Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Глава 3 Геометрия композиции

Объекты природы имеют подчас очень любопытную форму. При внимательном математическом анализе становится понятно, что растения, животные, кристаллические структуры и звуки подчиняются законам алгебры и геометрии. В природе часто встречаются сферы, циклы, спирали, равно как и симметрия. Художники находят вдохновение в причудливых формах природы и выстраивают свои произведения в новом порядке, подчиняющемся законам эстетики.

Музыка создает образы в представлении слушателей. Мелодии обычно сравнивают с рисунками из точек и линий. Мы уподобляем многие свойства музыки свойствам реальных предметов в пространстве: высокие звуки представляются нам узкими и вытянутыми вверх, низкие, напротив, невысокими и широкими. Подобные представления отчасти отражаются в партитурах. Например, последовательность звуков, высота которых непрерывно возрастает, называется восходящей.

Благодаря этому партитура приобретает дополнительную ценность, так как идея композитора дополняется изображениями, подобно тому как текст книги дополняется иллюстрациями. Это принимали во внимание многие композиторы, когда создавали свои шедевры. История музыки знает немало примеров партитур, в которых слились воедино музыка, письмо и геометрия. (Чтобы вы смогли лучше понять примеры, приводимые в этой главе, советуем сначала ознакомиться с основными элементами современной музыкальной нотации, о которых рассказывается в приложении I.)

Элементы нотной записи

Современная система нотной записи — результат эволюционного процесса, целью которого было найти способ зафиксировать мимолетное искусство на бумаге. С течением времени нотная запись дополнялась новыми символами, изменялись существующие. Интересно проанализировать знаки и символы нотной записи с точки зрения математики и логики.

Нотный стан

Музыка записывается на бумаге с помощью нотного стана, который можно считать графиком изменения высоты звуков с течением времени. Нотный стан можно представить как систему координат, на горизонтальной оси которой обозначается время, на вертикальной — высота нот. Высота обозначается с помощью равноудаленных друг от друга параллельных прямых. В современной нотации используется пять прямых.

Музыкальное «расстояние» между двумя соседними линиями (или между соседними промежутками между линиями) равно интервалу в одну терцию. Линию и ближайший к ней промежуток разделяет интервал в одну секунду. Таким образом определяются пять линий и четыре промежутка между ними, которые нумеруются снизу вверх:

Линии и промежутки соответствуют белым клавишам пианино, а расположение нот определяется частотой соответствующих звуков. Так, звуки высокой частоты (высокие звуки) располагаются на верхних линиях нотного стана. Для обозначения более низких звуков используются добавочные линии; соответственно, образуются дополнительные промежутки между ними. Так, дополнительными промежутками являются свободные места над 5-й и под 1-й линиями.

Если мы представим партитуру как систему координат на «музыкальной плоскости», то увидим, что на оси ординат указывается высота звуков.

На оси абсцисс, в свою очередь, откладывается длительность звуков и пауз. На пример, три звука, исполняемые последовательно в моменты времени 1, 2 и 3, изображаются так:

Если эти же три звука исполняются одновременно, то они будут изображаться так:

Подведем итог. Звуки, расположенные на одной линии нотного стана (или на одном промежутке между ними) имеют одинаковую высоту (частоту). Звуки, расположенные вертикально друг под другом, исполняются одновременно.

Ноты

Длительность звуков обозначается с помощью нот. Составными частями ноты являются головка — небольшой овал белого или черного цвета, и штиль — вертикальная часть ноты. Штиль соединяет головку и небольшую изогнутую линию, так называемый флажок. Флажок может отсутствовать.

Последовательность нот в порядке убывания длительности выглядит так: целая, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая и шестьдесят четвертая. Базовой нотой является целая, ее длительность обозначается числом 1. Длительность каждой последующей ноты обозначается числом, в два раза меньшим, чем длительность предыдущей. Следующая нота после целой — половинная, длительность которой в два раза меньше. Это означает, что за время, которое исполняется целая нота, можно исполнить две половинных. За время исполнения половинной ноты могут прозвучать две четвертные. Аналогичное соотношение сохраняется и между остальными нотами:

Функции нот и их свойства подробно рассматриваются в приложении I, в разделе «Музыка и символы музыкальной нотации».

Определение высоты

Высота звука (тон) обозначается положением головки ноты на линии нотного стана или в промежутке между линиями.

Однако этой информации недостаточно. Чтобы узнать абсолютную высоту звуков, нужен ключ.

