Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Глава 6 Второй взгляд на бесконечность

Обратим взгляд на бесконечные знаки π. Эта бесконечность находится от нас на расстоянии вытянутой руки. Чтобы понять ее, возможно, не требуется столь широкого воображения, каким обладал Георг Кантор.

Нобелевский лауреат по физике Ричард Фейнман (1918–1988) увидел среди бесконечных знаков π любопытную последовательность девяток:

Эта последовательность начинается с 762-й цифры и называется точкой Фейнмана. Учитывая, что в десятичной дроби со случайными знаками вероятность появления семи девяток подряд крайне мала (всего 0,08 %), открытие Фейнмана тем более важно. Но имеет ли это какое-нибудь значение? Неизвестно, сколько еще подобных тайн хранит в себе π.

Другая примечательная последовательность — 0123456789 — начинается с 17387594880-й цифры. Ее обнаружил уже не Фейнман, а компьютерная программа.

Взглянем на магический квадрат, то есть квадрат, в котором сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях одинакова. В нашем случае эта сумма равна 65.

Этот магический квадрат составил американец Т. Лобек.

Теперь посмотрим на знаки числа π. Для каждого числа в квадрате (обозначим его за n) возьмем n-й знак π. Например, для первого числа в квадрате, 17, возьмем 17-й знак π, который равен 2. Запишем его в магическом квадрате вместо числа 17 и так далее. Таким образом мы получим новый квадрат. Запишем на полях суммы чисел в его строках и столбцах:

Живительно, но каждая сумма в столбце встречается среди сумм чисел в строках. Это похоже на фокус, но в мире математики никакая магия не действует. Как же это возможно? Это тоже неизвестно. Нам почти ничего не известно ни о π, ни о бесконечности…

Совершим прогулку по неизведанному пути, возможно, несколько далекому от числа π. Мы изучим вершины человеческой мысли и приблизимся к границам неизвестного, но на этом пути мы попадем в мир мифов и легенд.

В англосаксонской традиции Дарвин и дарвинизм занимают особое место. Публикация «Происхождения видов» оскорбила многих «благочестивых граждан», которых задела мысль о том, что эволюция человека и животных шла одним путем. Фраза «человек произошел от обезьяны» — весьма грубое изложение дарвиновских идей, но именно так вкратце формулируется суть эволюционизма. Следовательно, любое упоминание обезьян немедленно воскрешает в памяти научные споры. С другой стороны, клавиатура печатной машинки в викторианскую эпоху считалась чем-то современным и высокотехнологичным. Обезьяны и печатные машинки — настоящая взрывоопасная смесь. История о печатных машинках и обезьянах, ставшая сейчас классической, в свое время выглядела одновременно и новаторской, и провокационной.

Представим, что нескольким обезьянам вручили по печатной машинке. Такой эксперимент был проведен с настоящими макаками, и оказалось, что они печатают бесчисленные страницы, полные букв «s», которая по какой-то причине кажется им наиболее привлекательной. Предположим, что в нашем мысленном эксперименте обезьяны ведут себя ответственно и печатают более или менее случайные последовательности символов на листах, и этот процесс длится очень и очень долго.

Так называемая теорема о бесконечных обезьянах гласит, что абстрактная обезьяна, ударяя случайным образом по клавишам печатной машинки в течение неограниченно долгого времени, рано или поздно напечатает любой наперед заданный текст. Иными словами, за неограниченно долгое время группа обезьян воспроизведет, например, «Дон Кихота» с точностью до буквы.

С точки зрения теории вероятностей, «рано или поздно» в формулировке теоремы означает «в пределе» или «с вероятностью, стремящейся к единице». Подобная формулировка не содержит никакой неоднозначности и является математически точной. Однако это не противоречит следующему факту: по прошествии невообразимо большого промежутка времени обезьяны могут не напечатать ничего осмысленного. Теорема утверждает лишь то, что вероятность стремится к единице (событие произойдет со стопроцентной вероятностью), если промежуток времени стремится к бесконечности.

Множество обезьян напечатает любой заданный конечный текст, располагая неограниченно долгим временем.

В более литературном варианте эту теорему изложил великий аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес, который уделял пристальное внимание бесконечности и создал множество образов Вселенной. В рассказе «Вавилонская библиотека» из книги «Вымыслы» (1944) Борхес описывает воображаемую библиотеку, в которой хранятся все возможные книги. Размер книги ограничен N страницами или знаками, при этом N достаточно велико, чтобы одна книга вместила даже самую большую энциклопедию. По Борхесу, в этой библиотеке содержатся все возможные перестановки печатных знаков (символов, знаков пунктуации и пробелов, разделяющих слова), напечатанные в виде книг.

Проведя некоторые вычисления, получим, что воображаемая библиотека Борхеса состоит минимум из 25^1132000 ~ 1,956∙10^1834097 книг.

Мы не будем приводить здесь подробное доказательство теоремы о бесконечных обезьянах, поскольку оно слишком объемно и требует объяснения многих понятий из теории вероятностей, но в общих чертах можно предположить, что теорема верна.

Допустим, что на клавиатуре 60 клавиш. Простая последовательность символов, например to be or not to be (знаменитое «быть или не быть» Гамлета), требует 18 нажатий. Вероятность того, что эта фраза не будет напечатана после n попыток, равна

(1 - (1/60¹⁸))ⁿ,

и при n —> оо это выражение стремится к нулю. Чтобы упростить расчеты, предположим, что вместо одной обезьяны за печатными машинками сидят k обезьян. Казалось бы, этот предел не изменится, но интуитивно понятно, что он будет достигнут быстрее.

Несколько более сложные рассуждения приводят к ожидаемому выводу: с точки зрения математики нет никаких сомнений в том, что за неограниченное время обезьяны напечатают всего «Гамлета». Любая книга, по сути, лишь конечная последовательность повторяющихся знаков. Бесконечное число обезьян напечатает любую книгу за бесконечное время.

Но с бытовой точки зрения кажется невероятным, что эта задача будет выполнена за конечное время. Какую ценность нам несет знание о том, что обезьяны могут напечатать «Дон Кихота», если для этого им потребуется время, превышающее возраст Вселенной? Чтобы написать хотя бы что-то осмысленное, хотя бы простую фразу, не говоря уже о «Дон Кихоте», обезьянам потребуется невероятно длинный промежуток времени.

Более того, любой физик — эксперт по вопросам термодинамики — скажет, что эта задача возможна математически, но невозможна с точки зрения физики. Вселенная содержит конечное число частиц, и время в ней также конечно. Даже если Вселенная содержит гугол частиц (это число придумал девятилетний племянник математика Эдварда Казнера, оно равняется 10¹⁰⁰), а Большой взрыв произошел 10 миллиардов лет назад, и даже если число обезьян будет равно числу частиц во всей Вселенной, вероятность того, что обезьяны за это время напечатают «Гамлета», будет ничтожно мала.

Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес описал огромную библиотеку, в каждой книге которой ровно 410 страниц.

Рассказ Борхеса «Всемирная библиотека» намного поэтичнее, и с ним не сравнится никакое описание автора этой книги. Процитируем фрагмент этого произведения, в котором изображена эта удивительная библиотека:

Все, о чем мы только что рассказали, достаточно интересно и при этом не так далеко от числа π и его бесконечных знаков, как может показаться. Если вместо обычных пишущих машинок в нашем мысленном эксперименте дать обезьянам цифровые клавиатуры, то мы получим более или менее произвольные последовательности цифр. Один очень длинный ряд цифр. А что такое π, как не длинный ряд цифр?

В библиотеке, описанной Борхесом, могут храниться книги, где вместо литературных шедевров (большая часть из которых представляет собой лишь бессмысленную последовательность знаков) будут напечатаны последовательности цифр, имеющие начало и конец.

Но существует принципиальная разница между нашим мысленным экспериментом с печатными машинками, библиотекой Борхеса и последовательностью цифр числа π. Различие в том, что в первом случае речь идет о книгах или текстах конечной длины, а число знаков π бесконечно.

Ни одна обезьяна в нашем эксперименте не сможет напечатать π и ни одна библиотека, сколь велика бы она ни была, не сможет вместить число π и все его знаки. Мы мельком взглянули на бесконечность, но бесконечность, заключенная в числе π, смотрит на нас — невозмутимая, недоступная.

Является ли π нормальным числом? Парадоксально, но этим вопросом, на который пока нет ответа, задаются многие математики. Говорят, что иррациональное число является нормальным в десятичной системе счисления, если в его десятичной записи цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 встречаются с одинаковой частотой. Это же справедливо для последовательностей из двух цифр от 00 до 99, из трех цифр от ООО до 999 и так далее.

