Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Глава 2 Другое измерение: время

Вселенная непрерывно меняется. Течение времени проявляется в изменении положения предметов, их формы, физических и химических свойств. Биологические, метеорологические, геологические, астрономические явления происходят с течением времени. Явления природы, как и деятельность человека, подчинены определенному ритму.

Равномерно сменяют друг друга фазы Луны, приливы и отливы, времена года, дни и ночи. К счастью, человек смог найти ритм, отличающийся от размеренного ритма, задаваемого стрелками часов. Ритмом называется чередование каких-либо элементов, происходящее с определенной периодичностью. В музыке ритм — это частота, с которой воспроизводится последовательность звуков.

Люди пытались записывать мелодии с помощью символов с античных времен. Невмы, примитивные музыкальные символы, описывали музыкальные фразы и громкость исполнения, но не указывали на высоту звуков или ритмический рисунок. Чтобы читать невмы, исполнитель должен был знать мелодию, которая передавалась из уст в уста.

Ритмические группы. Ритмы, доли, акценты

Когда мы слушаем музыку, то иногда невольно начинаем сопровождать ритм движениями руки, ноги или головы. Эти ритмические группы, которые мы слышим, называются долями. Если слушать музыку внимательно, то можно уловить ритмический рисунок каждой доли, некий внутренний ритм, который называется ритмическим делением. Доли могут делиться на две (бинарное ритмическое деление) или три более мелкие части (тернарное ритмическое деление). Если вам кажется, что доля делится на четыре части, такое ритмическое деление также является бинарным. Большие ритмические группы рассматриваются как сумма более малых, например, 5 = 3 + 2 или 5 = 2 + 3. Можно сказать, что доли — это пульс музыки.

От Древней Греции к первым нотам

Первая музыкальная нотация, о которой сохранились какие-либо свидетельства, была придумана народами Плодородного полумесяца. В частности, на табличке, датируемой примерно 2000 годом до н. э., найденной в шумерском городе Ниппур на территории современного Ирака, записано музыкальное произведение в диатоническом строе, состоящее из последовательности терций. Позднее греки разработали собственную музыкальную нотацию, с помощью которой можно было записывать высоту и длительность ноты, но не гармонию. Эпитафия Сейкилоса, написанная между II и I веком н. э., содержит полный музыкальный регистр гимна. Тщательно изучив его, современные исследователи смогли получить примерное представление о том, как звучала композиция.

Различные системы нотации греческого происхождения оказались забыты с падением Римской империи. Лишь в середине IX века для записи григорианских песнопений в Европе появилась новая, невменная система, основанная на слоговой записи латинских стихов. Невмы были примитивными музыкальными символами, указывающими на ноту, соответствующую латинскому слогу. Тем самым с помощью невм приблизительно передавались особенности исполнения песни, но не определялась ни высота звуков, ни ритмический рисунок. Чтобы воспроизвести песню, исполнитель должен был заранее знать мелодию, а указания, записанные в невменной нотации, лишь помогали ему при ее исполнении. Для преодоления этих ограничений невмы дополнялись вспомогательными надписями и располагались на разной высоте. Высота указывалась четырьмя линиями, которые представляли собой прообраз современного нотного стана.

Примерно в середине XIII века на фоне падения авторитета церкви в европейском искусстве роль религии постепенно снижается, заменяясь светскими традициями. До этого музыкальная запись развивалась исключительно в религиозных кругах. Для записи же многоголосой народной музыки требовалась совершенно иная нотация.

В конце XIII — начале XIV века на свет появилась новая, более эффективная форма записи, которую описал француз Филипп де Витри (1291–1361) в трактате «Новое искусство». В этой книге подробно описывается способ записи ритмического рисунка, возникший в результате необходимости графической записи новой многоголосной музыки, в которой требовалось точно указывать звучание различных голосов.

* * *

Прекрасный пример сложности невменной нотации — финская книга песнопений Graduate Aboense XIII–XIV веков.

* * *

Перфектум и имперфектум

Книга «Новое искусство» стала революционной во многих смыслах. В ней излагались идеи и предположения, ранее высказываемые другими музыкантами того времени. До появления этой книги в церковной музыке отдавалось предпочтение ритмическому делению на три части, так как число три ассоциировалось со Святой Троицей и считалось совершенным.

В книге Филиппа де Витри была заложена основа музыкальной нотации, с помощью которой можно было записать сложные композиции, сочетающие ритмическое деление на две и три части. Кроме того, предлагаемая нотация устанавливала соотношения между нотами. Французский музыкант и поэт нашел поистине гениальное решение: в придуманной им форме записи ритмическое деление на две и три части записывалось с помощью одних и тех же графем, или нот. В основе его метода лежали три соотношения. Он также создал новую ноту — миниму в дополнение к уже известным в то время лонге, бревису и семибревису. Система де Витри включала три соотношения между нотами:

— модус: соотношение лонги и бревиса;

— темпус: соотношение бревиса и семибревиса;

— пролация: соотношение семибревиса и минимы.

Модус и темпус, в свою очередь, могут быть:

— трехдольными, или «совершенными»;

— двухдольными, или «несовершенными».

Пролация также имела две разновидности:

— малая (при делении на две части);

— большая (при делении на три части).

В следующей таблице приведены соотношения длительностей звуков и соответствующие соотношения между различными фигурами (нотами):

Стоит указать, что деление на две и три части характерно не только для долей, но и для более крупных ритмических групп. Например, такт может состоять из двух или трех долей и называться соответственно двухдольным или трехдольным.

Такт — это понятие, созданное с целью упростить запись ритмов и чтение музыкальной нотации. Такты подчиняются общему принципу: они делят музыкальную композицию на строго равные части.

Такты начинаются с наиболее сильной доли, за которой следует еще одна или несколько более слабых долей. Например, двухдольный такт звучит как РАЗ-два, РАЗ-два, трехдольный — РАЗ-два-три, РАЗ-два-три. В современной нотации размеры тактов обозначаются дробями вида х/у, где х обозначает число нот в такте, у — вид нот (к примеру, 1 обозначает целую ноту, 2 — половинную, 4 — четвертную и так далее). Подробнее о том, как обозначаются и записываются такты, мы расскажем в следующих главах.

Вернемся к системе Филиппа де Витри. В «Новом искусстве» описывались четко определенные ритмические структуры, отличающиеся друг от друга вариантами сочетания темпуса и пролации с различными видами долей. Обозначались они следующим образом:

— круг с точкой в центре обозначал трехдольный такт с трехдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 9/8;

— круг без точки в центре обозначал трехдольный такт с двухдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 3/4;

— полукруг с точкой внутри обозначал двухдольный такт с трехдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 6/8;

— полукруг без точки обозначал двухдольный такт с двухдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 2/4.

В следующей таблице описываются эти четыре разновидности ритма, приведены обозначения той эпохи и соотношения между различными фигурами. Для темпус перфектум и большой пролации бревис (обозначен квадратом) равен трем семибревисам (ромбам), каждый из которых равен трем минимам (обозначены ромбом с вертикальной чертой):

* * *

* * *

Ударные: чистый ритм

На ритм «накладываются» мелодия, лиги, изменения высоты и интенсивности звуков. При игре на ударных, напротив, ритм остается «обнаженным». Он содержит резкие скачки громкости, высоты и тембра звуков, однако при игре на ударных, по сути, возможны только два варианта: удар или его отсутствие. Здесь ритм проявляется во всей безупречности, раскрывает всю свою сущность. Ритм идеально подходит для изучения с точки зрения математики.

При игре на ударных инструментах циклические последовательности звуков характеризуются распределением артикуляций. Будем записывать исключительно артикуляции без учета эха, удлиняющего звуки. Так мы сможем зафиксировать четкую артикуляцию и понять последовательность звуков.

Можно выделить три различных ощущения ритма в зависимости от его быстроты:

— первый уровень, самая быстрая артикуляция, соответствующая ритмическому делению долей. Удары нумеруются начиная с первой доли по порядку: 1, 2, 3 и так далее. Когда начинается новая доля, отсчет возобновляется с единицы;

— второй уровень образуют относительно сильные доли, которые обозначаются цифрой 1;

— на третьем уровне появляются акценты — доли, которые звучат сильнее других.

Ритмическая последовательность размером 9/8 на трех описанных уровнях будет выглядеть так:

Рассмотрим подробнее вторую строку таблицы, где записаны только доли. Заполнив пустые ячейки таблицы нулями, мы получим четкое представление о последовательности долей. Каждая единица означает удар, ноль — паузу. В результате мы получаем чистый ритм.

Доли образуют структуру, лежащую в основе всей музыки подобно тому, как ткань формируется переплетением тонких нитей с нитями основы. Выберем в качестве единицы измерения ударов восьмую ноту, которую укажем как . Так как ритм образован последовательностью ударов и пауз, будем использовать только восьмые ноты и восьмые паузы. Восьмые паузы обозначим . Назовем четвертной нотой последовательность из удара и паузы (из восьмой ноты и восьмой паузы). Отметим ее . И наконец, добавим в нашу нотацию еще один новый символ, так называемую четвертную ноту с точкой, — для обозначения тех случаев, когда за одной паузой следует другая, то есть последовательность нот и пауз выглядит как .

По сути, мы рассматриваем двоичную систему, где нотам и паузам присваиваются значения 1 и 0 соответственно. Эквиваленты этих символов для такта размером 4/4 записываются так:

Заметим, что последовательность удар-пауза-удар-пауза повторяется дважды. Двухдольный такт, каждая из долей которого длится одну четвертную ноту с точкой (6/8), будем обозначать так:

Покрытие пространства звуков

В следующей главе мы более подробно проанализируем структуру канонов, а пока ограничимся их ритмическим аспектом, который называется ритмическим каноном.

Одновременное исполнение различных ритмических единиц — серьезная задача для исполнителя, как для солиста, так и для группы. Чтобы познакомиться с тем, что такое ритмический канон, рассмотрим упражнение.

Начнем с ритма = 3 + 3 + 2= 10010010, который циклически исполняют два музыканта. Второй музыкант начинает играть после первой артикуляции первого исполнителя:

Можно увидеть, что в столбцах таблицы под номерами 3, 6, 11 и так далее (выделены жирным шрифтом) паузы обоих ритмов совпадают. Существуют ритмические рисунки, которые можно исполнить в каноне так, что будут выполняться следующие условия:

1) два музыканта не начинают играть одновременно;

2) паузы ритмических рисунков никогда не накладываются друг на друга.

Эту ситуацию можно сравнить с математической задачей замощения плоскости, в которой требуется покрыть всю плоскость правильными геометрическими фигурами. Однако в нашем случае мы хотим покрыть всю «звуковую плоскость».

Простой ритм, например = 100100, удовлетворяет приведенным выше условиям. Чем длиннее ритмический рисунок, тем сложнее решить поставленную задачу. Следующая последовательность из 12 ударов

полностью покрывает «звуковую плоскость» так, что при исполнении ее трио с начальным сдвигом в четыре артикуляции паузы полностью отсутствуют:

* * *

Первые такты мессы L'Homme arme super voces musicales («Вооруженный человек») Жоскена Депре, которая начинается с трехголосного канона. Ведущий голос самый медленный, второй исполнитель поет в два раза быстрее него, третий — в три раза быстрее. Линии соединяют первые четыре ноты произведения для каждого из трех голосов.

* * *

С математической точки зрения интерес представляет поиск метода, позволяющего составлять подобные последовательности. В нем должны учитываться следующие параметры:

— общее число артикуляций (а),

— число голосов (v),

— смещение голосов (d).

Чтобы эта задача имела решение, должны выполняться следующие условия:

— число артикуляций а должно делиться на число голосов и нацело;

— нужно «покрыть» а артикуляций с помощью v голосов. Так как все голоса эквивалентны, базовая структура должна состоять из a/v «единиц»;

— голоса смещаются относительно друг друга на величину, равную a/v. Это гарантирует, что ни в один момент времени не будут дублироваться единицы.

Приведем пример для четырех артикуляций (а = 4) и двух голосов (v = 2).

Смещение равно a/v = 4/2 = 2 артикуляциям. В нашем примере можно перебрать все возможные варианты. Несложно проверить, какие из них будут удовлетворять требуемым условиям. Возможные ритмические структуры таковы:

1100

1001

Так как эти последовательности будут циклически повторяться, нетрудно видеть, что нули и единицы в обоих случаях будут располагаться одинаково. В первом случае мелодия, исполняемая со смещением в две артикуляции, будет записываться так:

Во втором случае так:

Заметим, что по ходу канона его исполнение в обоих случаях одинаково. Теперь рассмотрим пример с 12 артикуляциями, разделенными на группы с одинаковым временем звучания. Если мы хотим «покрыть» плоскость этими 12 артикуляциями, исполняемыми в 3 голоса, то

то есть необходимы 3 группы по 4 артикуляции.

Возьмем за основу следующую структуру:

0000 0000 0000.

Расположим единицы так, чтобы при наложении на каждой позиции единица встречалась ровно один раз:

1000 0100 0011.

Чтобы избежать удвоенных ударов (несколько единиц в одном столбце) необходимо выполнить смещение на величину а/v, которая в нашем случае равняется 4.

* * *

* * *

Акцент и размер такта

В музыкальных композициях сильные доли чередуются со слабыми. В нотной записи сильные ноты формируют структуру композиции: с каждой сильной доли начинается такт, который длится до следующей сильной доли. Таким образом, такт — это совокупность нот и пауз между соседними сильными долями. Такты равномерного музыкального произведения имеют одинаковую длину и те же свойства. Благодаря этой равномерности достаточно определить параметры такта один раз в начале композиции.

Виды тактов

Доли такта могут делиться на две или три части. Такт обозначается дробью, которая может быть правильной (для простых тактов) и неправильной (для сложных). В числителе дроби отмечается количество долей, в знаменателе — число, означающее длительность долей. Например, целой ноте соответствует единица, половинной — 2, четвертной — 4 и так далее. В простом такте знаменатель указывает относительную длительность ноты такта. В сложном такте знаменатель обозначает используемое ритмическое деление. Чаще всего применяются четвертная нота (она равна восьмой ноте и восьмой паузе; здесь используется ритмическое деление на две части) и четвертная нота с точкой (она равна восьмой ноте и двум паузам подряд; здесь мы видим ритмическое деление на три части).

Рассмотрим несколько примеров. Простой такт из двух долей длительностью в четвертную ноту, , обозначается дробью 2/4.

Число 2 обозначает количество долей, число 4 указывает, что доля имеет длительность в четвертную ноту. Сложный двухдольный такт будет образован двумя долями длительностью в четвертную ноту с точкой:

Возникает проблема: четвертной ноте с точкой не соответствует ни одно число (ни какая-то другая нота с точкой), поэтому длительность этого такта нельзя выразить в знаменателе дроби. Эта проблема решается так: указывается не длительность такта, а число, соответствующее ритмическому делению доли. В нашем примере четвертная нота с точкой ритмически делится на восьмую ноту и две восьмые паузы. Такт состоит из двух четвертных нот с точкой, следовательно, он будет состоять в сумме из шести восьмых нот и пауз и обозначаться дробью 6/8.

Нотация, которую мы использовали для обозначения чистого ритма, позволяет четко увидеть чередование нот и пауз (единиц и нулей):

При трехдольном ритмическом делении единицы чередуются с двумя нолями:

Наиболее часто используемые такты и соответствующее число долей приведены в таблице:

* * *

* * *

Неравномерность

В приведенных выше примерах все такты и все доли имеют одинаковую длительность. Однако так происходит не всегда: например, в африканской музыке часто встречаются неравномерные ритмы. Подобные неравномерные ритмы нередки и в академической музыке.

Существует ритмический рисунок, который очень часто встречается в различных музыкальных жанрах Африки и Америки. Его образуют правильные такты из трех долей разной длительности. Это означает, что все такты этого ритмического рисунка имеют одинаковую длительность, но длительность долей внутри тактов различается. Каждый такт состоит из двух долей, разделенных на три части, и одной доли, разделенной на две части. В нашей системе обозначений это записывается двумя долями длительностью в четвертную ноту с точкой и одной долей длительностью в четвертную ноту, как показано на рисунке:

Этот такт состоит из восьми восьмых нот и пауз и совпадает с тактом 4/4. Однако он имеет совершенно иной ритмический рисунок, так как в такте 4/4 содержатся четыре доли, разделенные на две части каждая. Рассматриваемый нами такт, напротив, представляет собой смесь из долей, разделенных на две и три части. Подобную неравномерность обозначают числом частей, на которые делится каждая доля, разделенных знаком +. В нашем примере такт будет обозначаться

3 + 3 + 2.

Многослойные ритмы

В различных культурах присутствует особая техника игры на ударных — полиритмия. В полиритмии единое сложное и организованное произведение образуется сочетанием различных артикуляций. Полиритмия звучит в высшей степени красиво, поскольку и ритмический, и мелодический рисунок отличаются огромным разнообразием. Это живое искусство, которое можно проанализировать математически.

Ритмы могут полностью совпадать, но быть сдвинутыми друг относительно друга, как при исполнении канона, в котором голоса вступают один за другим спустя определенные промежутки времени. Ритмы также могут быть инвертированными.

Во всех этих случаях результатом будет полиритмия. El pajarillo, el seis corrido и el seis derecho — три формы полиритмии в музыке хоропо, распространенной на равнинах Венесуэлы и Колумбии. Хоропо отличается разнообразием ритмов, одновременно исполняемых на традиционных музыкальных инструментах — бандолах, арфах, четырехструнных гитарах и маракасах. Одна из особенностей ритма хоропо — параллельное исполнение тактов размером 6/8. Полученный ритм выглядит так:

Еще один пример ритма, чрезвычайно распространенного в латиноамериканской и европейской музыке, — смесь трехдольного и двухдольного деления, которое обычно записывается в виде такта размером 6/8 и такта размером 3/4, исполняющихся одновременно. В виде единиц и нулей этот ритм можно представить так:

Смешанные размеры

Для написания более свободных композиций, а также для записи партитур народной музыки, отличающейся богатым ритмическим рисунком, в XX веке были придуманы новые способы записи ритмов. Так, начали использоваться сочетания тактов различной длительности. Например, часто встречаются группы из семи четвертных нот, которые являются сочетанием тактов размером 3/4 и 4/4 либо трех тактов: размером 2/4, 3/4 и 2/4. В такте из пяти четвертных нот могут объединяться такты размером в 2/4 и 3/4 или наоборот.

Партитура «Концертино для струнного квартета» Игоря Стравинского, на примере которой вы можете оценить огромное разнообразие ритмов, используемых этим великим композитором-новатором XX века.

Скорость: метроном

Исполнить записанную последовательность нот и пауз непросто. Если исполнитель никогда не слышал эту композицию раньше, он сможет приблизительно передать ритм, задуманный композитором, но ему будет не хватать важнейшего параметра — скорости исполнения. Этот параметр указывается в начале партитуры произведения, а также всякий раз, когда изменяется темп произведения. Он обозначается нотой, рядом с которой указывается число. Это число означает, сколько раз в минуту должна уложиться нота указанной длительности. Так, обозначение

означает, что в минуту исполняется 60 долей. В этом случае для определения скорости исполнения достаточно обычных часов, так как исполняется ровно одна доля в секунду. В других случаях используется прибор, равномерно отсчитывающий доли в заданном ритме, — метроном. Механический метроном представляет собой маятник, частота колебаний которого изменяется посредством смещения противовеса.

Чем выше частота колебаний маятника, тем больше тактовых долей воспроизводится в минуту. Начинающие музыканты используют метроном, когда учатся выдерживать одинаковую скорость игры. Метроном также помогает композиторам определить скорость исполнения музыкального произведения. Первым, кто использовал метроном для задания скорости исполнения, был Людвиг ван Бетховен.

Хотя метроном является объективным средством измерения скорости, его недостатком оказывается излишняя строгость: при исполнении музыкальных произведений строгий и четкий ритм часто ускоряется, что естественно. Живительно, но метроном нередко используется в качестве ударного инструмента, как, например, в известной песне Blackbird группы The Beatles из альбома White Album. Выдающийся композитор Эннио Морриконе, автор музыки для множества фильмов, использовал искаженные и замедленные звуки метронома в композиции Farewell to Cheyenne в музыке из фильма «Однажды на Диком Западе».

Исключительный случай использования метронома в качестве музыкального инструмента принадлежит венгерскому композитору Дьёрдю Лигети, который в произведении «Симфоническая поэма для 100 метрономов» (1962) одновременно использует 100 этих приборов. Произведение завершается, когда заканчивается завод последнего метронома.

* * *

* * *

Изолированная неравномерность

Иногда среди равномерного ритма (например, состоящего из долей с ритмическим делением на две части) необходимо точно сыграть несколько долей, разделенных на три части. Подобная смена ритма будет означать, что потребуется смена темпа и такта. Чтобы избежать неоднозначности при записи этой неравномерности (и при восстановлении равномерного ритма), используются дуоли, триоли и так далее.

— Дуоль: ритмическая фигура из двух нот, равная по времени звучания трем нотам:

— Триоль: ритмическая фигура из трех нот, равная по времени звучания двум нотам:

Дуоли и триоли обозначаются дугой поверх группы нот, под которой указывается число, соответствующее новому числу нот. Рассмотрим пример сложного ритма, в котором меняется темп и размер такта:

Аналогичная упрощенная запись, в которой используются триоли, будет выглядеть так:

* * *

* * *

Современная нотация

Развитие музыкальной нотации как системы символов на протяжении нескольких веков привело к тому, что она стала удивительно эффективной. В ней сочетаются переменные (ноты и паузы) и постоянные элементы (ритм, ключи, такты), располагающиеся поверх основы (нотного стана). Рассмотрим конкретный пример.

Скорость исполнения мелодии постоянна: = 60

Такты состоят из четвертных нот, на две слабые доли приходится одна сильная, поэтому такты имеют размер 3/4. На следующем рисунке представлена последовательность долей и акцентов, как если бы партитура представляла собой систему координат, в которой на оси абсцисс откладывается время в секундах.

Акценты располагаются равномерно с интервалом в три секунды. Доли выстроены также равномерно с интервалом в одну секунду. Читать подобный график крайне неудобно. Для записи ритма требуются ключи, которые позволили бы упростить запись. Для этого в начале партитуры один раз указываются все постоянные значения: темп, акценты и, наконец, размер такта в уже известной вам системе обозначений (в нашем примере размер такта равен 3/4). Способ указания на темп вы тоже уже знаете: = 60.

Сохраняя горизонтальное расположение символов слева направо, подобно тому как располагаются символы на письме в западных языках, мы можем добавить к записи вертикальные линии в конце каждого такта. Это позволяет упростить нотацию:

Так как доли исполняются равномерно и в записи присутствуют вертикальные линии, промежутки между нотами необязательно должны строго соответствовать длительности пауз между ними.

Отсутствие масштаба

Расположение элементов партитуры по горизонтали не соответствует какому-то конкретному масштабу. Это означает, что длительность нот и пауз необязательно зависит от длительности промежутков между нотами на партитуре. Артикуляция выполняется в соответствии с длительностью, которую указывают нота или пауза, а не в зависимости от того, насколько близко расположена следующая нота.

Два такта, изображенные на рисунке, одинаковы:

Однако важно помнить, что при записи двух или более голосов рекомендуется выравнивать по вертикали ноты, исполняемые одновременно, чтобы упростить чтение партитуры. Так, графическое представление трех одновременно исполняемых ритмических фраз будет выглядеть следующим образом: