Простая одержимость

Глава 11. Обитатели матрешек

В главе 9.vi мы познакомились с некоторыми нулями дзета-функции. Мы видели, что каждое четное отрицательное целое число является нулем дзета-функции: ζ(−2) = 0, ζ(−4) = 0, ζ(−6) = 0 и т.д. Это несколько продвигает нас в понимании Гипотезы Римана, которая, как мы помним, звучит так:

К сожалению, все эти отрицательные четные числа — тривиальные нули. Ну… а где же нетривиальные? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо отправиться в царство комплексных и мнимых чисел.

Эта тема многих напрягает. Они полагают, что мнимые числа это просто страшилки или же что-то надуманное, чего не может быть, но что просочилось в математику откуда-то из области научной фантастики. Все это чепуха. Комплексные числа (частным случаем которых являются мнимые) появились в математике из весьма практических соображений. Они приносили математикам пользу при решении задач, которые без этих чисел не решались. Они не более «мнимые», чем числа любого другого вида. Когда это в последний раз вы спотыкались о семерку?

Иррациональные числа (такие как √2 и π) на самом деле более таинственны, более страшат наш разум и пугают даже сильнее, чем квадратный корень из минус единицы. Действительно, иррациональные числа принесли (и в обличье так называемой континуум-гипотезы продолжают приносить, см. речь Давида Гильберта в главе 12.ii) философам математики куда больше хлопот, чем когда бы то ни было принес безобидный малыш √−1. Предпринимались целенаправленные попытки отказаться от иррациональных чисел, причем даже в наше время и даже со стороны видных профессиональных математиков: Кронеккера в XIX столетии, Брауэра и Г. Вейля в начале XX. По поводу некоторых дополнительных замечаний на эту тему см. раздел V в этой главе.

Чтобы получить сбалансированное представление о комплексных числах, неплохо бы понять, как вообще современные математики воспринимают числа. Это мы сейчас и рассмотрим, включив в наш рассказ заодно и комплексные числа. Не нервничайте пока слишком сильно по поводу того, что же они собой представляют: подробности последуют очень скоро, а в несколько следующих абзацев комплексные числа включены просто для полноты.

Итак, как же современный математик воспринимает числа? В виде ажурных букв, вот как! В виде букв N, Z, Q, R и C.^{1} Я пытался придумать какое-нибудь идиотское, а потому застревающее в памяти мнемоническое правило для их запоминания, но не смог изобрести ничего, кроме Nine Zulu Queens Ruled China.[92]

А может, я и поспешил немного. Вот альтернативный ответ на тот же вопрос: математики воспринимают числа как набор сидящих одна в другой матрешек. Вот таких.

• Самая внутренняя матрешка: натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….

• Следующая матрешка: все целые числа. Другими словами, натуральные числа вместе с нулем и отрицательными целыми (такими как −12).

• Следующая матрешка: рациональные числа. Другими словами, все целые вместе с положительными и отрицательными дробями (например, числа ³/₂, −¹/_{917 635}, ^{1000 000 000 001}/₆).

• Следующая матрешка: вещественные числа. Другими словами, рациональные вместе с иррациональными, такими как √2, π, e. (Из примечания [18] в главе 3.vi мы помним, что древние греки открыли существование чисел, которые не являются ни целыми, ни дробями, — иррациональных чисел.)

• Внешняя матрешка: комплексные числа.

Уместно сделать несколько замечаний по поводу такой организации. Во-первых, числа из каждой матрешки записываются характерным для каждой из них способом.

• Натуральные числа обычно записываются так: 257.

• Целые могут иметь перед собой знак, например −34.

• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: ¹⁴/₃₇. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь ¹³/₉ или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 1⁴/₉.

• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как π и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно или π²/6. Когда больше ничего нельзя сделать или же просто для того чтобы оценить реальное численное значение вещественного числа, его записывают в виде десятичной дроби, как правило, с многоточием в конце, которое означает: «Это не все! если надо, можно добавить сюда еще десятичные разряды», например −549,5393169816448223…. Их можно округлять, скажем, до «пяти знаков после запятой» −549,53932, или до «пяти значащих цифр» −549,54, или с любой другой точностью.

• Комплексные числа выглядят так: −13,052 + 2,477i. О них мы еще поговорим.

Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:

• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»

• Целые (скажем, −27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как −²⁷/₁. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»

• Рациональные числа (скажем, ¹/₃) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе ⁷/₈ = 0,875). Рациональное число ^{65 463}/_{27 100}, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:

Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число

ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»

• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, √2 записывается в виде комплексного числа как √2 + 0i. Подробности ниже.

(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)

Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N — семейство всех натуральных чисел, Z — целых, Q — рациональных, a R — вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Z позволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N (7 − 12 =?). Подобным же образом Q позволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z ((−7):(−12) =?). И наконец, R открывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в R имеет предел (что неверно для Q).

(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или ²/₃, или 1¹/₂ — т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к √2, или π, или e — иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Q может сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Q не является полным. Напротив, R полно, как полно и С. Эта идея пополнения Q приобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)

Можно выделить и другие категории чисел или внутри приведенной схемы N—Z—Q—R—C, или же «нарезав ее поперек». Очевидный пример доставляют простые числа — подмножество в N. Их совокупность иногда обозначается как P. Имеется также очень важное подмножество в С, называемое алгебраическими числами и иногда снабжаемое собственной ажурной буквой А. Алгебраическое число — это такое число, которое является нулем некоторого многочлена, все коэффициенты которого взяты из Z, например, 2x⁷ − 11x⁶ − 4x⁵ + 19x³ − 35x² + 8x − 3. Среди вещественных чисел каждое рациональное (и, следовательно, каждое целое и натуральное) — алгебраическое; ^{39 541}/_{24 565} есть корень многочлена 24 565x − 39 541 (или, если вы предпочитаете язык уравнений и их решений языку функций и их нулей, — решение уравнения 24 565x − 39 541 = 0). Иррациональное число может быть, а может и не быть алгебраическим. Те, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. И число π, и число e трансцендентны, как это доказали, соответственно, Эрмит в 1873 году и Фердинанд фон Линдеманн в 1882.

На рассматриваемый предмет можно взглянуть и с другой стороны, в аспекте истории чисел, которую я тут скроил. «Скроил» — почти в том же смысле, в каком было сшито новое платье короля. На самом деле это полное вранье.

Подчеркну, что эта история — полная фальшивка. Наше понимание чисел вовсе не развивалось подобным образом. Порядок — и тот неправильный. Он должен быть таким: N, Q, R, Z, С. Натуральные числа и правда были известны в доисторические времена. Египтяне изобрели дроби в начале третьего тысячелетия до P.X. Пифагор (или один из его учеников) открыл иррациональные числа около 600 года до P.X. Отрицательные числа возникли во времена Возрождения из необходимости бухгалтерского учета (хотя нуль появился чуть раньше). Комплексные числа появились в XVII веке. Все это развивалось малопредсказуемым образом, хаотично, как и большая часть того, что делают люди. Неверно и то, что наступил конец истории. История никогда не кончается; как только одна шахматная партия доиграна, немедленно начинается следующая.

Что моя подложная история все же показывает, так это каким образом матрешки помещаются одна в другой; надеюсь также, что она проливает некоторый свет на то, почему математики не склонны воспринимать мнимые и комплексные числа как нечто необычное. Эти числа представляют собой просто еще одну матрешку, созданную с практическими целями — решать задачи, которые иначе не решаются.

Утомительно все время писать √−1, поэтому математики заменили эту величину буквой i. Поскольку i — квадратный корень из минус единицы, имеем i² = −1. Умножая здесь обе части равенства на i, находим, что i³ = −i. Продолжая процесс, получаем i⁴ = 1.

А как обстоят дела с √−2, √−3, √−4 и т.д.? Не понадобятся ли и для них отдельные обозначения? Нет. Согласно обычным правилам перемножения целых чисел, имеем −3 = −1×3. Поскольку √x есть просто x^1/2, 7-е правило действий со степенями говорит нам, что √(a×b) = √a×√b. (Например, √(9×4) = √9×√4 — довольно изысканный способ записи того факта, что 6 = 3×2.) Итак, √−3 = √−1×√3. Далее, √3, понятно, — совершенно обычное вещественное число, имеющее значение 1,732050807568877…. Следовательно (с точностью до трех знаков после запятой), √−3 = 1,732i; в замкнутом виде это обычно записывают как i√3. То же относится и к корню из любого другого отрицательного числа. Целой кучи новых чисел не требуется; достаточно одного только i.

Так вот, i — очень гордое число. Оно довольно надменно и не любит путаться с другими числами. Прибавим 3 к 4; в полученной семерке исчезло всякое воспоминание о «тройности» тройки, как, впрочем, и о «четверности» четверки; они растворились в «семерности» семерки. Напротив, если мы прибавим 3 к i, то получим… 3 + i. И такая же история с умножением. Когда мы умножаем 5 на 2, вся «пятерность» пятерки и «двойность» двойки проглатываются «десятностью» десятки, исчезая без следа. Но, умножая 5 на i, получаем… 5i. Дело выглядит так, словно i никак не может расстаться со своей индивидуальностью; или, быть может, вещественные числа чувствуют, что i сделано из другого теста, чем они сами.

Итак, достаточно один раз впустить букву i в порядок вещей, как она породит целый новый класс чисел вида 2 + 5i, −1 − i, 47,242 − 101,958i, √2 + πi — все возможные a + bi с вообще любыми вещественными a и b. Они называются комплексными числами. Каждое комплексное число имеет две части: вещественную и мнимую. Вещественная часть комплексного числа a + bi — это a, а мнимая — это b.

Как и в случае с другими матрешками N, Z, Q и R, числа, принадлежащие к одной из внутренних матрешек, являются привилегированными комплексными числами. Натуральное число 257, например, есть комплексное число 257 + 0i; вещественное число √7 есть комплексное число √7 + 0i. Вещественное число — это просто комплексное число с нулевой мнимой частью.

А как насчет комплексных чисел с нулевой вещественной частью? Они называются (чисто) мнимыми числами. Примеры чисто мнимых чисел: 2i, −1479i, πi, 0,0000000577i. Чисто мнимое число можно, конечно, записать как полновесное комплексное число, если вы специально хотите такое сделать: 2i можно записать как 0 + 2i. При возведении чисто мнимого числа в квадрат получается отрицательное вещественное число. Заметим, что это верно и для отрицательных мнимых чисел: квадрат числа 2i равен −4, но и квадрат −2i тоже равен −4 по правилу знаков.

Сложение двух комплексных чисел — дело несложное. Надо просто складывать по отдельности вещественные части и отдельно мнимые части: сложение комплексных чисел −2 + 7i и 5 + 12i даст 3 + 19i. То же и с вычитанием: если в последнем примере вычитать, а не складывать, получим −7 − 5i. Что касается умножения, надо только помнить правило раскрытия скобок, не забывая при этом, что i² = −1: так, (−2 + 7i)×(5 + 12i) дает −10 − 24i + 35i + 84i², что сводится к −94 + 11i. В общем случае (a + bi)×(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i.

Деление основано на нехитром приеме. Что такое 2:i?. Ответ: запишем это в виде дроби, как 2/i. Чудесное свойство дробей состоит в том, что одновременное умножение и числителя, и знаменателя на одно и то же число (не равное нулю) не изменяет дроби: ³/₄, ⁶/₈, ¹⁵/₂₀ и ^{12 000}/_{16 000} — это все разные способы записи одной и той же дроби. Итак, умножим числитель и знаменатель дроби 2/i на −i. Умножение двойки на −i даст, конечно, −2i, а i умножить на −i есть −i², то есть −(−1), что равно 1. Следовательно, 2/i равно −2i/1, что есть просто −2i.

Такое всегда можно сделать — превратить знаменатель дроби в вещественное число. А поскольку всем известно, как делить на вещественные числа, мы у цели. Как нам поделить два полновесных комплексных числа, скажем, (−7 − 4i)/(−2 + 5i)? Вот как: умножим числитель и знаменатель на −2 − 5i. Давайте сначала выполним умножение сверху: (−7 − 4i)×(−2 − 5i) = −6 + 43i. Теперь снизу: (−2 + 5i)×(−2 − 5i) = 29. Ответ: −⁶/₂₉ + ⁴³/₂₉i. Знаменатель дроби (a + bi)/(c + di) всегда можно превратить в вещественное число, умножив ее на (c − di). Общее правило на самом деле имеет вид

А каков квадратный корень из i? Не потребуется ли нам ввести целый новый класс чисел, чтобы включить √i? И все далее и далее до бесконечности? Ответ: перемножим скобки (1 + i)×(1 + i). Результат, как можно видеть, равен 2i. Значит, квадратный корень из 2i равен 1 + i. С поправкой на масштаб, квадратный корень из i должен быть равен 1/√2 + i/√2. Это число на самом деле им и является.

Комплексные числа по-настоящему прекрасны. С ними можно делать все, что угодно. Можно даже возводить их в комплексные степени, если вы полностью отдаете себе отчет в том, что делаете. Например, (−7 − 4i)⁻²⁺⁵ⁱ равно приблизительно −7611,976356 + 206,350419i. Однако подробное обсуждение этой темы мы отложим до другого момента.

Чего нельзя сделать с комплексными числами, так это уложить их на прямую, как вещественные.

Семейство вещественных чисел R (конечно, с содержащимися в нем Q, Z и N) очень легко себе представить. Просто выстроим все числа вдоль прямой линии. Этот способ представления вещественных чисел называется «вещественная прямая» (рис. 11.1).

Каждое вещественное число лежит где-то на этой прямой. Например, √2 расположен немного к востоку от 1, чуть ближе, чем на полпути до 2, −π лежит лишь немного к западу от −3, а 1 000 000 — за пределами рисунка, где-то в соседнем районе. Ясно, что на конечном листе бумаги удается показать только часть прямой. От читателя требуется известная доля воображения.

Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно много рациональных. (Ну правда: если между a и b гарантированно живет c, то между a и c, а также между c и b гарантированно имеется некое d и некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.

Возьмем последовательность из главы 1.vii, которая сходится к √2, например ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, …. Ее члены по очереди делаются то меньше, то больше, чем √2, так что ¹³⁹³/₉₈₅ меньше, чем √2 примерно на 0,000000036440355, a ³³⁶³/₂₃₇₈ больше примерно на 0,00000006252177. Между этими двумя дробями втиснуто еще бесконечно много других дробей… и тем не менее где-то там остается место для √2. И не для одного только √2, а для бесконечного количества других иррациональностей!

Поражает не просто то, что иррациональностей бесконечно много, и не то, что и они тоже всюду плотны, но тот факт, что имеется строгий математический смысл в утверждении, что иррациональных чисел куда больше, чем рациональных. Это показал в 1874 году Георг Кантор. Число рациональных чисел бесконечно, и число иррациональных чисел тоже бесконечно, но вторая бесконечность больше первой. Как, черт возьми, все они умещаются на вещественной прямой? Как может столь непредставимо грандиозное количество иррациональных чисел втиснуться между рациональными, если те и так уже всюду плотны?

У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)

Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного a имеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi, где b свободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?

Последнее замечание подсказывает ответ. Для каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.

Чаще всего комплексную плоскость рисуют так (рис. 11.2) что, вещественная прямая простирается с запада на восток. Под прямым углом к ней в направлении с юга на север проведена другая прямая, на которой живут все чисто мнимые числа: i, 2i, 3i и т.д. Чтобы добраться до числа a + bi, надо уйти на расстояние a на восток (на запад, если a отрицательно), а затем на расстояние b на север (на юг, если b отрицательно). Вещественная прямая и мнимая прямая (их чаще называют «вещественная ось» и «мнимая ось») пересекаются в нуле. Точки на вещественной оси имеют нулевую мнимую часть. Точки на мнимой оси имеют нулевую вещественную часть. Точка их пересечения — т.е. точка, расположенная на обеих осях, — имеет и вещественную, и мнимую части равными нулю. Это точка 0 + 0i, т.е. попросту нуль.

Введем три новых профессиональных термина. Модуль комплексного числа — это расстояние по прямой от этого числа до нуля. Обозначается модуль как |z|, что произносится «модуль зет». По теореме Пифагора модуль комплексного числа a + bi есть . Это всегда положительное вещественное число или нуль. Фаза комплексного числа — это угол, составленный с положительной частью вещественной оси, измеряемый в радианах. (Один радиан равен 57,29577951308232… градуса; 180 градусов — это π радиан.) Фазу по соглашению считают углом, лежащим между −π (не включая) до π (включая), а обозначается она как Φ(z).[93] У положительных вещественных чисел фаза равна нулю, у отрицательных вещественных она равна −π, у положительных мнимых равна π/2, а у отрицательных мнимых фаза равна −π/2.

И наконец, комплексным сопряжением комплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + bi есть a − bi. Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой».^{2} Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)×(a − bi) = a² + b², что, как видно, есть квадрат модуля числа a + bi. На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать z×z' = |z|², а фокус с делением выражается как z/w = (z×w')/|w|².

Модуль комплексного числа −2,5 + 1,8i, показанного на рисунке 11.2, равен √9,49, то есть около 3,080584, фаза составляет 2,517569 радиана (или, если вам так больше нравится, 144,246113 градуса), а сопряженное число, конечно, есть −2,5 − 1,8i.

Чтобы продемонстрировать комплексную плоскость в действии, я чуть-чуть потренируюсь в анализе с комплексными числами. Рассмотрим бесконечный ряд из выражения (9.2):

Поскольку здесь не предпринимается никаких действий, кроме сложения, умножения и деления чисел, нет причин, по которым x нельзя было бы сделать комплексным числом. Работает ли эта формула для комплексных чисел? Да, при определенных условиях. Пусть, например, x равен ¹/₂i. Тогда ряд сходится. Имеем

Левая часть вычисляется с помощью рассмотренного выше фокуса с делением как 0,8 + 0,4i. Правую часть можно упростить, используя тот факт, что i² = −1:

Можно пройти правую часть этой формулы на комплексной плоскости. Идея видна из рисунка 11.3. Начнем из точки 1 (которая, разумеется, расположена на вещественной оси). Оттуда идем на север, что соответствует прибавлению ¹/₂i. Затем на запад на ¹/₄ потом на юг в соответствии с вычитанием ¹/₈i и т.д. Получается спираль, замыкающаяся на комплексном числе 0,8 + 0,4i. Вот вам анализ в действии — бесконечный ряд сходится к этому пределу.

Заметим, что при переходе к комплексным числам мы потеряли простоту одного измерения, но зато приобрели некоторые преимущества наглядности. При наличии в нашем распоряжении двух измерений можно, как мы только что это и делали, демонстрировать математические результаты в виде замечательных наглядных образов и картинок. В этом до известной степени и состоит привлекательность комплексного анализа (для меня, во всяком случае). В главе 13 мы сможем увидеть дзета-функцию Римана (и саму великую Гипотезу!), выраженную в виде изящных узоров на комплексной плоскости.

Глава 12. Восьмая проблема Гильберта

Давиду Гильберту было 38 лет, когда утром в среду 8 августа 1900 года он выходил к трибуне 2-го международного конгресса математиков. Сын судьи из столицы Восточной Пруссии Кенигсберга[94], он прославился как математик за 12 лет до того, решив проблему Гордана в теории алгебраических инвариантов.

То был не просто succès d'estime, но до некоторой степени и succès de scandale.[95] Гильберт смог доказать существование объектов, но при этом не сконструировал их, не предложил даже метода для их построения. Математики говорят о таком как о «доказательстве существования». В своих лекциях Гильберт использовал следующий бытовой пример: «Среди вас имеется по крайней мере один студент — назовем его X, — в отношении которого верно следующее утверждение: ни у одного другого студента в аудитории нет на голове большего числа волос, чем у X. Кто этот студент? Этого мы никогда не узнаем; но в его существовании мы можем быть абсолютно уверены». Доказательства существования довольно распространены в современной математике и в наше время не вызывают особых возражений. Другое дело — Германия 1888 года. Лишь за год до того Леопольд Кронеккер, уважаемый член Берлинской академии наук, выступил с манифестом «О концепции числа», в котором сделал попытку изгнать из математики то, что он считал ненужным уровнем абстракции — все, по его мнению, что нельзя вывести из целых чисел за конечное число шагов. Гордан сам отозвался о гильбертовом доказательстве существования фразой, ставшей знаменитой: «Это не математика. Это теология».

Однако в целом математики признали обоснованность предложенного Гильбертом доказательства. Гильберт вслед за тем продолжил важную работу по алгебраической теории чисел и основаниям геометрии. Он дал новые блестящие доказательства — оба помещающиеся на трех с половиной страницах — трансцендентности чисел π и e. (Когда в 1882 году фон Линдеманн впервые доказал трансцендентность числа π, вышеупомянутый Кронеккер[96] похвалил его за элегантность доказательства, но добавил, что оно ничего не доказывает, ибо трансцендентные числа не существуют!) В 1895 году Гильберт получил место профессора в Геттингене, где и оставался до своего ухода на пенсию в 1930 году.

Слова «Гильберт» и «Геттинген» связаны друг с другом в головах современных математиков столь же тесно, как в других сферах связаны «Джойс» и «Дублин», «Джонсон» и «Лондон».[97] Гильберт и Геттинген играли ведущую роль в математике в течение первой трети XX века — не просто в немецкой математике, а в математике как таковой. Швейцарский физик Пауль Шеррер, студентом приехав в Геттинген в 1913 году, сообщал об обнаружении там «интеллектуальной жизни непревзойденной интенсивности». Необычайно большая доля видных математиков и физиков первой половины столетия училась или в Геттингене, или под руководством кого-то, кто сам там учился.

Относительно личности Гильберта до нас доходят несколько разнородные впечатления. Будучи вполне светским человеком, он был увлеченным танцором и пользовался популярностью как преподаватель. Не чуждался он и погони за юбками — в той весьма ограниченной степени, какая вообще была возможна в провинциальной Германии времен Вильгельма. (Впрочем, нельзя сказать, чтобы эта погоня заводила его достаточно далеко.) В нем была бунтарская жилка: похоже, он тяготился жесткой расписанностью университетской жизни, обычаями, правилами и общественными установлениями. Одна профессорская жена пришла в ужас, узнав, что Гильберта видели в дальней комнате одного из городских ресторанов, играющим в бильярд с младшими преподавателями. Когда во время Первой мировой войны университет отказался предоставить Эмми Нетер постоянную преподавательскую позицию на том основании, что она женщина[98], Гильберт просто-напросто объявил, что прочитает курс лекций, а затем предоставил Нетер их чтение. Он, по-видимому, был мягким экзаменатором, всегда готовым истолковать сомнение в пользу экзаменуемого.

И все же трудно избавиться от впечатления, что Гильберт был человеком, которому нелегко давалась терпимость к глупцам — категории, к которой он относил весьма значительную часть человечества. Для Гильберта это было тем более печально, что его единственный ребенок, Франц, страдал от серьезного умственного расстройства. Не в состоянии ни изучить как следует какой бы то ни было предмет, ни постоянно работать на одной и той же работе, Франц страдал еще и периодическими приступами паранойи, после которых в течение некоторого времени его приходилось содержать в лечебнице для душевнобольных. Зафиксировано высказывание Гильберта во время первого из этих заточений: «С этого момента мне придется считать, что у меня нет сына».

Как бы то ни было, Гильберт пользовался уважением своих студентов и коллег-математиков. Про него имеется обширное собрание анекдотов, по большей части незлых. Вот только три. Первый касается Гипотезы Римана и взят из англоязычной биографии, написанной Констанс Рид[99]:

Второй анекдот я позаимствовал из книги «Универсальный компьютер» Мартина Дэвиса.

Третий анекдот апокрифичен, хотя, весьма вероятно, правдив.

Гильберт, между прочим, не был евреем, хотя имя, которым он был наречен, необычное среди немецких христиан, навлекло на него подозрения при Гитлере. Предки Гильберта по отцовской линии относились к фундаменталистской протестантской секте, называемой пиетистами, которые питали пристрастие к Ветхому Завету и к именам-наставлениям. Деда Гильберта звали ни много ни мало Давид Фюрхтеготт Леберехт (т.е. Бойся Бога Живи Праведно) Гильберт.

Констанс Рид так описывает Гильберта во время его выступления на конгрессе 1900 года:

Гильберт выступил со своим докладом, сделанным по-немецки, в душном актовом зале Сорбонны. Всего на конгрессе было 250 участников, но вряд ли все они присутствовали на выступлении Гильберта утром 8 августа.

Его доклад был озаглавлен «Математические проблемы». Слова, которыми он открывался, стали так же близки математикам XX столетия, как Геттисбергская речь — американским школьникам.[100] «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Гильберт продолжал говорить о том, как важны трудные проблемы, которые концентрируют внимание математиков, способствуя созданию новых направлений развития и новых знаковых систем, и которые также ведут математиков ко все более и более высоким уровням обобщения. Он закончил выступление списком из 23 проблем, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки».

Мне хотелось бы отправиться с вами в обзорное путешествие по 23 проблемам Гильберта.[101] Но тогда эта книга станет недопустимо длинной. А кроме того, имеется обширная, приспособленная к различным уровням понимания литература, с помощью которой такое путешествие осуществимо.[102] Я лишь замечу попутно, что самая первая из проблем Гильберта относилась к упоминавшейся в предыдущей главе континуум-гипотезе, которая посвящена самой сути запутанного вопроса о природе вещественных чисел и возражениям, выдвигавшимся против них Кронеккером. О континуум- гипотезе также имеется обширная литература. Хорошая библиотека или хороший интернет-поисковик вполне удовлетворят любопытство любого, кто захочет обратиться к этой завораживающей задаче.[103]

Только одна из проблем Гильберта — восьмая — имеет прямое отношение к теме нашей книги. Вот она — в переводе Мэри Уинстон Ньюсон из Bulletin of the American Mathematical Society[104]:

Тем читателям, которые до сих пор не потеряли нить, этот пассаж должен быть понятен хотя бы отчасти. Я надеюсь, что все целиком приобретет смысл, когда мы доберемся до конца книги. Сейчас главное для нас — тот факт, что Гипотеза Римана рассматривалась как один из 23 больших и сложных вопросов, стоящих перед математиками в XX столетии, и именно так ее рассматривал Давид Гильберт— вероятно, величайший среди математиков, активно работавших в 1900 году.[105]

В главе 10.iii мы кратко упомянули причину, определявшую важность Гипотезы Римана на рубеже столетия. Основным фактором было то, что Теорема о распределении простых чисел была к этому моменту доказана. С 1896 года с математической точностью было известно, что π(N) ~ Li(N), и всеобщее внимание было приковано к этому значку «волны» посередине. Да, по мере того как N неограниченно растет, делаясь все больше и больше, π(N) пропорциональным образом становится все ближе и ближе к Li(N). Но какова природа этой близости? Нельзя ли указать лучшее приближение? И вообще, насколько приближенно это приближение? Каков «остаточный член»?

Когда вопрос с ТРПЧ решился и математики смогли свободно предаваться мыслям об этих «второстепенных» вещах, они обнаружили, что их взор прикован к Гипотезе Римана. В работе Бернхарда Римана 1859 года ТРПЧ не была, конечно, доказана, но та работа явственно подсказывала, что теорема эта верна, и, более того, там предлагалось выражение для остаточного члена. В это выражение входили все нетривиальные нули дзета-функции. Точное знание о том, где, собственно, находятся эти нули, стало делом неотложной важности.

Математическая суть дела будет проясняться по мере нашего продвижения вперед, но, думается, вы вовсе не удивитесь, узнав, что все эти нули — комплексные числа. В 1900 году о расположении этих нетривиальных нулей (имеется в виду расположение на комплексной плоскости) с математической точностью было известно следующее.

• Существует бесконечно много нулей дзета-функции, причем все они имеют вещественную часть, заключенную в пределах от 0 до 1 (не включая границы). Чтобы наглядно это представить, математики используют комплексную плоскость (рис. 12.1) и говорят, что все нетривиальные нули лежат в критической полосе. В Гипотезе Римана делается более сильное утверждение: что все они лежат на линии, вещественная часть которой равна одной второй — т.е. на критической прямой. «Критическая полоса» и «критическая прямая» — распространенные термины при обсуждении Гипотезы Римана, и мы отныне будем свободно ими пользоваться.

• Нули появляются сопряженными парами. Другими словами, если a + bi — один из нулей, то нулем является и a − bi. Или еще по-другому, если z — один из нулей, то нулем будет и результат его комплексного сопряжения z'. Мы определили «комплексное сопряжение» и обозначения «зет-с-чертой» в главе 11.v. И еще одним способом скажем так: если имеется нуль сверху от вещественной прямой, то его зеркальное отображение снизу от вещественной прямой также будет нулем (верно, разумеется, и обратное).

• Вещественные части нулей симметричны относительно критической прямой, т.е. нуль или имеет вещественную часть, равную ¹/₂ (в духе Гипотезы Римана), или же представляет собой один из элементов пары с вещественными частями ¹/₂ + α и ¹/₂ − α для некоторого вещественного числа α, заключенного между 0 и ¹/₂, и с одинаковыми мнимыми частями. Примерами могли бы служить вещественные части 0,43 и 0,57 или же вещественные части 0,2 и 0,8. Другой способ сказать то же самое таков: если предположить, что имеется нетривиальный нуль не на критической прямой, то его зеркальный образ при отражении относительно критической прямой также должен быть нулем. Это следует из той формулы в главе 9.vi. Если одна сторона формулы равна нулю, то другая также должна равняться нулю. Не будем рассматривать целые значения буквы s (при которых другие члены в той формуле или ведут себя плохо, или обращаются в нуль); тогда эта формула сообщает, что если ζ(s) равна нулю, то ζ(1 − s) также равна нулю. Тем самым, если (¹/₂ + α) + it представляет собой нуль дзета-функции, то нулем является и (¹/₂ − α) − it, а значит, в соответствии с предыдущим пунктом и результат его сопряжения (¹/₂ − α) + it.

Когда Гильберт выступал со своим докладом, сверх этого было известно немного. Риман предложил еще другую формулу с волной для приближенного числа нулей с мнимой частью между нулем и неким большим числом T (см. главу 16.iv). Однако эту формулу доказали лишь в 1905 году (сделал это фон Мангольдт). Но Гипотезу Римана не забыли совсем. Она мелькает как тема для обсуждения в математической литературе 1890-х годов, например, во французском журнале задач L'lntermédiaire des Mathématiciens. Но по сути дела математики XIX века оставили задачу разбираться с великой и ужасной Гипотезой Бернхарда Римана математикам XX столетия.

XX столетие было довольно… довольно деятельным столетием. Много чего произошло во всех сферах человеческой жизни. Поэтому в ретроспективе век кажется ужасно долгим, намного дольше, чем просто полторы стандартные протяженности человеческой жизни, в общем-то и составляющие век. Но математика выступает величавой неспешной поступью, и глубокие проблемы, исследуемые современными математиками, выдают свои тайны очень медленно и неохотно. Внутри каждой конкретной математической дисциплины мир также довольно тесен, со своими героями, фольклором и устными традициями, связывающими сообщество воедино как в пространстве, так и во времени. Когда я собирал материал для этой книги, то из разговоров с ныне здравствующими математиками сделал вывод, что XX столетие не так уж далеко простерлось во времени — великие имена, связанные с его началом, находятся от нас все еще «в пределах слышимости».

Например, я пишу эти строки всего неделю спустя после разговоров с Хью Монтгомери, ключевым персонажем в достижениях (о которых будет рассказано в подходящий момент) 70-х и 80-х годов XX века. Хью закончил аспирантуру в Тринити-колледже в Кембридже в конце 1960-х. Среди сотрудников колледжа, которых он знал лично, был Джон Идензор Литлвуд (1885-1977), который в 1914 году получил один из первых значительных результатов, продвигающих вперед наше понимание Гипотезы Римана. «Он пытался убедить меня понюхать пороху с этой задачей», — рассказывает Хью, у которого до сих пор сохранились рукописные записки Литлвуда. Литлвуд теоретически мог бы встретиться и говорить о математике с другом Римана Рихардом Дедекиндом, который дожил до 1916 года, продолжая заниматься математикой практически до самого конца жизни, и который учился у Гаусса! (Мне не удалось выяснить, имела ли такая встреча место в действительности. В реальности она не очень вероятна. Дедекинд ушел на пенсию с поста профессора в Брауншвейгской политехнической школе в 1894 году, после чего, согласно Джорджу Пойа[106], «жил тихой жизнью, встречаясь лишь с очень небольшим числом людей»).

Описываемый период развития математики вызывает сильное ощущение непрерывности, из-за которого меня так и подмывает отбросить строго хронологический подход при рассказе о XX столетии. Это искушение усиливается ввиду характера достижений совершенных в течение этого столетия. История о Гипотезе Римана в XX веке состоит не из одной линии рассказа, а из нескольких нитей, иногда пересекающихся, иногда переплетающихся друг с другом. Здесь требуется маленькое предварительное объяснение; а объяснение само по себе требует предисловия — замечания о том, как математика развивалась в период с 1900 по 2000 год.

Если не считать парижского доклада Гильберта, то 1900 год, конечно, представляет собой произвольную отметку во времени. Математика развивалась равномерно и непрерывно на протяжении всего современного периода. Математики не отправлялись домой с новогодних вечеринок в первые часы 1 января 1900 года (или, если вам больше нравится, 1901 — см. главу 6.ii) с мыслями: «Ага! Уже XX столетие! Нам надо переходить на более высокий уровень абстракции!» — по крайней мере, не в большей степени, чем европейцы, проснувшиеся утром 30 мая 1453 года, думали: «Средние века закончились! Надо бы заняться книгопечатанием, усомниться в авторитете Папы и отправиться открывать Новый Свет!» Мне бы очень не хотелось оказаться в ситуации, когда перед судом моих коллег мне пришлось бы обосновывать термин «математика XX века».

Но при этом все же верно, что математика последних нескольких десятилетий приобрела характерный оттенок, ясно отличающий ее от той математики, которой занимались Гаусс, Дирихле, Риман, Эрмит и Адамар. Насколько его можно передать в одном слове, этот оттенок — алгебраический. Вот начало первого утверждения в книге «Некоммутативная геометрия» Алена Конна, вышедшей в 1990 году и представляющей собой довольно-таки типичный для конца XX века текст по высшей математике:

Алгебраический… алгебра… И это в книге о геометрии! (Кстати, одиннадцатое слово в формулировке последней теоремы — слово и «риманово».[107])

Происходило же в эти последние десятилетия в общих чертах такое. По ходу большей части своего развития математика твердо опиралась на число. Большая часть математики XIX столетия имела дело с числами: целые числа, рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа. В процессе этого развития возникали новые математические объекты, а также раздвигались границы существующих объектов — функций, пространств, матриц — и изобретались новые мощные средства для работы с ними. Но все это так или иначе имело отношение к числам. Функция отображает одно множество чисел в другое множество чисел. Например, функция возведения в квадрат отображает 3, 4 и 5 в 9, 16 и 25; дзета-функция Римана отображает 0, 1 + i и 2 + 2i в −¹/₂, 0,58216 − 0,92685i и 0,86735 − 0,27513i. Аналогично, пространство — это множество точек, задаваемых своими координатами, которые также суть числа. Матрица — это таблица из чисел. И так далее. (Мы будем рассматривать матрицы в главе 17.iv.)

В математике же XX столетия объекты, введенные ранее для выражения важных фактов о числах, сами сделались объектами исследования, и к ним стали применять развитые к тому времени методы изучения чисел и множеств чисел. Математика как бы сорвалась с якоря, привязывающего ее к числу, и воспарила к новым уровням абстракции.

Классический анализ, скажем, имеет своим предметом предел бесконечной последовательности чисел или точек (причем «точка» определяется своими координатами, каковые суть числа). Типичный же продукт XX века — «функциональный анализ», в котором фундаментальный объект исследования — последовательности функций, которые могут сходиться или расходиться и в которых сами функции предлагается рассматривать как «точки» в пространстве бесконечного числа измерений.

Математика уже обратилась сама на себя до такой степени, что даже сами методы исследования и доказательства превратились в объекты изучения. Ряд самых важных теорем в математике XX века касается полноты математических систем (Курт Гедель, 1931) и разрешимости математических пропозиций (Алонсо Черч, 1936).

Но эти основополагающие изменения пока еще, даже в начале XXI века, не нашли своего отражения в математическом образовании (по крайней мере на уровне знаний, необходимых для поступления в университет). Не исключено, что это вообще невозможно. Математика — предмет, где знания накапливаются. Каждое новое открытие что-то добавляет к общему знанию, но ничто никогда оттуда не изымается. Один раз установленная математическая истина навечно остается истиной, и каждое следующее поколение обучающихся должно ее усвоить. Такая истина никогда (ну, практически никогда) не становится неверной или несущественной — хотя и может выйти из моды или же оказаться частным случаем некоторой более общей теории. (Заметьте при этом, что в математике «более общая» не обязательно означает «более сложная». В проективной геометрии имеется теорема Дезарга, которую легче доказать в трех измерениях, чем в двух. Теорема, которую легче доказать в размерности четыре, чем в размерности три, содержится в главе 7 книги Г.С.М. Кокстера «Правильные политопы».[108])

Молодые и толковые американцы, приступающие к изучению математики в качестве предмета основной специализации на первом курсе в колледже, будут изучать математику, по существу, в том же виде, в каком она была известна молодому Гауссу — возможно, с короткими экскурсами в некоторые области, развитые в более позднее время. Поскольку моя книга нацелена примерно на такой уровень читателей, та математика, о которой здесь рассказывается, в сильной степени пропитана духом XIX века. В повествовательных главах я собираюсь рассмотреть все достижения вплоть до сегодняшнего дня, предлагая для них лучшие объяснения, которые я только смогу придумать, но математические главы этой книги нечасто будут переходить рубеж 1900 года.

История Гипотезы Римана в XX веке — это история навязчивой идеи, хватку которой рано или поздно почувствовало большинство великих математиков этой эпохи. Примеры одержимости этой идеей имеются в изобилии, как будет видно из нескольких последующих глав. Сначала обратимся к отдельному примеру. Давид Гильберт, как уже рассказывалось, поместил Гипотезу Римана восьмой в списке из 23 проблем, на которых математикам XX столетия предстояло сконцентрировать свои усилия. Это было в 1900 году, до того как навязчивая идея взяла свое. Его умонастроение несколько лет спустя видно из следующей истории, рассказанной его младшим коллегой Джорджем Пойа:

А ведь речь идет не о периоде, скудном на мощные проблемы, бросающие вызов ученым. Последняя теорема Ферма (гласящая, что не существует целочисленных[109] решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ при n > 2, и доказанная в 1994 году) еще оставалась открытой, как и Проблема четырех красок (о том, что четырех красок достаточно для раскрашивания любой карты на плоскости таким образом, что никакие две соседние области не будут выкрашены одним и тем же цветом, — доказана в 1976 году) и гипотеза Гольдбаха (согласно которой любое четное число, большее двойки, представимо в виде суммы двух простых чисел и которая все еще не доказана), а также множество менее значимых, но давно ждущих своего решения задач, гипотез и головоломок. Гипотеза Римана возвышалась над ними всеми.

Навязчивая идея захватывала различных математиков различными способами, сообразно их математическим наклонностям. Поэтому в течение столетия развивалось несколько направлений — различных подходов к исследованию Гипотезы, у истоков каждого из которых стояла какая-то одна личность, затем передававшая эстафету другим, причем пути этих исследований порой пересекались и перепутывались друг с другом. Например, в рамках вычислительного направления усилия математиков были направлены на явное вычисление все большего и большего количества нулей и на усовершенствованию методов для таких вычислений. Было и алгебраическое направление, инициированное Эмилем Артином в 1921 году в попытке доказать Гипотезу Римана фланговым маневром через раздел алгебры, называемый теорией полей; позднее в том же столетии замечательная встреча двух людей, о которой я расскажу в свое время, привела к возникновению физического направления, соотносящего Гипотезу с математикой, управляющей физикой элементарных частиц. И пока все это продолжалось, специалисты по аналитической теории чисел не прекращали своих усилий, продолжая заложенную самим Риманом традицию по изучению Гипотезы средствами теории функций комплексной переменной.

Исследование простых чисел самих по себе тем временем шло своим чередом, без особенных приложений к Гипотезе, но все же с часто выражаемой надеждой, что новые результаты о распределении простых чисел прольют свет на причину, по которой Гипотеза на самом деле верна — или, если уж так случится, неверна. Ключевыми продвижениями здесь явились развитие в 1930-х годах вероятностной модели для распределения простых чисел и данное в 1949 году Сельбергом «элементарное» доказательство Теоремы о распределении простых чисел, рассмотренной в главе 8.iii.

Рассказывая об этих достижениях, я буду стараться, чтобы в каждый данный момент было ясно, какое из направлений рассматривается, хотя временами ради поддержания общей хронологии рассказа придется перескакивать с одного на другое. Начнем с небольшого вступительного замечания о «вычислительном» направлении, ибо оно проще всего для понимания нематематиками. Каковы в реальности значения — числовые значения — нетривиальных нулей дзета-функции? Как их можно вычислить? И если взять их все вместе, то каковы будут их статистические свойства?

Первые конкретные сведения о нулях были получены датским математиком Йоргеном Грамом, вскользь упоминавшимся в главе 10. Будучи математиком-любителем, не работавшим ни в каком университете (а работавшим, подобно поэту Уоллесу Стивенсу, управляющим страховой компанией), Грам, похоже, в течение нескольких лет забавлялся с методами, позволяющими реально вычислять положения нетривиальных нулей (происходило это, понятно, задолго до эры компьютеров). В 1903 году, остановившись на достаточно эффективном методе, он опубликовал список 15 «первых» нулей — тех, которые расположены выше вещественной оси и лежат ближе всего к ней. На рисунке 12.2 грамовские нули показаны жирными точками на критической прямой. Его список, содержавший кое-какие неточности в последних из приведенных знаков после запятой, начинался как

Каждый из выписанных нулей, как видно, имеет вещественную часть, равную одной второй.[110] (А кроме того, существование каждого из корней предполагает и существование сопряженного, расположенного под вещественной осью: ¹/₂ − 14,134725i и т.д. Я буду считать этот факт само собой разумеющимся и не буду упоминать его специально до главы 21, когда он снова станет важным.) Поэтому в тех пределах, докуда они простираются, эти нули подтверждают справедливость Гипотезы Римана. Однако простираются они не слишком далеко. Известным фактом про число нулей — неявно содержавшимся в работе Римана 1859 года — было то, что число их бесконечно. Все ли они имеют вещественную часть, равную одной второй? Риман полагал, что дело так и обстоит — в этом-то и состояла его мощная Гипотеза. Но в тот момент никто не знал, как к этому подступиться.

После появления списка Грама математики, должно быть, взирали на него со священным ужасом. Тайна распределения простых чисел, которая удерживала на себе внимание математиков со времен легендарного Гаусса, оказалась каким-то образом заключенной в перечне чисел: ¹/₂ + 14,134725i, ¹/₂ + 21,022040i, ¹/₂ + 25,010856i, …. Но как?! Их вещественные части, без сомнения, равняются одной второй, как и предполагал Риман; однако мнимые части не проявляют никакого очевидного порядка или системы.

Я только что сказал: «Математики, должно быть…» Мне надо было бы сказать: «Несколько математиков в континентальной Европе, должно быть…» Одержимость Гипотезой Римана, захватившая математиков в течение XX столетия, в 1905 году только набирала силу. Во многих частях света о ней толком и не знали. В следующей исторической части нашего повествования мы с читателем отправимся в Англию, в период эдвардианского расцвета ее имперской славы. Но сначала позвольте показать вам, как же на самом деле выглядит дзета-функция.

Глава 13. Муравей Арг и муравей Знач

Предположим, что, как я и пытался вас убедить, комплексные числа представляют собой простое и понятное расширение обычных вещественных чисел и подчиняются всем обычным правилам арифметики с тем единственным добавлением, что i² = −1; кроме того, вспомним, что функции занимаются тем, что превращают числа из одной области — своей области определения — в числа из другой области; так вот, есть ли какая-нибудь причина, которая препятствует существованию функций от комплексных чисел? Никаких таких причин нет.

Функция возведения в квадрат, например, прекрасно работает для комплексных чисел в соответствии с правилами умножения. Скажем, квадрат числа −4 + 7i есть (−4 + 7i)×(−4 + 7i), что равно 16 − 28i − 28i + 49i², т.е. −33 − 56i. В таблице 13.1 показан «моментальный снимок» функции возведения в квадрат для некоторых случайным образом выбранных комплексных чисел.[111]

Читателю, возможно, нелегко в это поверить, но изучение «функций комплексной переменной» представляет собой одно из наиболее элегантных и прекрасных направлений в высшей математике. Области определения всех функций, знакомых нам из школьной математики, легко расширяются на все, или почти все, комплексные числа. Например, в таблице 13.2 приведен «моментальный снимок» показательной функции для некоторых комплексных чисел.

Заметим, что, как и ранее, когда мы увеличивали аргументы «по сложению» — а сейчас, разумеется, дело обстоит таким же образом, поскольку к аргументу каждый раз прибавляется 1 + i, — значения функции изменяются «по умножению», в данном случае за счет умножения на 1,46869 + 2.28736i. Если бы мы взяли аргументы, отличающиеся друг от друга прибавлением каждый раз числа 1, то, конечно, получающиеся значения отличались бы умножением на e. Заметим еще, что в эту таблицу включено одно из самых прекрасных тождеств во всей математике:

Говорят — и я полагаю, что такое вполне могло быть, — Гаусс утверждал, что если истинность этого выражения не становится для вас очевидной сразу же, при первом взгляде на него, то вы никогда не станете первоклассным математиком.

Но как же вообще можно определить комплексную степень числа e, как, впрочем, и любого другого числа? С помощью ряда, вот как. Следующее выражение дает реальное определение того, что такое e^z для вообще любого числа z, будь оно вещественным или комплексным (13.1):

Чудесным (как мне представляется) образом эта бесконечная сумма сходится для любого числа z. Знаменатели растут так быстро, что рано или поздно побеждают любую степень любого числа. Равным образом чудесно, что если z — натуральное число, то бесконечная сумма оказывается в точности равной тому, что мы ожидаем от определения «степени» в обычном смысле, хотя разглядывание выражения (13.1) и не дает никаких намеков на то, почему бы такое могло случиться. Если z равно 4, то этот ряд оказывается равным в точности тому же, чему равно e×e×e×e (что, собственно, и понимается под обозначением e⁴).

Давайте просто подставим πi в выражение (13.1) и посмотрим, как быстро оно сходится. Если z равно πi, то z² равно −π²; z³ равно −π³i; z⁴ равно π⁴; z⁵ равно π⁵i и т.д. Подставляя эти значения в бесконечную сумму и вычисляя возникающие степени числа π (для простоты с точностью до шести знаков после запятой), получаем сумму

Если сложить первые 10 из этих членов, то получим −1,001829104 + 0,006925270i. Если сложить первые 20 чисел, то результат будет равен −0,9999999999243491 − 0,000000000528919i. Вполне определенным образом сумма сходится к −1. Вещественная часть приближается к −1, а мнимая исчезает.

Можно ли и логарифмическую функцию продолжить на комплексные числа? Да. И получится, разумеется, в точности функция, обратная к показательной. Если e^z = w, то z = ln w. К сожалению, как и в случае квадратных корней, если мы не соблюдем меры предосторожности, мы тут же попадем в зыбучие пески многозначных функций. Это происходит из-за того, что в комплексном мире показательная функция иногда принимает одно и то же значение при различных аргументах. Например, куб числа −1, в соответствии с правилом знаков, есть −1; так что возведение в куб обеих частей равенства e^πi = −1 дает e^3πi = −1; таким образом, аргументы πi и 3πi дают одно и то же значение функции, равное −1, подобно тому как −2 и +2 дают при возведении в квадрат одно и то же значение 4. Тогда что же такое ln (−1)? Это πi? Или же 3πi?

Это πi. Чтобы не наживать лишних неприятностей, ограничим мнимую часть значений функции отрезком от −π (не включая) до π (включая). Тогда для всякого ненулевого комплексного числа имеется его логарифм, причем ln (−1) = πi. На самом деле, если использовать обозначения, введенные в главе 11.v, то ln z = ln |z| + iΦ(z), где Φ(z), разумеется, измеряется в радианах. В таблице 13.3 показан «моментальный снимок» логарифмической функции с точностью до шести знаков после запятой. Аргументы здесь изменяются «по умножению» (каждая строка получается умножением 1 + i на предыдущую строку), а значения функции — «по сложению» (всякий раз прибавляется 0,346574 + 0,785398i).

Итак, у нас есть логарифмическая функция. Единственное усложнение заключается в том, что, когда мнимая часть значения функции становится больше π, как это случается при переходе от аргумента −4 к аргументу −4 − 4i, приходится вычитать 2πi, чтобы остаться в нужных пределах (2π радиан равны 360 градусам; мы помним из главы 11.v, что радианы — это просто способ измерения углов, который больше всего любят математики). Но это не причиняет на практике никаких неудобств.

Коль скоро имеются показательная и логарифмическая функции от комплексных чисел, нет причин, запрещающих возводить любое комплексное число в любую комплексную степень. Согласно 8-му правилу действий со степенями из главы 5.ii любое вещественное число a равно e^{ln a}, а тогда по 3-му правилу a^x — это просто-напросто e^{xln a}. Нельзя ли распространить эту идею в мир комплексных чисел и сказать, что для любых двух комплексных чисел z и w выражение z^w означает просто-напросто e^{wln z}?

Можно, конечно, и именно так и делается. Если пожелать возвести −4 + 7i в степень 2 − 3i, то надо сначала вычислить логарифм числа −4 + 7i, который оказывается равным примерно 2,08719 + 2,08994i. Затем надо умножить это на 2 − 3i, что даст 10,4442 − 2,08169i. И теперь возвести число e в эту степень, что и даст окончательный результат −16793,46 − 29959,40i. Итак,

Ничего сложного! Еще пример: поскольку −1 = e^πi, извлечение квадратного корня из обеих частей даст i = e^πi/2. И если теперь возвести обе части в степень i, то, снова пользуясь 3-м правилом действий со степенями, получим iⁱ = e^−π/2. Заметим, что это вещественное число, равное 0,2078795763….

Поскольку можно возводить любое комплексное число в любую комплексную степень, несложным должно оказаться возведение вещественного числа в комплексную степень. Следовательно, для заданного комплексного числа z можно вычислить 2^z, 3^z, 4^z и т.д. Понятно, к чему идет дело. Можно ли расширить область определения дзета-функции

в мир комплексных чисел? Можно, конечно. С комплексными числами, доложу вам, можно делать что угодно.

Поскольку формула для дзета-функции остается бесконечной суммой, возникает вопрос о сходимости. Оказывается, что сумма сходится для любого комплексного числа, вещественная часть которого больше единицы. Математики скажут «в полуплоскости Re(s) > 1», где Re(s) используется для обозначения вещественной части числа s.

Но, как и в случае с дзета-функцией вещественных аргументов, для расширения области определения в те области, где бесконечная сумма не сходится, можно применить некоторые математические уловки. В результате получается полная дзета-функция, область определения которой составляют все комплексные числа за единственным исключением числа s = 1. Там, как мы еще в самом начале убедились при помощи колоды карт (см. главу 1), у дзета-функции нет значения. Везде, кроме этой точки, она имеет единственным образом определенное значение. Имеются, конечно, и такие места, где это значение нулевое. Это мы и раньше знали. Графики из главы 9.iv показывают, что дзета-функция принимает равное нулю значение для всех отрицательных четных чисел −2, −4, −8, …. Мы на них не останавливаемся, потому что, как уже было замечено, они не слишком важны. Это тривиальные нули дзета-функции. Могло ли бы так случиться, что значение дзета-функции равно нулю при некоторых комплексных аргументах? И что, это и будут нетривиальные нули, упоминаемые в Гипотезе? Делайте ваши ставки; но я несколько забежал вперед в нашей истории.

Сорок лет назад блестящий, но эксцентричный Теодор Эстерман[112] написал учебник, озаглавленный «Комплексные числа и функции», в котором содержались всего два рисунка. «Я <… > избежал всякого обращения к геометрической интуиции», — объявлял автор в предисловии. Известно некоторое число родственных ему душ, однако большая часть математиков не следует подходу Эстермана. Они трактуют теорию функций комплексной переменной в высшей степени визуально. Многие из нас полагают, что функции комплексной переменной легче освоить, пользуясь некоторыми наглядными образами.

Но как же можно наглядно представить себе функцию комплексной переменной? Возьмем простейшую нетривиальную функцию комплексной переменной — функцию возведения в квадрат. Есть ли какой-нибудь способ узнать, на что она похожа?

Скажем сразу: от обычных графиков толку здесь немного. В мире вещественных чисел можно изобразить функцию на графике таким образом: проводим прямую, изображающую аргументы (как мы помним, вещественные числа живут на прямой); затем проводим другую прямую под прямым углом к первой и используем ее для значений функции. Чтобы выразить тот факт, что данная функция превращает число x в число y, двигаемся на восток от нулевого аргумента на расстояние x (на запад, если x отрицательно), а затем на север от нулевого значения на расстояние y (на юг, если y отрицательно). Отмечаем там точку. Повторяем такое для стольких значений функции, сколько нам не лень вычислить. Это и дает график функции. На рисунке 13.1 приведен пример.

Однако это не годится для функций комплексной переменной. Аргументам требуется двумерная плоскость, чтобы на ней расположиться, а значениям функции нужна еще одна двумерная плоскость. Так что для графика требуются четыре пространственных измерения: два для аргументов и два для значений функции. (В четырехмерном пространстве, хотите верьте, хотите нет, две двумерные плоскости могут пересекаться в единственной точке. Это можно сравнить с тем фактом — совершенно недоступным для понимания обитателей двумерной вселенной, — что в трехмерии две непараллельные прямые не обязаны пересекаться.)

Это разочаровывает; но в качестве компенсации имеется кое-что, что можно делать для создания картинок, представляющих функции комплексной переменной. Вспомним то главное, что надо знать про функцию: она превращает одно число (аргумент) в другое (значение). Так вот, число-аргумент представляет собой точку где-то на комплексной плоскости, а значение функции представляет собой некоторую другую точку. Таким образом, функция комплексной переменной отправляет все точки из своей области определения в другие точки. Можно выбрать какие-то точки и посмотреть, куда они отправляются.

На рисунке 13.2, например, показаны числа, образующие стороны некоторого квадрата на комплексной плоскости. Углы отмены буквами a, b, c и d. Это в действительности комплексные числа −0,2 + 1,2i, 0,8 + 1,2i, 0,8 + 2,2i и −0,2 + 2,2i.

Что с ними произойдет при применении функции возведения в квадрат? Если умножить число −0,2 + 1,2i само на себя, то получится −1,4 − 0,48i; значит, таково значение функции для точки a. Возведение в квадрат чисел, соответствующих точкам b, c и d, дает значения для всех остальных углов; эти значения отмечены как A, B, C и D. Если повторить это для всех точек вдоль сторон квадрата, а также для точек, образующих сетку внутри него, получится искаженный квадрат, также изображенный на рисунке 13.2.

При работе с функциями комплексной переменной полезно думать о комплексной плоскости как о бесконечно растяжимом резиновом листе, при этом спрашивая себя, что же функция делает с этим листом. По числам, выбранным на рисунке 13.2, можно видеть, что функция возведения в квадрат растягивает лист, закручивая его против часовой стрелки вокруг нулевой точки и одновременно вытягивая наружу. Число 2i, например, которое само по себе живет на положительной (северной) части мнимой оси, при возведении в квадрат отправляется в число −4, расположенное на отрицательной (западной) части вещественной оси, причем вдвое дальше от нулевой точки. В свою очередь −4 при возведении в квадрат растягивается до 16 (еще дальше от нуля) и попадает на положительную (восточную) часть вещественной оси. По правилу знаков число −2i, находящееся на отрицательной (южной) части мнимой оси, «докручивается» до числа −4. На самом деле, согласно правилу знаков, всякое[113] значение функции возведения в квадрат встречается дважды, возникая при двух аргументах: не будем забывать, что −4 есть квадрат не только числа 2i, но и числа −2i.

Бернхард Риман, обладавший, судя по всему, чрезвычайно развитым зрительным воображением, представлял себе это таким образом. Возьмем всю комплексную плоскость. Проведем разрез вдоль отрицательной (западной) части вещественной оси, остановившись в точке нуль. Теперь ухватимся за верхний край этого разреза и потянем его против часовой стрелки, поворачивая вокруг точки нуль, как будто туда встроен шарнир. Повернем этот край на 360 градусов. Теперь наш край разреза находится над растянутым листом, а другой край расположен прямо под ним. Проведем наш край через лист (для этого следует представить себе, что комплексная плоскость не только бесконечно растяжима, но и сделана из некоторого рода туманной субстанции, которая может проходить сама сквозь себя) и склеим оба края исходного разреза. Картинка у нас в голове теперь выглядит примерно так, как показано на рисунке 13.3. Вот что функция возведения в квадрат делает с комплексной плоскостью.

Это вовсе не досужие изыски. На основе такого мысленного упражнения Риман развил целую теорию, впоследствии названную теорией римановых поверхностей. Она содержит ряд мощных результатов и дает глубокое понимание того, как ведут себя функции комплексной переменной. Она также соединяет теорию функций с алгеброй и топологией — двумя ключевыми областями математики XX столетия. А главное — она представляет собой типичный продукт дерзкого, бесстрашного и самобытного воображения, которым обладал Риман, — продукт одного из величайших умов, вообще когда-либо существовавших.

Я воспользуюсь гораздо более простым подходом для иллюстрации функций комплексной переменной. Позвольте представить моего друга, муравья по имени Арг; он перед вами на рисунке 13.4.

Муравья Арга невероятно трудно разглядеть, потому что он имеет бесконечно малый размер. Но если бы мы могли его видеть, то обнаружили бы, что он выглядит совсем как обычный муравей — если уж быть точным, то как рабочий Camponotus japonicus — с соответствующим числом лапок, усиков и прочего. В одной из своих передних лапок, которую можно для удобства называть «рукой», муравей Арг держит приборчик вроде пейджера, или мобильного телефона, или одного из тех устройств для глобального позиционирования, что всегда сообщают вам, где именно вы находитесь. На этом приборчике (рис. 13.5) имеются три окошка. В первом окошке, под которым написано «функция», показано название некоторой функции: z², ln z и т.д. — в общем, на приборчике можно выставить любую функцию. Во втором окошке, под которым написано «аргумент», показана точка — т.е. комплексное число, — на которой муравей Арг стоит в данный момент. И в третьем окошке, с подписью «значение функции», показано значение выбранной функции при данном аргументе. Таким образом, муравей Арг всегда точно знает, где находится; а для любой заданной функции он знает, кроме того, куда данная функция отправляет точку, на которой он стоит.

Моя задача состоит в том, чтобы показать вам дзета-функцию, И поэтому я собираюсь отправить муравья Арга свободно бродить по комплексной плоскости.[114] Когда в окошке «значение функции» показан нуль, это значит, что Арг стоит на точке («аргументе»), которая является нулем дзета-функции. Я договорюсь с ним, чтобы он отмечал эти точки волшебным маркером, который он носит в маленьком кармашке на брюшке. Тогда мы сможем узнать, где располагаются нули дзета-функции.

На самом деле я попрошу муравья Арга потрудиться еще немного. Пусть он отмечает все аргументы, которые дают чисто вещественное или чисто мнимое значение функции. Он отметит аргумент, при котором значение функции равно 2, или −2, или 2i, или −2i; а точку, в которой значение функции равно 3,7i, он отмечать не будет. Другими словами, он отметит все точки, которые дзета-функция отправляет на вещественную ось или на мнимую ось таким способом мы получим нечто вроде картинки, представляющей дзета-функцию.

На рисунке 13.6 представлен результат этой одиссеи. Прямыми линиями на ней показаны вещественная и мнимая оси, а также критическая полоса. Все кривые линии составлены из точек, которые дзета-функция отправляет на вещественную или мнимую оси. Разумеется, поскольку вещественная и мнимая оси пересекаются в нуле, нулями дзета-функции будут как раз точки, где эти линии пересекаются. В точках, где каждая из этих кривых уходит с рисунка, подписано значение функции, соответствующее этой точке.

Попытка представить себе, что же дзета-функция делает с комплексной плоскостью — в том же духе, как на рисунке 13.3, где показано, что делает с ней функция возведения в квадрат — это упражнение, требующее довольно серьезного умственного напряжения. Если функция возведения в квадрат заворачивает комплексную плоскость саму над собой в двулистную поверхность, изображенную на рисунке 13.3, то дзета-функция делает подобную же вещь бесконечное число раз, что дает бесконечнолистную поверхность. Не расстраивайтесь, если не получается такое себе представить. Чтобы начать интуитивно воспринимать подобные функции, требуется практика в течение нескольких лет. Как я уже говорил, наш подход будет попроще.

Муравей Арг разметил комплексную плоскость так, что получились узоры, показанные на рисунке 13.6. Теперь отправим его путешествовать вдоль одной из этих кривых. Пусть он выходит из точки −2. Поскольку это нуль дзета-функции — один из тривиальных нулей, — окошко «значение функции» показывает 0. А муравей собирается ползти на запад вдоль вещественной оси. Значения функции начинают отодвигаться от нуля.

Вскоре после прохождения точки −2,717262829 при движении на запад окошко «значение функции» покажет число 0,009159890…. Затем число в этом окошке начнет снова уменьшаться до нуля. Поскольку вы читали главу 9, то вполне можете догадаться, что должно произойти. Значение функции будет убывать и убывать до нуля, который и будет достигнут при аргументе −4.

Это оказалось не слишком интересным. Начнем снова. Из точки −2, где показание «значение функции» равно 0, муравей Арг отправится на запад в точку, где значение функции было наибольшим. Но вместо того, чтобы продолжать путь на запад до −4, он резко поворачивает направо и берет курс на север вдоль верхней ветви напоминающей параболу кривой. Теперь значение функции будет все возрастать и возрастать — сначала оно достигнет значения 0,01, затем 0,1, потом (вскоре после пересечения с мнимой осью) достигнет 0,5. И когда муравей устремится на восток по верхней ветви «параболы», значение продолжит расти. Когда муравей выйдет за пределы страницы, направляясь при этом уже почти точно на восток, показание в окошке будет составлять 0,9990286. Оно все еще продолжает возрастать, но страшно медленно, и муравью придется прошагать всю дорогу до бесконечности, пока в окошке не появится 1.

Оказавшись на бесконечности, муравей Арг может захотеть развернуться и пойти обратно. Но чтобы ему не возвращаться той же дорогой, отправим его домой вдоль положительной части вещественной оси. (Не ломайте себе голову на этот счет слишком сильно. Для наших целей на самом деле имеется всего одна «точка на бесконечности», так что, раз оказавшись там, можно отправиться назад в мир настоящих конечных чисел вдоль вообще любого направления). Показания в окошке «значение функции» теперь возрастают: там будет высвечено 1,0009945751… в момент возвращения на рисунок, 1,644934066848… в момент, когда муравей Арг проходит 2 (помните базельскую задачу?), а потом при подходе к 1 показания резко взлетают вверх.

Когда муравей Арг наступает на число 1, из приборчика, который он держит в руке, раздается звонок, а в окошке «значение функции» загорается большой ярко-красный мигающий знак бесконечности ∞. Если муравей Арг посмотрит на это окошко повнимательнее, он обнаружит занятную вещь. Справа от знака бесконечности очень быстро вспыхивает и гаснет маленькая буква i. Одновременно с этим слева от бесконечности загорается и гаснет знак минус, причем тоже очень быстро, но рассогласованно с пульсациями буквы i. Дело выглядит так, будто бы окошко пытается одновременно показать четыре различных значения: ∞, −∞, ∞i и −∞i. Занятно!

Причина кроется в том, что у муравья Арга теперь три возможных варианта выбора (помимо возможности отправиться обратно той же дорогой, которой он пришел). Если он просто пойдет вперед, направляясь на запад вдоль вещественной оси, до тех пор пока не достигнет нуля при аргументе −2, он увидит, что значения функции становятся большими отрицательными числами типа минус одного триллиона, затем быстро доходят до отрицательных чисел умеренной величины (−1000, −100) и в конце концов достигают −1, затем −0,5, когда он наступит на точку нуль (поскольку ζ(0) = −0,5), и окончательно возвращаются к нулю при аргументе −2.

Если же из точки 1 он резко повернет направо и пойдет на север, пересекая верхнюю половину кривой овальной формы вблизи нулевой точки, то в окошке будут показаны значения функции, поднимающиеся вверх по отрицательной мнимой оси, от таких чисел, как −1000 000i, далее через числа −1000i и до −10i, −5i, −2i и затем −i. Незадолго до пересечения с мнимой осью в окошке высветится −0,5i. Далее, по мере приближения к нулю дзета-функции в точке −2, значения функции, разумеется, возрастут до нуля.

Чтобы помочь вам справиться со всем этим непосильным грузом, а также чтобы найти прочную привязку к миру функций (которые мы ввели с помощью таблиц в главе 3), в таблице 13.4 проиллюстрирована только что описанная прогулка против часовой стрелки по верхушке овальной кривой. Аргументами в этой таблице выбраны числа со следующими фазами (в градусах, а не радианах): 0, 30, 60, 90, 120, 150 и 180. Все числа в таблице 13.4 округлены до четырех знаков после запятой.

Если бы муравей повернул из точки 1 налево, то значения функции вернулись бы к нулю через положительную мнимую ось, проходя через числа 1,8273i, 0,7998i и т.д.

Муравей Арг может начать свою прогулку из любого другого нуля дзета-функции. Все они показаны на рисунке 13.6 в виде маленьких кружочков. Чтобы нашему приятелю было проще разобраться, куда же он идет, там показаны значения, которые высвечиваются в окошке «значение функции» в тот момент, когда он уходит с рисунка вдоль любой из выбранных линий. (Для экономии места при записи этих значений m обозначает «миллион». Разумеется, i, как всегда, обозначает просто i.) Обратим внимание на явления, которые происходят по мере движения вверх по левому краю рисунка, т.е. при движении по аргументам, вещественная часть которых равна −10. Первая линия, уходящая с рисунка с этого края, — это та, которая отображается в отрицательную вещественную ось. Следующая отображается в положительную мнимую ось; следующая после нее — в положительную вещественную ось; следующая — в отрицательную мнимую ось… и т.д.; картина повторяется.

Наоборот, все линии, уходящие с рисунка по правому краю, отображаются в положительную вещественную ось. Как видно из рисунка, справа от критической полосы это довольно скучная функция. Вся обширная восточная область отображается в малюсенькую область вокруг точки 1. Здесь намного «меньше жизни», чем слева в западном регионе; но и этот западный регион не так интересен, как критическая полоса. Все интересное происходите дзета-функцией именно в критической полосе. (По поводу другой иллюстрации этой общей истины см. рассказ о гипотезе Линделёфа в приложении.)

Рисунок 13.6 фактически выражает суть данной книги. Он позволяет видеть дзета-функцию Римана настолько хорошо, насколько вообще можно видеть функцию комплексной переменной. Я призываю читателя провести какое-то время за молчаливым созерцанием этого рисунка и ради упражнения пройти несколькими муравьиными дорожками. Функции из высшей математики это чудесные создания. Они не выдают своих секретов просто так.

Некоторые — такие как эта — могут обеспечить вас занятием на всю жизнь. Лично я никоим образом не могу отнести себя к специалистам по дзета-функции. У меня нет исчерпывающего собрания литературы по дзета-функции, и при сборе материала для данной книги я опирался главным образом на университетские библиотеки и личные контакты. Но, даже не прилагая специальных усилий, я оказался обладателем собственных экземпляров книг «Теория дзета-функции Римана» Э.Ч. Титчмарша (412 страниц), «Введение в теорию дзета-функции Римана» С. Дж. Паттерсона (156 страниц) и незаменимой «Дзета-функции Римана» Хэролда Эдвардса (316 страниц, причем она у меня в трех экземплярах — это долгая история), а также толстенной папки с копиями статей из различных журналов и периодических изданий. Наверняка есть еще масса других увесистых книг, помогающих проникнуть в тайны этой функции, и, кроме того, тысячи статей. Это серьезная математика.

И что самое замечательное, на приведенном рисунке Гипотеза Римана сияет во всем своем блеске. Смотрите: нетривиальные нули и в самом деле все выстроились на критической прямой. На рисунке 13.6 критическая прямая не проведена, но совершенно ясно, что она лежит посередине критической полосы, как разделительная полоса на шоссе.

Еще пара картинок, прежде чем мы покончим с темой наглядного представления дзета-функции. Во-первых, заметим, что при продвижении вверх общая тенденция, наблюдаемая на рисунке 13.6, сохраняется в тех пределах, до которых мы можем добраться.

Для иллюстрации этого на рисунке 13.7 показан блок нулей вблизи точки ¹/₂ + 100i. Можно заметить, что они упакованы теснее, чем нули на рисунке 13.6. В действительности средний интервал между восемью показанными здесь нулями равен 2,096673119…, тогда как для пяти нулей, показанных на рисунке 13.6, средний интервал составлял 4,7000841…. Таким образом, здесь, наверху — в окрестности числа 100i на мнимой оси, — нули упакованы более чем в два раза плотнее, чем в окрестности числа 20i.

Ha самом деле имеется правило, позволяющее найти средний интервал между нулями на высоте T в критической полосе. Этот интервал ~ 2π/ln (T/2π). Если T равно 20, то это выражение вычисляется как 5,4265725…. Если T равно 100, то оно равно 2,270516724…. Как можно видеть, правило не слишком точное, хотя знак волны говорит нам, что оно становится все точнее по мере того, как числа растут. Эндрю Одлыжко опубликовал список 10 000 нулей в окрестности числа ¹/₂ + 1370919909931995308897i. Там за 2π/ln (T/2π) дают что-то около 0,13516467, а среднее, вычисленное для 9999 интервалов, равно 0,13417894…. Не так плохо!

Остановимся на еще одном моменте, который окажется довольно важным в дальнейшем изложении. Имеется симметрия относительно вещественной (т.е. идущей с запада на восток) оси. Если продлить рисунок 13.6 на юг от вещественной оси, линии окажутся зеркальными отображениями линий из северной половины. Единственная разница состоит в том, что если вещественные числа, отмеченные на рисунке 13.6, будут одинаковыми на юге и на севере, то мнимые числа поменяют знак. Математически это выражается так, что если ζ(a + bi) = u + vi, то ζ(a − bi) = u − vi. Или, если по-настоящему использовать язык комплексных чисел, ζ(z') = ζ'(z). Важное следствие отсюда состоит в том, что если a + bi — нуль дзета-функции, то a − bi — тоже нуль.

И наконец, графическое представление Гипотезы Римана — или по крайней мере того факта, что на критической прямой полно нулей.

Чтобы разобраться в рисунке 13.8, вспомним, что рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента. Функция комплексной переменной отправляет комплексные числа из одного множества (аргументы) в другое множество (значения). Поскольку комплексные числа располагаются на плоскости, можно представлять себе, что функция отправляет точки из одной плоскости (плоскости аргумента) в точки на другой плоскости (плоскости значений). Дзета-функция отправляет точку ¹/₂ + 14,134725i на плоскости аргумента в точку 0 на плоскости значений. Взглянем снова на рисунок 13.2. Там плоскость аргумента и плоскость значений показаны одновременно — как если бы это были наложенные друг на друга прозрачные пленки для проектора.

Рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента; там указано, какие аргументы отправляются в интересные нам значения. Муравей Арг живет на плоскости аргумента — потому его так и назвали. Он бродит по этой плоскости, отмечая, какие точки отправляются в нули при применении дзета-функции. Он у нас путешествовал по странным кривым и завиткам, образованным точками, которые отправляются в чисто вещественные или чисто мнимые числа (т.е. точками, в которых дзета-функция имеет чисто вещественные или чисто мнимые значения). Будем говорить, что это — изображения плоскости аргумента типа «отсюда», имея в виду, что отсюда дзета-функция отображает во что-то интересное.

Альтернативным способом функцию можно представить, показав картинку типа «сюда» на плоскости значений.[115] Вместо того чтобы показывать, как это делалось на рисунках 13.6 и 13.7, какие аргументы отправляются в интересные нам значения (а такими у нас были чисто вещественные и чисто мнимые числа), можно дать картину плоскости значений, на которой будет показано, в какие значения отображаются интересующие нас аргументы.

