Рассказы о математиках

Леонардо да Винчи (1452–1519)

Леонардо да Винчи — крупнейший представитель итальянского Возрождения — был «не только великим художником, но и великим математиком, механиком и инженером, которому обязаны важными открытиями самые разнообразные отрасли физики»[11]. В любой области знаний он оставил глубокий след. Он занимался с увлечением и большой проницательности такими науками, как математика, механика, физика, астрономия, геология, ботаника, анатомия и физиология человека и животного.

Леонардо да Винчи написал трактат «О многообразии» (1505), где изложил весьма интересный геометрический материал, нужный в скульптуре, зодчестве и строительном искусстве. Значительное место в трактате занимают вопросы преобразования равновеликих площадей и объемов. При определении площади эллипса Леонардо да Винчи пользовался методом «неделимых», получившим свое развитие позднее у итальянского математика Бонавентура Кавальери (1598–1647).

В математике Леонардо да Винчи видел образец научного доказательства. «Никакое человеческое исследование, — говорил он, — не может быть названо истиной, если оно не проходит через математические доказательства».

Сквозь призму математических знаний он лучше понимал перспективу картин и глубже проникал в окружающий мир. Математика во всей его жизни была верным и надежным помощником.

В физике Леонардо да Винчи особенно увлекался оптикой, занимавшей его и как ученого, и как художника. Он провел множество наблюдений, касающихся влияния прозрачных и полупрозрачных сред на воспринимаемую окраску предметов.

Ученый предпринял первые попытки экспериментально определять силу света в зависимости от расстояния.

В области изобразительного искусства Леонардо да Винчи создал замечательные шедевры, которые поражают человека красотой форм и глубиной внутреннего содержания. Его картины «Тайная вечеря», «Мадонна в скалах», «Монна Лиза» («Джоконда») будут всегда радовать глаз человека, доставляя людям высокое наслаждение.

Леонардо да Винчи, хотя и писал картины на религиозные темы, был атеистом. Картины его глубоко человечны и по содержанию далеки от религиозных канонов. Он решительно отвергал слепую веру в церковные догмы и был сторонником светлого разума и творческого гения человека. Леонардо да Винчи высмеивал утверждение церковников, что Земля плоская и находится в центре Вселенной. Он полагал, что Земля — рядовая планета и движется вокруг Солнца, т. е. в форме догадки высказывал идею о гелиоцентрической системе мира.

В своей классификации млекопитающих Леонардо да Винчи причислял человека к семейству обезьян и отрицал библейские измышления по поводу божественного сотворения первого человека.

Леонардо да Винчи отвергал божественность Христа, рассматривал почитание икон, как идолопоклонство, не верил в церковное учение о загробной жизни, возмущался жадностью служителей культа, высмеивал церковный аскетизм и продажу индульгенций, как прямое надувательство верующих людей.

Работы Леонардо да Винчи — передового человека своего времени — свидетельствуют о том, что он признавал только научное познание природы и ее законов. Всей своей жизнью, своими трудами, искусством он ниспровергал представителей схоластической науки, тормозящей прогрессивное развитие общества.

В апреле 1952 года все передовое человечество по решению Всемирного Совета Мира отмечало 500-летие со дня рождения гениального ученого-гуманиста, отдавшего всю свою жизнь борьбе против церковной схоластики и средневековых канонов.

Франсуа Виет (1540–1603)

Теорема Виета для корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, как известно, выражается двумя формулами:

x₁x₂=c/a и x₁+x₂=―b/a,

где x₁ и x₂ — корни уравнения.

Об этом замечательном свойстве корней квадратного уравнения написаны даже стихи:

Франсуа Виет — крупнейший французский математик XVI века. Его иногда называют отцом современной буквенной алгебры, так как он много поработал над введением в алгебру буквенных обозначений. Ему же принадлежит приоритет изучения алгебраических уравнений в общем виде и установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, т. е. вывод указанных выше формул, носящих его имя.

Виет — по профессии адвокат и крупный государственный деятель. Он был близок ко двору королей. Сначала он был советником парламента в Бретани, затем перешел на службу к королю Генриху III в качестве «докладчика по ходатайствам». После смерти Генриха III поступил на службу к Генриху IV.

При королевском дворе Франсуа Виет проявил себя как талантливый специалист по расшифровке сложных шифров (тайнописи), которыми пользовалась инквизиторская Испания в войне против Франции. Благодаря своему сложному шифру воинствующая Испания могла свободно сноситься с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка все время оставалась неразгаданной.

После бесплодных попыток найти к этому шифру ключ Генрих IV обратился, наконец, к Виету с просьбой разгадать тайну шифра. Виет тотчас откликнулся на поручение короля. Он работал дни и ночи в течение двух недель, пока поставленная задача не была решена. Виет разгадал тайну испанского шифра. После этого Генрих IV сделал Виета своим личным советником.

Как и следовало ожидать, после расшифровки французами перехваченных испанских секретных донесений испанцы стали терпеть одно поражение за другим. Испанцы долго недоумевали по поводу неблагоприятного для них перелома в военных действиях. Наконец, из тайных источников им стало известно, что их шифр для французов уже не секрет и виновник его расшифровки — Франсуа Виет. Испанская инквизиция объявила Виета богоотступником и заочно приговорила ученого к сожжению на костре, однако выполнить свой варварский план не смогла.

Виет интересовался не только алгеброй, но и геометрией и тригонометрией. Свои исследования по математике он опубликовал в книге «Математический канон» (1579).

Виет, как и многие выдающиеся ученые, отличался большой работоспособностью. По этому поводу датский историк математики Г. Г. Цейтен (1839–1920) писал: «Виет в течение большей части своей жизни так был занят своей юридической деятельностью, что трудно представить себе, как он справлялся со своими большими математическими работами, являющимися плодом глубоких математических исследований и свидетельствующими об основательном изучении древних авторов. Рассказывают, что он мог проводить за своим рабочим столом над занимавшими его исследованиями по трое суток сряду».[12]

Иоганн Кеплер (1571–1630)

Как математик Иоганн Кеплер прославился своей знаменитой книгой «Новая стереометрия винных бочек» (1615), в которой заложил основы анализа бесконечно малых, нашедшего завершение в трудах Лейбница и Ньютона. Кеплер руководил работой Бюрги по составлению таблиц логарифмов и вместе с ним в 1624 году издал «Таблицу тысячи логарифмов».

Как астроном Кеплер всю свою жизнь посвятил развитию гелиоцентрического учения Коперника, согласно которому не Солнце движется вокруг Земли, а наоборот, Земля — вокруг Солнца. В соответствии с этим он установил три закона движения планет, первый из которых гласит: «Каждая из планет движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце».

Католическая церковь ополчилась на Кеплера и подвергла его гонениям и преследованиям. Стремясь вырвать с корнем учение Коперника, Ватикан занес астрономические сочинения Кеплера в список запрещенных книг.

Чтобы оградить себя от церковной расправы и найти работу, Кеплер часто менял свое местожительство, пока, наконец, подгоняемый нуждою, в 1628 году не был вынужден устроиться в качестве астролога у имперского полководца А. Валленштейна. Сам Кеплер в астрологию не верил и занимался этой лженаукой исключительно ради денег, которые, кстати сказать, выплачивались ему крайне неаккуратно. Обо всем этом Кеплер писал: «Покупать ценою гибели семейства свободу философствовать не достойно ни честного, ни благородного человека. Чтобы философ мог свободно предаваться изучению, для него необходимы, по меньшей мере, кров и пища. У кого ничего нет, тот раб всего; а кому охота идти в рабы? Если я сочиняю календари и альманахи, то без сомнения, о господи! в этом великое рабство, но оно в настоящее время необходимо. Избавь я себя на короткое время от этого рабства, и мне придется идти в еще более унизительное рабство. Единственно ради сохранения годового жалованья, звания и места астронома, даю я эти игрушки невежественному любопытству публики. Ибо честнее издавать альманахи с предсказаниями, чем просить подаяние».

В другом месте великий астроном сокрушенно говорит: «Астрология — дочь астрономии; разве не естественно, чтобы дочь кормила мать, которая без того умерла бы с голоду?»

когда Кеплер был уже известным ученым, церковники причинили ему тяжелые страдания. Не в силах расправиться с самим ученым и уничтожить его, они задумали сжечь живьем на костре его мать Екатерину Кеплер. Для этого они объявили ее ведьмой. Вот некоторые подробности по этому поводу.

Кеплер получил от сестры письмо, в котором сообщалось, что их мать, обвиненную в колдовстве, посадили в штутгартскую тюрьму. Против несчастной старухи выдвинуты были обычные в таких процессах обвинения. Утверждали, что колдовству обучала ее тетка, сожженная в Вейле, как ведьма. Ее обвиняли в частых сношениях с дьяволом, в том, что она никогда не плакала, извела соседских свиней, на которых разъезжала по ночам, никому не глядела в лицо и просила могильщика добыть череп ее мужа, из которого хотела сделать кубок в подарок своему сыну-астроному.

Процесс длился пять лет: несчастная едва не умерла в тюрьме от голода. Напрасно Кеплер хлопотал в пользу матери. Он просил письмом герцога Вюртембургского о заступничестве и прекращении преследования. Ничего не добившись, в 1620 году он поехал из Линца в Штутгарт. Он не смог сразу освободить мать, а только добился ускорения процесса.

Несомненно, без вмешательства сына несчастная женщина была бы приговорена к смертной казни, так как выставленных против нее «обвинений», по мнению церковников, было более чем достаточно.

Екатерина Кеплер держала себя перед судом гордо и независимо, как и подобает матери большого ученого. Выведенная из терпения глупыми вопросами судьи, она из обвиняемой перешла на положение обвинительницы и стала упрекать судью в нечестно нажитом им состоянии.

Наконец, решение суда состоялось. За отсутствием улик суд решил не подвергать женщину физической пытке, а только «устрашить ее».

Согласно решению суда, палач устрашал женщину, показывая ей орудия пытки: дыбу, раскаленное железо, кобылу и т. д. — и подробно объяснял, как можно усиливать мучения пытаемого. Екатерина Кеплер заявила: «Если бы посреди истязаний я созналась, что я ведьма, то это было бы ложно». Наконец ее выпустили из тюрьмы; она прожила после этого еще два года.

По возвращении в Линц Кеплер уже не смог занять по-прежнему кафедру математики. Духовенство добилось своего: процесс повредил ученому.

Кеплер умер в глубокой бедности на 59-м году жизни. На его могиле высечена следующая, им составленная эпитафия:

В заключение отметим, что выдающиеся открытия Кеплера в математике, физике и астрономии высоко оценены Ф. Энгельсом.

Говоря о великих достижениях первого периода нового естествознания, Энгельс в своей «Диалектике природы» особо подчеркивал большую значимость работ Кеплера, благодаря которым стали возможны эти достижения.

Рене Декарт (1596–1650)

Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в небольшом французском городке Лаэ в богатой и старинной дворянской семье Иоакима Декарта, занимавшего пост советника в местном парламенте. Вскоре после рождения Рене умерла его мать, и уход за ребенком был поручен кормилице. Хотя ребенок родился слабым, кормилица выходила его, сохранила ему жизнь и поправила здоровье. До конца своих дней Декарт выплачивал кормилице пожизненную пенсию.

Декарт рос одаренным ребенком и еще в детском возрасте среди родственников и знакомых снискал славу «маленького философа». Среднее образование он получил в иезуитской коллегии Ла-Флеш, предназначенной для детей французского дворянства. В этой коллегии Декарт пробыл до 1612 года, т. е. почти девять лет, и хорошо изучил греческий и латинский языки, а также математику и философию.

По окончании коллегии несколько лет изучал юридические науки, пока в 1617 году не поступил на военную службу. Военная карьера позволила Декарту побывать в разных странах — Германии, Италии, Голландии — и установить там личные контакты с учеными. Но и в форме офицера Декарт оставался математиком. Об этом можно судить по следующему случаю. Так, в 1617 году, будучи двадцатилетним офицером, разгуливая по одной из улиц голландского городка Бреды, Декарт увидел группу людей, столпившихся около стены, на которой красовалась какая-то афиша. Одни что-то записывали себе в блокнот. Иные пребывали в задумчивости, видимо, производили в уме сложные вычисления. Некоторые спорили между собой и пытались что-то доказать друг другу.

Декарт не без интереса спросил случайного соседа:

Подойдя ближе к афише, Декарт увидел текст задачи, написанный по-фламандски.

Оказывается молодой Декарт разговаривал с голландским ученым Бекманом. И каково было удивление этого ученого, когда на другой день утром он получил от Декарта полное решение задачи.

Однажды (это было зимой 1628 года) Декарт удивил самого кардинала, когда в обществе «ученых и любопытных людей», он выступил против одного рассуждения, встреченного другими рукоплесканиями.

Для доказательства верности своих слов Декарт попросил присутствующих изложить ему какую-нибудь бесспорную истину и путем двенадцати аргументов, из которых один был вероятнее другого, логически доказал, что эта истина ложна. Далее он предложил высказать заведомо очевидную ложь и так же с помощью веских, весьма вероятных доказательств заставил всех признать, что высказанная ложь — это не ложь, а самая настоящая правда (истина).

— А как же тогда отличить ложное от истинного и избежать возможных ошибок? — спросили присутствующие.

— Чтобы не ошибиться и не считать правдоподобное, но ложное, за истину, а истину не спутать с ложным, нужен новый особый метод, извлеченный мной из математических наук.

Позднее этому методу Декарт посвятил целый трактат «Рассуждение о методе, чтобы хорошо исправлять свой разум и отыскивать истину в науках».

Метод Декарта основан на твердом соблюдении без единого отступления следующих четырех правил:

Это правило требует аналитического рассмотрения научных вопросов. Например, чтобы решить какую-нибудь сложную математическую задачу, надо разбить ее на ряд более простых задач, решение которых уже не вызывает особых затруднений.

Ведя довольно бурную жизнь офицера, сопряженную с постоянными походами и переменой места жительства, Декарт мечтал об уединении, чтобы всей душой предаться философии и научным изысканиям. Для этих целей он избрал Голландию, где по его словам, в толпе деятельного голландского народа, более заботящегося о своих делах, чем любопытного к чужим, он мог бы, не лишаясь всех удобств большого города, жить в таком же уединении, как в самой далекой пустыне.

В Голландии Декарт прожил в общей сложности около двадцати лет, переезжая из одного города в другой, открывая свое место пребывания только особенно близким друзьям.

Но и в Голландии, когда под личным влиянием Декарта в университетах стало распространяться его учение, против ученого выступили сильные противники, преимущественно протестантские богословы, обвинявшие его в материализме и атеизме. Так, богослов Боэций — профессор, а затем и ректор Утрехтского университета — называл Декарта врагом господствующего в стране исповедания и требовал расправы над ним.

От прежнего спокойствия и относительной свободы не осталось и следа. Это заставило осторожного Декарта принять предложение шведской королевы Христины и переехать в Стокгольм, куда он прибыл в начале октября 1649 года. Королева встретила прославленного ученого весьма ласково, просила давать ей уроки философии и принять участие в организации ученой академии, имея в виду сделать его президентом этой академии.

К сожалению, осуществиться всему этому не удалось. В ту пору зима стояла холодная, и Декарт, не привыкший к суровому климату, сильно простудился и слег в постель. Врачи обнаружили воспаление легких. Через девять дней, 11 февраля в четыре часа утра, Декарта не стало. Похоронен он был на католическом кладбище, а над могилой поставлен памятник с надписью заслуг покойного. Через 17 лет останки Декарта были перевезены во Францию и вторично преданы погребению.

Декарт был врагом схоластики и выступал против распространенных в его время алхимии, астрологии и магии. Астрологию, например, он сравнивал с человеком, который хотел бы от основания здания одним прыжком вскочить на крышу, не пользуясь для восхождения лестницей.