Ключи

Из предыдущей главы вы знаете, что для определения скорости и ритма в начале партитуры указывается темп метронома и размер такта. В начале нотного стана также располагается ключ, который однозначно определяет высоту звуков.

Чаще всего используется ключ соль. Если этот ключ изображен в начале нотного стана так, как показано на рисунке, это означает, что все ноты, головка которых располагается на второй линии, соответствуют ноте соль.

Положение остальных нот уже известного вам музыкального строя будет таким: в первом промежутке между линиями будет располагаться нота фа, на первой линии — ми и так далее. Во втором промежутке будет находиться ля, на третьей линии — си, в третьем промежутке — до и так далее. Линия, определяющая ноту соль, проходит ровно через центральную точку, с которой рисуется ключ.

Также используется ключ фа в форме спирали. Он задает положение ноты фа на линии, где находится центральная точка спирали. Сверху и снизу от этой линии изображаются точки:

Ключ до — симметричный знак, осью симметрии которого является линия, соответствующая ноте до:

В зависимости от положения ключа изменяется высота звуков, соответствующих линиям и промежуткам нотного стана. Так, нота, изображенная в одном и том же месте нотного стана, будет звучать по-разному в зависимости от того, какой ключ используется.

* * *

* * *

Посмотрим, как один и тот же звук (центральное до) изображается с помощью трех разных ключей:

На рисунке на предыдущей странице показано, как с помощью различных ключей изменяется значение ноты, расположенной в заданной позиции нотного стана. На этом рисунке показано, как один и тот же звук изображается с помощью трех разных ключей.

Изменение полутонов

Иногда необходимо изменить высоту отдельной ноты. Существует два знака, обозначающих повышение или понижение высоты звука на полутон: знак # (диез) означает повышение на один полутон, знак (бемоль) — понижение на один полутон. Существует третий знак, который отменяет действие диеза или бемоля для той ноты, перед которой он стоит. Этот знак называется бекар ().

Эти знаки располагаются на линии или промежутке между линиями нотного стана и изменяют все звуки, находящиеся справа от них до конца такта. Если знак диеза, бемоля или бекара указан в начале партитуры (между ключом и числовым обозначением размера такта), это означает, что будут изменены все ноты, находящиеся на одной линии с этим знаком.

Мелодическая кривая

Когда мы слушаем музыку, даже если мы не разбираемся в музыкальной нотации, мы часто представляем себе кривую или ломаную линию, состоящую из восходящих и нисходящих частей. Весьма вероятно, что эта кривая «движется» слева направо, в том же направлении, как и буквы на письме. Некоторые мелодии представляются нам в виде плавных кривых без больших перепадов, другие, напротив, имеют ярко выраженные перепады высот. Интересно, что эти линии в некотором роде соответствуют расположению нот на нотном стане. Рассмотрим пример партитуры и соединим головки нот непрерывной кривой, как в известной детской игре, где нужно соединять точки линиями:

Плавная мелодия и соответствующая ей кривая.

Если бы мы могли услышать мелодию, записанную в этой партитуре, то заметили бы, что она не имеет резких перепадов. Если для мелодии характерны резкие изменения высоты звуков, то ей будет соответствовать линия с резкими перепадами высоты, подобная той, что показана на рисунке:

Мелодия со значительными перепадами высоты звуков.

В гештальтпсихологии (термин «гештальт» не имеет однозначного перевода и может означать «форма», «структура» или «очертание») считается, что разум человека способен выбирать и группировать части целого, а также упорядочивать их, выделяя среди остальных. Этот процесс развивается во времени благодаря тому, что мы обладаем памятью, за счет чего способны видеть движение предметов при быстрой смене кадров и воспринимать музыкальные композиции. Предметом изучения гештальтпсихологии являются процессы восприятия. Были сформулированы определенные принципы, характерные для этих процессов. Согласно принципу замкнутости, наше восприятие имеет тенденцию завершать незамкнутые фигуры. Так, изображения, содержащие неполную информацию, например пейзажи импрессионистов, состоящие из множества разноцветных точек, с определенного расстояния кажутся реалистичными и правдоподобными. Это же происходит, когда мы смотрим кино: непрерывное движение, которое мы видим на экране, не более чем иллюзия, вызванная особенностями нашего восприятия. Законы гештальта применимы и в музыке. Они позволяют слушателю выявлять похожие звуки и мелодический рисунок, подобно тому как зритель кинофильма распознает похожие образы.

Многие композиторы при создании своих произведений умышленно использовали принципы и приемы геометрии. В некоторых случаях они наглядно проявляются при взгляде на партитуру, в других — находят непосредственное воплощение в звуках. Некоторые композиции имеют структуру, обладающую интересными геометрическими свойствами. Таковы, например, каноны. Сама их форма серьезно влияет на мелодию, из-за чего создание таких произведений становится вдвойне сложнее. Композитор не просто должен создать красивую мелодию — последовательность звуков должна подчиняться строгим математическим правилам. В некоторых композициях в качестве художественных приемов специально используются геометрические преобразования.

В этом разделе мы сравним различные геометрические преобразования и определенные сочетания звуков. Важно не забывать о фундаментальном различии: два измерения на плоскости имеют одинаковую размерность, два измерения нотного стана (высота звуков и время) — нет. Из-за этого музыкальные преобразования совершаются в разных измерениях по отдельности.

Также можно применять преобразования к нотам как к геометрическим фигурам на плоскости, но результаты этих преобразований не всегда будут различимы для слушателя.

Важно помнить, что преобразования применяются к кривой, соединяющей головки нот. Рассмотрим пример мелодии из четырех нот. Соединив ноты линиями, получим следующее изображение:

Применим к этой ломаной линии геометрическое преобразование:

и восстановим головки и штили всех нот:

Геометрическо-музыкальные преобразования — еще одно средство, которое может использовать композитор, но применять его следует аккуратно и разумно.

Изометрические преобразования

«Изометрический» означает «сохраняющий расстояние». Существует три различных изометрических преобразования на плоскости: перенос, отражение и поворот. Они находят соответствие в различных символах нотной записи. Если рассматривать преобразования высоты звуков и их длительности отдельно, то число возможных их видов возрастет. В следующей таблице вкратце перечислены все возможные преобразования такого типа:

При комбинировании некоторых из этих преобразований число возможных вариантов возрастает еще больше:

Переносы

Перенос — это геометрическое преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в заданном направлении на одно и то же расстояние, при этом форма фигуры не изменяется. В нашем случае достаточно рассмотреть горизонтальный и вертикальный перенос. Они показаны на рисунке справа.

Горизонтальный перенос: повторение и канон

Горизонтальный перенос применительно к партитуре обозначает перенос во времени и может выражаться двумя способами:

— Повторение. Мелодия или ее фрагмент исполняются несколько раз подряд, один за другим:

O —> O —> O —> O —> O —> O —> O —> O

При простейшем горизонтальном переносе мотив повторяется, продолжая прежнюю мелодическую линию.

— Канон. Как вы уже знаете из предыдущей главы, канон — это музыкальное произведение, в котором мелодия исполняется несколькими голосами, вступающими один после другого через некоторый промежуток времени.

Рассмотрим в качестве примера очень известный канон — французскую детскую песенку «Братец Якоб». Если мы будем считать исходной мелодией первые четыре восьмых ноты песенки, то увидим, что она повторяется (используется перенос). После того как сыграны первые ноты мелодии, она продолжается в следующих тактах, а также начинается исполнение копии исходной мелодии (на рисунке далее исходная мелодия и ее копия изображены на разных нотных станах). Далее обе мелодии (оригинал и смещенная копия) исполняются параллельно, смещение между ними не меняется. Рассмотрим первые четыре такта:

При горизонтальном переносе изменяется момент времени, в который исполняется нота. При вертикальном переносе нота сдвигается вверх или вниз по партитуре. Такой перенос называется транспозицией.

* * *

* * *

Вертикальный перенос: транспозиция

Изометрический перенос нот вдоль вертикальной оси называется транспозицией. В результате транспозиции получается та же мелодия, но более высокая или более низкая в зависимости от направления переноса:

Транспозиция мелодии заслуживает более подробного рассмотрения. В вышеприведенном примере показана простейшая транспозиция мелодии.

В следующих примерах, взятых из различных стилей, продемонстрированы некоторые наиболее характерные способы использования переноса в музыкальных композициях. В 14-й сонате, известной как Лунная соната, Людвиг ван Бетховен (1770–1827) использовал в качестве основы произведения арпеджио из трех нот.

Риффы в рок-музыке — это короткие и ритмичные мелодии, как правило, исполняемые на гитаре, которые обычно повторяются несколько раз подряд. В песне (I Can’t Get No) Satisfaction группы Rolling Stones звучит один из самых известных риффов всех времен.

Многократное повторение мелодической фигуры (как в двух предыдущих примерах) называется остинато.

В качестве примера такого повторения в каноне рассмотрим произведение величайшего автора канонов — Иоганна Себастьяна Баха (1685–1750). Бах использовал этот формальный прием поистине гениальным образом. Его мастерство было столь высоко, что он часто преподносил в подарок небольшие каноны, специально написанные по случаю торжества. Мы рассмотрим его «Канон ре мажор BWV 1075» — небольшое музыкальное произведение из восьми тактов, исполняемое в два голоса, смещенных относительно друг друга на два такта. Структура композиции такова, что она может повторяться бесконечно:

Ниже представлена партитура канона.

Автором, возможно, одного из самых известных канонов всех времен является немецкий композитор Иоганн Пахельбель (1653–1706). Его «Канон в ре мажор» стал особенно известен после того, как прозвучал в фильме «Обыкновенные люди» (1980). Это произведение написано одновременно в форме канона и чаконы, поэтому в нем используются обе разновидности горизонтального переноса.

Чакона — это композиция, в которой неизменная тема повторяется в басу, а остальные голоса варьируются, накладываясь поверх нее. В каноне Пахельбеля вариации исполняются тремя верхними голосами канона. Поверх циклически повторяющегося ритма (который также использовался в разное время во множестве других произведений) плавно, без резких скачков, звучит основная мелодия произведения, непрестанно изменяясь от спокойной, меланхоличной до радостной и оживленной.

Также стоит упомянуть павану, соч. 50 французского композитора Габриэля Форе (1845–1924), в начале которой исходный мотив дважды исполняется (1-й такт и половина 2-го такта) виолончелями, виолами и вторыми скрипками.

Знаменитая Симфония № 5 до минор, соч. 67 Людвига ван Бетховена (1770–1827) — еще один пример диагонального переноса, в котором сочетаются вертикальный и горизонтальный переносы. Для верхнего голоса (выделен на партитуре, приведенной ниже) повторяется одна и та же мелодическая фигура, которая с каждым разом транспонируется все выше.

Отражения

Отражение — это преобразование, которое заменяет фигуру ее зеркальным отражением. Результатом отражения фигуры является ее хиральная копия, то есть такая фигура, которую нельзя совместить с исходной с помощью поворотов (представьте, например, отражение в зеркале человека с повязкой на правом глазу).

Чтобы вернуться к исходной фигуре, необходимо выполнить двойное отражение, то есть отразить отраженную фигуру еще раз. Мы рассмотрим два вида отражений: относительно горизонтальной и относительно вертикальной оси. Комбинация отражений относительно вертикальной и горизонтальной оси является поворотом на 180°, что показано на рисунке:

Если применить отражение к партитуре, получатся новые композиции: инвертированные и ракоходные.

Отражение относительно вертикальной оси: ракоход

В этом случае мелодия записывается заново, начиная с последней ноты, так что ноты исходной мелодии идут в обратном порядке:

Исполнение исходной и ракоходной мелодии подряд — это так называемая мелодическая симметрия, которую также можно назвать мелодическим палиндромом.

Очень известный пример подобной симметрии — «Аллилуйя» из оратории «Мессия» Георга Фридриха Генделя (1685–1759).

Аналогичную симметрию можно увидеть в начале известной композиции I've got Rhythm гениального американского композитора Джорджа Гершвина (1898–1937):

* * *

* * *

Отражение относительно горизонтальной оси: инверсия

Рассмотрим инверсию простой мелодии, отраженной горизонтально относительно оси, проходящей через линию ре:

Из следующего рисунка сразу же становится понятно, что при одновременном исполнении двух этих мелодий на пианино нужно нажимать клавиши, симметричные относительно клавиши ре:

Габриэль Форе в своем Messe basse: Agnus Dei в качестве основного приема использует отражение относительно горизонтальной оси. Две первые восьмые ноты начальных тактов отражаются, завершая такт:

В этом фрагменте из Струнного квартета соль минор, соч. 10 французского композитора Клода Дебюсси (1862–1918) первая скрипка и виола в каждый момент времени исполняют противоположные ноты:

В припеве Samba de Uma Nota Só («Самбы одной ноты») бразильского композитора Антонио Карлоса Жобина (1927–1994) второй такт получается из первого поворотом на 180°:

Двадцать четыре каприса для скрипки, написанные итальянским скрипачом и композитором Никколо Паганини (1782–1840), вдохновили многих композиторов на создание различных вариаций, самыми известными из которых являются композиции Сергея Рахманинова (1873–1943). В частности, Рахманинов написал мелодию, симметричную капрису № 24:

В некоторых случаях, как, например, в шестой из «Шести мелодий в унисон» из цикла фортепианных пьес «Микрокосмос» Белы Бартока (1881–1943) наблюдается симметрия звуков по высоте, но не по длительности. Ось симметрии проходит через первую ноту (до) второго нотоносца, выделенную пунктирной линией.

В последнем примере партитура для каждой руки симметрична относительно начальной ноты си-бемоль:

Повороты

Напомним, что поворот на 180° эквивалентен ракоходной инверсии. Применительно к музыке имеет смысл рассматривать только поворот на 180°, так как поворот на 90° не будет иметь смысла, что показано на следующем рисунке:

Точно так же, как и в геометрии, поворот на 180° можно представить как двойную инверсию: по горизонтали и по вертикали:

Гений Вольфганга Амадея Моцарта (1756–1791) проявился особенно ярко в не самом известном его произведении. Это канон для двух скрипок, состоящий из двух мелодий, повернутых друг относительно друга на 180°. Если мы представим поворот как двойное отражение, то увидим, что Моцарт неспроста расположил горизонтальную ось симметрии на линии си: благодаря этому композицию можно записать на одном нотном стане и на одной мелодической линии. При исполнении этого произведения музыканты становятся лицом друг к другу, расположив партитуру между собой. Оба смогут прочитать партитуру благодаря тому, что ключ соль расположен и в начале, и в конце нотного стана. Таким образом, при инверсии страницы нота соль становится нотой ре, ля — до и так далее. Единственной неизменной нотой остается си:

В «Зеркале» Моцарта два скрипача могут читать одну и ту же партитуру в противоположных направлениях, находясь друг напротив друга.

Австрийский композитор Антон Веберн (1883–1945) — одна из ключевых фигур в додекафонической музыке — основном направлении академической музыки начала XX века. В своем Струнном квартете, соч. 28 Веберн определяет исходную серию звуков, на которой затем устанавливаются интервалы. В этом произведении можно увидеть основную мелодию, ее инверсию и ракоход. Кроме того, в центре расположена ось симметрии, отделяющая исходную фигуру от ее ракоходной инверсии.

Ряд из 12 звуков Струнного квартета, ор. 28 Антона Веберна. Числа обозначают число полутонов в каждом интервале. Стрелки указывают, восходящим или нисходящим является данный интервал.

Комбинации преобразований

Вышеперечисленные преобразования причудливым образом сочетаются во множестве музыкальных произведений разных эпох. Они образуют широкий спектр музыкальных средств, которые отличаются огромным разнообразием, так как может изменяться расположение оси симметрии при отражении, расстояние в интервалах при вертикальном переносе и смещение при горизонтальном переносе, например смещение голосов канона.

Изначальная идея канона — имитация одного голоса с помощью последующего голоса или голосов — была дополнена другими видами имитации, в которых оригинальными способами применялись симметрия и ракоходы.

Горизонтальный и вертикальный перенос: интервальные каноны

Из определения канона следует, что второй голос горизонтально смещен относительно первого. Если к этому горизонтальному смещению добавить вертикальный перенос, то получится так называемый интервальный канон, в котором второй голос начинается не с той же ноты, что ведущий голос. Это приводит к изменению тонов и полутонов. Такое изменение называется тональным ответом. Расстояние, на которое смещен второй голос относительно первого, можно использовать в качестве признака классификации канонов. Так, оба голоса могут вступать в унисон (одновременно), второй может быть смещен на секунду, терцию и так далее.

Вертикальный перенос и отражение относительно вертикальной оси: ракоходный перенос

При такой комбинации преобразований исходная мелодия транспонируется, а затем заменяется ракоходом.

Вертикальный перенос и отражение относительно горизонтальной оси: инвертированная транспозиция

Для выполнения этой комбинации преобразований необходима транспозиция мелодии на новую начальную ноту с последующим инвертированием мелодии. Однако эти два преобразования можно свести к одному путем правильного выбора оси симметрии.

На этом примере показана комбинация вертикального переноса со смещением относительно горизонтальной оси (соответствует линии ноты си).

Тот же результат, что и на предыдущей иллюстрации, но полученный одним преобразованием — отражением относительно оси, соответствующей ноте соль.

В хорале «Агнец» (The Lamb) современного английского композитора Джона Тавенера, написавшего его для своего трехлетнего племянника, сочетаются некоторые из вышеописанных преобразований. Это произведение обладает множественной симметрией: исходная мелодия первого такта повторяется во втором (горизонтальный перенос), одновременно с этим вступает второй голос, который представляет собой инверсию исходной мелодии, полученную симметричным отображением относительно горизонтальной оси. Ось симметрии соответствует ноте соль. Третий такт содержит новую мелодию, в четвертом такте происходит ракоход этой мелодии (ее симметричное отражение относительно вертикальной оси). В пятом и шестом тактах повторяется мелодия третьего и четвертого тактов, которую дополняет второй голос — симметрично отображенная относительно горизонтальной оси мелодия пятого и шестого тактов. Следовательно, мелодия шестого такта для второго голоса — это поворот четвертого такта основного голоса на 180°.

Хотя интервалы между любыми двумя нотами мелодии строго соблюдаются, из эстетических соображений композитор изменил длительность последней ноты каждой музыкальной фразы. Однако это не нарушает симметрию, так как мелодическая линия, которую мысленно рисует композитор, зависит от порядка исполнения звуков, а не от диезов и бемолей.

* * *

* * *

В Canon Concordia Discors, BWV 1086 Иоганна Себастьяна Баха имитация основной мелодии является инверсией, ось симметрии проходит по линии ноты ми. Если бы мы захотели «классифицировать» это произведение, то сказали бы, что в нем используется отражение относительно горизонтальной оси в сочетании с переносом (канон).

Еще одной особенностью некоторых сочинений Баха является использование шифров в их музыкальной записи. В каноне, имеющем номер 1073 по каталогу BWV, Бах записал на нотном стане всего одну мелодию, однако поместил в начало партитуры не один, а четыре ключа. Каждый ключ определяет записанные ноты по-разному; таким образом, мелодия переобозначается для каждого ключа. По порядку записи ключей мелодия начинается с ноты до, затем с ноты соль, далее с ре и, наконец, с ля. Именно на эти четыре ноты настроены струны виолы — одного из любимых инструментов Баха.

Переписав партитуру для стандартных ключей соль и фа и начав каждый голос с позиции, указанной композитором, можно восстановить полную нотную запись канона.

* * *

Портрет Карла Филиппа Эммануила Баха. Внизу — партитура темы короля Фридриха II Великого.

* * *

Преобразования, изменяющие размеры

Три вида преобразований, которые мы рассмотрели (перенос, отражение и поворот), являются изометрическими, то есть сохраняют исходные размеры музыкальных фигур и расстояния между ними.

Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотношение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко различать два «измерения» музыкальной плоскости.

Горизонтальное масштабирование

Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растяжение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование и, следовательно, изменить скорость, с которой исполняется произведение, необходимо изменить темп метронома:

Изменение скорости путем изменения темпа метронома.

Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами меньшей длительности:

«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса

Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833–1897), представитель романтизма, использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В первых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано образована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные — половинными и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем теноры (tenors на партитуре):

Puttin' on the Ritz

Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Берлин (1888–1989) — «величайший песенный композитор всех времен», по словам его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие известные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запутанной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из четырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех, за счет чего образуется неравномерный ритм:

Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот. На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом. Стрелкой обозначена граница такта.

Вертикальное масштабирование

Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование — самое необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все интервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.

Подобное повторение расширенной мелодической кривой исходной мелодии иногда может давать пародийный эффект. Известный пример вертикального мас штабирования связывает между собой Баха и Джона Кейджа и упоминается в классической научно-популярной книге «Гедель, Эшер, Бах» американского автора Дугласа Хофштадтера (р. 1945).

Если использовать латинскую систему, в которой ноты обозначаются буквами от А до G, то с помощью масштабирования можно превратить тему ВАСН («Бах») в CAGE («Кейдж»).

Интервалы темы BACH: —1|+3 |—1.

Умножив эти интервалы на 3, получим —3 |+9 |—3, что почти совпадает с темой CAGE, интервалы которой равны —3 |+10 |—3.

Симметричные аккорды

Одна октава состоит из 12 полутонов. Эти 12 полутонов можно разделить на симметричные аккорды всего двумя способами: в первом случае аккорды из 3 нот будут разделены 4 полутонами, во втором случае аккорды из 4 нот будут разделены 3 полутонами.

В первом случае образуется аккорд увеличенной квинты, состоящей из двух больших терций, во втором — аккорд уменьшенной септимы. Благодаря своей симметричности этот аккорд занял очень важное место в истории музыки, так как его можно «прочитать» многими способами одновременно.

Симметричные звукоряды

В своей книге «Техника моего музыкального языка» французский композитор Оливье Мессиан (1908–1992) приводит классификацию звукорядов, которые он называет ладами ограниченной транспозиции. В этих звукорядах, ступени которых образуют полную октаву, интервалы, разделяющие ноты, распределяются симметрично. Такие звукоряды основаны на хроматической системе из 12 звуков и состоят из различных симметричных групп. После определения звукоряда он последовательно транспонируется до тех пор, пока при транспозиции не образуется звукоряд, в котором будут полностью повторяться ноты исходной группы.

Первый лад в классификации Мессиана называется ладом с целыми тонами:

В этом ладу допускается всего два варианта: первый начинается с до, второй — с до-диез. В ладу, который начинается с ре, повторяются ноты исходного лада.

Второй лад — уменьшенный октатонический звукоряд, в котором чередуются полутона и целые тона. Этот лад делится на четыре группы по три ноты и допускает три транспозиции.

Третий лад образован последовательностями тон — полутон — полутон, состоит из трех групп по четыре звука и допускает четыре транспозиции.

Порядок интервалов в четвертом ладу таков: полутон — полутон — полтора тона (3 полутона) — полутон, шесть транспозиций.

Пятый лад образует две симметричные группы из четырех звуков: полутон — два тона — полутон и допускает шесть транспозиций.

Шестой лад состоит из двух групп по шесть звуков (тон — тон — полутон — полутон) и допускает шесть транспозиций.

Седьмой лад состоит из двух групп по шесть звуков (полутон — полутон — полутон — тон — полутон) и допускает шесть транспозиций.

Симметрия наблюдается не только в музыкальных фразах и мотивах. Более сложные музыкальные структуры также могут обладать интересными математическими свойствами.

В формальном анализе музыкальных произведений изучается «музыкальная плоскость» — иными словами, составные части произведения и взаимосвязи между ними. Так как «музыкальную плоскость» можно изображать с разной степенью точности, в зависимости от «масштаба» можно получить общее представление, не содержащее нюансов, либо, напротив, в подробностях увидеть все детали, но не все произведение в целом.

ABCDE…

Рассмотрим музыкальные произведения издалека. Мы увидим крупные структуры, которые будем обозначать заглавными латинскими буквами. Здесь в качестве структурных элементов композиции мы будем рассматривать повторяющиеся или изменяющиеся фрагменты произведения. Композицию, в которой полностью повторяется единственная группа, будем обозначать так:

Такие композиции обладают простой симметрией. Произведение, состоящее из двух полностью различных групп, напротив, не обладает какой-либо симметрией:

Существуют ли произведения, симметричные с формальной точки зрения? Да, такие произведения существуют, более того, они встречаются очень часто. Примером может служить скерцо («игра») — произведение, которое обычно является частью другого, более крупного произведения, например симфонии. В качестве примера можно привести скерцо из Девятой симфонии Бетховена или скерцо из Симфонии № 4 Чайковского. По своей сути скерцо имеет вид АВ. Иногда после исполнения второй части первая повторяется заново, и композиция принимает вид:

Это простейшая симметричная фигура. Части этой композиции могут повторяться и далее, образуя различные симметричные структуры:

Также существуют сложные формы, состоящие из трех частей, каждая из которых также делится на три части. В результате образуются более крупные симметричные структуры:

Некоторые короткие произведения, например вальс ор. 34 № 1 Фредерика Шопена (1810–1849), обладают еще более широкой симметрией:

Чем длиннее произведение, тем меньше вероятность наличия подобной симметрии. «Музыкальное приношение» Баха обладает формальной симметрией следующего вида:

Месса си минор Баха

Иоганн Себастьян Бах, самый изобретательный композитор всех времен, использовал в своих произведениях структуры, обладающие символическими и математическими свойствами. Его Месса си минор (Высокая месса) BWV 232, состоит из 27 частей, объединенных в четыре группы: Kyrie, Gloria, Credo и финальную, включающую в числе прочих части Sanctus, Hosanna, Benedictus и Agnus Dei. Композитор хотел изобразить Святую Троицу как в музыке, так и в числах.

Число 3 обозначает Святую Троицу. Общее число частей произведения (27), а также число частей в каждой группе (3 + 9 + 9 + 6) делится на три. Две центральных группы (Gloria и Credo) имеют симметричную структуру. Центр симметрии Gloria расположен в хоре Domine Deus («Господи Боже»). Центр симметрии Credo — в Crucifixus («Распятье»):

_—Kyrie

_{Kyrie eleison (№ 1).}

_{Christe eleison.}

_{Kyrie eleison (№ 2).}

_—Gloria

_{Gloria in excelsis Deo.}

_{Et in terra pax.}

_{Laudamus te.}

_{Gratias agimus tibi.}

_{Domine Deus. <—}

_{Qui tollis peccata mundi.}

_{Qui sedes ad dexteram Patris.}

_{Quoniam tu solus sanctus.}

_{Cum Sancto Spiritu.}

_—Credo

_{Credo in unum Deum.}

_{Patrem omnipotentem.}

_{Et in unum Dominum.}

_{Et incarnatus est.}

_{Crucifixus. <—}

_{Et resurrexit.}

_{Et in Spiritum Sanctum.}

_Confiteor.

_{Et expecto.}

_{—Sanctus, Hosanna, Benedictus, Agnus Dei}

_Sanctus.

_Hosanna.

_Benedictus.

_{Hosanna (da capo).}

_{Agnus Dei.}

_{Dona nobis pacem.}

В частности, три центральных элемента группы Credo рассказывают о жизни Христа, начиная от воплощения (Et incarnatus est) до воскрешения (Et resurrexit), центральная часть повествует о распятии (Crucifixus).

* * *

* * *

Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (ок. 1170 — ок. 1250), был одним из тех, кто ввел в употребление арабские цифры в Европе. В своей «Книге абака» он изложил задачу:

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем каждый месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»

Ответ на эту интересную задачу таков:

— В первые два месяца имеется всего одна пара кроликов, А.

— В третьем месяце родится В, первая пара — потомок А.

— В четвертом месяцев родится С, вторая пара — потомок А.

— В пятом месяце родится D, третья пара — потомок А, и Е, первая пара — потомок В.

Численность кроликов в последующие месяцы будет описываться последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Эта последовательность чисел известна как числа Фибоначчи. Если мы поделим каждый член этой последовательности на предыдущий, получим:

На схеме показан рост численности кроликов. Белыми точками обозначены пары молодых кроликов, черными — взрослых кроликов, способных давать потомство.

Отношения членов ряда Фибоначчи стремятся к числу 1,618033989…, известному как золотое сечение, или божественная пропорция. Числа Фибоначчи часто встречаются в природе: например, ими описывается число семечек в спиралях подсолнуха, расположение ветвей растений, спирали раковин моллюсков и так далее.

Отрезки пятиконечной звезды — пентаграммы, которая используется во многих культурах, также скрывают в себе золотое сечение. Справа — схема расположения семян подсолнечника. Число спиралей в обе стороны выражается числами Фибоначчи.

Золотое сечение используется и в музыке. Некоторые произведения Моцарта и Бетховена разделены своей высшей точкой, моментом максимального напряжения на части, длительность которых подчиняется золотому сечению. Наиболее вероятно, что и Моцарт, и Бетховен получили этот результат интуитивно, стремясь придать своей музыке равновесие. В творчестве композитора Белы Бартока числа Фибоначчи встречаются столь часто, что это нельзя объяснить случайным совпадением. Так, в первой фуге его произведения «Музыка для струнных, ударных и челесты» 89 тактов, исполняемых ударными и челестой, делятся на части длиной в 55 и 34 такта. Разделение этих частей на более мелкие также описывается числами Фибоначчи: первая часть делится на 34 и 21 такт, вторая — на 13 и 21. Третья часть этого же произведения, исполняемая в темпе адажио, начинается с ритмической последовательности, в которой на ксилофоне исполняется одна и та же нота фа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, 2, 1 и 1 раз. Струнный квартет № 4 его же авторства состоит из 2584 долей — это 18-е число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи также описывают модели интервалов, использованные Бартоком, среди которых встречаются интервалы из 2, 3, 5, 8 и 13 полутонов.

Некоторые композиции Дебюсси также подчиняются правилу золотого сечения или описываются числами Фибоначчи. Начало «Диалога ветра с морем» в его произведении «Море» состоит из 55 тактов, которые делятся на группы по 21, 8, 8, 5 и 13 тактов. «Золотой» такт номер 34 отмечен нотой, исполняемой на трубе.

Хотя подобный анализ может действительно иметь отношение к реальности, к нему стоить подходить умеренно. Нередко слушатель, который заранее знает, что в произведении используется золотое сечение, начинает «слышать», что произведение звучит по-особому.

* * *

* * *