Представим себе, что у муравья Арга есть брат-близнец, который живет на плоскости значений.^{A4} Зовут его, понятно, муравей Знач. И допустим еще, что близнецы постоянно общаются между собой по рации и таким способом синхронизируют свои передвижения, так что, на каком бы аргументе ни находился муравей Арг в любой момент времени, муравей Знач стоит на соответствующем значении в плоскости значений. Если, например, муравей Арг стоит на числе ¹/₂ + 14,134725i, а на его приборчике выставлена дзета-функция, то муравей Знач стоит на числе 0 в своей плоскости (плоскости значений).

Предположим теперь, что муравей Арг, вместо того чтобы ползать по всем этим причудливым завитушкам, изображенным на рисунке 13.6 (что заставляет муравья Знача скучать, вышагивая взад и вперед по вещественной и мнимой осям), предпримет прогулку прямо по критической прямой, направляясь на север из аргумента ¹/₂. По какой траектории будет тогда следовать муравей Знач? Это показано на рисунке 13.8. Его путь начинается в точке ζ(¹/₂), что, как мы видели в главе 9.v, равно −1,4603545088095…. Далее он описывает нечто вроде полуокружности против часовой стрелки ниже нулевой точки, а затем поворачивает и движется по петле по часовой стрелке вокруг точки 1. Он держит путь к нулю и проходит через него (это первый нуль — муравей Арг как раз прошел точку ¹/₂ + 14,134725i). Затем он продолжает описывать петли по часовой стрелке, проходя через нулевую точку снова и снова через некоторый промежуток — всякий раз, как его брат-близнец наступает на нуль дзета-функции на плоскости аргумента. Я прервал путешествие Знача, когда муравей Арг достиг точки ¹/₂ + 35i, потому что рисунок 13.6 продолжается лишь до этих пор. К тому моменту, как эта точка достигнута, кривая на плоскости значений прошла через нуль пять раз, что соответствует пяти нетривиальным нулям на рисунке 13.6. Отметим, что точки на критической прямой демонстрируют выраженную тенденцию к тому, чтобы отображаться в точки с положительной вещественной частью.

Еще раз: на рисунке 13.8 показана плоскость значении. Это не диаграмма типа «отсюда», подобная рисункам 13.6 и 13.7; наоборот, это диаграмма типа «сюда», которая показывает, что же дзета-функция делает с критической прямой, подобно тому как на рисунке 13.2 было показано, что функция возведения в квадрат делаете расчерченным квадратиком. Если мы желаем выражаться чисто математически, то следует сказать, что завивающаяся в петли кривая на рисунке 13.8 есть ζ(критическая прямая) — множество всех точек, которые происходят из точек на критической прямой. Кривые на рисунках 13.6 и 13.7 суть ζ⁻¹(вещественная и мнимая оси) — множество всех точек, которые дзета-функция отправляет в вещественную и мнимую оси. Мы используем запись «ζ(критическая прямая)», чтобы указать на «все значения дзета-функции при аргументах, лежащих на критической прямой». Наоборот, «ζ⁻¹(вещественная и мнимая оси)» означает «все аргументы, для которых значения дзета-функции лежат на вещественной или мнимой осях». Заметим, что выражение ζ⁻¹ используется здесь в специальном смысле теории функций и указывает на обратную функцию. Не следует путать его с a⁻¹ из 8-го правила действий со степенями, где имеется в виду 1/a, арифметическое обратное числа a. Это другое использование — еще один пример перегрузки математических символов, как и с буквой π, которая обозначает и число 3,14159…, и функцию числа простых чисел.

Вообще говоря, картинки типа «отсюда» на плоскости аргумента — предпочтительное средство для понимания того, что такое функция во всем охвате ее свойств (например, где расположены ее нули). Картинки «сюда» на плоскости значений полезнее всего для изучения конкретных аспектов или любопытных особенностей функции.[116]

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой — прямой, составленной из комплексных чисел с вещественной частью одна вторая. Все нетривиальные нули, изображенные в этой главе, действительно лежат на этой прямой, что видно из рисунка 13.6, 13.7 и 13.8. Конечно, это ничего не доказывает. У дзета-функции бесконечное число нетривиальных нулей, и никакой рисунок не позволит изобразить их все. Откуда нам знать, что триллионный нуль, или триллион триллионный, или же триллион триллион триллион триллион триллион триллионный лежит на критической прямой? Этого мы не знаем — во всяком случае, не можем заключить из картинок. А какое отношение все это имеет к простым числам? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо повернуть Золотой Ключ.

Глава 14. Во власти одержимости

Геттинген, конечно, был не единственным местом на земле, где в первые годы XX века создавалась первоклассная математика. Взглянем на английского математика Джона Идензора Литлвуда за шестьдесят с чем-то лет до того, как он предлагал «понюхать пороху» Хью Монтгомери. В 1907 году, будучи молодым математиком в Тринити-колледже в Кембридже, Литлвуд был занят поиском содержательной задачи, из которой удалось бы вырвать хороший «кусок мяса» для диссертации.

Это отрывок из «Математической смеси» Литлвуда — причудливого собрания мемуарных фрагментов, шуток и математических головоломок, впервые опубликованного в 1953 году.[119] Кроме самого Литлвуда, действующие лица в приведенном отрывке — это английский математик Годфри Хэролд Харди (1877-1947) и немец Эдмунд Ландау (1877-1938). Эти трое — Ландау, Харди, Литлвуд — через полпоколения после Гильберта были пионерами в ранних попытках одолеть Гипотезу Римана.

Британская математика в XIX столетии демонстрировала странную асимметрию в своем развитии и достижениях. Британские ученые добились значительных успехов в наименее абстрактных областях математики — тех, которые ближе всего связаны с физикой. Такое наблюдение — результат моего высшего математического образования, полученного в Лондоне. Когда у нас были занятия по вещественному анализу, теории функций комплексной переменной, теории чисел и алгебре, фамилии ученых в названиях теорем сыпались на нас с той стороны Ла-Манша: Коши, Адамар, Якоби, Чебышев, Риман, Эрмит, Банах, Гильберт… А потом мы шли на лекции по ММФ (т.е. по методам математической физики) и внезапно снова оказывались на Британских островах викторианской эпохи: теорема Грина (1828), формула Стокса (1842), число Рейнольдса (1883), уравнения Максвелла (1855), оператор Гамильтона (1834)…

Кроме того, заметной активностью отличались британские ученые, занятые в наиболее абстрактных областях математики: Артур Кэли и Дж. Дж. Сильвестр изобрели матрицы (о них мы еще поговорим ниже) и теорию алгебраических инвариантов. Джордж Буль открыл целый новый материк «оснований» — математической логики, которую он называл «законами мышления». (Можно поспорить по поводу того, действительно ли этот предмет находится так уж далеко по шкале абстракции; сам Буль заявлял, что его намерением было сделать логику частью прикладной математики. Однако мне кажется, что математическая логика достаточно абстрактна для большинства из нас, простых смертных.) Любопытно отметить, что за неделю до того, как Гильберт выступил на Парижском конгрессе, тот же актовый зал Сорбонны был зарезервирован для Международного философского конгресса. Один из прочитанных там докладов назывался «Представления о порядке и абсолютном положении в пространстве и времени». Докладчиком был молодой английский логик, также из Тринити-колледжа, по имени Бертран Рассел, который спустя 10 лет вместе с Элфредом Нортом Уайтхедом стал автором классического трактата по математической логике (точнее, логифицированной математике) — Principia Mathematica.

Таким образом, в Британии полным ходом развивалась наименее абстрактная и наиболее абстрактная математика, а огромное количество всего, требующего среднего уровня абстракции, — теория функций, теория чисел, большая часть алгебры — было оставлено для континентальной Европы. В анализе — наиболее плодородном разделе математики XIX века — присутствие британцев практически незаметно. К концу столетия они фактически исчезли даже из тех областей, где традиционно были сильно представлены. Лишь семь британских математиков присутствовали на Парижском конгрессе; по этому показателю Британия стояла ниже Франции (90), Германии (25), США (17), Италии (15), Бельгии (13), России (9), Австрии и Швейцарии (по 8 каждая). В плане математики Британия в 1900-х годах была тихой заводью.

Но и в тихой заводи, как известно, черти водятся. Тринити-колледж в Кембридже, где обитал Литлвуд, поддерживал сильную математическую традицию. Некогда здесь работал сэр Исаак Ньютон (1661-1693), и колледж мог похвастаться тем, что в течение XIX столетия выпустил из своих стен нескольких гениев от математики и физики: это Чарльз Бэббидж, которого обычно считают изобретателем компьютера; астроном Джордж Эйри, именем которого названо семейство математических функций; логик Огастес де Морган; алгебраист Артур Кэли; Джеймс Клерк Максвелл и другие, несколько менее известные имена. Бертран Рассел защитил диссертацию в Тринити-колледже в 1893 году, стал сотрудником[120] в 1895-м и продолжал преподавать там в то время, когда сотрудником стал и Харди. История Тринити-колледжа в XX столетии оказалась несколько менее однородной. Отсюда происходили основные участники кембриджской шпионской сети[121] а также несколько блумсберийцев[122]. Однако в том, что касается математики в первые годы столетия, Тринити-колледж был прежде всего местом, где работал Г.X. Харди — тот самый Харди из воспоминаний Литлвуда. Именно Харди, как никто другой, пробудил английскую чистую математику от долгого сна.

Когда в 1897 году Харди трудился в Тринити-колледже над диссертацией, на глаза ему попался знаменитый в то время учебник Cours d'Analyse[123] написанный французским математиком Камилем Жорданом. Жордан известен тем, кто изучает теорию функций комплексной переменной, поскольку в ней есть теорема Жордана, утверждающая примерно следующее: несамопересекающаяся замкнутая плоская кривая (например, окружность) разбивает плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Эту теорему необычайно трудно доказать — Эстерман говорит о собственном доказательстве Жордана как об «интеллектуальном подвиге». По-видимому, Cours d'Analyse произвел на Харди примерно такое же впечатление, какое Гомер в переводе Чапмена произвел на Китса.[124]

После того как Харди приняли в Тринити-колледж (в то самое лето, когда Гильберт выступал со своей речью), он посвятил несколько последующих годов написанию работ по анализу.

Одним из плодов раннего увлечения Харди анализом стал учебник для студентов, называвшийся «Курс чистой математики», впервые вышедший в 1908 году и с тех пор никогда не перестававший издаваться. Как и большинство британских студентов XX века, я учил анализ по этой книге. Мы называли ее просто «Харди». Заглавие книги в сильной степени вводит в заблуждение, потому что там на самом деле нет ничего, кроме анализа, — никакой алгебры, никакой теории чисел, никакой геометрии, никакой топологии. Правда, никто не обращал на это внимания. В качестве введения в классический (т.е. в рамках XIX века) анализ этот учебник близок к идеалу настолько, насколько это вообще возможно для учебника. Его влияние на мой собственный подход к математике оказалось огромным. Когда я смотрю на то, что уже написано в этой книге, я явственно вижу Харди.

Г.X. Харди был чудаком такого рода, который только Англия XIX века могла породить. В старости он написал довольно занятную книгу под названием «Апология математика» (1940), в которой описал свою жизнь как математика. В некоторых отношениях это печальная, точнее, элегическая книга. Причину этого прекрасно выразил Ч.П. Сноу в своем предисловии к последующим изданиям. Харди был Питером Пэном — мальчиком, который так и не вырос. По словам Сноу, «до старости жизнь его оставалась жизнью блестящего молодого человека. Таким же оставался и его дух — его игры, его интересы поддерживали легкость молодого дона.[125] И, как и у многих людей, которые сохраняют интересы своей молодости до седьмого десятка, его последние годы были из-за этого не очень веселыми». А вот что пишет Литлвуд: «До тридцатилетнего возраста он выглядел невероятно молодым». Харди играл в крикет, к которому питал настоящую страсть, а также в теннис на закрытом корте (известный также как real (royal) tennis или jeu de paume) — игру более трудную, требующую большего интеллекта, чем обычный теннис.

В течение 12 лет, с 1919 по 1931 год, Харди возглавлял кафедру в Оксфорде. На 1928-29 академический год он уезжал в Принстон, а остальную часть своей жизни провел в Тринити-колледже в Кембридже. Приятный и обходительный, он никогда не был женат и, насколько известно, не имел никаких близких привязанностей какого бы то ни было сорта. Следует помнить, что в те времена колледжи в Оксфорде и Кембридже были учреждениями только для мужчин, с сильным оттенком женоненавистничества. До 1882 года сотрудникам Тринити-колледжа не разрешалось жениться. Недавно, вполне в духе нашего времени, высказывались предположения о гомосексуальности Харди. Я отошлю любознательного читателя к написанной Робертом Канигелом биографии Сринивасы Рамануджана[126], которому Харди оказывал поддержку, — «Человек, который знал, что такое бесконечность»; там эта тема обсуждается более подробно. Ответ представляется таким: скорее всего нет, разве только в самых сокровенных мыслях.

Историй о Харди даже больше, чем историй о Гильберте — одну из них, как я понимаю, я уже рассказал. Вот две другие, причем в каждой из них присутствует Гипотеза Римана. Первая взята из его некролога в британском научном журнале Nature.

Третий пункт иллюстрирует другую сторону присущей Харди эксцентричности. Хотя он и утверждал, что не верит в Бога, он вечно состязался с Ним в остроумии. В 1930-х годах Харди часто ездил к своему другу Харальду Бору (младшему брату физика Нильса Бора), который был профессором математики в Копенгагенском университете. Про одно из таких путешествий Джордж Пойа рассказывает следующую историю.

Помимо своего замечательного учебника Харди знаменит более всего благодаря своему участию в двух прославленных научных тандемах. Широкую известность получила его совместная работа с Рамануджаном, что и справедливо, поскольку эта фабула — одна из наиболее любопытных и волнующих во всей истории математики. Она полностью изложена в упоминавшейся уже книге Роберта Канигела. Однако сотрудничество Харди и Рамануджана имеет только очень косвенное отношение к истории Гипотезы Римана, так что ничего больше говорить о нем я не буду.

Другим знаменитым научным тандемом, в котором участвовал Харди, была совместная работа с Литлвудом, с воспоминаний которого о его собственных аспирантских исследованиях и начинается данная глава. Литлвуда приняли в число преподавателей Тринити-колледжа в 1910 году. Его сотрудничество с Харди началось в том же году и продолжалось до 1946 года. В те годы, когда Харди был в Оксфорде и Принстоне, а также во время Первой мировой войны, когда Литлвуд выполнял работы для нужд британской артиллерии, их совместная работа в основном проходила по переписке. Однако такой способ общения нисколько их не затруднял: они нередко обменивались письмами и в то время, когда оба проживали в своих квартирах в Тринити-колледже.

И Харди, и Литлвуд были великими математиками; оба были сыновьями школьных учителей и оба на всю жизнь остались холостяками. Практически во всем остальном они были совершенно не похожи. Харди обладал определенными странностями. Например, он ненавидел, когда его фотографируют, — сохранилось не больше десятка его фотографий[128], а когда он останавливался в гостинице или в квартирах для приезжих профессоров, завешивал там все зеркала. Литлвуд же был человеком куда менее притязательным. Харди был стройного и худощавого телосложения, а Литлвуд — крепким и коренастым и при этом прекрасным спортсменом во всех дисциплинах — в плавании, гребле, скалолазании, крикете. До 39 лет он продолжал кататься на лыжах и добился в этом занятии высокой степени профессионализма, что для англичанина в то время было весьма необычным. Литлвуд любил музыку и танцы.

Несмотря на свое соответствие традиционному представлению о сотруднике колледжа — он не был женат и жил в одной и той же квартире в Тринити-колледже в течение 65 лет, с 1912 по 1977 год, — у Литлвуда было по крайней мере двое детей. Как рассказывает его коллега Бела Боллобаш, в свои молодые годы Литлвуд обычно раз в год ездил в отпуск в Корнуолл, где останавливался в семье доктора. Дети в этой семье выросли, называя его «дядя Джон». Об одной из девочек — ее звали Энн — Литлвуд говорил как о своей племяннице. Но когда Литлвуд сделался близким другом семьи Боллобаш, он признался, что Энн была на самом деле его дочерью. Боллобаш с женой стали убеждать его, чтобы он перестал называть ее племянницей и начал говорить «моя дочь». Однажды вечером в профессорской он так и сделал — и испытал немалое разочарование, когда никто из его коллег не выказал ни малейшего удивления. Позднее, после смерти Литлвуда в 1977 году, в Тринити-колледже появился мужчина средних лет, интересовавшийся личными вещами покойного, объясняя при этом, что он его сын.

В 1910-х и и 1920-х годах сочетание «Харди и Литлвуд» стало настолько часто встречаться в качестве авторов математических статей, что ходили шутки, будто Литлвуд был вымышленной фигурой, которую придумал Харди, чтобы сваливать на него все ошибки. Говорят, что один немецкий математик пересек Ла-Манш только лишь для того, чтобы утвердиться в своем убеждении, что Литлвуда не существует.

Этим математиком был Эдмунд Ландау; он был на семь дней младше Харди. Ландау был феноменом, который встречается не так часто: выходец из богатой семьи, он тем не менее выбрал совершенно не прибыльную сферу деятельности и добился в ней больших успехов — придерживаясь при этом высочайших стандартов трудовой этики. Его мать Йоханна, урожденная Якоби, происходила из богатой семьи банкиров, а отец был успешным профессором гинекологии в Берлине, имевшим прекрасную практику. Кроме того, Ландау-старший активно поддерживал идеи еврейского движения. Их дом располагался в наиболее фешенебельном берлинском квартале по адресу Pariser Platz 6а, недалеко от Бранденбургских ворот. Эдмунд Ландау стал профессором в Геттингене в 1909 году. Когда люди спрашивали, как найти дорогу к его дому, он отвечал: «Вы его не пропустите. Это самый элегантный дом в городе». Как и отец (и как Жак Адамар), он проявлял интерес к сионизму, способствовал организации Еврейского университета в Иерусалиме и прочитал там (на иврите) первую лекцию по математике вскоре после открытия университета в апреле 1925 года.

Ландау был незаурядной личностью — а это было великое время для незаурядных личностей от математики, — и апокрифов о нем имеется не меньше, чем о Гильберте и Харди. Наверное, самый известный анекдот — его замечание об Эмми Нетер, которая была его коллегой по Геттингену. Нетер была мужеподобна манерами и фигурой. Когда Ландау спросили, не являет ли она собой пример великого математика-женщины, он ответил: «Я твердо заявляю, что Эмми — великий математик; но насчет женственности не поручусь». Его трудовая дисциплина вошла в легенду. Рассказывают, что, когда один из его ассистентов лежал в больнице, поправляясь после серьезной болезни, Ландау забрался по лестнице к окну, которое вело к несчастному, и пропихнул через него толстенную папку с работой. Литлвуд говорил о нем: «Он просто не знал, что такое чувствовать себя усталым». Харди добавляет, что Ландау работал каждый день с семи утра до полуночи.

Ландау был одаренным и увлеченным преподавателем и необычайно продуктивным математиком. Он написал более 250 статей и 7 книг. Его роль в нашей истории определяется первой из них — классическим трудом по теории чисел, опубликованным в 1909 году. Это та книга, о которой говорит Литлвуд в отрывке, приведенном в самом начале этой главы: «Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» Полное название книги было Handbuch der Lehre van der Verteilung der Primzahlen — «Учебник по теории распределения простых чисел». Теоретико-числовики обычно называют ее просто Handbuch.[129] В двух томах этой книги, каждый из которых состоит более чем из 500 страниц, собрано все, что было в тот момент известно о распределении простых чисел; изложение построено с сильным акцентом в сторону аналитической теории чисел. Гипотеза Римана сформулирована на странице 33. Handbuch была не первой книгой по аналитической теории чисел — Пауль Бахманн опубликовал такую книгу в 1894 году, — однако очень подробное и систематическое изложение в книге Ландау сделало весь предмет более ясным и привлекательным, и эта книга немедленно стала стандартом в этой области.

Мне кажется, что Handbuch Ландау не переводился на английский. Специалист по теории чисел Хью Монтгомери (он будет главным действующим лицом в главе 18) выучил немецкий по мере того, как трудился над чтением Handbuch, держа один палец на раскрытом словаре. Он рассказывает следующее. Первые 50 с чем-то страниц посвящены историческому обзору, разбитому на разделы, каждый из которых озаглавлен по имени великого математика, внесшего главный вклад в данную область: Эвклид, Лежандр, Дирихле и т.д. Последние четыре раздела озаглавлены Hadamard, Von Mangoldt, De la Vallée Poussin, Verfasser. На Хью произвел большое впечатление вклад, который внес в науку Verfasser, но он недоумевал, почему же раньше ему не приходились слышать об этом замечательном математике. Лишь некоторое время спустя он узнал, что Verfasser по-немецки означает «автор» (обычные существительные в немецком пишутся с заглавной буквы).

«Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» И Харди, и Литлвуд наверняка прочитали ее, как только она вышла. Вот слова Харди из некролога Ландау, написанного им (совместно с Хансом Хайльбронном) для Лондонского математического общества:

Без сомнения, именно из Handbuch и Харди, и Литлвуд заразились навязчивой идеей Гипотезы Римана. Первые плоды последовали в 1914 году, но не в виде совместной работы, хотя они и сотрудничали в то время, а в виде двух отдельных статей, каждая из которых сыграла значительную роль.

Статья Харди под названием Sur lez zéros de la fonction ζ(s) de Riemann[130] вышла в Comptes Rendus Парижской академии наук. В ней он доказал первый важный результат о распределении нетривиальных нулей.

Хотя это и был значительный шаг вперед, для читателя важно понимать, что это не решило вопроса с Гипотезой. Имеется бесконечно много нетривиальных нулей; Харди доказал, что бесконечно много из них имеют вещественную часть одна вторая. Тем самым остаются открытыми три возможности.

• Бесконечно много нулей не имеют вещественную часть одна вторая.

• Лишь конечное число нулей не имеет вещественной части одна вторая.

• Нет нулей, вещественная часть которых не равна одной второй, — утверждение Гипотезы!

Чтобы провести аналогию, рассмотрим следующие утверждения о четных числах, превосходящих двойку, т.е. 4, 6, 8, 10, 12, …

• Бесконечно много этих чисел делится на 3; бесконечно много не делится.

• Бесконечно много из них больше чем 11; только четыре числа не больше.

• Бесконечно много из них представимы в виде суммы двух простых; нет таких, которые не представимы — гипотеза Гольдбаха (которая все еще не доказана на момент написания книги).

Статья Литлвуда, также опубликованная в Comptes Rendus Парижской академии наук в том же году, называлась Sur la distribution des nombres premiers. В ней доказан результат столь же тонкий и столь же замечательный, как результат Харди, хотя и относящийся к несколько другому направлению исследований в данной области. Обсуждение этого результата требует небольшой преамбулы.

Мы уже отмечали, что в начале XX века наблюдалось следующее общее направление мыслей по поводу Гипотезы Римана. Теорема о распределении простых чисел (ТРПЧ) была доказана. С математической точностью было установлено, что действительно π(x) ~ Li(x) — или, словами, что относительная разность между π(x) и Li(x) уменьшается до нуля по мере того, как x делается все больше и больше. Так что же тогда можно утверждать об этой разности — т.е. об остаточном члене? Именно при внимательном рассмотрении остаточного члена математики обратили свои взоры к Гипотезе Римана, поскольку в работе Римана 1859 года для остаточного члена было приведено точное выражение. Как будет показано в должном месте, это выражение включает в себя все нетривиальные нули дзета-функции, так что ключ к пониманию остаточного члена каким-то образом скрыт среди этих нулей.

Чтобы говорить более конкретно, я приведу некоторые реальные значения остаточного члена. В таблице 14.1 «абсолютн.» означает разность Li(x) − π(x), а «относит.» означает это же число, отнесенное к (т.е. деленное на) π(x).

Мы видим, что относительная ошибка, без сомнения, уменьшается, стремясь к нулю, как ей и предписывает ТРПЧ. Это происходит потому что, хотя абсолютная ошибка тоже растет, она делает это далеко не так быстро, как π(x).

Пытливый математический ум сейчас спросит: «А как именно ведут себя эти два числа?» Имеются ли правила, описывающие медленный рост абсолютной ошибки или стремление относительной ошибки к нулю? Другими словами, если выкинуть из таблицы 14.1 вторую и четвертую колонки и рассмотреть получившуюся двухколоночную таблицу как «моментальный снимок» некоторой функции (колонки аргумент-значение), то что это будет за функция? Можно ли для нее получить формулу с волнами, как это было сделано для π(x)?

Здесь-то на сцене и появляются нетривиальные нули дзета-функции. Они тесно связаны (способом, который мы рассмотрим ниже во всех математических подробностях) с остаточным членом.

Хотя в ТРПЧ говорится об относительной ошибке, исследования в этой области в большей степени имеют дело с абсолютной ошибкой. На самом деле неважно, какую из них рассматривать. Относительная ошибка есть просто абсолютная ошибка, деленная на π(x), так что в любой момент несложно перейти от одной к другой. Итак, можно ли получить какие-нибудь результаты об абсолютном остаточном члене Li(x) − π(x)?

Взглянув на рисунок 7.6 и таблицу 14.1, можно с достаточной уверенностью заключить, что абсолютная разность Li(x) − π(x) положительна и возрастает. Численные свидетельства в пользу этого так убедительны, что Гаусс в своих собственных исследованиях полагал, что всегда так и происходит. Весьма вероятно, что исследователи поначалу соглашались с тем, или, по крайней мере, чувствовали уверенность в том, что π(x) всегда меньше чем Li(x). (Относительно мнения Римана по этому поводу ясности нет.) Поэтому статья Литлвуда 1914 года оказалась сенсацией, ибо в ней было установлено, что, напротив, существуют такие числа x, что π(x) больше чем Li(x). На самом деле доказано было гораздо большее.

Если учесть, что π(x) меньше, чем Li(x), для всех x, до которых смогли добраться даже самые мощные компьютеры, то где же находится первая точка перехода, первое «литлвудово нарушение», когда π(x) становится равной, а затем и превосходит Li(x)?

В подобных ситуациях математики отправляются на поиски того, что они называют верхней границей, — такого числа N, для которого можно доказать, что, каким бы ни был точный ответ на данный вопрос, он во всяком случае будет меньше, чем N. Установленные верхние границы такого рода нередко оказываются много больше, чем реальный ответ[131].

Так и обстояло дело с первой установленной верхней границей литлвудова нарушения. В 1933 году студент Литлвуда Сэмюель Скьюз показал, что если Гипотеза Римана верна, то переход должен наступать раньше, чем , что представляет собой число из примерно 10^{десять миллиардов триллионов триллионов} цифр. Это не само число — это число цифр в том числе. (Для сравнения заметим, что общее количество всех атомов во Вселенной оценивается числом из примерно восьмидесяти цифр.) Этот монстр получил известность как «число Скьюза» — самое большое число, которое когда-либо до того следовало из математического доказательства.[132]

В 1955 году Скьюз улучшил свой результат, на этот раз даже не предполагая справедливости Гипотезы Римана, и оказалось, что новое число содержит 10^{одна тысяча} цифр. В 1966 году Шерман Леман сумел понизить верхнюю границу до куда более разумного (по крайней мере, позволяющего себя записать) числа 1,165×10¹¹⁶⁵ (числа, другими словами, из каких-то 1166 цифр), а потом еще сильнее, до 6,658×10³⁷⁰.

На момент написания книги (середина 2002 года) лучшее достижение принадлежит Картеру Бейсу и Ричарду Хадсону, которые также исходили из теоремы Лемана.[133] Они показали, что имеются литлвудовы нарушения в окрестности числа 1,39822×10³¹⁶, а также привели некоторые аргументы в пользу того, что это нарушение может оказаться первым. (Статья Бейса и Хадсона оставляет открытой маленькую лазейку для существования нарушений на более малых высотах, возможно, даже на столь низкой высоте, как 10¹⁷⁶. Они также установили существование грандиозной зоны нарушений вблизи числа 1,617×10⁹⁶⁰⁸.)

Колебания остаточного члена Li(x) − π(x) от положительных к отрицательным значениям и затем обратно происходящем не менее в пределах вполне определенных ограничений. Иначе не выполнялась бы ТРПЧ. Некоторые соображения по поводу природы этих ограничений возникли еще в результате усилий, направленных на доказательство ТРПЧ. Де ля Валле Пуссен включил в свое доказательство ТРПЧ некоторую оценку для функции, выражающей это ограничение. Пять лет спустя шведский математик Хельге фон Кох[134] доказал следующий ключевой результат, который я сформулирую в его современной записи.

Уравнение здесь читается так: «Пи от икс равно интегральному логарифму от икс плюс Ο большое от корня из икс, умноженного на логарифм икс». Теперь надо объяснить, что же такое «О большое».^{3}

Глава 15. О большое и мебиусово мю

Эта глава посвящена двум математическим темам, которые связаны с Гипотезой Римана, но помимо этого друг с другом никак не связаны. Эти темы — «Ο большое» и мю-функция Мебиуса. Рассмотрим сначала Ο большое.

Когда Пауль Туран — великий венгерский математик, занимавшийся теорией чисел, — умирал от рака в 1976 году, его жена находилась у его постели. Она сообщила, что его последние слова были «Ο большое от единицы». Математики передают эту историю с благоговением: «Заниматься теорией чисел до самого конца! Истинный математик!»

Ο большое пришло в математику из книги Ландау 1909 года, влияние которой, как я уже рассказывал, было поистине огромным. Ландау на самом деле не изобрел Ο большое. Он чистосердечно признается на странице 883 своего Handbuch, что позаимствовал его из трактата Пауля Бахманна 1894 года. Поэтому довольно несправедливо называть его «ландаувским О большим» равно как несправедливо и то, что многие математики, по-видимому, полагают, что именно Ландау его изобрел. Ο большое присутствует повсеместно в аналитической теории чисел и даже просочилось оттуда в другие области математики.

Ο большое — это способ наложить ограничение на величину функции, когда аргумент устремляется к (как правило) бесконечности.

Вслед за Паулем Тураном рассмотрим Ο большое от единицы. «Единица» здесь понимается как функция, причем функция простейшего вида. Ее график — горизонтальная прямая, проходящая на высоте 1 над горизонтальной осью. Для вообще любых аргументов значение этой функции равно… просто 1. Ну и что же тогда означает, что функция f(x) есть Ο большое от единицы? По только что данному определению это означает, что, когда аргумент x уходит на бесконечность, f(x) никогда не превзойдет некоторого фиксированного кратного 1 — другими словами, график функции f(x) навсегда останется ниже некоторой горизонтальной прямой. Это полезная информация о данной нам функции f(x). Существует множество функций, для которых это не так. Это не так, например, для x² и для x в любой положительной степени, ни для e^x ни даже для ln x.

На самом деле Ο большое означает еще кое-что, кроме этого. Заметим, что в определении сказано «величина A». Это означает «значение A без учета знака». Величина числа 100 есть 100; величина числа −100 есть также 100. Ο большое не принимает в расчет знак минус. Сказать, что некоторая функция f(x) есть Ο большое от единицы, означает сказать, что f(x) навсегда заключена между двумя горизонтальными прямыми, одна из которых проходит выше горизонтальной оси, а другая проходит на таком же расстоянии ниже.

Как уже говорилось, очень многие функции не являются Ο большим от единицы. Простейшая из них — это функция x, то есть функция, значения которой всегда равны ее аргументу. Ее график — диагональная прямая, покидающая рисунок в верхнем правом углу. Ясно, что она не заключена между какими бы то ни было горизонтальными прямыми. Вне зависимости оттого, сколь широко вы расположите эти горизонтальные прямые, функциях рано или поздно вырвется за их пределы. Это останется верным, если уменьшить наклон. Функции 0,1x (показана на рисунке 15.1), 0,01x, 0,001x и 0,0001x все в конце концов прорвутся через любые горизонтальные прямые, которые вы установите в качестве ограничения. Ни одна из них не является Ο большим от единицы.

Этим иллюстрируется и еще один аспект Ο большого. Ο большое игнорирует не только знаки, но и множители. Если A есть Ο большое от B, то таковыми же будут 10A, 100A и 1000 000A; таковыми будут и одна десятая A одна сотая A одна миллионная A. Ο большое не сообщает нам о точном темпе роста — для этого у нас есть производные. Она сообщает о типе роста. Функция «единица» вообще не имеет никакого темпа роста — она намертво постоянная. Функция, являющаяся Ο большим от единицы, никогда не возрастет быстрее этого. Она может выделывать всякое другое: прижиматься к нулю, колебаться без конца внутри ограничивающих ее прямых или же подходить к одной из ограничительных линий все ближе и ближе, но она никогда не взовьется внезапно вверх и не нырнет внезапно вниз, прорываясь через эти линии и оставаясь после этого снаружи.

Приведенные функции 0,1x, 0,01x, 0,001x и 0,0001x — не Ο большое от единицы; все они — Ο большое от x. Такова же и любая другая функция, которая остается навсегда заключенной в «куске пиццы» между прямой ax и ее зеркальным отражением −ax. На рисунке 15.2 приведен пример функции, которая не остается в таких пределах. Это 0,1x² — квадратичная функция. Не важно, сколь широким вы сделаете этот кусок пиццы — т.е. не важно, сколь велико значение a, — график функции 0,1x² рано или поздно прорвется через верхнюю границу.

Теперь мы можем оценить значение результата фон Коха 1901 года. Если Гипотеза Римана верна, то при x, стремящемся к бесконечности, абсолютная разность между π(x) и Li(x) — т.е. или Li(x) − π(x), или π(x) − Li(x), что не важно, потому что Ο большому нет дела до знаков, — остается заключенной между двумя ограничивающими кривыми. Ограничивающие кривые — это C√x∙ln x и ее зеркальное отражение, где C — некоторое число. Остаточный член может делать что хочет между этими двумя кривыми, но он никогда не выберется наружу и никогда не вырвется внезапно из-под их контроля. Разность между π(x) и Li(x) есть Ο большое от √x∙ln x.

На рисунке 15.3 приведен пример функции, которая есть Ο(√x∙ln x). Там показаны: 1) кривая √x∙ln x (верхняя половина отдаленно напоминающей параболу кривой), 2) зеркально отраженная кривая −√x∙ln x (нижняя половина) и 3) придуманная для иллюстрации и ничего особенно не выражающая функция, которая есть Ο(√x∙ln x). Буква m обозначает миллион, ведь вещи подобного рода интересны только для больших аргументов. Стоит отметить, что "функция Дербишира" в действительности на некоторое время вырывается за пределы ограничивающих ее кривых при аргументах, равных примерно 200 миллионам. Это не страшно, поскольку больше она никогда такого не делает. Начиная с некоторой точки — и навсегда после нее — функция остается в пределах границ. Верьте мне, что она там остается, хотя по понятным причинам я и не могу показать вам всю функцию до бесконечности. Ο большое принимает во внимание исключения из правил при малых аргументах (а такие исключения — общее место в теории чисел, взять хотя бы утверждение «все простые числа нечетные… кроме самого первого»).

Можно заметить еще, что, поскольку Ο большое не принимает во внимание множители, масштаб по вертикали совершенно произволен. Важны лишь конфигурация — форма ограничивающих кривых — и тот факт, что начиная с какого-то места наша функция навсегда заключена между ними.

Результат фон Коха 1901 года[135] — а именно утверждение, что, если Гипотеза Римана верна, то π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x), — один из первых примеров определенного типа результатов, которыми сейчас полна теория чисел, — результатов, которые начинаются словами «Если Гипотеза Римана верна, то…». Если окажется, что Гипотеза Римана не верна, то немалую часть теории чисел придется переписывать.

А есть ли какой-нибудь результат типа Ο большого для остаточного члена Li(x) − π(x), который не зависел бы от справедливости Гипотезы Римана? О да. Среди специалистов по аналитической теории чисел долгие годы любимым спортом был поиск все лучших и лучших формул типа Ο большого для остаточного члена. Но ни один не может сравниться с Ο(√x∙ln x). Это абсолютно лучшее, наиболее точное ограничение на остаточный член, известное к настоящему моменту. Правда, раз оно зависит от справедливости Гипотезы, мы не можем быть полностью уверены, что оно верно. Все те оценки остаточного члена, в справедливости которых мы уверены, менее точны, чем эта. Соответствующая параболическая кривая на рисунке 15.3 несколько шире, причем различие делается все более заметным по мере того, как x уходит на бесконечность. Если же Гипотеза Римана верна, то среди всех известных оценок остаточного члена выражение Ο(√x∙ln x) является наилучшим возможным — наиболее точной формулой типа Ο большого. Оно же и простейшее. При этом все формулы, которые были доказаны без предположения о справедливости Гипотезы, выглядят достаточно уродливо. Вот наилучшая из тех, что известны мне на данный момент:

где С — некоторое постоянное число. Ни одна из других подобных формул на вид не проще этой.

Сравним результат фон Коха 1901 года с выделенными курсивом словами в восьмой проблеме Гильберта, приведенной в главе 12.ii. Гильберт перекликался с Риманом, написавшим в своей работе 1859 года, что приближение функции π(x) функцией Li(x) «верно только по порядку величины x^1/2». Ну а √x есть, конечно, попросту x^1/2. Более того, в главе 5.iv мы видели, что ln x растет медленнее, чем любая положительная степень x, даже самая ничтожно малая. Это можно выразить в терминах Ο большого таким образом: для любого сколь угодно малого числа ε выполнено ln x = Ο(x^ε). А следовательно (это, правда, не сразу очевидно, но в действительности несложно доказать), можно подставить x^ε вместо ln x в выражение Ο(√x∙ln x); а поскольку √x — это просто x^1/2, можно сложить степени и получить Ο(x^1/2+ε). Таким путем получается довольно распространенный вид результата фон Коха: π(x) = Li(x) + Ο(x^1/2+ε). Символ ε настолько часто используется для исчезающе малых чисел, что слова «… для любого сколь угодно малого ε» здесь подразумеваются.

Заметим, однако, что, делая эту подстановку, мы слегка ослабили результат фон Коха. Из того, что «остаточный член есть Ο(√x∙ln x)», следует, что «остаточный член есть Ο(x^1/2+ε)», но обратное неверно. Эти два утверждения не являются точно эквивалентными. Такое происходит, потому что, как мы видели в главе 5.iv, не только ln x растет медленнее, чем любая степень x, но (ln x)^N обладает тем же свойством при любом положительном N. Так что если бы результат фон Коха утверждал, что остаточный член есть Ο(√x∙(ln x)¹⁰⁰), то мы все равно в качестве альтернативного вида вывели бы Ο(x^1/2+ε)!

Однако запись результата фон Коха в этом слегка ослабленном виде Ο(x^1/2+ε) хороша тем, что наводит на размышления. Риман был почти прав в том же смысле, в каком логарифмическая функция есть почти x⁰; порядок величины есть не х^1/2, а x^1/2+ε. Если учесть, какие средства имелись у него в наличии, каким было общее состояние знания в данной области и какие численные данные были доступны в то время, то риманово x^1/2 все равно должно считаться прозрением потрясающей глубины.[136]

Вводя Ο большое, я начал с истории, так что сейчас, прощаясь с ним, расскажу еще одну. Суть ее в том, что математики, как и другие специалисты, иногда любят напустить туману, чтобы отпугнуть и смутить профанов.

На конференции в Курантовском институте летом 2002 года (см. главу 22) я разговаривал по поводу своей книги с Питером Сарнаком. Питер — профессор математики в Принстонском университете и специалист по теории чисел. Я упомянул, что пытаюсь придумать, как объяснить Ο большое тем читателям, кто с ним незнаком. «О, — сказал Питер, — вам надо бы поговорить с моим коллегой Ником (т.е. Николасом Кацем — он тоже профессор в Принстоне, но занимается в основном алгебраической геометрией). Ник ненавидит Ο большое. Никогда его не использует». Я это проглотил, но взял на заметку, рассчитывая, что смогу придумать, как это использовать в книге. В тот же вечер мне случилось разговаривать с Эндрю Уайлсом, который очень хорошо знает и Сарнака, и Каца. Я упомянул нелюбовь Каца к Ο большому. «Чепуха, — сказал Уайлс, — они просто над вами потешаются. Да Ник все время его использует». И будьте уверены, Кац использовал его в лекции на следующий же день. Своеобразное чувство юмора у математиков.

Оставим Ο большое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.

Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2). Очевидно, если A = B и при этом ни A, ни B не равны нулю, то 1/A = 1/B. Получаем (15.1)

Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.

Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем a на (p + q), что дает ар + aq. Затем умножаем b на (p + q), что дает bp + bq. А потом, поскольку в скобках у нас a плюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v), то повторение этих действий дает apu +aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv. Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у) дает

Грандиозность того, что получается, начинает внушать некоторые опасения. А ведь нам предстоит перемножить бесконечное число скобок! Фокус состоит в том, чтобы посмотреть на это дело глазами математика. Из чего составлено выражение (15.2)? Ну, это сумма некоторого числа членов. Как эти члены выглядят? Выберем наугад какой-нибудь один из них, скажем aqvy. Сюда входит a из первой скобки, q из второй, v из третьей и y из четвертой. Это произведение, составленное из чисел, выбранных по одному из каждой скобки. И все выражение целиком получается в результате всех возможных комбинаций того, как мы выбираем эти числа из скобок.

Как только вы смогли это увидеть, перемножение бесконечного числа скобок больше не проблема. В ответе будет сумма — разумеется, бесконечная — членов, каждый из которых получен путем выбора одного числа из каждой скобки и перемножения всего, что выбрали. Если сложить результаты всех таких возможных выборов, то и получится ответ. Однако в том виде, как эта процедура описана, она все еще выглядит несколько устрашающей. Согласно сказанному, каждый член в нашей бесконечной сумме есть бесконечное произведение. Да, так оно и есть, но, поскольку каждая скобка в правой части выражения (15.1) содержит 1, наша жизнь делается приятнее за счет того, что мы будем выбирать бесконечное число единиц и лишь конечное число не-единиц. В конце концов, поскольку каждый не-единичный член в каждой скобке есть число между −¹/₂ и 0, перемножение бесконечно большого числа таких членов дает результат, величина которого (я имею в виду — без учета знака) заведомо не больше, чем (¹/₂)^∞, а это равно нулю! Теперь смотрите, как я построю бесконечную сумму.

Первый член в бесконечной сумме: берем 1 из каждой скобки. Это даст бесконечное произведение 1×1×1×1×1×…, значение которого есть, конечно, просто 1.

Второй член: берем 1 из всех скобок, кроме первой. Из первой же возьмем . Это даст бесконечное произведение ×1×1×1×1×…, которое равно просто .

Третий член: берем 1 из каждой скобки, кроме второй. А из второй возьмем . Это даст бесконечное произведение 1××1×1×1×…, что равно просто .

Четвертый член… Я думаю, понятно, что, если брать 1 из каждой скобки, кроме n-й, мы получим слагаемое равное , где p — n-е простое число. Итак, получилась бесконечная сумма вида (15.3):

Но это еще не конец. При перемножении скобок возникает сумма всех возможных членов, получаемых взятием одного числа из каждой скобки. Предположим, мы выбрали из первой скобки, из второй и 1 из всех остальных. Это дает ××1×1×1×…, что равно . Похожие вещи мы получим из каждой возможной пары выборов не-единиц. Выбирая из третьей скобки и из шестой, а единицы из всех остальных, получаем член, равный .

(Заметим, что здесь работают два простых правила арифметики. Одно — это правило знаков, гласящее, что минус умножить на минус дает плюс, а другое — 7-е правило действий со степенями, согласно которому (x×y)ⁿ = xⁿ×yⁿ.)

Так что наряду с членами, уже собранными в выражении (15.3), имеется новый набор, каждый член в котором происходит из каждой пары простых чисел, как 5 и 13, и которые все входят со знаком плюс. Таким образом, выражение (15.3) разрослось до такого:

где каждое число во второй строке есть произведение двух различных простых.

А ведь мы едва начали нашу деятельность по перемножению бесконечного числа скобок. Следующий шаг состоит в том, чтобы перебрать все возможные способы выбрать три не-единицы (при всех остальных единицах). Например, 1××1×1×××1×1×…, из чего возникает .Теперь результат разрастается до

где каждое число в третьей строке есть произведение трех различных простых.

В предположении, что мы продолжаем так поступать, а также в предположении, что получающиеся члены можно переставлять, как мы пожелаем, выражение (15.1) превращается в следующее (15.4):

Натуральные числа в правой части — это… что? Это заведомо не все натуральные числа: 4, 8, 9 и 12 там отсутствуют. Но и не простые: присутствующие там 6, 10, 14 и 15 не являются простыми. Если оглянуться на процесс перемножения этого бесконечного количества скобок, то станет ясно, что ответ такой: каждое натуральное число, которое равно произведению нечетного числа (включая 1) различных простых, взятое со знаком минус, и, кроме того, каждое натуральное число, которое равно произведению четного числа различных простых, взятое со знаком плюс. Отсутствуют такие числа, как 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, … — т.е. числа, которые делятся на квадрат некоторого простого.

Поприветствуем функцию Мебиуса! Она названа по имени немецкого математика и астронома Августа Фердинанда Мебиуса (1790–1868).[137]

В наше время ее общепринято обозначать греческой буквой μ, что произносится как «мю» — греческий эквивалент буквы «м».[138] Приведем полное определение функции Мебиуса.

• Ее область определения есть N, то есть все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….

• μ(1) = 1.

• μ(n) = 0, если среди делителей числа n есть квадрат.

• μ(n) = −1, если число n простое или является произведением нечетного числа различных простых чисел.

• μ(n) = 1, если число n является произведением четного числа различных простых чисел.

Такое определение функции может показаться вам страшно громоздким. Однако функция Мебиуса приносит колоссальную пользу в теории чисел и далее в этой книге будет играть ведущую роль. В качестве примера приносимой ею пользы заметим, что все трудоемкие алгебраические действия, через которые нам пришлось продираться, сводятся к изящному выражению (15.5):

B истории Гипотезы Римана наряду с самой функцией μ(n) не меньшую роль играет ее нарастающее значение, т.е. результат сложения μ(1) + μ(2) + μ(3) + … + μ(k) для некоторого числа k. Так определяется «функция Мертенса» М(k). Ее первые 10 значений (т.е. значения при k = 1, 2, 3, …, 10) равны 1, 0, −1, −1, −2, −1, −2, −2, −2, −1. Функция M(k) весьма нерегулярна — она совершает колебания в обе стороны вокруг нулевого значения в стиле, который математики называют «случайными блужданиями». Для аргументов, равных 1000, 2000, …, 10 000, ее значения равны 2, 5, −6, −9, 2, 0, −25, −1, 1, −23. Для аргументов миллион, 2 миллиона, …, 10 миллионов ее значения равны 212, −247, 107, 192, −709, 257, −184, −189, −340, 1037. Если не обращать внимания на знаки, то видно, что величина функции M(k) возрастает, но помимо этого никакой ясной картины не просматривается.

Из выражения (15.5) видно, что поведение функций μ и M (накапливающейся μ) жестко привязано к дзета-функции, а тем самым и к Гипотезе Римана. На самом деле если вам удастся доказать приведенную ниже теорему 15.1, то вы сможете заключить, что Гипотеза Римана верна!

Однако если теорема 15.1 не верна, то отсюда еще не следует, что не верна Гипотеза. Математики говорят, что теорема 15.1 сильнее Гипотезы.[139] Слегка ослабленный вариант, сформулированный как теорема 15.2, в точности равносилен Гипотезе:

Если теорема 15.2 верна, то верна и Гипотеза; а если она не верна, то не верна и Гипотеза. Это в точности эквивалентные теоремы. Мы еще вернемся к этому в главе 20.vi.

Глава 16. Вверх по критической прямой

В 1930 году Давиду Гильберту исполнилось 68 лет. В соответствии с принятыми в Геттингенском университете правилами он вышел на пенсию. Посыпались почести. Среди них — решение властей Кенигсберга предоставить прославленному сыну этого города почетное гражданство. Церемония должна была состояться на открытии запланированного на осень того года съезда Общества немецких ученых и врачей. Понятно, что случай обязывал к ответному слову. Таким образом, 8 сентября 1930 года в Кенигсберге Гильберт выступил со своей второй великой публичной речью.

Его выступление было озаглавлено «Логика и познание природы». Цель Гильберта состояла в том, чтобы высказать некоторые положения о связи между нашим внутренним миром — нашими умственными процессами, включая и те, с помощью которых мы создаем и доказываем математические истины, — и физической вселенной. Подобные идеи, разумеется, имеют долгую философскую родословную, особую роль в которой сыграл другой великий сын Кенигсберга — живший в XVIII веке философ Иммануил Кант. По существу, как мы увидим в главе 20, Гильберт высказал идеи, имеющие отношение к современному пониманию Гипотезы Римана. Впрочем, во время выступления Гильберта в Кенигсберге никто этого, конечно, не знал.

Было предусмотрено, что после окончания выступления Гильберт повторит его сокращенный вариант по местному радио — в те времена, понятно, бывшему новинкой. Этот сокращенный вариант речи Гильберта был записан и издан на граммофонной пластинке (78 оборотов в минуту). (В Веймарской Германии, похоже, слова «математик-знаменитость» не содержали в себе внутреннего противоречия). В наши дни эту запись можно найти в Интернете. Сделав лишь небольшое усилие, вы услышите, как голос самого Гильберта произносит шесть слов, за которые его более всего помнят и которые выгравированы на его надгробии на Геттингенском кладбище. Это последние слова кенигсбергской речи.

Гильберт твердо верил в неограниченную мощь человеческого разума в постижении истин и природы, и математики. Во времена его юности определенной популярностью пользовались пессимистические теории французского философа Эмиля Дюбуа-Реймона. Дюбуа-Реймон утверждал, что определенные вещи — например, природа материи и человеческого сознания — в принципе непознаваемы.[140] Ему принадлежит тезис ignoramus et ignorabimus — «мы не знаем и не узнаем». Гильберту никогда не импонировала эта мрачная философия. И теперь, когда весь мир (во всяком случае, вся его научно-математическая часть) внимал его словам, он ясно заявил о своем несогласии:

Шесть последних слов — по-немецки Wir müssen wissen. Wir werden wissen — самые знаменитые из всего, произнесенного Гильбертом, и являются одними из самых известных во всей истории науки. Они выражают твердый оптимизм, тем более знаменательный, что он звучит из уст человека, который был далеко не молод и, более того, не мог похвастаться здоровьем. (Гильберт в течение нескольких лет страдал от злокачественной анемии — заболевания, которое в 1920-х годах только-только начало поддаваться лечению.) Эти слова составляют жизнеутверждающий контраст по сравнению с довольно мрачным солипсизмом, выраженным Харди в «Апологии», написанной десять лет спустя, когда Харди было 63 года — на пять лет меньше, чем Гильберту во время его кенигсбергской речи.

Особенно жизнеутверждающе — как понимаем мы теперь, задним числом, — выступление Гильберта звучало по контрасту с тем кошмаром, которому предстояло вскоре поглотить Германию. В момент, когда Гильберт оставил свое профессорство в 1930 году, Геттинген был все еще тем же, что и в течение 80 лет до этого, — крупнейшим центром математических исследований и математического образования, в то время, возможно, лучшим в мире. Через четыре года он представлял собой всего лишь пустую скорлупу — оттуда уехали или были выдворены все величайшие умы.

Главные события, конечно, развернулись в первые месяцы 1933 года: вступление Гитлера в должность канцлера Германии 30 января, поджог Рейхстага 27 февраля, выборы 5 марта, на которых национал-социалисты получили 44 процента голосов (большинство), и Акт о дополнительных полномочиях от 23 марта[141], по которому основные конституционные полномочия передавались от законодательной к исполнительной власти. К апрелю национал-социалисты практически полностью управляли Германией.

Один из их первых декретов, изданный 7 апреля, имел целью изгнать евреев с государственной службы. Я сказал «имел целью», потому что фельдмаршал Пауль фон Гинденбург еще оставался президентом Германской республики и с ним приходилось считаться. По его настоянию было оговорено два типа изъятий из декрета от 7 апреля: декрет не затрагивал, во-первых, евреев, служивших в армии в Первую мировую войну, а во-вторых, всех, кто уже занимал должность на государственной службе до августа 1914 года, когда началась война.

Университетские профессора были государственными служащими и тем самым подпадали под действие декрета. Из пяти профессоров, преподававших в Геттингенском университете математику, трое — Эдмунд Ландау, Рихард Курант и Феликс Бернштейн — были евреями. У четвертого, Германа Вейля (который руководил кафедрой после Гильберта), еврейкой была жена. Только Густав Херглотц не был ничем скомпрометирован с расовой точки зрения. Правда, декрет от 7 апреля не распространялся на Ландау и Куранта, поскольку они подпадали под действие гинденбурговских изъятий. Ландау стал профессором в 1909 году, а Курант храбро сражался на Западном фронте.[142]

Однако нацисты не собирались скрупулезно придерживаться буквы закона. Не помогло и то, что Геттинген в целом достаточно сильно поддерживал Гитлера. Это относилось в равной мере и к обычным жителям, и к университетским студентам и профессорам. На выборах 1930 года в Геттингене за партию Гитлера было отдано вдвое больше голосов, чем в среднем по стране; и у нацистов было большинство в университетском студенческом союзе начиная уже с 1926 года. (Прекрасный дом, которым Эдмунд Ландау так гордился, в 1931 году был обезображен нарисованными на нем виселицами.) 26 апреля городская газета Gottinger Tageblott занимавшая активно пронацистскую позицию[143], напечатала объявление, что шесть университетских профессоров были отправлены в отпуск на неопределенный срок. Для самих профессоров это объявление явилось неожиданностью: их заранее не предупредили.

С апреля по ноябрь того года Геттинген как математический центр был фактически уничтожен. Это коснулось не только евреев, которые занимали должности в университете; под подозрение попадали все, кому приписывалось сочувствие к левым. Математики бежали — большинство в конце концов оказались в Соединенных Штатах. Всего из математического института в Геттингене уехали или были уволены 18 постоянных сотрудников.

Одним из неподчинившихся был Эдмунд Ландау (кстати, единственный профессор математики в Геттингене, посещавший городскую синагогу). Полагаясь на нерушимость прусских законов, Ландау попытался в ноябре 1933 года возобновить чтение лекций по дифференциальному и интегральному исчислению, но научный студенческий совет, узнав о его намерениях, организовал бойкот. Штурмовики в форме не пускали студентов Ландау в аудиторию. Демонстрируя недюжиную отвагу, Ландау потребовал от лидера совета, двадцатилетнего студента Освальда Тейхмюллера, в письменной форме объяснить причины бойкота. Тейхмюллер так и сделал, и это письмо каким-то образом уцелело.

Тейхмюллер был очень одаренным человеком и в действительности стал прекрасным математиком.[144] Из письма ясно видно, что мотивировка бойкота была идеологическая. Тейхмюллер искренне и всем сердцем верил в нацистские доктрины, включая расовую, и ему представлялось совершенно недопустимым, чтобы немецких студентов учили евреи. Мы привыкли воспринимать нацистских активистов как головорезов, люмпенов, приспособленцев и неудачников того или иного сорта, каковыми многие из них в самом деле являлись. Полезным, однако, бывает напоминание, что среди них встречались люди исключительно одаренные.[145]

Убитый горем Ландау уехал из Геттингена и отправился в Берлин, в свой семейный дом. Позже он несколько раз ездил за границу читать лекции, что, по-видимому, доставляло ему огромное удовольствие, однако он не собирался навсегда покидать родную землю и перебираться за границу; он умер своей смертью в Берлине в 1938 году.

Гильберт же умер в Геттингене во время войны — 14 февраля 1943 года, за три недели до своего 81-летия, вследствие осложнений после падения на улице. Не более десятка людей собрались на прощальной службе. Лишь двое из них могли похвастаться значительными математическими достижениями: физик Арнольд Зоммерфельд, бывший старым другом Гильберта, и вышеупомянутый Густав Херглотц. Родной город Гильберта Кенигсберг сровняли с землей во время войны; теперь это российский город Калининград. Геттинген в настоящее время представляет собой обычный провинциальный немецкий университет с сильным математическим факультетом.

Те годы — начало 1930-х, перед тем как сгустился мрак, — подарили нам один из самых романтических эпизодов в истории Гипотезы Римана — открытие формулы Римана-Зигеля.

Карл Людвиг Зигель, сын берлинского почтальона, преподавал во Франкфуртском университете. Состоявшийся ученый, специалист по теории чисел, он прекрасно понимал (как это должен был понимать и любой читавший ее математик), что статья Римана 1859 года представляла собой, в терминологии Эрвинга Гоффмана, с которым мы встречались в главе 4.ii, всего лишь фасад намного более масштабной конструкции, сжатое изложение для публикации гораздо большей по объему работы, проходившей, по-видимому, «за сценой». Поэтому он постарался выкроить как можно больше времени, чтобы провести его в Геттингене, просматривая относящиеся к тому периоду личные математические записи Римана и надеясь найти какие-нибудь зацепки, указывающие на ход мыслей Римана во время его работы над той статьей.

Зигель был вовсе не первым, предпринявшим такую попытку. В 1895 году Генрих Вебер закончил работу над вторым изданием «Собрания трудов» Римана, после чего отдал его бумаги на хранение в университетскую библиотеку. Когда там появился Зигель, бумаги пролежали среди архивов в Геттингене (где они находятся и по сей день, см. главу 22.i) уже 30 лет. Разные исследователи неоднократно предпринимали попытки изучить эти записи, но все в конце концов отступали перед фрагментарным и неорганизованным стилем черновиков Римана, или же, вполне вероятно, им просто не хватало математической квалификации для понимания этих записей.

Зигель был сделан из более крутого теста. Он не отступил и продолжал изучать толстые кипы небрежно исписанных листков и в результате сделал потрясающее открытие, которое и опубликовал в 1932 году в статье под названием «О Nachlass[146] Римана, относящихся к аналитической теории чисел». Это одна из ключевых работ в истории Гипотезы Римана. Чтобы объяснить суть сделанного Зигелем открытия, нам надо вернуться к вычислительной линии повествования — другими словами, к попыткам реально вычислить нули дзета-функции и проверить Гипотезу Римана экспериментально.

В нашем рассказе о вычислительном направлении в главе 12 мы остановились на Йоргене Граме, который в 1903 году опубликовал результаты вычисления 15 первых нетривиальных нулей. Работа в этом направлении не прекращается по сей день. В 1996 году на конференции по Гипотезе Римана в Сиэтле Эндрю Одлыжко представил историю вопроса, которая показана в таблице 16.1.

В конце 2000 года ван де Луне довел вычисления до 5 миллиардов нулей дзета-функции Римана, а в октябре 2001 года — до 10 миллиардов. Тем временем в августе 2001 года Себастьян Веденивски, использовав свободные процессорные мощности на 550 офисных персональных компьютерах корпорации IBM в Германии, инициировал проект по дальнейшему развитию этих вычислений. Последний опубликованный результат Веденивски датируется 1 августа 2002 года; число нетривиальных нулей с вещественной частью одна вторая доведено до 100 миллиардов.

Здесь на самом деле происходит несколько вещей сразу, и важно четко их разделять.

Во-первых, не следует смешивать а) высоту вдоль критической прямой и б) число нулей. «Высота» означает просто мнимую часть комплексного числа: высота числа 3 + 7i равна 7. При рассмотрении нулей дзета-функции принято обозначать высоту буквой t или T. (Поскольку мы знаем, что нули симметричны относительно вещественной оси, мы интересуемся только положительными t). Имеется формула для числа нулей вплоть до высоты T:

Это на самом деле очень хорошая формула (первые два слагаемых в ней принадлежат Риману): она дает превосходное приближение уже для достаточно малых значений T. Если не обращать внимания на член с Ο большим[147], то для T, равного 100, 1000 и 10 000 она дает соответственно 28,127, 647,741 и 10 142,090. Истинное же число нулей на этих высотах составляет 29, 649 и 10 142. Чтобы получить значение N(T) величиной в 100 миллиардов, как у Веденивски, требуется взять T равным 29 538 618 432,236… — до такой высоты Веденивски и добрался в своих исследованиях.

Далее, имеется путаница по поводу того, что именно вычисляется. Не предполагается, что Веденивски способен предъявить все 100 миллиардов этих нулей, вычисленных с высокой (или даже со средней) точностью. Цель подобных исследований состоит главным образом в подтверждении Гипотезы Римана, а это можно сделать, не прибегая к высокоточным вычислениям нулей. Имеются некоторые теоретические построения, позволяющие вычислить, сколько нулей имеется в критической полосе между высотами T₁ и T₂ — т.е. внутри прямоугольника, верхняя и нижняя стороны которого задаются числами T₁ и T₂, отложенными вдоль мнимой оси, а левая и правая сторона — числами 0 и 1 на вещественной оси, как показано на рисунке 16.1. Имеется и другое теоретическое построение, которое позволяет вычислить, сколько нулей расположено на критической прямой между данными высотами.[148] Если два вычисления дают один и тот же результат, то можно считать, что вы тем самым подтвердили Гипотезу Римана в данном интервале. Это можно сделать, имея лишь грубое знание о том, где на самом деле расположены нули. Большая часть таблицы 16.1 относится к работе такого сорта.

А как обстоит дело с табулированием точных положений нулей? Оказывается, помимо того, что делалось в связи с проверкой Гипотезы Римана, в этой задаче сделано на удивление мало. Насколько мне вообще известно, первые сколько-нибудь длинные таблицы такого рода были опубликованы Брайаном Хейзелгровом. В 1960 году, работая на мощных компьютерах второго поколения в университетах Кембриджа и Манчестера в Англии, Хейзелгров с сотрудниками затабулировали первые 1600 нулей с точностью до шести знаков после запятой и опубликовали эту таблицу. Эндрю Одлыжко сообщил мне, что, когда он в конце 1970-х годов начинал исследования нулей дзета-функции, таблицы Хейзелгрова были единственными известными ему данными такого рода, хотя он и думает, что Леман в ходе своей работы в 1966 году мог в действительности с высокой точностью вычислить большее количество нулей. У самого Эндрю есть таблица (на диске компьютера, а не в печатном варианте) первых двух миллионов нулей с точностью до девяти знаков после запятой. На момент написания этой книги это наибольшая из известных таблиц нулей.

Вся описанная выше деятельность относится к первым N нулям. Кроме этого, Эндрю Одлыжко совершил несколько «прыжков» вверх с целью исследовать небольшие изолированные отрезки на очень больших высотах. Он опубликовал результат вычисления самого высокорасположенного нетривиального нуля дзета-функции из известных на данный момент — это 10 000 000 000 000 000 010 000-й нуль. С точностью до пяти знаков после запятой в мнимой части он расположен в точке ¹/₂ + 1 370 919 909 931 995 309 568,33539i. Эндрю вычислил и первые 100 нулей с точностью до тысячи знаков после запятой.[149] Первый нуль начинается как (имеется в виду, конечно, мнимая часть):

За таблицей 16.1 скрываются разнообразные истории. Фигурирующий там А.М. Тьюринг, например, — это тот самый Алан Тьюринг, который работал в области математической логики, разработав идею теста Тьюринга (способ решить, обладает ли компьютер или программа интеллектом) и машину Тьюринга (идеализированный компьютер, некий вариант мысленного эксперимента, позволяющий решать определенные задачи в математической логике). Имеется Премия Тьюринга, которую начиная с 1966 года ежегодно присуждает Ассоциация вычислительной техники за достижения в области программирования и прикладной математики, — аналог Филдсовской медали по математике или же Нобелевской премии в других науках.[150]

Тьюринг был зачарован Гипотезой Римана. К 1937 году (когда ему было 26 лет) он составил мнение, что Гипотеза не верна, и вынашивал идею построения механического вычислительного устройства, которое позволило бы найти контрпример — нуль вне критической прямой. Он подал заявку на грант в Королевское общество с тем, чтобы покрыть расходы на создание этого устройства, и даже сам выточил несколько зубчатых колес на инженерном факультете Кингс-колледжа в Кембридже, где он тогда преподавал.

Работа Тьюринга по созданию «дзета-функциональной машины» резко прервалась в 1939 году, когда разразилась Вторая мировая война. Он перешел работать в Британскую школу кодов и шифров[151] в Блетчли-Парк и провел там все годы войны, посвятив себя раскрытию немецких военных шифров. Однако некоторые из зубчатых колес сохранились — они остались среди его вещей после смерти ученого, последовавшей (как считается, в результате самоубийства) 7 июня 1954 года.

При том, насколько печальной и необычной была смерть Тьюринга (он съел яблоко, в которое сам ввел цианистый калий), он снискал себе посмертную славу стараниями биографов. Эндрю Ходжес написал о нем замечательную книгу («Алан Тьюринг: Энигма», 1983), а Хью Уайтмор сделал по ней чрезвычайно интересную пьесу («Разгадка шифра», 1986).

У меня нет возможности вдаваться глубже в подробности жизни Тьюринга. Я отсылаю читателя к биографии, написанной Ходжесом, из которой процитирую только следующее:

31 марта 1952 года Тьюринг предстал перед судом по 12 обвинениям в «крайне непристойном поведении», поскольку в то время в Британии гомосексуальные акты по взаимному согласию были уголовно наказуемы. В конечном итоге он не попал в тюрьму: его признали виновным, однако дали условный срок с оговоркой, что он согласится на медицинское вмешательство. «В Британии 1952 года не было, — пишет Ходжес, — понятия о праве на сексуальное самовыражение».

Есть и другие истории. Эдвард Титчмарш — ученик Харди (кстати, учеником Харди был и Тьюринг) — получил свои 1041 нулей[152], используя для этого работающие с перфокартами машины, арендованные у Британского адмиралтейства, где с их помощью составляли таблицы приливов. На основании этих результатов Титчмарш написал классический математический текст по дзета-функции.[153]^{A7} Разумеется, с появлением электронных компьютеров после Второй мировой войны вся эта «механическая» вычислительная деятельность подошла к своему концу.

Есть еще истории… однако я слишком отклонился от темы.[154] Я собирался рассказать о формуле Римана-Зигеля.

Первые три строки в таблице 16.1 — это вклады Грама, Бэклунда и Хатчинсона, полученные как результат упорного труда с карандашом, бумагой и томами математических таблиц. Это был тяжелый вычислительный труд — значения дзета-функции посчитать нелегко. Основной метод, называемый «суммированием Эйлера-Маклорена», был развит около 1740 года Леонардом Эйлером и, независимо от него, шотландским математиком Колином Маклореном. Он основан на аппроксимации интегралов длинными и сложными суммами. Несмотря на свою чрезвычайную трудоемкость, этот метод оставался наилучшим из всех предложенных. Грам сам в течение примерно года пробовал работать с несколькими другими методами, но без большого успеха.

Суть открытия, которое сделал Карл Зигель, изучая Nachlass Римана в геттингенской библиотеке, такова: в ходе исследований, приведших к статье 1859 года Бернхард Риман разработал гораздо лучший метод вычисления нулей и, более того, применил его и сам нашел первые три нуля! Никаких следов этого в статье 1859 года не видно. Все осталось скрытым в Nachlass.

Вот что пишет Хэролд Эдвардс: «Риман в действительности обладал средствами, позволявшими вычислять ζ(¹/₂ + ti) с впечатляющей точностью».[155] Однако Риман удовлетворился достаточно грубыми вычислениями, поскольку точное знание о положении нулей не играло существенной роли в его работе. Он получил мнимую часть первого нуля (см. выше) равной 14,1386 и проверил, что это действительно первый нуль; второй и третий он вычислил с точностью до одной или двух сотых.

Открытие формулы Римана, которая после обработки и опубликования ее Зигелем стала формулой Римана-Зигеля, сильно упростило работу по получению нулей. На этой формуле держались все значимые исследования до середины 1980-х годов. Например, классическая статья Эндрю Одлыжко 1987 года «О распределении интервалов между нулями дзета-функции», о которой еще много будет сказано в главе 18.v, опиралась на формулу Римана-Зигеля. На основе этой работы Одлыжко и Арнольд Шонхаге позднее развили и реализовали некоторый улучшенный алгоритм, но все тем не менее основано на формуле Римана-3игеля.[156]

Карл Зигель, кстати, не был евреем, и его напрямую не задевали ограничительные законы в начальный период нацизма. Однако он не терпел нацистов и уехал из Германии в 1940 году, начав работать в Институте высших исследований в Принстоне. Он вернулся в Германию в 1951 году и завершил карьеру в качестве профессора в том самом Геттингене, где за двадцать лет до того архивы позволили ему увидеть, как яркую вспышку, невероятную мощь ума, скрывавшегося за тихой застенчивостью Бернхарда Римана.

Глава 17. Немного алгебры

Этой книге следовало бы содержать куда больше алгебры, чем в конце концов в ней оказалось. Мы уделяли основное внимание Бернхарду Риману и его работе о простых числах и дзета-функции. Эта работа относится к теории чисел и анализу, и поэтому в нашем рассказе преобладали именно эти темы. Однако современная математика, как уже отмечалось, стала довольно алгебраической. В данной главе читателю предлагаются алгебраические сведения, которые могут потребоваться для понимания двух важных подходов к Гипотезе Римана.

Как и главы 7 и 15, эта глава состоит из двух частей. В разделах II и III обсуждаются основы теории полей, а оставшаяся часть главы посвящена теории операторов. Теория полей важна потому, что она уже позволила доказать нечто, сильно напоминающее Гипотезу Римана. Многие исследователи полагают, что теория полей предлагает наиболее многообещающее направление исследования исходной, классической Гипотезы Римана. Теория операторов приобрела важность после знаменательных и даже романтических событий, о которых будет рассказано в следующей главе.[157] Но сначала о теории полей.

B математике слово «поле» имеет весьма конкретный смысл. Множество элементов образует поле, если эти элементы можно складывать, вычитать, перемножать и делить в согласии с обычными правилами арифметики — например, с правилом a×(b + c) = ab + ac. Результаты всех этих действий должны оставаться в поле.

Например, N не является полем. Если попробовать из 7 вычесть 12, то получится результат, не лежащий в N. Аналогично обстоит дело и с Z — если поделить 12 на 7, то ответ не будет лежать в Z. Это не поля.

Но Q, R и C — поля. Если складывать, вычитать, перемножать или делить друг на друга два рациональных числа, то получится другое рациональное число. То же самое с вещественными и комплексными числами. Они дают нам три примера поля. Ясно, что каждое из этих полей содержит бесконечное число элементов.

Несложно построить и другие бесконечные поля. Рассмотрим семейство всех чисел вида а + b√2, где a и b — рациональные числа. Здесь b или равно нулю, или нет. Если b не равно нулю, то, поскольку число √2 не является рациональным, число а + b√2 также не рациональное. Следовательно, это семейство содержит все рациональные числа (при нулевом b) и тучу весьма специальных иррациональных. Такие числа образуют поле. Сложение числа а + b√2 с числом c + d√2 дает (a + c) + (b + d)√2, их вычитание дает (a − c) + (b − d)√2, результат умножения есть (ac + 2bd) + (ad + bc)√2, а деление с использованием приема, подобного тому, который применяется при делении комплексных чисел, приводит к (ac − 2bd)/(c² − 2d²) + ((bc − ad)/(c² − 2d²))√2. Поскольку a и b могут быть вообще любыми рациональными числами, в этом поле бесконечно много элементов.

Поля не обязательно бесконечны. Простейшее из всех полей содержит всего два элемента, 0 и 1. Таблица сложения имеет вид 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Таблица вычитания такова: 0 − 0 = 0, 0 − 1 = 1, 1 − 0 = 1, 1 − 1 = 0. (Можно заметить, что получающиеся результаты таковы же, как для сложения. В данном поле любой знак минус можно спокойно заменить знаком плюс!) Таблица умножения: 0×0 = 0, 0×1 = 0, 1×0 = 0, 1×1 = 1. Таблица деления: 0:1 = 0, 1:1 = 1, а деление на нуль запрещено. (Делить на нуль нельзя никогда.) Это абсолютно нормальное, а вовсе не тривиальное поле, и мы очень скоро не преминем им как следует воспользоваться. Математики называют его полем F₂.

На самом деле конечное поле можно построить для любого простого числа р и даже для любой степени любого простого числа. Если p — простое число, то имеется конечное поле из p элементов, поле из p² элементов, поле из p³ элементов и т.д. Более того, мы только что перечислили все возможные конечные поля. Их можно организовать в список: F₂, F₄, F₈, …, F₃, F₉, F₂₇, …, F₅, F₂₅, F₁₂₅, …; выписав их все, мы тем самым перечислим все возможности построения конечных полей.

Ошибкой было бы считать (как это порой делают начинающие), что конечные поля представляют собой просто переформулировку арифметики циферблата, описанной в главе 6.viii. Это верно только для полей, содержащих простое число элементов. А вот арифметика других конечных полей устроена более тонко. На рисунке 17.1, например, представлена арифметика циферблата — сложение и умножение — для циферблата с четырьмя отметками (т.е. 0, 1, 2 и 3). Эта система чисел и правил интересна и полезна, но она не является полем, поскольку нельзя разделить 1 ни на 3, ни на 2. (Если бы можно было разделить 1 на 2, то уравнение 1 = 2×x имело бы решение. А у него решения нет.) Математики называют это кольцом, что не лишено основания, коль скоро речь идет о циферблате. В кольце можно складывать, вычитать и умножать, но не всегда можно делить.

Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK₄.[158]^{4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N. В моих обозначениях оно будет называться CLOCK_N.

Но поле F_N можно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа p самого по себе поле F_p выглядит в точности как CLOCK_p — та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F₄. Видно, что F₄ отличается от CLOCK₄.

Всякое поле, конечное или бесконечное, имеет важный параметр — число, называемое характеристикой. Характеристика поля говорит о том, сколько раз надо прибавить единицу к самой себе, чтобы получить нуль. Если 1 + 1 + 1 + … = 0 (где берется N слагаемых), то характеристика равна N. Понятно, что характеристика поля F₂ равна 2. Чуть менее очевидно, хотя и без труда проверяется с помощью таблицы сложения на рисунке 17.2, то, что характеристика поля F₄ тоже равна 2. Такие поля, как Q, R, С, в которых никакое прибавление единицы к самой себе какое угодно количество раз никогда не даст в результате нуль, по определению имеют характеристику «нуль». (Вы могли бы подумать, что более логичной будет характеристика «бесконечность», и вы, возможно, правы, но имеются веские причины и для того, чтобы объявить характеристику нулевой.) Можно проверить, что характеристика любого поля есть или нуль, или некоторое простое число.

Поскольку мы имеем дело с алгеброй, элементы полей не обязаны быть числами. Алгебра позволяет работать с математическими объектами любого типа. Рассмотрим все многочлены (полиномиальные функции) любой заданной степени, т.е. все выражения вида axⁿ + bxⁿ⁻¹ + cxⁿ⁻² + …, где a, b, c и т.д. — целые числа. Теперь образуем множество всех рациональных функций, другими словами, функций, являющихся отношением (ratio) двух многочленов. Получим поле. Приведем пример сложения в этом поле:

(Примерно этим и занимаются на уроках алгебры в старших классах.)

Коэффициенты многочленов не обязаны быть целыми. На самом деле можно позабавиться, сделав их элементами из конечного поля, такого как рассмотренное выше поле F₂. В качестве примера сложения, которое при этом получается, имеем

(При проверке этого равенства надо помнить, что в поле F₂ выполнено 1 + 1 = 0, а потому x + x = 0, x² − x² = 0 и т.д.) Это поле будет называться полем рациональных функций над F₂. В нем, разумеется, бесконечно много элементов; лишь коэффициенты ограничены своей принадлежностью к конечному полю. Таким образом, можно использовать конечное поле для построения бесконечного. Заметим еще, что, поскольку 1 + 1 = 0, это поле имеет характеристику 2. Следовательно, и бесконечные поля могут иметь конечную характеристику.

Не имеет особого смысла спрашивать, что собой представляет x в последних двух примерах. Это символ, для манипуляций с которым у нас имеются строго определенные правила. С алгебраической точки зрения главное в этом и состоит. На самом деле почти наверняка ответ на данный вопрос звучит как «x представляет собой число». Однако алгебраисты куда больше интересуются тем, какого типа это число — каким семействам, каким группам, каким полям оно принадлежит и какие правила манипуляций с ним выполнены. Для аналитика же наше число а + b√2 не слишком интересно. «Это просто вещественное число», — скажет аналитик. — «Ладно, алгебраическое число» (см. главу 11.ii), — если на него надавить. Но для алгебраиста, однако, оно представляет особый интерес постольку, поскольку относится к некоторому полю. Вообще алгебраисты и аналитики рассматривают не столько разные вещи, сколько аспекты одной и той же вещи.[159]^{A8}

Краткий взгляд на размах, мощь и красоту теории алгебраических полей — это все, на что нам здесь хватает места, хотя мы и вернемся ненадолго к полям, рассмотрев их под другим углом зрения в главе 20.v. Я привел здесь этот краткий обзор алгебраических сведений, потому что в 1921 году Артин в своей диссертации, которую он защищал в Лейпцигском университете, применил теорию полей для развития нового подхода к Гипотезе Римана. Соответствующий математический аппарат достаточно серьезен, и я расскажу о нем лишь очень бегло.

Как уже упоминалось в предыдущем разделе, для всякой степени p^N простого числа имеется конечное поле. Мы также видели, как конечное поле можно использовать в качестве основы для построения других полей, в том числе бесконечных. Оказывается, что если начать с конечного поля, то имеется способ таким образом построить эти поля-«расширения», что с ними будет связана некоторая дзета-функция. Под «некоторой дзета-функцией» здесь понимается функция комплексного аргумента, определенная над полем комплексных чисел и по целому ряду своих свойств необъяснимым образом напоминающая дзета-функцию Римана. Например, эти аналоги римановой дзета-функции снабжены своим собственным Золотым Ключом — своей собственной эйлеровой формулой произведения, а также своей собственной Гипотезой Римана.[160]

В 1933 году работавшему в Магдебургском университете в Германии Хельмуту Хассе удалось для определенной категории полей доказать результат, аналогичный Гипотезе Римана. В 1942 году Андре Вейль[161] распространил это доказательство на гораздо более широкий класс объектов, а затем предположил — в знаменитых трех «гипотезах Вейля», — что подобные результаты должны иметь место для еще более широкого класса. В 1973 году бельгийский математик Пьер Делинь получил сенсационное достижение, принесшее ему Филдсовскую премию, — он доказал гипотезы Вейля, тем самым, по существу, завершив программу исследований, начало которой положил Артин.

Неизвестно, в какой степени методы, развитые для доказательства аналогов Гипотезы Римана, относящихся к столь замысловатым полям, пригодны для доказательства классической Гипотезы Римана. Но очень многие считают, что вполне пригодны, и данная область остается очень активным направлением в исследовании Гипотезы Римана.

Ведут ли эти исследования куда-нибудь? Это не ясно — по крайней мере, мне не ясно. По поводу существа дела обратимся снова ко второму абзацу в этом разделе, где говорилось, что с полями определенного вида связаны аналоги дзета-функции. Для классической дзета-функции — той, о которой говорится в исходной Гипотезе Римана и которой главным образом и посвящена данная книга, — полем такого вида будет Q, поле обычных рациональных чисел. По мере развития исследований в последние десятилетия выяснилось, что элементарное поле рациональных чисел Q в некотором смысле глубже и более своенравно, нежели «искусственно выведенные» поля, к которым применимы результаты Артина, Вейля и Делиня. Но с другой стороны, методы, развитые для обращения с этими «искусственными» полями, оказались достаточно мощными — Эндрю Уайлс использовал их для доказательства Последней теоремы Ферма!

Для понимания физической линии в исследовании Гипотезы Римана, генезис которой будет описан в разделе VI и которая открыла исследователям новые обширные территории, следует обратиться к другой алгебраической теме — теории операторов. Поэтому данный раздел, как и следующий, посвящен рассказу об операторах, рассматриваемых с точки зрения связанной с ними теории матриц.

В современной математике и физике матрицы вездесущи, и способность управляться с ними относится к числу основных математических навыков. Из-за ограничений в объеме мне придется спрямить историю, приведя лишь самое необходимое. В частности, я вообще обойду стороной вопрос о вырожденных матрицах, как если бы таких в природе не было. Это, должно быть, самое возмутительное упрощение во всей книге, и я приношу свои извинения математически подкованным читателям.

Матрица — это квадратная таблица из чисел, например . Целые числа выбраны здесь исключительно для простоты. Числа, входящие в матрицу, могут быть рациональными, вещественными или даже комплексными. Данная конкретная матрица — это матрица 2×2. Матрицы могут быть любого размера, скажем, 3×3, 4×4, 120×120 и т.д. Они могут иметь даже бесконечный размер, хотя для бесконечных матриц правила и подвергаются некоторой модификации. Важная часть во всякой матрице — это ее главная диагональ, т.е. диагональ, ведущая из левого верхнего угла в правый нижний. В нашем примере на главной диагонали стоят элементы 5 и 6.

Если даны две матрицы одного и того же размера, то их можно складывать, вычитать, умножать и делить. Правила, по которым выполняются эти действия, не сразу очевидны. Например, если A и B — две матрицы одного и того же размера, то, вообще говоря, не верно, что А×В = В×А. Правила обращения с матрицами несложно найти в любом обычном учебнике по алгебре, и нам нет нужды вдаваться в них. Достаточно сказать, что такие правила существуют и что имеется арифметика матриц, в целом напоминающая арифметику обычных чисел, только похитрее.

Нам же важно знать про матрицы следующее. Из всякой матрицы (N×N) можно извлечь многочлен N-й степени — полиномиальную функцию, составленную из различных степеней буквы x, вплоть до N-й степени. Боюсь, я не могу объяснить, как же найти этот многочлен для данной матрицы. Придется поверить мне, что он действительно существует и что имеется способ его построить. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы.

Характеристический многочлен для приведенной выше матрицы 2×2 равен x² − 11x + 28.[162] При каких значениях x этот многочлен равен нулю? Это все равно что спросить, каковы решения квадратного уравнения x² − 11x + 28. По хорошо известной формуле (или, как оптимистически говаривал мой школьный учитель, «путем усмотрения») находим, что решения — это 4 и 7. Ну и правда, если подставить 4 вместо x, то значением многочлена будет 16 − 44 + 28, что в самом деле равно нулю. То же самое и с подстановкой числа 7: 49 − 77 + 28 тоже равно нулю.

Эти факты служат иллюстрацией ситуации, которая верна в общем случае. Всякая (N×N)-матрица имеет характеристический многочлен степени N, и этот многочлен имеет N нулей.[163] Нули характеристического многочлена матрицы невероятно важны. Они называются собственными значениями матрицы. Заметим еще одно. Если сложить числа на главной диагонали нашей (2×2)-матрицы, то получится 11 (поскольку 5 + 6 = 11). Такова же и сумма собственных значений (7 + 4 = 11); и это число противоположно первому из чисел, которые встречаются в характеристическом многочлене (−11 и 11 противоположны). Это очень важное число, называемое следом матрицы.

Характеристический многочлен, собственные значения, след — для чего все это? Видите ли, важность матриц не в них самих, а в том, что они представляют. Матричная арифметика, коль скоро вы ею овладели, — это просто набор технических навыков, как и в обычной арифметике. Но подобно тому, как обычные числа можно использовать для выражения гораздо более глубоких, более фундаментальных вещей, так же используются и матрицы. Прогулка от моего дома до Хантингтон-Вилидж занимает у меня 12 минут; расстояние составляет приблизительно 0,8 мили. Если начиная с завтрашнего утра Соединенные Штаты перейдут на метрическую систему, мне придется говорить «приблизительно 1,3 километра», а не «приблизительно 0,8 мили». Расстояние, однако, от этого не изменится; только числа, используемые для его выражения, пришлось бы изменить. Я по-прежнему проходил бы это расстояние за 12 минут (если только не состоится еще и переход к метрическим единицам времени).

Вот еще один пример: календарь, висящий у меня на стене, представляет собой численное выражение движений Солнца и Луны. Главным образом Солнца, поскольку у нас в Америке принят солнечный календарь, месяцы в котором рассинхронизированы с движением Луны. Однако этот календарь нам дали в соседнем китайском ресторане. Если присмотреться, то можно заметить, что там указаны месяцы и дни традиционного китайского лунного календаря, причем каждый месяц начинается в новолуние. Все числа отличаются от «солнечных» чисел, но они выражают те же небесные явления, то же течение времени, те же фактические моменты времени.

Точно так же обстоит дело и с матрицами. Великое значение матриц в том, что их можно использовать для представления и численного выражения некоторых более глубоких и более фундаментальных вещей. Что же это за вещи? Это операторы. Понятие оператора — одно из самых важных как в математике, так и в физике XX столетия. Я не собираюсь вдаваться в подробности насчет того, что же такое операторы, по крайней мере, до главы 20 точно не собираюсь. Важный момент, который надо осознать, — что это именно они притаились за всей этой суетой с матрицами и что именно их свойства мы и можем численно изучать, используя матрицы.

Теперь понятно, почему характеристический многочлен, собственные значения и след — понятия фундаментальные. Они суть свойства скрывающегося за матрицей оператора, а не матрицы самой по себе. На самом деле данный оператор можно представить многими матрицами, но это обязаны быть матрицы с одними и теми же собственными значениями. Приведенная выше (2×2)-матрица представляет некоторый оператор. Один и тот же оператор представляется и матрицей и матрицей .

У всех этих матриц — и, конечно, еще у бесконечного числа матриц — один и тот же характеристический многочлен x² − 11x + 28, одни и те же собственные значения 4 и 7 и один и тот же след 11. Это происходит просто потому, что такими свойствами обладает оператор.

Все это применимо к матрицам любого размера. Возьмем (4×4)-матрицу:

Ее характеристический многочлен равен x⁴ − 11x³ + 40x² − 97x + 83. (Можно заметить, что след этой матрицы, как и след приведенной выше, равен 11. Это чистое совпадение, и эти матрицы больше никак не связаны.) Этот многочлен имеет полный набор из четырех нулей. С точностью до пяти знаков после запятой они равны 1,38087, 7,03608, 1,29152 − 2,62195i и 1,29152 + 2,62195i. Это, конечно, собственные значения матрицы. Два из них, как мы видим, являются комплексными числами (причем комплексно сопряженными друг другу, что всегда верно для многочлена с вещественными коэффициентами). Это вполне нормально, даже когда, как в данном случае, все числа в исходной матрице вещественные. Сумма четырех собственных значений равна 11 — мнимые компоненты сокращаются при сложении.

После нескольких десятилетий исследований матриц математики расклассифицировали их на несколько различных типов. Они развили, так сказать, таксономию матриц, в которой полное семейство (N×N)-матриц — называемое математиками общей линейной группой порядка N и обозначаемое как GL_N — было разбито на виды и рода.

Выберем всего один из видов в этом большом зверинце — эрмитовы матрицы, названные по имени великого французского математика Шарля Эрмита, с которым мы мельком встречались в главе 10.v. Числа, входящие в эрмитову матрицу, являются комплексными и организованы таким образом, что если число, стоящее в m-й строке и n-м столбце, есть a + bi, то число, стоящее в n-й строке и m-м столбце, есть a − bi. Другими словами, каждый элемент матрицы равен комплексному сопряжению (см. главу 11.v) своего отражения относительно главной диагонали. Попытаюсь прояснить это на примере эрмитовой (4×4)-матрицы:

Как видно, элемент в третьей строке и первом столбце равен комплексному сопряжению элемента в первой строке и третьем столбце. Это эрмитова матрица. Заметим, что из определения следует, что все числа на главной диагонали должны быть вещественными, поскольку определение требует, чтобы каждое число на диагонали было комплексно сопряжено самому себе, а этим свойством обладают только вещественные числа: a + bi = a − bi, если и только если b = 0.

Насчет эрмитовых матриц имеется знаменитая теорема, гласящая, что все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны. Если немного подумать, то это выглядит несколько неожиданным. Даже когда все элементы какой-либо матрицы вещественны, ее собственные значения могут оказаться комплексными, как мы видели на примере первой из наших (4×4)-матриц. Если же некоторая матрица с комплексными элементами имеет вещественные собственные значения, то это поистине замечательно. Именно так и происходит, если матрица эрмитова. Собственные значения приведенной выше эрмитовой матрицы (приближенно) равны 4,8573, 12,9535, −16,553, −3,2578. Все они вещественны (и в сумме дают −2, т.е. след матрицы).

Из этой теоремы между прочим следует, что все коэффициенты характеристического многочлена эрмитовой матрицы вещественны. Это получается потому, что собственные значения любой матрицы по определению являются нулями характеристического многочлена. Если нули многочлена — это a, b, с, …, то его можно разложить на множители как (x − а)(x − b)(x − c)…. Если здесь просто раскрыть скобки, то получится многочлен в обычном виде. Но раз все числа a, b, с, … вещественные, то раскрытие скобок приводит к выражению, в котором все коэффициенты — вещественные числа. Используя приведенные выше собственные значения нашей эрмитовой (4×4)-матрицы, получаем, что характеристический многочлен равен (x − 4,8573)(x − 12,9535)(x + 16,553)(x + 3,2578). Раскрытие скобок дает характеристический многочлен в виде x⁴ + 2x³ − 236x² + 286x + 3393.

Все это было известно 100 лет назад… Другими словами, в то время, когда Давид Гильберт только приступал к изучению интегральных уравнений, причем исследование операторов играло там ключевую роль. В начале XX века другие математики — одни независимо, другие — вдохновившись работой Гильберта, — также были поглощены исследованием операторов. Операторы просто носились в воздухе. Гипотеза Римана в тот момент тоже висела в воздухе, но не до такой степени, хотя после доклада Гильберта в 1900 году и публикации книги Ландау в 1909-м всерьез задумываться о ней начали многие лучшие умы.

Поэтому не должно показаться слишком неожиданным, что два наиболее блестящих и широко мыслящих интеллекта своего времени смогли соединить эти две вещи. Один из этих интеллектов принадлежал Гильберту, а другой — Джорджу Пойа. И тот и другой, судя по всему, пришли к одному и тому же пониманию независимо друг от друга. Их мыслительные процессы, наверное, развивались примерно таким образом:

Математики 1910-х годов на самом деле сказали бы «оператор», а не «матрица». Хотя матрицы и были разбросаны повсюду после их изобретения Артуром Кэли в 1856 году, они все же не стали всеобщим достоянием, пока около 1925 года на сцене не появилась квантовая механика. И все же здесь можно увидеть грубую аналогию. И набор собственных значений эрмитовой матрицы, и набор нетривиальных нулей дзета-функции представляют собой наборы чисел, возникающих из ключевого свойства существенно комплексных объектов и неожиданным образом оказывающихся вещественными. Отсюда возникает следующая

Происхождение этой гипотезы несколько туманно. И Гильберт, и Пойа должны были бы упоминать возможность некоторой подобной эквивалентности в лекциях или в разговорах в те годы (1910–1920). Но насколько мне удалось установить, ни один из них не воплотил эту мысль в опубликованной статье. Насколько я знаю — и, как сообщает Питер Сарнак, насколько он знает, — единственным письменным свидетельством того факта, что гипотеза Гильберта-Пойа вообще была высказана, остается письмо, которое 20 лет тому назад Пойа написал Эндрю Одлыжко и фрагмент которого приведен на рисунке 17.3. В нем Пойа сообщает, что Эдмунд Ландау задал ему следующий вопрос: «Можете ли вы придумать какую-нибудь физическую причину, в силу которой Гипотеза Римана была бы справедлива?» О том, какие именно предположения делал сам Гильберт, нет вообще никаких известных мне материальных свидетельств.

Не следует, однако, забывать, что в математике начала XX века Гильберт был фигурой незаурядного масштаба, а также о том, что он жил и работал в немецкой академической среде, где на университетских профессоров их студенты и подчиненные взирали как на недоступных и всеведущих божеств, приближаться к которым следовало не иначе как с величайшим почтением. Не только к профессору нельзя было и помыслить себе обратиться как-нибудь иначе, нежели «господин профессор», но и жена его становилась «госпожа профессор». Однако для величайших из этих олимпийцев даже такого обращения оказывалось недостаточно. Наиболее выдающимся личностям немецкое правительство присваивало титул Geheimrat, «тайный советник», — примерный эквивалент посвящения в рыцари в Британии. Так что правильное обращение должно было звучать как «господин тайный советник», хотя сам Гильберт и не утруждал себя подобными формальностями.

В силу всего этого неудивительно, что если по удачному стечению обстоятельств вам случалось оказаться в достаточной близости от одного из этих небожителей, чтобы слышать его речь, то вам не скоро удавалось забыть его слова. Конечно, подобные гиганты вызывали к жизни определенное количество не подлежащих проверке апокрифов. И тем не менее, подсчитав все за и против, я склонен думать, что Гильберт в самом деле в какой-то момент высказал гипотезу Гильберта-Пойа или нечто ей эквивалентное. (Между прочим, если бы мы для краткости говорили просто «гипотеза Пойа», это привело бы к недоразумениям, поскольку имеется совершенно другая гипотеза, известная под таким названием.)

Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой

В предыдущей главе мы рассмотрели математические предпосылки и некоторые исторические обстоятельства, которые привели к гипотезе Гильберта-Пойа. Эта гипотеза значительно опередила свое время и с полвека пролежала на полке невостребованной.

Эти полвека, однако, оказались очень насыщенными событиями в области физики — вообще самыми насыщенными за всю ее историю. В 1917 году, как раз примерно в то время, когда была выдвинута эта гипотеза, Эрнест Резерфорд открыл делимость атома; 15 лет спустя Кокрофт и Уолтон провели первый в мире эксперимент по искусственному делению атома. Это, в свою очередь, явилось шагом к работам Энрико Ферми и к первой управляемой цепной ядерной реакции, осуществленной в 1942 году, а затем к первому ядерному взрыву 16 июля 1945 года.

«Деление атома», как сообщают своим ученикам все без исключения преподаватели физики в старших классах, — название неправильное. Мы делим атомы всякий раз, как зажигаем спичку. То, о чем идет сейчас речь на самом деле, — это деление атомного ядра, т.е. сердца атома. Чтобы запустить ядерную реакцию — управляемую или уж как получится, — надо выстрелить субатомной частицей в атомные ядра какого-нибудь очень тяжелого элемента. Если сделать это некоторым определенным способом, то ядро расщепится, в свою очередь выстреливая при этом новые субатомные частицы. Эти частицы проникнут в ядра соседних атомов… и т.д., что и приведет к цепной реакции.

А ядра тяжелых элементов — весьма специфические создания. Их можно представлять себе как постоянно бурлящий и колышущийся сгусток из протонов и нейтронов, слипшихся вместе таким образом, что нелегко сказать, где кончается одна частица и где начинается другая. У по-настоящему тяжелых элементов, таких как уран, весь этот сгусток пульсирует на грани неустойчивости. Он может и в самом деле оказаться неустойчивым — это определяется точным соотношением между числом протонов и числом нейтронов — и в этом случае вполне способен разлететься на части по своему собственному усмотрению.

За несколько десятилетий развития ядерной физики в середине XX века возникла потребность хорошо понимать поведение этих странных созданий и, в частности, понимать, что произойдет, если попасть в них другой частицей. Дело в том, что ядро — этот колышущийся сгусток — может существовать в некотором числе состояний, одни из которых обладают большей энергией (здесь надо представлять себе по-настоящему энергичные пульсации), а другие — меньшей (вялые, ленивые пульсации). Если выстрелить частицей в ядро таким образом, чтобы ядро ее поглотило, но само не распалось на куски, то (поскольку энергия частицы не может никуда исчезнуть и поглощается ядром) ядро перейдет из состояния с меньшей энергией в состояние с более высокой энергией. Через некоторое время, утомившись своим пребыванием в возбужденном состоянии, ядро может испустить такую же частицу или, возможно, частицу совсем другого типа и снова оказаться в состоянии с меньшей энергией.

Как много существует энергетических уровней? Когда ядро переходит с уровня a на уровень b? Насколько энергетические уровни отстоят друг от друга и почему именно настолько? Подобная постановка вопроса по сути вводит задачу об исследовании атомного ядра в контекст более широкого круга задач — задач о динамических системах, т.е. о наборах частиц, каждая из которых во всякий момент времени занимает определенное положение в пространстве и имеет определенную скорость. По мере развития исследований в 1950-х годах стало ясно, что некоторые из наиболее интересных динамических систем, включая тяжелые ядра, слишком сложны и не поддаются точному математическому анализу в квантовой области. Число энергетических уровней оказалось слишком большим, а возможные конфигурации слишком многочисленны. Такая картина представляет собой самый устрашающий вариант «задачи многих тел» из классической (т.е. доквантовой) механики, где несколько объектов (например, планеты Солнечной системы) действуют друг на друга посредством гравитации.

Когда приходится иметь дело с таким уровнем сложности, точная математика сталкивается с целым рядом проблем, и поэтому исследования в этой области стали опираться на статистику. Если мы не можем определить, что произойдет точно, то, возможно, нам удастся выяснить, что скорее всего произойдет в среднем. Подобные статистические подходы широко развивались в классической механике начиная примерно с 1850 года, т.е. задолго до появления квантовой теории. В квантовом мире все устроено слегка по-другому, но там, по крайней мере, можно использовать значительный объем результатов, накопленных в классической теории. В конце 1950-х и начале 1960-х годов был создан основной аппарат и были разработаны статистические средства для анализа сложных квантовых динамических систем, подобных ядрам тяжелых элементов. Главными действующими лицами здесь были ядерные физики Юджин Вигнер и Фримен Дайсон. Главным же понятием оказались случайные матрицы.

Случайная матрица — это именно то, что следует из ее названия: матрица, составленная из чисел, выбранных случайным образом. На самом деле не совсем случайным. Позвольте привести пример. Вот случайная (4×4)-матрица достаточно специального типа, важность которого я объясню чуть позже. Для экономии места будем все округлять до четырех знаков после запятой:

Первое, что можно заметить по поводу этой хитроумной штуковины, — данная матрица является эрмитовой: она обладает той самой как бы симметрией относительно главной диагонали, которая упоминалась в главе 17.v. Вспомним еще несколько фактов из той главы.

• С каждой (N×N)-матрицей связан многочлен степени N, называемый характеристическим многочленом.

• Нули характеристического многочлена называются собственными значениями матрицы.

• Сумма собственных значений называется следом матрицы (и равна сумме элементов, занимающих главную диагональ).

• В частном случае эрмитовых матриц все собственные значения вещественны и, следовательно, вещественны и коэффициенты характеристического многочлена, а также след.

Для матрицы из приведенного примера характеристический многочлен имеет вид

а собственные значения равны −3,8729, 0,0826, 1,5675 и 4,0864. След равен 1,8636.

Посмотрим теперь повнимательнее на те числа, из которых состоит приведенная выше матрица. Числа, которые мы видим, — вещественные числа на главной диагонали и также вещественные и мнимые части комплексных чисел, занимающих места недиагональных элементов, — случайны в некотором специальном смысле (диагональные случайны с небольшим уточнением, которое будет объяснено ниже). Они выбраны случайным образом из нормального гауссова распределения — знаменитой «колоколообразной кривой», которая повсеместно возникает в статистике.

Представим себе стандартную колоколообразную кривую, нарисованную на разлинованном листе бумаги с очень мелкими делениями, так что под кривой расположены сотни квадратиков, образованных разметкой листа (рис. 18.1). Случайным образом выберем один из этих квадратиков; расстояние по горизонтали от него до вертикальной линии, проходящей через середину пика, представляет собой случайное число с нормальным гауссовым распределением. Вблизи самого пика скопилось намного больше этих квадратиков, чем под хвостами кривой, так что с гораздо более высокой вероятностью мы выберем число между +1 и −1, нежели число справа от +2 или слева от −2. Это же видно и из приведенной выше матрицы. (Впрочем, по некоторым техническим причинам элементы на ее главной диагонали в действительности представляют собой случайные гауссовские числа, умноженные на √2, а потому их значения — несколько большие, чем того следовало ожидать.)

Оказалось, что случайные гауссовы эрмитовы матрицы — только гораздо, гораздо большего размера — позволяют моделировать поведение определенных квантовых динамических систем. В частности, их собственные значения, как выяснилось, прекрасно соответствуют энергетическим уровням, которые наблюдаются в экспериментах. По этой причине в 1960-х годах эти собственные значения — собственные значения случайных эрмитовых матриц — стали объектом пристального изучения. В частности, очень интересными оказались интервалы между собственными значениями. Эти интервалы не распределены случайным образом. Например, два уровня оказываются близко друг к другу с гораздо меньшей вероятностью, чем можно было бы ожидать, исходя из случайного распределения. Это явление получило название «отталкивания» — энергетические уровни стараются разойтись по возможности дальше друг от друга, как длинная очередь из малосимпатичных друг другу людей.

Чтобы сделать некое наглядное пособие по этой теме, я попросил математическую программу Mathematica 4, которой я пользуюсь, создать случайную эрмитову матрицу размером 269×269 и вычислить ее собственные значения (рис. 18.2). Причина, по которой выбрано число 269, станет ясной очень скоро. Mathematica, которая не перестает меня удивлять, справилась с задачей в мгновение ока. Все 269 собственных значений попали в интервал от −46,207887 до 46,3253478. Моя идея заключалась в том, чтобы нанизать их, как бусинки, на прямую, тянущуюся от −50 до +50, чтобы они висели там, как дождевые капли на проволочной ограде, а мы, глядя на них, смогли увидеть, имеется ли какой-нибудь порядок в распределении интервалов между ними. Однако это оказалось неосуществимым в пределах книжной страницы, поэтому пришлось порезать прямую на десять отрезков (от −50 до −40, от −40 до −30 и т.д.) и поместить эти отрезки один над другим. В результате получился рисунок 18.2.

Никакого явного закона в распределении интервалов не просматривается. Хочется сказать, что они случайны. Но нет! На рисунке 18.3 показаны 269 чисел, выбранных совершенно случайно в интервале от 0 до 10 и изображенных тем же образом. Сравнение рисунков 18.2 и 18.3 позволяет увидеть, что собственные значения случайной матрицы раскиданы по прямой не случайным образом. На рисунке 18.2 заметен эффект отталкивания, тогда как для случайного разброса на рисунке 18.3 мы видим, что имеется большее по сравнению с распределением собственных значений число пар, расположенных достаточно близко друг к другу (а потому, неизбежно, и большее количество тех, что сидят дальше друг от друга). Хотя собственные значения на рисунке 18.2 и отказываются следовать какому-нибудь заметному глазу порядку (в конце концов, они же возникли из случайной матрицы!), они все же изо всех сил стараются сохранять дистанцию между собой. Напротив, чисто случайная точка, судя по всему, совсем не возражает, если ее прижмут к другой случайной точке.

Позвольте ввести три профессиональных термина, имеющие прямое отношение к обсуждаемому вопросу. Множество случайных (т.е. гауссовых случайных) эрмитовых матриц[164]^{A9} описанного типа называется во всей своей совокупности «гауссовым унитарным ансамблем» (ГУА). Точные статистические свойства интервалов в длинных неоднородных строках из чисел типа тех, что фигурируют в приведенных примерах, выражаются так называемой парной корреляционной функцией. А некоторое отношение, связанное с этой функцией и достаточно точно эту функцию характеризующее, называется формфактором.

Теперь я готов рассказать о знаменательной встрече, которая привела к постановке весьма странных и загадочных вопросов о Гипотезе Римана и впоследствии послужила «виновницей» тысяч исследовательских проектов.

Эта встреча произошла в 1972 году, когда в Институте высших исследований в Принстоне случайно столкнулись специалист по теории чисел и физик. Специалистом по теории чисел был Хью Монтгомери — молодой американец, который тогда состоял в аспирантуре в кембриджском Тринити-колледже — колледже Г.X. Харди. Физиком же был Фримен Дайсон, который в то время являлся профессором в принстонском Институте высших исследований. Дайсон, которого мы уже упоминали, был известным физиком. В тот момент он еще не освоил параллельную профессию автора наводящих на размышления бестселлеров о происхождении и будущем человеческого рода.

Как раз незадолго до этого Хью Монтгомери исследовал интервалы между нетривиальными нулями дзета-функции. Это исследование не было частью программы по возможному доказательству Гипотезы Римана. Просто так случилось, что определенный результат о природе этих интервалов имел приложения в области теории чисел, для полей, несколько напоминающих поле а + b√2, с которым мы познакомились в главе 17.ii.[165] Этим и занимался Монтгомери. Вот как звучит эта история в его собственном изложении:

Нетрудно понять, почему Фримен Дайсон так оживился. Выражение, упомянутое Хью Монтгомери, — выражение, которое возникло из исследований нетривиальных нулей дзета-функции Римана, — оказалось в точности формфактором, связанным с эрмитовыми матрицами, т.е. с объектом, которым Дайсон занимался в течение нескольких лет до этого в ходе исследования квантовых динамических систем. (И Монтгомери даже преуменьшил степень чудесного везения, благодаря которому произошла их встреча. Хотя Дайсон приобрел известность как физик, свою первую ученую степень он получил по математике, причем первой областью его интересов была теория чисел. Если бы не эта его предыстория, то он не смог бы оценить сообщение Монтгомери.[169])

Чтобы проиллюстрировать сказанное, возьмем все нетривиальные нули дзета-функции Римана до высоты 500i — т.е. на критической прямой от ¹/₂ до ¹/₂ + 500i (на этих небольших высотах мы точно знаем, что Гипотеза Римана верна). В этом интервале имеется 269 нулей (именно поэтому на рисунках 18.2 и 18.3 выбрано число 269). Они показаны на рисунке 18.4: интервал, на котором они живут, разбит на 10 отрезков, которые расположены друг над другом аналогично тому, как мы это делали раньше. Сравнивая рисунок 18.4 с рисунками 18.2 и 18.3, можно заметить, что он похож на рисунок 18.2, но не на рисунок 18.3.

При сравнении этих рисунков надо кое-что принять во внимание. Нулям дзета-функции на рисунке 18.4 требуется некоторое время для «разгона», и в соответствии с принципом, описанным в главе 13.viii, они группируются плотнее в более высоких областях вдоль критической прямой. Кроме того, собственные значения на рисунке 18.2 расположены несколько более свободно в начале и, соответственно, несколько более тесно в середине. Оба эффекта можно уменьшить, если взять большее количество нулей для большей матрицы, а также использовать нормировку (см. ниже). Даже с учетом этих искажений на основе приведенных рисунков довольно правдоподобными представляются следующие выводы.

• Ни нули дзета-функции, ни собственные значения не похожи на случайным образом разбросанные точки.

• Нули дзета-функции и собственные значения ведут себя похожим образом.

• В частности, и для нулей дзета-функции, и для собственных значений наблюдается эффект отталкивания.

Статья Монтгомери об интервалах между нулями дзета-функции была опубликована в журнале Американского математического общества в 1973 году. Она начинается словами «На протяжении данной статьи мы принимаем справедливость Гипотезы Римана (ГР)…». В этом нет ничего особенного. К 1973 году множество математических статей состояли из теорем, в которых предполагалась справедливость Гипотезы.[170] На сегодняшний день число их выросло еще больше, и если ГР (как отныне я буду ее именовать, следуя Монтгомери и всем другим современным исследователям) окажется неверной, то вся эта структура обвалится. Правда если контрпримеров окажется немного, значительную часть удастся спасти.

В работе Монтгомери 1973 года содержатся два результата. Первый — это теорема об общих статистических свойствах интервалов между нулями дзета-функции. В этой теореме предполагается справедливость ГР. Второй результат — гипотеза. Она утверждает, что парная корреляционная функция для этих интервалов именно такова, как Монтгомери описал ее в разговоре с Дайсоном. Важно понимать, что это гипотеза. Монтгомери не смог ее доказать даже в предположении о справедливости ГР. И никому другому тоже не удалось этого доказать.

Большая часть свойств нулей дзета-функции Римана, о которых пишут или рассказывают, как и большая часть идей, возникших за последние 30 лет, подобным же образом носят гипотетический характер. В этой области науки наблюдается явный дефицит твердых доказательств. Отчасти это вызвано тем, что после того, как Монтгомери выявил связь между нулями дзета-функции и собственными значениями, исследованиями ГР занялось много физиков и прикладных математиков. Сэр Майкл Берри[171] любит по этому поводу цитировать лауреата Нобелевской премии по физике Ричарда Фейнмана: «Известного куда больше, чем удается доказать». Отчасти же это происходит потому, что ГР представляет собой очень, очень упрямую проблему. ГР посвящено такое грандиозное количество литературы, что приходится все время напоминать себе, что на самом деле о нулях дзета-функции лишь очень мало известно наверняка и даже при всем всплеске интереса в течение нескольких последних лет математически неопровержимые результаты по-прежнему появляются лишь изредка, через длительные интервалы времени.

Институт высших исследований в Принстоне, Нью-Джерси, находится всего в 32 милях от исследовательского центра Белловских лабораторий компании AT&T в Мюррей-Хилл. В 1978 году Хью Монтгомери читал в Принстоне лекции по теме, которая в то время называлась «гипотеза Монтгомери о парных корреляциях». Среди присутствовавших был молодой исследователь Эндрю Одлыжко, работавший в одном из отделов AT&T. Как раз в тот момент они приобрели суперкомпьютер Cray-1. Исследователи с воодушевлением строили планы запуска на нем своих программ и готовились к знакомству с теми алгоритмами, которые отвечали его архитектуре.

Размышляя по поводу лекции Монтгомери, Одлыжко рассуждал следующим образом. Гипотеза Монтгомери утверждает, что интервалы между нулями дзета-функции подчиняются некоторому статистическому закону. Этот закон возникает также при исследовании определенного семейства квантовых динамических систем, которые отвечают модели ГУА. Статистические свойства этого семейства были предметом интенсивного изучения в течение ряда лет. Однако статистические свойства нулей дзета-функции исследовались совсем мало. Пользу могло бы принести восстановление баланса — т.е. исследование статистических свойств нулей дзета-функции.

К этому Эндрю Одлыжко и приступил. Используя в качестве платформы для вычислений свободные процессорные мощности суперкомпьютера Cray в Белловских лабораториях[172] (ограниченные, однако, пятичасовым интервалом для каждого этапа вычислений), он с высокой точностью (около 8 десятичных знаков) получил первые 100 000 нетривиальных нулей дзета-функции Римана, исходя из формулы Римана-Зигеля. Далее, чтобы составить какое-то представление о происходящем много выше по критической прямой, он получил еще 100 000 нулей, начиная с 1000 000 000 001-го. Затем он прогнал эти два множества нулей через разнообразные статистические тесты, чтобы сравнить их с собственными значениями матриц, представляющих ГУА-операторы. Результаты этой работы были опубликованы в 1987 году в знаменитой статье, озаглавленной «О распределении интервалов между нулями дзета-функции».

Результаты оказались не полностью убедительными. Как сам Одлыжко весьма деликатно выразился в своей статье, «все полученные к настоящему моменту данные довольно неплохо согласуются с предсказаниями модели ГУА». Получилось несколько больше малых интервалов, чем это предсказывала модель ГУА. Тем не менее результаты Одлыжко произвели достаточное впечатление, чтобы привлечь внимание исследователей из нескольких различных областей. Дальнейшая работа позволила прояснить ситуацию с несоответствиями, отмеченными в статье 1987 года, и «гипотеза Монтгомери о парных корреляциях» стала законом Монтгомери-Одлыжко.[173]

О природе полученных Одлыжко результатов я могу рассказать лишь вкратце. С этой целью я воспроизвел их на своем персональном компьютере, используя список нулей, который Одлыжко любезно разместил на своем веб-сайте.[174] Чтобы избежать всяких аномалий, связанных с малыми значениями, я взял нули от 90 001-го до 100 000-го, если считать вверх по критической прямой от z = ¹/₂. Это составляет 10 000 нулей — вполне достаточно, чтобы извлечь из них некоторый статистический смысл. Нуль с номером 90 001 расположен в точке ¹/₂ + 68 194,3528i, а 100 000-й нуль — в точке ¹/₂ + 74 920,8275i (если округлять до 4 знаков после запятой). Итак, изучим статистические свойства последовательности из 10 000 вещественных чисел, которая начинается числом 68 194,3528, а заканчивается числом 74 920,8275.

Мы говорили в главе 13.viii, что по мере движения вверх по критической прямой нули делаются в среднем ближе друг к другу и поэтому необходимо внести поправку — растянуть верхнюю часть выбранного интервала. Это совсем не сложно сделать, умножив каждое число на его логарифм. У бóльших чисел бóльшие логарифмы, а это как раз и требуется для того, чтобы выровнять среднее расстояние между нулями. В этом и состоит смысл слова «нормировка» в приведенной выше формулировке закона Монтгомери-Одлыжко. Теперь наша последовательность начинается числом 759 011,1279 и заканчивается числом 840 925,3931.

Далее, нас интересуют относительные интервалы между нулями, поэтому можно вычесть 759 011,1279 из каждого числа в последовательности — это не повлияет на результат. Последовательность теперь идет от нуля до числа 81 914,2653. И наконец, просто для того, чтобы сделать числа покрасивее, перейдем к другому масштабу, поделив каждое число на 8,19142653. Это также не повлияет на относительные интервалы, ведь все, что мы сделали, — это сменили масштаб. В этом окончательном виде наша последовательность начинается такими числами: 0, 1,2473, 2,5840 и т.д., а заканчивается числами 9 997,3850, 9 999,1528, 10 000.

Если включить значения на концах, то перед нами будет 10 000 приготовленных для исследования чисел, простирающихся от 0 до 10 000. Поскольку имеется 9999 интервалов между последовательными числами, средний интервал равен 10 000 : 9999, что лишь совсем чуть-чуть больше единицы.

Теперь можно задавать статистические вопросы. Например: как именно интервалы отклоняются от среднего? Сколь многие из них имеют длину меньше единицы?[175] Ответ: 5 349. У скольких из них длина больше 3? Ни у одного. Этот результат радикально отличается оттого, что получается из идеально случайного разброса[176], где эти числа соответственно равны 6 321 и 489. Это подтверждает те выводы, которые можно извлечь из рисунков 18.2 и 18.3. Наши нули не разбросаны случайным образом. Они более многочисленны вблизи среднего интервала (который слегка превышает 1), и при этом имеется острая недостача интервалов малой или большой величины.

Подсчитав число интервалов величиной от 0 до 0,1, от 0,1 до 0,2 и т.д. и нанеся полученные результаты на гистограмму, масштаб которой выбран так, что полная площадь равна 9999, получаем рисунок 18.5.

Там показано распределение интервалов между выбранными корнями и для сравнения — кривая, предсказываемая теорией ГУА. Совпадение не слишком хорошее, но и наша выборка не так уж велика или находится недостаточно высоко на критической прямой. Тем не менее соответствие достаточно хорошее, вполне в пределах отклонений, допускаемых случайностью; разумеется, совпадения в статье Одлыжко намного лучше.[177]

Итак: да, судя по всему, нетривиальные нули дзета-функции и собственные значения случайных эрмитовых матриц некоторым образом связаны друг с другом. Это ставит нас перед довольно серьезным вопросом, который все время висел в воздухе с момента встречи Хью Монтгомери и Фримена Дайсона в Фалд-Холл в 1972 году.

Нетривиальные нули дзета-функции Римана появились при исследовании распределения простых чисел. Собственные значения случайных эрмитовых матриц появились при исследовании поведения систем субатомных частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Скажите, пожалуйста, что вообще может быть общего между простыми числами и поведением субатомных частиц?

Глава 19. Поворот Золотого Ключа

А теперь попытаемся проникнуть в самую сердцевину работы Римана 1859 года. Это по необходимости подразумевает знакомство с некоторым довольно продвинутым математическим аппаратом, который использовал сам Риман. Мне придется без лишних слов перескакивать через по-настоящему трудные места, преподнося их как faits accomplis[178]; я просто попытаюсь описать логические этапы в рассуждениях Римана, говоря при этом нечто вроде: «У математиков есть способ перейти от этого к этому», не объясняя, в чем же этот способ состоит и как он работает.

Я надеюсь, что у читателя в итоге сложится впечатление по крайней мере насчет общей логической канвы тех шагов, которым следовал Риман. Но даже и это не удастся без небольшой толики анализа, существенные моменты которого уже изложены в главе 7.vi-vii. Несколько следующих разделов могут показаться вам сложными. Но наградой будет результат столь же мощный, сколь и прекрасный, из которого вытекает все — сама Гипотеза, ее значение и ее связь с распределением простых чисел.

Для начала выскажу нечто противоречащее тому, что было сказано в главе 3.iv. Ну, вроде как противоречащее. Там мы говорили, что не слишком интересно рисовать график функции π(N), которая подсчитывает для нас простые числа. В том месте книги так и было. А теперь это не так.

Однако сначала кое-что подкорректируем. Вместо того чтобы писать π(N), что на глаз математика выглядит как «число простых чисел, не превышающих натурального числа N», будем писать π(x), что должно означать «число простых чисел, не превышающих вещественного числа x». Ничего особенного мы не сделали. Разумеется, число простых чисел, не превышающих 37,51904283, есть просто число простых чисел, не превышающих 37 (и равно двенадцати: это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37). Но нам предстоит познакомиться с некоторым объемом дифференциального и интегрального исчисления, и поэтому желательно находиться в царстве всех, а не одних только целых чисел.

И еще одна корректировка. При постепенном приближении к аргументу x в пределах некоторого интервала значений функция π(x) внезапно совершает прыжки. Пусть, например, x постепенно переходит от числа 10 к числу 12. Число простых чисел, не превышающих 10, равно 4 (это 2, 3, 5 и 7), так что значение функции равно 4, когда x = 10 и, равным образом, разумеется, когда x = 10,1, 10,2, 10,3 и т.д. Но при аргументе 11 это значение внезапно совершает прыжок к 5; и для 11,1, 11,2, 11,3, … оно твердо стоит на 5. Математики называют такое «ступенчатой функцией». И здесь нам потребуется корректировка, которую используют довольно часто, когда имеют дело со ступенчатыми функциями. Ровно в той точке, где π(x) совершает прыжок, присвоим ей значение, лежащее посередине между значениями, от которого и до которого она прыгает. Так, при аргументе 10,9, или 10,99, или 10,999999 функция имеет значение 4; при аргументе 11,1, или 11,01, или 11,000001 функция имеет значение 5; но при аргументе 11 это будет 4,5. Сожалею, если это представляется вам немного необычным, но это важно для наших целей. Если мы так сделаем, то все рассуждения из этой главы и из главы 21 будут иметь силу; а если нет, то они не будут работать.

Теперь можно, наконец, продемонстрировать график функции π(x) (рис. 19.1). К ступенчатым функциям не сразу привыкаешь, но с математической точки зрения они представляют собой совершенно нормальное явление. Область определения у нас сейчас — все неотрицательные числа. В этой области определения для каждого аргумента имеется единственное значение нашей функции. Дайте мне аргумент, и я скажу вам значение. В математике бывают функции и покруче.

Теперь введем другую функцию — также ступенчатую, но при этом слегка более хитрую, чем π(x). В статье 1859 года Риман называет ее просто «функция f», но мы вслед за Хэролдом Эдвардсом будем называть ее «функцией J». Со времен Римана математики привыкли использовать f для обозначения функции вообще: «Пусть f — произвольная функция…» — так что они могут слегка напрячься, увидев f в роли некоторой конкретной функции.

Итак, определим функцию J. Для любого неотрицательного числа x значение функции J равно

Здесь «π» обозначает функцию числа простых чисел именно в том виде, как выше мы ее определили для любого вещественного числа x.

Заметим, что приведенная сумма — не бесконечная. Чтобы убедиться в этом, возьмем любое фиксированное число x, скажем, x = 100. Квадратный корень из 100 равен 10; кубический корень равен 4,641588…; корень четвертой степени равен 3,162277…; корень пятой степени 2,511886…; корень шестой степени 2,154434…; корень седьмой степени 1,930697…; корень восьмой степени 1,778279…; корень девятой степени 1,668100… и корень десятой степени равен 1,584893…. Можно было бы, конечно, вычислить и корни одиннадцатой, двенадцатой, тринадцатой степени и т.д., сколько вам заблагорассудится, но в этом нет необходимости, потому что функция числа простых чисел обладает таким очень приятным свойством: если x меньше 2, то π(x) равна нулю — просто потому, что нет никаких простых чисел, меньших 2! Таким образом, при вычислении корней из 100 можно было на самом деле остановиться после корня седьмой степени. Вот что мы в результате имеем:

и если теперь сосчитать число простых, то это равно

что дает 28⁸/₁₅ или 28,53333…. При извлечении корней из любого числа рано или поздно значения падают ниже 2, и начиная с этого места все члены в выражении для функции J равны нулю. Поэтому для любого аргумента x значение функции J(x) можно получить, вычисляя конечную сумму — существенное улучшение по сравнению с некоторыми из функций, что нам встречались!

Как уже говорилось, функция J ступенчатая. На рисунке 19.2 показано, как она выглядит при аргументах до 10. Как видно, функция J совершает прыжок от одного значения к другому, остается на новом значении на некоторое время, потом совершает новый прыжок. Что это за прыжки? Какой закон за ними стоит?

Вглядевшись очень внимательно в выражение (19.1), мы увидим следующую закономерность. Во-первых, когда x — простое число, функция J(x) совершает прыжок на высоту 1, потому что π(x) — число простых чисел, не превышающих x, — при этом увеличивается на 1. Во-вторых, когда x является точным квадратом простого числа (например, x = 9, что есть квадрат числа 3), J(x) совершает прыжок на одну вторую, потому что квадратный корень из x есть простое число, а значит, π(√x) возрастает на 1. В-третьих, когда x есть точный куб простого числа (например, x = 8, что есть куб числа 2), J(x) совершает прыжок на одну треть, потому что кубичный корень из x равен простому числу, а значит, π(³√x) возрастает на 1, и т.д.

Попутно заметим, что функция J обладает тем же свойством, которым мы снабдили функцию π(x): в точке, где реально происходит прыжок, она принимает значение, лежащее посередине между теми значениями, от которого и до которого она прыгает.

Для полноты представления функции J на рисунке 19.3 изображен график J(x) при аргументах до 100. Самый маленький прыжок здесь совершается при x = 64 — это число представляет собой шестую степень (64 = 2⁶), так что функция J прыгает при x = 64 на одну шестую.

Какую пользу может принести подобная функция? Терпение, терпение. Сначала придется совершить один из тех логических скачков, о которых я предупреждал в начале главы.

Напоминаю в который уже раз, что у математиков есть масса способов обращать соотношения. Дали нам выражение для P через Q — отлично, посмотрим, не найдется ли способа выразить Q через P. В течение столетий в математике был развит целый инструментарий для того, чтобы совершать обращения, — он включает набор приемов для использования в самых разных условиях и обстоятельствах. Один из таких приемов носит название мебиусова обращения, и оно-то нам сейчас и нужно.

Не буду пытаться объяснить мебиусово обращение в общем виде. Оно описано в любом хорошем учебнике по теории чисел (см., например, раздел 16.4 в классической монографии «Теория чисел» Харди и Райта), а кроме того, поиск в Интернете наведет вас на множество ссылок. Подражая до некоторой степени самим функциям π и J, я вместо того, чтобы уныло тащиться от одной точки в моих рассуждениях к другой, перескочу сразу к следующему факту: применение мебиусова обращения к выражению (19.1) дает такой результат:

Можно заметить, что некоторые члены (четвертый, восьмой, девятый) здесь отсутствуют. А из тех, что присутствуют, некоторые (первый, шестой, десятый) входят со знаком плюс, тогда как другие (второй, третий, пятый, седьмой) — со знаком минус. Ничего не напоминает? Здесь спрятана функция Мебиуса из главы 15. На самом деле

(где ¹√x как и в других местах в книге, есть, конечно, просто x). Почему, как вам теперь кажется, это назвали мебиусовым обращением?

Итак, мы записали функцию π(x), выразив ее через J(x). Это чудесно, потому что Риман нашел способ, как выразить J(x) через ζ(x).

Прежде чем расстаться с выражением (19.2), надо еще упомянуть, что, подобно выражению (19.1), это не бесконечная сумма, а конечная. Это происходит из-за того, что функция J, как и функция π, равна нулю, когда x меньше 2 (взгляните на график!), а если последовательно извлекать корни из какого-нибудь числа, то результат рано или поздно упадет ниже 2 и там останется. Например,

что дает в точности число 25, которое и в самом деле является числом простых чисел меньших 100. Волшебство.

А теперь повернем Золотой Ключ.

Вот Золотой Ключ, первое равенство в статье Римана 1859 года, полученное нами в главе 7, когда я убеждал вас, что это просто хитрый способ переписать решето Эратосфена:

He будем забывать, что числа, появляющиеся в правой части, — это в точности все простые числа.

Возьмем логарифм от обеих частей. Если что-то равно чему-то, то, конечно, и логарифм одного должен быть равен логарифму другого. Согласно 9-му правилу действий со степенями, которое гласит, что ln(a×b) = ln а + ln b, получаем

Но, поскольку ln 1/a = −ln a согласно 10-му правилу, это выражение равно

Теперь вспомним ряд сэра Исаака Ньютона для функции ln (1 − x) из главы 9.vii. Он пригоден при x, лежащем от −1 до +1, что, без сомнения, выполнено в нашем случае, поскольку s положительно. Поэтому каждый логарифм можно разложить в бесконечный ряд таким образом (19.3):

Это бесконечная сумма бесконечных сумм — с первого взгляда, я полагаю, подобное немного пугает, но в математике такие конструкции встречаются достаточно часто.

Сейчас может показаться, что мы оказались в ситуации, которая много хуже той, что была вначале. Аккуратненькое бесконечное произведение мы превратили в бесконечную сумму бесконечных сумм. Предприятие может показаться безнадежным. Да, но это если не использовать всю мощь анализа.

Возьмем какой-нибудь один из членов в этой сумме сумм. Выберем, например, . Рассмотрим функцию x^−s−1 и будем временно считать, что s — положительное число. Каков интеграл от x^−s−1? В силу общих правил обращения со степенями, приведенных в главе 7.vii, это x^−s/(−s), т.е. (−1/s)×(1/x^s). Если мы возьмем этот интеграл при x, равном бесконечности, и вычтем из того, что получится, тот же интеграл, взятый при x равном 3²,то что получится? Ну, если x — очень большое число, то (−1/s)×(1/x^s) — число очень маленькое, так что справедливо будет считать, что, когда x бесконечно велико, это выражение равно нулю. И из этого — из нуля — мы собираемся вычесть (−1/s)×(1/(3²)^s). Такое вычитание дает (1/s)×(1/(3²)^s). Сухой остаток таков: выбранный член в выражении (19.3) можно переписать в виде интеграла

Но зачем мы вообще все это делаем? Чтобы вернуться к функции J, вот зачем.

Дело в том, что x = 3² — это значение, при котором функция J совершает прыжок на ¹/₂. В голове у математика — и уж точно в голове у великого математика, каким был Риман, — приведенное выражение сразу вызывает некоторый образ. Этот образ представлен на рисунке 19.4: это функция J с заполненной полосой. Полоса тянется от 3² (т.е. от 9) до бесконечности и имеет высоту одна вторая. Ясно, что вся площадь под (говорим «площадь под» — думаем «интеграл») графиком функции J составлена из подобных же полосок. Полоски высотой 1, протянувшиеся от каждого простого числа до бесконечности; полоски высотой одна вторая, идущие от каждого квадрата простого числа до бесконечности; полоски высотой одна треть от каждого куба простого числа до бесконечности… Видите, как все срастается с той бесконечной суммой бесконечных сумм в выражении (19.3)?

Конечно, площадь под графиком функции J бесконечна. Нарисованная полоска уже имеет бесконечную площадь (высота ¹/₂, длина бесконечна, площадь ¹/₂×∞ = ∞). Таковы же площади и всех других полосок. Все вместе они складываются в бесконечность. Но что, если я пожелаю «придавить» функцию J справа таким образом, чтобы площадь под графиком стала конечной? Так, чтобы каждая из этих полосок постепенно сужалась и сжималась до такой степени, чтобы площадь ее стала конечной? Как можно было бы осуществить такое «придавливание»?

Последний интеграл подсказывает как. Предположим, что мы взяли какое-нибудь число s (которое будем считать большим единицы). Для каждого аргумента x умножим J(x) на x^−s−1. Для иллюстрации возьмем s = 1,2. Тогда x^−s−1 = x^−2,2 или, другими словами, 1/x^2,2. Возьмем аргумент x, скажем, равным 15. Вот, J(15) есть 7,333333…, а 15^−2,2 равно 0,00258582…. Перемножая, получаем, что J(x)x^−s−1 имеет значение 0,018962721…. Если брать большие аргументы, то сдавливание будет выражено более ярко. При x = 100 значение выражения J(x)x^−s−1 равно 0,001135932….

На рисунке 19.5 показан график функции J(x)x^−s−1 при s = 1,2. Чтобы подчеркнуть «эффект сдавливания», там показана та же самая полоска, которая была выделена и ранее, но теперь после сдавливания. Видно, как она все более и более худеет по мере того, как аргумент устремляется на восток. Имеется вполне реальный шанс, что вся площадь окажется конечной, несмотря на свою бесконечную длину. В предположении, что так и есть и что дело обстоит таким же образом для всех полосок, спросим себя: какова же будет полная площадь под графиком этой функции? Или, выражаясь математически, каково будет значение ?

Давайте посмотрим. Будем перебирать простые числа одно за одним. Для простого числа 2 до сдавливания имеем полоску высоты 1, идущую от 2 до бесконечности, далее полоску высоты идущую от 2² до бесконечности, затем полоску высоты идущую от 2³ до бесконечности, и т.д. Сумма площадей сдавленных полосок — если мы рассматриваем пока только простое число 2 — равна (19.4):

Конечно, это пока только 2-полоски. Имеется аналогичная бесконечная сумма интегралов для 3-полосок (19.5):

И аналогичная сумма для 5, потом для 7 и т.д. для всех простых чисел. Бесконечная сумма бесконечных сумм интегралов! Все хуже и хуже! Да, но самый густой мрак перед рассветом.

Это возвращает нас к началу данного раздела. Поскольку интеграл прозрачен для умножения на число, — это то же самое, что . Но в начале раздела мы видели, что член, который мы в качестве пробного выбрали в выражении (19.3), т.е. , равен — другими словами, s умножить на то, что мы только что получили. Так к чему же сводится выражение (19.5)? Вот именно, в точности ко второй строке в выражении (19.3), деленной на s! А выражение (19.4) плюс выражение (19.5) плюс аналогичные выражения для всех остальных простых чисел суммируются к выражению (19.3), деленному на s. Вот и рассвет! Получается, что штука, с которой я тут забавляюсь, т.е. , равна просто выражению (19.3), деленному на s. Но выражение (19.3) равно ln ζ(z), как нам подсказывает Золотой Ключ. Отсюда получается следующий результат.

Я просто не нахожу слов, чтобы выразить, насколько это чудесный результат. Он ведет прямо к центральному результату в работе Римана — результату, который будет предъявлен в главе 21. На самом деле это просто переписывание Золотого Ключа в терминах анализа. Однако переписать его так — это невероятно мощное достижение, потому что теперь Золотой Ключ открыт для всех мощных средств дифференциального и интегрального исчисления XIX века. В этом состояло достижение Римана.

Среди упомянутых средств обращения имеется еще один метод, который позволяет вывернуть полученное выражение наизнанку и записать J через ζ. Я немного потяну с предъявлением обращенного выражения. Но логика во всяком случае ясна:

• можно выразить π(x) через J(x) (раздел IV данной главы);

• обратив выражение (19.6), можно выразить J(x) через дзета-функцию

и, следовательно,

• можно выразить π(x) через дзета-функцию.

Именно за это предприятие Риман и взялся, потому что в результате окажется, что все свойства функции π некоторым образом закодированы в свойствах ζ-функции.

Функция π относится к теории чисел; ζ-функция относится к анализу, и мы перебросили понтонный мост через пролив, разделяющий два берега — счет и измерение. Коротко говоря, мы только что получили мощный результат в аналитической теории чисел. На рисунке 19.6 графически представлено выражение (19.6) — Золотой Ключ в аналитическом виде.

Глава 20. Риманов оператор и другие подходы

Закон Монтгомери-Одлыжко утверждает, что нетривиальные нули дзета-функции Римана выглядят — имеется в виду статистически — как собственные значения некоторой случайной эрмитовой матрицы. Операторы, представляемые такими матрицами, можно использовать для моделирования определенных динамических систем в квантовой физике. А имеется ли при этом оператор Римана — оператор, собственные значения которого в точности совпадают с нулями дзета-функции? Если да, то какую динамическую систему он представляет? Удастся ли создать такую систему в физической лаборатории? И если удастся, то поможет ли это в доказательстве Гипотезы?

Эти вопросы активно изучались еще до выхода статьи Одлыжко 1987 года. За год до того Майкл Берри опубликовал статью под заглавием «Дзета-функция Римана: Модель квантового хаоса?». Используя ряд хорошо известных и широко обсуждавшихся в то время результатов (и среди них некоторые результаты Одлыжко), Берри обратился к следующему вопросу. Предположим, что риманов оператор существует; тогда динамическую систему какого типа он бы моделировал? Ответ, который он предложил, — хаотическую систему. Чтобы объяснить это, нам надо ненадолго переключиться на знакомство с теорией хаоса.

Тот факт, что чистая теория чисел — наука о натуральных числах и их взаимоотношениях — может соотноситься с субатомной физикой, вовсе не удивителен. В квантовой физике арифметическая составляющая выражена намного сильнее, чем в классической физике, поскольку основополагающая идея состоит в том, что материю и энергию нельзя делить до бесконечности. Энергия передается только в виде 1, 2, 3 или 4 квантов, но никак не 1¹/₂, 2¹⁷/₅₂, √2 или π квантов. Это, конечно, далеко не все, что есть в квантовой механике; ее саму невозможно было бы разработать без наиболее мощных средств самого современного анализа. Например, знаменитое волновое уравнение Шредингера записывается на традиционном языке дифференциального исчисления. Тем не менее арифметическая составляющая в квантовой механике несомненно присутствует, тогда как в классической механике ее практически вовсе нет.

Основания классической физики — физики Ньютона и Эйнштейна — по сути своей аналитические, в математическом смысле. Они опираются на математический анализ, на понятия бесконечной делимости, гладкости и непрерывности, предела и производной, а также вещественных чисел. Не будем забывать, что, именно развивая и доводя понятие «предела» до логического конца, Ньютон и изобрел дифференциальное и интегральное исчисление, в конце концов ставшее содержанием большей части анализа.

Рассмотрим классическую задачу о движении одного тела вокруг другого по эллиптической орбите под действием силы их взаимного гравитационного притяжения. На некотором расстоянии (измеряемом вещественным числом r) от основного тела другое тело (спутник) имеет некоторую строго определенную скорость (выражаемую другим вещественным числом v). Связь между v и r дается точным математическим выражением; v есть в действительности функция от r, выражаемая так называемым уравнением vis viva[179], знакомым всем, кто изучал элементарную небесную механику:

где M и a — некоторые заданные числа, определяемые параметрами системы и начальными условиями — в частности, массами тел и т.п.

На практике, конечно, нельзя достичь бесконечной точности, требуемой для того, чтобы присвоить определенные вещественные значения величинам r и v. Пусть даже мы измеряем r с точностью до 10 или даже 20 знаков после запятой; но ведь для точного выражения вещественного числа требуется бесконечно много десятичных разрядов, а добиться такого мы не можем. Следовательно, для любой реальной орбиты имеется некоторая, пусть очень малая, ошибка при определении вещественных значений буквы r, а также соответствующая ошибка в вычисленных значениях буквы v. Это не играет большой роли: законы Кеплера уверяют нас, что все равно получится правильный эллипс, а математика уравнения vis viva говорит, что ошибка в 1 процент при определении r, как правило, приведет лишь к 0,5-процентной ошибке при вычислении значений v. Таким образом, ситуация управляема и предсказуема. Как говорят математики, «задача интегрируема».

Но это была очень простая задача. Почти все реальные физические проблемы сложнее, чем эта. Рассмотрим, например, случай трех тел, испытывающих взаимное гравитационное притяжение, — знаменитую «задачу трех тел». Можно ли найти ее решение в замкнутом виде, как для уравнения vis viva? Интегрируема ли она?

К концу XIX столетия стало ясно, что ответы таковы: «нет, не можем» и «нет, задача неинтегрируема». Единственный способ получить решение — использовать численные расчеты на компьютере, которые неизбежно носят приближенный характер.

На самом деле в 1890 году Анри Пуанкаре опубликовал статью, внесшую ясность в задачу трех тел: он четко показал, что эта задача не только не допускает решения в замкнутом виде, но и обладает куда более тревожным свойством — ее решения временами приобретают хаотический характер. Это значит, что даже малейшие изменения начальных условий в задаче — аналогов величин M и a в рассмотренном примере задачи двух тел — могут привести к изменению вычисленных орбит до неузнаваемости. Сам Пуанкаре заметил, что один набор условий дает «орбиты столь запутанные, что я даже и не пытался их изобразить».

Согласно распространенному мнению, работа Пуанкаре знаменует собой рождение современной теории хаоса. В течение нескольких десятилетий в теории хаоса не происходило ничего особенного, главным образом потому, что у математиков просто не было средств для обращения с числами — средств для перемалывания чисел в масштабах, требуемых при анализе хаоса. Ситуация изменилась, когда стали доступными компьютеры, и теория хаоса пережила второе рождение в 1960-х годах в трудах метеоролога Эда Лоренца, работавшего в Массачусетсом технологическом институте.[180] Теория хаоса в настоящее время представляет собой обширный предмет, охватывающий много различных более частных дисциплин из физики, чистой математики и вычислительной математики.

Важно осознать, что такая хаотическая система, как решение задачи трех тел, не обязана состоять из случайных движений (и, как правило, из них и не состоит). Прелесть теории хаоса заключается в том, что в хаотических системах присутствуют определенные структуры. В общем случае хаотическая система никогда не проходит снова по раз пройденным положениям, однако она повторяющимся образом воспроизводит указанные структуры; в их основе лежат некоторые правильные, но неустойчивые периодические орбиты, по которым система теоретически могла бы двигаться, если бы нам была доступна бесконечная точность, требуемая для запуска системы именно и абсолютно точно по такой орбите.

При первом появлении современной теории хаоса физики восприняли ее как чисто классический предмет, не имеющий никакого отношения к квантовой теории. Хаос возникает из явлений, подобных тем, какие происходят в задаче трех тел, вследствие того, что начальные условия задаются вещественными числами, числами для измерения, которые можно дробить до бесконечности; их можно изменить на 1 процент, или на 0,1 процента, или на 0,001 процента… Поскольку условия можно варьировать бесконечно, возникает бесконечно много возможных вариантов движения системы. В квантовой же теории, наоборот, начальные условия можно варьировать на 1, 2 или 3 единицы, но не на 1¹/₂ или 2,749. Получается так, что в квантовой теории для хаоса «не должно быть места». Верно, что в квантовой механике имеется некоторая степень неопределенности, но управляющие всем уравнения тем не менее линейны. Малые возмущения приводят к малым последствиям, как это имеет место и для классического уравнения vis viva в задаче двух тел.

И все же в динамических системах квантового масштаба можно наблюдать некоторую степень хаоса. Упорядоченную структуру уровней энергии для электронов на орбите вокруг атомного ядра, например, можно «взболтать», приведя в нерегулярное состояние путем наложения достаточно сильного магнитного поля. (Это, кстати, одна из динамических систем, моделируемых операторами ГУА.) После этого поведение атома становится хаотичным — оно будет радикально другим уже при самом легком изменении начальных условий.

Однако даже если такие системы с квантовым хаосом и сохраняют свое существование в течение некоторого времени, то законы квантовой механики в конце концов приводят их к порядку, отфильтровывая весь хаос. Число разрешенных состояний уменьшается; число запрещенных растет. Чем больше и сложнее система, тем большее время занимает восстановление порядка за счет квантовых законов и тем больше число разрешенных состояний… пока, уже на масштабе нашего обычного мира, утверждение квантового порядка не станет занимать триллионы лет, а число разрешенных состояний не достигнет столь большой величины, что его спокойно можно будет считать бесконечным. Поэтому в классической физике и имеется хаос.

Еще в 1971 году физик Мартин Гутцвиллер[181] нашел способ связать хаотические системы в классическом масштабе с подобными системами в квантовом мире путем взятия предела в уравнениях квантовой механики, когда квантовый множитель — постоянная Планка — стремится к нулю. Таким образом получается «квазиклассическая» система, а периодические орбиты, лежащие в основе классических хаотических систем, отвечают собственным значениям оператора, задающего эту систему.

Майкл Берри показал, что если риманов оператор существует, то он моделирует одну из этих квазиклассических хаотических систем, причем его собственные значения — мнимые части нулей дзета-функции — являются уровнями энергии этой системы. Периодические орбиты в аналогичной классической хаотической системе отвечали бы… — простым числам! (Строго говоря, их логарифмам). Кроме того, он показал, что у этой квазиклассической системы не было бы свойства «симметрии относительно обращения времени» — другими словами, если представить себе, что все скорости всех частиц в системе мгновенно и одновременно заменяются на противоположные, то система не вернется к своему начальному состоянию. (Хаотические системы могут допускать, а могут и не допускать обращение времени. Те, которые его допускают, моделируются не операторами типа операторов ГУА, а операторами другого вида, принадлежащими другому ансамблю — ГОА, т.е. гауссову ортогональному ансамблю.) Работа Берри (в значительной ее части — в сотрудничестве с его коллегой из Бристоля Джонатаном Китингом) представляет собой тонкое и глубокое исследование. Например, он очень детально проанализировал формулу Римана-Зигеля с целью глубоко проникнуть в природу нулей и их влияния друг на друга на различных отрезках их существования. На момент написания книги он пока не отождествил динамическую систему, отвечающую оператору Римана, но если такой оператор существует, то благодаря его работе мы распознаем его немедленно, как только он попадется нам на глаза.^{A5}

Альтернативный подход развил другой исследователь — Ален Конн, профессор математики из парижского Коллеж де Франс. Вместо того чтобы выискивать, оператор какого типа мог бы иметь своими собственными значениями нули дзета-функции, он просто взял и построил такой оператор.

Это потребовало немалой ловкости. Оператор необходимо снабдить чем-то, на что он может действовать. Операторы того типа, о которых говорилось выше, действуют на пространствах. Плоское двумерное пространство может послужить иллюстрацией общего принципа, если в качестве наглядного пособия взять лист миллиметровки, хотя при этом и придется представлять себе, что он продолжается по всем направлениям до бесконечности. Предположим, что мы повернули это пространство на 30 градусов против часовой стрелки, так что каждая точка в нем тем самым переместилась в некоторую другую точку (за единственным исключением точки, вокруг которой происходит вращение, — она-то остается на месте). Это вращение дает пример оператора. Характеристический многочлен этого конкретного оператора имеет вид x² − √3x + 1[182], а собственные значения равны ¹/₂√3 + ¹/₂i и ¹/₂√3 − ¹/₂i.

При желании для описания каждой точки в нашем пространстве можно ввести систему координат: для этого надо провести горизонтальную ось x и вертикальную ось y, пересекающиеся в точке вращения, и, как обычно, отложить расстояния в дюймах или сантиметрах вдоль этих осей. Тогда можно заметить, что наш оператор вращения отправляет точку (x, y) в новую точку с другими координатами — которые в действительности равны (¹/₂√3x + ¹/₂y, ¹/₂√3x − ¹/₂y). Для оператора самого по себе это, впрочем, большого значения не имеет — оператор существует и отправляет точки на плоскости в новые точки независимо от какой бы то ни было системы координат. Вращение остается вращением, даже если мы забыли нарисовать пару осей.

Операторы, применяемые в математической физике, разумеется, действуют на значительно более сложных пространствах, чем в нашем примере. Эти пространства не двумерны и даже не трехмерны (подобно обычному пространству, которое окружает нас в быту), и даже не четырехмерны (как пространство-время, возникающее в теории относительности). Они представляют собой абстрактные математические пространства с бесконечным числом измерений. Каждая точка в таком пространстве является функцией. Операторы преобразуют функции в другие функции, а на языке пространств и точек это выражается как отображение одной точки в другую.

Чтобы получить первое представление о том, каким образом функцию можно отождествить с точкой в пространстве, рассмотрим один простой класс функций — квадратичные многочлены p + qx + rx². Семейство всех таких многочленов можно представить в трехмерном пространстве, если многочлену p + qx + rx² поставить в соответствие точку с координатами (p, q, r). В том же духе, четырехмерное пространство будет моделировать кубические многочлены; пятимерное пространство — многочлены четвертой степени и т.п. Далее, поскольку некоторые функции можно записать в виде рядов, а ряд выглядит как бесконечный многочлен (например, e^x записывается в виде 1 + x + ¹/₂x² + ¹/₆x³ + ¹/₂₄х⁴ + …), становится понятно, как бесконечное число измерений может пригодиться при описании функций. На этом языке e^x станет точкой в пространстве, заданной бесконечным набором координат (1, 1, ¹/₂, ¹/₆, ¹/₂₄, …).

