ¹/₈ и т.д. Следовательно, S(¹/₂) = 2, потому что именно к этому значению ряд и сходится. Более того, если вспомнить правило знаков, то (−¹/₂)² = ¹/₄, (−¹/₂)³ = −¹/₈ и т.д., а следовательно, S(−¹/₂) = ²/₃ согласно выражению 1.2 из главы 1.v. Аналогичным образом выражение 1.3 говорит нам, что S(¹/₃) = 1¹/₂ выражение 1.4 — что S(−¹/₃) = 1³/₄. Легко получить и еще одно значение для этой функции: S(0) = 1, поскольку нуль в квадрате, кубе и т.д. все равно равен нулю, и остается только единица, с которой ряд начинается.

Однако если x равен 1, то S(1) есть 1 + 1 + 1 + 1 + …, а этот ряд расходится. При x равном 2 расходимость еще более явная: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. Когда x равен −1, происходит странная вещь: по правилу знаков сумма принимает вид 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …. Такая сумма равна нулю, если взять четное число членов, и единице, если нечетное. Данное выражение определенно не убегает на бесконечность, но оно и не сходится. Математики рассматривают такое поведение как некоторый вид расходимости. Ситуация с x = −2 еще хуже: сумма 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − … ведет себя так, словно убегает на бесконечность сразу по двум направлениям. Такая ситуация определенно далека от сходимости, и если вы скажете, что здесь налицо расходимость, то никто с вами спорить не будет.

Короче говоря, функция S(x) имеет значения, только когда x лежит в границах между −1 и 1, не включая сами границы. В других случаях у нее значений нет. В таблице 9.1 приведены значения функции S(x) для аргументов x между −1 и 1.

Вот и все, что можно извлечь из бесконечной суммы. График этой функции показан на рисунке 9.1; на этом графике у функции нет вообще никаких значений к западу от −1 и к востоку от 1. Используя профессиональную терминологию, можно сказать, что область определения этой функции заключена строго между −1 и 1.

Но смотрите, нашу сумму

можно переписать в таком виде:

Ряд в скобках здесь равен просто S(x): каждый член, встречающийся в одном, встречается также и в другом из двух выписанных выше рядов, а это и означает, что они совпадают.

Другими словами, S(x) = 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) − xS(x) = 1, или, другими словами, (1 − x)S(x) = 1. Следовательно, S(x) = 1/(1 − x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 − x)? Может ли равенство

оказаться верным?

Без сомнения, может. Если, например, x = ¹/₂, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − ¹/₂), что есть 2. Если x = 0, то 1/(1 − x) равно 1/(1 − 0), что есть 1. Если x = −¹/₂, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−¹/₂)), т.е. 1:1¹/₂ что есть ²/₃. Если x = ¹/₃, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − ¹/₃) т.е. 1:²/₃, что есть 1¹/₂. Если x = −¹/₃, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−¹/₃)), т.е. 1:1¹/₃, что есть ³/₄. Все сходится. Для аргументов −¹/₂, −¹/₃, 0, ¹/₃, ¹/₂, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x) такие же, как и значения функции 1/(1 − x). Похоже, что этот ряд и эта функция — одно и то же.

Но они не одно и то же, поскольку у них различные области определения, как это видно из рисунков 9.1 и 9.2. S(x) имеет значения только между −1 и 1, не включая границы; функция же 1/(1 − x) имеет значения везде, за исключением точки x = 1. Если x = 2, то ее значение равно 1/(1 − 2), то есть −1. Если x = 10, то значение равно 1/(1 − 10), то есть −¹/₉. Если x = −2, то значение равно 1/(1 − (−2)), то есть ¹/₃. Можно нарисовать график функции 1/(1 − x). Как видно, он совпадает с предыдущим графиком в промежутке между −1 и 1, но имеет еще и значения к западу от −1 (включая саму −1) и к востоку от 1.

Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).

Это приводит к очевидному вопросу: а не обстоит ли дело подобным же образом и с дзета-функцией? Не случилось ли так, что бесконечная сумма, которую мы использовали для дзета-функции, — выражение (9.1) — описывает только часть этой функции? И у этой функции есть что-то еще, что нам только предстоит открыть? Может ли область определения дзета-функции

оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?

Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 − x), она имеет значения при всех числах за единственным исключением x = 1.

Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения ζ(s) для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr — миллиард триллионов.

Коротко говоря, когда s лишь немного меньше единицы (рисунок 9.3), значения функции очень большие по величине и отрицательные — как если бы при движении на запад при пересечении линии s = 1 значения внезапно переметнулись из бесконечности в минус бесконечность. Если продолжить путешествие по рисунку 9.3 — т.е. устремлять s ближе и ближе к нулю, — то подъем вверх радикально замедляется. Когда s равно нулю, ζ(s) равна −¹/₂. При s = −2 кривая пересекает ось s, т.е. ζ(s) равна нулю.

Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = −4. График попадает в неглубокую впадину (−0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = −6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = −8 и далее в несколько более глубокую впадину (−0,007850880…), затем пересечение с осью в точке −10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = −12, впадина поглубже (−0,093717308…), пересечение с осью при s = −14 и т.д.

Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = −49.587622654…, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.

Ho как я получил все эти значения ζ(s) для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1) для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение ζ(−7,5), как бы я к этому подступился?

Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1). Это η-функция; η (читается «эта») — седьмая буква греческого алфавита. Определим η-функцию как

Грубая прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1). Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать — хотя здесь мы этим заниматься не будем, — что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда s больше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1), которое сходится, только когда s больше единицы.

Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A − B + C − D + E − F + G − H + … равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …) минус 2×(B + D + F + H + …). Поэтому функцию η(s) можно переписать как

минус

Первая скобка — это, конечно, ζ(s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида , после чего можно вынести в качестве множителя перед всей скобкой. А что останется в скобке? Там останется ζ(s)! Коротко говоря,

или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем

Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение η(s), то мы немедленно будем знать и значение ζ(s). А поскольку можно узнать значения η(s) между 0 и 1, можно получить и значение ζ(s) в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для ζ(s) там не сходится.

Пусть, например, s равно ¹/₂. Если сложить 100 членов ряда для η(¹/₂), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение η(¹/₂) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ζ(¹/₂) оно оказывается равным −1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.

Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s = ¹/₂, а другой — нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для ζ(s).

За исключением одного только s = 1, где ζ(s) не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает ζ(1 − s) через ζ(s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение ζ(−15), то надо просто вычислить значение ζ(16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин:[75]

Всюду здесь π — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1×2, 3! = 1×2×3, 4! = 1×2×3×4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, (¹/₂)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из π), (−¹/₄)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от −4 до 4.

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ζ(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ζ(1 − s) через ζ(s); если вы знаете, как посчитать ζ(16), то вы можете тогда вычислить ζ(−15); если вам известна ζ(4), то вы можете вычислить ζ(−3); если вам известна ζ(1,2), то вы можете выделить ζ(−0,2); если вам известна ζ(0,6), то вы можете вычислить ζ(0,4); если вам известна ζ(0,50001), то вы можете вычислить ζ(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ζ(1 − s) и ζ(s), потому что если s = ¹/₂, то 1 − s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента ¹/₂. И тем не менее ее значения при аргументах слева от ¹/₂ связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.

Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ζ(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:

А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.

В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:

Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/x равен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 − x) равен −ln(1 − x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:

Будет чуть удобнее, если обе части умножить на −1:

Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3) верно при x = −1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = −1 выражение (9.3) дает следующий результат:

Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.

Правая часть выражения (9.4) несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись![76]

Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 − ¹/₂ − ¹/₄ + ¹/₃ − ¹/₆ − ¹/₈ + ¹/₅ − ¹/₁₀ − …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 − ¹/₂) − ¹/₄ + (¹/₃ − ¹/₆) − ¹/₈ + (¹/₅ − ¹/₁₀) − …, т.е. ¹/₂(1 − ¹/₂ + ¹/₃ − ¹/₄ + ¹/₅ − …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда![77]

Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.

Глава 10. Доказательство и поворотная точка

Работа 1859 года «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» была единственной публикацией Бернхарда Римана по теории чисел, а также единственной из всех написанных им работ, которая вовсе не содержала никаких геометрических идей.

Эта блестящая и основополагающая статья была, однако, неудовлетворительна в некоторых отношениях. Прежде всего, имелась сама великая Гипотеза, которую Риман оставил висеть в воздухе (где она пребывает и поныне). Его собственные слова после формулировки утверждения, эквивалентного Гипотезе, были такими:

Вполне разумно. Поскольку Гипотеза не имела решающего значения для развиваемых им идей, Риман оставил ее без доказательства. Но это был наименьший из недостатков той статьи. Некоторые другие вещи в ней утверждаются, но их тщательного доказательства не приводится — причем это относится и к основному результату работы! (Сам этот результат мы рассмотрим в одной из последующих глав.)

Бернхард Риман являл собой весьма чистый случай интуитивного математика. Это требует пояснений. Личность математика состоит из двух главных компонент: логической и интуитивной. Обе присутствуют в каждом хорошем математике, но при этом или одна, или другая значительно преобладает. Типичным примером исключительно логического математика является немецкий аналитик Карл Вейерштрасс (1815-1897), создавший свои великие работы в третьей четверти XIX века. Чтение работ Вейерштрасса подобно наблюдению за скалолазом. Каждый шаг, прежде чем будет предпринят последующий, твердо закрепляется доказательством. Пуанкаре говорил, что ни одна из вейерштрассовых книг не содержит ни одного рисунка. На этот счет на самом деле имеется одно исключение, но так или иначе логически выверенное построение работ Вейерштрасса весьма характерно именно для логического математика: каждый тщательно обоснован перед тем, как осуществляется переход к следующему, и при этом не делается никаких воззваний к геометрической интуиции.

