Путеводитель для влюбленных в математику

Прелюдия: теорема и доказательство

Что мы имеем в виду, когда говорим о чем-либо, что это правда? В науке истина открывается через наблюдения, часто во время эксперимента. Мы знаем, что планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам – к такому выводу пришел Иоганн Кеплер[8], дотошно изучив данные, полученные Тихо Браге[9]. Мы знаем, что скорость света в вакууме – это постоянная величина, – знаем опять-таки на основе повторяющихся непосредственных наблюдений.

На самом деле орбиты планет не совсем эллиптические, потому что притяжение Солнца в данном случае не единственный воздействующий фактор, гравитационные поля планет тоже влияют друг на друга. И мы не знаем наверняка, что скорость света в нашей галактике совпадает со скоростью света, скажем, в галактике Андромеды, потому что мы еще не добрались туда и не поставили необходимые эксперименты.

В науке истина не абсолютна – это цепочка приблизительных суждений, становящихся все более точными. Нам кажется, что Земля плоская, и для большинства повседневных дел это на редкость верное приближение. Однако если мы намерены предпринять путешествие на значительное расстояние от дома, такое приближение становится ошибочным. Гораздо лучше будет считать Землю шарообразной. Эта модель работает прекрасно, пока мы не начинаем путешествовать на куда бо́льшие дистанции, и тогда гораздо лучше считать Землю сфероидом, сплющенным на полюсах: длина экватора немного больше, чем длина линии сечения Земли плоскостью, проходящей через полюса[10]. Эта геометрическая форма была предсказана теорией и затем подтверждена экспериментальными данными.

В отличие от остальных наук, в математике истина абсолютна. Когда мы утверждаем, что сумма двух нечетных чисел – четное число, мы подразумеваем, что это всегда так, со стопроцентной гарантией. Откуда мы знаем? Дело в том, что мы можем доказать это.

Математическое доказательство приводит к полной уверенности. В других сферах человеческой деятельности тоже используется слово «доказательство». Например, экспертиза ДНК способна доказать вину или невиновность подозреваемого. Точность этой экспертизы высока, но не идеальна. ДНК-следы, найденные на месте преступления, могут быть испорчены. Или вдруг у преступника обнаружится брат-близнец. ДНК-следы ничего не говорят о том, что́ совершил обвиняемый, даже если он действительно побывал на месте преступления.

В математике критерии истины и проверки на истинность абсолютны. Верные математические утверждения называют теоремами. Вот простой пример: Сумма двух нечетных целых чисел – четное целое число. Например, 3 и 11 – нечетные числа, а их сумма 3 + 11 = 14 – четное число. Утверждение о том, что сумма двух нечетных чисел – четное число, имеет абсолютную силу и не допускает исключений.

Откуда мы это знаем? Мы можем снова и снова придумывать пары нечетных чисел и всякий раз убеждаться в том, что их сумма – четное число. Так работают естественные науки, но не математика. Мы абсолютно уверены, что теорема верна, потому что можем привести доказательство.

Чтобы не быть голословным, приведу это доказательство здесь. Вначале нам нужно точно договориться, что значит «четное» и «нечетное». Вот определения:

• Целое число X называется нечетным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a + 1. Например, 13 – нечетное число, потому что его можно выразить как 2 × 6 + 1.

• Целое число X называется четным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a. Элегантная формулировка: четное целое число – результат удвоения другого целого числа. Например, 20 четное, потому что 20 = 2 × 10.

После этих определений мы можем перейти к доказательству теоремы о том, что сумма двух нечетных целых чисел – четное число[11].

Доказательство. Пусть X и Y – нечетные целые числа. Это означает, что X = 2a + 1 и Y = 2b + 1, где a и b – целые числа. Сумма X и Y может быть представлена следующим образом:

Итак, X + Y представляет собой удвоенное целое число. Таким образом, X + Y – четное число.

Доказывать теоремы непросто, но это гораздо увлекательнее, чем читать чужие доказательства, потому попробуйте доказать следующее: результат перемножения двух нечетных целых чисел – тоже нечетное число. Попытайтесь справиться с задачей самостоятельно, а потом сверьтесь с доказательством в конце раздела[12].

Другие математические теоремы гораздо интереснее, а их доказательства гораздо сложнее, но цель у них все та же: обосновать математический факт со стопроцентной уверенностью.

Итак:

Интересные теоремы красивы. Надеюсь, этот «Путеводитель» поможет вам видеть математическую красоту и наслаждаться ею.

Какие три слова жаждут услышать математики?

Конечно, нам греет душу фраза: «Я люблю тебя», но в данном случае речь идет о других заветных словах: «Quod erat demonstrandum». В переводе с латинского они означают: «Что и требовалось доказать» – и обычно завершают математическое доказательство. Впрочем, немногие пишут эту фразу целиком, большинство ученых ограничиваются аббревиатурой QED. К сожалению, и она уже вышла из моды, и сейчас в конце доказательства принято использовать символ, например небольшой квадрат: □.