Каждое явление, по Декарту, имеет причину и если какое-нибудь и кажется чудесным, то это только кажется, пока человек не узнает причину этого явления.

Говоря о материи, Декарт учил, что ни тяжесть, ни твердость, ни цвет и т. д. не составляют природы тела, а единственно протяжение. Пространство есть место, занимаемое телом, причем оно неотделимо от материи и не может быть пустым. Свойство протяжения — быть делимым на части.

Материальный мир Декарт мыслил, как мозаику движущихся фигур, заполняющих пространство без промежутков, причем количество вещества любой из данных фигур определяется исключительно ее геометрическим объемом. Фигуры отличаются друг от друга формой, скоростью, силой инерции. Пространство нельзя ни уменьшать, ни увеличивать. Оно неизменно и материально. По Декарту, все явления материального мира объясняются исключительно калейдоскопом фигур, их движением и возможностью деления протяженности на любое количество частей. Для Декарта вся материя однородна, частицы этой материи различаются взаимным расположением и движением. Под движением Декарт понимал чисто механическое перемещение тела и его частиц в пространстве.

Декарт много думал над вопросами научной космогонии. Ему принадлежит смелая для своего времени гипотеза о прошлом нашей планеты и всей солнечной системы. В вопросах развития и строения Вселенной Декарт развивал материалистические взгляды. Он полагал, что Вселенная развивалась из первоначального хаоса. Затем в течение длительного времени движение материальных частиц упорядочилось и приобрело характер центробежных вихревых движений, в результате которых образовались космические тела — Солнце и звезды, планеты и кометы. Этим, собственно, он и объяснял, почему видимые планеты, вращаясь вокруг своих осей, обращаются вокруг Солнца, как своего центрального тела.

Необходимо отметить, что концепция Декарта здесь не была последовательной. Он, например, ошибочно считал, что признаваемая им материя и движение не являются вечными и созданы богом. Протестантские богословы ненавидели прогрессивную сторону учения Декарта и считали его еретиком.

В физических воззрениях на природу ученый развивал материалистическую точку зрения. Как указывалось выше, Декарт полагал, что мир материален, обладает протяженностью и механическим движением.

Особенно много сделал Декарт в области математики. Его трактат «Геометрия» трудно переоценить. В этой работе впервые в науке рассматриваются переменные величины и функции. По этому поводу Ф. Энгельс писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем»[13].

Декарт, независимо от своего соотечественника Пьера Ферма, является первооткрывателем аналитической геометрии, в основе которой лежит изобретенный им метод координат (декартовы координаты), позволяющий переводить геометрические образы на язык алгебры, т. е. уравнений.

Декарт путем введения символики улучшил теорию уравнений. Он, например, первый стал обозначать неизвестные через х, у, и z. Декарт разработал так называемый «метод неопределенных коэффициентов», который и сейчас находит широкое применение. Ему же принадлежит «правило знаков» (правило Декарта), руководствуясь которым можно подсчитать число положительных и отрицательных корней любого алгебраического уравнения.

Математические методы Декарта оказали плодотворное влияние на развитие математики и механики последующих веков, в особенности в первые 150 лет после смерти великого ученого.

Пьер Ферма (1601–1665)

Почти у каждого человека есть свое излюбленное занятие. В свободное от основной работы время одни занимаются коллекционированием, другие посещают книжные магазины и «вылавливают» по своему вкусу книги, а некоторые любят что-либо мастерить. Бывает и так, что математик увлекается художественной литературой и пишет стихи и, наоборот, поэт-профессионал время от времени занимается математикой. Так, Софья Ковалевская писала математические трактаты и находила время для стихов, а М. Ю. Лермонтов в минуты отдохновения от поэтических трудов занимался решением математических задач и составлял «математические шутки».

У французского юриста Пьера Ферма было свое «хобби». В часы отдыха от бесконечных судебных заседаний он любил решать математические задачи. И чем труднее была задача, тем настойчивее Ферма добивался ее решения. И каждый раз, когда получался нужный результат, он испытывал большое удовлетворение.

В математике Ферма был гениальным самоучкой. Чтобы решать трудные математические задачи, надо много знать. И юрист изыскивал время для изучения математических трактатов. На полях читаемых книг он делал свои пометки и тут же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Так, читая «Арифметику» древнегреческого ученого Диофанта Александрийского, на полях против того места, где рассматривается неопределенное уравнение x²+y²=z², Ферма написал: «Между тем совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвертую степень — на сумму четвертых степеней, вообще какую-либо степень — на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить».

Так родилась «большая», или «великая», теорема Ферма: уравнение xⁿ+yⁿ = zⁿ, где n — число целое и положительное, большее 2, не имеет решений в целых числах.

До сих пор остается загадкой, каким доказательством владел Ферма и владел ли? Дело в том, что, несмотря на все усилия крупнейших математиков, «великая» теорема Ферма в общем виде еще до сих пор не доказана и не опровергнута, хотя для отдельных n она доказана совершенно строго.

Так, для n=3 и n=4 теорема доказана петербургским академиком Эйлером (1707–1873), для n=5 — геттингенским математиком Дирихле (1805–1859). Профессор Берлинского университета Кумер (1810–1893) в результате новых разработанных методов довел решение до n=100. Наконец, в настоящее время американские математики, воспользовавшись методом Кумера, при помощи электронно-вычислительных машин доказали, что утверждение Ферма справедливо для всех п от 3 до 10 000 включительно.

Интересно заметить, что простота и легкость формулировки «великой» теоремы Ферма, доступная любому ученику средней школы, привели к тому, что появилось много желающих решить эту проблему. Интерес к проблеме Ферма подогревался еще и тем, что дармштадтский математик П. Вольфскель после своей смерти оставил Геттингенскому обществу наук капитал в 100 тысяч марок для передачи тому, кто решит эту теорему.

О последствиях, вызванных обещанной премией, хорошо сказал профессор Геттингенского университета Вальтер Литцман. «Раньше, — пишет он, — каждый более или менее известный математик, а в особенности редакторы математических журналов, время от времени получали „решения“ задачи о квадратуре круга или трисекции угла, хотя невозможность решения этих задач с помощью циркуля и линейки давно строго доказана. Теперь место этих задач заняла теорема Ферма, причем здесь служила приманкой не только слава, но и звонкая монета»[14].

Характерно, что поток «решений» теоремы Ферма, как указывает тот же Литцман, шел преимущественно от лиц, непосредственно не занимавшихся математикой (гимназистов, студентов, инженеров, людей свободных профессий). Они не представляли всей серьезности проблемы и не подозревали, какой квалификации она требует от исследователя. Однако позднее эти люди заметно потеряли интерес к теореме Ферма, в особенности после инфляции, обесценившей обещанную сумму.

С именем Ферма связано также его знаменитое предложение, известное в современной литературе под названием «малой» теоремы Ферма. Читается эта теорема так: если целое число п не делится на простое число р, то п^{р — 1}—1 делится на число р.

Эта теорема приводится во всех руководствах по теории чисел и доказывается различными способами.

Ферма принадлежит также попытка найти формулу простых чисел. Так, он ошибочно считал, что такой формулой является

Действительно, при п = 0, 1, 2, 3, 4 р=3, 5, 17, 257, 65 837, т. е. р является простым числом. Однако через сто лет Эйлер показал, что уже при п = 5 р = 4 294 967 297. В этом случае р не является простым числом, так как оно делится на 641.

На других оригинальных теоремах и задачах Ферма по теории чисел останавливаться не будем. Но и этого вполне достаточно, чтобы сделать вывод, что Ферма внес большой вклад в теорию чисел и является одним из ее создателей.

Ферма наряду с Декартом явился основоположником аналитической геометрии, при этом надо заметить, что в этой области Ферма ранее Декарта, к тому же в более систематической форме, изложил метод координат, вывел уравнение прямой и кривых второго порядка, а также наметил пути доказательства, что все кривые второго порядка являются коническими сечениями.

Большие заслуги принадлежат Ферма в области математического анализа, где он дал общий закон дифференцирования степени и применил его к дифференцированию дробных степеней, вывел общее правило для отыскания максимумов и минимумов, распространил формулу интегрирования степени на случай дробных и отрицательных показателей.

Ферма был и физиком. В области физики он, например, сформулировал так называемый «принцип Ферма»-основной принцип геометрической оптики, согласно которому световой луч распространяется по такому пути, для которого время прохождения луча минимально (или максимально) по сравнению с любым другим возможным путем.

Из этого принципа Ферма выводятся широко известные законы отражения и преломления света.

В Тулузе, где Ферма занимался адвокатурой, он стал советником парламента (суда) и в этой должности прожил всю жизнь. Говорят, что из-за вечной занятости он даже ни разу не был в Париже. Однако по вопросам математики, которой он занимался от случая к случаю, Ферма вел обширную переписку со многими европейскими учеными. Так, он переписывался с Паскалем, Декартом, английским математиком Валлисом и многими другими.

Большинство научных работ Ферма появилось в печати после его смерти, они были опубликованы сыном ученого под общим названием «Различные сочинения» (1679). Открытые им прямолинейные координаты и их приложения Ферма изложил в небольшом сочинении «Введение в теорию плоских и пространственных мест» (написано около 1636 года и опубликовано вместе с другими работами в 1679 году).

Ферма вполне отдавал себе отчет в том, что его новая геометрическая теория потребует большой доработки и дальнейшего усовершенствования метода. Вот почему он считает уместным в упомянутой выше работе заметить: «И все же мы не раскаиваемся в написании этого преждевременного и не вполне зрелого сочинения. Действительно, для науки представляет некоторый интерес не утаивать от последующих поколений еще неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым открытиям науки первоначально грубые и простые идеи как укрепляются, так и множатся. И в интересах самих изучающих составить себе полное представление как о сокровенных путях разума, так и о самопроизвольно развивающемся искусстве»[15].

И действительно, ученые последующих поколений подхватили идеи Ферма. Эйлер был одним из тех, кто придал аналитической геометрии облик, близкий к современному. Сам термин «аналитическая геометрия» появился в конце XVIII века и исходил от французского математика Лакруа (1764–1848).

Блез Паскаль (1623–1662)

Блез Паскаль, будущий «чудо-математик», родился в городе Клермоне в семье любителя математики Этьена Паскаля. Когда ребенку исполнилось восемь лет, отец с семьей переехал в Париж, бывший в то время центром математической мысли Франции. С некоторыми учеными Парижа Этьен Паскаль завел короткое знакомство и имел привычку приглашать их домой для задушевных бесед.

В доме Этьена Паскаля часто разгорались споры по различным животрепещущим вопросам, в том числе и по математике. Нередко свидетелем этих жарких дискуссий был юный Блез Паскаль. Он прислушивался к этим спорам, и они рано пробудили в нем повышенный интерес к науке и стремление в знаниях превзойти даже взрослых.

Казалось, его любопытству не было границ. Он буквально замучил отца всевозможными вопросами, на которые требовал обстоятельных ответов. Отец отвечал сыну на все вопросы, кроме математических. Здесь отец был себе на уме. Он не торопился с математическим образованием сына. Во-первых, в сыне он хотел видеть будущего знатока древних языков, во-вторых, ранние занятия математикой, по его мнению, могут отрицательно сказаться на слабом здоровье сына. Короче говоря, Этьен Паскаль оберегал сына от преждевременных, как ему казалось, занятий математикой и каждый раз переводил разговор на другую тему, если сын пытался заговорить о математике.

Однажды мальчик спросил отца:

— Скажи, папа, что это за наука такая геометрия?

Чтобы поскорей отделаться от неприятного вопроса, Этьен Паскаль ответил:

— Это средство чертить правильные фигуры и находить существующие между ними отношения.

Сын попробовал задать еще несколько вопросов на эту тему, но отец отмахнулся от него:

— Тебе еще рано все это знать. Подрастешь — узнаешь…

Тогда двенадцатилетний Блез решил сам узнать все, что так старательно скрывал от него отец.

Юный Паскаль был часто предоставлен самому себе: его мать умерла, когда ему было всего три года, а отец, занятый работой, мало вникал в занятия сына. Наедине Блез Паскаль думал о геометрии. Прочитать в книге об этой науке он не мог, так как все книги по математике отец запер в шкафу, а ключ взял себе.

Тогда Блез решил сам изобрести эту науку.

Он целыми днями вычерчивал геометрические фигуры собственного изобретения, стремясь своим детским умом постигнуть свойства этих фигур. Среди придуманных фигур были треугольники, параллелограммы, круги, пирамиды и т. д. Не зная установившейся в науке терминологии, Паскаль для своих фигур придумывал названия сам. Так, прямую он назвал «палкой», круг — «колесом», окружность — «кольцом», параллелограмм — «длинным квадратом» и т. д. За неимением бумаги фигуры вычерчивались прямо на полу детской комнаты углем или мелом.

Созерцая эти фигуры, Блез нашел для них некоторые свойства, которые он постарался доказать на основании других свойств, принятых без доказательства. Так у юного изобретателя появились «теоремы» и «аксиомы», хотя этих слов он не знал. Таким путем Блез дошел до теоремы о сумме внутренних углов треугольника, сформулировав и доказав ее своим способом.

Велико было изумление отца, когда он случайно застал сына за запретным занятием. Отец вошел в детскую, когда Блез нарисовал одну из своих фигур и путем рассуждений доказывал некоторые ее свойства.

Застигнутый врасплох, сын подробно рассказал отцу, как он без помощи книг и учителей, руководствуясь исключительно своими соображениями и смекалкой, «сам для себя» открыл геометрию «палок и колес». Пораженный математическим дарованием сына, Этьен Паскаль пошел к одному из своих ученых друзей и рассказал о случившемся.

— Я плачу от радости, — заявил Этьен Паскаль. — Мой сын будет великим математиком! И это я открыл сегодня.

Далее Паскаль-отец рассказал своему другу все, что он узнал о занятиях сына. Больше того, он повел своего друга к себе домой и воочию познакомил с результатами математического творчества ребенка. Гость был удивлен не менее Этьена Паскаля и заявил, что такой талант надо всемерно развивать и немедленно предоставить в его распоряжение математические книги.

С тех пор отец стал руководить математическим образованием сына. Он тут же передал ему «Начала» Евклида для самостоятельного изучения. Мальчик с жадностью набросился на эту книгу и прочитал ее, как захватывающее художественное произведение, ни разу не попросив никакого объяснения. Затем отец дал сыну еще несколько математических сочинений, и сын «проглотил» их с той же легкостью и интересом. Вскоре юный математик стал принимать деятельное участие в спорах по математике в кругу ученых, которые время от времени собирались в доме отца.

Дух исследования пробудился в юном Паскале довольно рано. Уже в 10 лет он написал сочинение под громким названием «Трактат о звуке», в основу которого положил свои наблюдения и эксперименты.

Шестнадцатилетний Блез Паскаль написал трактат о конических сечениях, в котором доказал знаменитую «теорему Паскаля», ставшую одной из основных теорем проективной геометрии. Уже одной этой теоремы было бы вполне достаточно, чтобы имя Паскаля стало известно всему миру. Но Блез Паскаль имеет еще и другие весьма важные открытия и изобретения, о которых будет рассказано несколько ниже.

Блез Паскаль наблюдал, какую большую вычислительную работу выполнял отец, когда находился на финансовой службе в Руане. Вот тогда у восемнадцатилетнего молодого человека и зародилась мысль облегчить труд финансовых работников. Он задумал изобрести счетную машину, которая бы механически выполняла все арифметические действия, причем делала бы это быстро и безошибочно.

Свой замысел Паскаль частично претворил в жизнь. В 1641 году он изобрел счетную суммирующую машину, выполняющую сложение и вычитание чисел. Счетная машина Паскаля в усовершенствованном виде иногда используется и в настоящее время.

На 31-м году своей жизни Паскаль чуть не погиб. Он, как говорят, был на волосок от смерти и считал чудом, что остался в живых. Дело происходило так. Однажды Паскаль отправился на праздник в Нельи. Поехал он туда в карете, запряженной четырьмя лошадьми. На пути лошади испугались и, закусив удила, пустились во весь дух. Стремглав вбежали они на мост через Сену и на его середине шарахнулись в сторону перил. К несчастью, верхние перила были сняты по случаю ремонта. Первые две лошади рухнули в реку. При ударе о нижние перила постромки порвались, и это спасло остальных лошадей и карету. Подбежавшие люди обнаружили в карете Паскаля. Он был в глубоком обмороке.

Этот случай оказал сильное влияние на дальнейшую жизнь Паскаля. Его охватила духовная тоска и уныние. «Все суета сует, — размышлял Паскаль. — Я думал открыть вечные законы, тогда как не знаю, что произойдет завтра…»

Болезненным настроением Паскаля быстро воспользовалась католическая церковь. Под воздействием церковных служителей Паскаль в расцвете сил совсем перестал заниматься наукой и предался бесплодным мистическим изысканиям. В угоду католической церкви он добровольно отказался от своих честолюбивых помыслов, дал клятву никогда не жениться и прожил остальную жизнь в послушании и смирении.

Паскаль оказался верен своему обещанию. После памятного случая он прожил еще 8 лет, но в области науки уже ничего не сделал. Служители католической церкви торжествовали. Религия мстила науке за то, что она подрывала ее корни. Так католическая религия загубила великого ученого, который под ее прямым воздействием стал «живым трупом» в науке. Умер Блез Паскаль в возрасте 39 лет.

Паскаль один из первых сформулировал принцип полной математической индукции и дал свой способ для образования коэффициентов бинома при помощи «арифметического треугольника» (треугольника Паскаля).

Ученый составил трактат, посвященный изучению основных свойств циклоиды, т. е. плоской кривой, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

Паскаль открыл основной закон гидростатики (закон Паскаля), согласно которому давление, производимое внешними силами на поверхности, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Закон Паскаля имеет большое значение в современной технике. На нем, например, основана работа гидравлического пресса, применяемого в прессовальном деле и штамповке.

Паскаль заложил первые кирпичи в основание такой науки, как теория вероятностей, дающей количественную оценку случайным событиям, т. е. событиям, которые могут «быть или не быть».

В трактате «О характере делимости чисел» Паскаль нашел общий признак делимости. Наконец, он дал оригинальный метод решения задач на вычисление площадей и объемов, что явилось существенным шагом в развитии анализа бесконечно малых.

Исаак Ньютон (1643–1727)

Исаак Ньютон, будущий великий математик и физик, родился хилым ребенком. При рождении имел такой невзрачный вид, что окружающие думали, что он протянет всего несколько часов. Две женщины, посланные в город за лекарствами, не торопились возвращаться, полагая, что пока они придут обратно, новорожденного не будет в живых. Каково же было их удивление, когда, возвратившись, они увидели ребенка живым и издающим внушительные крики!

Отец Ньютона умер еще до рождения ребенка, и вся забота о нем выпала на долю матери. Недосыпая ночей, она думала о том, как уберечь сына от гибели и поправить его здоровье.

Мать решила, что чистый сельский воздух и хорошее питание, как живительный бальзам, должны подействовать на его здоровье. Она содержала небольшую ферму и мечтала сделать из своего сына фермера, так как, по ее мнению, для всякой другой профессии он по слабости здоровья не годился.

Действительно, как и полагала мать, сельский воздух, деревенские игры и забавы благотворно повлияли на укрепление организма Ньютона. В детстве он получил хорошую физическую закалку.

Забегая вперед, нужно сказать, что Ньютон прожил до глубокой старости (умер 85 лет). Он не знал очков и за всю жизнь у него не выпало ни одного зуба. Умер он от каменной болезни, признаки которой обнаружил за три недели до смерти.

Мать, воспитывая свое дитя, думала больше о его физическом здоровье, чем об умственном развитии. На 12-м году жизни она отдала ребенка в частное городское училище (пансион) Кларка — грантемского аптекаря. Ньютон не обнаружил особой любви к наукам и учился довольно посредственно. Перелом в учебе в лучшую сторону произошел в конце двухлетнего пребывания в пансионе. Этому способствовал следующий любопытный случай.

Как-то на перемене один из учеников ударил Ньютона по животу. Удар был настолько силен, что Ньютон чуть не потерял сознания. Острая боль пронзила все тело. Глаза на мгновение перестали видеть. Обливаясь потом, он кое-как превозмог страшную боль.

Обидчик не на шутку испугался. Но, видя, что Ньютон через некоторое время оправился от удара, открыто торжествовал победу и смеялся над потерпевшим. Как хотелось отомстить обидчику в эту минуту! Но этого сделать Ньютон не мог, так как был значительно слабее противника.

Долго думал обиженный Ньютон и, наконец, нашел весьма оригинальный способ мщения. Его недруг превосходил Ньютона не только в физической силе, он был первым учеником класса. И вот ради мести Ньютон решил немедленно начать хорошо учиться, обогнать своего соперника по учебе и, став первым учеником класса, навсегда отнять у него пальму первенства.

Свой план Ньютон выполнил как нельзя лучше. Оказывается, он обладал исключительными способностями. Он без большого труда стал первым учеником в классе и по умственному развитию оказался выше всех своих товарищей на целую голову. В дальнейшем по успеваемости с ним уже никто не мог состязаться. Прошло всего несколько месяцев, а учитель уже при всех учениках во всеуслышание хвалил юного Ньютона, как образцового ученика, с которого всем надо брать пример.

Пятнадцатый и шестнадцатый годы своей жизни Ньютон провел у матери на ферме. Мать не смогла привить своему сыну вкус к занятиям сельским хозяйством, не смогла сделать его своим помощником по управлению фермой. Чтобы как-то приобщить молодого Ньютона к хозяйству, она посылала его со старым работником в город на базар. Нужно было продать кое-что из продуктов, кое-что купить для своих нужд. Но и к этим поручениям Ньютон относился безучастно. Не доезжая до города, он просил работника выполнить, что приказывала мать, а сам, заранее обзаведясь книгой, садился у дороги под дерево или под первый попавшийся плетень и принимался за чтение. Чтение для него в то время было страстью. На обратном пути работник забирал юношу и привозил его как ни в чем не бывало домой.

В часы отдыха между чтением книг Ньютон выкраивал время для своих невинных забав. Уединившись, он любил что-нибудь мастерить. Один раз он приготовил водяные часы, другой раз сконструировал весьма оригинальную ветряную мельницу. В эту последнюю модель была посажена мышь, которая выполняла роль мельника.

Однажды ночью Ньютон запустил змея собственного изготовления, снабженного светящимися фонарями. Жители соседних деревень, не зная, в чем дело, думали и гадали, что это может быть, и решили, что это, наверное, кометы.

Равнодушие Ньютона к хозяйственным нуждам фермы не могло остаться незамеченным. Мать, конечно, не могла не видеть, что сын ее увлекается книгами. Однажды Ньютон настолько увлекся чтением, что не заметил, как сзади к нему неслышно подошел дядя и поинтересовался, чем так сильно увлечен его племянник. Взяв книгу, он с удивлением увидел, что тот изучал трактат по механике и из него решал какую-то замысловатую задачу. И это в шестнадцать лет!..

Обнаружив в юноше большой талант к науке, дядя немедленно обратился к его матери с просьбой отправить молодого Ньютона опять в грантемскую школу с тем, чтобы, окончив ее, он мог поступить в университет.

Семнадцати лет от роду Ньютон поступил учиться в Кембриджский университет. Здесь он с жадностью изучал сочинения древних ученых, в частности «Начала» Евклида. Затем он перешел к изучению исследований крупнейших ученых нового времени. Его внимание привлекли геометрия Декарта, арифметика Валлиса и математические сочинения Кеплера. Чтение этих трактатов у него не было механическим. Усваивал он их критически, глубоко осмысливая прочитанное. Прочитанному он, как правило, противопоставлял свою точку зрения и незаконченные мысли автора доводил до «логического конца».

Уже в студенческие годы Ньютон зарекомендовал себя пытливым, упорным и настойчивым исследователем. Так, будучи студентом, Ньютон доказал теорему о биноме. (Он доказал эту теорему не только для натурального, но и для дробного и отрицательного показателя.) С тех пор формула бинома стала называться «биномом Ньютона». Студентом же он вплотную подошел к проблеме всемирного тяготения. Позднее этой проблеме он посвятил целый трактат «Математические начала натуральной философии». Этот капитальный труд прославил автора на весь мир и сделал его «великим из великих» ученых. Окончил университет Ньютон со степенью магистра.

Величайшей заслугой Ньютона в области математики является создание им (независимо от Лейбница) метода дифференциального и интегрального исчисления, названного им «методом флюксий». Основной труд Ньютона по этим вопросам носит название «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых». Эта работа была закончена около 1671 года, а опубликована в.1736 году, когда уже Ньютона не было в живых.

Ньютону принадлежат важнейшие труды по теории рядов, по алгебре, аналитической геометрии и проективной геометрии.

Ньютон внес замечательный вклад не только в математику, но и в физику, и в астрономию.

Несмотря на свои величайшие заслуги перед наукой, Ньютон был удивительно скромным человеком. О себе он говорил так: «Не знаю, каким я кажусь людям. Самому же себе я кажусь ребенком, который играет на берегу моря и радуется, когда ему удается отыскать гладкий камушек или красивую раковину не совсем обыкновенного вида, в то время как необозримый океан истин лежит передо мною неисследованным»[16].

По описанию современников, Ньютон был мужчиной среднего роста, весьма солидной полноты. Согласно традиции того времени, голову покрывал париком. У него были умные, живые глаза.

Ньютон вел уединенный образ жизни. Погруженный в глубокие размышления, часто не замечал окружающих и был весьма рассеян. Иногда по утрам, вставая с постели, вдруг задумывался и в таком положении, как зачарованный, мог просидеть долгие часы, пока кто-нибудь не выводил его из этого состояния. Увлекшись работой, совершенно забывал о еде.

Что касается рассеянности, то тут дело доходило до анекдотов. Так, однажды он самым серьезным образом уверовал, что обедал, хотя не брал в рот и маковой росинки и был сильно голоден. Вот как один из биографов Ньютона описывает этот случай. Как-то к Ньютону пришел близкий друг с благим намерением пообедать имеете. В последнюю минуту, когда жареная курица была подана на стол, Ньютон отлучился в свой кабинет и застрял там, увлекшись очередной работой, забыв о своем друге и о предстоящей еде. Прождав Ньютона довольно долго и совершенно напрасно, друг расправился с курицей один, а обглоданные кости сложил на блюдо и покрыл их серебряным колпаком. Вскоре после этого явился и сам Ньютон и громко объявил, что ему очень хочется есть. Но, сев за стол и обнаружив на блюде одни обглоданные кости, с изумлением, ничего не подозревая, воскликнул: «Интересно, оказывается, я уже пообедал. Вот ведь как можно ошибиться!»

Когда друзья, преклоняясь перед его гением, спрашивали Ньютона, каким образом он открыл законы тяготения, он отвечал: «Непрерывным размышлением о них». При этом свой метод исследований он объяснял следующим образом: «Я постоянно обращаю внимание на предмет моих изысканий и жду, пока дело начинает медленно разъясняться, мало-помалу, пока не станет вполне и всецело ясно»[17].

Свой век Ньютон прожил холостяком. Биографы полагают, что о женитьбе ему некогда было подумать.

Интенсивная научная работа Ньютона падает на первые 45 лет его жизни. В остальные 40 лет наблюдается значительный спад его творческой деятельности. В этот период Ньютон в основном занимался изданием ранее написанных научных трудов (в 1704 году вышла «Оптика», в 1713 году — второе издание «Начал»). Это очень странно для гениального человека. В том возрасте, в каком Ньютон перестал творить, казалось, ум его должен был достичь полной зрелости и силы.

Знаменитый французский ученый Жан Батист Био, много сделавший по изучению трудов Ньютона, полагает, что умственные способности Ньютона пострадали от следующего несчастного случая. Однажды вечером Ньютон отлучился из дому и по рассеянности оставил на письменном столе зажженную свечу. Во время его отсутствия любимая собака ученого, по кличке Даймонд, вспрыгнула на стол и опрокинула свечу. Все рукописи, лежавшие на столе, сгорели. Нетрудно себе представить, как велико было горе Ньютона, когда, возвратившись домой, он обнаружил от своих долголетних трудов один только пепел.

Астрономические открытия Ньютона нанесли сокрушительный удар по авторитету церкви и обнаружили полную несостоятельность церковных догматов. В своем капитальном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) он доказал, что движение небесных тел происходит строго по закону всемирного тяготения, носящему универсальный (всеобщий) характер.

В свете закона всемирного тяготения звучит сказкой, например, утверждение библии о том, что Иисус Навин якобы остановил на время Солнце, чтобы при дневном свете закончить сражение с аммонитянами. Закон всемирного тяготения, одинаково справедливый на Земле и на небе, положил конец религиозным басням о коренном различии «небесного» и «земного». С выводами Ньютона никак не согласуются религиозные мифы о хождении Христа по поверхности воды, о его вознесении «во плоти» и другие несуразности. «Математические начала натуральной философии» полностью развенчали геоцентризм как опору религиозного мировоззрения.

Против астрономических открытий Ньютона богословы всех мастей развернули яростную борьбу. И они временно добились своего. Под их воздействием во многих университетах Европы вплоть до XIX века было запрещено преподавание небесной механики Ньютона и его гелиоцентризма на основе закона всемирного тяготения.

Однако сам Ньютон не был атеистом. Уподобляя Вселенную большому «часовому механизму», он пришел к выводу, что этот механизм раз и навсегда когда-то заведен «богом» и им же был дан «первый толчок», в результате чего механизм «сработал» и только после этого все небесные тела пришли в вечное движение.

Еще при жизни Ньютон вкусил сладость величайшей славы. Он был почетным членом многих научных обществ и академий. Последние 23 года своей жизни был президентом Королевского лондонского общества. Королева Анна даровала ему титул рыцаря и возвела в дворянское достоинство. Весь мир преклонялся перед его гением. Казалось, ничего не оставалось желать Ньютону. «Он был в таком почете, — говорит Фонтенель, — что смерть не могла принести ему новых почестей, он достиг своего апофеоза»[18].

Погребен Ньютон в английском национальном пантеоне в Вестминстерском аббатстве, месте упокоения всех великих людей Англии. При погребении ему были оказаны почести, какие обычно воздавались только членам королевского двора.

На могильном памятнике имеется латинская надпись: «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, который почти божественной силой своего ума впервые объяснил с помощью своего математического метода движения и формы планет, пути комет, приливы и отливы океана. Он первый исследовал разнообразие световых лучей и проистекающие отсюда особенности цветов, каких до того никто не подозревал… Пусть смертные радуются тому, что в их среде жило такое украшение рода человеческого».

В память о великом из великих ученых на стене комнаты, в которой родился Ньютон, укреплена мраморная доска с надписью:

В Кембридже, по преданию, известна комната, в которой жил Ньютон. В этом же городе, в Trinity College, показывают глобус Ньютона, сделанные им солнечные часы и компас, локон его серебристых волос, который хранится под стеклянным колпаком.

Готфрид Лейбниц (1646–1716)

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета.

Готфриду не было и семи лет, когда он потерял отца и остался на попечении матери, умной и практичной женщины. Мать задалась целью дать сыну солидное образование и сделать из него ученого человека. Сразу же после смерти мужа она поместила своего сына Готфрида в самую лучшую школу Лейпцига, где он вскоре обнаружил весьма значительные способности к разным выдумкам и изобретениям.

Двенадцатилетним мальчиком Готфрид изобрел интересный способ изучать римских авторов в оригинале без помощи словаря и без содействия учителя. Уже тогда он старался проникнуть в тайну мироздания и по единичным наблюдениям делать общие выводы.

В окружающем мире вещей и явлений он любил отыскивать «единство и гармонию» и был очень рад, когда усмотрел общую цель различных наук. По его мнению, не человек существует для науки, а, наоборот, наука для человека. Учителя видели философский дар ребенка и пророчили ему замечательное будущее.

В школе Готфрид поразил всех учителей еще одной способностью — поэтическим даром слагать стихи на латинском и греческом языках. Таким образом, молодой Лейбниц был не только философом, но и поэтом!

Когда Готфриду исполнилось 14 лет, он заинтересовался вопросами логики и подолгу размышлял над ее задачами и содержанием. Уже тоща он пришел к выводу, что истинной задачей логики является классификация элементов человеческого мышления.

В школьные годы Лейбниц мечтал создать «азбуку идей», на которой должны разговаривать все науки. По мнению Лейбница, наука «увлекательна и одинаково понятна всем народам». Это изобретение Лейбница нашло яркое отражение в языке формул математики, физики, химии и т. д.

«Две вещи, — писал Лейбниц, — принесли мне огромную пользу, хотя обыкновенно они приносят вред. Во-первых, я был, собственно говоря, самоучкой во всякой науке; как только я приобретал о ней первые понятия, я всегда искал нового, часто просто потому, что не успевал достаточно усвоить обыкновенное…»[19].

На пятнадцатом году своей жизни Лейбниц становится студентам Лейпцигского университета, где когда-то работал его отец. Официально он значился слушателем юридического факультета, но его интересы выходили далеко за пределы юриспруденции. Он много занимался философией и математикой.

«Таким образом, — писал Лейбниц, — я достиг семнадцатилетнего возраста, и более всего меня радовало то обстоятельство, что я работал не по чужим мнениям, а по собственному влечению. Этим путем я достиг того, что всегда был первым между своими сверстниками во всех общественных и частных лекциях и собраниях, и таково было мнение не только учителей, но и моих товарищей»[20].

По описанию современников, Лейбниц был худощавым, среднего роста мужчиной. Его бледное от природы лицо, оттененное черными волосами парика, казалось еще бледнее. На первый взгляд он производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды его маловнушительная внешность послужила поводом к следующему недоразумению. Будучи как-то в Париже, Лейбниц зашел в один книжный магазин в надежде купить там одну из книг философского содержания своего знакомого. Когда он потребовал у продавца эту книгу, тот, осмотрев его с головы до ног, насмешливо спросил: «Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?»

He успел Лейбниц ответить, как в магазин вошел автор книги и любезно поздоровался с ученым:

— Великому Лейбницу привет и уважение!

Продавец был сконфужен. Он никак не ожидал, что перед ним живой Лейбниц, книги которого пользуются таким спросом среди парижских ученых…

Память у Лейбница была неровная. Некоторые вещи он запоминал очень хорошо, а некоторые плохо, причем запоминал отлично то, что давалось с большим трудом, и хуже то, что усваивалось совсем легко.

От природы ученый был наделен вспыльчивым, но отходчивым характером. Он зла не помнил и долго сердиться не мог. С детства был близорук и не отличался, как сам говорил, большим воображением. Обожал детей, но семьей не обзавелся: всю свою жизнь прожил холостым. Однажды в пятидесятилетием возрасте он сделал предложение одной даме, но та попросила его немного подождать. За это время Лейбниц раздумал жениться и должен был признаться: «До сих пор я воображал, что жениться всегда успею, а теперь, оказывается, опоздал».

Лейбниц охотно путешествовал и любил непринужденные разговоры с людьми разных профессий.

Путешествуя по Италии, Лейбниц отправился из Венеции на Мезолу, остров в Адриатическом море. Из пассажиров в лодке он был один. Поднялась страшная буря, очень напугавшая матросов. Рулевой решил, что пассажир — безбожник и что его присутствие в лодке — единственная причина бури. Он сообщил свое предположение матросам, которые немедленно с ним согласились. Думая, что немец не понимает по-итальянски, матросы громко рассуждали о том, чтобы немедленно бросить его в воду. Но Лейбниц, знавший итальянский язык, все понял. Как быть? Не подавая виду, он спокойно вынул из своего кармана четки, которыми запасся заранее, зная фанатизм венецианцев, и, шепча молитву, стал усердно перебирать их.

Эффект сказался быстро. Матросы перестали считать Лейбница безбожником. К счастью, и море стало заметно успокаиваться…

Лейбниц наряду с Ньютоном, но независимо от него, завершил открытие дифференциального и интегрального исчисления, составляющего самую первую основу всей современной высшей математики. Лейбницу, например, принадлежит более обстоятельное, чем у Ньютона, решение некоторых вопросов высшей математики и более четкая символика и терминология, сохранившаяся до настоящего времени. В частности, названия «дифференциал» и «интеграл» были впервые введены Лейбницем.

В расцвете творческого гения ученый изобрел счетную машину (арифмометр) и механизм для приближенного интегрирования.

В своем учении «о всеобщей характеристике» Лейбниц заложил первые кирпичи современной математической логики, которая в настоящее время развилась в стройную, далеко идущую науку.

Христиан Гюйгенс (1629–1695)

Христиан Гюйгенс — выдающийся нидерландский математик и физик — родился в Гааге в семье всесторонне образованного писателя и политического деятеля Константина Гюйгенса. Уже в раннем детстве Христиан обнаруживает способности, служившие предметом удивления и восхищения всех, кто с ним близко соприкасался.

В восемь лет Христиан усвоил четыре действия арифметики, хорошо изучил латинский язык и свободное время посвящал пению. Когда Христиану исполнилось десять лет, он увлекся изучением латинского стихосложения и игрой на скрипке. Одиннадцатилетним подростком он свободно играл на лютне. К двенадцатому году своей жизни он твердо усвоил законы логики и свободно применял их в своих рассуждениях и доказательствах.

Об успехах Христиана в то время можно судить по письмам учителя Генриха Бруно к отцу Гюйгенса. Так, в одном из писем он сообщает о своем четырнадцатилетием воспитаннике: «Я признаюсь, что Христиана надо назвать чудом среди мальчиков… Он развертывает свои способности в области механики и конструкций, делает машины удивительные, но вряд ли нужные».

Из приведенной выдержки видно, что Бруно не слишком поощрял занятия Христиана по изготовлению машин, тем не менее в этом направлении Христиан сделал очень многое, в частности сконструировал для себя токарный станок, которым впоследствии долго пользовался.

С 14 до 16 лет Христиан с увлечением занимался математикой по программе и учебнику, составленным специально для него профессором Франциском Схоутеном, автором трактата о конических сечениях и нескольких книг «Математические упражнения».

В результате этих занятий шестнадцатилетний Христиан хорошо овладел «Арифметикой» Диофанта и «Геометрией» Декарта. Познакомился со всеми оригинальными задачами на геометрические места Паппа Александрийского и с задачами на отыскание максимумов и минимумов по работам Пьера Ферма.

В 16 лет Христиан стал студентом Лейденского университета. В университете он изучал юридические науки и математику. Из математики он самостоятельно проштудировал бессмертные произведения Архимеда и «Конические сечения» Аполлония.

При изучении механики Стевина он столкнулся с утверждением, что фигура равновесия материальной нити, свободно подвешенной между двумя точками, есть кривая — парабола. Гюйгенс устанавливает, что это утверждение неправильно, и доказывает, что в общем случае этой фигурой будет так называемая цепная линия.

Профессор Схоутен, руководивший математическими занятиями Христиана, посылает первые научные работы молодого математика своему другу Декарту на отзыв. Декарт с большой похвалой отозвался о работах Гюйгенса. Он писал Схоутену, что Гюйгенс со временем станет выдающимся ученым.

Прошло еще несколько лет, и предсказание великого Декарта сбылось. Христиан Гюйгенс удивил мир своими замечательными открытиями и изобретениями.

Любимым ученым Христиана Гюйгенса был Архимед, математический гений которого оказал огромное влияние на все творчество Гюйгенса. Недаром отец в шутку называл своего сына «новым Архимедом».

Известно, что в трактате «Измерение круга» Архимед дал довольно точное значение числа?. Согласно вычислениям Архимеда, значение числа находится в границах:

Этот результат Архимед получил при вычислении периметра 96-угольника. Гюйгенс написал свой трактат «О квадратуре круга», в котором развил идеи Архимеда. Гюйгенс предложил более эффективный метод для приближенного вычисления числа, чем метод Архимеда. Так, результат, полученный Архимедом из рассмотрения 96-угольника, Гюйгенс получает из рассмотрения периметров 12-угольника и 6-угольника.

Еще на пять лет ранее двадцатилетний Гюйгенс под влиянием Архимедовой книги «О плавающих телах» написал свой трактат «О теории плавания тел», который по существу также явился дальнейшим развитием идей гениального Архимеда.

В расцвете своей научной деятельности Гюйгенс опубликовал еще одно математическое сочинение, посвященное молодой тогда науке — теории вероятностей. Тогда Гюйгенсу было 28 лет.

Научное творчество Гюйгенса не ограничивается одной только математикой. Он прославил свое имя также глубокими работами в области механики и астрономии. Так, при помощи превосходных рефракторов собственной конструкции и изготовления он открывает кольцо Сатурна и исследует его.

Эти его наблюдения и выводы описаны Гюйгенсом в работе «Система Сатурна». В ней ученый подчеркнул свое признание гелиоцентрической системы мира. Здесь же Гюйгенс дал первое описание туманности в созвездии Ориона и сообщил о полосах на поверхностях Юпитера и Марса.

В области практической механики изобретает знаменитые часы с маятником и пишет по этому вопросу большое сочинение (в 4 томах).

Последние два открытия принесли голландскому ученому особенно большую славу и сделали его европейской знаменитостью. Тогда Гюйгенсу не было еще и 30 лет.

Опубликованные работы Гюйгенса составляют 22 тома. Из них первые 10 томов включают переписку, а остальные 12 посвящаются математике, механике, оптике, астрономии.

Алексис Клеро (1713–1765)

Вызывает удивление яркое математическое дарование знаменитого французского математика Алексиса Клода Клеро. Невероятно, но факт, что юный Клеро уже к 12 годам сложился как ученый. В этом возрасте он написал солидную работу, посвященную исследованию алгебраических кривых четвертого порядка. Она была напечатана в сборнике Берлинской академии наук.

Далее молодой Клеро занялся изучением некоторых свойств так называемых линий двоякой кривизны. Если на прямоугольном листе бумаги провести диагональ и затем этот лист свернуть в цилиндр, то упомянутая диагональ превратится в так называемую «винтовую линию». Винтовая линия является примером линии двоякой кривизны, т. е. линии, которая располагается не на плоскости, а в пространстве. Вот о таких линиях шестнадцатилетний Клеро и написал свое новое исследование, давшее ему славу знаменитого математика.

Геометрические работы молодого Клеро получили высокую оценку со стороны Парижской академии наук, и, когда ученому исполнилось 18 лет, она избрала его в число своих академиков.

Интересно заметить, что у Алексиса Клода Клеро был младший брат, который, как и он, рано обнаружил математическое дарование. В возрасте 14 лет он написал исследование по некоторым вопросам геометрии, которое было одобрено Парижской академией наук и напечатано в ее трудах. Он, как и его старший брат, несомненно, был бы крупным математиком, если бы не преждевременная смерть, скосившая его в 17 лет.

Научные +руды Алексиса Клеро вошли в золотой фонд мировой науки. Клеро выполнил весьма важные исследования по высшей математике. Он принял участие в работе экспедиции по измерению Дуги меридиана и написал трактат «Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики». За астрономическую работу по теории движения Луны Петербургская академия наук удостоила ученого премии и избрала своим почетным членом.

Ряд фундаментальных трудов Клеро относится к математическому анализу. Он первый, например, ввел понятия криволинейного интеграла, общего и особого решения дифференциального уравнения первого порядка, полного дифференциала функции нескольких независимых переменных и т. д. Многие результаты Клеро по математическому анализу являются классическими и вошли в учебную литературу на правах обязательного материала для изучения в высших учебных заведениях.

Ряд ценных работ Клеро относится к теоретической механике, где он является основоположником так называемой динамической теории относительного движения.

Жан Д’Аламбер (1717–1783)

Рано утром 17 ноября 1717 года было особенно холодно. Во всем чувствовалось дыхание наступающей зимы. Звонарь Круглой церкви направился к колокольне, чтобы позвонить к ранней заутрене. При входе в церковь, на ступеньках, он заметил какой-то странный предмет, укутанный в теплую шаль.

— Что за диковина? — подумал озадаченный звонарь.

Оглядевшись кругом и убедившись, что поблизости никого нет, он с любопытством развернул шаль и к своему великому ужасу внутри свертка обнаружил полузамерзшего ребенка. О своей неожиданной находке звонарь немедленно дал знать в полицейский участок.

Явившийся полицейский комиссар вместо того, чтобы отдать подкидыша в детский приют, распорядился отправить его по одному частному адресу. Ребенок был отдан многодетной жене стекольщика по фамилии Руссо, которая охотно обязалась воспитывать приемыша, дать ему необходимое образование и тем самым поставить его «на ноги». По-видимому, принимая малыша в свою семью, она знала заранее от полиции, что с материальной стороны приемыш будет обеспечен хорошо. Действительно, после усыновления ребенка, один из родителей, не открывая своего имени, дал средства на его воспитание и образование.

Полицейский комиссар велел назвать найденыша Жаном Лероном в память Круглой церкви, где он был найден. Так под этим именем ребенок и рос, пока сам не прибавил к нему фамилию Д’Аламбер.

В доме супругов Руссо Жану жилось очень хорошо. В семье он воспитывался наравне с родными детьми. Жена стекольщика оказалась порядочной во всех отношениях женщиной. Она полюбила своего подопечного, как родного сына.

Несмотря на хороший уход со стороны сердобольной женщины, Жан рос болезненным ребенком и физически развивался слабо. Зато поражал ранним развитием ума и наблюдательностью.

Видя такое раннее проявление умственных способностей, супруги Руссо постарались отдать четырехлетнего Жана на учебу в один частный пансион, где он пробыл до 12 лет.

Когда Жану исполнилось 10 лет, содержатель пансиона обратился к супругам Руссо с настоятельной просьбой взять из пансиона своего подопечного, так как он все усвоил и ему там нечему учиться. Однако по горячей просьбе Руссо из-за слабого здоровья Жана оставили в пансионе еще на два года.

Надо заметить, что в том пансионе, где воспитывался Жан, изучалась только литература, а на математику не обращалось никакого внимания.

Математикой Жан стал заниматься с 13 лет, когда покинул частный пансион и был предоставлен самому себе. Вот что пишет Д’Аламбер о тех годах, наблюдая себя как бы со стороны:

«Без учителей, почти без книг и даже не имея друга, с которым он мог бы посоветоваться насчет затруднявших его вещей, он ходил по общественным библиотекам; он получал кое-какие сведения при быстром чтении в библиотеке и, возвратясь домой, сам отыскивал доказательства и решения; обыкновенно, это удавалось ему; он придумывал таким образом важные теоремы, которые казались ему новыми, и затем был опечален, найдя их в книгах, ему дотоле неизвестных, хотя испытывал при этом чувство удовлетворения»[21].

Увлечение Жана математикой не нравилось супругам Руссо.

— Ну, какая польза от математики, если она, кроме маленькой зарплаты учителя, больше ничего не в состоянии дать? — укоризненно вопрошали они. — Другое дело медицина, она дает зарплату врача да плюс неисчерпаемые гонорары от приемов больных у себя на дому.

В конце концов Жан сдался и взялся за нелюбимое дело. Чтобы математические книги не искушали его, он отнес их на сохранение одному из своих друзей. Он думал взять их обратно, когда выучит медицину и станет врачом.

— Математические книги, — говорил он тогда, — будут служить мне отдыхом и развлечением.

Но занятия медициной так наскучили ему, что он время от времени брал от своего друга по одной книге для «согрева души» и таким образом перенес к себе все свои книги.

После этого для Д’Аламбера стало совершенно ясно, что он не может бороться со своим призванием. С тех пор Д’Аламбер забросил медицину и, по словам ученого Кондерсе, «предался математике и бедности». Однако, занимаясь математикой, он забывал жизненные невзгоды и считал себя самым счастливым человеком во всем мире.

Как уже говорилось, опекунша любила Д’Аламбера и желала ему в жизни только одного хорошего. Она и не подозревала, что ее Жан находится на пороге всемирной славы. Она видела только одно, что он много работает и очень мало получает выгоды от этой работы. Однажды она спросила Жана:

— Вы, верно, всегда останетесь философом?

— А что такое философ? — заинтересовавшись, спросил Жан.

— Сумасшедший, который мучит себя всю жизнь для того, чтобы о нем говорили после смерти, — сокрушенно ответила она.

Жан Лерон Д’Аламбер является великим энциклопедистом XVIII века. Он вместе с Д. Дидро составил 20 томов «Энциклопедии наук, искусств и ремесел». В этой энциклопедии он написал отделы, относящиеся к физике и математике. Ему же принадлежит вводная статья под названием «Очерк происхождения и развития науки», в которой дается большой фактический материал и оригинальная классификация всех наук.

Он ввел замечательный «принцип Д’Аламбера», излагаемый во всех современных вузовских руководствах по теоретической механике. Д’Аламбер является одним из основоположников так называемой «математической физики», где он составил и решил дифференциальное уравнение поперечного колебания струны. Он много сделал в создании такой науки, как теория функций комплексного переменного. Здесь ему, в частности, принадлежит основное соотношение, связывающее действительную и мнимую части аналитической функции, известное под названием формулы Д’Аламбера-Эйлера (иногда неправильно называют формулой Коши-Римана).

Д’Аламберу принадлежит ряд философских работ и весьма оригинальные труды по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики.

Гаспар Монж (1746–1818)

Проблески дарования у юного Гаспара Монжа, будущего великого французского математика и инженера, обнаружились очень рано. Уже в 14 лет мальчик изобрел пожарный насос и составил план родного города Бона. Пожарный насос юного Гаспара обладал оригинальной конструкцией и продуманностью всех деталей. Взрослые удивлялись конструкторским способностям юного «инженера». Сведущие в техническом отношении люди спрашивали мальчика:

— Каким образом ты смог сделать такую сложную машину без модели и руководителя?

На это Гаспар отвечал:

— В этом нет ничего удивительного, так как в моем распоряжении всегда имеются два верных помощника, которые никогда не подведут меня. Один из них — мое терпение, другой — мои руки, покорные моей голове, в которой возникают, растут и созревают всякие конструктивные идеи.

Терпение и ловкие руки, управляемые сметкой и сообразительностью, позволили юному Гаспару составить весьма подробный план своего города. Для составления этого плана юный геометр-самоучка употребил измерительные и чертежные приборы собственного изготовления и изобретения. План был настолько удачным, что один аббат использовал его для своего небольшого исторического сочинения. Сейчас этот план, как дорогая реликвия, хранится в одной из городских библиотек Бона.

Планом Монжа заинтересовался один инженер и обратился к его отцу с такими словами:

— Ваш сын будет талантливым инженером, но для этого надо много учиться.

— Но у меня нет знатного происхождения и больших средств, чтобы учить сына на инженера.

— Я вам порекомендую устроить его в военно-инженерную школу на отделение инженерных конструкторов. Правда, оттуда выходят не инженеры, а только техники, но зато от поступающих не требуется знатного звания и больших средств для учебы. Видите, вас это совсем устраивает…

Отец Монжа поблагодарил отзывчивого инженера и последовал его совету.

Вскоре, учась в военно-инженерной школе, Гаспар обратил на себя всеобщее внимание. Совсем юношей он открыл новую геометрическую науку, значение которой для всей современной техники трудно переоценить. Имя этой науки — «начертательная геометрия».

Она является «языком» всей современной техники.

В основу своей науки Гаспар положил ортогональное (прямоугольное) проектирование пространственной фигуры на две взаимно перпендикулярные плоскости (горизонтальную и вертикальную) и оригинальный способ ее изображения на плоскости (метод эпюр).

К своему открытию молодой ученый пришел путем решения задач на дефилирование укреплений. Дефилировать укрепление — это значит защитить его от прямых попаданий пуль противника. В школе, где учился Монж, как и в других военных учебных заведениях того времени, аналогичные задачи решались «на ощупь», путем длинных и утомительных вычислений. Задачи на дефилирование были бичом для учащихся. Военные профессора любили задавать такие задачи, над которыми слушатели сидели по нескольку недель сряду, производя адскую вычислительную работу.

Одна из таких задач на дефилирование и была предложена молодому Монжу. Но тот, решая задачу, не пошел по избитому пути, считая его чрезвычайно длинным, весьма нерациональным и ненадежным.

Подвергнув задачу глубокому анализу, после ряда неудачных попыток Монж, наконец, изобрел новый метод для решения таких задач, причем открытый им способ отличался необычайной простотой и удобством. В тот же день Монж пошел в главный штаб и по всем правилам военного устава доложил начальнику о своем решении задачи.

Начальник штаба отказался принять решение Монжа, заявив высокомерно:

— Я верю, что можно вычислять скоро, но не верю в чудеса. Для чего я буду проверять решение, без сомнения, неверное, потому что в такое короткое время даже цифры нельзя привести в порядок?

— Господин начальник, вы справедливо усомнились в правильности моего решения, — заявил Монж. — Действительно, по старому методу задачу не сможет решить в такой короткий срок никакой вычислитель, если он даже будет гением. Но мне удалось весьма быстро решить предложенную задачу, так как для ее решения я применил свой, совершенно новый метод, который и увенчал успех дела. Прошу, господин начальник, рассмотреть этот новый метод, хотя бы ради любопытства.

Упорство офицера было сломлено. Твердость и настойчивость молодого Монжа победили. Начальник взял у Монжа решение и вместе с другими специалистами подверг тщательной проверке и анализу это решение и метод, на котором оно основано.

Оказалось, что Монж был совершенно прав: задача решена правильно, примененный метод весьма удачен и остроумен. К тому же его можно было применять к решению очень многих вопросов военной и гражданской техники. За открытие нового метода молодой Монж получил сразу повышение: его из слушателей военно-инжеиерной школы сразу перевели в преподаватели того же учебного заведения.

Вот этим-то методом Монж и заложил твердые основы науки, которую принято теперь называть начертательной геометрией.

Как и все новое, начертательная геометрия не сразу завоевала свое признание. В первое время она даже имела противников в лице некоторых ученых специалистов, которые уж очень привыкли к старому и боялись всего нового. Но простой и эффектный метод начертательной геометрии, имея очевидное превосходство над всеми другими вычислительными способами, довольно скоро покорил сердца недовольных и из противников сделал их своими сторонниками.

В военно-инженерной школе, где преподавал Монж, была организована новая кафедра начертательной геометрии. Начальником этой кафедры сделали Монжа, который с того времени стал именоваться профессором.

Начертательная геометрия стала обязательным курсом для всех военных инженеров. Однако Монжу было запрещено печатать что-либо о своем открытии из опасения, что им воспользуются иностранцы и тем самым лишат Францию некоторого военного превосходства над другими. Короче говоря, начертательная геометрия была объявлена военной тайной, так как она имела широкое применение в постройке крепостей и всяких других военных сооружений.

Об открытии Монжа его современник крупный французский ученый, академик Доминик Франсуа Араго сказал следующее: «Монж имел счастье открыть существенные свойства пространства, ограниченного поверхностями, способными для строгого определения. Архимед желал, чтобы на его гробнице была изображена сфера, вписанная в цилиндр. Монж имеет также полное право требовать, чтобы на его памятнике были начертаны прекрасные и общие свойства кривых линий.

Монж был основателем первой школы в мире, которой завидуют все государства и которая принесла неисчислимые услуги чистым и прикладным наукам»[22].

Монж был замечательным лектором. Свои лекции по начертательной геометрии он читал с большим подъемом, вкладывая в них глубокий ум и страсть молодого ученого. Читая лекции, Монж любил «лирические отступления», в которых сообщал много нового и интересного. Его речь покоряла слушателей. Ученики любили своего профессора и после лекций провожали его домой.

О том, как Монж мог увлекать своих слушателей, говорит такой факт. Однажды, идя по малознакомой местности, Монж и сопровождавшие его ученики так увлеклись разговором, что забрели в воду и не заметили, как перешли широкий ручей.

Монж был широкообразованным ученым. Он мог беседовать по любым вопросам, обнаруживая остроту мысли, смелость суждения и глубокие знания. От бесед по математике он легко мог перейти, например, к рассуждениям о строении Земли или к объяснению явлений природы. Он живо интересовался достижениями науки и техники и был в курсе всех новинок.

Профессором Монж стал 22 лет. Свою работу по начертательной геометрии он опубликовал только через 30 лет. На 48-м году жизни явился организатором знаменитой Политехнической школы в Париже, где долгое время был профессором. Академиком Парижской академии наук Монж стал в возрасте 44 лет. В конце XVIII века, в период Французской революции, состоял в комиссии по установлению мер и весов. Два года был министром и один год заведовал всеми пороховыми и пушечными заводами республики. Сблизившись с Наполеоном, в 1798 году участвовал в его египетском походе.

В то время, когда Франция стала империей, Монж был сенатором и получил титул графа. С падением наполеоновской империи ученый лишился всех прав, был изгнан из Политехнической школы и Академии наук.

Умер Монж на 72-м году жизни.

Андре Ампер (1775–1836)

Знаменитый французский математик и физик Андре Мари Ампер родился 22 января 1775 года в аристократической семье города Лиона. Еще маленьким ребенком, не зная цифр и не умея читать, обнаружил удивительную способность к счету. Пользуясь небольшим числом камушков, он производил весьма быстро очень большие арифметические вычисления, которым мог бы позавидовать любой счетный работник.

Однажды его счетные упражнения, в которых он находил только удовольствие, были прерваны какой-то серьезной болезнью. Мать считала, что болезнь есть результат умственного перенапряжения ребенка, и выбросила все счетные камушки, очень сожалея, что не сделала этого раньше.

Через некоторое время мальчик стал поправляться и был очень огорчен, когда узнал, что его любимая игрушка, «счетные камушки», куда-то пропала.

Когда выздоравливавшему ребенку впервые увеличили пищевой рацион и дали немного сухарей, он вместо того, чтобы их съесть, разломал сухари на мелкие части и с помощью полученных кусочков опять принялся за свое любимое дело: стал производить большие вычисления.

Четырнадцатилетним мальчиком Ампер с большим увлечением прочитал все 20 томов «Энциклопедии», составленной Дидро и Д’Аламбером. Она возбудила в нем любовь к наукам и жажду всевозможных знаний. Он самостоятельно стал изучать естественные науки, математику и философию.

В юные годы Ампер основательно изучил ботанику, химию, физику и математику. Особенно большие успехи он обнаружил при изучении математики и физики, которые позднее сделались его специальностью.

В возрасте 26 лет Ампер стал профессором Центральной школы в городе Бурго. Через четыре года он был приглашен в Париж для работы в знаменитой Политехнической школе, в которой тогда преподавали лучшие ученые Франции.

К 30 годам Ампер выполнил чрезвычайно важные научные работы в области математики, поставившие его в один ряд со знаменитыми учеными Франции. К этому периоду относятся его замечательные труды по теории вероятностей и по вопросу приложения вариационного исчисления к механике. В это же время он создал ряд оригинальных работ по отдельным проблемам математического анализа.

Ампер в 50 лет стал профессором Нормальной школы в Париже и прославил Францию фундаментальными трудами по математике и физике.

В последние годы жизни Ампер занимался главным образом различными вопросами физики и в разработке этой науки достиг огромных успехов. Как известно, ею именем названа единица силы тока — ампер и знаменитое «правило Ампера», относящееся к электродинамике.

Карл Гаусс (1777–1855)

Карл Фридрих Гаусс, которого современники называли королем математиков, родился в Брауншвейге (Германия) в семье водопроводчика, фонтанных дел мастера и садовника. Еще ребенком Гаусс обнаружил удивительные способности к различным вычислениям в уме. Как только мальчик научился говорить, он мучил всех окружающих вопросами.

— А это что? А это?

Взяв в руки книгу, он увидел в ней какие-то значки и тут же обратился с вопросом:

— Мама, а это что?

— Это буквы.

— А зачем они?

— Чтобы читать.

— А ну, прочти, мама.

Карл был удивлен: из букв складывались слова, а из слов целые предложения. А эти предложения могут рассказать о многом замечательном.

— Мама, научи меня читать.

— Нет, детка, тебе это еще рано. Вот немного подрастешь, отдам тебя в школу, и там ты выучишься этой премудрости.

Но маленькому Гауссу не хотелось ждать. Путем расспросов он выучил все буквы и без особой помощи со стороны взрослых научился читать.

Отец Гаусса, чтобы поправить свои дела, в летнее время снимал иногда подряды на производство каменных работ. Денежные расчеты с рабочими он имел обыкновение производить по субботам. В одну из таких суббот он подсчитал стоимость произведенной работы и сумму выплаты. Он уже хотел приступить к выдаче денег рабочим, как из детской постельки послышался голос:

— Папа, счет твой неверен, у тебя получилось столько-то, а должно быть столько-то.

Отец и все присутствующие были удивлены репликой трехлетнего ребенка.

— Нет, правильно! Я считал довольно внимательно, — сказал отец. — Однако мне ничего не стоит пересчитать вновь.

Проверив все расчеты, отец не без смущения должен был объявить, что прав не он, а его крохотный сын.

О своем искусстве считать в уме сам Гаусс впоследствии в шутку говорил:

— Я научился считать раньше, чем говорить.

Семи лет Гаусса отдали учиться в народную школу, всеми делами которой ведал учитель Бюттнер. Телесные наказания учеников в то время были обычным явлением. Бюттнер имел всегда при себе хлыст, который часто гулял по спинам нерадивых учеников. Этим хлыстом он иногда награждал и маленького Гаусса, так как тот в первое время ничем не отличался от своих товарищей.

Но дело коренным образом изменилось, когда в школе стали проходить арифметику. Уже с первых уроков по этому предмету Гаусс вырос в глазах своего требовательного учителя и всех учеников. Однажды учитель дал задачу: найти сумму всех целых чисел от единицы до ста. По заведенному порядку аспидные доски с решением задач складывались на середине стола стопкой, а потом стопка переворачивалась, и учитель проверял задания.

Едва только учитель кончил диктовать, как послышался голос Гаусса:-А я уже решил!

При этом свою доску с решением он положил на середину стола.

Долго решали ученики задачу. Тем временем учитель прохаживался между партами и не без ехидства сделал Гауссу замечание:

— Карл, ты, наверное, ошибся! Нельзя в столь короткое время решить столь трудную задачу.

Уверенный в правильности своего решения, Гаусс смело ответил учителю:

— Извините, господин учитель! Я правильно решил задачу.

— Посмотрим, насколько правильно. А если неправильно? — И он угрожающе хлопнул хлыстом по своей ноге…

Каково же было изумление учителя, когда при проверке оказалось, что Гаусс решил задачу совершенно правильно, причем само решение отличалось чрезвычайной простотой и остроумием.

— Карл, расскажи классу, как ты решил задачу, — обратился к нему учитель.

— Заданная задача, если внимательно всмотреться в нее, очень проста. Я заметил, что числа данного ряда чисел, стоящие на одинаковом расстоянии от начала и конца его, имеют одинаковую сумму. Пользуясь этим свойством, я складывал попарно:

100+1, 99+2, 98+3 и т. д.,

что давало каждый раз в сумме 101. Но таких пар очевидно 50, следовательно, вся сумма 101×50 = 5050.

Бюттнер в этот день был весьма доволен маленьким Гауссом. Свой гнев он обрушил на тех учащихся, которые или совсем не решили задачу, или решили ее неправильно. Говорят, что на этом уроке хлыст Бюттнера поработал особенно много.

Помощником Бюттнера в народной школе был юноша Бартельс. В его обязанности входила очинка перьев и помощь отстающим учащимся. Все свободное время Бартельс отдавал занятиям по математике. Впоследствии он стал видным профессором. Одно время работал в Казанском университете и был любимым учителем Н. И. Лобачевского.

Бартельс обратил внимание на десятилетнего Гаусса и пригласил заниматься математикой вместе с ним. Книги по математике на свой скудный заработок покупал Бартельс. По этим книгам он знакомил Гаусса со сложными вопросами математики и приохотил его к самостоятельной работе.

Уже тогда у Гаусса зародилась мысль о выборе математической специальности как своей будущей профессии. В гимназические годы он успешно изучал древние языки и мечтал быть философом. Однако математика одержала верх.

Окончательное решение стать математиком у Гаусса сложилось на 19-м году жизни, когда он целый год проучился в Геттингенском университете и сделал в течение этого года весьма важное открытие. Решив уравнение х¹⁷−1 = 0, он дал построение правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки. Этому открытию Гаусс придавал весьма большое значение и дорожил им. Недаром правильный 17-угольник, вписанный в круг, он завещал выгравировать на своем могильном памятнике, что и было выполнено после его смерти.

Свою вычислительную технику Гаусс совершенствовал всю жизнь. В проводимых вычислениях он был непревзойденным виртуозом. В сложнейших расчетах он почти никогда не ошибался, так как полученные результаты проверял различными способами. По признанию Гаусса, большая вычислительная работа его не утомляла, а, наоборот, доставляла удовольствие.

Гаусс обладал феноменальной памятью. Легкость, с которой он производил вычисления, была всегда предметом всеобщего восхищения и некоторой зависти. Запись, которой пользовался Гаусс при громоздких вычислениях, всегда отличалась большой аккуратностью и красотой.

Благодаря высокому искусству счета Гаусс мог «кончиком карандаша» открывать новые планеты. Приводим весьма показательный факт.

В начале XIX века итальянский астроном Д. Пиацци открыл первую из малых планет, названную им Церерой. Наблюдал он ее недолго. Во время наблюдения она приблизилась к Солнцу и скоро скрылась в его лучах. Попытки самого Д. Пиацци, а также других астрономов снова увидеть Цереру не увенчались успехом. Там, где по их предположению она должна была появиться, ее не обнаруживали. Телескопы были бессильны!

И вот поисками Цереры занялся Гаусс (ему было тогда не больше 30 лет). В тиши кабинета он, пользуясь данными первого наблюдения, вычислил орбиту этой новой планеты и с большой точностью указал ее местонахождение. Когда астрономы направили в указанное место свои телескопы, то к своему изумлению обнаружили то, что искали, — Цереру.

По методу Гаусса с тех пор стали открывать все новые и новые планеты. Так, в 1802 году близкий друг Гаусса астроном Г. В. Ольберс путем математических расчетов открыл малую планету Палладу.

После замечательных астрономических работ Гаусс стал считаться величайшим математиком мира и получил почетное прозвище Геттингенского колосса.

Гаусс вошел также и в историю создания неевклидовой геометрии Лобачевского как один из ее пионеров, который вполне сознательно развивал ее, но, к сожалению, не напечатал по этому поводу ни единой строчки. В письмах к своим друзьям скупой на похвалы Гаусс высоко оценивал открытие Лобачевского. Однако боязнь быть непонятым и осмеянным со стороны невежественных людей помешала Гауссу обработать свои идеи по неевклидовой геометрии и опубликовать их.

Трудно указать такую отрасль теоретической и прикладной математики, в которую бы Гаусс не внес существенного вклада.

Дважды велись переговоры о переезде Гаусса в Россию, и он в принципе был согласен. Однако переезд не состоялся по вине царской администрации.

Симеон Пуассон (1781–1840)

Великий французский математик, механик и физик Симеон Дени Пуассон родился в 1781 году в небольшом местечке Питивьер. Мать будущего ученого исключительно по слабости своего здоровья вынуждена была отдать крохотного сына одной знакомой крестьянке-кормилице, жившей в деревне недалеко от Питивьера.

Однажды Пуассон-отец задумал навестить своего сына. Он явился в деревню, где жила кормилица. Не застав ее дома (она была в поле), проник в помещение и к своему ужасу увидел там такую картину: ребенок был подвязан к самому потолку. Как потом выяснилось, это было сделано для того, чтобы сберечь младенца от нападения прожорливых свиней, которые табунами бродили вокруг маленького домика со слабыми запорами.

Впоследствии, когда Пуассон сделался украшением французской науки, он довольно часто вспоминал этот случай и свой рассказ всегда дополнял шуткой: «Без сомнения, — говорил он, — я качался из стороны в сторону и таким образом мне на роду было написано исследовать движение маятника»[23].

Когда Пуассон подрос, отец долго думал, какому ремеслу научить своего сына. Сначала намеревался сделать из него нотариуса. Но, поразмыслив, решил, что этот вид работы будет сыну непосилен, так как здесь, помимо знаний, надо еще иметь врожденную ловкость и изворотливость.

После долгих размышлений отец остановился на ремесле цирюльника, т. е. на профессии деревенского врача-хирурга, который все болезни лечит кровопусканием. Занятие цирюльника, по мнению Пуассона-отца, не требовало больших знаний, а только некоторой сноровки, Которая достигается небольшой выучкой и главным образом практикой.

Для изучения облюбованного ремесла Симеон отправился в местечко Фонтенбло к цирюльнику Ланфану, который приходился ему дядей. Но на этом поприще Пуассона подстерегала неудача.

Чтобы научить кровопусканию, дядя давал ему ланцет и заставлял прокалывать жилки на капустном листе. «Как ни приметны эти проклятые жилки, — говорил много позднее с большим юмором Пуассон, — но я никогда не мог попасть ланцетом ни в одну из них, когда смотрел на них прямо; а иногда попадал, когда смотрел искоса. Моя неловкость сильно огорчала дядю, но он любил меня и удерживал при себе. Однажды с одним из моих товарищей, Ванло, который живет теперь в колониях, дядя послал меня поставить мушку на руку одного ребенка; на другой день я пошел отнять мушку, но ребенок был уже мертвый. Говорят, что это случается часто, но я так встревожился, что тотчас сказал, что не хочу быть ни хирургом, ни лекарем. Ничто не могло поколебать моей решимости, и меня возвратили в Питивьер»[24].

Отец Пуассона получал издававшийся в Париже «Журнал Политехнической школы», в котором много места отводилось математике. Симеон, рано полюбивший чтение, просматривал этот журнал и решал помещенные в нем задачи. Без руководства и помощи со стороны он справлялся с решением довольно трудных задач, правда, иногда достигал цели длинными, окольными путями.

С каждым годом ему становилось все труднее и труднее находить задачи, которые заставляли бы его много думать. Но вот однажды юный Пуассон заехал в Фонтенбло и встретился там со своим старым другом Ванло.

— Здравствуй, друг Ванло! — приветствовал его Пуассон.

— Здравствуй, здравствуй, дорогой Пуассон! Приятно с тобой встретиться.

— Ты знаешь, Ванло, я стал большим любителем решения задач. Да вот беда, все задачи, которые попадаются на мои глаза, настолько просты, что решать их нет никакого интереса.

— Постой, постой, Симеон! Как говорят, на ловца и зверь бежит. Ты знаешь, у меня есть тексты задач, которые давались в Центральной школе. Мне их дал один из учеников этой школы, чтобы я помог ему в решении этих задач. Я попробовал решать, но они оказались мне не по плечу. Вот ты и помоги выйти из затруднительного положения.

— Давай скорей эти задачи. Посмотрим, что они собой представляют.

Друзья зашли на квартиру Ванло, и тот передал молодому Пуассону тексты всех задач. Тут же Пуассон принялся за решение. Не прошло и часа, как он решил все задачи.

Из всех задач Пуассону особенно понравилась та, которая впоследствии стала называться «задачей Пуассона»: «Некто имеет двенадцать пинт вина [пинта — старинная мера жидкости, равная приблизительно 0,568 литра] и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт; у него два сосуда, один в восемь, а другой в пять пинт; спрашивается, каким образом налить шесть пинт в сосуд восьми пинт?»

— Эта задача, — заявил Пуассон, — определила мою судьбу. Я решил, что непременно буду математиком.

Отец заметил увлечение сына математикой и отдал его на воспитание учителю по фамилии Бильи. Этот человек обладал всеми качествами хорошего учителя, однако не мог удовлетворить запросов молодого Пуассона. Дело в том, что Пуассон давно обогнал своего учителя в знаниях по математике и самому Бильи было впору поучиться у своего воспитанника.

Опытный учитель предоставил ему «свободу действий». Он подбирал Пуассону нужную математическую литературу для самостоятельного изучения и был бесконечно рад его успехам.

Между Бильи и Пуассоном завязалась крепкая дружба, которая не прекращалась и тогда, когда Пуассон сделался знаменитостью. Каждый раз, когда выдающийся ученый выступал со своими научными сообщениями, в зале можно было встретить седовласого «древнего» старичка, который с большим вниманием слушал каждое слово академика. Этим стариком был Бильи, не пропускавший ни единого выступления своего бывшего ученика. В перерыве он рад был поделиться с присутствующими, что Пуассон его ученик, что он первый открыл в нем столь высокое математическое дарование:

— Это я предсказал, что «Petit Poisson deviendra grand».

После этих слов у Бильи радостно светились глаза и сам он расплывался в добродушной улыбке. Он, видимо, был доволен своей остротой. В буквальном переводе французская фраза означала: «Маленькая рыба будет большой». Здесь игра слов, потому что «Poisson» по-французски означает «рыба», и фразу Бильи надо понимать так: «Маленький Пуассон будет большим», т. е. своими талантами добьется великой славы ученого.

В Политехническую школу в Париже Пуассон поступил 17 лет.

Своими ответами он не раз приводил в изумление профессоров. Раз на лекции, которую читал знаменитый математик Лагранж, была названа теорема, прямое доказательство которой, по словам лектора, якобы «трудно найти». Каково было изумление Лагранжа, когда на другой день на следующей лекции поднялся Пуассон и подал профессору небольшой листок с прямым доказательством теоремы, упомянутой на предыдущей лекции. Доказательство вполне удовлетворило Лагранжа.

Второй случай произошел на экзамене знаменитого математика и астронома Лапласа. Он задал Пуассону весьма трудный вопрос, думая этим озадачить «первого ученика», но к своему большому удивлению услышал от него четкий, вполне исчерпывающий ответ. Этот ответ был настолько оригинальным, что прославленный ученый был вынужден признать его «изящным».

Пуассон внес огромный вклад в науку. Его труды охватывают астрономию, механику, физику и математику. Он глубоко изучает вопрос об устойчивости солнечной системы и выводит дифференциальные уравнения возмущенного движения, впервые воспользовавшись так называемыми «скобками Пуассона». Много фундаментальных работ Пуассона относится к разным разделам математического анализа и к теории вероятностей.

Доминик Араго (1786–1853)

В детстве будущий знаменитый французский математик, физик и астроном Доминик Франсуа Араго увлекался литературой. Чтение художественных книг было его излюбленным занятием. Однажды непредвиденный случай изменил направление всех его мыслей. Как-то раз он совершал прогулку по городскому валу и встретил офицера инженерных войск, который был занят ремонтом укреплений. Офицер был очень молод. В новеньком мундире с золотыми эполетами он выглядел, как картинка.

Набравшись смелости, юный Араго подошел к этому офицеру и спросил:

— Скажите, каким образом вы так рано получили эполеты?

— Я окончил Политехническую школу, — охотно ответил офицер.

— Что это за школа? — полюбопытствовал юноша.

— В эту школу поступают только по экзамену.

— А многое ли требуется от поступающих?

— Об этом вы можете прочитать в программе вступительных экзаменов, которая ежегодно рассылается по всем округам Франции. Она имеется почти во всех библиотеках и, наверное, есть в библиотеке вашей школы.

Поблагодарив офицера, Араго, не теряя ни минуты, побежал в библиотеку и к своей радости нашел нужную программу; там же он внимательно прочитал ее. Вводная часть программы сообщала, что Политехническая школа была организована великим французским ученым Гаспаром Монжем и что преподавание в ней ведут самые лучшие профессора Франции.

С тех пор юноша потерял покой. Он задался целью поступить в Политехническую школу. От былого увлечения литературой не осталось и следа. В своей школе Араго стал старательно посещать уроки математики, которые вел старый учитель Бердье. Однако юный Араго понял, что этих уроков явно недостаточно. Обширная программа для поступающих в Политехническую школу требовала гораздо больше. Араго решил заниматься самостоятельно. Он выписал из Парижа всю рекомендуемую в программе литературу и без учителя принялся за ее изучение.

Читая сочинения Лежандра, Лакруа и других авторов, юный Араго встречал иногда большие затруднения. В этом случае он обращался за советом и консультацией к помещику по фамилии Рейналь, большому любителю математики, который все свое свободное время посвящал чтению математических книг. «Этот превосходный человек часто давал мне полезные советы; но, по правде, истинным моим учителем была обертка на „Алгебре“ Гарнье. Эта голубая обертка была подклеена печатной осьмушкой; прочитав наклеенную часть осьмушки, я захотел узнать, что находится на другой ее стороне; намочив, я осторожно снял голубую обертку и нашел следующий совет Д’Аламбера одному молодому человеку, встретившему такое же затруднение в изучении математики: „Идите, идите вперед, и приобретете веру“.

Эти слова осенили мой ум: не останавливаясь на затруднявших меня предложениях, я применял их как несомненные и шел дальше, и к удивлению моему, на другой день совершенно понимал то, что накануне казалось мне темным»[25].

В итоге за полтора года Араго полностью овладел всеми предметами, которые требовались для поступления в Политехническую школу.

Наконец, наступило время экзаменов. На экзамены в Политехническую школу Араго явился со своим товарищем, который так же, как и он, горел желанием поступить в ту же школу. Первым испытанию подвергся товарищ Араго, но по робости своей стал путать, заикаться, говорить несуразности и не выдержал экзамена. Затем к доске был вызван Араго. Между экзаменатором и экзаменующимся произошел следующий довольно странный разговор.

Экзаменатор. Если вы будете отвечать так, как ваш товарищ, то мне бесполезно вас спрашивать.

Араго. Мой товарищ знает больше того, что он отвечал. Я надеюсь быть счастливее его и отвечу на все ваши вопросы, если только не испугаюсь ваших слов.

Экзаменатор. Незнающие всегда ссылаются на робость. Чтобы не посрамить вас, я вам предлагаю совсем не экзаменоваться.

Араго. Я стыжусь вашего мнения обо мне. Спрашивайте меня: это ваша обязанность.

Экзаменатор. Вы, сударь, начинаете немного свысока! Сейчас увидим, имеете ли вы на это право.

Араго. Я готов и жду ваших вопросов.

Тогда экзаменатор предложил вопрос из геометрии. Араго отлично справился с этим вопросом и тем самым несколько уменьшил предубеждение экзаменатора. Следующим был дан вопрос по алгебре: нужно было решить одно числовое уравнение. «Я знал, — говорит Араго, — сочинение Лагранжа, как мои пальцы; я разобрал все известные методы и объяснил их достоинства и недостатки; метод Ньютона, метод возвратных рядов, метод каскадов, метод непрерывных дробей — все это было рассмотрено; ответ мой продолжался целый час».

Видя хорошую математическую подготовку Араго, экзаменатор от подозрения перешел к благосклонности и громко сказал:

— Теперь я могу считать экзамен законченным, но для удовольствия хочу предложить еще два вопроса.

Один вопрос был взят из «Аналитической теории функций» Лагранжа, а другой из «Аналитической механики» того же автора. На оба вопроса Араго ответил блестяще.

Араго стоял у доски два часа с четвертью. Экзаменатор подошел к Араго, крепко обнял его и торжественно объявил:

— Ваше имя будет самым первым в списке!

Араго успешно учился в Политехнической школе. Особенно глубокие познания у него были в области математики. Об этом можно судить по результатам экзамена, который Араго сдавал при переходе с одного курса на другой. На сей раз экзаменатором был знаменитый геометр Лежандр, известный своими печатными курсами по геометрии, которые имели широкое распространение не только во Франции, но и далеко за ее пределами, в частности были переведены на русский язык и в первой половине XIX века использовались в России как учебники.

Араго входил в кабинет в тот момент, когда служители выносили с экзамена одного студента, упавшего в обморок. Араго полагал, что это обстоятельство несколько смягчит экзаменаторский пыл Лежандра, а получилось как раз наоборот.

— Как вас зовут? — спросил Лежандр.

— Араго.

— Вы не француз?

— Если бы я не был французом, то я не стоял бы в данную минуту перед вами.

— Я утверждаю, что тот не француз, кто называется Араго.

— А я утверждаю, что я француз, и хороший француз, как ни странно мое имя.

— Хорошо. Перестанем об этом спорить, и ступайте к доске.

Но только Араго вооружился мелом, как Лежандр опять возвратился к прежнему разговору:

— Вы, без сомнения, родились в департаментах, недавно присоединенных к Франции?

— Нет, профессор.

— Неправда ли, вы испанского происхождения?

— Опять говорю вам: я француз и этого для вас довольно.

Экзамен начался. Лежандр задал Араго вопрос, требующий знания кратных интегралов. Только Араго стал отвечать на этот вопрос, как Лежандр прервал его и сказал:

— Употребляемый вами способ вы не слыхали от вашего профессора. Где вы его вычитали?

— В одной из ваших книг.

— Тогда скажите, почему его выбрали? Не для того ли, чтобы склонить меня в вашу пользу?

— Нет, об этом я вовсе не думал. Я воспользовался им потому, что он мне кажется лучшим.

— Если вы не объясните мне его преимущества, то я поставлю вам худую отметку, по крайней мере, относительно вашего характера.

Тогда Араго вошел в подробности и доказал, что метод Лежандра во всех отношениях яснее и рациональнее того, который им предлагал на лекциях профессор Лакруа.

После этого Лежандр остался доволен ответом и его обращение стало значительно мягче. В заключение Лежандр задал еще один вопрос по механике.

— Этот вопрос считаю легким для себя, — заявил Араго.

— Хорошо, я сделаю его труднее. Решите эту задачу при следующих дополнительных условиях.

Но и с дополнительными условиями задача была решена. После этого Араго совершенно завоевал благосклонность строгого экзаменатора.

С тех пор Лежандр полюбил смелого ученика и приблизил его к себе как достойного друга.

Араго оказал заметное влияние на французскую науку. Его работы относятся к астрономии, оптике, электромагнетизму, физической географии. Он был горячим сторонником волновой теории света и много сделал в исследовании явлений, связанных с поляризацией света.

Нильс Абель (1802–1829)

Выдающийся норвежский математик Нильс Генрик Абель родился 5 августа 1802 года в бедной семье пастора в маленьком норвежском местечке Финге, расположенном на северо-западном побережье страны.

О первых годах жизни Абеля сохранилось мало сведений. Известно только, что, будучи школьником, он в первое время мало чем отличался от своих товарищей. Математическое дарование пробудилось в нем благодаря дополнительным внеклассным занятиям по математике, которые по два часа в неделю вел его учитель. Эти занятия состояли из решения задач повышенной трудности, главным образом по алгебре и геометрии. Задачи Абель решал молниеносно, так что учителю пришлось подбирать специальные задачи только для него одного. Сам учитель так отзывался о своем ученике: «Мальчик проявлял высокую страсть к математике и в короткое время сделал в ней такие успехи, в которых может быть способен только гений».

В 1820 году умер отец, и семья осталась без всяких средств к существованию. Положение было безвыходным. Но математическим дарованием подростка заинтересовались профессора и за свой счет определили его учиться в университет. Вступительные экзамены по математике, как и следовало ожидать, Абель сдал на отлично.

Хотя Абель учился в университете, но в математических познаниях он был самоучкой. В ту пору в университете, в котором учился Абель, никакие математические курсы не читались. Математику он постиг по книгам, приобретенным на скудные средства, которые давались ему время от времени сердобольными профессорами.

Предаваясь своим любимым занятиям — научным исследованиям, — «Studiosus Abel» счел, что он нашел решение уравнения пятой степени в радикалах. Эта весть облетела весь университет и стала своего рода сенсацией. Однако, размышляя еще и еще, Абель нашел ошибку в прежнем своем исследовании и пришел к выводу, что такое решение невозможно.

Знаменитую теорему о том, что общее уравнение выше четвертой степени в радикалах не решается, он опубликовал отдельной брошюрой в 1824 году.

Продолжая работу над теорией алгебраических уравнений, Абель позднее выделил класс уравнений выше четвертой степени, которые разрешимы в радикалах. Уравнения этого класса принято называть теперь «абелевыми уравнениями».

Свое доказательство невозможности решения в радикалах общего алгебраического уравнения выше четвертой степени он послал на отзыв знаменитому немецкому математику Гауссу, но тот счел нужным отмолчаться и не ответил начинающему ученому.

Абель много надежд возлагал на заграничную поездку в Париж, которая осуществилась за счет предоставленной специальной стипендии. Еще бы! Париж был центром научной мысли Франции. Там находилась Парижская академия наук, там работали крупнейшие математики мира. Однако и в Париже его ждало разочарование. Ведущие французские математики так и не удосужились понять работ молодого норвежского ученого и остались к нему совершенно равнодушны. Научный доклад Абеля по теории абелевых функций, представленный Парижской академии в письменном виде, остался нерассмотренным и был сдан в архив, как документ, лишенный всякого интереса. Этот трактат, пролежавший долгие годы в архиве, был напечатан уже после смерти Абеля.

Тяжелая нужда, систематическое недоедание и непомерно большой труд сделали свое дело. Абель впал в глубокую меланхолию, которая была верным признаком душевного расстройства. Меланхолия покидала его только в часы вдохновенного научного труда: он становился совершенно неузнаваем, весь преображался и как бы светился внутренним огнем. Это были часы подлинного счастья. Он забывал мир с его превратностями и невзгодами и жил в сферах одной только науки.

Мало, очень мало пожил Нильс Абель. Окруженный непроницаемой стеной полного равнодушия «научных светил», непризнанный, задавленный нуждой, он умер двадцати шести лет от туберкулеза. Владелец бессмертных идей почти всю свою короткую жизнь был нищим и умер в больших лишениях.

Ученый, совершивший в науке целый переворот, не был при жизни увенчан лавровым венком.

Труды Абеля получили признание только после его смерти. Когда ученые разобрались в его открытиях, стало совершенно ясно, что труды Абеля есть основа самых важных разделов современной математики.

Уже после смерти Абеля «Журнал Крелле» писал: «Он работал не для себя, а лишь для науки, которую горячо любил. Вполне возможно, что такое бескорыстие не принято в этом мире. Ну, что ж, он тем не менее не хотел беречь себя и всю свою жизнь отдал науке…

Давайте же воздадим должное памяти человека, который отличался столь огромным талантом и столь необычайной душевной чистотой. Давайте почтим в его лице одного из тех редких людей, которых природа раз в столетие создает на нашей земле».

По зову ученых на средства международной подписки на самой широкой площади Осло (столица Норвегии) воздвигнут величественный монумент. На тяжелой гранитной глыбе юноша с одухотворенным лицом, стремительно шагающий ввысь, а на пути его — два чудовища, которых он переступает. Гордая фигура юноши — это и есть запечатленный навеки образ Нильса Абеля.

Янош Больяй (1802–1860)

Янош Больяй родился в семье крупного венгерского ученого, профессора математики Фаркаша Больяй, который лично руководил занятиями своего сына. Янош Больяй был одаренным ребенком. В четыре года он уже имел понятие о круге, о центре, радиусе круга, о тригонометрической функции синуса. Шести лет он считался одаренным скрипачом, а в десять — имел свои собственные композиции. В 13 лет овладел высшей математикой — дифференциальным и интегральным исчислением.

Когда Яношу исполнилось 14 лет, отец написал об успехах сына своему другу, знаменитому математику Гауссу, с которым был связан дружбой еще со студенческих лет, и просил его взять юношу в свою семью в качестве ученика. Однако Гаусс на этот раз не удостоил своего старого друга ответом. Так что после некоторых колебаний Фаркашу Больяй пришлось устроить шестнадцатилетнего Яноша в Военно-инженерную академию в Вене — закрытое учебное заведение, не требовавшее значительных расходов. Он учился хорошо, в особенности по математике. В течение четырех лет учебы Янош получил солидные знания по военному делу и по математике. Однако академия не смогла сделать из математика офицера.

На 21-м году жизни Янош Больяй успешно оканчивает курс Военно-инженерной академии и в чине младшего лейтенанта командируется в город Темешвар (теперь Тимишоар). Янош с увлечением работает над теорией параллельных линий, которой стал заниматься еще в Вене и которой безуспешно занимался его отец.

Вскоре Янош Больяй в письмах к отцу сообщает, что в своих исследованиях он достиг замечательных результатов, что «из ничего я сделал новый, другой мир». Однако отец не понял сына и всячески отговаривал его от этих занятий.

Характерно в этом отношении одно из писем отца к сыну. В нем отец пишет: «Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий на этом пути; я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь и всякий светоч, всякую радость моей жизни я в ней похоронил. Мало того, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться, как чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя — оно погубит твою радость жизни. Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновских башен и никогда на земле не прояснится; никогда род человеческий не достигнет совершенной истины — даже в геометрии! Да хранит тебя бог от этого увлечения, которое тобой овладело. Оно лишит тебя радости не только в геометрии, но и во всей земной жизни. Я был готов сделаться мучеником этой истины, чтобы только очистить геометрию от этого пятна, чтобы передать роду человеческому безукоризненную науку. Я проделал ужасную гигантскую работу; я достиг много лучшего, нежели то, что было получено до меня; но совершенного удовлетворения не получил!»[26]

Несмотря на уговоры отца, Янош настойчиво занимался теорией параллельных линий и потратил на нее еще десять лет, чтобы придать ей законченный характер.

Янош Больяй обессмертил свое имя открытием новой геометрии, которая до него была открыта (он это узнал позднее) великим русским ученым Н. И. Лобачевским и поэтому называется теперь геометрией Лобачевского-Больяй.

О службе Яноша Больяй в Темешваре профессор В. Ф. Каган писал следующее: «Однако служба в Темешваре была Яношу в тягость. К тому же и здоровье его пошатнулось; вместе с тем раздражительность и несдержанность, унаследованные им от матери, стали еще более проявляться. Происходили стычки с товарищами, кончавшиеся поединками. Доходило даже до того, что в один день он был вызван двенадцатью офицерами. Он принял все вызовы с тем условием, чтобы после каждого поединка ему была предоставлена передышка — поиграть на скрипке. Во всю его трудную жизнь музыка была его единственным утешением. Из всех поединков он вышел победителем»[27].

В возрасте 31 года Янош оставляет военную службу.

Янош Больяй при жизни не вкусил славы великого ученого. Дальнейший жизненный путь его усеян сплошь колючими шипами. Он опубликовал свое открытие в качестве приложения в первом томе «Тентамена» («Опыта») своего отца под латинским названием «Аппендикс» («Приложение»). Первый том «Тентамена» Больяй-отца вышел в 1832 году и отдельный оттиск «Аппендикса» немедленно был послан Гауссу в Геттинген, но посылка затерялась и не дошла до адресата (в то время была эпидемия холеры). Только во второй раз книга дошла до Гаусса. Вместе с книгой Гаусс получил от своего старого друга Фаркаша Больяй письмо, в котором тот просил Гаусса сообщить свое мнение о работе сына. «Мой сын, — писал Фаркаш Больяй Гауссу, — ставит твой отзыв больше, чем мнение всей Европы».

Однако Гаусс не торопился с ответом. Только через шесть месяцев был получен долгожданный ответ Гаусса. Важно заметить, что в этом ответном письме Гаусс больше говорил о своих заслугах, чем о заслугах Яноша Больяй. И это роковым образом повлияло на всю дальнейшую жизнь молодого математика. Вот что писал Гаусс другу о работе его сына: «Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что я ее не должен хвалить, то на мгновение ты поразишься, но я не могу поступить иначе; хвалить ее — значило бы хвалить самого себя, ибо все содержание этой работы, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими, которые я частично получал уже 30–35 лет тому назад. Я действительно этим крайне поражен.

Я имел намерение в своей собственной работе, кое-что из которой я теперь нанес на бумагу, при жизни ничего не публиковать. Большинство людей совершенно не имеют правильного понятия о том, о чем здесь идет речь; я встретил только очень немногих людей, которые с особым интересом восприняли то, что я им об этом сообщил. Чтобы быть в состоянии это понять, надо сначала живо ощутить то, чего собственно здесь не достает, а это большинству людей совершенно неясно. Но я имел намерения со временем нанести на бумагу все, чтобы эти мысли, по крайней мере, не погибли со мной.

Я поэтому очень поражен тем, что я освобожден от этой необходимости, и меня очень радует, что именно сын моего старого друга таким образом меня предвосхитил». [28]

Янош не ждал этого. Он сильно возмутился ответом Гаусса. Он даже заподозрил Гаусса, что тот хочет присвоить его открытие. Но судьба готовила ему новый сюрприз. 17 октября 1848 года Янош Больяй получил от своего отца трактат «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Н. И. Лобачевского, изданный в 1840 году на немецком языке в Берлине. Сначала Янош Больяй был очень сильно поражен, что в России есть ученый, который занимается теми же вопросами, что и он, который пришел к тем же результатам, но только другим, своеобразным путем. Он сначала не поверил этому. «Может быть, под именем Лобачевского, — думал он, — скрывается „геттингенский колосс“ Гаусс, который обработал мою теорию на свой лад и выпустил под вымышленным именем Лобачевского».

Читая Лобачевского, Янош Больяй составил свои обширные замечания, подробный критический разбор всего сочинения. Он восхищается некоторыми выводами Лобачевского и называет их гениальными.

Ко всему сказанному надо добавить, что Янош Больяй много занимался теорией комплексных чисел. В 1834 году Лейпцигское ученое общество имени Яблонского объявило конкурс на усовершенствование геометрической теории комплексных чисел. В этом конкурсе приняли участие Ф. Больяй, Я. Больяй и Ф. Керекеш. Работа последнего была удостоена половинной премии, тогда как более значительные работы первых Двух ученых, в особенности Больяй-сына, не были даже упомянуты.

Этот несправедливый акт непризнания научных заслуг был новым ударом для Яноша.

Не получив поддержки со стороны ученых и прежде всего со стороны Гаусса, на которого он много рассчитывал, Янош Больяй потерял душевное равновесие и стал заниматься заведомо неразрешимыми проблемами. Например, он стремился создать на математической основе учение о всеобщем благе.

Тяжелые переживания и недуги сломили и без того слабое здоровье Яноша Больяй. Он умер на 58-м году жизни, пережив своего отца всего на три года.

В 1894 году на могиле Яноша Больяй в Марош-Вашаргеле был воздвигнут каменный монумент. В 1903 году по инициативе Венгерской академии наук отмечалось столетие со дня рождения Яноша Больяй. Установлена международная премия его имени. Замечательный труд Яноша Больяй «Аппендикс» теперь переведен почти на все европейские языки. Имеется и его русский перевод, талантливо выполненный профессором В. Ф. Каганом. По решению Всемирного Совета Мира 27 января 1960 года широко отмечалось столетие со дня смерти Яноша Больяй, совершившего подвиг в науке.

Эварист Галуа (1811–1832)

Бурно протекала короткая жизнь великого французского математика, неистового республиканца Эвариста Галуа.

О первых годах его жизни почти ничего не известно. Полагают, что исключительно большое дарование по математике обнаружилось у мальчика, когда ему было всего 15 лет. К этим годам он усвоил курс элементарной математики, изучаемый в средней школе, и с увлечением принялся за самые важные и трудные разделы высшей математики. Объектом изучения были ученые трактаты виднейших математиков того времени. Он изучал классические специальные работы Коши, Гаусса и многих других авторов. Математикой Галуа мог заниматься без конца, где угодно и как угодно и не только в часы досуга, но и тогда, когда выполнял другие работы. Писал, например, сочинение на заданную тему по французскому языку или отвечал преподавателю по какому-нибудь предмету, а думал о вопросах математики.

На уроках Галуа сидел плохо. В большинстве случаев материал, излагаемый учителем, был знаком из прочитанных книг. Он скучал. Бывало и так, что Галуа вдруг начинал слушать объяснения учителя. Это означало, что учитель хорошо подготовился к уроку. Товарищи по школе говорили тогда: «Нынче занятие особенно интересное, материал был новым не только для нас, но и для нашего гения». Слова «наш гений» произносились с нескрываемой иронией, основанной на зависти и неприязни к зазнавшемуся, как они говорили, выскочке.

Товарищи не любили Галуа за его резкий характер и не дружили с ним. Не выносили Галуа и учителя. Они знали: чтобы заставить Галуа слушать и работать под их диктовку, надо заинтересовать его, а для этого самим надо много знать, очень много читать и готовиться.

Исключением был учитель математики мсье Ришар. Он разгадал огромный талант Галуа.

Ришар имел привычку по понедельникам задавать ряд трудных задач, которые учащиеся должны были решить на дому в течение недели. Большинство задач были замысловатыми и требовали некоторых пояснений. Однажды, когда мсье Ришар кончал диктовать задачи и хотел уже приступить к пояснению, раздался голос Галуа:

— Господин учитель, вот решение всех ваших задач. — И он подал учителю несколько листков, вырванных из ученической тетради.

Учитель был удивлен. Во всяком случае он и сам бы не решил даваемые задачи в столь короткий срок. Удивлены были и ученики очередной выходкой «доморощенного гения». Посмотрев наспех решения Галуа, мсье Ришар еще больше поразился оригинальностью большинства решений, которых он не встречал ни в одном учебнике.

После уроков Ришар пригласил Галуа к себе на квартиру поговорить наедине, «как равный с равным».

— Садитесь, мой молодой друг, и расскажите, чем вы теперь занимаетесь?

— Я, мсье Ришар, больше всего увлечен своими мыслями. Мне кажется, я скоро найду необходимое и достаточное условие для разрешимости уравнений высших степеней, начиная с пятой, в радикалах. Ясно, что те из уравнений, а их очень много, которые не удовлетворяют этому условию, будут неразрешимы в радикалах.

— Это очень похвально, — заметил мсье Ришар, — но не переоцениваете ли вы свои силы, ведь этими проблемами занимались крупнейшие математики и не смогли справиться?

— А я оправляюсь, я должен справиться. Буду работать день и ночь, а справлюсь, обязательно оправлюсь. Вот увидите, я докажу вам и всем вашим ученым, на что способен Галуа, когда он что-нибудь захочет! — запальчиво заговорил Галуа.

— Признаться, — продолжал он, — я кое-что уже имею в своей голове и на днях постараюсь набросать на бумаге. Правда, это еще далеко не все! Однако это близко к тому, к чему, не досыпая ночей, я стремлюсь всей душой.

Галуа умолк. Он был (возбужден. Бледное лицо покрыли резкие пятна румянца. Беспокойные глаза поражали каким-то неестественным блеском.

— Извините, мсье Ришар, может быть, я свои мысли высказал в неприличной форме. Однако содержание их вышло из глубины моего сердца и продиктовано самыми чистыми намерениями. Что касается лично вас, то я уважаю вас и как учителя и как человека. Я вас никогда не забуду!

Как зачарованный, смотрел старый учитель на юнца с крыльями ученого. Глядел и думал: «Да, далеко пойдет этот юноша. Он, несомненно, будет крупным ученым. Вот беспокоит меня его непомерная гордость. Трудно живется таким людям на свете! Ох, трудно!»

— Я вижу, — сказал мсье Ришар вслух, — вам нечего делать на моих занятиях по математике. Вы давно перешагнули их собственной работой и своими способностями. Вам будет скучно на них. Эту скуку вы можете передать и своим товарищам. А это для меня совсем плохо.

— Нет, отчего же, я с интересом сижу на ваших занятиях, — почтительно ответил Галуа, который в этот момент искренне сочувствовал учителю.

— Знаю, хорошо знаю, что скучно будет вам. Чтобы вам не было слишком скучно, я кое-что придумал. Я прошу внимательно слушать на моих уроках объяснения и составлять на них свои критические замечания, а после сообщать мне. Хорошо?

— Очень польщен вашим предложением, мсье Ришар!

— Вот и договорились. А теперь ступайте в интернат. Там, наверное, давно ждут вас. Скажите, что вы были у меня и я задержал вас. До свиданья, мой юный друг!

Эту встречу Галуа сохранил в памяти надолго. Такого отеческого отношения со стороны уважаемого учителя он, признаться, и не ожидал. Ему стало веселее на душе и он опять принялся за свои исследования.

Уже в стенах коллежа Галуа выполнил работу «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях». Эта статья была напечатана в «Анналах математики». Однако она не принесла ожидаемой славы. Ученый мир не обратил на нее внимания. Никто из ученых не порадовал молодого ученого ни единой строчкой одобрения. А это было бы очень кстати. Тогда бы знали экзаменаторы Парижской политехнической школы, кого они провалили на вступительных экзаменах. «Однако я добьюсь своего, — думал Галуа, — наступит день, когда ученые заговорят обо мне».

Закончив свою новую работу о разрешимости алгебраических уравнений, Галуа послал ее в Парижскую академию наук. Как настоящий ученый, он любил помечтать. В кругу людей он мечтал про себя, а когда был один, говорил вслух. Он мечтал теперь о том, как его новая рукопись попадет в академию. Ее, наверное, вручат в руки самого Коши. Тот сначала удивится, увидев, что рукопись принадлежит ученику коллежа. Сначала великий математик поворчит про себя. Он даже скажет: «Вот до чего я дожил, желторотые ученики из коллежа свои безграмотные рукописи мне присылают и отрывают у меня драгоценное время на их просмотр». Но любопытство все же пересилит желание бросить рукопись в корзину для ненужных бумаг, и он начнет читать.

Воображение Галуа отчетливо рисовало метаморфозу в настроении ученого академика по мере чтения его работы. Вот небрежно прочитаны первые строки. «Ага, автор упоминает Гаусса, значит, он его читал. Это любопытно, ученик коллежа и читал Гаусса». Сначала Коши держит рукопись в одной руке, потом обеими руками, словно боясь, что кто-то отнимет ее у него. А глаза? Глаза академика жадно впились в рукопись. Читая про себя, он время от времени бросает:

— О, это ново!..

— Великолепно!..

— Оригинально!..

— Очень оригинально!..

— Неподражаемо!..

— Да, — скажет Коши, кончив чтение рукописи, — работа ученика коллежа может сделать честь любому академику!..

Мечты — одно, а реальная действительность — другое. Для Галуа действительность оказалась горше полыни. Началось с того, что он дважды держал экзамен в Политехническую школу и оба раза провалился. «Простительно было бы, — думал Галуа, — если бы я не знал материала и не мог ответить. А то ведь знал его в совершенстве. Я уверен, что материал знал лучше, чем эти надутые спесью экзаменаторы, которые, быть может, и пальца моего не стоят. А получилось так, что я провалился. А все оттого, что я злюсь и веду себя несдержанно, когда мне задают глупые вопросы, рассчитанные на идиотов. Получилось непростительно глупо. Однако, какие нелепые вопросы задавали мне на экзамене по теории логарифмов. Вероятно думали, что перед ними какая-нибудь чурка с глазами.

Вспомнит еще обо мне Политехническая школа, а я бы мог быть ее украшением»[29].

Прошло около года, как Галуа послал рукопись своей работы в Парижскую академию наук, а она отмалчивается. Как воды в рот набрал великий Коши, хотя рукопись у него. Он не только не известил начинающего молодого ученого, но даже не прочитал его рукопись и не ответил ему. Дело кончилось тем, что Коши «утерял» рукопись, не доложив о ее содержании на заседании Академии наук.

Но Галуа не сдавался. Он посылает в Парижскую академию наук сразу три своих мемуара. «Посмотрим, что теперь скажет Академия. Теперь она обязательно заговорит», — думал Галуа.

Рукописи были направлены на имя секретаря Академии знаменитого французского математика Жана Батиста Жозефа Фурье. «Он-то должен в них разобраться. Ведь не все же ученые черствые, как Коши», — думал на этот раз Галуа.

Трудно представить себе, с каким нетерпением ждал Галуа ответа. Но… так и не дождался! События на этот раз развернулись весьма печально. Академик Фурье, на которого Галуа возлагал надежды, вскоре умер. Рукописи Галуа и на этот раз были утеряны.

Можно удивляться терпению Галуа. Он не впал в отчаяние. Настойчивость росла по мере неудач. Он в третий раз посылает Парижской академии только что выполненную им работу. На этот раз Академия откликнулась. Но как? Выполненная работа была возвращена Галуа с лаконичной, но красноречивой рецензией: «Непонятно».

Говорят, что капли долбят камень, а невзгоды — человека. Неудачи все больше и больше стали сказываться на характере Галуа, не терпевшего фальши и лжи. Отравленный несправедливостью, он на глазах родных стал мрачнеть и не по годам стареть. Об этой угрюмости и преждевременной старости, например, писала его сестра, побывавшая в тюрьме, куда Галуа был заключен как неистовый республиканец и активный член революционной партии.

Последние годы своей жизни Галуа посвятил политической борьбе против ненавистного королевского режима во Франции. Великий математик и пламенный патриот был убит, не достигнув 21 года, наемным убийцей на дуэли, спровоцированной его политическими противниками.

В ночь накануне своей гибели Галуа не спал. Он писал большое письмо своему другу. В этом письме он кратко изложил все важнейшие результаты, полученные им в области математики, и просил сообщить их Якоби и Гауссу, чтобы они дали заключение «не о справедливости, а о важности этих теорем». Это письмо, ставшее программой для исследований математиков всего мира, было опубликовано после смерти Галуа.

Полное признание и широкое распространение работы Галуа получили много лет спустя после его смерти и оказали огромное влияние не только на развитие алгебры, но и всей математики в целом.

Уильям Гамильтон (1805–1865)

Необыкновенно быстро развивалось дарование великого английского математика Уильяма Роуана Гамильтона, которое обнаружилось у него в раннем детстве. Биографы говорят, что Гамильтон к 12 годам своей жизни изучил столько иностранных языков, сколько ему было лет. Среди изученных языков были арабский, персидский, малайский и др. Латинским языком он владел в совершенстве. Поводом для изучения последнего послужили «Начала» Евклида, которые он достал на латинском языке и прочитал, когда ему было всего 10 лет.

Когда Уильяму Гамильтону исполнилось 13 лет, он с большим интересом прочитал и усвоил «Всеобщую арифметику» Исаака Ньютона. В этот период жизни Гамильтон обладал прекрасной памятью, вполне развитой логикой суждений и отличным даром умственного счета. Он мгновенно производил в уме четыре арифметических действия над очень большими числами и почти молниеносно решал самые сложные арифметические задачи.

Уже в возрасте 22 лет Гамильтон был утвержден в должности и звании профессора Дублинского университета.

Будучи профессором, он в «Трудах Ирландской академии наук» опубликовал работу, в которой почти одновременно с немецким математиком Германом Грассманом дал точное формальное изложение комплексных чисел, как частного случая числовых систем с несколькими единицами. В своей работе он подробно остановился на кватернионах, т. е. на системе чисел с четырьмя единицами. Учение Гамильтона о кватернионах явилось одним из источников современного векторного анализа в математике.

В 1853 году вышел труд Гамильтона под названием «Лекции о кватернионах». Интересно отметить, что операцию умножения кватернионов, которая ему долгое время не давалась, он открыл неожиданно, когда шел на работу. Об этом он писал своему сыну: «…16 октября 1843 года, оказавшегося понедельником и днем заседания Ирландской академии, когда я шел в академию, чтобы председательствовать, по набережной королевского канала в сопровождении твоей матери, и, несмотря на ее разговор со мной, мои мысли так четко работали в подсознании, что дали, наконец, результат, важность которого я тотчас же ощутил. Казалось, замкнулась электрическая цепь и вспыхнула искра, пришел вестник многих долгих лет неуклонной работы и мысли»[30].

Путем применения вариационного метода к механике Гамильтон сформулировал принцип наименьшего действия, который теперь находит широкое применение при изучении механических и физических процессов.

Пользуясь математическим вычислительным методом, Гамильтон открыл в двухосных кристаллах явление внешней и внутренней конической рефракции, подтвержденное позднее физиком Ллойдом на опыте.

Гамильтон является автором более 140 печатных работ, относящихся преимущественно к оптике, динамике и исчислению кватернионов.

32-х лет Гамильтон стал президентом Ирландской академии наук и как ученый первой величины был избран членом-корреспондентом Российской академии наук.

Жозеф Бертран (1822–1900)

Жозеф Луи Франсуа Бертран — крупный французский математик. Он был членом Парижской академии наук и профессором Коллеж де Франс. Его научные работы относятся к математическому анализу, высшей алгебре и теории чисел. В области математического анализа он установил некоторые специальные признаки сходимости числовых рядов. В высшей алгебре доказал весьма важную теорему из теории групп. По теории чисел высказал известную «гипотезу Бертрана»: «Между числами п и 2п при п≥4 лежит, по крайней мере, одно простое число». Эту гипотезу наш русский ученый П. Л. Чебышев доказал позднее как теорему.

Бертран имеет также работы в области механики и теории вероятностей. Он был замечательным составителем математических руководств для высшей и средней школы. Эти руководства от подобных им печатных курсов других авторов отличаются глубиной и весьма хорошей методикой изложения.

Незаурядные способности Бертрана раскрылись уже в раннем детстве. Вот что рассказывает об этом сам Бертран:

Бертран был человеком с «непрерывным» математическим мышлением. В творческой работе он не знал устали и мог отдаваться ей как угодно долго, забывая иногда об отдыхе и сне. Математикой он занимался даже на ходу.

Вот что по этому поводу говорит видный математик Дарбу, когда-то учившийся у Бертрана; «Можно было часто наблюдать, как он идет, разговаривая сам с собой и сопровождая эту оригинальную беседу выразительными жестами. Раз он изложил перед слушателями одно новое математическое предложение, которое мы про себя называли теорией улицы Сен Жак, потому что Бертран нашел ее доказательство, пока шел по этой улице на школьную конференцию»[32].