Путеводитель для влюбленных в математику

1

Кто-то сочтет, что слова «радость» и «красота» неприменимы к математике, но не стоит путать чудесную математику со скучной арифметикой. Мы же не ставим знак равенства между чтением великой литературы и зазубриванием правил орфографии. – Здесь и далее, кроме особенно оговоренных случаев, примечания автора.

2

Доказательство того, что простых чисел бесконечно много, вы обнаружите в главе 1.

3

Годфри Харди (1877–1947) – профессор Оксфордского и Кембриджского университетов, известный своими работами по теории чисел и математическому анализу. – Прим. пер.

4

5

Некоторые главы отсылают к предыдущим, но эта взаимосвязь слабо выражена.

6

Особенная благодарность Дэнни за идею названия книги и Ионе за рисунок подзорной трубы (см. главу 7).

7

Перевод Василия Комаровского (1913). – Прим. пер.

8

Иоганн Кеплер (1571–1630) – немецкий математик, физик, астроном и астролог. – Прим. пер.

9

Тихо Браге (1546–1601) – датский астроном, астролог и алхимик. – Прим. пер.

10

То есть меридиана. – Прим. науч. ред.

11

Стоит отметить, что доказательство – это не просто набор уравнений. Это рассуждение, шаг за шагом ведущее нас от исходных посылок (X и Y – нечетные числа) к неопровержимым выводам (X + Y – четное число).

12

Подсказка. Первый шаг вашего доказательства должен быть таким: «Пусть X и Y – нечетные числа». Заключительный шаг: «Таким образом, XY – нечетное число».

13

Ричард Фейнман (1918–1988) – американский физик-теоретик, один из разработчиков атомной бомбы, лауреат Нобелевской премии 1965 года «за фундаментальные работы по квантовой электродинамике, имевшие глубокие последствия для физики элементарных частиц». – Прим. пер.

14

Вот фраза Фейнмана: «Все вещи состоят из атомов – крохотных частиц; они пребывают в бесконечном движении, притягивая друг друга, когда расстояние между ними невелико, и отталкивая друг друга, когда сжаты вместе».

15

Немного странно изобретать отдельное название для категории чисел, куда входит всего один элемент. На самом деле термин «единичный элемент», или «единица», имеет более широкое значение в сложных областях математики, но в применении к целым числам дает одно-единственное число: 1.

16

По этой причине мы исключили число 1 из множества простых чисел. Простые числа – это неделимые кирпичики; с их помощью мы выстраиваем любое положительное целое число путем умножения. С этой точки зрения число 1 бесполезно.

17

Теорема – это математическое утверждение, которое может быть неопровержимо доказано. Теорема в корне отличается от научной теории, представляющей собой модель или объяснение, которое подтверждается экспериментами. Также теорема отличается от математической теории, представляющей собой совокупность определений и теорем по определенной проблематике.

18

Мы не даем доказательства основной теоремы арифметики. Его можно найти в большинстве книг по теории чисел – области математики, изучающей свойства чисел.

19

Возведение числа в нулевую степень – пример пустого произведения. По определению, 10ⁿ представляет собой результат умножения числа 10 на само себя n раз. В случае n = 0 значение выражения 10⁰ равно 1: это результат перемножения при отсутствии элементов!

20

Евклид – автор геометрического трактата «Начала», вершины античной математики. Его научная деятельность протекала в Александрии на рубеже IV и III веков до н. э. – Прим. пер.

21

Подобным образом преступника ловят на лжи. «Вы утверждаете, что были дома в ту ночь, мистер Нулик?» – «Да». – «Чем вы занимались?» – «Телевизор смотрел». – «А вы в курсе, что в тот вечер отключали электричество?» – «Э…» Очевидно, что мистер Нулик в столь поздний час не смотрел телевизор!

22

Представим себе, что последнее простое число равно 13. Тогда N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031.

23

Есть изощренные методы, позволяющие установить, является число простым или составным. С их помощью можно легко решить эту задачу даже на домашнем компьютере.

24

Вообще говоря, это утверждение надо доказать. В частности, надо доказать, что удалена точно, а не приблизительно треть. – Прим. науч. ред.

25

Дадим зарок не пользоваться ничем, кроме карандаша и бумаги, и попробуем самостоятельно убедиться в том, что перемножать простые числа сравнительно легко, а раскладывать их произведение на множители – сложно. Для начала умножим 227 на 281. Если ни на что не отвлекаться, можно найти шестизначный ответ за пару минут. А теперь попробуйте найти без калькулятора два трехзначных простых множителя числа 211 591. Это не так-то просто. Ответ будет в конце главы.

26

Термин «открытый ключ» означает, что раскрытие алгоритма шифрования – ключ к нему находится в открытом доступе – еще не рассекречивает сообщение. Один из таких алгоритмов изобрели в 1970-е Рон Ривест (Ron Rivest), Ади Шамир (Adi Shamir) и Леонард Адлеман (Leonard Adleman); по первым буквам их фамилий метод назвали RSA.

27

Криптографические системы на основе перемножения простых чисел будут эффективны лишь до тех пор, пока ученые не усовершенствуют квантовые компьютеры, где логические элементы (кубиты) могут находиться в состоянии 0 и 1 одновременно. Теоретически так называемый алгоритм Шора с помощью квантового компьютера способен разложить большое число на простые множители почти так же быстро, как происходит само шифрование. – Прим. пер.

Несмотря на то что математики уже больше ста лет знают, что решение задачи о трисекции угла с помощью слепой линейки и циркуля невозможно, все время находятся энтузиасты, предлагающие очередное «решение». Анализ самых остроумных попыток можно найти в книге Андервуда Дадли «Смета трисекций» (A Budget of Trisections).

Один из них равен – i, потому что (– i) × (– i) × (– i) = (– i)³ = i. Но чему равны другие два? Ответ вы найдете в конце главы.

28

Популярный слоган на футболке математика: «Все люди делятся на 10 категорий: те, кто понимает двоичную систему счисления, и те, кто в ней ничего не смыслит». Когда вы прочтете эту главу, вы тоже сможете шутить в этом духе.

29

Позиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение каждого символа в записи числа зависит от его позиции (разряда). – Прим. пер.