Риман воплощал в себе полную противоположность. Если Вейерштрасс — это скалолаз, методично отвоевывающий у утеса каждый дюйм, то Риман — скорее акробат на трапеции, бесстрашно взлетающий в воздух в уверенности (которая зрителю может показаться опасным самообманом), что, когда он достигнет точки своего назначения где-то посреди неба, там будет за что ухватиться. Совершенно ясно, что Риман обладал прекрасно развитым зрительным воображением, а также и то, что его мозг совершал прыжки к результатам настолько мощным, элегантным и плодотворным, что он не мог заставить себя остановиться для доказательства. Он живо интересовался философией и физикой, и набор концепций, накопленных им в результате длительного знакомства с этими двумя дисциплинами, — поток ощущений через наши органы чувств, организация этих ощущений в формы и понятия, поток электричества через проводник, движения жидкостей и газов — просматривается за фасадом его математики.

Поэтому работу 1859 года почитают не за ее логическую чистоту и уж заведомо не за ее ясность, а за одну лишь оригинальность примененного Риманом метода и за величайший размах и мощь его результатов, которые уже обеспечили и продолжают обеспечивать его коллег-математиков материалом на десятилетия работы.

О том, что последовало за статьей 1859 года, пишет в своей книге о дзета-функции[78] Хэролд Эдвардс:

Работа Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» имела прямое отношение к попыткам доказать Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Если бы выяснилось, что Гипотеза Римана верна, то ТРПЧ была бы получена в качестве следствия. Однако Гипотеза представляет собой намного более сильный результат, чем ТРПЧ, и последнюю можно было бы доказать, исходя и из более слабых предпосылок. Основное значение работы Римана для доказательства ТРПЧ состояло в том, что она предоставила средства — результаты, позволяющие глубоко проникнуть в суть аналитической теории чисел, — с помощью которых и была проложена дорога к доказательству.

Это доказательство появилось в 1896 году. Период, прошедший между выходом работы Римана и доказательством ТРПЧ, был отмечен следующими вехами.

• Вырос объем практических знаний о простых числах. Были опубликованы более длинные таблицы простых чисел, среди которых выделяются таблицы Кулика, представленные Венской академии наук в 1867 году, — там были приведены делители всех чисел до 100 330 200. Эрнст Майсель разработал хитрый способ вычисления π(x) — функции, которая считает количество простых чисел. В 1871 году он нашел правильное значение для π(100 000 000). В 1885 году он вычислил значение π(1000 000 000), которое оказалось на 56 меньше правильного результата (хотя это и обнаружили лишь 70 лет спустя).

• В 1874 году Франц Мертенс добился скромного результата, касающегося чисел обратных к простым, используя методы, которые заимствовали кое-что как у Римана, так и у Чебышева. Ряд ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₁₁ + ¹/₁₃ + … + ¹/_p + … расходится, хотя и более медленно, чем гармонический ряд. Явно выписанная сумма ~ ln(ln p).

• В 1881 году Дж. Дж. Сильвестр из Университета Джонса Хопкинса в Соединенных Штатах улучшил найденные Чебышевым границы отклонений (см. главу 8.iii) с 10 до 4 процентов.

• В 1884 году датский математик Йорген Грам опубликовал статью под названием «Исследования числа простых чисел, меньших данного числа» и получил за нее премию Датского математического общества. (Статья не содержала существенного прогресса, но заложила основы для полученных позднее результатов Грама, которые мы рассмотрим в должный момент.)

• В 1885 году голландский математик Томас Стилтьес заявил, что у него есть доказательство Гипотезы Римана. Подробности этой истории мы опишем чуть ниже.

• В 1890 году французская Академия наук объявила, что главная премия будет присуждена за работу по теме «Определение числа простых чисел, меньших заданной величины». Крайним сроком подачи работ на конкурс был июнь 1892 года. В объявлении было ясно сказано, что академия приветствует работу, которая прояснила бы некоторые доказательства, отсутствовавшие в работе Римана 1859 года. Молодой француз Жак Адамар направил статью о представлении некоторых классов функций в терминах их нулей. Риман опирался на подобный результат при выводе своей формулы для π(x); именно на этом (математические детали будут подробнее объяснены позже) зиждится связь между простыми числами и нулями дзета-функции, но Риман оставил этот результат без доказательства. Ключевые идеи Адамар взял из своей диссертации, которую защитил в том же году. Он и получил премию.

• В 1895 году немецкий математик Ханс фон Мангольдт доказал основной результат работы Римана, в котором утверждается связь между π(x) и дзета-функцией, и преобразовал его к более простому виду. Тогда стало ясно, что если бы была доказана некая теорема, намного более слабая, чем Гипотеза Римана, то применение ее к формуле фон Мангольдта дало бы доказательство ТРПЧ.

