Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.) - читать бесплатно онлайн полную версию книги автора Хоакин Наварро (Глава 3 Число π и теория вероятностей) #4

Глава 3 Число π и теория вероятностей

В основе теории вероятностей — только здравый смысл, сведенный до исчисления.

Пьер Симон маркиз де Лаплас

Может показаться, что теория вероятностей никак не связана с π. Тем не менее это далеко от истины. Скажем для начала, что 0,6079271018… = 6/π² — это вероятность того, что два произвольно выбранных числа окажутся взаимно простыми. Это доказал Р. Шартр в 1904 году. Кроме этого, π²/6 = ζ (2), что устанавливает любопытную связь между π и загадочной функцией Римана ζ. Это также идет в копилку взаимосвязи между π и теорией вероятностей, хотя в теории вероятностей π — явный незваный гость. Наконец, это указывает на определенную корреляцию между π и простыми числами.

Огастес де Морган как-то объяснял страховому агенту математическую задачу о расчете вероятности того, что все члены определенной группы людей будут живы по прошествии некоторого времени. Из теории вероятностей следовало, что в итоговом значении будет фигурировать π. Страховой агент, убежденный, что де Морган ошибся, указал ему на это. Как может случиться, что число π применимо к продаже страховок? Откуда оно взялось? Тем не менее де Морган был прав: связь между ожидаемой продолжительностью жизни, страховыми полисами и числом π действительно существует, и называется она «нормальное распределение».

В этой главе мы покажем подобные таинственные соотношения. История начинается с вторжения благородного французского графа де Бюффона в мир математики. Бюффон решил изучить поведение иглы, которая падает на плоскость, не прокалывая ее, с математической точки зрения.

Иголка в стоге сена…

На листе бумаги нарисовано несколько параллельных прямых, расстояние между которыми одинаково. На лист произвольным образом бросают иголку. Когда игла пересечет одну из линий?

В простейшем случае длина иглы l равна расстоянию d между линиями. Обозначим за у расстояние между центром иглы (ее предполагаемым центром тяжести) и одной из линий сетки. Примем d = l = 1 для упрощения вычислений. Обозначим за х угол, образованный иглой и горизонтальной осью. Будем измерять этот угол в радианах, так как нам понадобятся минимально необходимые инструменты математического анализа, в частности некоторые интегралы.

Из элементарной геометрии очевидно, что если верно неравенство

y =< (1/2)∙sin x,

то игла пересечет линию. Это будет отправной точкой наших расчетов. На следующем рисунке изображен график функции y = (1/2)∙sin x:

ЖОРЖ ЛУИ ЛЕКЛЕРК ГРАФ ДЕ БЮФФОН (1707–1788)

Этот французский ученый оставил свой след в различных науках. Он был биологом, писателем, занимался космологией и математикой. Его главным трудом является монументальная «Естественная история» в 36 томах с 8 приложениями. В области космологии наиболее значительным вкладом Бюффона стала гипотеза о возрасте Земли, вычисленном по результатам исследований охлаждения железа. Гипотеза вызвала серьезный протест со стороны церкви. Он перевел на французский труды Ньютона и внес вклад в теорию вероятностей, опубликовав работу «Опыт моральной арифметики», в которой, помимо прочего, содержалась знаменитая задача о падении иглы на лист с нанесенными параллельными линиями.

Граф де Вюффон занимался многими науками, но известен прете всего как натуралист.

* * *

Чтобы оценить площадь закрашенной области, множество точек которой является решением неравенства y =< (1/2)∙sin x, необходимо вычислить интеграл

Площадь прямоугольника равна π/2, и вероятность того, что игла упадет на линию, равна отношению двух площадей:

1/(π/2) = 2/π ~ 0,6366197…

Именно здесь и появляется число π.

Задачу можно также решить для случая, когда l не равно d. При l < d вероятность равна 2l/πd, при l > d вероятность равна

В этом случае необходимо вычислить двойной интеграл. Предпринимались попытки вычислить значение π на основании данных рассуждений, но результаты оказались неудовлетворительными. Фактически малейшая неровность иглы приводит к появлению заметных ошибок, поэтому использовать этот метод не рекомендуется. Предпочтительнее бросать виртуальные иглы на разлинованные листы в киберпространстве. Для этого разработаны специальные программы.

…и иголка на листе бумаги

Более сложный вариант предыдущей задачи называется задачей Бюффона-Лапласа. Ее решение приводит Лаплас в своей «Аналитической теории вероятностей». В этом варианте задачи игла падает не на равноудаленные друг от друга параллельные прямые, а на сетку из клеток с перпендикулярными сторонами. Каждая клетка имеет стороны а и b (а не равно Ь). Предполагается, что иголка короче, чем обе стороны.

Чтобы найти ответ, необходимо вычислить несколько более сложный интеграл, чем в предыдущей задаче. Вероятность того, что игла пересечет одну из сторон клетки, равна

(2l(a + b) — l²)/πab.

При а = b вероятность того, что игла не пересечет ни одну из линий, равна

1 — (l(4a — l)/πa²)

Вероятность пересечения одной линии равна

2l(2a — l)/πa²

и вероятность пересечения двух линий равна

l²/πa²

Можно обобщить эту задачу, преобразовав квадратные клетки, скажем, в треугольники. Но эту задачу мы оставляем специалистам.

ПЬЕР СИМОН МАРКИЗ ДЕ ЛАПЛАС (1749–1827)

Французский астроном и математик, друг и протеже Наполеона, автор «Небесной механики» в пяти томах и других фундаментальных работ в области физики и универсальных знаний. Лаплас, который уже в юном возрасте продемонстрировал блестящие способности, с удивительной легкостью усваивал математический анализ и физику. Он внес вклад в развитие множества новых концепций в теории вероятностей (производящая функция последовательности, условная вероятность, задача Бюффона), в чистой математике (теория потенциала, преобразование Лапласа, гармонический анализ) и астрономии (форма Земли, образование Солнечной системы из туманности, теория возмущений). Его можно считать практически универсальным гением. Его научные достижения были столь удивительны для современников, что после смерти Лапласа его мозг извлекли для изучения, но ничего особенного в нем обнаружено не было. Наполеон сделал его министром, что не помешало Лапласу принять благородный титул после реставрации Бурбонов. Как гласит знаменитый исторический анекдот, Наполеон ознакомился с сочинением Лапласа об астрономии и удивился полному отсутствию слова «Бог» в его труде. «Это потому, что я в этой гипотезе не нуждался», — ответил ученый.

Нормальная кривая

Во многих задачах, связанных с теорией вероятностей и статистикой, например, в распределении роста, коэффициента интеллекта, инструментальных ошибок телескопа, интенсивности лазерного луча (и это лишь некоторые примеры), фигурирует так называемая кривая Гаусса, или нормальная кривая. Она соответствует распределению вероятностей с кривой плотности, в которой определяющую роль играет π.

Стандартное представление кривой можно получить, взяв среднее значение, равное нулю, и дисперсию δ² = 1. В этом случае кривая будет иметь знакомую нам форму колокола, который слегка вытянут вдоль вертикальной оси.

Эта кривая описывается уравнением

Вероятность рассчитывается с помощью интеграла

Как можно убедиться, в этой формуле всегда присутствует π.

Закону нормального распределения подчиняется, например, распределение возраста смерти. Можно сказать, перефразируя Джона Донна, что всякий раз, когда кто-то умирает, по числу π звонит колокол — колокола Гаусса.

ИОГАНН КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)

Никакая характеристика не может точно выразить весь масштаб личности математика, астронома и физика Гаусса. Достаточно сказать, что современники называли его «принцем математиков» (лат. Princeps mathematicorum). Гаусс был родом из очень простой семьи. Уже в раннем детстве он продемонстрировал незаурядные способности. По легенде, он показал свой удивительный талант, когда учитель предложил найти сумму всех чисел от 1 до 100. Всего через несколько минут Гаусс нашел верный ответ: 5 050. Как мог ребенок так быстро дать верный ответ, когда любому другому на это потребовалось бы намного больше времени? Он заметил, что числа от 1 до 100 образуют 50 пар чисел, сумма каждой из которых равна 101:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 48 + 53 = 49 + 52 = 50 + 51.

Следовательно, 50∙101 = 5 050.

Гаусс очень рано добился заметных результатов. Его интересовало буквально все, он создал бесчисленное множество трудов в самых различных областях: нашел критерий возможности построения правильных многоугольников, сформулировал теорему о распределении простых чисел, доказал основную теорему алгебры, рассчитал орбиту карликовой планеты Цереры, предсказал важнейшие моменты неевклидовой геометрии, не считая многочисленных достижений в математическом анализе, алгебре, теории чисел, теории вероятностей и других разделах математики. В прикладной математике и физике выделяются его работы по геодезии, электричеству и магнетизму. Он изобрел гелиотроп, гелиограф и электрический телеграф.

Гелиотроп — один из приборов, изобретенных Гауссом, который в значительной степени помог ему в геодезических исследованиях. Этот прибор с движущимся зеркалом отражает солнечный свет в определенном направлении, что делает возможной настройку топографических инструментов.

π и другие вероятности

Расскажем о некоторых любопытных фактах, связанных с π и понятных неподготовленному читателю. Если треугольник имеет произвольно выбранные стороны а, b < 1 и с = 1, то вероятность того, что а, b и с образуют тупоугольный треугольник, равна (π — 2)/4.

Среднее число вариантов записи натурального числа в виде суммы двух квадратов (с учетом их порядка) равно π/4.

Говорят, что комплексное число является гауссовым целым числом, если его можно представить в виде х + yi, где х и у — целые. При сложении, вычитании и умножении гауссовых целых чисел результат всегда будет также гауссовым целым числом. Они образуют так называемое поле, на котором можно определить признак делимости, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное и простые числа. Вероятность того, что два гауссовых целых числа являются взаимно простыми, равна 6К/π², где К — так называемая постоянная Каталана. Для обычных целых чисел эта вероятность равна 6/π².