Функции, с которыми имеет дело квантовая механика, — это волновые функции, которые определяют вероятность того, что частицы, составляющие описываемую систему, занимают определенные положения и имеют определенные скорости в данный момент времени. Другими словами, каждая точка в пространстве функций представляет некоторое состояние системы. Используемые в квантовой механике операторы кодируют наблюдаемые свойства системы; наибольшую известность имеет оператор Гамильтона, который кодирует энергию системы. Собственные значения оператора Гамильтона представляют собой уровни энергии в системе. Далее, каждое собственное значение определенным образом связывается с вполне определенной точкой (т.е. функцией) в бесконечномерном пространстве, называемой собственной функцией; она служит для представления состояния системы при заданном уровне энергии. Эти собственные функции играют ключевую роль при описании состояний системы. Всякое возможное состояние системы, любое ее физическое проявление дается некоторой линейной комбинацией собственных функций, в точности так же, как всякую точку в трехмерном пространстве можно записать в виде (x, y, z), т.е. в виде линейной комбинации точек (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).

Ален Конн построил довольно своеобразное пространство, на котором предстояло действовать его риманову оператору. Простые числа встроены в это пространство некоторым способом, заимствованным из понятий алгебраической теории чисел. Дадим краткий обзор работы Конна.

B основе построения всей классической физики лежат вещественные числа, такие как 22,45915771836…; поскольку такие числа не имеют замкнутого вида, требуется бесконечная последовательность десятичных разрядов, чтобы теоретически достичь полной точности. Реальные физические измерения, однако, носят приближенный характер, давая что-то вроде 22,459. Это рациональное число, равное ^{22 459}/₁₀₀₀. Все, что есть в физическом эксперименте, можно, таким образом, выразить с помощью рациональных чисел — элементов из Q. Чтобы перейти от мира эксперимента к миру теории, надо пополнить поле Q (см. главу 11.v). Другими словами, требуется его расширить таким образом, чтобы для всякой имеющей предел бесконечной последовательности чисел из Q этот предел лежал бы или в самом Q, или в поле-расширении. Обычный и естественный способ такого пополнения приводит к вещественным числам R и комплексным числам С.

Однако в алгебраической теории чисел имеются и другие возможности для пополнения Q. В 1897 году прусский математик Курт Хензель[183], работая над определенной задачей в теории алгебраических полей, ввел целое новое семейство объектов, подобных полю чисел вида а + b√2, которое мы рассматривали в главе 17.ii. Эти объекты называются p-адическими числами. Для каждого простого числа p имеется по одному из этих экзотических созданий, содержащих бесконечно много элементов. Кирпичики, из которых строится такое поле, — это обсуждавшиеся в главе 17.ii «циферблатные» кольца размера p, p², p³, p⁴ и т.д. В моих обозначениях это кольца CLOCK_p, CLOCK_p2, CLOCK_p3, …. Например, поле 7-адических чисел построено из CLOCK₇, CLOCK₄₉, CLOCK₃₄₃, CLOCK₂₄₀₁, …. Помните приводившуюся ранее иллюстрацию того, как конечное поле можно использовать для построения бесконечного поля? Так вот, здесь используется бесконечное число конечных колец для построения нового бесконечного поля!

Поле p-адических чисел обозначается символом Q_p. Таким образом, имеются поле Q₂, поле Q₃, поле Q₅, поле Q₇, поле Q₁₁ и т.д. Каждое из них — полное поле: Q₂ есть поле 2-адических чисел, Q₃ есть поле 3-адических чисел и т.д.

Как можно догадаться уже из обозначений, p-адические числа чем-то похожи на обычные рациональные числа. Однако поле Q_p богаче и устроено более сложно, чем поле Q, и в некоторых отношениях скорее напоминает поле вещественных чисел R. Как и R, поле Q_p можно использовать для пополнения поля Q.

Здесь вы можете высказать определенное недоумение: «Все отлично, но ведь было сказано, что поле Q_p этих странных новых объектов — р-адических чисел — существует для всякого простого числа p и что любое Q_p позволяет пополнить поле Q; так какое же из них надо предпочесть? Q₂? Q₃? Q₁₁? Q₄₅₈₂₇? Какое простое число должен выбрать профессор Конн, чтобы устроить свой фокус — перекинуть мост между простыми числами и физикой динамических систем?»

Ответ таков: их все! Дело в том, что имеется алгебраическое понятие, называемое аделем, которое охватывает в свои широкие объятия все Q_p для всех простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, …. И там же оказываются и вещественные числа! Адели построены из Q₂, Q₃, Q₅, Q_7, … и R способом, напоминающим тот, каким p-адические числа построены из CLOCK_p, CLOCK_p2, CLOCK_p3, …. Если угодно, адели находятся на один уровень абстракции выше p-адических чисел, которые сами располагаются на один уровень абстракции выше, чем рациональные числа.

Если от всего этого у вас кружится голова, то достаточно сказать, что имеется класс суперчисел, являющихся одновременно 2- адическими, 3-адическиими, 5-адическими, … и при этом еще и вещественными. В каждое из этих суперчисел вложены все простые числа.

Без сомнения, адель — довольно заумное понятие. Однако нет на свете ничего настолько заумного, чтобы оно рано или поздно не пробило себе дорогу в физику. В 1990-х годах математические физики взялись за создание адельной квантовой механики, где реальные измерения в эксперименте, приводящие к рациональным числам, воспринимаются как проявление этих причудливых созданий, вытащенных из темных глубин математической бездны.

Пространство такого типа — адельное пространство — и построил Ален Конн в качестве площадки, где может резвиться его риманов оператор. Из-за того что оно адельное, в него, так сказать, встроены все простые числа. Действующие на этом пространстве операторы по необходимости основаны на простых числах. Теперь, я надеюсь, стало немного понятнее, как же можно построить риманов оператор, собственные значения которого являются в точности нетривиальными нулями дзета-функции, а в пространство, на котором он действует, простые числа встроены тем способом, который я пытался описать, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частиц.

Доказательство Гипотезы Римана (ГР) в этом случае сводится к доказательству определенной следовой формулы — т.е. формулы типа формулы Гутцвиллера, которая связывает собственные значения оператора, действующего на конновском адельном пространстве, с периодическими орбитами в некоторой аналоговой классической системе. Поскольку простые числа уже встроены в одну часть формулы, все должно получиться без труда. Некоторым образом так и происходит, и конструкция Конна элегантна до блеска — уровни энергии в ней суть в точности нули дзета-функции на критической прямой. К сожалению, из нее до сих пор не последовало даже намеков на то, почему же нули дзета-функции не могут оказаться вне критической прямой!

Спектр мнений о ценности построения Конна довольно широк. Вовсе не будучи уверенным, что я сам ее понимаю, я опросил нескольких настоящих математиков, работающих в этой области. Сейчас мне надо продвигаться вперед с крайней осторожностью. Насколько мне известно, Ален Конн, возможно, заявит о доказательстве Гипотезы Римана в тот день, когда эта книга выйдет из печати, и мне не хотелось бы никого вводить в заблуждение. Приведу две цитаты из того, что мне сказали профессионалы:

У меня недостаточно подготовки, чтобы выбрать, какая из точек зрения правильна. Но с учетом высокого положения и способностей математиков X и Y я сильно подозреваю, что одна из них наверняка верна…[184]

Разумеется, активно развиваются и другие подходы к ГР. Алгебраический подход с помощью конечных полей, упомянутый в главе 17, никуда не делся. И, как мы мельком видели в разделе V, этот подход демонстрирует интересные связи с физическим направлением исследований ГР. Аналитическая теория чисел также остается активной областью, способной выдавать сильные результаты.

Имеются два непрямых подхода. Например, есть наша теорема 15.2 о функции M, получаемой накапливанием значений мебиусовой функции μ. Эта теорема, как было сказано, в точности эквивалентна Гипотезе. Специалист по аналитической теории чисел Деннис Хеджхал из университета Миннесоты использует этот подход, чтобы познакомить с Гипотезой Римана нематематическую аудиторию и при этом избежать введения комплексных чисел. Вот как, по его словам (я пересказываю, а не цитирую), выражается ГР.

Выпишем все натуральные числа, начиная с 2. Под каждым числом запишем его простые делители. Затем, игнорируя всякое число, среди делителей которого есть квадрат (или любая более высокая степень, которая по необходимости содержит в себе и квадрат), будем двигаться вдоль чисел, отмечая как «орел» каждое число с четным числом простых делителей и как «решку» — с нечетным. Получаем бесконечную строку из орлов и решек — нечто вроде того, что возникает в опыте по подбрасыванию монеты:

Далее, из классической теории вероятностей хорошо известно, чего ожидать от подбрасывания монеты большое число раз N. В среднем будет ¹/₂N орлов и ¹/₂N решек. Но, разумеется, далеко не всегда будут получаться в точности эти значения. Предположим, мы вычли число орлов из числа решек (или наоборот, в зависимости оттого, какое из них больше). Что мы ожидаем по поводу величины этого избытка? В среднем это будет √N, т.е. N^1/2. Это было известно уже 300 лет назад, во времена Якоба Бернулли. Если подбрасывать «честную» монету миллион раз, то в среднем получится избыток в тысячу орлов (или решек). Может выйти больше или меньше — но в среднем, коль скоро вы продолжаете подбрасывать монету, т.е. при стремлении N к бесконечности, — величина избытка растет в определенном темпе: не быстрее, чем N^1/2+ε для любого сколь угодно малого числа ε. Прямо как у нас в теореме 15.2!

На самом деле теорема 15.2, которая эквивалентна ГР, утверждает, что функция M растет точно так же, как избыток в опыте по подбрасыванию монеты. По-другому утверждение теоремы можно выразить так: свободное от квадратов число является орлом или решкой — т.е. имеет четное или нечетное число простых делителей — с вероятностью 50:50. Такое положение дел выглядит довольно правдоподобным и может на самом деле оказаться верным. Если вы сможете доказать, что это утверждение действительно верно, то вы тем самым докажете и ГР.[185]

Менее прямой вероятностный подход касается так называемой «модели Крамера». Харальд Крамер (Cramér), несмотря на букву «é» в своей фамилии, был шведом, причем еще одним служащим страховой компании — актуарием в Svenska Livförsöakringsbolaget[186], но одновременно и талантливым лектором, выступавшим с популярными рассказами о математике и статистике.[187] В 1934 году он опубликовал статью, озаглавленную «О простых числах и вероятности», в которой выдвинул идею, что простые числа распределены настолько случайным образом, насколько это вообще возможно.

Одно из следствий, вытекающее из Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ), которое было продемонстрировано в главе 3.ix, состоит в том, что в окрестности некоторого большого числа N доля простых чисел составляет ~1/ln N. Например, логарифм триллиона равен 27,6310211…, так что в окрестности триллиона примерно одно из каждых 28 чисел простое. Модель Крамера утверждает, что помимо этого ограничения на среднюю частоту их появления простые числа распределены полностью случайно.

Один из способов понять, что это означает, состоит вот в чем.[188] Представим себе длинный ряд горшков из обожженной глины, на которых написаны натуральные числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … до бесконечности (или до какого-нибудь очень большого числа). В каждый горшок положим некоторое количество деревянных шаров. Число шаров в горшке с номером N должно быть равно ln N (или ближайшему целому числу). Таким образом, первые несколько горшков содержат 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, … этих шаров. Более того, в каждом горшке должен быть по крайней мере один черный шар; все остальные шары в каждом горшке белые. Следовательно, в горшках с написанными на них числами 2, 3 и 4 имеется только черный шар; в горшках с числами от 5 до 12 лежит один черный и один белый; в горшках с 13 по 33 — один черный и два белых и т.д.

Теперь возьмем планшет и большой (желательно бесконечный) лист бумаги и отправимся на прогулку вдоль ряда из горшков. Случайным образом вытащим по шару из каждого горшка. Если это черный шар, запишем номер данного горшка. В конце такой прогулки у нас получится длинный список, начинающийся как 2, 3, 4, …. Шансы, что в списке окажется число 5, распределены как 50:50, поскольку в горшке 5 имеется один белый шар и один черный. Шанс, что там будет число 1 000 000 000 000, — один из 28.

Что же можно сказать о таком списке? Это, конечно, не список простых чисел. Например, в него входит много четных чисел, но лишь одно простое число, 2, является четным. Так вот, если модель Крамера верна, то список будет статистически неотличим от списка простых чисел. Любое общее статистическое свойство, которым обладают простые числа, — скажем, сколь много их мы ожидаем найти в интервале определенной длины или степень их кластеризации (о которой Гильберт в формулировке восьмой проблемы говорил как о «конденсации») — будет присуще и полученному случайному списку.

Чтобы развить некоторую аналогию, рассмотрим десятичные разряды числа π. Насколько вообще известно, их последовательность совершенно случайна.[189] Они никогда не повторяются. И цифры, и пары цифр, и тройки цифр, и четверки цифр появляются с точно такой же частотой, которую даст чистый случай. Никому никогда не удавалось обнаружить какой-нибудь закон в миллиардах десятичных знаков числа π, которые в настоящее время доступны изучению. Десятичные знаки числа π — это случайная последовательность цифр… за тем единственным исключением, что они представляют именно число π! Так же обстоит дело и с простыми числами в модели Крамера. Они неотличимы от любой другой последовательности с частотой появления 1/ln N, и в этом смысле они полностью случайны… за исключением, конечно, того обстоятельства, что они простые!

В 1985 году Хельмут Майер доказал, что модель Крамера в том простом виде, как я ее обрисовал, не дает полной картины распределения простых чисел. Но некоторый модифицированный вариант модели приводит к правильным предсказаниям распределения простых чисел и при этом связан с Гипотезой Римана довольно хитрым и непрямым образом. Имеется скромная надежда, что дальнейшие исследования этого вопроса приведут к прогрессу в понимании ГР.[190]

И наконец, я не могу не упомянуть самый непрямой подход — подход в рамках недедуктивной логики. Строго говоря, это не математическая тема. Математика требует строгих логических доказательств для обоснования своих результатов. Однако большая часть мира устроена иначе. В обычной жизни мы действуем, исходя главным образом из вероятностей. В суде, на приеме у врача, при оформлении страховых полисов мы учитываем именно баланс вероятностей, а вовсе не исходим из железной определенности. Временами, конечно, для количественного выражения подобных вопросов мы пользуемся настоящей математической теорией вероятностей — именно по этой причине страховые компании берут на работу актуариев. Но гораздо чаще мы ее не используем, да и не можем использовать — представим себе хотя бы судебное разбирательство.

Математики порой бросали заинтересованный взгляд на эту сторону жизни. Джордж Пойа даже написал по этому поводу двухтомник[191], в котором он делает довольно неожиданное заявление, что недедуктивная логика больше ценится в математике, чем в естественных науках. Эту линию рассуждений совсем недавно продолжил австралийский математик Джеймс Фрэнклин. Его статья 1987 года «Недедуктивная логика и математика», опубликованная в British Journal for the Philosophy of Science, содержит раздел, озаглавленный «Свидетельства в пользу Гипотезы Римана и других гипотез».

Фрэнклин подходит к ГР так, как если бы она представляла собой дело, рассматривающееся в суде. Он приводит свидетельства в пользу справедливости Гипотезы Римана.

• Результат Харди 1914 года о том, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей.

• Из ГР следует ТРПЧ, о которой известно, что она верна.

• «Вероятностная интерпретация Данжуа» — другими словами, рассмотренное выше рассуждение, основанное на подбрасывании монеты.

• Еще одна теорема 1914 года, которую доказали Ландау и Харальд Бор, согласно которой большинство нулей — все, кроме бесконечно малой доли, — очень близки к критической прямой. Стоит заметить, что коль скоро число нулей бесконечно, один триллион считается бесконечно малой долей.

• Алгебраические результаты Артина, А. Вейля и Делиня, упомянутые в главе 17.iii.

А теперь свидетельства со стороны обвинения.

• У самого Римана не было внятных причин для подкрепления своего утверждения в статье 1859 года о том, что ГР «очень правдоподобна», а полупричины, которые могли бы послужить мотивировкой его утверждения, с тех пор были опровергнуты.

• В 1970-х годах компьютерные расчеты показали, что на большой высоте вдоль критической прямой дзета-функция демонстрирует весьма своеобразное поведение (по-видимому, Фрэнклин не знает о работе Одлыжко).

• Результат Литлвуда 1914 года об остаточном члене Li(x) − π(x). Фрэнклин пишет: «Значимость открытия Литлвуда для Гипотезы Римана далеко не очевидна. Но оно в самом деле дает некоторые основания подозревать, что к Гипотезе Римана могут найтись очень крупные контрпримеры, хотя малые контрпримеры и отсутствуют». Насколько я понимаю, Фрэнклин рассуждает здесь по аналогии. «Для некоторых исключительно больших чисел остаточный член ведет себя плохо. Но он связан с нулями дзета-функции [см. главу 21 в этой книге]. Так что, вероятно, для очень больших T дзета-функция ведет себя плохо и имеет нули вне критической прямой».

Конечно, все это косвенные свидетельства. Однако их не следует сбрасывать со счетов просто как псевдофилософскую игру слов. Выводы, основанные на свидетельствах, могут способствовать получению весьма убедительных результатов, порой вопреки строго аргументированным математическим непреложностям. Рассмотрим, например, очень нематематическую ситуацию, когда гипотезу можно значительно ослабить с помощью подтверждающих ее свидетельств. Гипотеза: ни одно человеческое существо не может быть ростом выше девяти футов. Подтверждающее свидетельство: человек, рост которого 8 футов и 11³/₄ дюйма. Обнаружение такого индивида подтверждает гипотезу… и, однако, в то же время бросает на нее серьезную тень сомнения![192]

Глава 21. Остаточный член

В главе 19 мы определили ступенчатую функцию J, выразив ее через функцию π, которая подсчитывает для нас простые числа, а потом использовали мебиусово обращение, чтобы выразить π через J. Повернув затем Золотой Ключ, мы шаг за шагом прошли по тем вычислениям, с помощью которых Риман выразил дзета-функцию ζ через функцию J. А другое обращение, как я сказал, позволит выразить J через ζ. Сухой остаток всего этого таков.

• Функцию π, которая пересчитывает простые числа, можно выразить через другую ступенчатую функцию J.

• Функцию J оказывается возможным выразить через дзета-функцию Римана ζ.

Отсюда получается, что все свойства функции распределения простых чисел π некоторым образом закодированы в функции ζ. Достаточно тщательное исследование свойств функции ζ подскажет нам все, что мы хотим узнать про функцию π, другими словами, про распределение простых чисел.

Как же все это на самом деле работает? Какова программа действий? Где в ней найдется место тем самым нетривиальным нулям? И как выглядит этот «посредник» — функция J — когда он переписан через функцию ζ? Ответ на последний вопрос я замял в конце главы 19.

Я замял ответ на этот вопрос по вполне уважительной причине, которая сейчас станет ясной. Выражение (21.1) содержит результат этого второго обращения, окончательное и точное выражение функции J(x) через дзета-функцию:

Вот с чем предстоит иметь дело. Если вы не математик, то перед вами — страшный монстрик (и где, кстати, в нем сидит дзета-функция?). Я собираюсь разобрать эту штуку на кусочки, один за другим, и показать, что творится у нее внутри. Но прежде всего сообщу, что это равенство и составляет основной результат статьи Римана 1859 года. Если вы сможете его одолеть, то поймете суть того, что сделал Риман в этой области, и получите ясное представление обо всем, что было после.

Первое, что надлежит заметить, — это что правая часть выражения (21.1) состоит из четырех частей, или членов. Первый член, Li(x), носит общее название главного члена. Про второй член, имеющий вид ∑_ρLi(x^ρ), Риман говорил во множественном числе как о «периодических членах» (periodischer Gleider) — по причинам, которые вскоре выяснятся; мы будем говорить о нем в единственном числе как о «вторичном члене». Третий член в нашей формуле — дело нехитрое. Это просто число, ln 2, равное 0,69314718055994…

С четвертым членом, несмотря на страх, который он наводит на нематематиков, разобраться на самом деле несложно. Он представляет собой интеграл, т.е. площадь под кривой, описывающей некоторую функцию, причем площадь вычисляется от аргумента x и аж до самой бесконечности. Функция здесь — это, разумеется, 1/(t(t² − 1)ln t). Нарисовав ее график (рис. 21.1), мы убеждаемся, что она очень даже отзывчива в отношении того, чего мы от нее хотим. Надо только помнить, что нас совершенно не волнуют значения аргументах, меньшие 2, поскольку J(x) равна нулю, когда x меньше двойки. Поэтому при x = 2 показанная на рисунке затемненная область — это максимальное значение, которого вообще может достигать этот интеграл (т.е. четвертый член в формуле). Площадь затемненной области, т.е. максимальное значение четвертого члена при любых x, которые вообще могут нас интересовать, составляет в действительности 0,1400101011432869….

Таким образом, взятые вместе (с учетом знаков) третий и четвертый члены ограничены интервалом от −0,6931… до −0,5531…. Поскольку изучаемая нами функция π(x) по-настоящему интересна только для миллионов и триллионов, эффект от этих двух членов невелик, так что мы практически ничего не будем о них говорить, а сконцентрируемся на двух первых членах.

Главный член тоже не представляет особой проблемы. В главе 7.viii мы уже определили функцию Li(x) как площадь под кривой 1/ln t, измеряемую от нуля до x; мы также привели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ) в виде π(N) ~ Li(N). В нашем главном члене x — вещественное число, а потому значение Li(x) можно взять из математических таблиц или же вычислить с помощью любой нормальной математической программы, типа Maple или Mathematica.[193]

Разобравшись таким образом с первым, третьим и четвертым членами в выражении (21.1), мы сфокусируемся на втором, имеющем вид ∑_ρLi(x^ρ). В нем — корень происходящего, и дело тут нешуточное. Сначала я в общих чертах расскажу, что он означает и как он попал в выражение (21.1). А потом разберу его на части и покажу, почему он играет ключевую роль для понимания распределения простых чисел.

Знак ∑ — это приглашение к тому, чтобы суммировать, т.е. складывать многое в одно. На множество, по которому производится суммирование, указывает маленькая буква ρ под знаком ∑. Эта буква — не латинская p, а ро — семнадцатая буква греческого алфавита, причем в данном случае она фигурирует в значении «корень».[194] Для вычисления этого вторичного члена надо сложить друг с другом Li(x^ρ) для всех корней, по очереди придавая букве ρ значение, равное каждому из корней. Что это, кстати говоря, за корни? Ясное дело, ведь это нетривиальные нули дзета-функции Римана!

Как же все эти нули попали в выражение для J(x)? Объяснить это я могу лишь в общих чертах. Вспомним выражение, которое мы, повернув Золотой Ключ, получили в главе 19:

Мы говорили, что у математиков есть способ обратить это выражение — вывернуть его наизнанку, т.е. выразить J(x) через дзета-функцию. Процедура обращения в действительности и длинна, и сложна; в большинстве из составляющих ее шагов задействована математика, выходящая за рамки того, что приводится в этой книге. Поэтому-то я и перескочил прямо к окончательному результату — выражению (21.1). Тем не менее, как мне кажется, я в состоянии объяснить одну часть этой процедуры. Дело в том, что один шаг в этом обращении заключается как раз в выражении дзета-функции через ее нули.

Сама по себе идея выражения функций через их нули не несет в себе особой новизны для тех, кто изучал алгебру в старших классах. Рассмотрим старые добрые квадратные уравнения, выбрав в качестве примера то, которое мы использовали в главе 17.iv, а именно z² − 11z + 28 = 0 (однако будем писать букву z вместо x, поскольку сейчас мы находимся в царстве комплексных чисел). Левая часть этого уравнения, разумеется, представляет собой функцию, причем полиномиальную функцию (т.е. многочлен). Если мы подставим в нее любое значение аргумента z, то после выполнения определенных арифметических действий получим значение функции. А если, скажем, мы подставим аргумент 10, то значением функции будет 100 − 110 + 28, что дает 18. Если подставим аргумент i, то значением функции будет 27 − 11i.

А каковы решения уравнения z² − 11z + 28 = 0? Как мы видели в главе 17, это 4 и 7. При подстановке любого из этих чисел в левую часть уравнение превращается в верное равенство, поскольку левая часть оказывается равной нулю. Другой способ выразить то же самое — это сказать, что 4 и 7 являются нулями функции z² − 11z + 28.

Теперь, зная нули, мы можем разложить эту функцию на множители. Она разлагается на множители как (z − 4)(z − 7). По правилу знаков это можно записать и как (4 − z)(7 − z). Еще один способ записи — это 28(1 − z/4)(1 − z/7). Смотрите: так или иначе, мы выразили функцию z² − 11z + 28 через ее нули! Разумеется, такое можно делать не только для квадратичных функций. Многочлен пятой степени z⁵ − 27z⁴ + 255z³ − 1045z² + 1824z − 1008 тоже можно записать через его нули (каковыми являются числа 1, 3, 4, 7, 12). Вот как: −1008(1 − z/1)(1 − z/3)(1 − z/4)(1 − z/7)(1 − z/12). Любую полиномиальную функцию можно переписать через значения ее нулей.

Полиномиальные функции обладают интересным свойством с точки зрения теории функций комплексной переменной. Область определения полиномиальной функции составляют все комплексные числа. Полиномиальная функция никогда не «обращается в бесконечность». Нет такого значения аргумента z, при котором оказалось бы невозможным вычислить ее значение. При вычислении значения полиномиальной функции для любого заданного значения аргумента используются только возведение аргумента в положительные целые степени, умножение этих степеней на числа и сложение полученных результатов друг с другом. Такое можно проделать со всяким числом.

Функции, область определения которых составляют все комплексные числа и которые ведут себя достаточно симпатичным образом (для чего имеется точное математическое определение!), называются целыми функциями.[195] Все полиномиальные функции — целые. Показательная функция — тоже целая. Однако рациональные функции, которые мы рассматривали в главе 17.ii, не целые, потому что знаменатели в них могут обращаться в нуль. Функция ln также не является целой: у нее нет значения при нулевом аргументе. Подобным же образом у дзета-функции Римана нет значения при аргументе, равном единице, а потому она не является целой функцией.

Целая функция может не иметь нулей вовсе (как, например, показательная функция: равенство e^z = 0 никогда не выполняется), может иметь их несколько (как, например, полиномиальные функции: числа 4 и 7 — нули функции z² − 11z + 28), а может — бесконечно много (как, например, синус, который обращается в нуль при всех целых кратных числа π).[196] Ну и раз полиномиальные функции выражаются через свои нули, интересно, можно ли все целые функции выразить подобным же образом? Пусть у нас есть какая-нибудь целая функция — назовем ее F, — определяемая бесконечной суммой вида F(z) = a + bz + cz² + dz³ + …, и пусть еще нам удалось узнать, что у этой функции бесконечно много нулей; назовем их ρ, σ, τ, …. Можно ли выразить данную функцию через ее нули, в виде бесконечного произведения F(z) = а(1 − z/ρ)(1 − z/σ)(1 − z/τ)… — как если бы бесконечная сумма была чем-то вроде «сверхмногочлена»?

Ответ таков: да, при определенных условиях можно. И когда такое удается сделать, получается, как правило, чрезвычайно полезная штука. Например, именно таким способом — применив подобное рассуждение к синусу — Эйлер и решил базельскую задачу.

Но какая нам польза от всего этого для дзета-функции, которая, увы, не является целой функцией? Дело в том, что в ходе упомянутой выше сложной процедуры обращения Риман преобразовал дзета-функцию в нечто слегка от нее отличающееся — в целую функцию, нули которой суть в точности нетривиальные нули дзета-функции. И эту-то слегка измененную функцию можно выразить через данные нули. (Тривиальные нули спокойно исчезли в ходе преобразования.)

Таким вот образом, после некоторой дополнительной обработки, в конце концов и получается выражение ∑_ρLi(x^ρ), в котором сумму надо брать по всем нетривиальным нулям дзета-функции.

И теперь, чтобы продемонстрировать важность вторичного члена в выражении (21.1), а также связанные с ним проблемы, мы разберем его на части. Для этого начнем с его сердцевины и будем двигаться изнутри наружу, т.е. сначала рассмотрим x^ρ, затем функцию Li, а потом уже — вопрос о суммировании по всем возможным значениям буквы ρ.

Вот, стало быть, перед нами число x, являющееся вещественным. (Окончательная цель всего упражнения состоит в том, чтобы получить формулу для функции π(x), а она осмысленна только для вещественных чисел и даже, честно говоря, для натуральных; правда, мы изменили обозначения от N к x, чтобы использовать средства математического анализа.) С этим x мы делаем такое: возводим его в степень ρ, представляющую собой комплексное число, причем если Гипотеза Римана верна, то комплексное число вида ¹/₂ + ti (где t — некоторое вещественное число). Это действие само по себе заслуживает обсуждения.

При возведении вещественного числа x в комплексную степень а + bi правила комплексной арифметики предписывают следующее. Модуль результата — т.е. расстояние до нуля, измеряемое по прямой, — есть x^a. Буква b на модуль никак не влияет. Зато фаза результата — насколько он повернут и в каком секторе комплексной плоскости лежит — зависит от x и b, но a на фазу не влияет.

При возведении вещественного числа x в степень ¹/₂ + ti, таким образом, модуль результата есть x в степени ¹/₂, т.е. √x. Фаза при этом может оказаться какой угодно — результат может угодить в любой сектор комплексной плоскости, при условии только, что расстояние от нуля равно √x. Иными словами, если при заданном x вычислять значения выражения x^ρ для множества различных нулей ρ дзета-функции, то получаемые числа будут разбросаны по окружности радиуса √x в комплексной плоскости с центром в нуле (при условии, что ГР верна!).

На рисунке 21.2 отмечены точки, представляющие собой результат возведения числа 20 в степень, определяемую первым, вторым, третьим, …, двадцатым нулем дзета-функции. Видно, что результаты разбросаны по окружности радиуса √20 (что равно 4,47213…) в комплексной плоскости, причем без особого порядка. Это происходит потому, что функция 20^s отображает критическую прямую в окружность радиуса √20 таким образом, что критическая прямая (вместе со всеми нанесенными на нее нулями дзета-функции) наматывается и наматывается на эту окружность, делая это бесконечное число раз. На математическом языке данная окружность в плоскости значений задается как 20^{критическая прямая}.

Представим себе, что наш приятель муравей Арг топает на север по критической прямой в плоскости аргумента, а на его приборчике выставлена функция 20^s; тогда его брат-близнец, муравей Знач, отслеживая соответствующие значения в плоскости значений, нарезает круги по нашей окружности. Он продвигается против часовой стрелки, и к тому моменту, как муравей Арг доберется до первого нуля дзета-функции, муравей Знач одолеет уже почти три четверти своего седьмого круга.[197]

А теперь мы найдем, одно за одним, значения функции Li во всех этих точках — во всем бесконечном числе этих точек. К сожалению, это комплексные числа, а мы определили функцию Li только для вещественных чисел — как площадь под кривой. Имеется ли способ определить Li также и для комплексных чисел? Что из себя представляют интегралы для комплексных чисел? Да, способ определить эту функцию есть; и, кроме того, да, существует способ интегрировать, когда в этом деле участвуют комплексные числа. Интегрирование на самом деле представляет собой один из важнейших элементов комплексного анализа, объект самых прекрасных и мощных теорем во всем этом разделе. Не вдаваясь в подробности, я скажу только, что, да, функция Li(z) определена[198] для комплексных чисел z.

На рисунке 21.3 показано, куда функция Li отображает первые 10 точек, изображенных на рисунке 21.2. Другими словами, (точнее, ее отрезок от ¹/₂ + 14i до ¹/₂ + 50i). Как видно, эта функция отображает критическую прямую в спираль, идущую против часовой стрелки и приближающуюся к числу πi по мере того, как аргумент взбирается вверх по критической прямой. Там, где функция 20^z бесконечно много раз наматывала и наматывала критическую прямую на окружность радиуса √20, применение функции Li разматывает ее в изящную спираль; на ней по-прежнему нарисованы точки, изображающие нули.

Теперь примемся за знак сигмы, где надо суммировать эти точки (каждая из которых — просто комплексное число) по всем возможным нетривиальным нулям дзета-функции. Для этого сначала вспомним один момент, который мы до сих пор практически игнорировали. Для каждого нетривиального нуля, расположенного на северной половине критической прямой, имеется соответствующий нуль на ее южной части. Если, например, ¹/₂ + 14,134725i — нуль дзета-функции, то нулем должно быть и число ¹/₂ − 14,134725i. На чисто математическом языке можно сказать, что если z — нуль, то и его комплексное сопряжение z' также есть нуль. (Мы помним, что z' произносится как «зет-с-чертой».^{2} Сейчас может оказаться нелишним взглянуть на рисунок 11.2 и освежить в памяти основные факты о комплексных числах.)

При выполнении суммирования южная часть критической полосы играет ключевую роль. На рисунках 21.2 и 21.3 были показаны лишь первые несколько нулей вдоль северной половины критической прямой. Для создания более полной картины, включающей и южную половину этой прямой, в самой левой части рисунка 21.4 показана плоскость комплексных чисел с отмеченной критической полосой от ¹/₂ − 15i до ¹/₂ + 15i. Этого достаточно, чтобы был виден первый нуль при ¹/₂ + 14,134725i, а также его комплексное сопряжение ¹/₂ − 14,134725i. Они отмечены буквами ρ и ρ'.

Рассматривая эту плоскость как плоскость аргумента для функции 20^z, мы получаем на средней части рисунка 21.4 картинку типа «сюда» в плоскости значений — окружность радиуса √20, где, как и на рисунке 21.2, отмечено 20^ρ, а наряду с этим отмечено еще и 20^ρ'. Заметим, что, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения функции. Такое происходит не со всеми функциями, но, по счастью, происходит с функцией 20^z. Если мы применим функцию Li, на этот раз используя в качестве ее плоскости аргумента среднюю часть рисунка 21.4, то мы увидим, что критическая прямая, которая намоталась на эту окружность бесконечное число раз под действием функции 20^z, теперь разматывается в симпатичную двойную спираль в правой части рисунка. (Рисунок 21.3 представлял собой «наезд камеры» на верхнюю часть этой спирали.) И по-прежнему, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения.

Осталось заметить еще только одну вещь перед тем, как мы приступим к сумме ∑_ρLi(20^ρ). Показанная спираль — что лучше всего видно из рисунка 21.3 — стремится к точке своего назначения не слишком быстро. Скорость, с которой она сходится, по сути дела гармоническая: если представить себе, что муравей Арг шагает на север по критической прямой, а на его приборчике выставлена функция Li(20^ρ), то муравей Знач будет двигаться по спирали, постепенно приближаясь к точке πi — приближаясь на расстояние, обратно пропорциональное высоте, на которую забрался муравей Арг. Если последний вскарабкался на высоту T, то муравей Знач будет находиться от точки πi примерно на расстоянии, пропорциональном 1/T.

Имея это в виду, мы теперь готовы взяться за сумму ∑_ρLi(20^ρ). Сложению подлежат комплексные числа, соответствующие всем нашим точкам на спирали, изображенной на рисунке 21.3, а также их комплексно сопряженным точкам на соответствующей южной части спирали. Поскольку для каждой точки северной спирали имеется ее зеркальное отображение на южной, все мнимые части сократят друг друга: для каждого a + bi найдется соответствующее a − bi, так что при их сложении получится просто 2a. Ну и отлично, потому что J(x) — вещественное число, и решительно не годится иметь мнимые слагаемые в правой части выражения (21.1)! Это и вправду хорошая новость, потому что она означает, что складывать надо только вещественные (т.е. западно-восточные) части точек на рисунке 21.3. Вклад южного полушария сводится просто к тому, что ответ удваивается, т.е. (a + bi) + (a − bi) = 2а.

Остальные новости похуже. Точки, раскиданные по спирали на рисунке 21.3, как уже было замечено, сходятся к числу πi — а их вещественные части, стало быть, сходятся к нулю — с гармонической скоростью. Сложение вещественных частей всех этих точек, следовательно, чревато опасностью, что мы будем складывать нечто вроде гармонического ряда, который, как мы помним из главы 1, расходится. Откуда нам знать, что сумма ∑_ρLi(20^ρ) сходится?

Делу помогает тот факт, что вещественные части этих точек то положительны, то отрицательны. На самом деле наша сумма похожа не на гармоническую сумму, а на ее близкого родственника, с которым мы бегло встречались в главе 9.vii:

Слагаемые здесь приближаются к нулю гармонически: 1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅, …, но чередующиеся знаки плюс и минус означают, что каждый следующий член до некоторой степени сокращает предыдущий, что и приводит к сходимости. Но эта сходимость, если использовать введенную в главе 9.vii терминологию, лишь условна. Она зависит от суммирования всех членов в правильном порядке.

Так же обстоит дело и с рядом ∑_ρLi(20^ρ). Если мы желаем обеспечить сходимость к правильному числу, то нам следует проявлять осторожность относительно порядка суммирования. Так каков же правильный порядок? Он ровно такой, как вы и подумали. Берем нули один за другим, двигаясь вверх по критической прямой, и прибавляем к каждому его комплексно-сопряженный нуль из южной части.

Итак, для вычисления суммы ∑_ρLi(20^ρ) мы сначала складываем каждый нуль дзета-функции с его зеркальным образом (т.е. с комплексным сопряжением) из южной половины плоскости аргумента. Далее эти пары надо сложить в порядке возрастания положительных мнимых частей. Таким образом, мы складываем нули в следующем порядке:

Чтобы посмотреть, что же получается в результате этого процесса, и разобраться в том, почему Риман назвал этот вторичный член «периодическими членами», поупражняемся немного в арифметике, используя конкретные значения буквы x. Как и раньше, возьмем x = 20; тем самым мы вычисляем величину J(20) — что, как несложно проверить из исходного определения функции J, равно 9⁷/₁₂ т.е. 9,5833333…. Вот как это получается.

Сначала возводим 20 в степень ¹/₂ + 14,134725i. В результате получаем точку, которая на рисунке 21.2 помечена как 1 и численно выражается как −0,302303 − 4,46191i. Интегральный логарифм от этого — т.е. функция Li — дает самую западную точку на рисунке 21.3, выражаемую числом −0,105384 + 3,14749i. Теперь разберемся с сопряженным членом из этой пары нулей. Возводим 20 в степень ¹/₂ − 14,134725i. Результат равен −0,302303 + 4,46191i. Он показан на средней картинке на рисунке 21.4. Это зеркальный образ точки, помеченной на рисунке 21.2 как 1, относительно вещественной оси. Берем интегральный логарифм и получаем ответ −0,105384 − 3,14749i — точку, лежащую глубоко на юге в правой части рисунка 21.4. Складывая два ответа, получаем −0,210768. Мнимые части, разумеется, сократились. Вот и все с первой парой сопряженных нулей.

Повторим все это для второй пары, ¹/₂ + 21,022040i и ¹/₂ − 21,022040i. На этот раз окончательный ответ будет равен 0,0215632. Для третьей пары он равен −0,0535991. С тремя парами мы разобрались, но впереди бесконечность!

После 50 таких вычислений получаем (таблицу следует читать по колонкам):

Первое значение представляет собой некоторую аномалию, поскольку самая западная точка на рисунке 21.3 отстоит от вертикальной оси более чем в два раза дальше, чем остальные. Однако затем числа в таблице уменьшаются по мере того, как значения, соответствующие северной половине критической прямой, по спирали приближаются к πi. И взгляните на их знаки — имеется примерно равное число положительных и отрицательных.[199] Это хорошая новость, потому что, хотя ответы и становятся меньше, они делают это не очень быстро, и нам потребуется вся возможная помощь, которую могут нам оказать сокращения между положительными и отрицательными значениями. Не будем забывать, что все это происходит под знаком суммы — эти 50 чисел предстоит еще сложить друг с другом. (Сумма равна −0,343864, что, кстати, составляет не более 8 процентов от полной бесконечной суммы. Не так плохо для всего лишь 50 слагаемых.)

Из рисунка 21.5 видно, почему Риман назвал эти компоненты вторичного члена «периодическими». Они изменяются нерегулярным образом (что означает, если уж быть совсем скрупулезным, что они не строго «периодические», а только «колебательные») вверх и вниз от положительных к отрицательным значениям и обратно.[200] Причина этого совершенно ясна из рисунка 21.3. Колебательная природа вторичных членов связана с тем, что, как видно из рисунка 21.3, функция Li(x^ρ) скручивает критическую прямую во все более и более плотную спираль. Значения функции, соответствующие нулям дзета-функции, могут при этом оказаться где угодно на этой спирали; определяющая причина состоит в том, что для больших x критическая прямая чрезвычайно сильно растягивается перед закручиванием. Закручивание настолько плотное, что высоко расположенный отрезок критической прямой отображается в нечто очень близкое по форме к окружности. В силу этого получается, что значения функции Li(x^ρ) в нулях дзета-функции выглядят примерно как точки, раскиданные по окружности. Если вы немного знакомы с тригонометрией, то вам известно, что это приводит нас в мир синусов и косинусов, волновых функций, колебаний, вибраций… музыки. Именно отсюда и взялось введенное сэром Майклом Берри понятие «музыка простых чисел».

По мере прибавления новых членов сами они убывают, а положительные и отрицательные до некоторой степени сокращают друг друга при суммировании, так что мы зарабатываем сходимость. Эта сходимость, правда, страшно медленная. Для получения результата с точностью в три значащие цифры приходится складывать более 7000 членов; в четыре цифры — более 86 000. На графике на рисунке 21.6 показаны первые 1000 результатов (хотя некоторые из самых левых при выбранном масштабе оказались за пределами рисунка); на этот раз не делается никаких попыток соединить точки между собой. Видно, что члены под знаком суммы действительно уменьшаются, хотя и делают это с достаточной ленцой.

Окончательный результат равен −0,370816425…. Это, как мы помним, второй член в выражении (21.1). Первый же член — это в нашем случае Li(20), равный 9,90529997763…. Третий равен ln 2, что составляет 0,69314718055994…. И четвертый член, тот самый надоедливый интеграл, добавляет пустячный результат 0,000364111…. Подставим все это в выражение (21.1) и — хлоп! — J(20) = 9,58333333… (что мы, конечно, и так знали).

Закончим тем, что с использованием формулы Римана проведем полное вычисление π(1000 000) — т.е. числа простых чисел в пределах одного миллиона — не ради веселья, хотя веселье и немалое, а для того, чтобы сделать несколько важных замечаний по поводу остаточного члена.

Как мы помним из главы 19.iv,

Сколько же членов в правой части надо вычислять? До тех пор пока числа в скобках не станут меньше 2, потому что J(x) равна нулю, когда x меньше 2. Корень девятнадцатой степени из 1000 000 равен 2,069138…, а корень двадцатой степени 1,995262… Следовательно, можно остановиться на 19. Поскольку число 19 свободно от квадратов и имеет только один простой делитель — самого себя, — функция Мебиуса μ(19) имеет значение −1. Таким образом, последний член в правой части равен −¹/₁₉J(¹⁹√1000 000). Всего в правой части будет 13 слагаемых, поскольку между 1 и 19 функция Мебиуса принимает ненулевые значения 13 раз — при аргументах 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19. Напомним, что функция Мебиуса равна нулю всякий раз, когда аргумент делится на точный квадрат (например, 4 или 9).

Каждое из этих 13 слагаемых состоит из четырех членов: главный член, вторичный член (куда и входят нули дзета-функции), член с ln 2 и интегральный член. Если сложить все эти 52 куска, получится π(1000 000) — число, про которое мы заранее знаем из главы 3.iii, что оно равно 78 498.

Вся эта арифметика расписана в таблице 21.1 (там опущены строки с N, для которых J(N) равно нулю). Двигаясь вдоль строки N и используя y для обозначения N-го корня из одного миллиона, имеем главный член , вторичный член , член с ln 2, равный , и интегральный член . Суммы по строкам должны быть равны — и в самом деле равны — выражению (μ(N)/N)J(y).

В качестве простой проверки возьмем строку с N = 6. Поскольку миллион — это 10⁶, корень шестой степени из миллиона — это просто 10. Значение J(10) легко посчитать — оно оказывается равным ¹⁶/₃. Поскольку число 10 свободно от квадратов и представляет собой произведение двух простых чисел, функция Мебиуса μ(10) имеет значение +1. Итак, в строке с N = 6 последний столбец должен быть равен (+1)×(¹/₆)×(¹⁶/₃). Это составляет ⁸/₉, что и говорится в суммарной колонке для строки с N = 6.

При N = 1 главный член, равен просто Li(1000 000); именно такое приближение к точному ответу дает нам ТРПЧ. Какова же разница между этим приближением и π(1000 000)? Ответ получается мгновенно путем простого вычитания: разность, вычисленная как π(1000 000) минус Li(1000 000) (чтобы сохранить знаки в нашей таблице), равна −129,54916. Из чего эта разница слагается?

Вот из чего:

Наибольший вклад в разницу дают главные члены. Однако эти члены вполне предсказуемы — они убывают быстро и неуклонно.

Разница, возникающая из вторичных членов, имеет тот же порядок величины, однако составляющие ее компоненты — те самые вторичные члены — вызывают куда больше беспокойства. Первый вторичный член достаточно велик и отрицателен; правда, нет никаких очевидных причин, почему он должен оказаться именно таким. Но и другие не очень помогают. Если просто двигаться вниз вдоль колонки с вторичными членами, не обращая внимания на знаки минус, а следя только за тем, будет ли каждый следующий член больше или меньше предыдущего по величине, то мы увидим такое: меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, больше. Вторичный член при N = 19 оказывается почти таким же, как и при N = 6. Все эти вторичные члены — члены, которые выражаются через нули дзета-функции, — джокеры в нашем вычислении. А члены с ln 2, как и было обещано, несущественны.

Вспомним о статье Литлвуда 1914 года (см. главу 14.vii), где он доказал, что неверно утверждение, что Li(x) всегда превосходит π(x). Это означает, что разность рано или поздно станет положительной. Поскольку главные члены очень быстро убывают по величине, а функция Мебиуса делает несколько первых из них отрицательными, включая и по-настоящему большие (при N = 2, N = 3 и N = 5), нелегко представить себе, как же эти главные члены вообще могут внести в разность какой-нибудь иной вклад, кроме как большое отрицательное число. Если в итоге разность должна оказаться положительной (а Литлвуд доказал, что такое рано или поздно случится), то это отрицательное число должно поглотиться большими, положительными, вторичными членами. Чтобы такое произошло, вторичные члены — нули дзета-функции — должны серьезным образом выйти из-под контроля. Судя по всему, так они и делают.

Чтобы еще глубже разобраться в смысле остаточного члена, снова взглянем на двойную спираль в правой части рисунка 21.4. Она представляет нам функцию Li(x^{критическая прямая}) при x = 20. Критическая прямая — испещренная, если ГР верна, всеми нетривиальными нулями дзета-функции — отображается под действием функции Li(20^z) в спираль. Что будет, если вместо 20 мы возьмем какое-нибудь большее значение х? Какой вид примут соответствующие спирали?

Общее представление о том, что при этом происходит, дается на рисунке 21.7. Там представлены три функции: Li(10^{крит. прямая}), Li(100^{крит. прямая}) и Li(1000^{крит. прямая}). Во всех трех случаях показано, как отображается один и тот же отрезок критической прямой — отрезок от ¹/₂ − 5i до ¹/₂ + 5i.

Как видно, при увеличении x от 10 до 100 и далее до 1000 происходят следующие явления.

• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам −πi и πi.

• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек −πi и πi.

• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении x между 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).

Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при ¹/₂ ± 14,134725i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек −πi и πi, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек −πi и πi независимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста x нули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда ρ равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при ¹/₂ + 14,134725i), а аргумент x достигает скромного триллиона, функция Li(x^ρ) добирается до вещественных частей, превышающих 2200.

В главе 14.vii упоминался недавний результат, полученный Бейсом и Хадсоном, — первое литлвудово нарушение (когда π(x) впервые оказывается больше чем Li(x)) происходит до, а весьма вероятно, что и при x = 1,39822×10³¹⁶. Представим себе, что нам надо повторить весь процесс, с помощью которого мы вычислили π(1000 000), но для указанного числа (назовем его числом Бейса-Хадсона) вместо 1000 000. Какая арифметика была бы тут задействована?

Ясно, что пришлось бы взять не 13, а большее число значений функции J. Корень 1050-й степени из числа Бейса-Хадсона равен 2,0028106…, а корень 1051-й степени равен 1,99896202…, так что надо будет взять корни первой, второй, …, 1050-й степени из этого числа и вычислить функцию J при всех этих аргументах. Это не так уж страшно, потому что многие числа между 1 и 1050 делятся на точные квадраты, а потому функция Мебиуса для них равна нулю. Сколь многие? На самом деле таких чисел 411, так что остается посчитать 639 значений функции J.[201]

Изображенные на рисунке 21.7 двойные спирали пересекают положительную часть вещественной оси последовательно все далее на восток — в точках 2,3078382, 6,1655995 и 13,4960622. Если бы мы проводили вычисления для числа Бейса-Хадсона, то двойная спираль пересекла бы вещественную ось при гораздо большем значении, определяемом числом, которое начинается как 325 771 513 660 и далее содержит еще 144 цифры до запятой. Спирали при этом невообразимо широкие, но, несмотря на это, все равно сходятся к πi и −πi. Это означает, что верхняя и нижняя спирали в сильной степени накладываются друг на друга — настолько сильно, что на рисунке их невозможно было бы различить. А критическая прямая, испещренная сидящими на ней нулями (если ГР верна!), колоссально растянута. Тогда на рисунке, аналогичном рисунку 21.3, в центре была бы значительно большая дыра — хотя все равно с центром в πi, — а спираль триллионы раз наматывалась бы между двумя последовательными нулями с малыми номерами, весьма эффективно разбрасывая их координаты по комплексной плоскости, так что вещественные части колебались бы между чудовищно большими отрицательными и чудовищно большими положительными числами. И все это относится только к первым из 639 строк в таблице для вычисления π(число Бейса-Хадсона). Вторичные члены и правда разошлись не на шутку.

Во всех вычислениях, проводившихся в данной главе, предполагалось (о чем мы время от времени напоминали), что ГР верна. Если она не верна, то наши изящные окружности и спирали представляют собой не более чем приближение, а где-то на большой высоте вдоль критической прямой — для значений ρ где-то далеко-далеко в той бесконечной сумме по вторичным членам — логика нашего рассмотрения рассыпается. В теории, касающейся остаточного члена, ГР занимает центральное место.

Мы достигли главной цели, поставленной перед математической частью этой книги, — показать глубокую связь между распределением простых чисел, воплощенным в функции π(x), и нетривиальными нулями дзета-функции, которые дают значительный (а по теореме Литлвуда — временами и доминантный) вклад в разность между π(x) и Li(x), т.е., другими словами, в остаточный член в ТРПЧ.

Все это открылось нам в блестящей работе Бернхарда Римана 1859 года. Сегодня, конечно, мы знаем намного больше, чем было известно в 1859 году. Однако великая головоломка, впервые сформулированная в той работе, по-прежнему остается нерешенной — она противостоит атакам лучших умов планеты так же твердо, как когда Риман писал о своих «недолгих бесплодных попытках» доказать ее в далекие времена, когда аналитическая теория чисел только-только родилась. Каковы же перспективы на сегодняшний день, когда усилия расколоть орешек ГР прилагаются уже пятнадцатое десятилетие?

Глава 22. Она или верна, или нет

Можно находить известное удовлетворение в наличии некоторой симметрии, выражающейся в том, что после стодвадцатилетнего пребывания среди математиков Гипотеза Римана (ГР) привлекла внимание и физиков. Как отмечалось в главе 10.i, сам Риман в большой степени обладал воображением, присущим ученому-физику. «Четыре из девяти работ, которые он успел сам опубликовать, относятся к физике» (Лаугвитц). Кроме того, как мне напомнила специалист по теории чисел Ульрике Форхауер[202], во времена Римана деление на математиков и физиков было не слишком отчетливым. А незадолго до того оно не проводилось вовсе.

Гаусс был первоклассным физиком в той же мере, что и первоклассным математиком, и его немало озадачила бы идея рассматривать эти две дисциплины по отдельности.

Джонатан Китинг[203] рассказывает следующую историю — на мой взгляд, имеющую легкий оттенок сверхъестественного:

Разумеется, добавляет Джонатан, в распоряжении Римана не было операторной алгебры XX столетия, которая помогла бы ему в задаче о возмущениях и дала бы ему все возможные частоты вибраций в виде спектра собственных значений. Ему приходилось продираться сквозь дифференциальные уравнения, создавая специально для своих целей некоторый зачаток теории операторов. И все же трудно поверить, что ум столь острый и столь проницательный, как у Римана, не заметил бы аналогии между нулями дзета-функции, нанизанными на критическую прямую, и спектром частот в теории возмущений — аналогии, которая при столь драматических обстоятельствах высветилась за чашкой вечернего чая в Фалд-Холл 113 лет спустя!

Мне довелось услышать этот рассказ Китинга в Институте Куранта при Нью-Йоркском университете в начале лета 2002 года. Поводом была четырехдневная серия лекций и дискуссий, организованная Американским математическим институтом (АМИ). Называлось все это мероприятие «Рабочее совещание о дзета-функциях и связанных с ними гипотезах Римана».

На эту конференцию были приглашены многие знаменитости. Показался и сам Атле Сельберг, нисколько не потерявший прежнюю остроту ума в свои 84 года. (В ходе самого первого выступления он поддел Питера Сарнака по поводу одного факта из истории математики. Во время обеденного перерыва я отправился в великолепную библиотеку Курантовского института и проверил, как оно на самом деле. Сельберг оказался прав.) Присутствовали многие из тех, чьи имена мы упоминали в предшествующих главах, включая обоих открывателей закона Монтгомери-Одлыжко. Среди других участников был нынешняя математическая супер-звезда Эндрю Уайлс, ставший знаменитым после того, как доказал Последнюю теорему Ферма, Хэролд Эдвардс, автор несколько раз упоминавшейся самой надежной книги о дзета-функции, и Дэниел Бамп — одно из двух имен, связанных с самым неординарным на слух из всех результатов, имеющих отношение к ГР, — теоремой Бампа-Нг.[204]

В последние годы АМИ превратился в значительную силу, направленную на штурм ГР. Конференция в Курантовском институте была третьей из спонсировавшихся АМИ конференций по проблемам, связанным с ГР. Первая состоялась в университете штата; Вашингтон в Сиэтле в августе 1996 года и была приурочена к 100-летию доказательства Теоремы о распределении простых чисел, данного Адамаром и де ля Валле Пуссеном. Вторая проводилась в 1998 году в Институте Эрвина Шредингера в Вене. В целом АМИ вовсе не ограничивает свою деятельность исследованиями Гипотезы Римана — ни даже просто теорией чисел. Например, недавно АМИ поддержал проект по исследованиям в области общей теории относительности. Но в отношении ГР они сделали очень много, чтобы собрать вместе исследователей из различных областей, развивающих различные, уже упоминавшиеся нами подходы: алгебраический, аналитический, вычислительный и физический.

АМИ был основан в 1994 году Джеральдом Александерсоном — крупной фигурой в американской математике (кстати, Александерсон — автор очень хорошей книги о Джордже Пойа) и Джоном Фраем — калифорнийским бизнесменом. Фрай происходит из семьи предпринимателей. Его родителям принадлежала пользующаяся успехом сеть супермаркетов в Калифорнии. Джон еще в юности влюбился в математику и в 1970-х годах учился математике в университете Санта-Клары, где в то время работал Александерсон. После окончания университета Джону пришлось решать, продолжать ли семейную традицию в бизнесе или поступать в аспирантуру. Джон сделал выбор в пользу бизнеса и вместе с двумя братьями основал сеть магазинов электроники (Fry's Electronics), сначала только в Калифорнии, а в последнее время выросшей до масштабов всей страны.

Джон Фрай и Джерри Александерсон не теряли друг друга из виду. Их общим интересом было коллекционирование редких математических книг и оригинальных статей. В начале 1990-х годов они загорелись идеей основать математическую библиотеку, в которой хранилось бы их собрание. Это постепенно развилось в план устройства математического института. Они привлекли еще Брайана Конри — одногруппника Джона в университете Санта-Клары, получившего относительную известность в области теории чисел и чрезвычайно успешно руководившего факультетом в университете штата Оклахома.

В течение нескольких первых лет своего существования АМИ почти целиком финансировался из личных пожертвований Джона Фрая, доходивших до 300 000 долларов в год. Это был тот самый случай, когда добрые дела творятся втихую. Джон — сдержанный и склонный к уединению человек, не выставляющий напоказ того, что он делает. Когда я впервые услышал об АМИ, я принялся искать портрет Фрая в Интернете; но портретов там не нашлось. В своей собственной среде, однако, т.е. среди математиков и людей, любящих математику, до Джона добраться несложно. В ходе конференции в Курантовском институте в Нью-Йорке он пригласил нескольких человек, включая и меня, на ланч. Высокий живой человек с лицом, которое загорается, когда он начинает говорить о математике. Я хотел осторожно поинтересоваться, не приходилось ли ему жалеть о своем решении пойти в бизнес, а не по академической стезе, но все-таки решил, что вопрос не слишком уместный, и я не воспользовался представившейся мне возможностью.

Побывав за несколько дней до конференции в Курантовском институте в штаб-квартире АМИ, я выяснил, что она располагается во вполне рядовых офисных помещениях, соединенных с магазином Фрая в Пало-Альто в Калифорнии. Однако в 2001 году АМИ подал заявку в National Science Foundation[205] на поддержку финансирования центра для конференций на зеленом 200-акровом участке к югу от Сан-Хосе в Калифорнии. Средства были выделены, и исследовательские программы будут осуществляться по новому адресу с декабря 2002 года.

Начало другому предприятию, финансируемому, подобно АМИ, из частных источников, было положено на Восточном побережье Соединенных Штатов в 1998 году, когда бостонский бизнесмен Лэндон Т. Клей и гарвардский математик Артур Джаффе организовали Математический институт Клея (МИК). Если первое крупное мероприятие, проведенное АМИ, было посвящено столетию Теоремы о распределении простых чисел, то в МИК решили отметить годовщину доклада Гильберта на Парижском конгрессе 1900 года.

Для этого в мае 2000 года МИК организовал двухдневное мероприятие, в Коллеж де Франс в Париже, в ходе которого было объявлено о создании фонда в семь миллионов долларов — по миллиону в качестве награды за решение каждой из семи великих математических проблем. Естественно, ГР была включена и значилась как проблема номер 4. (Выбранный порядок определялся длиной фразы, в которой проблема формулируется, чтобы объявление об установленных наградах выглядело приятнее.) Не знаю, как там с шестью остальными проблемами, но миллион долларов нельзя считать значительным дополнительным стимулом, чтобы доказать или опровергнуть Гипотезу. К началу XXI века она твердо заняла свое место в качестве нерешенной проблемы в математике, так что любой, кто бы ни решил ее, в довершение к непреходящей славе получил бы еще и финансовую выгоду в размере, намного превышающем миллион долларов, за одни только лекции, интервью и авторские отчисления.[206]

Так каковы же перспективы доказательства или опровержения ГР? Высказывать прогнозы по предметам подобного рода — прекрасный способ выставить себя дураком. Это остается верным даже и в том случае, если вы великий математик, каковым я, понятно, не являюсь. Семьдесят пять лет назад, читая лекцию нематематической аудитории, Давид Гильберт расположил три задачи в порядке возрастания сложности.

• Гипотеза Римана.

• Последняя теорема Ферма.

• «Седьмая» — другими словами, проблема номер 7 в списке из 23 проблем, которые Гильберт огласил на конгрессе 1900 года. В явной формулировке: если a и b — алгебраические числа, то a^b трансцендентно (см. главу 11.ii), за исключением тех случаев, когда это не так по очевидным и тривиальным причинам.

Гильберт утверждал, что ГР будет решена в течение его жизни, а Последняя теорема Ферма будет доказана в течение жизни младшего поколения из тех, кто присутствовал в аудитории, но «никто в этом зале не доживет до доказательства Седьмой». На самом деле Седьмая проблема была доказана менее 10 лет назад Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером, которые работали независимо. Насчет Последней теоремы Ферма Гильберт был с некоторой натяжкой прав — ее доказал Эндрю Уайлс в 1994 году, когда младшим из слушателей Гильберта должно было стукнуть девяносто с небольшим. Однако он радикально ошибся насчет ГР. Если ГР сыграет и со мной злую шутку — если все то, что я собираюсь сказать, обесценится и «умножится на нуль» из-за того, что доказательство ГР появится в тот момент, когда эта книга будет лежать уже в переплетном цехе, — если такое случится, то я, по крайней мере, буду утешаться тем, что окажусь в неплохой компании.

Итак, я подставляю шею и говорю, что, по моему мнению, доказательство ГР лежит где-то далеко за границами того, что нам сегодня доступно. Обзор новейшей истории попыток доказательства Гипотезы Римана несколько напоминает изложение хода затяжной и тяжелой войны. Случаются внезапные наступления, застающие неприятеля врасплох, масштабные битвы и перемены судьбы, от которых сжимается сердце. Наступают и временные затишья — периоды истощения, когда обе измученных войной стороны почти ничего не предпринимают, но совершают вылазки малыми силами для проверки оборонительных рубежей противника. Случаются и прорывы, за которыми следует всплеск энтузиазма, но также бывают и патовые ситуации, сопровождаемые периодом апатии.

Мое впечатление о состоянии дел на данный момент (середина 2002 года) — хотя надо оговориться, что это лишь впечатление наблюдателя, который сам в бою не участвует, — таково, что исследователи находятся в патовой ситуации. В битве наступило затишье. Мощнейший взрыв интереса, вызванный доказательством гипотез Вейля, предложенным Делинем в 1973 году, и продвижениями Монтгомери-Одлыжко в период с 1972 по 1987 год, как мне кажется, исчерпался.

В мае 2002 года я провел три дня в офисе АМИ в Пало-Альто, занимаясь тем, что просматривал видеозапись конференции 1996 года в Сиэтле. А через месяц после этого я был на рабочем совещании в Институте Куранта. Вычитание числа 1996 из числа 2002 дает шесть лет. «Вычитание» содержания конференции в Сиэтле из курантовского совещания показывает, что математики, собравшиеся в Институте Куранта, смогли показать не так много нового. Вообще-то это не слишком неожиданное заявление, и я никоим образом не придаю ему пренебрежительного или уничижительного оттенка. Деятельность, о которой идет речь, исключительно трудна. Прогресс в ней дается не быстро, а шесть лет — срок в истории математики небольшой. (Доказательство Последней теоремы Ферма потребовало 357 лет!) И кроме того, на совещании в Курантовском институте были яркие доклады молодых математиков, таких как Иван Фесенко.

Но основное впечатление все же свелось к тому, что наблюдается патовая ситуация. Как будто бы ГР представляла собой гору, на которую совершается восхождение, но с какого направления к ней ни подбираешься, рано или поздно застреваешь у края широкой и бездонной расселины. Я сбился со счета, пытаясь прикинуть, сколько раз, будь то в 1996 или в 2002 году, докладчик заканчивал свое выступление, буквально разводя руками: «Это, конечно, очень важное достижение, однако неясно, удастся ли перекинуть отсюда мостик к доказательству классической Гипотезы Римана…»

Сэр Майкл Берри, который знает толк в словах, ввел в обращение концепцию «кларитона», который он определяет как «элементарную частицу внезапного понимания».[207] В области ГР в настоящее время ощущается дефицит кларитонов.

Эндрю Одлыжко: «Сказано, что, кто бы ни доказал истинность Теоремы о распределении простых чисел, тот достигнет бессмертия. И верно: и Адамар, и де ля Валле Пуссен дожили до девяноста с лишним лет. Возможно, ГР не верна; но если кто нибудь сумеет доказать ее ложность — найти нуль вне критической прямой, — то он умрет на месте и о его результате никто никогда не узнает».

Если оставить в стороне вопрос о поиске доказательства, то каковы ощущения математиков насчет ГР? Что им подсказывает их интуиция? Верна ГР или нет? Что они по этому поводу думают? Я специально спрашивал всех математиков, с которыми удавалось поговорить, верят ли они в справедливость Гипотезы. Ответы образовали широкий спектр с довольно разнообразным набором собственных значений.

Для тех математиков, кто верит в ее справедливость (сюда относится, например, Хью Монтгомери), определяющую роль играет совокупная убедительность свидетельств в ее пользу. Но всем профессиональным математикам известно, что веские свидетельства и указания могут сыграть злую шутку. Имелись веские основания полагать, что Li(x) всегда превосходит π(x), пока Литлвуд не показал в 1914 году, что это не так. Верно, скажут вам те, кто верует в ГР, но ведь то были всего лишь свидетельства, затрагивающие только одну нить, ведущую к ГР. Численные свидетельства вкупе с неподкрепленным предположением, что второй член — т.е. член с интегральным логарифмом −¹/₂Li(x^1/2) — будет и далее доминировать в разности, которая в силу этого будет оставаться отрицательной. А к самой Гипотезе ведет большее число нитей. На Гипотезе Римана основано огромное количество результатов, большинство из которых весьма разумны и — если использовать слово, которое особенно нравится математикам, — изящны. Имеются сотни теорем, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…». Если ГР окажется ложной, то все они рассыплются. Это, понятно, было бы нежелательным, так что тех, кто верует, можно упрекнуть в выдавании желаемого за действительное, и, однако же, дело не в нежелании потерять все эти результаты, а в факте их существования. В веских свидетельствах.

Другие математики полагают (как полагал Алан Тьюринг), что ГР, скорее всего, не верна. Мартин Хаксли[208] — один из неверующих наших дней. Его неверие основано исключительно на интуитивных посылках — если процитировать аргумент, впервые выдвинутый Литлвудом, «Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из анализа, как правило, оказывается ложной. Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из алгебры, как правило, оказывается истинной».

Ответ, который мне нравится больше всех, принадлежит Эндрю Одлыжко. Ему я на самом деле задал этот вопрос впервые — он был первым математиком, к кому я обратился, когда вынашивал планы написания этой книги. Мы отправились ужинать в ресторан в городок Саммит в Нью-Джерси. Эндрю в то время работал в Белловских лабораториях (сейчас он в университете Миннесоты). Я в то время был новичком во всем, что касалось ГР, и мне приходилось много всего изучать. Покончив с превосходной итальянской едой и проведя два часа за серьезным разговором о математике, мы подошли к моменту, когда у меня больше не осталось, о чем спрашивать; тогда я сказал:

Кроме этого мне ничего не удалось из него вытянуть. Он просто не желал связывать себя никаким утверждением. В другом разговоре, состоявшемся позднее и в другом месте, я спросил Эндрю, имеются ли веские математические причины полагать, что Гипотеза не верна. Да, сказал он, некоторые имеются. Например, можно разбить дзета-функцию на различные части, каждая из которых будет вам говорить что-то свое о поведении дзета-функции. Одна из этих частей — так называемая S-функция (никакого отношения не имеющая к функции, которую мы обозначали как S(x) в главе 9.ii). Во всем интервале, в котором до сих была изучена дзета-функция, — т.е. для аргументов на критической прямой до высоты около 10²³ — S в основном барражирует между −1 и +1. Наибольшее известное ее значение равно примерно 3,2. Имеются серьезные основания думать, что если S сумеет в какой-то момент добраться до величины около 100, то ГР может оказаться в беде. Ключевое слово здесь — «может»; достижение функцией S значений около 100 — это необходимое условие для того, чтобы с Гипотезой Римана случилась беда, но не достаточное.

Могут ли значения функции S когда-нибудь вообще стать столь большими? Представьте себе, могут. На самом деле Атле Сельберг в 1946 году доказал, что S неограничена; другими словами, рано или поздно, если только забраться достаточно высоко по критической прямой, значение этой функции превысит любое заранее выбранное число! Скорость роста функции S столь чудовищно мала, что соответствующие высоты находятся за пределами воображения, но тем не менее нет сомнений, что S в конце концов дойдет до 100. Докуда надо будет исследовать критическую прямую, чтобы увидеть, как S достигнет такой величины? Эндрю: «Возможно, до T, равного ». Это намного больше, чем современные вычислительные возможности, да? «О да. Серьезно больше».

Вопрос, который всегда задают читатели-нематематики, вопрос, который возникает всякий раз, когда математики обращаются к аудитории из простых людей: какая от всего этого польза? Предположим, что Гипотезу Римана доказали или опровергли. Какие практические следствия отсюда произойдут? Станем ли мы от этого здоровее, повысится ли наш комфорт, станет ли наша жизнь более безопасной? Изобретут ли новые устройства? Сможем ли мы быстрее путешествовать? Получим ли более разрушительное оружие? Колонизируем ли Марс?

Пожалуй, мне пора снять маску и предстать перед вами в образе чистого математика sans mélange[209], которого вообще не интересуют подобные вопросы. Для большинства математиков — как и для большинства физиков-теоретиков — стимулом является не какая бы то ни было идея об улучшении здоровья или повышении комфорта человеческой расы, но чистая радость открытия и удовольствие от преодоления сложных проблем. Математикам, в общем, приятно, когда их результаты находят какое-нибудь практическое применение (во всяком случае, если это применение в мирных целях), но мысли о таких вещах не часто проникают в ту сферу их жизни, которая связана с работой. На конференции в Курантовском институте я просидел четыре дня с 9:30 до 18:00 вечера на докладах, где рассказывалось о вопросах, связанных с ГР, и ни разу не слышал, чтобы упоминались практические приложения.

Вот что по этому поводу говорил Жак Адамар в своей книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики»:

Г.X. Харди на заключительных страницах своей странной «Апологии» высказался по этому поводу более резко и откровенно:

В отношении теории простых чисел применимо высказывание Адамара «Ответ возникает перед нами еще до того, как возник вопрос», а заявление Харди уже не верно. С конца 1970-х годов простые числа стали приобретать все большее значение в создании методов шифровки — как в военных, так и в гражданских целях. Способы, позволяющие проверить, является ли данное большое число простым, способы разложения больших чисел на простые множители, способы производства простых чисел огромной величины — все эти вопросы действительно приобрели исключительно e практическое звучание в последние два десятилетия XX века. Теоретические результаты, включая и несколько из тех, что получил Харди, сыграли существенную роль на пути к этим достижениям, которые, среди прочего, позволяют использовать кредитную карту для покупки товаров через Интернет. Разрешение вопроса о ГР, несомненно, повлекло бы дальнейшее развитие в этой области, переведя в разряд истинных все те бессчетные теоремы о простых числах, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…», и подстегнув дальнейшие открытия.[210]

И конечно, если физики и правда преуспеют в идентификации «римановой динамики», то это изменит наше понимание физического мира.

К сожалению, невозможно предсказать, к чему приведет такое изменение. Даже умнейшие люди не в состоянии высказывать подобные предсказания, а тем, кто их все же высказывает, доверять не следует. Вот математик за работой всего около 100 лет назад:

Это из автобиографии Бертрана Рассела. Терзавшая его проблема состояла в попытке найти определение «числа» на языке чистой логики. В самом деле, что именно обозначает «три»? Немецкий логик Готлоб Фреге ранее предложил ответ, но Рассел нашел изъян в рассуждениях Фреге и искал способ заделать дыру.

Если бы вы спросили Рассела в течение одного из этих летних периодов отчаяния, мог ли предмет его затруднений привести к каким-нибудь практическим приложениям, то он бы разразился смехом. Его занятия являли собой чистейший образец чистейшего интеллекта — до такой степени, что даже сам Рассел, математик по образованию, временами недоумевал, чего ради он этим занимается. «Казалось, что негоже взрослому человеку проводить свое время за такими никчемными вещами…» — замечал он. На самом деле работа Рассела в конце концов привела к появлению Principia Mathematica — ключевого момента в современных исследованиях оснований математики. Среди плодов этого исследования к настоящему времени числятся и победа во Второй мировой войне (или, во всяком случае, победа меньшей ценой, чем это в противном случае произошло бы), и машины, подобные той, на которой я набираю эту книгу.[211]

К ГР поэтому следует подходить в духе Адамара и Харди (но желательно без того оттенка меланхолии, который Харди внес в свое «отречение»). Как сказал мне Эндрю Одлыжко, «она или верна, или нет». Когда-нибудь это станет известно. Я представления не имею, какими будут следствия, и я не думаю, что кто бы то ни было другой это знает, однако я уверен, что последствия будут огромными. В конце охоты наше понимание претерпит изменение, а до этого момента радость и очарование заключаются в самой охоте, а для тех из нас, у кого нет подходящего снаряжения, — в наблюдении за энергией, решимостью и изобретательностью охотников. Wir müssen wissen. Wir werden wissen.