• В 1896 году два работавших назависимо математика — уже упомянутый Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен — доказали этот более слабый результат и, следовательно, ТРПЧ.

Уже говорилось, что любой, кто бы ни сумел доказать ТРПЧ, тем самым снискал бы себе бессмертие. Это предсказание едва не сбылось: Шарль де ля Валле Пуссен умер за пять месяцев до своего 96-летия, а Жак Адамар — за два месяца до 98-летия.[79] Они не знали — по крайней мере, достаточно долго не знали, — что соревнуются друг с другом; и, поскольку оба они опубликовали свои результаты в один и тот же год, со стороны математиков было бы нечестно отдавать предпочтение кому-то одному из них за то, что он получил этот результат первым. Как и в случае восхождения на Эверест, они разделили славу.

Судя по всему, де ля Валле Пуссен опубликовался чуть раньше. Статья Адамара — она называлась Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques[80] — вышла в бюллетене Французского математического общества. Адамар добавил замечание о том, что он узнал о результате де ля Валле Пуссена, когда читал гранки своей статьи. И далее: «Однако я полагаю, что никто не сможет отрицать, что преимущество моего метода состоит в его простоте».

Этого никто никогда и не отрицал. Доказательство Адамара проще; из того факта, что он знал об этом до того, как его статья была напечатана, следует, что он не только слышал о результате де ля Валле Пуссена, но и имел возможность ознакомиться с ним. Однако поскольку их работы с очевидностью независимы, поскольку никогда не было ни малейшего намека на нечестную игру и поскольку и Адамар, и де ля Валле Пуссен были настоящими джентльменами, эти одновременные доказательства не стали причиной вражды или полемики. Я удовлетворюсь тем, что скажу, как говорит и весь математический мир: в 1896 году француз Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен, работая независимо, доказали ТРПЧ.

Доказательство ТРПЧ является великой поворотной точкой в нашей истории — настолько важным моментом, что в соответствии с ним я разбил книгу на две части. Во-первых, оба доказательства 1896 года опирались на некоторый результат в духе Гипотезы. Если бы или Адамар, или де ля Валле Пуссен смогли доказать справедливость Гипотезы, то справедливость ТРПЧ была бы остановлена немедленно. Они, разумеется, этого не смогли, но им этого и не требовалось. ТРПЧ — это орех, а Гипотеза Римана — молоток. ТРПЧ следует из более слабого (и безымянного) утверждения:

Если доказать такое, то можно воспользоваться основным результатом Римана в форме, которую ему придал фон Мангольдт, и тем самым доказать ТРПЧ. Именно это и сделали двое наших ученых в 1896 году.

Во-вторых, как только ТРПЧ перестала застилать горизонт, Гипотеза стала видна в полный рост. В ней был сосредоточен следующий по очереди ключевой открытый вопрос в аналитической теории чисел; и по мере того, как математики стали уделять ей внимание, выяснилось, что из доказательства ее справедливости последовало бы огромное множество вещей. Если ТРПЧ была гигантским Белым Китом теории чисел в XIX столетии[81], то Гипотеза Римана заняла ее место в XX. Даже больше чем просто заняла ее место, поскольку она зачаровала не только специалистов по теории чисел, но и математиков всех сортов и даже, как мы увидим, физиков и философов.

И в-третьих — сколь бы тривиальным ни казалось такое обстоятельство, подобные вещи некоторым образом откладываются в людских головах, — имелось чистое совпадение, определяемое тем, что идея о ТРПЧ зародилась в конце одного столетия (Гаусс, 1792), а доказана теорема была в конце следующего (Адамар и де ля Валле Пуссен, 1896). И как только с этой теоремой дело было решено, внимание математиков переключилось на Гипотезу Римана, которая и занимала их в течение всего следующего столетия — столетия, которое завершилось, так и не принеся никакого доказательства. И это подтолкнуло любознательных исследователей широкого профиля к написанию книг о ТРПЧ и Гипотезе в начале очередного столетия!

Чтобы наполнить сформулированные выше пункты социальным, историческим и математическим содержанием, я кратко расскажу о Жаке Адамаре; мой выбор определен отчасти тем, что среди многих действующих лиц он играл наиболее важную роль, а отчасти тем, что для меня он — привлекательная и располагающая к себе личность.

В политическом отношении XIX столетие выдалось для Франции не очень счастливым. Если считать вместе со ста днями Наполеона (а также если простить мне незначительные ошибки округления), то с 1800 по 1899 год государственное устройство этой древней нации выглядит следующим образом.

• Первая республика (4¹/₂ года)

• Первая империя (10 лет)

• Реставрация монархии (1 год)

• Реставрация империи (3 месяца)

• Ререставрация монархии (33 года)

• Вторая республика (5 лет)

• Вторая империя (18 лет)

• Третья республика (29 лет)

И даже те 33 года монархии прерывались революцией и сменой династии.

Для французского народа во второй половине столетия величайшей национальной трагедией было поражение, которое французская армия потерпела от Пруссии в 1870 году; затем последовали осада Парижа пруссаками зимой 1870/71 года и мирный договор, по которому Пруссии были уступлены две провинции и выплачена колоссальная денежная контрибуция. Сам этот договор вызвал краткую, но ожесточенную гражданскую войну. Разумеется, последствия всего этого для Франции были огромны. Нация вступила во Франко-прусскую войну империей, а вышла из нее республикой.

Особенно оказалась затронута французская армия. В течение всей оставшейся части столетия, да и позднее, этому гордому институту пришлось не только терпеть унижение из-за поражении 1870 года; в армии воплотились и все надежды нации на реванш и возвращение потерянных земель. Кроме того, армия стала оплотом старомодного французского патриотизма: молодые люди из аристократических, католических и богатых буржуазных семей массово шли служить офицерами. Это склоняло офицерский корпус к консерватизму в старом французском духе «трона и алтаря», до некоторой степени изолируя его от основного направления, в котором развивалась французская жизнь в эти десятилетия. А жизнь шла по направлению к непоседливой и открытой торговой и промышленной республике, занимавшей ведущее положение в искусствах и науках, являвшей средоточие блеска, остроумия и веселья, — к восхитительной, блистательной Франции времен Belle Epoque[82], одной из высших точек в развитии западной цивилизации.

Жак Адамар ребенком пережил осаду Парижа, а дом, который занимала его семья, сожгли во время гражданской войны. Родился он в декабре 1865 года во франко-еврейской семье. Его отец преподавал в старших классах школы, а мать давала уроки игры на фортепиано. (Среди ее учеников был Поль Дюка, написавший симфоническую поэму «Ученик чародея», столь хорошо знакомую поклонникам Диснея.[83]) После получения диплома и недолгого преподавания в школе Адамар в 1892 году защитил диссертацию и в том же году женился. В 1893 году они с женой переехали в Бордо, где он получил должность преподавателя в университете. Их первый ребенок, Пьер, родился в октябре 1894 года, и они занялись созданием одной из тех любящих и деятельных буржуазных семей, где все тесно связаны друг с другом и где каждому полагается играть на музыкальном инструменте и выбрать себе карьеру в бизнесе или науке или же стать врачом или каким-нибудь другим специалистом.

В те дни, как и в наше время, Франция была высокоцентрализованным государством. Получить преподавательскую должность в Париже было необычайно сложно, и подразумевалось, что молодые ученые должны прежде в течение нескольких лет пройти стажировку в провинции. Для Адамара парижский шанс открылся в 1897 году. В том году он вернулся в столицу, оставив свое профессорство в Бордо — его повысили от преподавателя до полного профессора всего за два года, — и стал доцентом в Коллеж де Франс, что представляло собой продвижение с точки зрения престижа — т.е. шаг вверх.

Те шесть лет с 1892-го по 1897-й заложили основу карьеры и славы Адамара. Он был математиком широкого профиля и получал оригинальные результаты в нескольких различных областях. Как правило, студенты, специализирующиеся по математике, впервые встречают его имя в связи с теоремой о трех окружностях в теории функций комплексной переменной — результат, полученный Адамаром в 1896 году; о нем можно прочитать в любой хорошей энциклопедии по математике.[84]

Там будет написано, что Адамар был последним из универсальных математиков — из тех, другими словами, кто охватывал весь предмет целиком, — позже этот самый предмет разрастется до такой степени, что это станет просто невозможно. Однако то же самое будет сказано и о Гильберте, Пуанкаре, Клейне и, наверное, еще об одном или двух математиках того периода. Я не знаю, кто больше заслуживает звания универсального математика, хотя и подозреваю, что правильный ответ — Гаусс.

Получение доказательства ТРПЧ относится к бордоскому периоду жизни Адамара. Отступим чуть в сторону и взглянем на непосредственное математическое окружение, в котором это доказательство было получено.

Главной фигурой во французской математике того времени был Шарль Эрмит (1822-1901) — профессор анализа в Сорбонне до своего ухода на пенсию в 1897 году. Одно из его творений будет играть роль в нашей истории (глава 17.v).

Начиная с 1882 года Эрмит вел математическую переписку с более молодым математиком, голландцем по имени Томас Стилтьес.[85] В 1885 году Стилтьес опубликовал в Comptes Rendus[86] заметку, где утверждал, что доказал нашу теорему 15.1 — результат более сильный, чем Гипотеза Римана, из которого, если Стилтьес действительно его доказал, следует справедливость Гипотезы (однако неверность его не будет опровержением Гипотезы, см. главу 15.v). Однако в той заметке Стилтьес не привел доказательства. Примерно в то же время он написал Эрмиту и в письме повторил свое утверждение, однако добавил: «Мое доказательство слишком сильно закручено; я попробую упростить его, когда вернусь к работе над этими вопросами». Стилтьес был честным человеком и серьезным, уважаемым математиком — его именем назван один вид интеграла. Ни у кого не было причин сомневаться, что у него действительно имелось доказательство, Стилтьес наверняка и сам так считал.

Тем временем работу Римана 1859 года тщательно исследовали и придали его рассуждениям более аккуратный вид. Удостоенный премии результат Адамара также представлял собой значительный шаг в этом направлении. Далее, в 1895 году в Берлине (Германия в то время была империей, правил которой кайзер Вильгельм I) немецкий математик Ханс фон Мангольдт расчистил значительную часть еще не пройденных дебрей и доказал основной результат Римана о связи функции π(x), подсчитывающей количество простых чисел, с нулями дзета-функции.

Оставались только два ключевых вопроса: Гипотеза и ТРПЧ. К этому времени все заинтересованные наблюдатели понимали, что Гипотеза — более сильное утверждение. Если бы Гипотезу (молоток) удалось доказать, то ТРПЧ (орех) была бы получена как следствие, без всяких дополнительных усилий. Но ТРПЧ можно было установить и исходя из более слабых результатов, без привлечения Гипотезы, причем доказательство ТРПЧ не означало бы справедливости Гипотезы.

Итак, что было делать математику, если учесть широкую распространенность убеждения, что Стилтьес разделался как с первой, так и со второй проблемой? Начать работать над доказательством более слабого результата — путь к которому благодаря работе по расчистке, которую провели Адамар и фон Мангольдт, был теперь довольно ясен? Но стоило ли затрудняться из-за этого, если более сильный результат Стилтьеса по поводу Гипотезы может появиться в тот момент, когда работа сделана лишь наполовину? С другой стороны, к середине 1890-х годов с момента сделанного Стилтьесом заявления прошло 10 лет, и многих, должно быть, начали одолевать сомнения. Эти сомнения никак не касались личности Стилтьеса; в математике нередки случаи, когда математик верит, что доказал некий результат, а потом, просматривая доказательство, обнаруживает (или, чаще, обнаруживают его коллеги), что в нем содержится логический изъян. Так случилось с первым доказательством Последней теоремы Ферма, данным Эндрю Уайлсом в 1993 году. Такое происходит при более драматических обстоятельствах с героем, от лица которого ведется повествование в написанном в 2000 году романе Филиберта Шогта «Дикие числа». Никто не стал бы думать о Стилтьесе хуже, если бы с ним случилось то, что сплошь и рядом случалось в карьерах математиков. Но где все же это доказательство?

И Шарль де ля Пуссен в Лувенском университете в Бельгии, и Жак Адамар в Бордо взялись за более скромную задачу и вскоре добились успеха. Они доказали ТРПЧ. Тем не менее оба, должно быть, гадали, имели ли смысл их усилия, поскольку, даже если бы их статьи были опубликованы раньше статьи Стилтьеса, его гораздо более сильный результат затмил бы их более слабые достижения. Действительно, Адамар пишет в своей статье: «Стилтьес доказал, что все мнимые нули функции ζ(s) имеют (в согласии с предсказанием Римана) вид ¹/₂ + ti, где t вещественно; однако его доказательство не было опубликовано. Я просто намереваюсь показать, что ζ(s) не может иметь нулей с вещественной частью, равной 1».

Доказательство Стилтьеса так и не было опубликовано; Стилтьес умер в Тулузе в последний день 1894 года. Адамар наверняка знал об этом в ходе работы над своей статьей в 1895-1896 годах, так что он, по-видимому, ожидал появления доказательства в ранее не опубликованных результатах среди наследия Стилтьеса. Но оно так и не появилось. Тем не менее до самого недавнего времени не исключалось, что Стилтьес мог доказать Гипотезу. Однако в 1985 году Эндрю Одлыжко и Херман те Риле доказали результат, который ставит теорему 15.1 под серьезное сомнение. Вера в потерянное стилтьесово доказательство Гипотезы Римана после этого, как я понимаю, в значительной мере улетучилась.^{A3}

Как уже отмечалось, одним из последствий национальной трагедии 1870–1871 годов стало усиление консервативных элементов в офицерской прослойке французской армии, а также определенное дистанцирование этого класса от основного направления развития французского общества. Это повлекло за собой одно колоссального размера последствие в последние годы XIX века — дело Дрейфуса.

Безнадежно пытаться в нескольких абзацах разобраться и восстановить справедливость в этом знаменитом деле. Оно более десятилетия находилось в центре французской общественной жизни, да и поныне может еще распалить страсти. По этому поводу имеется обширная литература, а также фильмы, романы и по крайней мере один телевизионный мини-сериал (на французском). В кратчайшем изложении: офицер Генерального штаба французской армии Альфред Дрейфус, происходивший из богатой еврейской буржуазной семьи, был арестован в конце 1894 года по обвинению в измене. Его судили закрытым военным трибуналом, осудили, разжаловали и пожизненно заключили в тюрьму на Чертовом острове во Французской Гвиане. Дрейфус, который громко заявлял о своей невиновности, не имел никаких явных мотивов для измены — он всегда проявлял безупречный патриотизм и при этом никогда не нуждался в деньгах.

В марте 1896 года полковник Жорж Пикар из французской войной разведки обратил внимание на то, что почерк, которым был написан документ, послуживший основным свидетельством против Дрейфуса, очень похож на почерк не столько Дрейфуса, сколько другого офицера, майора Эстерхази, человека неуравновешенно характера и широких привычек, хронически обремененного карточным долгами. Пикар сообщил об этом вышестоящим командирам. Ему приказали ничего больше об этом не рассказывать а затем перевели его на французскую пограничную заставу в Северной Африке. На следующий год (1897) брат Дрейфуса Матье узнал о находке Пикара и потребовал, чтобы Эстерхази отдали под суд. Эстерхази был оправдан военным трибуналом в январе 1898 года. Писатель Эмиль Золя без промедления опубликовал открытое письмо, знаменитое «Я обвиняю», адресованное президенту республики Феликсу Фору, где заклеймил ряд людей, вовлеченных в осуждение Дрейфуса, как соучастников чудовищного подлога и несправедливости. Против Золя завели уголовное дело о клевете в адрес военного министерства.

Вслед за тем дело Дрейфуса получило широкую огласку, поглощая внимание общества вплоть до момента окончательного и официального провозглашения невиновности Дрейфуса в июле 1906 года. Имели место горячие судебные разбирательства, драматические повороты сюжета, самоубийство одного из заговорщиков и иные многочисленные захватывающие события. (Возможно, самым захватывающим событием, пусть и не вытекающим непосредственно из дела Дрейфуса, однако же повлиявшим на его ход, была смерть президента Фора «на месте преступления» со своей любовницей в одной из дальних спален Елисейского дворца: у него случился обширный инсульт, и в предсмертной агонии он схватил несчастную женщину за волосы с такой силой, что она не могла самостоятельно освободиться. Ее стоны привлекли слуг во дворце, которые освободили даму, одели ее и вытолкали через черный ход.)

Так случилось, что Жак Адамар был троюродным братом жены Альфреда Дрейфуса, урожденной Люси Адамар. Дело Дрейфуса, таким образом, касалось и его лично. В дополнение к этому личному касательству оно поставило перед всеми французскими евреями важные вопросы самосознания и лояльности. До дела Дрейфуса большинство французской еврейской буржуазии — люди типа Адамаров и Дрейфусов — считали себя полностью ассимилированными, патриотически настроенными французами, которые по стечению обстоятельств были евреями. Однако где-то в глубине общества шевелился антисемитизм, причем не только в армии. Антисемитская полемическая книга «Еврейская Франция» имела большой издательский успех в 1886 году; широкое распространение имела и антисемитская газета «Свободное слово». Дело Дрейфуса вытащило все это на поверхность и заставило французских евреев задуматься, не пребывают ли они в мире собственных иллюзий. Но даже если оставить в стороне фактор антисемитизма, был совершен акт чудовищной несправедливости, и ряды дрейфусаров — тех, кто агитировал в пользу обесчещенного капитана, — включали неисчислимое количество граждан-неевреев, возмущенных лживостью армейских чинов и неспособностью политических властей к действию.

До дела Дрейфуса Адамар, судя по всему, был человеком аполитичным и слегка не от мира сего, кем-то вроде «рассеянного профессора» — тип, часто встречающийся среди великих математических умов. Этот шаблон получил широкое распространение, и в нем и вправду что-то есть. Из-за чисто абстрактной природы материала, с которым они работают, а также из-за необходимости по многу часов подряд сосредотачиваться на нем математикам свойственна тенденция некоторого отрешения от более житейских дел. Нет, конечно, ничего невозможного и в отсутствии у математика подобной отстраненности, и имеется множество контрпримеров. Рене Декарт был солдатом и придворным. (Он смог пережить первое, но не второе.[87]) Карл Вейерштрасс проводил свои университетские годы за выпивкой и потасовками и вышел из университета без диплома. Джон фон Нейман, один из величайших математиков XX века, был тем еще гулякой, увлекавшимся красивыми женщинами и быстрыми машинами.

Жак Адамар, по свидетельствам, не относился к числу упомянутых контрпримеров. Даже если не принимать во внимание апокрифы, которые всегда окружают великих, можно утверждать, что Адамар был не в состоянии завязать галстук без посторонней помощи. Его дочь утверждала, что он не умел считать далее четырех: «После этого наступало n». Так что его участие в деле Дрейфуса говорит о глубине чувств, которые всколыхнуло в нем это событие расшевелившее даже таких людей, которые, как он, являли собой воплощенное беспристрастие. Адамар стал страстным дрейфусаром. Он активно участвовал в Лиге прав человека, которую основал Золя. Третьего сына Адамаров, который родился в феврале 1899 года, назвали Матье-Жоржем — Матье в честь брата Дрейфуса, который был его самым неутомимым защитником, а Жоржем в честь полковника Пикара, чья несгибаемая твердость и спокойная нацеленность на правду были ключевыми факторами в окончательном оправдании Дрейфуса (которого Пикар лично не переносил).

Адамар сохранил общественную активность в течение всей своей последующей жизни, которая была не только исключительно долгой, но и необычайно деятельной и продуктивной. Была она сполна отмечена и трагедиями. Великие войны XX века отняли у него всех трех сыновей. Двое старших погибли при Вердене, с интервалом в три месяца один после другого; Матье-Жорж был убит в 1944 году во время службы в войсках свободной Франции в Северной Африке. В горе и отчаянии после Первой мировой войны Адамар обратился к пацифизму и Лиге Наций. Он содействовал избранию правительства Народного фронта в 1936-1938 годах. Как и многих, даже более искушенных, его до некоторой степени захватили коммунизм и Советский Союз.[88] Изгнанный из Парижа немецким наступлением в 1940 году, он в течение четырех лет преподавал в Колумбийском университете в США. Он повсюду путешествовал, читал лекции и встречался со всеми. Он был увлеченным натуралистом, собравшим музейного уровня коллекцию папоротников и грибов. Он одним из первых поддержал Еврейский университет в Иерусалиме (основанный в 1925 году). Среди многих написанных им книг имеется «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945)[89] — книга, которая все еще заслуживает прочтения благодаря глубокому пониманию автором процесса мышления математиков; некоторые из высказанных там мыслей я использовал в данной книге. У себя дома Адамар организовал любительский оркестр; Альберта Эйнштейна, который был его другом на протяжении всей жизни, приглашали туда в качестве скрипача. В течение 68 лет он был женат на одной и той же женщине. Жаку было 94 года, когда она умерла. После этого он боролся за жизнь в течение двух лет; но вслед за тем силы его духа исчерпала смерть его любимого внука из-за несчастного случая в горах, и через несколько месяцев он умер, не дожив лишь немного до своего 98-летия.

Остановившись на Жаке Адамаре, я поддался собственным симпатиям — теплым чувствам к приятному человеку и большому математическому таланту. Это, однако, никоим образом не умаляет моего почтения к другим математикам, внесшим вклад в прояснение великой работы Римана и доказательство ТРПЧ.[90] К концу XIX столетия математический мир перешел от эры, когда поистине великих успехов мог достичь великий ум, работающий в одиночку, к эре, когда математика стала коллективным предприятием, в котором работа даже наиболее блестящих исследователей основывается на работе современников и питается ею.

Одним из признаний этого факта стало устройство периодических международных конгрессов математиков. Первое такое собрание состоялось в Цюрихе в августе 1897 года. Жена Адамара как раз ожидала первого ребенка, а потому Адамар там не присутствовал. Он направил свою работу, с тем чтобы ее прочитал его друг Эмиль Пикар. (Интересно заметить, что как раз в то время в 40 милях от Базеля происходил первый Сионистский конгресс, вызванный, по крайней мере отчасти, делом Дрейфуса.)

2-й конгресс математиков прошел в Париже летом 1900 года, и намерение состояло в том, чтобы проводить конгресс каждые четыре года. Однако у Истории имелись собственные планы. Конгресс не проводился в 1916-м, равно как и в 1940, 1944 и 1948 годах. Система их проведения возродилась с 1950 года, когда конгресс состоялся в Кембридже, штат Массачусетс. Адамар, конечно, получил приглашение, но из-за его просоветских склонностей ему сначала отказали в визе для въезда в США. Потребовалось ходатайство коллег-математиков и личное вмешательство Трумэна чтобы обеспечить его приезд в Гарвард. (Во время написания этой книги, в начале 2002 года, идут приготовления к 24-му конгрессу этим летом в Пекине — всего лишь второму конгрессу, проводимому за пределами Европы, России и Северной Америки.[91])

Первый математический конгресс XX века состоялся в Париже с 6 по 12 августа 1900 года, и это был один из тех конгрессов, о которых все помнят. Парижский конгресс навсегда останется связан с именем Давида Гильберта — немецкого математика, работавшего в Геттингене — университете Гаусса, Дирихле и Римана. Хотя ему было всего 38 лет, Гильберт уже имел репутацию одного из выдающихся математиков своего времени.

Утром 8 августа в актовом зале Сорбонны Гильберт выступал с докладом о «Математических проблемах» перед примерно двумястами делегатами конгресса, среди которых был и Жак Адамар. Цель Гильберта состояла в том, чтобы обратить мысли коллег-математиков к главным проблемам, которые ставило перед ними новое столетие. Ради этой цели он предложил их вниманию несколько наиболее важных тем, требующих исследования, и задач, требующих решения. Он собрал эти темы и задачи в 23 пункта, восьмым из которых значилась Гипотеза Римана.

С этой речи математика XX века началась всерьез.