Если число является нормальным во всех системах счисления, говорят, что оно является абсолютно нормальным.

Когда японский специалист Канада вычислил триллион знаков π, он подсчитал, сколько раз встретилась каждая цифра:

Распределение цифр, продемонстрированное Канадой, показывает, что π не является нормальным, хотя анализ первого триллиона знаков может показаться недостаточным.

Одно дело — предполагать, другое — доказать. Нормальность числа π, несмотря на все предположения, доказать пока не удалось.

Фактически не доказана нормальность ни одного из этих чисел: π, е, √2, log2, ни даже числа, описывающего золотое сечение (Ф).

Ниже мы приведем примеры чисел, о которых достоверно известно, что они являются нормальными, но эти числа были специально созданы человеческим гением. В 1917 году польский математик Вацлав Серпинский (1882–1969) нашел первое нормальное число.

Так называемая константа Хайтина

Ω = 0,00787499699…

является вероятностью того, что случайно выбранная программа на машине Тьюринга остановится. Ее определение достаточно сложно. Чтобы понять его, необходимо знать, как работают сумматоры, как обрабатываются биты программы, каков принцип действия машины Тьюринга и многое другое. Ω является нормальным числом, пусть даже его определение заставляет предполагать обратное.

Нормальные числа встречаются не так уж редко: их количество бесконечно. Число элементов множества нормальных чисел соизмеримо с количеством вещественных чисел. Почти все числа являются нормальными, но их очень сложно обнаружить математически. Предполагается, что любое алгебраическое иррациональное число является нормальным.

Знаки π кажутся случайными, но это только кажущаяся случайность. Специалисты по числу π братья Чудновские провели все возможные проверки случайности знаков π, и все они были пройдены успешно. Случайным числам пытались дать точное определение различными способами и на протяжении длительного времени. В итоге наиболее корректным было признано определение Андрея Колмогорова, который сделал упор не на случайности, а на сложности. По Колмогорову, число тем сложнее, чем длиннее программа, необходимая для описания этого числа. Очевидно, что если кратчайший алгоритм или процесс описания числа столь же велик, как и само число, то это число должно быть очень сложным (или случайным). Если для расчета N нужно дать инструкции, по размерам сопоставимые с самим N, то речь идет об очень сложном, случайном числе.

* * *

Это не выполняется для числа π, так как существуют конечные и относительно простые алгоритмы по расчету его знаков, причем отдельных знаков, находящихся на определенных позициях. Получается, что число π не может быть абсолютно случайным. Например, существует программа из 158 символов, позволяющая рассчитать 2400 знаков π. Проще говоря, можно сказать, что π является случайным, но не абсолютно случайным.

Последовательность знаков π кажется нам подчиненной воле случая. До сих пор не найден образец или эталон, который позволил бы определить, какая цифра находится на данной конкретной позиции. Да, для этого существуют алгоритмы, использующие формулу ВВР и аналогичные, но не существует никакого эталона или образца. Предполагается, что π является «не абсолютно случайным», но доказательство этому до сих пор не найдено.

Если бы любая последовательность знаков π была случайной, π являлось бы нормальным числом. Но обратное в общем случае неверно: число может быть нормальным и очевидно не являться случайным. Так называемое число Чамперноуна, о котором мы поговорим несколько позже, является нормальным, но не случайным, так как способ его построения объясняется несколькими словами.

Ограничимся десятичной системой счисления для простоты рассуждений. Будем называть число универсальным, если его можно представить в виде десятичной дроби, в записи которой содержатся все возможные последовательности цифр. Если мы каким-либо способом преобразуем цифры в буквы, то в записи числа π будет содержаться «Гамлет», «Дон Кихот», эта книга или любая из книг всемирной библиотеки Борхеса, диссертации и их опровержения, научные труды и их копии, отличающиеся от оригинала на единственную букву, бессмысленные наборы букв и длинные последовательности повторяющихся символов. Все это будет содержаться в записи числа π и будет вечно ожидать своего читателя.

Вернемся ненадолго к Карлу Сагану и его роману «Контакт». В этом романе инопланетяне поручают доктору Эрроуэй найти некое сообщение предположительно божественного происхождения, которое с момента появления Вселенной зашифровано в самой природе, точнее в знаках π (причем записанных по основанию И, но не будем углубляться в детали). Начиная с определенного знака, спустя много миллионов цифр после запятой, цифры складываются в четкую последовательность из нулей и единиц. Если расположить их определенным образом, то получится изображение квадрата со вписанной в него окружностью. Является ли существование подобного квадрата доказательством существования Творца?

Если сложить первые 20 цифр π, получим 100. Если сложить первые 144 цифры, получим апокалиптическое число зверя 666 из «Откровения Иоанна Богослова». Но мы не вправе считать подобные совпадения проявлением чего-то высшего, поскольку они зависят от выбранной системы счисления, которая целиком и полностью придумана человеком.

Так, Дэвид Чамперноун (1912–2000) придумал нормальное число по основанию 10. Он обнаружил это число в 21 год, еще не закончив обучение. Это пример трансцендентного числа, которое одновременно является нормальным и универсальным. Оно определяется очень просто: достаточно записать по порядку все натуральные числа:

С₁₀ = 0,123456789101112131415161π81920212223…

Нет никаких сомнений, что это число является универсальным, так как в десятичной записи числа Чамперноуна встречается любая последовательность из N цифр. Оно обозначается С₁₀, где 10 означает десятичную систему счисления. Кроме этого, существует бесконечное множество вариантов С₁₀, обладающих теми же свойствами.

Оставим дальнейшее рассмотрение этого вопроса читателю в качестве упражнения. Следует добавить, что так называемое число Коупленда — Эрдёша, формируемое аналогичным способом, но только из простых чисел, также является нормальным (по основанию 10):

0,235711131719232931…

С определенной точки зрения особенность числа π, о которой пишет Саган, не является чем-то уникальным. Числа, содержащие в себе круг, образованный нулями и единицами, встречаются не так уж редко. Фактически существует бесконечное множество таких чисел, но они не связывают между собой длину и диаметр окружности.

Является ли π универсальным числом? Неизвестно. Известно лишь, что все универсальные числа являются нормальными, но это нисколько не помогает найти ответ на этот вопрос.

Чешский математик и логик Курт Гёдель (1906–1978) доказал утверждение, которое смущает умы и ставит пределы человеческому знанию. Представим логическую систему с теоремами и аксиомами, которая также описывает элементарные арифметические операции. Например, это может быть обычная математика. Можно ли представить, что она содержит противоречие? «Что за ерунда!» — скажет большинство. Возможно ли, что она является неполной? Может ли она содержать формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть методами этой логической системы? Большинство также скажет, что это невозможно. Как может быть неполной область знаний, содержащая правила элементарной арифметики? Любая теорема верна либо неверна. Возможно, чтобы окончательно узнать это для некоторых теорем, потребуется много времени, но однажды они будут доказаны либо опровергнуты. Наглядный пример этому — теорема Ферма: прошло несколько веков, прежде чем было получено ее доказательство.

Гёдель доказал, что любая формальная система является неполной или противоречивой и не может являться полной и непротиворечивой одновременно. Если она является полной и любое утверждение в ней можно доказать или опровергнуть, то какое-то из ее положений противоречиво. Если же система не содержит противоречий, то, по Гёделю, она является неполной. Всегда будет существовать утверждение, которое нельзя будет доказать или опровергнуть.

* * *

Гёдель поставил нас в очень интересное положение. Бертран Рассел в шутку говорил, что чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. Рёдель окончательно испортил дело. Мы также не знаем, сможем ли мы когда-либо что-либо доказать. Теорема Гёделя не выдумка, так как уже найдены некоторые недоказуемые утверждения, среди которых — континуум-гипотеза.

Очевидно, что недоказуемые утверждения не следует искать среди общеупотребительных. Если недоказуемость какого-либо утверждения как-то повлияет на другие области стандартной математики (яркий пример — теорема Ферма), то маловероятно, что мы имеем дело с гёделевским утверждением.

Вспомним последние вопросы, которые перед нами поставило число π. Есть ли на них ответ? На данный момент нет. Будет ли он получен в будущем? Возможно.

Мы не заявляем, что многие утверждения о π являются недоказуемыми. Многие полагают, что эти утверждения будут недоказуемы, если их доказательство или опровержение не повлияет на «стандартную» математику.

Допустим, что некоторые утверждения о числе π связаны с бесконечностью — весьма тонкой областью, расположенной на переднем рубеже математики. Именно в этой области выводы Гёделя уже получили подтверждение.

Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн в Институте перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси.