Том 3. Квантовая механика

§ 1. Законы композиции амплитуд

Когда Шредингер впервые открыл правильные законы квантовой механики, он написал уравнение, которое описывало амплитуду вероятности обнаружения частицы в различных местах. Это уравнение было очень похоже на уравнения, которые были уже известны классическим физикам, они ими пользовались, чтобы описать движение воздуха в звуковой волне, распространение света и т. д. Так что в начале развития квантовой механики большую часть времени люди занимались решением этого уравнения. Но в то же время началось (в частности, благодаря Борну и Дираку) понимание тех фундаментально новых идей, которые лежали в основе квантовой механики. По мере дальнейшего ее развития выяснилось, что в ней есть много такого, что прямо в уравнении Шредингера не содержится, — таких вещей, как спин электрона и различные релятивистские явления. Все курсы квантовой механики по традиции начинают с того же самого, повторяя путь, пройденный в историческом развитии предмета. Сперва долго изучают классическую механику, чтобы потом понять, как решается уравнение Шредингера. Затем столь же долго получают различные решения. И лишь после детального изучения этого уравнения переходят к «высшим» вопросам, таким, как спин электрона.

Сначала мы тоже считали, что лучше всего закончить эти лекции, показав, как решаются уравнения классической физики в различных сложных случаях, таких, как описание звуковых волн в замкнутом пространстве, типы электромагнитного излучения в цилиндрических полостях и т. д. Таков был первоначальный план этого курса. Но затем мы решили отказаться от этого плана и вместо этого дать введение в квантовую механику. Мы пришли к заключению, что то, что обычно именуют «высшими» разделами квантовой механики, на самом деле совсем простая вещь. Нужная для этого математика чрезвычайно проста — требуются лишь несложные алгебраические операции, никаких дифференциальных уравнений не нужно (или в крайнем случае нужны самые простые). Проблема только в том, чтобы перепрыгнуть через одно препятствие: усвоить, что мы больше не имеем права детально описывать поведение частиц в пространстве. И вот этим-то мы и собираемся заняться: рассказать вам о том, что обычно называют «высшими» разделами квантовой механики. Но уверяю вас, это самые что ни на есть простые (в полном смысле этого слова), но в то же время самые фундаментальные ее части. Честно говоря, это педагогический эксперимент, и, насколько нам известно, он никогда раньше не ставился.

Конечно, здесь есть своя трудность: квантовомеханическое поведение вещей чрезвычайно странно. Никто не может полагаться на то, что его ежедневный опыт даст ему интуитивное, грубое представление о том, что должно произойти. Так что этот предмет можно представить двояким образом: можно либо довольно грубо описать, что происходит — сообщать более или менее подробно, что случится, но не формулировать точных законов, либо же можно приводить и точные законы в их абстрактном виде. Но тогда эта абстракция приведет к тому, что вы не будете знать, к чему физически она относится. Этот способ не годится, потому что он совершенно отвлеченный, а от первого способа будет оставаться неприятный осадок, потому что никогда не будет точно известно, что верно, а что нет. И мы не знаем, как эту трудность обойти. С этой проблемой мы уже сталкивались раньше [гл. 37 и 38 (вып. 3)1. В гл. 37 изложение относительно строгое, а в гл. 38 дано лишь грубое описание различных явлений. Теперь мы попытаемся найти золотую середину.

Мы начнем эту главу с некоторых общих квантовомеханических представлений. Кое-какие из этих утверждений будут совершенно точными, иные же точны лишь частично. При изложении нам будет трудно отмечать, которые из них какие, но к тому времени, когда вы дочитаете книжку до конца, вы уже сами будете понимать, оглядываясь назад, какие части устояли, а какие оказались только грубым объяснением. Главы, которые последуют за этой, не будут столь неточными. Одна из причин, почему мы пытаемся в последующих главах быть как можно более точными, состоит в том, что таким образом мы сможем продемонстрировать одно из самых прекрасных свойств квантовой механики — как много в ней удается вывести из столь малого.

Мы опять начинаем с выяснения свойств суперпозиции, наложения, амплитуд вероятностей. Для примера мы сошлемся на опыт, описанный в гл. 37 (вып. 3) и еще раз показанный здесь на фиг. 1.1.

Фиг. 1.1. Интерференционный опыт с электронами.

Имеется источник частиц s, скажем электронов; дальше стоит стенка, в которой имеются две щели; за стенкой помещен детектор; он находится где-то в точке х. Мы спрашиваем: какова вероятность того, что в точке х будет обнаружена частица? Наш первый общий принцип квантовой механики заключается в том, что вероятность того, что частица достигнет точки х, выйдя из источника s, может быть численно представлена квадратом модуля комплексного числа, называемого амплитудой вероятности, в нашем случае — «амплитудой того, что частица из s попадет в х»[2]. К этим амплитудам мы будем прибегать так часто, что удобно будет использовать сокращенное обозначение, изобретенное Дираком и повсеместно применяемое в квантовой механике, чтобы отображать это понятие. Мы запишем амплитуду вероятности так:

(1.1)

Иными словами, две скобки < > — это знак, эквивалентный словам «амплитуда (вероятности) того, что»; выражение справа от вертикальной черточки всегда задает начальное условие, а то, что слева, — конечное условие. А иногда будет удобно еще сильнее сокращать, описывая начальные и конечные условия одной буквой. Например, амплитуду (1.1) можно при случае записать и так:

(1.2)

Надо подчеркнуть, что подобная амплитуда — это, конечно, всего-навсего число — комплексное число.

В гл. 37 (вып. 3) мы уже видели, что, когда частица может достичь детектора двумя путями, итоговая вероятность не есть сумма двух вероятностей, а должна быть записана в виде квадрата модуля суммы двух амплитуд. Мы обнаружили, что вероятность того, что электрон достигнет детектора при обеих открытых амбразурах, есть

(1.3)

Теперь мы этот результат собираемся записать в наших новых обозначениях. Сначала сформулируем наш второй общий принцип квантовой механики. Когда частица может достичь данного состояния двумя возможными путями, полная амплитуда процесса есть сумма амплитуд для этих двух путей, рассматриваемых порознь. В наших новых обозначениях мы напишем

(1.4)

При этом мы предполагаем, что щели 1 и 2 достаточно малы, так что, когда мы говорим, что электрон прошел сквозь щель, не встает вопрос, через какую часть щели он прошел. Конечно, можно разбить каждую щель на участки с конечной амплитудой того, что электрон прошел через верх щели или через низ и т. д. Мы допустим, что щель достаточно мала, так что нам не надо думать об этой детали. Это одна из тех неточностей, о которых мы говорили; суть дела можно уточнить, но мы покамест не будем этого делать.

Теперь мы хотим подробнее расписать, что можно сказать об амплитуде процесса, в котором электрон достигает детектора в точке х через щель 1. Это можно сделать, применив третий общий принцип. Когда частица идет каким-то определенным данным путем, то амплитуда для этого пути может быть записана в виде произведения амплитуды того, что будет пройдена часть пути, на амплитуду того, что и остаток пути будет пройден.

Для установки, показанной на фиг. 1.1, амплитуда перехода от s к х сквозь щель 1 равна амплитуде перехода от s к 1, умноженной на амплитуду перехода от 1 к х:

(1.5)

Опять-таки, это утверждение не совсем точно. Нужно добавить еще один множитель — амплитуду того, что электрон пройдет щель в точке 1; но пока это у нас просто щель, и мы положим упомянутый множитель равным единице.

Заметьте, что уравнение (1.5) кажется написанным задом наперед. Его надо читать справа налево: электрон переходит от s к 1 и затем от 1 к х. В итоге если события происходят друг за другом, т. е. если вы способны проанализировать один из путей частицы, говоря, что она сперва делает то-то, затем то-то, потом то-то, то итоговая амплитуда для этого пути вычисляется последовательным умножением на амплитуду каждого последующего события. Пользуясь этим законом, мы можем уравнение (1.4) переписать так:

А теперь мы покажем, что, используя одни только эти принципы, уже можно решать и более трудные задачи, наподобие показанной на фиг. 1.2.

Фиг. 1.2. Интерференционный опыт посложнее.

Тут изображены две стенки: одна с двумя щелями 1 и 2, другая с тремя — а, b и с. За второй стенкой в точке х стоит детектор, и мы хотим узнать амплитуду того, что частица достигнет х. Один способ решения состоит в расчете суперпозиции, или интерференции, волн, проходящих сквозь щели; но можно сделать и иначе, сказав, что имеется шесть возможных путей, и накладывая друг на друга их амплитуды. Электрон может пройти через щель 1, затем через щель а и потом в х, или же он мог бы пройти сквозь щель 1, затем сквозь щель b и затем в x и т. д. Согласно нашему второму принципу, амплитуды взаимоисключающих путей складываются, так что мы должны записать амплитуду перехода от s к х в виде суммы шести отдельных амплитуд. С другой стороны, согласно третьему принципу, каждую из них можно записать в виде произведения трех амплитуд. Например, одна из них — это амплитуда перехода от s к 1, умноженная на амплитуду перехода от 1 к а и на амплитуду перехода от a к x. Используя наше сокращенное обозначение, полную амплитуду перехода от s к х можно записать в виде

Можно сэкономить место, использовав знак суммы:

(1.6)

Чтобы, пользуясь этим методом, проводить какие-то вычисления, надо, естественно, знать амплитуду перехода из одного места в другое. Я приведу пример типичной амплитуды. В ней не учтены некоторые детали, такие, как поляризация света или спин электрона, а в остальном она абсолютно точна. С ее помощью вы сможете решать задачи, куда входят различные сочетания щелей. Предположим, что частица с определенной энергией переходит в пустом пространстве из положения r₁ в положение r₂. Иными словами, это свободная частица: на нее не действуют никакие силы. Отбрасывая численный множитель впереди, амплитуду перехода от r₁ к r₂ можно записать так:

(1.7)

где r₁₂=r₂-r₁ а р — импульс частицы, связанный с ее энергией Е релятивистским уравнением

или нерелятивистским уравнением

Уравнение (1.7) в итоге утверждает, что у частицы есть волновые свойства, что амплитуда распространяется как волна с волновым числом, равным импульсу, деленному на ℏ.

В общем случае в амплитуду и в соответствующую вероятность входит также и время. В большинстве наших первоначальных рассуждений будет предполагаться, что источник испускает частицы с данной энергией беспрерывно, так что о времени не нужно будет думать. Но, вообще-то говоря, мы вправе заинтересоваться и другими вопросами. Допустим, что частица испущена в некотором месте Р в некоторый момент и вы хотите знать амплитуду того, что она окажется в каком-то месте, скажем r, в более позднее время. Это символически можно представить в виде амплитуды <r, t=t₁|P, t=0>. И ясно, что она зависит и от r, и от t. Помещая детектор в разные места и делая измерения в разные моменты времени, вы получите разные результаты. Эта функция r и t, вообще говоря, удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое является волновым уравнением. Скажем, в нерелятивистском случае это уравнение Шредингера. Получается волновое уравнение, аналогичное уравнению для электромагнитных волн или звуковых волн в газе. Однако надо подчеркнуть, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению, не похожа на реальную волну в пространстве; с этой волной нельзя связать никакой реальности, как это делается со звуковой волной.

Хотя, имея дело с одной частицей, можно начать пытаться мыслить на языке «корпускулярных волн», но ничего в этом хорошего нет, потому что если, скажем, частиц не одна, а две, то амплитуда обнаружить одну из них в r₁ а другую в r₂ не есть обычная волна в трехмерном пространстве, а зависит от шести пространственных переменных r₁ и r₂. Когда частиц две (или больше), возникает потребность в следующем добавочном принципе. Если две частицы не взаимодействуют, то амплитуда того, что одна частица совершит что-то одно, а другая сделает что-то другое, есть произведение двух амплитуд — амплитуд того, что две частицы проделали бы это по отдельности. Например, если <а|s₁> есть амплитуда того, что частица 1 перейдет из s₁ в а, а 2> — амплитуда того, что частица 2 перейдет из s₂ в b, то амплитуда того, что оба эти события произойдут вместе, есть

И еще одну вещь надо подчеркнуть. Предположим, нам неизвестно, откуда появляются частицы на фиг. 1.2, прежде чем они пройдут через щели 1 и 2 в первой стенке. Несмотря на это, мы все равно можем предсказать, что произойдет за стенкой (скажем, вычислить амплитуду попасть в х), если только нам даны два числа: амплитуда попадания в 1 и амплитуда попадания в 2. Иными словами, из-за того, что амплитуды последовательных событий перемножаются, как это показано в уравнении (1.6), все, что вам нужно знать для продолжения анализа, — это два числа, в данном частном случае <1|s> и <2|s>. Этих двух комплексных чисел достаточно для того, чтобы предсказать все будущее. Это-то и делает квантовую механику простой. В следующих главах выяснится, что именно это мы и делаем, когда отмечаем начальные условия при помощи двух (или нескольких) чисел. Конечно, эти числа зависят от того, где расположен источник и каковы другие свойства прибора, но, как только эти числа даны, все подобные детали нам больше не нужны.

§ 2. Картина интерференции от двух щелей

Рассмотрим еще раз вопрос, который мы довольно подробно обсудили раньше, в гл. 37 (вып. 3). Сейчас мы используем идею об амплитуде во всей ее мощи, чтобы показать вам, как она работает. Вернемся к старому опыту, изображенному на фиг. 1.1, добавив к нему еще источник света и поместив его за щелями (ср. фиг. 37.4 гл. 37). В гл. 37 мы обнаружили следующий примечательный результат. Если мы заглядывали за щель 1 и замечали фотоны, рассеивавшиеся где-то за ней, то распределение вероятности того, что электрон попадал в х при одновременном наблюдении этих фотонов, было в точности такое же, как если бы щель 2 была закрыта. Суммарное распределение для электронов, которые были «замечены» либо у щели 1, либо у щели 2, было суммой отдельных распределений и было совсем не похоже на распределение, которое получалось, когда свет бывал выключен. По крайней мере так бывало, когда использовался свет с малой длиной волн. Когда длина волны начинала расти и у нас исчезала уверенность в том, у какой из щелей произошло рассеяние света, распределение становилось похожим на то, которое бывало при выключенном свете.

Посмотрим теперь, что здесь происходит, используя наши новые обозначения и принципы композиции амплитуд. Чтобы упростить запись, можно через φ₁ опять обозначить амплитуду того, что электрон придет в х через щель 1, т. е.

Сходным же образом φ₂ будет обозначать амплитуду того, что электрон достигнет детектора через щель 2:

Это — амплитуды проникновения электрона через щель и появления в х, когда света нет. А если свет включен, мы поставим себе вопрос: какова амплитуда процесса, в котором вначале электрон выходит из s, а фотон испускается источником света L, а в конце электрон оказывается в x, а фотон обнаруживается у щели 1? Предположим, что мы с помощью счетчика D₁ наблюдаем фотон у щели 1 (фиг. 1.3), а такой же счетчик D₂ считает фотоны, рассеянные у щели 2.

Фиг. 1.3. Опыт, в котором определяется, через которую из щелей проник электрон.

Тогда можно говорить об амплитуде появления фотона в счетчике D₁ а электрона в x и об амплитуде появления фотона в счетчике D₂, а электрона в х. Попробуем их подсчитать.

Хоть мы и не располагаем правильной математической формулой для всех множителей, входящих в этот расчет, но дух расчета вы почувствуете из следующих рассуждений. Во-первых, имеется амплитуда <1|s> того, что электрон доходит от источника к щели 1. Затем можно предположить, что имеется конечная амплитуда того, что, когда электрон находится у щели 1, он рассеивает фотон в счетчик D₁. Обозначим эту амплитуду через а. Затем имеется амплитуда того, что электрон переходит от щели 1 к электронному счетчику в х. Амплитуда того, что электрон перейдет от s к х через щель 1 и рассеет фотон в счетчик D₁, тогда равна

Или в наших прежних обозначениях это просто аφ₁.

Имеется также некоторая амплитуда того, что электрон, проходя сквозь щель 2, рассеет фотон в счетчик D₁. Вы скажете: «Это невозможно; как он может рассеяться в счетчик D₁, если тот смотрит прямо в щель 1?» Если длина волны достаточно велика, появляются дифракционные эффекты, и это становится возможным. Конечно, если прибор будет собран хорошо и если используются лишь фотоны с короткой длиной волны, то амплитуда того, что фотон рассеется в счетчик D₁ от электрона в щели 2, станет очень маленькой. Но для общности рассуждения мы учтем тот факт, что такая амплитуда всегда имеется, и обозначим ее через b. Тогда амплитуда того, что электрон проходит через щель 2 и рассеивает фотон в счетчик D₁, есть

Амплитуда обнаружения электрона в х и фотона в счетчике D₁ есть сумма двух слагаемых, по одному для каждого мыслимого пути электрона. Каждое из них в свою очередь составлено из двух множителей: первого, выражающего, что электрон прошел сквозь щель, и второго — что фотон рассеян таким электроном в счетчик D₁; мы имеем

(1.8)

Аналогичное выражение можно получить и для случая, когда фотон будет обнаружен другим счетчиком D₂. Если допустить для простоты, что система симметрична, то а будет также амплитудой попадания фотона в счетчик D₂, когда электрон проскакивает через щель 2, а b — амплитудой попадания фотона в счетчик D₂, когда электрон проходит через щель 1. Соответствующая полная амплитуда — амплитуда того, что фотон окажется в счетчике D₂, а электрон в х, — равна

(1.9)

Вот и все. Теперь мы легко можем рассчитать вероятность тех или иных случаев. Скажем, мы желаем знать, с какой вероятностью будут получаться отсчеты в счетчике D₁ при попадании электрона в х. Это будет квадрат модуля амплитуды, даваемой формулой (1.8), т. е. попросту |aφ1+bφ₂|². Поглядим на это выражение внимательнее. Прежде всего, если b=0 (мы хотели бы, чтобы наш прибор работал именно так), ответ просто равен |φ₁|² с множителем |a|². Это как раз то распределение вероятностей, которое получилось бы при наличии лишь одной щели, как показано на фиг. 1.4, а.

Фиг. 1.4. Вероятность отсчета электрона в х при условии, что в D₁ замечен фотон в опыте, показанном на фиг. 1.3. а — при b=0; б — при b=а; в — при 0

Вспомните, однако, что i>=δ_ij, так что в сумме останутся только члены с j=i. Выйдет

(6.15)

где, как вы помните, D_i*=<i|χ>*=<χ|i>, а C_i=. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением

Единственная разница — что D_i нужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы состояний <χ| и |φ> по базисным векторам <i| или |i>, то амплитуда перехода из φ в χ дается своего рода скалярным произведением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.

Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как пространственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы |i> квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокупность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.

Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в определенном состоянии φ, затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии χ, то результат будет описываться амплитудой

(6.16)

Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но эта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл. 3 [формула (3.32)], что (6.16) можно переписать так:

(6.17)

Это пример двукратного применения основного правила (6.9).

Мы обнаружили также, что если вслед за прибором А по ставить другой прибор B, то можно написать

(6.18)

Это опять-таки следует прямо из предложенного Дираком метода записи уравнения (6.9). Вспомните, что между В и A всегда можно поставить черту (|), которая ведет себя совсем как множитель единица.

Кстати говоря, об уравнении (6.17) можно рассуждать и иначе. Предположим, что мы рассуждаем о частице, попадающей в прибор А в состоянии φ и выходящей из него в состоянии ψ. Мы можем задать себе такой вопрос: можно ли найти такое состояние ψ, чтобы амплитуда перехода от ψ к χ тождественно совпадала с амплитудой <χ|A|φ>? Ответ гласит: да. Мы хотим, чтобы (6.17) заменилось уравнением

(6.19)

Конечно, этого можно достичь, если взять

(6.20)

что и определяет собой ψ. «Но оно не определяет собой ψ, — скажете вы, — оно определяет только <i|ψ>». Однако все же определяет ψ; ведь если у вас есть все коэффициенты, связывающие ψ с базисными состояниями i, то ψ определяется однозначно. И действительно, можно поупражняться с нашими обозначениями и записать (6.20) в виде

(6.21)

А раз это уравнение справедливо при всех i, то можно просто писать

(6.22)

Теперь мы вправе сказать: «Состояние ψ — это то, что получается, если начать с φ и пройти сквозь аппарат A».

Еще один, последний пример полезных уловок. Начинаем опять с (6.17). Раз это уравнение соблюдается при любых χ и φ, то их обоих можно сократить! Получаем[19]

(6.23)

Что это значит? Только то, что получится, если вернуть на свои места φ и χ. В таком виде это уравнение «недокончено» и неполно. Если умножить его «справа» на |φ>, то оно превращается в

(6.24)

а это снова то же уравнение (6.22). В самом деле, мы бы могли просто убрать из (6.22) все j и написать

(6.25)

Символ А — это не амплитуда и не вектор; это вещь особого рода, именуемая оператором. Он — нечто, что «оперирует» над состоянием, чтобы создать новое состояние; уравнение (6.25) говорит, что |ψ> — это то, что получается, если А действует на |φ>. Это уравнение тоже нужно считать недоконченным, открытым, пока слева оно не умножится на какое-то «брэ», скажем на <χ|, и не обратится в

(6.26)

Оператор А, разумеется, полностью описывается тем, что за дается матрица амплитуд <i|A|j>; ее также пишут в виде А_ij— через любую совокупность базисных векторов.

Все эти математические обозначения на самом деле ничего нового не вносят. Единственный резон, почему мы их ввели, — мы хотели показать, как пишутся обрывки уравнений, потому что во многих книжках вы встретите уравнения, написанные в неполном виде, и нет причин вам пугаться, увидев их. Если вы захотите, вы всегда сможете дописать те части, которых не хватает, и получить уравнение, связывающее числа. Оно будет выглядеть более привычно.

Кроме того, как вы увидите, обозначения «брэ» и «кет» очень удобны. Прежде всего мы теперь сможем указывать состояния, задавая их вектор состояния. Когда мы захотим вести речь о состоянии с определенным импульсом р, то скажем: «состояние |р>». Или будем говорить о некотором произвольном состоянии |ψ>. Для единообразия мы всегда, говоря о состоянии, будем употреблять «кет» и писать |ψ>. (Конечно, этот выбор совершенно произволен; в равной мере мы могли бы остановиться и на «брэ» <ψ|.)

§ 3. Каковы базисные состояния мира?

Мы обнаружили, что всякое состояние в мире может быть представлено в виде суперпозиции (линейной комбинации с подходящими коэффициентами) базисных состояний. Вы вправе спросить, во-первых: каких именно базисных состояний? Что ж, возможностей здесь немало. Можно, например, взять проекцию спина на направление z или на некоторое другое направление. Имеется очень-очень много различных представлений— аналогов различных систем координат, которые можно применять для представления обычных векторов. Затем можно спросить: с какими коэффициентами их брать? А это уж зависит от физических обстоятельств. Различные совокупности коэффициентов отвечают разным физическим условиям. Здесь важно знать одну вещь — «пространство», в котором вы работаете, иными словами, знать, что эти базисные состояния означают физически. Так что первое, что вы, вообще говоря, должны знать, — это на что похожи базисные состояния. Тогда вам станет понятно, как описывать положение вещей на языке этих базисных состояний.

Мы хотели бы чуть-чуть заглянуть вперед и немножко поговорить о том, каким скорей всего окажется общее квантовомеханическое описание природы — во всяком случае, каким оно будет, судя по нынешним физическим представлениям. Первым делом надо решиться на тот или другой выбор представления базисных состояний (всегда ведь возможны различные представления). Например, для частицы со спином ¹/₂ можно использовать плюс- и минус-состояния относительно оси z. В оси z нет ничего особенного — можете выбрать любую ось, какую вам захочется. Но для единообразия мы всегда будем брать ось z. Начнем со случая одного электрона. Наряду с двумя возможностями для спина (вверх и вниз по оси z) электрон имеет еще импульс. Мы выбираем совокупность базисных состояний, по одному на каждое значение импульса. А что если у электрона нет определенного импульса? Ничего страшного: мы ведь говорим только, каковы базисные состояния. Если у электрона не будет определенного импульса, то у него какая-то амплитуда будет иметь один импульс, а какая-то — другой и т. д. А если он вертится не обязательно вверх спином, то у него есть какая-то амплитуда вертеться при этом импульсе спином вверх, а какая-то — вниз и т. д. Для полного описания электрона, насколько нам сейчас известно, требуется только, чтобы базисные состояния описывались импульсом и спином. Значит, одна из приемлемых совокупностей базисных состояний |i> для отдельного электрона указывает различные значения импульса и еще направление, куда смотрит спин, — вверх или вниз. Различные смеси амплитуд, т. е. различные сочетания чисел С, описывают различные обстоятельства. Что делает тот или иной электрон, описывается тем, что сообщается, с какой амплитудой у него спин может быть вверх, а с какой — вниз, и при этом импульс будет равен тому или иному числу, и так для всех мыслимых импульсов. Вы теперь видите, что требуется для полного квантовомеханического описания отдельного электрона.

А как обстоит дело с системами нескольких электронов? В этих случаях базисные состояния становятся сложнее. Пусть электронов пара. Во-первых, имеются четыре мыслимых состояния по отношению к спину: у обоих электронов спины вверх, или у первого вверх, а у второго вниз, или у первого вниз, а у второго вверх, или у обоих вниз. Кроме того, нужно указать, что у первого электрона импульс p₁ а у второго импульс р₂. Базисные состояния для двух электронов требуют указания двух импульсов и двух значков для спина. Для семерки электронов нужно указать семь пар таких чисел.

Если же имеются протон и электрон, то нужно указать направление спина протона и его импульс и направление спина электрона и его импульс. По крайней мере, в каком-то приближении это так. Мы на самом деле не знаем, каким является правильное представление для нашего мира. Мы начинаем с предположения, что если указать спин и импульс электрона и то же самое для протона, то получатся базисные состояния; все это очень хорошо, но как быть с «протоньими внутренностями»? В самом деле, рассудим следующим образом. В атоме водорода, в котором имеются один протон и один электрон, приходится описывать множество различных базисных состояний, отмечать направления вверх и вниз у спинов протона и электрона и всевозможные импульсы протона и электрона. Затем имеются различные комбинации амплитуд С_i; все вместе они описывают характер атома водорода в тех или иных состояниях. Но представьте, что мы смотрим на целый атом водорода, как на «частицу». Если бы мы не знали, что он состоит из протона и электрона, то могли бы сказать: «О, я знаю, какие у него базисные состояния — они соответствуют разным импульсам атома водорода». Но это на самом деле не так, ведь у атома водорода есть какие-то внутренние части. Значит, у него могут быть различные состояния с разной внутренней энергией, и описание реальной природы потребовало бы дальнейших подробностей.

То же и с протоном. Вопрос стоит так: есть ли у протона внутренние части? Должны ли мы описывать протон, задавая все мыслимые состояния протонов, мезонов или странных частиц? Мы этого не знаем. И даже хотя мы допускаем, что электрон прост и все, что можно о нем сказать, — это задать его импульс и спин, но ведь не исключена возможность завтра открыть наличие внутри электрона каких-то колесиков и шестеренок. А это будет означать, что наше представление неполно, или неверно, или неточно, так же как и представление атома водорода, описывающее только его импульс, было бы неполным, потому что оно пренебрегало бы тем фактом, что атом водорода может оказаться возбужденным изнутри. Если электрон тоже может оказаться возбужденным изнутри и превратиться еще во что-то, например в мюон, то его следовало бы описывать не простым заданием состояний новой частицы, а, вероятно, в терминах более сложных внутренних колесиков. Главная сегодняшняя проблема в изучении фундаментальных частиц и состоит в том, чтобы открыть, каковы правильные представления для описания природы. В настоящее время мы полагаем, что для электрона достаточно указывать его импульс и спин. Но мы полагаем также, что существует идеализированный протон, имеющий при себе свои π-мезоны, свои K-мезоны и т. д., и все они должны быть отмечены. Но ведь отмечать несколько десятков частиц смысла мало! Вопрос о том, что есть фундаментальная частица, а что — не фундаментальная, — вопрос, о котором столько сейчас говорится, — это вопрос о том, на что будет похоже окончательное представление в окончательном квантовомеханическом описании мира. Будет ли такая вещь, как импульс электрона, все еще способна описывать природу? И вообще нужно ли весь вопрос ставить именно таким образом! Такие мысли беспрерывно возникают в любом научном исследовании. Во всяком случае, проблема нам понятна — как найти представление? Но ответа мы не знаем. Мы даже не знаем, «в этом ли состоит» проблема или нет; но если проблема в этом, то сперва нужно попытаться узнать, «фундаментальна» или нет каждая отдельная частица.

В нерелятивистской квантовой механике, где энергии не очень высоки и где вы не затрагиваете внутреннего устройства странных частиц и т. п., вы можете делать весьма сложные расчеты, не заботясь об этих деталях. Вы можете просто остановиться на импульсах и спинах электронов и ядер и все будет в порядке. В большинстве химических реакций и других низкоэнергетических событий в ядрах ничего не происходит; они не возбуждаются. Дальше, если атом водорода движется медленно и если он спокойно стукается о другие атомы водорода и ничего внутри него не возбуждается, не излучается, никаких сложностей не происходит, а все остается в основном состоянии энергии внутреннего движения, — в этом случае вы можете пользоваться приближением, при котором об атоме водорода говорят как об отдельном предмете, или частице, не заботясь о том, что он может что-то внутри себя с собой сделать. Это будет хорошим приближением до тех пор, пока кинетическая энергия в любом столкновении будет заметно меньше 10 эв, т. е. энергии, требуемой для того, чтобы возбудить атом водорода до следующего внутреннего состояния. Мы часто будем прибегать к приближению, при котором исключается возможность внутреннего движения, тем самым уменьшая число деталей, которые должны быть учтены в наших базисных состояниях. Конечно, при этом мы опускаем кое-какие явления, которые проявляются (как правило) при каких-то высших энергиях, но такое приближение сильно упрощает анализ физических задач. Например, можно рассуждать о столкновении двух атомов водорода при низкой энергии (или о любом химическом процессе), не заботясь о том, что атомные ядра могут возбуждаться. Итак, подведем итог. Когда мы вправе пренебречь влиянием любых внутренних возбужденных состояний частицы, мы вправе выбрать базисную совокупность из состояний с определенным импульсом и z-компонентой момента количества движения.

Первой проблемой при описании природы является отыскание подходящего представления для базисных состояний. Но это только начало. Надо еще уметь сказать, что «случится». Если известны «условия» в мире в один момент, то мы хотим знать условия в более поздний момент. Значит, надо также найти законы, определяющие, как все меняется со временем. Мы теперь обращаемся ко второй части основ квантовой механики — к тому, как состояния меняются во времени.

§ 4. Как состояния меняются во времени

Мы уже говорили о том, как отображать ход событий, где мы что-то пропускаем через прибор. Но самый привлекательный, самый удобный для рассмотрения «опыт» состоит в том, что вы останавливаетесь и ждете несколько минут, т. е. вы приготовляете состояние φ и, прежде чем проанализировать его, оставляете его в покое. Быть может, вы оставите его в покое в каком-то электрическом или магнитном поле — все зависит от физических обстоятельств. Во всяком случае, какими бы ни были условия, вы от момента t₁ до момента t₂ оставляете объект на свободе. Допустим, что он выпущен из нашего первого прибора в состоянии φ в момент t₁. А затем он проходит через «прибор», в котором он находится до момента t₂. Во время такой «задержки» могут продолжаться различные события, прилагаться внешние силы, — словом, что-то в это время случается. После такой задержки амплитуда того, что этот объект обнаружится в состоянии χ, уже не та же самая, какой она была бы, если бы задержки не было. Так как «ожидание» — это просто частный случай «прибора», то можно описать то, что происходит, задав амплитуду в том же виде, как в уравнении (6.17). Поскольку операция «ожидания» представляет особую важность, мы вместо А обозначим ее U, а чтобы отмечать начальный и конечный моменты t₁ и t₂, будем писать U(t₂, t₁). Интересующая нас амплитуда — это

(6.27)

Как и всякая подобная амплитуда, она может быть представлена в той или иной базисной системе в виде

(6.28)

Тогда U описывается заданием полной совокупности амплитуд — матрицы

(6.29)

Кстати, следует отметить, что матрица <i|U(t₂, t₁|j> могла бы дать гораздо больше всяких деталей, чем нам обычно нужно. Теоретик высокого класса, работающий в физике высоких энергий, рассматривает примерно такие проблемы (потому что именно так обычно ставятся эксперименты): он начинает с двух частиц, скажем с протона и протона, налетающих друг на друга из бесконечности. (В лаборатории обычно одна частица покоится, другая же вылетает из ускорителя, который по атомным масштабам пребывает в бесконечности.) Они сталкиваются, и в итоге появляются, скажем, два К-мезона, шесть π-мезонов и два нейтрона с определенными импульсами в определенных направлениях. Какова амплитуда того, что это случится? Математика здесь выглядит так. Состояние φ отмечает спины и импульсы сближающихся частиц. А χ — это сведения о том, что получается в конце. К примеру, с какой амплитудой вы получите шесть мезонов, идущих в таких-то и таких-то направлениях, а два нейтрона, вылетающих вот в этих направлениях и со спинами, торчащими так-то и так-то. Иными словами, χ отмечается заданием всех импульсов, спинов и т. п. конечных продуктов. И вот работа теоретика состоит в том, чтобы подсчитать амплитуду (6.27). Однако на самом деле его интересует только частный случай, когда t₁=-∞, а t₂=+∞. (У нас не бывает экспериментальных данных о детальном ходе процесса, известно только, что вошло и что вышло.) Предельный случай U(t₂, t₁) при t₁→-∞ и t₂→+∞ обозначается буквой S; теоретик нуждается в величине

Или, если пользоваться формой (6.28), ему нужно вычислить матрицу

называемую S-матрицей. Стало быть, если вы увидите физика-теоретика, который меряет шагами комнату и говорит: «Мне нужно только вычислить S-матрицу», — то вы теперь уже будете понимать, над чем он ломает голову.

Как анализировать S-матрицу, т. е. как указать законы для нее, — вопрос интересный. В релятивистской квантовой механике при высоких энергиях это делается одним способом, в нерелятивистской же квантовой механике — другим, более удобным. (Он годится и в релятивистском случае, но перестает быть таким удобным.) Состоит он в том, чтобы вывести U-матрицу для небольших интервалов времени, т. е. для близких t₂ и t₁. Если мы сможем найти последовательность таких U для последовательных интервалов времени, то сможем проследить за тем, как все меняется в зависимости от времени. Сразу же ясно, что для теории относительности этот способ не очень хорош, потому что не так уж просто указать, как «одновременно» все всюду выглядит. Но не стоит нам думать об этом; нашей заботой будет только нерелятивистская механика.

Рассмотрим матрицу U для задержки от t₁ до t₃, где t₃ больше t₂. Иными словами, возьмем три последовательных момента: t₁ меньше t₂, t₂ меньше t₃. Тогда мы утверждаем, что матрица, которая тянется от t₁ до t₃, получается перемножением подряд всего того, что происходит при задержке от t₁ до t₂, и затем от t₂ до t₃. Это в точности то же самое, что было с двумя последовательными приборами В и А. Тогда, следуя обозначениям, принятым в гл. 3, § 6, мы можем написать

(6.30)

Иначе говоря, можно проанализировать любой интервал времени, если мы умеем анализировать последовательность промежуточных коротких интервалов. Мы просто перемножаем все куски; это и есть способ нерелятивистского анализа квантовой механики.

Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу U(t₂, t₁) для бесконечно малого интервала времени — для t₂=t₁+Δt. Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние φ, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время Δt? Посмотрим, как это можно расписать. Обозначим состояние в момент t через |ψ(t)> (мы указываем зависимость ψ от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент t). Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время Δt? Ответ таков:

(6.31)

Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить χ в момент t+Δt есть

(6.32)

Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на <i|, получаем

(6.33)

Можно также разложить и |ψ(t)> на базисные состояния и написать

(6.34)

Понять это можно так. Если через C_i(t)=<i|ψ|(t)> обозначить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число!) меняющейся во времени. Каждое С_i становится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амплитуды С_i меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+Δt) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U-матрицу через U_ij, считая, что

Тогда (6.34) можно записать так:

(6.35)

Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.

Нам пока мало известно об U_ij. Мы знаем только, что при Δt, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, U_ij→1 и U_ij→0 при i≠j. Иными словами, U_ij→δ_ij при Δt→0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из U_ij обязан отличаться от δ_ij на величину, пропорциональную Δt; так что можно писать

(6.36)

Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов К_ij выносят множитель[20] (-i/ℏ); предпочитают писать

(6.37)

Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов H_ij(t). Члены H_ij — это как раз производные по t₂ от коэффициентов U_ij(t₂, t₁), вычисляемые при t₂=t₁=t,

Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем

(6.38)

Суммируя члены с δ_ij, получаем просто C_i(t), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на Δt мы распознаем в этом производную

или

(6.39)

Вы помните, что С_i(t) — это амплитуда <i|ψ> обнаружить состояние ψ в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов <i|ψ> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меняется состояние ψ, раз мы описываем ψ через амплитуды < i|ψ>. Изменение ψ со временем описывается через матрицу Н_ij, которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу H_ij, которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.

(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокупность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользоваться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)

§ 5. Гамильтонова матрица

Идея, стало быть, заключается в том, что для квантовомеханического описания мира нужно выбрать совокупность базисных состояний i и написать физические законы, задавая матрицу коэффициентов Н_ij. Тогда у нас будет все, что нужно, — мы сможем отвечать на любой вопрос о том, что случится. Нам остается выучить правила, по которым находят Н в соответствии с данной физической обстановкой: какое Н отвечает магнитному полю, какое электрическому и т. д. Это самая трудная часть дела. К примеру, для новых странных частиц мы совершенно не представляем, какие Н_ij употреблять. Иными словами, никто не знает полного H_ij для всего мира. (Частично трудность заключается в том, что едва ли можно надеяться на открытие Н_ij, раз никому не известно, каковы базисные состояния!) Мы действительно владеем превосходными приближениями для нерелятивистских явлений и некоторых других особых случаев. В частности, мы знаем вид Н_ij, требуемый для движений электронов в атомах — для описания химии. Но мы не знаем полного, истинного Н для всей Вселенной.

Коэффициенты H_ij называют гамильтоновой матрицей, или, короче, просто гамильтонианом. (Как получилось, что Гамильтон, работавший в 30-х годах прошлого века, дал свое имя квантовомеханической матрице, — история длинная.) Много лучше было бы называть ее энергетической матрицей по причинам, которые станут ясны, когда мы поработаем с ней. Итак, все сошлось на гамильтониане. Как узнать гамильтониан — вот в чем вопрос!

У гамильтониана есть одно свойство, которое выводится сразу же:

(6.40)

Это следует из того, что полная вероятность пребывания системы хоть в каком-то состоянии не должна меняться. Если вначале у вас была частица (или любой объект, или весь мир), то с течением времени она пропасть не может. Полная вероятность ее где-то найти равна

что не должно меняться со временем. Если это обязано выполняться для любого начального условия φ, то уравнение (6.40) тоже должно соблюдаться.

В качестве первого примера возьмем случай, когда физические условия не меняются со временем; мы имеем в виду внешние физические условия, так что Н не зависит от времени, никаких магнитов никто не включает и не выключает. Выберем также систему, для описания которой хватает одного базисного состояния; такое приближение годится для покоящегося атома водорода и сходных систем. Уравнение (6.39) тогда утверждает, что

(6.41)

Только одно уравнение — и все! Если Н₁₁ постоянно, это дифференциальное уравнение легко решается, давая

(6.42)

Так зависит от времени состояние с определенной энергией Е=Н₁₁. Вы видите, почему Н_ij следовало бы называть энергетической матрицей: она обобщает понятие энергии на более сложные случаи.

Вслед за этим, чтобы еще лучше разобраться в смысле уравнений, рассмотрим систему с двумя базисными состояниями.

Тогда (6.39) читается так:

(6.43)

Если все Н опять не зависят от времени, то эти уравнения легко решить. Для интереса займитесь этим сами, а мы позже еще вернемся к ним. Вот вы уже и можете вести расчеты по квантовой механике, зная об Н только то, что оно не зависит от времени!

§ 6. Молекула аммиака

Теперь мы хотим продемонстрировать, как динамическое уравнение квантовой механики может быть использовано для описания какой-то физической обстановки. Мы выбрали интересный и простой пример, в котором, сделав некоторые разумные предположения о гамильтониане, сможем вывести кое-какие важные (и даже практически важные) результаты. Возьмем случай, когда достаточно двух состояний, — это молекула аммиака.

Молекулу аммиака образуют один атом азота и три атома водорода, плоскость которых проходит мимо атома азота, так что молекула имеет форму пирамидки (фиг. 6.1, а).

Фиг. 6.I. Два равноценных геометрических расположения молекулы аммиака.

Эта молекула, как и всякая другая, обладает бесконечным количеством состояний. Она может вращаться вокруг какой угодно оси; двигаться в любом направлении, вибрировать и т. д. и т. п. Значит, это вовсе не система с двумя состояниями. Но мы сделаем следующее приближение: предположим, что все прочие степени свободы закреплены и не связаны с теми, которые нас сейчас интересуют. Будем считать, что молекула может только вращаться вокруг оси симметрии (как показано на рисунке), что импульс ее переносного движения равен нулю и что ее колебания очень слабы. Это фиксирует все условия, кроме одного: для атома азота все еще существуют два возможных положения — он может оказаться по одну сторону плоскости атомов водорода, а может оказаться и по другую (фиг. 6.1). Так что мы будем рассуждать о молекуле, как если бы она была системой с двумя состояниями. Под этим подразумевается, что существуют только два состояния, о которых реально следует заботиться, все же прочее предполагается зафиксированным. Как видите, если даже известно, что молекула вращается вокруг оси с определенным моментом количества движения и что она движется с определенным импульсом и колеблется определенным образом, то все равно еще остаются два допустимых состояния. Будем говорить, что молекула находится в состоянии |1>, когда азот «вверху» (фиг. 6.1, а) и в состоянии |2>, когда азот «внизу» (фиг. 6.1, б). Состояния |1> и |2> в нашем анализе поведения молекулы аммиака можно принять за совокупность базисных состояний В каждый момент истинное состояние |ψ> молекулы может быть представлено заданием C₁=<1|ψ> — амплитуды пребывания в состоянии |1> и С₂=<2|ψ> — амплитуды пребывания в состоянии |2>. Тогда, используя (6.8), вектор состояния |ψ> можно записать так:

или

(6.44)

Но вот что интересно: если известно, что молекула в определенный момент была в определенном состоянии, то в следующий момент она может уже не быть в том же состоянии. Два С-коэффициента меняются со временем в соответствии с уравнениями (6.43), которые верны для любой системы с двумя состояниями. Предположим, к примеру, что вы сделали какое-то наблюдение (или как-то отобрали молекулы), так что знаете, что первоначально молекула находилась в состоянии |1>. Чуть позже уже появляются некоторые шансы засечь ее в состоянии |2>. Чтобы узнать, сколь велики эти шансы, нужно решить дифференциальное уравнение, которое говорит, как амплитуды меняются со временем.

Единственная трудность в том, что мы не знаем, что ставить вместо коэффициентов Н_ij в (6.43). Но кое-что мы все же можем сказать. Предположим, что, если уж молекула оказалась в состоянии |1>, тогда у нее не будет никакого шанса когда-либо попасть в состояние |2>. И наоборот. Тогда H₁₂ и H₂₁ будут оба равны нулю, и (6.43) примет вид

Эти уравнения легко решить; получается

(6.45)

Это просто амплитуды стационарных состояний с энергиями E₁=H₁₁ и E₂=H₂₂. Еще мы знаем, что у молекулы аммиака состояния |1> и |2> обладают определенной симметрией. Если природа ведет себя более или менее разумно, то матричные элементы Н₁₁ и H₂₂ должны равняться друг другу. Мы обозначим их через Е₀, потому что они соответствуют энергии, которой обладали бы состояния, будь H₁₂ и H₂₁ равны нулю.

Но (6.45) не отражает того, что на самом деле бывает с аммиаком. Оказывается, что аммиак имеет возможность протолкнуть свой азот мимо трех водородов и перебросить его по ту сторону. Это очень трудно: чтобы азоту пройти полпути, нужна немалая энергия. Как же он может пройти на другую сторону, если он не располагает достаточной энергией? Просто имеется некоторая амплитуда того, что он проникнет сквозь энергетический барьер. В квантовой механике разрешается быстро проскакивать через энергетически нелегальную область. Стало быть, существует небольшая амплитуда того, что молекула, начав с состояния |1>, перейдет в состояние |2>. Коэффициенты Н₁₂ и Н₂₁ на самом деле не равны нулю. И опять из симметрии ясно, что они должны быть одинаковы, по крайней мере по величине. И действительно, мы уже знаем, что вообще Н_ij равняется комплексно сопряженной величине Н_ji, т. е. они могут отличаться только фазой. Оказывается, как вы потом увидите, что без потери общности можно положить эти коэффициенты равными друг другу. Позднее нам будет удобнее считать их равными отрицательному числу; мы примем поэтому H₁₂=H₂₁=-А. Тогда получится следующая пара уравнений:

(6.46)

(6.47)

Эти уравнения достаточно просты и могут быть решены разным путем. Удобно решать их так. Складывая их, получаем

с решением

(6.48)

Вычитая затем (6.47) из (6.46), получаем

что дает

(6.49)

Две постоянные интегрирования мы обозначили а и b; их надо выбрать так, чтобы получились подходящие начальные условия данной физической задачи. Наконец, складывая и вычитая (6.48) и (6.49), получаем C₁ и С₂:

(6.50)

(6.51)

Они отличаются только знаком при втором слагаемом.

Решения-то мы получили, но что они значат? (В квантовой механике трудность не только в том, чтобы получить решения, но и в том, чтобы разобраться в их смысле!) Заметьте, что при b=0 оба решения обладают одинаковой частотой ω=(E₀-A)/ℏ. Если все меняется с одной частотой, это значит, что система пребывает в состоянии с определенной энергией, в данном случае с энергией (Е₀-А). Значит, существует стационарное состояние с такой энергией; в нем обе амплитуды С₁ и C₂ равны друг другу. Мы приходим к выводу, что молекула аммиака обладает определенной энергией (Е₀-А), если для атома азота одинакова амплитуда оказаться «вверху» и «внизу».

Имеется другое допустимое стационарное состояние, когда а=0; тогда обе амплитуды обладают частотой (E₀+A)/ℏ. Значит, имеется другое состояние с определенной энергией (Е₀+А), когда две амплитуды равны, но отличаются знаком: C₂=-C₁. Вот и все состояния с определенной энергией. В следующей главе мы поговорим о состояниях молекулы аммиака подробнее; здесь же мы отметим еще только некоторые особенности.

Мы приходим к заключению, что из-за того, что имеется некоторая вероятность перескока атома азота из одного положения в другое, энергия молекулы равна не просто Е₀, как можно было ожидать, но обладает двумя энергетическими уровнями (Е₀+А) и (Е₀-А). Каждое из возможных состояний молекулы, какую бы энергию оно ни имело, «расщепляется» на два уровня. Мы говорим «каждое из состояний», потому что, как вы помните, мы выбрали какое-то определенное состояние вращения с определенной внутренней энергией и т. д. И для каждых мыслимых условий подобного рода возникает (из-за возможности переворота молекулы) пара энергетических уровней.

Теперь поставим следующий вопрос. Пусть мы знаем, что при t=0 молекула находится в состоянии |1>, т. е. что С₁(0)=1 и С₂(0)=0. Какова вероятность того, что молекула будет обнаружена в момент t в состоянии |2> или же что она окажется в этот момент в состоянии |1>? Наши начальные условия говорят нам, какими должны быть а и b в (6.50) и (6.51). Полагая t=0, имеем

Значит, а=b=1. Подставляя их в формулы для С₁(t) и С₂(t) и вынося общий множитель, получаем

Это можно переписать так:

(6.52)

(6.53)

Величина обеих амплитуд гармонически изменяется во времени.

Вероятность того, что молекула будет обнаружена в состоянии |2> в момент t, равна квадрату модуля C₂(t):

(6.54)

Она, как и следует, начинается с нуля, растет до единицы и затем колеблется вперед и назад между нулем и единицей, как показано на кривой, обозначенной P₂, на фиг. 6.2.

Фиг. 6.2. P₁— вероятность того, что молекула аммиака, находившаяся при t=0 в состоянии |1>, будет обнаружена в момент t тоже в состоянии |1>; Р₂— вероятность того, что она будет обнаружена в состоянии |2>.

Вероятность остаться в состоянии |1> тоже, конечно, не остается равной единице. Она «перекачивается» во второе состояние до тех пор, пока вероятность увидать молекулу в первом состоянии не обратится в нуль, как показано на кривой Р₁ фиг. 6.2. Вероятность попросту переливается туда и обратно между этими двумя состояниями.

Еще раньше мы видели, что бывает, если качаются два одинаковых маятника, слегка связанные друг с другом [см. гл.49 (вып.4)]. Когда мы отводим в сторону один из них и отпускаем, он колеблется, но затем постепенно начинает колебаться другой и вскоре забирает себе всю энергию. Затем процесс обращается, и энергию отбирает первый маятник. В точности то же самое происходит и здесь. Скорость, с какой происходит обмен энергией (быстрота просачивания «колебаний»), зависит от связи между маятниками. Кроме того, как вы помните, при двух маятниках существуют два определенных типа движений (каждый с определенной частотой), которые мы назвали фундаментальными типами колебаний. Если отклонить оба маятника вместе, они колеблются с одной частотой. Если же отклонить один в одну сторону, а другой — в другую, то появляется иной стационарный тип колебаний и тоже с определенной частотой. С тем же мы встретились и сейчас — молекула аммиака математически походит на пару маятников. Существуют две частоты (E₀+A)/ℏ и (Е₀-A)/ℏ, при которых они колеблются либо разом, либо навстречу друг другу.

Сходство с маятником ненамного глубже принципа, что у одинаковых уравнений и решения одинаковы. Линейные уравнения для амплитуд (6.39) очень похожи на линейные уравнения для гармонических осцилляторов. (В действительности именно этой причине обязана успехом наша классическая теория показателя преломления, в которой квантовомеханический атом мы заменяли гармоническим осциллятором, хотя классически неразумно говорить об электронах, циркулирующих вокруг ядра.) Толкнув атом азота в одну сторону, вы получите суперпозицию этих двух колебаний и тем самым своеобразные биения, потому что система не будет находиться в том или ином состоянии с определенной частотой. Однако расщепление уровней энергии молекулы аммиака — это строго квантовомеханический эффект.

Расщепление уровней энергии молекулы аммиака имеет важные практические применения, которые мы опишем в следующей главе. Наконец-то у нас будет пример практической физической задачи, которую мы сможем понять при помощи квантовой механики!

§ 1. Состояния молекулы аммиака

В этой главе мы хотим обсудить применение квантовой механики в одном практическом устройстве — в аммиачном мазере. Вас может удивить, отчего это мы бросаем на полпути наше изложение формального аппарата квантовой механики и обращаемся к частной задаче. Но позже вы увидите, что многие черты этой частной задачи сплошь и рядом встречаются и в общей теории квантовой механики, так что детальное изучение задачи многому нас научит. Аммиачный мазер — это устройство для генерирования электромагнитных волн. Его действие основано на свойствах молекулы аммиака, о которых вкратце говорилось в предыдущей главе. Поэтому сначала мы подведем итоги тому, что нам уже известно.

Молекула аммиака имеет много состояний. Но мы будем считать ее системой с двумя состояниями (двухуровневой); сейчас нас интересует лишь то, что бывает, когда молекула находится в любом заданном состоянии вращения или поступательного движения. Физическую модель этих двух состояний можно наглядно представить себе следующим образом. Если вращать молекулу аммиака вокруг оси, проведенной через атом азота перпендикулярно плоскости атомов водорода, как показано на фиг. 7.1, мы обнаружим, что существуют два сорта состояний, которые не переходят друг в друга при таких поворотах и отличаются положением атома азота.

Фиг. 7.1. Физическая модель двух базисных состояний молекулы аммиака. Электрические дипольные моменты этих состояний равны μ.

Азот может быть либо по одну сторону плоскости атомов водорода, либо по другую. Эти два состояния мы обозначаем |1> и |2>. Их мы выберем в качестве совокупности базисных состояний в нашем анализе поведения молекулы аммиака.

В системе с двумя базисными состояниями любое состояние |ψ> системы всегда может быть описано линейной комбинацией двух базисных состояний; это значит, что существует определенная амплитуда С₁ быть в одном базисном состоянии и амплитуда С₂ быть в другом. Вектор состояния |ψ> можно записать в виде

(7.1)

где

Эта пара амплитуд меняется со временем согласно нашим гамильтоновым уравнениям — уравнениям (6.43). Используя симметрию двух состояний молекулы аммиака, мы полагаем H₁₁=H₂₂=E₀ и H₁₂=H₂₁=-А и получаем такое решение [см. (6.50) и (6.51)]:

(7.2)

(7.3)

Кинем теперь на эти решения более внимательный взгляд. Пусть сперва молекула была поставлена в состояние |ψ_II>, для которого коэффициент b был равен нулю. Тогда при t=0 амплитуды оказаться в состояниях |1> и |2> одинаковы и останутся такими все время. Их фазы обе меняются во времени одинаково, с частотой (E₀-A)/ℏ. И точно так же, если бы мы поставили молекулу в состояние |ψ₁>, для которого а=0, амплитуда C₂ равнялась бы C₁ с минусом, и это соотношение сохранилось бы навсегда — обе амплитуды менялись бы теперь во времени с частотой (E₀+A)/ℏ. Это все состояния, для которых связь между С₁ и С₂ не зависит от времени; других возможностей нет.

Мы нашли два частных решения, в которых амплитуды не меняются по величине и, более того, фазы меняются с одинаковой частотой. Это стационарные состояния по определению, данному в гл. 5, § 1, т. е. состояния с определенной энергией. Состояние |ψ_II> обладает энергией Е_II=Е₀-А, а состояние |ψ₁> — энергией E_I=E₀+A. Кроме этих, никаких стационарных состояний не существует, т. е. мы обнаруживаем, что у молекулы есть два уровня энергии, отличающиеся на 2А. (Подразумеваются, конечно, два уровня энергии для заданного состояния колебания и вращения, о которых говорилось в наших исходных допущениях.)[21]

Если бы азот не мог перескакивать вверх или вниз, нам пришлось бы принять А равным нулю, и оба энергетических уровня (с энергией Е₀) налезли бы один на другой. Истинные уровни не таковы; их среднее значение Е₀, но они разведены на ±А, т. е. промежуток между энергиями двух состояний равен 2А. Поскольку А на самом деле мало, то и разница в энергиях очень мала.

Чтобы возбудить электрон внутри атома, требуются довольно высокие энергии, нужны фотоны оптического или ультрафиолетового диапазона. Чтобы возбудить вибрации молекул, требуются инфракрасные фотоны. Если речь идет о возбуждении вращений, различия в энергиях состояний соответствуют фотонам в далекой инфракрасной области. Но разность энергий 2А меньше их всех, меньше инфракрасных энергий, она приходится на микроволновой диапазон. Опытным путем было найдено, что существует пара уровней энергии с промежутком 10^-4 эв, что отвечает частоте 24000 Мгц. Это, очевидно, означает, что 2A=hf, где f=24000 Мгц (отвечает волне длиной 1¹/₄ см). Значит, перед нами молекула с переходами, которые вызывают испускание микроволн, а не свет в обычном смысле.

Для дальнейшей работы нам понадобится немного более удобное описание этих двух состояний с определенной энергией. Представим, что мы построили амплитуду С_II из суммы двух чисел C₁ и С₂:

(7.4)

Что бы это могло означать? Очень просто: это амплитуда того, что состояние |Ф> окажется в новом состоянии |II>, в котором амплитуды первоначальных базисных состояний равны между собой. Иначе говоря, когда мы пишем С_II=<II|Ф>, то мы вправе абстрагироваться в уравнении (7.4) от |Ф>, поскольку оно выполняется при любых Ф, и писать

это означает то же самое, что и

(7.5)

Амплитуда того, что состояние |II> окажется в состоянии |1>, равна

а это, конечно, равняется просто единице, поскольку и |1>, и |2> суть базисные состояния. И амплитуда обнаружения состояния |II> в состоянии |2> тоже равна единице, так что у состояния |II> одинаковы амплитуды оказаться в каждом из базисных состояний |1> и |2>.

Но тут всплывает новая трудность. У состояния |II> полная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, то ли в другом получается больше единицы. Но это всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть <II|II>=1. Использовав общее соотношение

полагая, что и Ф, и χ суть состояние II, и суммируя по базисным состояниям |1> и |2>, получаем

Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше определение С_II [см. уравнение (7.4)] и примем

Таким же путем можно построить и амплитуду

или

(7.6)

Эта амплитуда есть проекция состояния |Ф> на новое состояние |I>, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях |1> и |2>. А именно (7.6) означает то же самое, что и

или

(7.7)

откуда следует

Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния |I> и |II> могут быть приняты за новую совокупность базисных состояний, особенно подходящую для описания стационарных состояний молекулы аммиака. Вы помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы:

Мы уже сами сделали так, чтобы было

Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и

Амплитуды С_I=<I|Ф> и С_II=<II|Ф> того, что любое состояние |Ф> окажется в одном из наших новых базисных состояний |I> и |II>, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продифференцируем по t, то убедимся, что

(7.8)

А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим

(7.9)

Если за базисные состояния взять |I> и |II>, то гамильтонова матрица очень проста:

Заметьте, что каждое из уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, § 6, для уравнения системы с одним состоянием. Они дают простую экспоненциальную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии. С ростом времени амплитуды пребывания в каждом из состояний ведут себя независимо.

Найденные нами раньше стационарные состояния |ψ_I> и |ψ_II> тоже являются, конечно, решениями уравнений (7.8) и (7.9). У состояния |ψ_I> (для которого С₁=-С₂)

(7.10)

А у состояния |ψ_II> (для которого С₁=С₂)

(7.11)

Пусть мы теперь умножили (7.10) на вектор состояния |I>; тогда получится

Вспомним, однако, что |I>

Иначе говоря, вектор состояния стационарного состояния |ψ_I> не отличается от вектора состояния базисного состояния |I> ничем, кроме экспоненциального множителя, связанного с энергией состояния. И действительно, при t=0

физическая конфигурация у состояния |I> та же самая, что и у стационарного состояния с энергией Е₀+А. Точно так же для второго стационарного состояния получается

Состояние |II>— это просто стационарное состояние с энергией Е₀-А при t=0. Стало быть, оба наших новых базисных состояния |I> и |II> физически имеют вид состояний с определенной энергией, но с изъятым экспоненциальным временным множителем, так что они могут быть приняты за базисные состояния, не зависящие от времени. (В дальнейшем нам будет удобно не отличать стационарные состояния |ψ_I> и |ψ_II> от их базисных состояний |I> и |II>, ведь различаются они только очевидными временными множителями.)

Подведем итог. Векторы состояний |I> и |II> — это пара базисных векторов, приспособленных для описания состояний молекулы аммиака с определенной энергией. Они связаны с нашими исходными базисными векторами формулами

(7.12)

Амплитуды пребывания в |I> и |II> связаны с С₁ и С₂ формулами

(7.11)

Всякое состояние может быть представлено линейной комбинацией |1> и |2> (с коэффициентами С₁ и С₂) или линейной комбинацией базисных состояний с определенной энергией |I> и |II> (с коэффициентами С_I и С_II). Итак,

или

Вторая формула дает нам амплитуды обнаружить состояние |Ф> в состоянии с энергией Е_I=Е₀+А или в состоянии с энергией Е_II=Е₀-А.

§ 2. Молекула в статическом электрическом поле

Если молекула аммиака находится в любом из двух состояний определенной энергии, а мы приложим к ней возмущение с частотой ω, такой, что ℏω=E_I-Е_II=2А, то система может перейти из нижнего состояния в верхнее. Или она может перейти из верхнего в нижнее и испустить фотон. Но для возбуждения таких переходов у вас должна быть физическая связь с состояниями — возможность возмущать систему. Должен существовать какой-то внешний механизм влияния на состояния, нечто вроде электрического или магнитного поля. В нашем частном случае эти состояния чувствительны к электрическому полю. На очереди, стало быть, у нас теперь проблема поведения молекулы аммиака во внешнем электрическом поле.

Для разбора этого поведения вернемся опять к первоначальной базисной системе |1> и |2> вместо |I> и |II>. Предположим, что имеется электрическое поле, направленное поперек плоскости атомов водорода. Пренебрежем на мгновение возможностью переброса атома азота вверх или вниз и зададим вопрос: верно ли, что энергия этой молекулы в обоих положениях атома азота будет одинаковой? Вообще говоря, нет. Электроны стремятся к тому, чтобы находиться ближе к ядру азота, чем к ядрам водорода, так что водороды оказываются слегка положительно заряженными. Насколько — это зависит от деталей расположения электронов. Каково это распределение, точно представить очень трудно, но, во всяком случае, окончательный результат состоит в том, что у молекулы аммиака есть электрический дипольный момент, как показано на фиг.7.1. С его помощью можно продолжить дальнейший анализ, не интересуясь деталями направлений или величин смещений зарядов. Впрочем, чтобы наши обозначения не отличались от общепринятых, предположим, что электрический дипольный момент равен μ и направлен от атома азота поперек плоскости атомов водорода.

Далее, когда азот перепрыгивает с одной стороны на другую, то центр масс не перемещается, а электрический дипольный момент переворачивается. В результате энергия в электрическом поле ℰ будет зависеть от ориентации молекулы[22]. При сделанном только что допущении потенциальная энергия будет выше тогда, когда атом азота будет удален от плоскости водородов в направлении поля, и ниже, когда он удален в обратную сторону; промежуток между обеими энергиями будет равен 2μℰ.

До этого места мы вынуждены были делать предположения о том, чему равны Е₀ и А, не зная, как подсчитать их. В соответствии со строгой физической теорией обязана существовать возможность вычисления этих констант, если известны положения и движения всех ядер и электронов. Но никто никогда не делал этого. В систему входит десяток электронов и четверка ядер, и задача чересчур сложна. Факт остается фактом: о молекуле этой никто не знает больше того, что знаем мы с вами. И все, что всякий может о ней сказать, — что в электрическом поле энергия двух состояний отличается и разность энергий пропорциональна электрическому полю. Коэффициент пропорциональности мы обозначили 2μ, но его величина должна определяться экспериментально. Можно еще сказать, что молекула имеет амплитуду А перевернуться, но и она должна измеряться экспериментально. Никто не укажет нам точных теоретических значений μ и А, потому что расчеты уж слишком сложны, чтобы честно их проделать.

Для молекулы аммиака в электрическом поле наше описание придется изменить. Если игнорировать амплитуду переброса молекулы из одной конфигурации в другую, то энергии двух состояний |1> и |2> обязаны быть равны (Е₀±μℰ). Следуя процедуре, принятой в предыдущей главе, мы примем

(7.14)

Кроме того, предположим, что при интересующих нас электрических полях сами поля не сказываются заметно на геометрии молекулы и, стало быть, на амплитуде того, что атом азота перепрыгнет из одного положения в другое. Поэтому можно принять, что Н₁₂ и H₂₁ не изменились, т. е.

(7.15)

Теперь с этими новыми значениями Н_ij надо решать гамильтоновы уравнения (6.43). Мы могли бы их решить просто, как делали это прежде, но поскольку нам не раз, видимо, представится случай решать системы с двумя состояниями, то давайте уж решим их раз и навсегда в общем случае произвольного Н_ij, считая только, что со временем оно не меняется.

Мы ищем общее решение пары гамильтоновых уравнений

(7.16)

(7.17)

Это линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Значит, всегда можно найти решения, являющиеся экспоненциальными функциями независимой переменной t. Сперва отыщем решения, в которых С₁ и С₂ одинаково зависят от времени; возьмем пробные функции

Поскольку это решение отвечает состоянию с энергией E=ℏω, то можно прямо написать

(7.18)

(7.19)

где Е пока неизвестна и должна быть определена так, чтобы дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) выполнялись. При подстановке С₁ и С₂ из (7.18) и (7.19) в дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) производные дают просто -iE/ℏ, умноженное на С₁ или C₂, так что слева остается попросту ЕС₁ или ЕС₂. Сокращая общие экспоненциальные множители, получаем

или после перестановки членов

(7.20)

(7.21)

У такой системы однородных алгебраических уравнений ненулевые решения для а₁ и а₂ будут лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при а₁ и а₂, равен нулю, т. е. если

(7.22)

Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a₁ и а₂, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем

(7.23)

а из (7.21)

(7.24)

Приравнивая эти отношения, получаем, что Е должно удовлетворять равенству

То же получилось бы и из (7.22). В любом случае для Е получается квадратное уравнение с двумя решениями:

(7.25)

Энергия E может иметь два значения. Заметьте, что оба они вещественны, потому что Н₁₁ и H₂₂ вещественны, а Н₁₂Н₂₁, равное Н₁₂H₁₂=|H₁₂|², тоже вещественно, да к тому же положительно.

Пользуясь тем же соглашением, что и раньше, обозначим большую энергию E_I, а меньшую Е_II. Имеем

(7.26)

(7.27)

Подставив каждую из этих энергий по отдельности в (7.18) и (7.19), получим амплитуды для двух стационарных состояний (состояний определенной энергии). Если нет каких-либо внешних возмущений, то система, первоначально бывшая в одном из этих состояний, останется в нем навсегда, у нее только фаза будет меняться.

Наши результаты можно проверить на двух частных случаях. Если H₁₂=H₂₁=0, то получается E_I=H₁₁ и E_II=H₂₂. А это бесспорно правильно, потому что тогда уравнения (7.16) и (7.17) не связаны и каждое представляет состояние с энергией H₁₁ и H₂₂. Далее, положив H₁₁=H₂₂=E₀ и H₂₁=H₁₂=-А, придем к найденному выше решению:

В общем случае два решения Е_I и Е_II относятся к двум состояниям; мы их опять можем назвать состояниями

У этих состояний С₁ и С₂ будут даваться уравнениями (7.18) и (7.19), где а₁ и а₂ еще подлежат определению. Их отношение дается либо формулой (7.23), либо (7.24). Они должны также удовлетворять еще одному условию. Если известно, что система находится в одном из стационарных состояний, то сумма вероятностей того, что она окажется в |1> или |2>, должна равняться единице. Следовательно,

(7.28)

или, что то же самое,

(7.29)

Эти условия не определяют а₁ и а₂ однозначно: остается еще произвол в фазе, т. е. в множителе типа е^iδ. Хотя для а можно выписать общие решения[23], но обычно удобнее вычислять их в каждом отдельном случае.

Вернемся теперь к нашему частному примеру молекулы аммиака в электрическом поле. Пользуясь значениями Н₁₁, H₂₂ и Н₁₂ из (7.14) и (7.15), мы получим для энергий двух стационарных состояний выражения

(7.30)

Эти две энергии как функции напряженности ℰ электрического поля изображены на фиг. 7.2.

Фиг. 7.2. Уровни энергии молекулы аммиака в электрическом поле. Кривые построены по формулам (7.30): E=E0±√(A²+μ²ℰ²).

Когда электрическое поле нуль, то энергии, естественно, обращаются в Е₀±А. При наложении электрического поля расщепление уровней растет. Сперва при малых ℰ оно растет медленно, но затем может стать пропорциональным ℰ. (Эта линия — гипербола.) В сверхсильных полях энергии попросту равны

(7.31)

Тот факт, что у азота существует амплитуда переброса вверх — вниз, малосуществен, когда энергии в этих двух положениях сильно отличаются. Это интересный момент, к которому мы позже еще вернемся.

Теперь мы наконец готовы понять действие аммиачного мазера. Идея в следующем. Во-первых, мы находим способ отделения молекул в состоянии |I> от молекул в состоянии |II>[24]. Затем молекулы в высшем энергетическом состоянии |I> пропускаются через полость, у которой резонансная частота равна 24000 Мгц. Молекулы могут оставить свою энергию полости (способ будет изложен позже) и покинуть полость в состоянии |II>. Каждая молекула, совершившая такой переход, передаст полости энергию E=E_I-Е_II. Энергия, отобранная у молекул, проявится в виде электрической энергии полости.

Как же разделить два молекулярных состояния? Один способ такой. Аммиачный газ выпускается тонкой струйкой и проходит через пару щелей, создающих узкий пучок (фиг. 7.3).

Фиг. 7.3. Пучок молекул аммиака может быть разделен электрическим полем, в котором ℰ² обладает градиентом, перпендикулярным пучку.

Затем пучок пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле. Создающие поле электроды изогнуты так, чтобы электрическое поле поперек пучка резко менялось. Тогда квадрат ℰ·ℰ электрического поля будет иметь большой градиент, перпендикулярный пучку. А у молекулы в состоянии |I> энергия с ℰ² растет, значит, эта часть пучка отклонится в область меньших ℰ². Молекула же в состоянии |II>, наоборот, отклонится к области, где ℰ² побольше, потому что ее энергия падает, когда ℰ² растет.

Кстати, при тех электрических полях, которые удается генерировать в лаборатории, энергия μℰ всегда много меньше А. В этом случае корень в уравнении (7.30) приближенно равен

(7.32)

Во всех практических случаях энергетические уровни, стало быть, равны

(7.33)

и

(7.34)

и энергии с ℰ² меняются линейно. Действующая на молекулы сила тогда равна

(7.35)

Энергия в электрическом поле у многих молекул пропорциональна ℰ². Коэффициент — это поляризуемость молекулы. Поляризуемость аммиака необычно высока: у него А в знаменателе очень мало. Стало быть, молекулы аммиака очень чувствительны к электрическому полю.

§ 3. Переходы в поле, зависящем от времени

В аммиачном мазере пучок молекул в состоянии |I> и с энергией Е_I пропускается через резонансную полость, как показано на фиг. 7.4.

Фиг. 7.4. Схематическое изображение аммиачного мазера.

Другой пучок отводится прочь. Внутри полости существует меняющееся во времени электрическое поле, так что нашей очередной задачей явится изучение поведения молекулы в электрическом поле, которое меняется во времени. Это совершенно новый род задач — задача с гамильтонианом, меняющимся во времени. Раз H_ij зависит от ℰ, то и H_ij меняется во времени, и нам надлежит определить поведение системы в этих обстоятельствах.

Для начала выпишем уравнения, которые нужно решить:

(7.36)

Для определенности положим, что электрическое поле меняется синусоидально; тогда можно написать

(7.37)

На самом деле частота ω берется всегда очень близкой к резонансной частоте молекулярного перехода ω₀=2A/ℏ, но пока мы для общности будем считать ω произвольной. Лучший способ решить наши уравнения — это, как и прежде, составить из C₁ и С₂ линейные комбинации. Сложим поэтому оба уравнения, разделим на √2 и вспомним определения С_I и С_II из (7.13). Получим

(7.38)

Вы видите, что это похоже на (7.9), но появился добавочный член от электрического поля. Равным образом, вычитая уравнения (7.36), получаем

(7.39)

Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труднее, чем прежде, потому что ℰ зависит от t; и действительно, при общем ℰ(t) решение не представимо в элементарных функциях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем

(7.40)

Если бы электрического поля не было, то, беря в качестве γ_I и γ_II две комплексные постоянные, мы бы получили правильное решение. Ведь поскольку вероятность быть в состоянии |I> есть квадрат модуля C_I, а вероятность быть в состоянии |II> есть квадрат модуля С_II, то вероятность быть в состоянии |I> или в состоянии |II> равна просто |γ_I|² или |γ_II|². Например, если бы система начинала развиваться из состояния |II> так, что γ_I было бы нулем, а |γ_II|²— единицей, то эти условия сохранились бы навсегда. Молекула из состояния |II> никогда бы не перешла в состояние |I>.

Польза записи решений в форме (7.40) состоит в том, что оно сохраняет свой вид и тогда, когда есть электрическое поле, если только μℰ меньше А, только γ_I и γ_II при этом станут медленно меняющимися функциями времени. «Медленно меняющиеся» означает медленно в сравнении с экспоненциальными функциями. В этом весь фокус. Для получения приближенного решения используется тот факт, что γ_I и γ_II меняются медленно.

Подставим теперь С_I из (7.40) в дифференциальное уравнение (7.39), но вспомним, что γ_I тоже зависит от t. Имеем

Дифференциальное уравнение обращается в

(7.41)

Равным образом уравнение для dC_II/dt обращается в

(7.42)

Обратите теперь внимание, что в обеих частях каждого уравнения имеются одинаковые члены. Сократим их и умножим первое уравнение на exp(+E_It/ℏ), а второе на exp(+E_IIt/ℏ). Вспоминая, что (E_I-E_ii)=2А=ℏω₀, мы в конце концов получаем

(7.43)

Получилась довольно простая пара уравнений — и пока еще точная. Производная от одной переменной есть функция от времени μℰ(t)exp(iω₀t), умноженная на вторую переменную; производная от второй — такая же функция от времени, умноженная на первую. Хотя эти простые уравнения в общем не решаются, но в некоторых частных случаях мы решим их.

Нас, по крайней мере сейчас, интересует только случай колеблющегося электрического поля. Взяв ℰ(t) в форме (7.37), мы увидим, что уравнения для γ_I и γ_II обратятся в

(7.44)

И вот если ℰ₀ достаточно мало, то скорости изменения γ_I и γ_II тоже будут малы. Обе γ не будут сильно меняться с t, особенно в сравнении с быстрыми вариациями, вызываемыми экспоненциальными членами. У этих экспоненциальных членов есть вещественные и мнимые части, которые колеблются с частотой ω+ω₀ или ω-ω₀. Члены с частотой ω+ω₀ колеблются вокруг среднего значения (нуля) очень быстро и поэтому не дадут сильного вклада в скорость изменения γ. Значит, можно сделать весьма разумное приближение, заменив эти члены их средним значением, т. е. нулем. Их просто убирают и в качестве приближения берут

(7.45)

Но даже и оставшиеся члены с показателями, пропорциональными (ω-ω₀), меняются быстро, если только ω не близко к ω₀. Только тогда правая сторона будет меняться достаточно медленно для того, чтобы набежало большое число, пока интегрируешь эти уравнения по t. Иными словами, при слабом электрическом поле изо всех частот представляют важность лишь те, которые близки к ω₀.

При тех приближениях, которые были сделаны для того, чтобы получить (7.45), эти уравнения можно решить и точно; но работа эта все же трудоемкая, и мы отложим ее на другое время, когда обратимся к другой задаче того же типа. Пока же мы их просто решим приближенно, или, лучше сказать, найдем точное решение для случая идеального резонанса ω=ω₀ и приближенное — для частот близ резонанса.

§ 4. Переходы при резонансе

Первым рассмотрим случай идеального резонанса. Если положить ω=ω₀, то экспоненты в обоих уравнениях (7.45) станут равными единице, и мы просто получим

(7.46)

Если из этих уравнений исключить сперва γ_I, а потом γ_II, то мы увидим, что каждое из них удовлетворяет дифференциальному уравнению простого гармонического движения

(7.47)

Общее решение этих уравнений может быть составлено из синусов и косинусов. Легко проверить, что решениями являются следующие выражения:

(7.48)

где а и b — константы, которые надо еще определить так, чтобы они укладывались в ту или иную физическую ситуацию.

К примеру, предположим, что при t=0 наша молекулярная система была в верхнем энергетическом состоянии |I>, а это требует [из уравнения (7.40)], чтобы γ_I=1 и γ_II=0 при t=0. Для такого случая должно быть а=1 и b=0. Вероятность того, что молекула окажется в том же состоянии |I> в какой-то позднейший момент t, равна квадрату модуля γ_I, или

(7.49)

Точно так же и вероятность того, что молекула окажется в состоянии |II>, дается квадратом модуля γ_II:

(7.50)

Пока ℰ мало и пока мы находимся в резонансе, вероятности даются простыми колебательными функциями. Вероятность быть в состоянии |I> падает от единицы до нуля и возрастает опять, а вероятность быть в состоянии |II> растет от нуля до единицы и наоборот. Изменение обеих вероятностей во времени показано на фиг. 7.5.

Фиг. 7.5. Вероятности обоих состояний молекулы аммиака в синусоидальном электрическом поле.

Нечего и говорить, что сумма обеих вероятностей всегда равна единице; ведь молекула всегда находится в каком-то состоянии.

Положим, что прохождение через полость занимает у молекулы время Т. Если сделать полость как раз такой длины, чтобы было μℰ₀Т/ℏ=π/2, то молекула, ныряющая в нее в состоянии |I>, наверняка вынырнет из нее в состоянии |II>. Если она вошла в полость в верхнем состоянии, то выйдет из полости в нижнем. Иными словами, ее энергия упадет, и эта потеря энергии не сможет перейти ни во что другое, а только в механизм, который генерирует поле. Детали, которые помогли бы вам разглядеть, как именно энергией молекулы питаются колебания полости, не так уж просты; однако нам и не нужно все эти детали изучать, потому что имеется принцип сохранения энергии. (Мы могли бы, если бы это было нужно, изучить их, но тогда нам пришлось бы иметь дело с квантовой механикой поля в полости наряду с квантовой механикой атома.)

Подытожим. Молекула входит в полость, поле полости, колеблющееся с как раз нужной частотой, индуцирует переходы с верхнего состояния на нижнее, и высвобождаемой энергией питается осциллирующее поле. В работающий мазер молекулы доставляют достаточно энергии для того, чтобы поддерживались колебания полости, ее хватает не только на то, чтобы возместить потери в полости, но и на то, чтобы небольшие избытки энергии извлекались из полости. Итак, молекулярная энергия превращается в энергию внешнего электромагнитного поля.

Вспомним, что перед входом в полость нам приходилось пользоваться фильтром, который разделял пучок так, что в полость входило только верхнее состояние. Легко показать, что, если бы мы начали с молекул в нижнем состоянии, процесс пошел бы в другую сторону и энергия от полости отбиралась бы. Если пустить в полость нефильтрованный пучок, то сколько молекул будет отбирать энергию от полости, столько же из них будет отдавать ей свою энергию, и в итоге ничего не случится. В настоящем мазере, конечно, не обязательно делать (μℰ₀T/ℏ) точно равным π/2. И при других значениях (кроме точных кратных π) существует какая-то вероятность переходов из состояния |I> в состояние |II>. Но при этих других значениях прибор уже не имеет к. п. д., равного 100%; многие из молекул, покидающие полость, могли бы снабдить ее энергией, но не сделали этого.

На самом деле и скорости молекул неодинаковы; они распределены по Максвеллу. Это означает, что идеальные периоды времени для разных молекул окажутся различными, и невозможно получить к. п. д., равный 100%, сразу для всех молекул. Вдобавок имеется еще одно усложнение, которое, правда, легко принять во внимание, но на этой стадии мы не будем им заниматься. Вы помните, что электрическое поле обычно меняется в полости от места к месту. Когда молекулы дрейфуют вдоль полости, электрическое поле близ молекул меняется как-то очень сложно, сложнее, чем предположенное нами обычное синусоидальное колебание. Ясно, что для точного решения задачи следовало бы воспользоваться более сложными интегрированиями, но общая идея остается прежней.

Можно мазеры устраивать и иначе. Не отделять прибором Штерна—Герлаха атомы в состоянии |I> от атомов в состоянии |II>, а собрать атомы в какой-то полости (в газообразном или твердом виде) и как-то переселить их из состояния |II> в состояние |I>. Один такой способ применяется в так называемом трехуровневом мазере. Для него используются атомные системы с тремя уровнями энергии (фиг. 7.6) и со следующими специальными свойствами.

Фиг. 7.6. Уровни энергии «трехуровневого» мазера.

Система поглощает излучение (скажем, свет) с энергией ℏω₁ и переходит от низшего уровня энергии Е_II к какому-то более высокому уровню Е', а затем быстро испускает фотоны с энергией ℏω₂ и переходит в состояние |I> с энергией Е_I. У состояния |I> большое время жизни, так что его населенность может возрасти; создаются условия, благоприятствующие работе мазера между состояниями |I> и |II>. Хотя такой прибор называют «трехуровневым» мазером, но сама мазерная процедура на самом деле происходит так же, как и у описанной нами двухуровневой системы.

Лазер — это всего-навсего мазер, действующий на световых частотах. «Полость» лазера обычно состоит попросту из двух зеркал, между которыми генерируются стоячие волны.

§ 5. Переходы вне резонанса

Наконец, хотелось бы выяснить, как изменяются состояния в условиях, когда частота полости, хотя и близка к ω₀, но не совпадает с ней. Эту задачу можно было бы решить точно, но мы не будем пытаться это делать, а обратимся к важному случаю малого электрического поля и малого промежутка времени Т, так что μℰ₀T/ℏ много меньше единицы. Тогда даже в случае уже изученного нами идеального резонанса вероятность перехода очень мала. Будем исходить опять из того, что γ_I=1 и γ_II=0. Тогда мы вправе ожидать, что в течение всего времени Т наша величина γ_I останется близкой к единице, а γ_II будет малой по сравнению с единицей, и задача облегчается. Из второго уравнения (7.45) мы можем подсчитать γ_II, принимая γ_I равной единице и интегрируя от t=0 до t=T. Получается

(7.51)

Это та величина γ_II, которая стоит в (7.40), и она дает амплитуду того, что переход из состояния |I> в состояние |II> произойдет за время Т. Вероятность Р(I→II) такого перехода равна |γ_II|², или

(7.52)

Интересно начертить эту вероятность при фиксированном времени T как функцию частоты полости, чтобы посмотреть, насколько чувствительна она к частотам близ резонансной частоты ω₀. Кривая Р(I→II) показана на фиг. 7.7.

Фиг. 7.7. Вероятность перехода для молекулы аммиака как функция частоты.

(Вертикальная шкала была подогнана так, чтобы в пике была единица, для этого разделили на величину вероятности при ω=ω₀.) С подобными кривыми мы встречались в теории дифракции, так что они должны быть вам знакомы. Кривая довольно резко падает до нуля при (ω-ω₀)=2π/T и никогда при больших отклонениях частоты снова не достигает заметной величины. Почти вся площадь под кривой лежит в пределах ±π/T. Можно показать [с помощью формулы _-∞∫^∞(sin²x/x²)dx=π], что площадь под кривой равна 2π/T и совпадает с площадью выделенного штрихованной линией прямоугольника.

Посмотрим, что это дает для реального мазера. Возьмем разумное время пребывания молекулы аммиака в полости, скажем 1 мсек. Тогда для f₀=24000 Мгц можно подсчитать, что вероятность падает до нуля при отклонениях (f-f₀)/f₀=1/f₀T, т. е. порядка 5·10^-8. Очевидно, что для заметных вероятностей перехода частоты должны очень точно совпадать с ω₀. Этот эффект является основой той большой точности, которой можно достичь в «атомных» часах, работающих на принципе мазера.

§ 6. Поглощение света

Наше изложение применимо и к более общему случаю, чем аммиачный мазер. Мы ведь изучали поведение молекулы под влиянием электрического поля независимо от того, заключено оно в полость или нет. Просто можно было направить пучок «света» — микроволновой частоты — на молекулу и искать вероятность испускания или поглощения. Наши уравнения ничуть не хуже применимы и к этому случаю, но только лучше переписать их на языке интенсивности излучения, а не электрического поля. Если определить интенсивность ℐ как средний поток энергии через единицу площади в секунду, то из гл. 27 (вып. 6) следует

(Максимум ℰ равен 2ℰ₀.) Вероятность перехода принимает вид

(7.53)

Обычно свет, освещающий подобную систему, не точно монохроматичен. Поэтому интересно решить еще одну задачу— подсчитать вероятность перехода, когда интенсивность света на единицу интервала частот равна ℐ(ω) и покрывает собой широкую полосу, включающую ω₀. Тогда вероятность перехода от |I> к |II> обратится в интеграл

(7.54)

Как правило, ℐ(ω) меняется с ω медленнее, чем острый резонансный фактор. Эти две функции могут выглядеть так, как показано на фиг. 7.8.

Фиг. 7.8. Спектральная интенсивность ℐ(ω) может быть представлена своим значением при ω₀.

В таких случаях можно заменить ℐ(ω) ее значением ℐ(ω₀) в центре острой резонансной кривой и вынести из-под интеграла. Оставшийся интеграл — это просто площадь под кривой на фиг. 7.7, которая, как известно, равна 2π/Т. Мы приходим к результату

(7.55)

Это очень важный результат: перед нами общая теория поглощения света любой молекулярной или атомной системой. Хотя мы вначале считали, что состояние |I> обладает более высокой энергией, чем состояние |II>, но никакие наши рассуждения от этого не зависели. Уравнение (7.55) соблюдается и тогда, когда энергия состояния |I> ниже энергии состояния |II>; тогда Р(I→II) представляет собой вероятность перехода с поглощением энергии от падающей электромагнитной волны. Поглощение атомной системой света всегда предполагает, что имеется амплитуда для перехода в колеблющемся электрическом поле между состояниями, отличающимися на энергию E=ℏω₀. В каждом отдельном случае она рассчитывается так же, как мы это проделали, и дает выражения наподобие (7.55). Поэтому мы подчеркнем следующие свойства этой формулы. Во-первых, вероятность пропорциональна Т. Иными словами, существует неизменная вероятность на единицу времени, что переход произойдет. Во-вторых, эта вероятность пропорциональна интенсивности света, падающего на систему. В-третьих, вероятность перехода пропорциональна μ², где, как вы помните, μℰ определяет энергетический сдвиг, вызываемый электрическим полем ℰ. По этой именно причине μℰ появлялось и в уравнениях (7.38) и (7.39) в качестве коэффициента связи, ответственного за переход между стационарными состояниями |I> и |II>. Иными словами, для рассматривавшихся нами малых ℰ член μℰ есть так называемое «возмущение» в матричном элементе гамильтониана, связывающем состояния |I> и |II>. В общем случае μℰ заменилось бы матричным элементом <II|H|I> (см. гл. 3, § 6).

В гл. 42, § 5 (вып. 4) мы говорили о связи между поглощением света, вынужденным испусканием и самопроизвольным испусканием в терминах введенных Эйнштейном коэффициентов А и В. Здесь наконец-то в наших руках появляется квантовомеханическая процедура для подсчета этих коэффициентов. То, что мы обозначили Р(I→II) для нашей аммиачной двухуровневой молекулы, в точности соответствует коэффициенту поглощения B_nm в эйнштейновской теории излучения. Из-за сложности молекулы аммиака — слишком трудной для расчета — нам пришлось взять матричный элемент <II|H|I> в виде μℰ и говорить, что μ извлекается из опыта. Для более простых атомных систем величину μ_mn, отвечающую к произвольному переходу, можно подсчитать, исходя из определения

(7.56)

где Н_mn — это матричный элемент гамильтониана, учитывающего влияние слабого электрического поля. Величина μ_mn, вычисленная таким способом, называется электрическим дипольным матричным элементом. Квантовомеханическая теория поглощения и испускания света сводится тем самым к расчету этих матричных элементов для тех или иных атомных систем.

Итак, изучение простых систем с двумя состояниями (двухуровневых) привело нас к пониманию общей проблемы поглощения и испускания света.

§ 1. Молекулярный ион водорода

В предыдущей главе мы обсудили некоторые свойства молекулы аммиака в предположении, что это система о двух состояниях (или двухуровневая система). На самом деле, конечно, это не так — у нее есть множество состояний: вращения, колебания, перемещения и т. д., но в каждом из этих состояний движения следует говорить о паре внутренних состояний из-за того, что атом азота может быть переброшен с одной стороны плоскости трех атомов водорода на другую. Сейчас мы рассмотрим другие примеры систем, которые в том или ином приближении можно будет считать системами с двумя состояниями. Многое здесь будет приближенным, потому что всегда имеется множество других состояний, и в более точном анализе их следовало бы учитывать. Но в каждом из этих примеров мы окажемся в силах очень многое понять, рассуждая только о двух состояниях.

Раз мы будем иметь дело только с двухуровневыми системами, то нужный нам гамильтониан будет выглядеть так же, как и в предыдущей главе. Когда гамильтониан не зависит от времени, то известно, что имеются два стационарных состояния с определенными (и обычно разными) энергиями. В общем случае, однако, мы будем начинать наш анализ с выбора базисных состояний (не обязательно этих стационарных состояний), таких, которые, скажем, имеют другой простой физический смысл. Тогда стационарные состояния системы будут представлены линейной комбинацией этих базисных состояний.

Для удобства подытожим важнейшие уравнения, выведенные в гл. 7. Пусть первоначально в качестве базисных состояний были приняты |1> и |2>. Тогда любое состояние |ψ> представляется их линейной комбинацией:

(8.1)

Амплитуды С_i (под этим подразумеваются как C₁, так и С₂) удовлетворяют двум линейным дифференциальным уравнениям

(8.2)

где и i, и j принимают значения 1 и 2.

Когда члены гамильтониана H_ij не зависят от t, то два состояния с определенной энергией (стационарные), которые мы обозначим

обладают энергиями

(8.3)

Для каждого из этих состояний оба С имеют одинаковую зависимость от времени. Векторы состояний |I> и |II>, которые отвечают стационарным состояниям, связаны с нашими первоначальными базисными состояниями |1> и |2> формулами

(8.4)

Здесь а —комплексные постоянные, удовлетворяющие равенствам

(8.5)

(8.6)

Если H₁₁ и H₂₂ между собой равны, скажем оба равны Е₀, а H₁₂=H₂₁=-А, то E_I=E₀+A, Е_II=Е₀-А, и состояния |I> и |II> особенно просты:

(8.7)

Эти результаты мы хотим теперь использовать, чтобы рассмотреть ряд интересных примеров, взятых из химии и физики. Первый пример — это ион молекулы водорода. Положительно ионизированная молекула водорода состоит из двух протонов и одного электрона, как-то бегающего вокруг них. Каких состояний можно ожидать для этой системы, если расстояние между протонами велико? Ответ вполне ясен: электрон расположится вплотную к одному протону и образует атом водорода в его наинизшем состоянии, а другой протон останется одиночкой, положительным ионом. Значит, когда два протона удалены друг от друга, то можно себе наглядно представить одно физическое состояние, в котором электрон «придан» одному из протонов. Существует, естественно, и другое, симметричное первому состояние, в котором электрон находится возле второго протона, а ионом оказывается первый протон. Эту пару состояний мы и сделаем базисными, обозначив их |1> и |2>. Они показаны на фиг. 8.1.

Фиг. 8.1. Совокупность базисных состояний для двух протонов и электрона.

Конечно, на самом деле у электрона возле протона имеется множество состояний, потому что их комбинация может существовать в виде одного из возбуждённых состояний атома водорода. Но нас сейчас не интересует это разнообразие состояний, мы будем рассматривать лишь случай, когда атом водорода пребывает в наинизшем состоянии — своем основном состоянии, — и пренебрежем на время спином электрона. Мы просто предположим[25], что для всех наших состояний спин электрона направлен вверх по оси z.

Чтобы убрать электрон из атома водорода, требуется 13,6 эв энергии. Столько же энергии — очень много по нашим теперешним масштабам — понадобится и на то, чтобы электрон оказался на полпути между протонами (коль скоро сами протоны сильно удалены друг от друга). Так что по классическим понятиям электрону немыслимо перескочить от одного протона к другому. Однако в квантовой механике это возможно, хоть и не очень вероятно. Существует некая малая амплитуда того, что электрон уйдет от одного протона к другому. Тогда в первом приближении каждое из наших базисных состояний |1> и |2> будет иметь энергию Е₀, равную просто сумме энергий атома водорода и протона. Матричные элементы Н₁₁ и H₂₂ гамильтониана мы можем принять приближенно равными Е₀. Другие матричные элементы Н₁₂ и Н₂₁, представляющие собой амплитуды перехода электрона туда и обратно, мы опять запишем в виде -А.

Вы видите, что это та же игра, в какую мы играли в последних двух главах. Если пренебречь способностью электрона перескакивать туда и обратно, то два состояния будут иметь в точности одинаковую энергию. Эта энергия, однако, расщепляется на два энергетических уровня из-за того, что электрон может переходить туда и назад, и чем больше вероятность перехода, тем больше расщепление. Стало быть, два уровня энергии системы равны Е₀+А и Е₀-А, и состояния, у которых такие энергии, даются уравнениями (8.7).

Из нашего решения мы видим, что если протон и водородный ион как-то расположить близко один к другому, то электрон не останется подле одного протона, а будет перескакивать от протона к протону и обратно. Если вначале он был близ одного из протонов, то затем он начнет колебаться туда и назад между состояниями |1> и |2>, давая решение, меняющееся во времени. Чтобы получить решение, отвечающее самой низкой энергии (которое не меняется со временем), необходимо, чтобы вначале система обладала одинаковыми амплитудами пребывания электрона возле каждого из протонов. Кстати, вспомните, что электронов отнюдь не два; мы совсем не утверждаем, что вокруг каждого протона имеется электрон. Имеется только один электрон, и это он имеет одинаковую амплитуду (1/√2 по величине) быть в том или ином положении.

Дальше, для электрона, который находится близ одного протона, амплитуда А оказаться близ другого зависит от расстояния между протонами. Чем они ближе один к другому, тем больше амплитуда. Вы помните, что в гл. 5 мы говорили об амплитуде «проникновения» электрона «сквозь барьер», на что по классическим канонам он не способен. Здесь то же самое положение дел. Амплитуда того, что электрон переберется к другому протону, спадает с расстоянием примерно по экспоненте (для больших расстояний). Раз вероятность, а следовательно, и значение А при сближении протонов возрастают, то возрастает и расстояние между уровнями энергии. Если система находится в состоянии |I>, то энергия Е₀+А с уменьшением расстояния растет так, что эти квантовомеханические эффекты приводят к силе отталкивания, стремящейся развести протоны. Если же система пребывает в состоянии |II>, то полная энергия при сближении протонов убывает; существует сила притяжения, подтягивающая протоны один к другому. Эти энергии меняются с расстоянием между протонами примерно так, как показано на фиг. 8.2.

Фиг. 8.2. Энергии двух стационарных состояний иона H₂⁺ как функция расстояния между двумя протонами.

Тем самым у нас появляется квантовомеханическое объяснение силы связи, скрепляющей ион H₂⁺.

Однако мы позабыли об одной вещи. В дополнение к только что описанной силе имеется также электростатическая сила взаимного отталкивания двух протонов. Когда оба протона очень удалены друг от друга (как на фиг. 8.1), то «голый» протон видит перед собой только нейтральный атом, так что электростатической силой можно пренебречь. При очень тесных сближениях, однако, «голый» протон оказывается порой «внутри» электронного распределения, т. е. в среднем он ближе к протону, чем к электрону. Появляется некоторая добавочная электростатическая энергия, которая, конечно, положительна. Эта энергия — она тоже зависит от расстояния — должна быть включена в Е₀. Значит, за Е₀ мы должны принять нечто похожее на штриховую кривую на фиг. 8.2; она быстро подымается на расстояниях, меньших, чем радиус атома водорода. Энергию переворота А надо вычесть и прибавить к этому Е₀. Если это сделать, то энергии Е_I и Е_II будут меняться с межпротонным расстоянием D, как показано на фиг. 8.3.

Фиг. 8.3. Уровни энергии иона H₂⁺ как функция межпротонного расстояния D (E_H=13,6 эв).

[На рисунке мы воспроизвели результаты более детальных выкладок. Межпротонное расстояние дано в ангстремах (1Å=10^-8 см), а избыток энергии над протоном плюс водородным ионом дается в единицах энергии связи атома водорода, так называемых «ридбергах» (13,6 эв).] Мы видим, что состояние |II> имеет точку минимума энергии — равновесную конфигурацию (условие наинизшей энергии) для иона Н₂⁺. Энергия в этой точке ниже, чем энергии отдельно протона и отдельно водородного иона, так что система связана. Отдельный электрон действует так, что скрепляет протоны. Химик назвал бы это «одноэлектронной связью».

Этот род химической связи часто также называют «квантовомеханическим резонансом» (по сходству с двумя связанными маятниками, о котором мы уже говорили). Но звучит это таинственнее, чем оно есть на самом деле; это только тогда «резонанс», когда базисные состояния с самого начала неудачно выбраны, как у нас и было! А если выбрать состояние |II>, вы сразу получите наинизшее энергетическое состояние — и все.

Можно и по-иному объяснить, отчего энергия этого состояния должна быть ниже, чем у протона плюс атома водорода. Представим себе электрон возле двух протонов, удаленных на определенное, но не очень большое расстояние. Вы помните, что электрон возле одиночного протона «размазан» из-за принципа неопределенности. Он ищет равновесия, пытаясь раздобыть энергию пониже (низкую кулоновскую потенциальную энергию) и не оказаться при этом сжатым в пространстве чересчур тесно, что привело бы к высокой кинетической энергии (из-за соотношения неопределенности ΔрΔх≈ℏ). Если же протонов два, то будет больше места, где у электрона может быть низкая потенциальная энергия. Он может размазаться (снижая тем самым свою кинетическую энергию), не повышая при этом своей потенциальной энергии. В итоге его энергия ниже, чем в атоме водорода. Тогда почему же у другого состояния |I> энергия выше? Но заметьте, что это состояние есть разность состояний |1> и |2>. Вследствие симметрии |1> и |2> разность должна иметь нулевую амплитуду того, что электрон окажется на полпути между протонами. Это означает, что электрон немного сильнее ограничен в пространстве, что и приводит к большей энергии.

Следует сказать, что наше приближенное рассмотрение иона H₂⁺ как двухуровневой системы рассыпается в прах, едва лишь протоны сблизятся до минимума энергии на кривой фиг. 8.3; тогда больше не получается хорошего значения истинной энергии связи. На малых удалениях энергии двух «состояний» на самом деле уже не равны Е₀; требуется более тонкое квантовомеханическое рассмотрение.

Положим, мы теперь заинтересуемся, что случилось бы, если бы вместо двух протонов у нас были два разных объекта, скажем один протон и один положительный ион лития (причем обе частицы по-прежнему имеют по единичному положительному заряду). В этом случае два члена Н₁₁ и H₂₂ в гамильтониане больше не совпадали бы; они были бы совершенно различны. Если бы оказалось, что разность (H₁₁-H₂₂) по абсолютной величине много больше А=-H₁₂, то сила притяжения стала бы очень слабой. В этом можно убедиться следующим образом.

Если в (8.3) подставить H₁₂H₂₁=A², то мы получим

Когда H₁₁-H₂₂ много больше А², корень довольно точно равен

Тогда энергии обращаются в

(8.8)

Теперь они почти вплотную совпадают с энергиями H₁₁ и H₂₂ изолированных атомов и только чуть-чуть отличаются из-за наличия амплитуды перескока А.

Разность энергий (Е_I-Е_II) равна

Добавка к расстоянию между уровнями из-за переброса электрона уже не равна 2А; она составляет А /(Н₁₁-Н₂₂) — часть этой величины (что по предположению много меньше единицы). Кроме того, сама зависимость Е_I-Е_II от расстояния между ядрами сейчас намного слабее, чем для иона Н⁺₂: в нее тоже входит множитель А/(Н₁₁-Н₂₂). Можно поэтому понять, отчего связь несимметричных двуатомных молекул, как правило, очень слаба.

В нашей теории иона Н⁺₂ мы открыли объяснение механизма, с помощью которого электрон, распределенный между двумя протонами, создает в итоге силу притяжения между ними даже тогда, когда они очень удалены друг от друга. Сила притяжения проистекает от уменьшения энергии системы, вызываемого тем, что у электрона есть возможность прыгать от одного протона к другому. При таких прыжках система переходит от конфигурации атом водорода — протон к конфигурации протон — атом водорода и обратно. Процесс символически можно записать так:

Сдвиг энергии, вызываемый этим процессом, пропорционален амплитуде А того, что электрон с энергией -W_H (его энергия связи в атоме водорода) может от одного протона перейти к другому.

При больших расстояниях R между протонами электростатическая потенциальная энергия электрона близка к нулю почти во всем том пространстве, которое он вынужден преодолеть, делая прыжок. Так что в этом пространстве электрон движется почти как свободная частица в пустом пространстве, но обладая при этом отрицательной энергией! В гл. 1 [уравнение (1.7)] мы видели, что амплитуда для частицы определенной энергии перейти с одного места на другое, удаленное на расстояние r, пропорциональна

где р — импульс, отвечающий заданной энергии. В теперешнем случае (применяется нерелятивистская формула) р определяется из выражения

(8.9)

А это значит, что р —число мнимое:

(другой знак перед корнем приводит к абсурду).

Стало быть, следует ожидать, что амплитуда А для иона Н₂⁺ будет меняться как

(8.10)

при больших расстояниях R между протонами. Сдвиг энергии, вызываемый электронной связью, пропорционален А; значит, существует сила, сближающая два протона, которая пропорциональна (при больших R) производной от (8.10) по R.

Наконец, для полноты следует заметить, что в одноэлектронной системе с двумя протонами есть еще один эффект, который тоже приводит к зависимости энергии от R. Мы пока им пренебрегали, поскольку он обычно не очень важен, за исключением как раз тех больших расстояний, на которых энергия обменного члена А убывает экспоненциально до очень малых величин. Новый эффект, о котором мы говорим, — это электростатическое притяжение протона к атому водорода, возникающее по той же причине, по какой любой заряженный предмет притягивает к себе незаряженный. «Голый» протон создает электрическое поле ℰ (изменяющееся как 1/R²) возле нейтрального атома водорода. Атом становится поляризованным, приобретая наведенный дипольный момент μ, пропорциональный ℰ. Энергия диполя есть μℰ,т. е. пропорциональна ℰ², или 1/R⁴. Значит, в выражении для энергии системы существует член, убывающий как четвертая степень расстояния (это поправка к e₀). Эта энергия спадает с расстоянием медленнее, чем сдвиг А, даваемый формулой (8.10). На каких-то больших расстояниях R член с R⁴ становится важнейшим, определяющим изменение энергии с R, и поэтому единственной оставшейся силой. Заметьте, что электростатический член для обоих базисных состояний имеет один знак (раз сила притягивает, то энергия отрицательна), а потому и для обоих стационарных состояний его знак один и тот же, в то время как член электронного обмена А для двух стационарных состояний дает разные знаки.

§ 2. Ядерные силы

Мы видели, что система, составленная из атома водорода и протона, вследствие обмена одним электроном обладает энергией взаимодействия, которая на больших расстояниях R меняется как

(8.11)

где a=√(2mW_H)/ℏ. (Обычно говорят, что происходит обмен «виртуальным» электроном, когда, как в нашем случае, электрон вынужден перепрыгивать через ту область, где его энергия оказалась бы отрицательной. Конкретнее говоря, «виртуальный обмен» означает, что явление предполагает квантовомеханическую интерференцию между состоянием без обмена и состоянием с обменом.)

А теперь следует задать такой вопрос: не может ли быть, что и силы, действующие между другими частицами, имеют сходное происхождение? Что, к примеру, можно сказать о ядерной силе, действующей между нейтроном и протоном или между двумя протонами? Пытаясь объяснить природу ядерных сил, Юкава предположил, что сила, действующая между двумя нуклонами, вызывается сходным обменным эффектом, только в этом случае из-за виртуального обмена не электроном, а какой-то новой частицей, которую он назвал «мезон». Сегодня мы бы отождествили мезон Юкавы с π-мезоном (или «пионом»), возникающим в высокоэнергетических столкновениях протонов или других частиц.

Посмотрим для примера, какого рода силы возникнут от того, что протон и нейтрон обменяются положительным пионом (π⁺), имеющим массу m_π. Как атом водорода Н⁰ может, отказавшись от электрона е^-, превратиться в протон р⁺

(8.12)

точно так же протон р⁺ может перейти в нейтрон n⁰, отказавшись от π⁺-мезона:

(8.13)

Значит, если у нас есть протон (в точке а) и нейтрон (в точке b), разделенные расстоянием R, то протон может стать нейтроном, испуская π⁺-мезон, который затем поглощается нейтроном в точке b, обращая его в протон. И имеется энергия взаимодействия системы из двух нуклонов и одного пиона, зависящая от амплитуды А пионного обмена, как это было с электронным обменом в ионе Н⁺₂.

В процессе (8.12) энергия атома Н⁰ (если вычислять ее нерелятивистски, опуская энергию поля электрона W_H) меньше энергии протона на величину mc², так что кинетическая энергия электрона отрицательна — или импульс мнимый [см. уравнение (8.9)]. В ядерном процессе (8.13) массы протона и нейтрона почти равны, так что полная энергия π⁺-мезона окажется равной нулю. Соотношение между полной энергией Е и импульсом р пиона с массой m_π таково:

Раз Е равно нулю (или по крайней мере пренебрежимо мало по сравнению с m_π), то импульс опять выходит мнимый:

Повторяя знакомые нам уже рассуждения, с помощью которых мы вычисляли амплитуду того, что связанный электрон проникнет через барьер в пространстве между двумя протонами, мы получаем для ядерного случая амплитуду обмена А, которая — при больших R — будет вести себя как

(8.14)

Энергия взаимодействия пропорциональна А и, значит, меняется таким же образом. Мы получаем изменение энергии в форме так называемого потенциала Юкавы между двумя нуклонами. Кстати, ту же формулу мы получили раньше прямо из дифференциального уравнения для движения пиона в пустом пространстве [см. гл. 28 (вып. 6), уравнение (28.18)].

Следуя той же линии рассуждений, можно попытаться прикинуть взаимодействие двух протонов (или двух нейтронов), происходящее от обмена нейтральными пионами (π⁰). Основной процесс теперь таков:

(8.15)

Протон может испустить виртуальный π⁰, оставаясь после этого все еще протоном. Если протонов два, то протон № 1 может испустить виртуальный π⁰, который поглотится протоном № 2. В конце остается опять пара протонов. Это немного не то, что было в случае иона H₂⁺. Тогда Н⁰ переходил после испускания электрона в другое состояние — в протон. Теперь же мы предполагаем, что протон может испускать π⁰, не меняя своего характера. Такие процессы и впрямь наблюдаются в высокоэнергетических столкновениях. Процесс аналогичен тому, как электрон, испуская фотон, остается все же электроном:

(8.16)

Мы не «видим» фотонов внутри электрона до того, как они испустятся, или после того, как они поглотятся, и их «испускание» не изменяет «природы» электрона.

Вернемся к нашей паре протонов. Между ними существует взаимодействие из-за наличия амплитуды А — амплитуды того, что один из протонов испускает нейтральный пион, который проскакивает (с мнимым импульсом) к другому протону и там поглощается. Амплитуда эта опять пропорциональна (8.14), но m_π— теперь масса нейтрального пиона. Сходные рассуждения приводят к такому же взаимодействию между двумя нейтронами. А раз ядерные силы (в пренебрежении электрическими эффектами), действующие между нейтроном и протоном, между протоном и протоном, между нейтроном и нейтроном, одинаковы, то мы приходим к заключению, что массы заряженного и нейтрального пионов обязаны быть равны между собой. И экспериментально оказывается, что массы действительно очень близки друг к другу, а небольшая разница между ними — это примерно то, что и следует из поправок на собственную энергию [см. гл. 28 (вып. 6)].

Существуют и другие виды частиц, скажем K-мезоны, которыми могут обмениваться два нуклона. Допустим также и одновременный обмен двумя пионами. Но у всех этих прочих обмениваемых «объектов» масса покоя m_x выше массы пиона m_π, что приводит к членам в амплитуде обмена, изменяющимся как

Такие члены с ростом R отмирают быстрее, чем одномезонный член. Сегодня еще никто не знает, как вычислять эти члены с большей массой, но для достаточно высоких значений R выживает только однопионный член. И действительно, те опыты, в которых играет роль только взаимодействие на больших расстояниях, свидетельствуют, что энергия взаимодействия именно такова, как предсказывает теория однопионного обмена.

В классической теории электричества и магнетизма кулоновское электростатическое взаимодействие и излучение света ускоряемым зарядом тесно связаны — оба они вытекают из уравнений Максвелла. Мы видели, что в квантовой теории свет может быть представлен как квантовые возбуждения гармонических колебаний классического электромагнитного поля в ящике. С другой стороны, квантовая теория может быть построена при помощи описания света как частиц — фотонов, подчиняющихся статистике Бозе. В гл. 2, § 5, мы подчеркнули, что обе эти взаимоисключающие точки зрения всегда приводят к одинаковым предсказаниям. Может ли вторая точка зрения быть проведена последовательно и до конца, так чтобы в нее вошли все электромагнитные эффекты? В частности, если мы хотим описать электромагнитное поле полностью на языке бозе-частиц, т. е. фотонов, то чем будет вызвана сила Кулона?

С точки зрения «частиц» кулоновское взаимодействие между двумя электронами вытекает из обмена виртуальными фотонами. Один из электронов испускает фотон [как в реакции (8.16)], который переходит к другому электрону и там поглощается, — та же реакция идет в обратную сторону. Энергия взаимодействия снова дается формулой типа (8.14), но теперь m_π заменяется массой покоя фотона, которая равна нулю. Значит, виртуальный обмен фотоном приводит к энергии взаимодействия, которая меняется просто обратно пропорционально R — расстоянию между электронами — в точности, как нормальная кулоновская потенциальная энергия! В «частичной» (от слова частица) теории электромагнетизма процесс обмена виртуальным фотоном приводит ко всем явлениям электростатики.

§ 3. Молекула водорода

В качестве очередной системы с двумя состояниями рассмотрим нейтральную молекулу водорода Н₂. В ней, естественно, труднее разобраться, потому что там имеются два электрона. Мы опять начнем с рассуждений о том, что происходит, когда оба протона достаточно удалены друг от друга. Но теперь к ним следует добавить еще два электрона. Чтобы удобнее было следить за ними, назовем их «электрон a» и «электрон b». Здесь опять можно себе вообразить два мыслимых состояния. Одна возможность: «электрон а» размазан вокруг первого протона, а «электрон b» — вокруг второго (фиг. 8.4).

Фиг. 8.4. Совокупность базисных состояний для молекулы Н₂.

Получаются попросту два атома водорода. Это состояние назовем |1>. Но есть и другая возможность: вокруг первого протона размазан «электрон b», а вокруг второго — «электрон а». Это состояние обозначим |2>. Из-за симметрии эти две возможности обязаны быть энергетически эквивалентными, но, как мы увидим, энергия системы не есть просто энергия двух атомов водорода.

Нужно заметить, что имеются многие другие возможности. Например, «электрон а» может находиться близ первого протона, а «электрон b» — в другом состоянии вокруг того же протона. Мы не станем рассматривать такой случай, поскольку его энергия заведомо будет больше (из-за сильного кулоновского отталкивания между двумя электронами). Для большей точности, конечно, стоило бы учесть и такие состояния; но уже из рассмотрения одной только пары состояний, показанных на фиг. 8.4, мы узнаем самое главное о молекулярной связи. В этом приближении мы можем описать всякое состояние, задав амплитуду <1|φ> быть в состоянии |1> и амплитуду <2|φ> быть в состоянии |2>. Иными словами, вектор состояния |φ> может быть записан в виде линейной комбинации

Для дальнейшего, как всегда, предположим, что имеется некоторая амплитуда А того, что электроны могут проходить через промежуточное пространство и обмениваться местами. Эта возможность обмена означает, что энергия системы, как мы наблюдали и в других системах с двумя состояниями, расщеплена. Как и у молекулярного иона водорода, расщепление очень мало, когда расстояние между протонами велико. А когда протоны сближаются, возрастает амплитуда переходов электронов туда-сюда, а вместе с ней растет и расщепление. Убывание энергии в нижнем состоянии означает, что имеется сила притяжения, сближающая атомы. И опять, когда протоны сблизятся особенно тесно, уровни энергии поднимутся вследствие кулоновского отталкивания. В итоге энергии двух стационарных состояний будут меняться с расстоянием так, как показано на фиг. 8.5.

Фиг. 8.5. Уровни энергии молекулы Н₂ для различных межпротонных расстояний D (Е_H=13,в эв).

На расстоянии порядка 0,74Å низший энергетический уровень достигает минимума; это и есть расстояние между протонами в настоящей молекуле водорода.

Но у вас уже, вероятно, появилось возражение. А как же быть с тем, что оба электрона — тождественные частицы? Мы их назвали «электрон а» и «электрон b», но на самом-то деле невозможно сказать, кто из них кто. И мы еще говорили в гл. 2, что если за счет обмена электронами (ферми-частицами) имеются два пути, по которым что-то может произойти, то две амплитуды будут интерферировать с отрицательным знаком. Это значит, что если у электронов переставить обозначающие их номера, то знак амплитуды должен перемениться. Однако мы только что пришли к выводу, что связанное состояние молекулы водорода имело бы вид (при t=0)

А согласно нашим правилам, перечисленным в гл. 2, такое состояние недопустимо. Если переставить номера электронов, то мы получим состояние

и знак выйдет тот же, а не обратный.

Эти рассуждения верны, но только тогда, когда спины обоих электронов одинаковы. Если у них обоих спины смотрят вверх (или вниз), то единственно допустимое состояние таково:

Для этого состояния перестановка электронов дает

что, как и положено, равно |I>. Значит, если сблизить два атома водорода так, чтобы их электроны вращались глядя в одну сторону, то они смогут перейти лишь в состояние |I>, но не в состояние |II>. Но заметьте теперь, что состояние |I> — это верхнее энергетическое состояние. Его кривая «энергия—расстояние» не имеет минимума. Два атома водорода всегда будут отталкиваться и не смогут образовать молекулу. Мы заключаем, что молекула водорода, в которой спины электронов параллельны, не способна существовать. И это на самом деле так.

С другой стороны, наше состояние |II> полностью симметрично по двум электронам. Действительно, если переименовать электроны, назвав первый а, а второй b, то мы снова получим в точности то же состояние. В гл. 2, § 7, мы видели, что если две ферми-частицы находятся в одном и том же состоянии, то спины их обязаны быть противоположными. Значит, у связанной молекулы водорода спин одного из электронов должен быть направлен вверх, а спин другого — вниз.

Весь рассказ о молекуле водорода на самом деле будет звучать еще более запутанно, если мы захотим включить в него спины протонов. Тогда уже будет нельзя считать молекулу системой с двумя состояниями. Она скорее должна походить на систему с восемью состояниями — для каждого из наших состояний |1> и |2> возможны четыре различные расстановки спинов, так что, пренебрегая спинами, мы слегка упростили дело. Наши окончательные выводы, однако, все равно верны.

Мы нашли, что в низшем энергетическом состоянии молекулы Н₂ — единственном связанном состоянии — спины двух электронов противоположны друг другу. Полный спиновый момент количества движения электронов равен нулю. Наоборот, два близких атома водорода с параллельными спинами (и, стало быть, с полным моментом количества движения ℏ) должны находиться в высшем (несвязанном) энергетическом состоянии; атомы будут отталкиваться. Налицо интересная корреляция между спинами и энергиями. Она еще раз иллюстрирует то, о чем мы упоминали раньше: что выходит, будто у двух спинов существует энергия «взаимодействия», потому что случай параллельных спинов обладает большей энергией, чем случай спинов антипараллельных. В каком-то смысле можно говорить, что спины стремятся выстроиться в антипараллельное положение и, стремясь к этому, обладают потенциалом к высвобождению энергии не из-за того, что там имеется большая магнитная сила, а из-за принципа запрета.

В § 1 мы видели, что связь двух различных ионов посредством одного электрона чаще всего оказывается весьма слабой. При двухэлектронной связи это не так. Представим, что два протона на фиг. 8.4 мы заменили любой парой ионов (с замкнутыми внутренними электронными оболочками и единичным ионным зарядом) и что энергии связи электрона в этих двух ионах различны. Энергии состояний |1> и |2> по-прежнему будут равны друг другу, потому что в каждом из этих состояний имеется по одному электрону на каждый ион. Поэтому у нас всегда будет расщепление, пропорциональное А. Двухэлектронная связь поистине вездесуща — это самая обычная валентная связь. Химическая связь, как правило, предполагает эту игру в «туда-сюда», в которую играют два электрона. Хотя пара атомов может быть связана только одним электроном, это случается сравнительно редко, потому что требует надлежащих условий.

Наконец, надо заметить, что если энергия притяжения электрона к одному ядру намного больше, чем к другому, то уже нельзя говорить, будто можно игнорировать другие мыслимые состояния. Пусть ядро а (это может быть и положительный ион) притягивает электрон намного сильнее, чем ядро b. Это сильное притяжение может более чем компенсировать взаимное отталкивание двух электронов. И если это так, то низшее энергетическое состояние может обладать большой амплитудой того, что оба электрона окажутся возле а (образуя отрицательный ион), и малой амплитудой того, что хотя бы один из них обнаружится возле b. Состояние выглядит как отрицательный ион рядом с положительным ионом. Именно это и случается в «ионных» молекулах наподобие NaCl. Вы видите, что мыслимы любые градации между ковалентной связью и ионной связью.

Теперь вы ясно видите, что многие химические факты на квантовомеханическом языке удается очень отчетливо понять.

§ 4. Молекула бензола

Для изображения сложных органических молекул химики изобрели изящные диаграммы. Мы хотим теперь поговорить об одной из самых интересных молекул — о молекуле бензола, диаграмма которой приведена на фиг. 8.6.

Фиг. 8.6. Молекула бензола С₆Н₆.

В нее входят по шести весьма симметрично расположенных атомов углерода и водорода. Каждая черточка на диаграмме представляет пару электронов с противоположными спинами, пляшущих танец ковалентной связи. Каждый атом водорода вводит в игру по одному электрону, а каждый атом углерода — по четыре, образуя в общей сложности систему из 30 участвующих в игре электронов. (В углероде ближе к ядру есть еще два электрона, образующих первую, или К, оболочку. Они не показаны, поскольку их связь столь тесна, что сколько-нибудь заметной важности для ковалентной связи они не представляют.) Итак, каждая черточка на рисунке представляет связь, или пару электронов, а двойные связи означают, что между чередующимися парами атомов углерода имеются по две пары электронов.

С молекулой бензола связана одна загадка. Можно подсчитать, какая энергия должна потребоваться на образование этого химического соединения, потому что химики измерили энергии различных соединений, включающих части кольца; к примеру, изучая этилен, они узнали энергию двойной связи и т. д. Поэтому мы можем подсчитать полную энергию, которую должна была бы иметь молекула бензола. Однако истинная энергия бензольного кольца намного меньше, чем получается при таком подсчете: кольцо связано куда крепче, чем полагается обычной системе «ненасыщенных двойных связей». Как правило, система двойных связей, не образующая подобного кольца, весьма легко поддается химическим атакам: ее энергия сравнительно высока, и, добавляя лишние атомы водорода, двойные связи удается легко разрывать. Не то у бензола — кольцо его почти нерушимо: сломать его нелегко. Иными словами, энергия бензола намного ниже, чем дает подсчет по картине двойных связей.

Имеется еще и другая загадка. Пусть мы заменили два смежных водорода атомами брома, образуя орто-дибромбензол. Это можно сделать двумя путями. Атомы брома могут быть на противоположных концах двойной связи (фиг. 8.7, а) или могут быть на противоположных концах одинарной связи (фиг. 8.7, б).

Фиг. 8.7. Две возможности для орто-дибромбензола. Два атома брома могут разделяться либо одиночной связью, либо двойной.

Можно было бы подумать, что должны существовать две разные формы орто-дибромбензола, но это не так. Есть только одно такое вещество[26].

Теперь мы собираемся разрешить эти загадки, и вы, может быть, уже догадались как: конечно, дело в том, что «основное состояние» бензольного кольца на самом деле является системой с двумя состояниями. Можно представить себе, что связи в бензоле могут быть расположены двояким образом, как показано на фиг. 8.8.

Фиг. 8.8. Совокупность базисных состояний для молекулы бензола.

Вы скажете: «Но ведь это одно и то же; у них должна быть одинаковая энергия». Конечно, должна быть. Именно поэтому их и надо анализировать как систему с двумя состояниями. Каждое состояние представляет другую конфигурацию всей совокупности электронов, и существует некоторая амплитуда А того, что все переплетение переключится с одного расположения на другое, есть какой-то шанс, что электроны смогут сменить фигуру в танце.

Как мы видели, эта вероятность переброса приводит к смешанному состоянию, энергия которого ниже, чем получилось бы, если бы мы рассчитали каждую из схем, представленных на фиг. 8.8, по отдельности. Вместо этого существуют два стационарных состояния: одно с энергией выше, другое — ниже ожидаемого значения. Значит, в действительности истинное нормальное состояние бензола (с наинизшей энергией) не есть какая-либо из возможностей, представленных на фиг. 8.8,а обладает амплитудой 1/√2 пребывания в каждом из нарисованных состояний. Это единственное состояние, которое и стоит принимать в расчет в химии бензола при нормальных температурах. Кстати, существует и верхнее состояние; мы вправе так говорить, потому что бензол обладает сильным поглощением света в ультрафиолетовой области с частотой ω=(Е_I -E_II)/ℏ. Вспомните, что в аммиаке, где прыгающим вверх и вниз объектом являлась тройка протонов, расстояние между энергиями приходилось на микроволновую область. В бензоле таким объектом являются электроны, и, поскольку они намного легче, им и перескакивать туда-сюда тоже намного легче, отчего и коэффициент А становится куда больше. В итоге разница энергий намного больше — около 1,5 эв, а это энергия ультрафиолетового фотона[27].

Что же происходит, когда мы присоединяем бром? Тогда опять возникают две возможности с двумя разными электронными конфигурациями, показанные на фиг. 8.7. Отличие их в том, что те два базисных состояния, из которых мы исходим, обладают теперь слегка различными энергиями. В стационарное состояние с наинизшей энергией по-прежнему войдет линейная комбинация двух состояний, но с неравными амплитудами. Для состояния |1> амплитуда может стать равной, скажем, √²/₃, для состояния |2> она будет √¹/₃; чтобы знать коэффициенты точно, нужна добавочная информация, но, во всяком случае, если уж энергии H₁₁ и H₂₂ не равны друг другу, то и амплитуды С₁ и С₂ не могут быть равны между собой. Это, естественно, означает, что одна из двух изображенных на рисунке возможностей более вероятна, чем другая, но все же электроны достаточно подвижны, чтобы и та, и другая обладали какой-то конечной амплитудой. У другого стационарного состояния амплитуды другие (скажем, √¹/₃ и -√²/₃), но оно лежит при более высокой энергии. Есть только одно наинизшее состояние, а не два, как можно было бы подумать, пользуясь наивной теорией закрепленных химических связей.

§ 5. Красители

Приведем еще один химический пример явления, связанного с двумя состояниями, но на этот раз на уровне крупных молекул. Касается это теории красителей. У многих красителей, а именно у большинства искусственных красителей, есть одна общая характеристика — они обладают своего рода симметрией. На фиг. 8.9 изображен ион одного из красителей — фуксина (он дает пурпурный цвет).

Фиг. 8.9. Пара базисных состояний для молекулы красителя фуксин.

В молекуле есть три кольцевые структуры, две из которых — бензольные кольца. Третья не совсем совпадает с бензольным кольцом, потому что внутри кольца в ней только две двойные связи. На рисунке показаны две в равной степени подходящие схемы, и мы догадываемся, что их энергии должны быть равны. Но имеется еще и амплитуда того, что все электроны смогут переброситься из одного состояния в другое, передвинув местоположение «незаполненного» кольца в другой конец. Когда электронов так много, то амплитуда переброса несколько ниже, чем у бензола, и различие в энергиях двух стационарных состояний не так велико. Но тем не менее все равно имеется обычная пара стационарных состояний |I> и |II>, представляющая собой сумму и разность двух базисных состояний, показанных на рисунке. Энергетический промежуток между |I> и |II> оказывается равным энергии фотона в оптической области. Если молекулу осветить, возникает очень сильное поглощение при некоторой частоте и молекула покажется ярко окрашенной. Вот почему она краситель!

Другая интересная черта такой молекулы красителя — в двух изображенных базисных состояниях центры электрического заряда расположены в разных местах. В итоге молекула должна быть сильно подвержена действию внешнего электрического поля. Такой же эффект мы наблюдали в молекуле аммиака. Ясно, что его можно анализировать при помощи той же математики, если только известны числа Е₀ и А. Их, вообще говоря, получают, накапливая опытные данные. Если проделать измерения со многими красителями, то часто можно догадаться, что произойдет с какой-то родственной молекулой красителя. Из-за сильного сдвига местоположения центра электрического заряда значение μ в формуле (7.55) велико, и вещество обладает большой вероятностью поглощения света с характеристической частотой 2A/ℏ. Значит, вещество не просто окрашено, а окрашено очень густо — малое количество вещества поглощает много света.

Скорости переброса (и тем самым А) очень чувствительны ко всей структуре молекулы. Если изменить А, то изменится расщепление энергии и вместе с ним цвет красителя. Кроме того, молекулы не обязаны быть совершенно симметричными. Мы видели, что то же самое основное явление бывает и при небольших видоизменениях — даже когда имеется небольшая асимметрия. Небольшого изменения цвета можно добиваться введением в молекулы легких асимметрий. Так, другой важный краситель, малахитовая зелень, очень похож на фуксин, только у него две из имеющихся молекул водорода замещены на СН₃. Цвет выходит другой, потому что А сдвинуто и скорость переброса электронов изменилась.

§ 6. Гамильтониан частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле

Обратимся теперь еще к одной системе с двумя состояниями. На этот раз нашим объектом будет частица со спином ¹/₂. Кое-что из того, что мы намерены сказать, затрагивалось уже в предыдущих главах, но повторение поможет нам немного прояснить кое-какие темные места. Покоящийся электрон мы можем считать тоже системой с двумя состояниями. Хотя в этом параграфе мы будем толковать об «электроне», но то, что мы выясним, будет справедливо по отношению ко всякой частице со спином ¹/₂.

Предположим, что в качестве наших базисных состояний |1> и |2> мы выбрали состояния, в которых z-компонента спина электрона равна либо +ℏ/2, либо -ℏ/2. Эти состояния, конечно, те же самые состояния (+) и (-), с которыми мы встречались в прежних главах. Чтобы согласовать эти и прежние обозначения, спиновое состояние |1> мы будем отмечать «плюсом», а спиновое состояние |2> — «минусом», причем «плюс» и «минус» относятся к моменту количества движения в направлении z.

Всякое мыслимое состояние |ψ> электрона можно описать уравнением (8.1), задав амплитуду С₁ того, что электрон находится в состоянии |1>, и амплитуду С₂ того, что он находится в состоянии |2>. Для этого нам понадобится гамильтониан нашей системы с двумя состояниями — электрона в магнитном поле. Начнем с частного случая магнитного поля в направлении z.

Пусть вектор В имеет только z-компоненту B_z. Из определения двух базисных состояний (что их спины параллельны и антипараллельны В) мы знаем, что они уже являются стационарными состояниями — состояниями с определенной энергией в магнитном поле. Состояние |1> соответствует энергии[28], равной — μВ_z, а состояние |2> — энергии +μB_z. В этом случае гамильтониан должен быть очень простым, поскольку на С₁ — амплитуду оказаться в состоянии |1> С₂ не влияет и наоборот:

(8.17)

В этом частном случае гамильтониан равен

(8.18)

Итак, мы знаем, какой вид имеет гамильтониан, когда магнитное поле направлено по z, и знаем еще энергии стационарных состояний.

А теперь пусть поле не направлено по z. Каков теперь гамильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по z? Мы сделаем предположение, что для членов гамильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции. Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля налагаются одно на другое, то члены гамильтониана просто складываются: если нам известно H_ij для поля, состоящего из одной только компоненты B_z, и известно Н_ij для одной только В_х, то H_ij для поля с компонентами B_z, B_x получится простым сложением. Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении z: если удвоить B_z, то удвоятся и все Н_ij. Итак, давайте допустим, что Н линейно по полю В. Чтобы найти H_ij для какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно.

Пусть у нас есть постоянное поле В. Мы бы могли провести нашу ось z в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями ±μВ. Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы ±μB, т. е.

(8.19)

Дальше все уже совсем легко. У нас есть формулы для энергий. Нам нужен гамильтониан, линейный по В_х, В_y и B_z, который даст именно такие энергии, если применить нашу общую формулу (8.3). Задача — найти гамильтониан. Прежде всего заметим, что энергия расщепляется симметрично и ее среднее значение есть нуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для этого требуется

(Заметьте, что это подтверждается тем, что нам уже известно при В_x=В_y=0; в этом случае Н₁₁=-μB_z и H₂₂=μB_z.) Если теперь приравнять энергии из (8.3) к тому, что нам известно из (8.19), то получится

(8.20)

(Мы использовали также тот факт, что Н₂₁=Н₁₂^*, так что H₁₂H₂₁ может быть записано в виде |Н₁₂|².) Опять в частном случае поля в направлении z это даст

откуда |H₁₂| в этом частном случае равно нулю, что означает, что в H₁₂ не может войти член с В_z. (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по В_х, В_y и B_z.)

Итак, пока мы узнали, что в Н₁₁ и H₂₂ входят члены с В_z, а в H₁₂ и H₂₁ — нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав

и

(8.21)

Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!

«Погодите, — скажете вы, — H₁₂ по В не линейно. Из (8.21) следует, что H₁₂=μ√(В²_x+В²_y)». Не обязательно. Есть и другая возможность, которая уже линейна, а именно

На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать

где δ — произвольная фаза.

Какой же знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — это вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать е^iδ=-1. Мы можем делать так же и написать

(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выборе фаз, который мы использовали в гл. 4.) Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно, равен

(8.22)

А уравнения для амплитуд С₁ и С₂ таковы:

(8.23)

Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается в том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.23) для решения всевозможных интересных задач.

§ 7. Вращающийся электрон в магнитном поле

Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состояния с энергиями ±μВ_z. Добавим небольшое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, x-компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как cosωt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от +z-состояния к —z-состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, ω₀=2μB_z/ℏ. Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).

Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином ¹/₂. Прибор Штерна—Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.

Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом θ и азимутальным углом φ (фиг. 8.10).

Фиг. 8.10. Направление В определяется полярным углом θ и азимутальным углом φ.

Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С₁ и С₂ для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |ψ>, мы хотим написать

где C₁ и С₂ равны

а |1> и |2> обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).

Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией Е_I=-μВ. Поэтому и C₁ и С₂ должны изменяться как exp(-iE_It/ℏ) [см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а₁ и а₂ даются формулой (8.5):

(8.24)

Вдобавок a₁ и а₂ должны быть нормированы так, чтобы было |a|² +|а₂|²=1. Величины Н₁₁ и H₁₂ мы можем взять из (8.22), используя равенства

Тогда мы имеем

(8.25)

Кстати, скобка во втором уравнении есть просто e^-iφ, так что проще писать

(8.26)

Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -μB, находим

(8.27)

Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а₁, и а₂. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно, что 1-cosθ=2sin²(θ/2) и sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2). Значит, (8.27) совпадает с

(8.28)

Один из ответов, следовательно, таков:

(8.29)

Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию

Вы знаете, что умножение a₁ и а₂ на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e^iφ/2. Принято писать так:

(8.30)

Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а₁ и а₂ — это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (θ,φ). [Амплитуды C₁ и С₂ равны просто a₁ и a₂, умноженным на exp(-iE_It/ℏ).

Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат, разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю. Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином ¹/₂, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином ¹/₂ амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна—Герлаха.

Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если |+z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z', образующей с осью z углы θ и φ, то в обозначениях гл. 3 мы имеем

(8.31)

Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)

Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |ψ>=|1>C₁+|2>С₂. Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>. Значит, С₁ и С₂ меняются только по фазе. Мы знаем, что

и

Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С₁ и С₂ были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т секунд, новые С₁ и С₂ мы получим из прежних умножением соответственно на exp(iμB_zT/ℏ) и exp(-iμB_zT/ℏ). Что это будут за состояния? Узнать это легко, ведь это все равно, что изменить угол φ, вычтя из него 2μB_zT/ℏ, и не трогать угол θ.

Это значит, что к концу интервала времени Т состояние |ψ> будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличающемся от первоначального только поворотом вокруг оси z на угол Δφ=2μB_zT/ℏ. Раз этот угол пропорционален Т, то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси z с угловой скоростью 2μB_z/ℏ. Этот результат мы уже получали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.

Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном поле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это означает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы (H₁₁+H₂₂) было равно нулю (так что H₁₁=-H₂₂). И тогда любая задача о такой системе формально совпадет с задачей об электроне в магнитном поле. Вам нужно будет только отождествить —μB_z с H₁₁, а -μ(В_х-iB_y ) с H₁₂. И неважно, какая физика там была первоначально — молекула ли аммиака или что другое, — вы можете перевести ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях.

А общее решение для электронов у нас есть! Пусть вначале электрон обладает определенным состоянием, в котором спин направлен вверх по некоторому направлению, а магнитное поле В — в какую-то другую сторону. Вращайте просто направление спина вокруг оси В с векторной угловой скоростью ω(t), равной некоторой константе, умноженной на вектор В (а именно ω=2μВ/ℏ). Если В меняется со временем, двигайте по-прежнему ось вращения так, чтобы она оставалась параллельной В, и изменяйте скорость вращения так, чтобы она все время была пропорциональна напряженности В (фиг. 8.11).

Фиг. 8.11. Направление спина электрона в изменяющемся магнитном поле В(t) прецессирует с частomoй ω(t) вокруг оси, параллельной В.

Если все время это делать, вы остановитесь на какой-то конечной ориентации спиновой оси, и амплитуды С₁ и С₂ получатся просто как ее проекции [при помощи (8.30)] на вашу систему координат.

Вы видите, что задача эта чисто геометрическая: надо заметить, где закончились все ваши вращения. Хотя сразу видно, что для этого требуется, но эту геометрическую задачу (отыскание окончательного итога вращений с переменным вектором угловой скорости) нелегко в общем случае решить явно. Во всяком случае, мы в принципе видим общее решение любой задачи для двух состояний. В следующей главе мы глубже исследуем математическую технику обращения с частицами спина ¹/₂ и, следовательно, обращения с системами, обладающими двумя состояниями, в общем случае.

§ 1. Спиновые матрицы Паули

Продолжаем обсуждение свойств двухуровневых систем. В конце предыдущей главы мы говорили о частице со спином ¹/₂ в магнитном поле. Мы описывали спиновое состояние, задавая амплитуду С₁ того, что z-компонента спинового момента количества движения равна +ℏ/2, и амплитуду С₂ того, что она равна -ℏ/2. В предыдущих главах мы эти базисные состояния обозначали |+> и |->. Прибегнем опять к этим обозначениям, хотя, когда это будет удобнее, мы будем менять их на |1> и |2>.

Мы видели в последней главе, что когда частица со спином ¹/₂ и с магнитным моментом μ находится в магнитном поле В=(В_x, В_y, B_z), то амплитуды С₊(=C₁) и С_-(=С₂) связаны следующими дифференциальными уравнениями:

(9.1)

Иначе говоря, матрица-гамильтониан H_ij имеет вид

(9.2)

конечно, уравнения (9.1) совпадают с

(9.3)

где i и j принимают значения + и - (или 1 и 2).

Эта система с двумя состояниями — спин электрона — настолько важна, что очень полезно было бы найти для ее описания способ поаккуратнее и поизящнее. Мы сейчас сделаем небольшое математическое отступление, чтобы показать вам, как обычно пишутся уравнения системы с двумя состояниями. Это делается так: во-первых, заметьте, что каждый член гамильтониана пропорционален μ и некоторой компоненте В; поэтому (чисто формально) можно написать

Здесь нет какой-либо новой физики; эти уравнения просто означают, что коэффициенты σ^x_ij, σ^y_ij, и σ^z_ij — их всего 4×3=12 — могут быть представлены так, что (9.4) совпадет с (9.2).

Посмотрим, почему это так. Начнем с B_z. Раз В_z встречается только в H₁₁ и H₂₂, то все будет в порядке, если взять

Мы часто пишем матрицу H_ij в виде таблички такого рода:

Для гамильтониана частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле В—это все равно что

Точно так же и коэффициенты σ^z_ij можно записать в виде матрицы

(9.5)

Расписывая коэффициенты при В_х, получаем, что элементы матрицы σ_х должны иметь вид

Или сокращенно:

(9.6)

И наконец, глядя на B_y, получаем

или

(9.7)

Если так определить три матрицы сигма, то уравнения (9.1) и (9.4) совпадут. Чтоб оставить место для индексов i и j, мы отметили, какая σ стоит при какой компоненте В, поставив индексы х, у, z сверху. Обычно, однако, i и j отбрасывают (их легко себе и так вообразить), а индексы х, у и z ставят внизу. Тогда (9.4) записывается так:

(9.8)

Матрицы сигма так важны (ими беспрерывно пользуются), что мы выписали их в табл. 9.1. (Тот, кто собирается работать в квантовой физике, обязан запомнить их.) Их еще называют спиновыми матрицами Паули — по имени физика, который их выдумал.

Таблица 9.1. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ

В таблицу мы включили еще одну матрицу 2×2, которая бывает нужна тогда, когда мы хотим рассматривать систему, оба спиновых состояния которой имеют одинаковую энергию, или когда хотим перейти к другой нулевой энергии. В таких случаях к первому уравнению в (9.1) приходится добавлять E₀С₊, а ко второму Е₀С_-. Это можно учесть, введя новое обозначение — единичную матрицу «1», или δ_ij:

(9.9)

переписав (9.8) в виде

(9.10)

Обычно просто понимают без лишних оговорок, что любая константа наподобие Е₀ автоматически умножается на единичную матрицу, и тогда пишут просто

(9.11)

Одна из причин, отчего спиновые матрицы так полезны, — это что любая матрица 2×2 может быть выражена через них. Во всякой матрице стоят четыре числа, скажем

Ее всегда можно записать в виде линейной комбинации четырех матриц. Например,

Это можно делать по-всякому, но, в частности, можно сказать, что М состоит из какого-то количества σ_x плюс какое-то количество σ_y и т. д., и написать

где «количества» α, β, γ и δ в общем случае могут быть комплексными числами.

Раз любая матрица 2×2 может быть выражена через единичную матрицу и матрицу сигма, то все, что может понадобиться для любой системы с двумя состояниями, у нас уже есть. Какой бы ни была система с двумя состояниями — молекула аммиака, краситель фуксин, что угодно, — гамильтоново уравнение может быть переписано в сигмах. Хотя в физическом случае электрона в магнитном поле сигмы кажутся имеющими геометрический смысл, но их можно считать и просто полезными матрицами, пригодными к употреблению во всякой системе с двумя состояниями.

Например, один из способов рассмотрения протона и нейтрона — это представлять их как одну и ту же частицу в любом из двух состояний. Мы говорим, что нуклон (протон или нейтрон) есть система с двумя состояниями, в данном случае состояниями по отношению к электрическому заряду. Если рассматривать нуклон таким образом, то состояние |1> может представлять протон, а |2> — нейтрон. Говорят, что у нуклона есть два состояния «изотопспина».

Поскольку мы будем применять матрицы сигма в качестве «арифметики» квантовой механики систем с двумя состояниями, то наскоро познакомимся с соглашениями матричной алгебры. Под «суммой» двух или большего числа матриц подразумевается как раз то, что имелось в виду в уравнении (9.4).

Вообще если мы «складываем» две матрицы А и В, то «сумма» С означает, что каждый ее элемент C_ij дается формулой

Каждый элемент С есть сумма элементов А и В, стоящих на тех же самых местах.

В гл. 3, § 6, мы уже сталкивались с представлением о матричном «произведении». Та же идея полезна и при обращении с матрицами сигма. В общем случае «произведение» двух матриц A и В (в этом именно порядке) определяется как матрица С с элементами

(9.12)

Это — сумма произведений элементов, взятых попарно из i-й строчки А и k-го столбца В. Если матрицы расписаны в виде таблиц, как на фиг. 9.1, то можно указать удобную «систему» получения элементов матрицы-произведения.

Фиг. 9.1. Перемножение двух матриц.

Скажем, вы вычисляете С₂₃. Вы двигаете левым указательным пальцем по второй строчке А, а правым — вниз по третьему столбцу В, перемножаете каждую пару чисел и складываете пары по мере движения. Мы попытались изобразить это на рисунке.

Для матриц 2×2 это выглядит особенно просто. Например, если σ_х умножается на σ_x, то выходит

т. е. просто единичная матрица. Или, для примера, подсчитаем еще

Взглянув на табл. 9.1, вы видите, что это просто матрица σ_x, умноженная на i. (Вспомните, что умножение матрицы на число означает умножение каждого элемента матрицы на число.) Попарные произведения сигм очень важны и выглядят они довольно забавно, так что мы их выписали в табл. 9.2. Вы сами можете подсчитать их, как мы сделали это с σ_х² и σ_хσ_y.

Таблица 9.2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ СПИНОВЫХ МАТРИЦ

С матрицами σ связан еще один очень интересный и важный момент. Можно, если угодно, представить себе, что три матрицы σ_х, σ_y и σ_z подобны трем компонентам вектора; его иногда именуют «вектором сигма» и обозначают σ. Это на самом деле «матричный вектор», или «векторная матрица». Это три разные матрицы, связанные каждая со своей осью х, у или z. С их помощью гамильтониан системы можно записать в красивом виде, пригодном для любой системы координат:

(9.13)

Хотя мы записали эти три матрицы в представлении, в котором понятия «вверх» и «вниз» относятся к направлению z (так что σ_z выглядит особенно просто), но можно представить себе, как будут они выглядеть в любом другом представлении. И хотя это требует немалых выкладок, можно все же показать, что они изменяются как компоненты вектора. (Мы, впрочем, пока не будем заботиться о том, чтобы доказать это. Проверьте сами, если хотите.) Вы можете пользоваться σ в различных системах координат, как если бы это был вектор.

Вы помните, что гамильтониан Н связан в квантовой механике с энергией. Он действительно в точности совпадает с энергией в том простом случае, когда состояний только одно. Даже в системе с двумя состояниями, какой является спин электрона, если записать гамильтониан в виде (9.13), он очень напоминает классическую формулу энергии магнита с магнитным моментом μ в магнитном поле В. Классически это выглядит так:

(9.14)

где μ — свойство объекта, а В — внешнее поле. Можно вообразить себе, что (9.14) обращается в (9.13), если классическую энергию заменяют гамильтонианом, а классическое μ — матрицей μσ. Тогда после такой чисто формальной замены результат можно будет интерпретировать как матричное уравнение. Иногда утверждают, что каждой величине в классической физике соответствует в квантовой механике матрица. На самом деле правильнее было бы говорить, что матрица Гамильтона соответствует энергии и что у каждой величины, которая может быть определена через энергию, есть соответствующая матрица.

Например, магнитный момент можно определить через энергию, сказав, что энергия во внешнем поле В есть —μ·B. Это определяет вектор магнитного момента μ. Затем мы смотрим на формулу для гамильтониана реального (квантового) объекта в магнитном поле и пытаемся угадать, какие матрицы соответствуют тем или иным величинам в классической формуле. С помощью этого трюка иногда у некоторых классических величин появляются их квантовые двойники.

Если хотите, попробуйте разобраться в том, как, в каком смысле классический вектор равен матрице μσ; может быть, вы что-нибудь и откроете. Но не надо ломать над этим голову. Право же, не стоит: на самом-то деле они не равны. Квантовая механика — это совсем другой тип теории, другой тип представлений о мире. Иногда случается, что всплывают некоторые соответствия, но вряд ли они представляют собой нечто большее, нежели мнемонические средства — правила для запоминания.

Иначе говоря, вы запоминаете (9.14), когда учите классическую физику; затем если вы запомнили соответствие μ→μσ, то у вас есть повод вспомнить (9.13). Разумеется, природа знает квантовую механику, классическая же является всего лишь приближением, значит, нет ничего загадочного в том, что из-за классической механики выглядывают там и сям тени квантовомеханических законов, представляющих на самом деле их подоплеку. Восстановить реальный объект по тени прямым путем никак невозможно, но тень помогает нам вспомнить, как выглядел объект. Уравнение (9.13) — это истина, а уравнение (9.14) — ее тень. Мы сперва учим классическую механику и поэтому нам хочется выводить из нее квантовые формулы, но раз и навсегда установленной схемы для этого нет. Приходится каждый раз возвращаться обратно к реальному миру и открывать правильные квантовомеханические уравнения. И когда они оказываются похожими на что-то классическое, мы радуемся.

Если эти предостережения покажутся вам надоедливыми, если, по-вашему, здесь изрекаются старые истины об отношении классической физики к квантовой, то прошу прощения: сработал условный рефлекс преподавателя, который привык втолковывать квантовую механику студентам, никогда прежде не слыхавшим о спиновых матрицах Паули. Мне всегда казалось, что они не теряют надежды, что квантовая механика как-то сможет быть выведена как логическое следствие классической механики, той самой, которую они старательно учили в прежние годы. (Может быть, они просто хотят обойтись без изучения чего-то нового.) Но, к счастью, вы выучили классическую формулу (9.14) всего несколько месяцев тому назад, да и то с оговорками, что она не совсем правильна, так что, может быть, вы не будете столь неохотно воспринимать необходимость рассматривать квантовую формулу (9.13) в качестве первичной истины.

§ 2. Спиновые матрицы как операторы

Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто употребляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозначений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии |ψ|(t)>, изменяющемся во времени, то можно, как мы это делали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при t+Δt оказалась бы в состоянии |i>:

Матричный элемент <i|U(t, t+Δt)|j> — это амплитуда того, что базисное состояние |j> превратится в базисное состояние |i> за время Δt. Затем мы определяли Н_ij при помощи

и показывали, что амплитуды C_i(t)=<i|ψ(t)> связаны дифференциальными уравнениями

(9.15)

Если амплитуды C_i записать явно, то это же уравнение будет выглядеть по-иному:

(9.16)

Далее, матричные элементы H_ij — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде <i|H|j>; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:

(9.17)

Мы видим, что —iℏ<1|H|j> — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей Н, состояние |j> за время dt «генерирует» состояние |i>. (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, § 4.)

Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» <i|, поскольку (9.17) справедливо при любом |i>, и записать это уравнение просто в виде

(9.18)

Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и j и написать

(9.19)

В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н|j> или в Н|ψ> называется оператором. Отныне на операторы мы будем надевать маленькие шапочки (^), чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать ^H|ψ>. Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности то же самое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Например, уравнение, (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от вектора состояния |ψ> равняется тому, что получается от действия оператора Гамильтона Н на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду <j|ψ> того, что ψ окажется в состоянии j, и просуммированному по всем j». Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на iℏ) от состояния |ψ> равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильтонианом Н на вектор состояния |ψ>». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.

Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состояния |ψ>. Кроме того, левая сторона iℏd/dt — это тоже оператор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на iℏ». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между операторами — операторное уравнение

Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор ^H просто та же операция, что и d/dt. Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.

Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние |ψ> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:

(9.20)

Как же меняется |ψ> во времени? Продифференцируем его:

(9.21)

Но базисные состояния |i> во времени не меняются (по крайней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <i|ψ> — это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) превращается в

(9.22)

Но ведь d<i|ψ>/dt нам известно—это (9.16); получается, следовательно,

А это опять-таки уравнение (9.18).

Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов H_ij просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» <i|Н|j>, можно представлять себе «матрицу» H_ij и можно считать его «оператором» ^H. Все это одно и то же.

Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как В_х и т. д.), то естественно рассматривать и σ^x_ij как амплитуду < i|σ_х|j>, или, для краткости, как оператор ^σ_x. Если применить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |ψ> в магнитном поле можно написать в виде

(9.23)

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, приходится выражать |ψ> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

(9.24)

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы ^σ подействуют на каждое базисное состояние. Напишем ^σ_z|+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим

(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что

(9.25)

Теперь умножим ^σ_z|+> слева на <-|. Получится

т, е.

(9.26)

Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что

(9.27)

Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.

Таблица 9.3. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ^σ

Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под ^σ_x^σ_y|+> надо понимать ^σ_х(^σ_y|+>). Из табл. 9.3 получаем ^σ_y|+>=i|-> так что

(9.28)

Числа (как, например, i) просто проходят сквозь операторы (операторы действуют только на векторы состояний); значит (9.28) перейдет в

Если сделать то же самое с ^σ_x^σ_y|->, то получится

Если взглянуть на табл. 9.3, то видно, что ^σ_х^σ_у, действуя на |+> или |->, даст в точности то же, что получается, если просто подействовать оператором ^σ_z и умножить на — i. Поэтому можно сказать, что операция ^σ_х^σ_y совпадает с операцией i^σ_z, и записать это утверждение в виде операторного уравнения

(9.29)

Убедитесь, что это уравнение совпадает с одним из наших матричных уравнений табл. 9.2. Итак, мы опять видим соответствие между матричной и операторной точкой зрения. Каждое из уравнений в табл. 9.2 может поэтому рассматриваться и как уравнение относительно операторов сигма. Можно проверить, что они действительно следуют из табл. 9.3. Работая с этими вещами, лучше не следить за тем, являются ли величины типа σ или Н операторами или матрицами. Чем их ни считай, уравнения выйдут одни и те же, так что табл. 9.2 можно при желании относить то к операторам сигма, то к матрицам сигма.

§ 3. Решение уравнений для двух состояний

Теперь можно писать наше уравнение двух состояний в различных видах, например:

или вот так:

(9.30)

Оба они означают одно и то же. Для частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле гамильтониан Н дается уравнением (9.8) или (9.13).

Если поле направлено по z, то, как мы уже много раз видели, решение заключается в том, что состояние |ψ>, каким бы оно ни было, прецессирует вокруг оси z (в точности, как если бы взять физическое тело и вращать его как целое вокруг оси z) с угловой скоростью, вдвое большей, чем μB/ℏ. Все это, конечно, относится и к магнитному полю, направленному под другим углом, ведь физика от системы координат не зависит. Если магнитное поле время от времени как-то сложно меняется, то такое положение вещей можно анализировать следующим образом. Пусть вначале спин был в направлении +z, а магнитное поле — в направлении х. Спин начал поворачиваться. Если выключить x-поле, поворот прекратится. Если теперь включить z-поле, спин начнет поворачиваться вокруг z и т. д. Значит, смотря по тому, как меняются поля во времени, вы можете представить себе, каким будет конечное состояние — по какой оси оно будет направлено. Затем можно отнести это состояние к первоначальным |+> и |-> по отношению к z, пользуясь проекционными формулами, полученными в гл. 8 (или в гл. 4). Если в конечном состоянии спин направлен по (θ, φ), то амплитуда того, что спин будет смотреть вверх, равна cos(θ/2)e^-iφ/2, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, равна sin(θ/2)e^+iφ/2. Это решает любую задачу. Таково словесное описание решений дифференциальных уравнений.

Только что описанное решение достаточно общо для того, чтобы справиться с любой системой с двумя состояниями. Возьмем наш пример с молекулой аммиака, на которую действует электрическое поле. Если система описывается на языке состояний |I> и |II>, то уравнения выглядят так:

(9.31)

Вы скажете: «Нет, там, я помню, стояло еще E₀». Неважно, мы просто сдвинули начало отсчета энергий, чтобы Е₀ стало равно нулю. (Это всегда можно сделать, изменив обе амплитуды в одно и то же число раз — в exp(iE₀T/ℏ); так можно избавиться от любой постоянной добавки к энергии.) Одинаковые уравнения обладают одинаковыми решениями, поэтому не стоит решать их вторично. Если взглянуть на эти уравнения и на (9.1), то их можно отождествить между собой следующим образом. Состояние |+> обозначим |I>, состояние |-> обозначим |II>. Это вовсе не значит, что мы выстраиваем аммиак в пространстве в одну линию или что |+> и |-> как-то связаны с осью z. Это все делается чисто искусственно. Имеется искусственное пространство, которое можно было бы назвать, например, «модельным пространством молекулы аммиака» или еще как-нибудь иначе. Это просто трехмерная «диаграмма», и направление «вверх» означает пребывание молекулы в состоянии |I>, а направление «вниз» по фальшивой оси z означает пребывание молекулы в состоянии |II>. Тогда уравнения отождествляются следующим образом.

Прежде всего вы видите, что гамильтониан может быть записан через матрицы сигма:

(9.32)

Если сравнить это с (9.1), то μB_z будет соответствовать -А, а μВ_х будет соответствовать -μℰ. В нашем «модельном» пространстве возникает, стало быть, постоянное поле В, направленное по оси z. Если есть, кроме этого, электрическое поле ℰ, меняющееся со временем, то у поля В появится и пропорционально меняющаяся x-компонента. Таким образом, поведение электрона в магнитном поле с постоянной составляющей в направлении z и колеблющейся составляющей в направлении х математически во всем подобно и точно соответствует поведению молекулы аммиака в осциллирующем электрическом поле. К сожалению, у нас нет времени входить глубже в детали этого соответствия или разбираться в каких-либо технических деталях. Мы только хотели подчеркнуть, что можно сделать так, чтобы все системы с двумя состояниями были аналогичны объекту со спином ¹/₂, прецессирующему в магнитном поле.

§ 4. Состояния поляризации фотона

Есть множество других интересных для изучения систем с двумя состояниями, и первая, о которой мы бы хотели поговорить, — это фотон. Чтобы описать фотон, нужно сначала задать вектор его импульса. У свободного фотона импульс определяет и частоту, так что указывать особо частоту не придется. Но еще остается одно свойство, именуемое поляризацией. Представьте себе фотон, приходящий к вам с определенной монохроматической частотой (которую во всем нашем обсуждении мы будем считать постоянной, так что можно не говорить о множестве состояний импульса).Тогда существуют два направления поляризации. По классической теории свет обладает, например, либо горизонтально колеблющимся электрическим полем, либо вертикально колеблющимся электрическим полем; этот свет двух сортов называют x-поляризованным и y-поляризованным светом. У света может быть и какое-то иное направление поляризации, его можно создать суперпозицией полей в направлении x и в направлении у. Или, взяв х- и y-компоненты со сдвигом фаз в 90°, получить вращающееся электрическое поле — свет будет поляризован эллиптически. [Это краткое напоминание классической теории поляризованного света, которую мы изучали в гл. 33 (вып. 3).]

Пусть теперь у нас есть одиночный фотон, всего один. Уже нет электрического поля, которое можно было бы рассматривать прежним способом. Один-единственный фотон и ничего больше. Но он тоже должен обладать аналогом классического явления поляризации. Значит, должны существовать по крайней мере два разных сорта фотонов. Сперва могло бы показаться, что их должно быть бесконечное множество, ведь, как бы то ни было, электрический вектор может быть направлен в любую сторону. Однако поляризацию фотона можно описать как систему с двумя состояниями. Фотон может быть либо в состоянии |х>, либо в состоянии |у>. Под |х> подразумевается состояние поляризации каждого из фотонов в пучке света, который классически x-поляризован. А |у> означает состояние поляризации каждого из фотонов в y-поляризованном пучке. Эти |х> и |у> вы можете выбрать в качестве базисных состояний фотона с данным направленным на вас импульсом — импульсом в направлении z. Итак, существуют два базисных состояния |x> и |y>, и их вполне хватает, чтобы описать всякий фотон.

К примеру, если у нас есть поляроид, ось которого расположена так, чтобы пропускать свет, поляризованный в направлении, которое мы называем направлением х, и если мы направили туда фотон, который, как нам известно, находится в состоянии |у>, то он поглотится поляроидом. Если послать туда фотон, который, как нам известно, находится в состоянии |х>, он и выйдет в состоянии |x>. Когда мы берем кусок кальцита (исландского шпата), который расщепляет пучок поляризованного света на |x>-пучок и |y>-пучок, то этот кусок кальцита полностью аналогичен прибору Штерна—Герлаха, расщепляющему пучок атомов серебра на два состояния |+> и |->. Значит, все, что мы раньше делали с частицами и приборами Штерна—Герлаха, можно повторить со светом и кусками поляроида. А что можно сказать о свете, который отфильтрован куском поляроида, повернутым на угол θ? Другое ли это состояние? Да, действительно, это другое состояние. Обозначим ось поляроида х', чтобы отличать ее от осей наших базисных состояний (фиг. 9.2).

Фиг. 9.2. Оси координат, перпендикулярные к вектору импульса фотона.

Выходящий наружу фотон будет в состоянии |х'>. Но всякое состояние может быть представлено в виде линейной комбинации базисных состояний, а формула для такой комбинации известна:

(9.33)

Иначе говоря, если фотон пройдет сквозь кусок поляроида, повернутого на угол θ (по отношению к х), он все равно может быть разрешен на |x>- и |y>-пучки (например, куском кальцита). Или, если угодно, вы можете в своем воображении просто разбить его на х- и y-компоненты. Любым путем вы получите амплитуду cosθ быть в |х>-состоянии и амплитуду sinθ быть в |y>-состоянии.

Теперь поставим такой вопрос: пусть фотон поляризован в направлении х' куском поляроида, повернутого на угол θ, и пусть он попадет в другой поляроид, повернутый на угол нуль (фиг. 9.3).

Фиг. 9.3. Две поляроидные пластины с углом θ между плоскостями поляризации.

Что тогда произойдет? С какой вероятностью он пройдет сквозь поляроид? Ответ: Пройдя первый поляроид, фотон наверняка оказывается в состоянии |х'>. Через второй поляроид он протиснется лишь в том случае, если будет в состоянии |x> (и поглотится им, оказавшись в состоянии |у>). Значит, мы спрашиваем, с какой вероятностью фотон окажется в состоянии |x>? Эту вероятность мы получим из квадрата модуля амплитуды , амплитуды того, что фотон в состоянии |х'> находится также и в состоянии |x>. Чему равно <x|x'>? Умножив (9.33) на <x|, получим

Но <x|y>=0; это следует из физики, так должно быть, если |х> и |у> суть базисные состояния, а <x|x>=1. И мы получаем

а вероятность равна cos²θ. Например, если первый поляроид поставлен под углом 30°, то ³/₄ времени фотон будет проходить через него, а ¹/₄ времени будет нагревать поляроид, поглощаясь внутри него.

Посмотрим теперь, что в такой же ситуации происходит с точки зрения классической физики. Там мы имели бы пучок света, электрическое поле которого меняется тем или иным образом, — скажем «неполяризованный» пучок. После того как он прошел бы через первый поляроид, электрическое поле величины ℰ начало бы колебаться в направлении х' ; мы бы начертили его в виде колеблющегося вектора с пиковым значением ℰ₀ на диаграмме фиг. 9.4.

Фиг. 9.4. Классическая картина электрического вектора ℰ.

Если бы затем свет достиг второго поляроида, то через него прошла бы только x-компонента ℰ₀cosθ электрического поля. Интенсивность была бы пропорциональна квадрату поля, т. е. ℰ₀²cos²θ. Значит, проходящая сквозь последний поляроид энергия была бы в cos²θ слабее энергии, поступающей в него.

И классическая, и квантовая картины приводят к одинаковым результатам. Если бы вы бросили на второй поляроид 10 миллиардов фотонов, а средняя вероятность прохождения каждого из них была бы, скажем, ³/₄, то следовало бы ожидать, что сквозь него пройдет ³/₄ от 10 миллиардов. Равным образом и энергия, которую они унесли бы, составила бы ³/₄ той энергии, которую вам хотелось протолкнуть через поляроид. Классическая теория ничего не говорит о статистике этих вещей, она попросту утверждает, что энергия, которая пройдет насквозь, в точности равна ³/₄ той энергии, которая была пущена в поляроид. Это, конечно, немыслимо, если фотон только один. Не бывает ³/₄ фотона. Либо он весь здесь, либо его вовсе нет. И квантовая механика говорит нам, что он бывает весь здесь ³/₄ времени. Связь обеих теорий ясна.

А как же с другими сортами поляризации? Скажем, с правой круговой поляризацией? В классической теории компоненты х и у правой круговой поляризации были равны, но сдвинуты по фазе на 90°. В квантовой теории фотон, поляризованный по кругу вправо («правый»), обладает равными амплитудами быть |х>- и |у>-поляризованным, и эти амплитуды сдвинуты по фазе на 90°. Обозначая состояние «правого» фотона через |П>, а состояние «левого» фотона через |Л>, можно написать [см. гл. 33, § 1 (вып. 3)]

(9.34)

множитель 1/√2 поставлен, чтобы нормировать состояния. С помощью этих состояний можно подсчитывать любые эффекты, связанные с фильтрами или интерференцией, применяя законы квантовой теории. При желании можно также выбрать в качестве базисных состояний |П> и |Л> и все представлять через них. Надо только предварительно убедиться, что <П|Л>=0, а это можно сделать, взяв сопряженный вид первого уравнения [см. (6.13)] и перемножив их друг с другом. Можно раскладывать свет, пользуясь в качестве базиса и х-, и y-поляризациями, и х'-, и y'-поляризациями, а можно—и правой, и левой поляризациями.

Попробуйте (просто для упражнения) обратить наши формулы. Можно ли представить состояние |х> в виде линейной комбинации правого и левого? Да, вот ответ:

(9.35)

Доказательство: сложите и вычтите два уравнения в (9.34). От одного базиса к другому очень легко переходить.

Впрочем, одно замечание надо бы сделать. Если фотон поляризован по правому кругу, он не имеет никакого касательства к осям х и у. Если бы мы взглянули на него из системы координат, повернутой вокруг направления полета на какой-то угол, то свет по-прежнему был бы поляризован по кругу; то же с левой поляризацией. Право- и левополяризованный по кругу свет при любом таком повороте одинаков; определение не зависит от выбора направления х (если не считать того, что направление фотона задано). Великолепно, не так ли? Для определения не нужны никакие оси. Куда лучше, чем х и у! Но, с другой стороны, не чудо ли, что, складывая левое и правое, вы в состоянии узнать, где было направление x? Если «правое» и «левое» никак не зависят от х, как же получается, что мы можем сложить их и вновь получить x? На этот вопрос можно частью ответить, расписав состояние |П'>, представляющее фотон, правополяризованный в системе координат х', у'. В этой системе мы бы написали

Как же будет выглядеть такое состояние в системе х, у? Подставим |х'> из (9.33) и соответствующее |у'>; мы его не выписывали, но оно равно (-sinθ)|x>+(cosθ)|y>. Тогда

Первый множитель — это просто |П>, а второй е^-iθ ; итог таков:

(9.36)

Состояния |П'> и |П> отличаются только фазовым множителем е^-iθ. Если подсчитать такую же вещь для |Л'>, мы получим[30]

(9.37)

Теперь мы видим, что происходит. Сложив |П> и |Л>, мы получаем нечто отличное от того, что получилось бы при сложении |П'> и |Л'>. Скажем, x-поляризованный фотон есть [см. (9.35)] сумма |П> и |Л>, но y-поляризованный фотон — это сумма со сдвигом фазы первого на 90° назад, а второго — на 90° вперед. Это просто то же самое, что получилось бы из суммы |П> и |Л'> при определенном выборе угла θ=90°, и это правильно. В штрихованной системе x-поляризация — это то же самое, что y-поляризация в первоначальной системе. Значит, не совсем верно, что поляризованный по кругу фотон выглядит в любой системе осей одинаково. Его фаза (фазовое соотношение между право- и левополяризованными по кругу состояниями) запоминает направление х.

§ 5. Нейтральный К-мезон[31]

Теперь мы расскажем о двухуровневой системе из мира странных частиц — о системе, для которой квантовая механика приводит к поразительнейшим предсказаниям. Полное описание этой системы потребовало бы от нас таких знаний о странных частицах, каких у нас пока нет, поэтому, к сожалению, кое-какие углы нам придется срезать. Мы лишь вкратце успеем изложить историю того, как было сделано одно открытие, чтобы показать вам, какого типа рассуждения для этого потребовались. Началось это с открытия Гелл-Манном и Нишиджимой понятия странности и нового закона сохранения странности. И вот когда Гелл-Манн и Пайс проанализировали следствия из этих новых представлений, то они пришли к предсказанию замечательнейшего явления, о котором мы и хотим повести речь. Сперва, однако, нужно немного рассказать о «странности».

Начать нужно с того, что называется сильными взаимодействиями ядерных частиц. Существуют взаимодействия, которые ответственны за мощные ядерные силы, в отличие, например, от относительно более слабых электромагнитных взаимодействий. Взаимодействия «сильны» в том смысле, что если две частицы сойдутся так близко, чтобы быть способными взаимодействовать, то взаимодействуют они очень мощно и создают другие частицы очень легко. Ядерные частицы обладают еще так называемым «слабым взаимодействием», в результате которого происходят такие вещи, как бета-распад; но они всегда происходят очень медленно (по ядерным масштабам времени): слабые взаимодействия на много-много порядков величины слабее, чем сильные, и даже слабее, чем электромагнитные.

Когда при помощи больших ускорителей начали изучать сильные взаимодействия, все были поражены, увидев, что некоторые вещи, которые «должны были» произойти (ожидалось, что они произойдут), на самом деле не возникали. К примеру, в некоторых взаимодействиях не появлялась частица определенного сорта, хотя ожидалось, что она появится. Гелл-Манн и Нишиджима заметили, что многие из этих странных случаев можно было объяснить одним махом, изобретя новый закон сохранения: сохранение странности. Они предположили, что существует свойство нового типа, связываемое с каждой частицей, — число, названное ими «странностью», — и что во всяком сильном взаимодействии «количество странности» сохраняется.

Предположим, например, что отрицательный K-мезон высокой энергии, скажем с энергией во много Гэв, сталкивается с протоном. Из их взаимодействия могут произойти много других частиц: π-мезонов, K-мезонов, Λ-частиц, Σ-частиц, — любые из мезонов или барионов, перечисленных в табл. 2.2 (вып. 1). Оказалось, однако, что возникали только определенные комбинации, а другие — никогда.

Про некоторые законы сохранения было известно, что они обязаны соблюдаться. Во-первых, всегда сохранялись энергия и импульс. Полная энергия и импульс после события должны быть такими же, как и перед событием. Во-вторых, существует закон сохранения электрического заряда, утверждающий, что полный заряд выходящих частиц обязан равняться полному заряду, внесенному начальными частицами. В нашем примере столкновения К-мезона и протона действительно происходят такие реакции:

или

(9.38)

И никогда из-за несохранения заряда не идут реакции

(9.39)

Было также известно, что количество барионов сохраняется. Количество выходящих барионов должно быть равно количеству входящих. В этом законе античастица бариона считается за минус один барион. Это значит, что мы можем видеть — и видим — реакции

или

(9.40)

(где ^—p — это антипротон, несущий отрицательный заряд). Но мы никогда не увидим

или

(9.41)

(даже если энергия очень-очень большая), потому что число барионов здесь не сохранялось бы.

Эти законы, однако, не объясняют того странного факта, что нижеследующие реакции, которые с виду не особенно отличаются от кое-каких приведенных в (9.38) или (9.40), тоже никогда не наблюдались:

или

или

(9.42)

Объяснением служит сохранение странности. За каждой частицей следует число — ее странность S, и имеется закон, что в любом сильном взаимодействии полная странность на выходе должна равняться полной странности на входе. Протон и антипротон (p, ^—p), нейтрон и антинейтрон (n, ^—n) и π-мезоны (π⁺, π⁰, π^-) — все имеют странность нуль; у К⁺- и K⁰-мезонов странность равна +1;у К^- и ^—K⁰ (анти-К⁰)[32], у Λ⁰- и Σ-частиц (Σ⁺, Σ⁰, Σ^-) странность равна -1. Существует также частица со странностью -2 (Ξ-частица), а может быть, и другие, пока неизвестные. Перечень этих странностей приведен в табл. 9.4[33].

Таблица 9.4. СТРАННОСТИ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

Посмотрим, как действует сохранение странности в некоторых написанных реакциях. Если мы исходим из К^- и протона, то их суммарная странность равна (-1)+0=-1. Сохранение странности утверждает, что странности продуктов реакции после сложения тоже должны дать -1. Вы видите, что в реакциях (9.38) и (9.40) это действительно так. Но в реакциях (9.42) странность справа во всех случаях есть нуль. В них странность не сохраняется, и они не происходят. Почему? Это никому не известно. Никому не известно что-либо сверх того, что мы только что рассказали. Просто природа так действует — и все.

Давайте теперь взглянем на такую реакцию: π^- попадает в протон. Вы можете, например, получить Λ⁰-частицу плюс нейтральный K-мезон — две нейтральные частицы. Какой же из нейтральных K-мезонов вы получите? Раз у Λ-частицы странность -1, а у π^- и π⁺ странность нуль и поскольку перед нами быстрая реакция рождения, то странность измениться не должна. Вот K-частица и должна обладать странностью +1, —и быть поэтому К⁰. Реакция имеет вид

причем

Если бы здесь вместо К⁰ стояло ^—К⁰, то странность справа была бы -2, чего природа не позволит, ведь слева странность нуль. С другой стороны, ^—К⁰ может возникать в других реакциях:

где

или

где

Вы можете подумать: «Не слишком ли много разговоров. Как узнать, ^—K⁰ это или K⁰? Выглядят-то они одинаково. Они античастицы друг друга, значит, массы их одинаковы, заряды у обеих равны нулю. Как вы их различите?» По реакциям, которые они вызывают. Например, ^—K⁰-мезон может взаимодействовать с веществом, создавая Λ-частицу, скажем, так:

а K⁰-мезон не может. У К⁰ нет способа создать Λ-частицу, взаимодействуя с обычным веществом (протонами и нейтронами)[34]. Значит, экспериментальное отличие между К⁰- и ^—K⁰-мезонами состояло бы в том, что один из них создает Λ-частицу, а другой— нет.

Одно из предсказаний теории странности тогда заключалось бы в следующем: если в опыте с пионами высокой энергии Λ-частица возникает вместе с нейтральным K-мезоном, тогда этот нейтральный K-мезон, попадая в другие массивы вещества, никогда не создаст Λ-частицы. Опыт мог бы протекать таким образом. Вы посылаете пучок π^--мезонов в большую водородную пузырьковую камеру. След π^- исчезает, но где-то в стороне появляется пара следов (протона и π^--мезона), указывающая на то, что распалась Λ-частица[35] (фиг. 9.5). Тогда вы знаете, что где-то есть K⁰-мезон, который вам не виден.

Но вы можете представить, куда он направился, применяя сохранение импульса и энергии. (Он затем иногда раскрывает свое местоположение, распадаясь на пару заряженных частиц, как показано на фиг. 9.5, а.)

Фиг. 9.5. Высокоэнергетические события, наблюдаемые в водородной пузырьковой камере. а — π^--мезон взаимодействует с ядром водорода (протоном), образуя А⁰-частицу и К⁰-мезон; обе частицы распадаются в камере; б — ^—K⁰-мезон взаимодействует с протоном, образуя π^--мезон и А⁰-частицу, которая затем распадается. (Нейтральные частицы не оставляют следа. Предполагаемые их траектории показаны здесь штрихованными линиями.)

Когда К⁰-мезон летит в веществе, он может провзаимодействовать с одним из ядер водорода (протонов), создав при этом, быть может, еще какие-то частицы. Предсказание теории странности состоит в том, что K⁰-мезон никогда не породит Λ-частицу в простой реакции, скажем, такого типа

хотя ^—K⁰-мезон это может сделать. Иначе говоря, в пузырьковой камере ^—K⁰-мезон мог бы вызвать событие, показанное на фиг. 9.5, б, где Λ⁰-частицу из-за распада можно заметить, а К⁰-мезон не смог бы. Это первая часть рассказа. Это и есть сохранение странности.

Странность, впрочем, сохраняется не совсем. Существуют очень медленные распады странных частиц — распады, происходящие за большое время — порядка 10^-10 сек[36], в которых странность не сохраняется. Их называют «слабые» распады. Например, K⁰-мезон распадается на пару π-мезонов (+ и -) со временем жизни 10^-10 сек. Именно так на самом деле впервые были замечены K-частицы. Обратите внимание, что распадная реакция

не сохраняет странности, так что «быстро», путем сильного взаимодействия, она идти не может. Может она идти только через слабый распадный процесс.

Далее, ^—K⁰-мезон также распадается таким же путем (на π⁺ и π^-) и тоже с таким же самым временем жизни:

Здесь опять идет слабый распад, потому что он не сохраняет странности. Существует принцип, по которому для всякой реакции всегда найдется соответствующая реакция, в которой «материя» заменяется «антиматерией» и наоборот. Раз ^—K⁰ — это античастица К⁰, она обязана распадаться на античастицы π⁺ и π^-, но античастица π⁺ есть π^-. (Или, если вам угодно, наоборот. Оказывается, что для π-мезонов неважно, кого из них назовут «материей», их эта материя совсем не интересует.) Итак, как следствие слабых распадов К⁰- и ^—K⁰-мезоны могут превращаться в одинаковые конечные продукты. Если «видеть» их по их распадам (как в пузырьковой камере), то выглядят они, как совершенно одинаковые частицы. Отличаются только их сильные взаимодействия.

Теперь наконец-то мы доросли до того, чтобы описать работу Гелл-Манна и Пайса. Во-первых, они отметили, что раз К⁰ и ^—K⁰ оба могут превращаться в два π-мезонов, то должна также существовать некоторая амплитуда того, что К⁰ может превратиться в К⁰, и такая же амплитуда того, что ^—K⁰ превратится в К⁰. Реакцию можно записать так, как это делают химики:

(9.43)

Из существования таких реакций следует, что есть амплитуда, которую мы обозначим через -i/ℏ<^—K⁰|W|K⁰>, превращения К⁰ в ^—K⁰, обусловленная тем самым слабым взаимодействием, с которым связан распад на два π-мезона. Ясно, что есть и амплитуда обратного процесса <K⁰|W|^—K⁰>. Так как материя и антиматерия ведут себя одинаково, то эти две амплитуды численно равны между собой; мы обозначим их через А:

(9.44)

И вот, сказали Гелл-Манн и Пайс, здесь возникает интересная ситуация. То, что люди назвали двумя разными состояниями мира (К⁰ и ^—K⁰), на самом деле следует рассматривать как одну систему с двумя состояниями, потому что имеется амплитуда перехода из одного состояния в другое. Для полноты рассуждений следовало бы, конечно, рассмотреть не два состояния, а больше, потому что существуют еще состояния 2π и т. д.; но поскольку наши физики интересовались главным образом связью К⁰ с ^—K⁰, то они не захотели усложнять положения и представили его приближенно в виде системы с двумя состояниями. Другие состояния были учтены в той мере, в какой их влияние неявно скажется на амплитудах (9.44).

В соответствии с этим Гелл-Манн и Пайс анализировали нейтральную частицу как систему с двумя состояниями. Начали они с того, что выбрали состояния |К⁰> и |^—K⁰> за базисные состояния. (С этого места весь рассказ становится очень похожим на то, что было для молекулы аммиака.) Всякое состояние |ψ> нейтрального K-мезона можно тогда описать, задав амплитуды того, что оно окажется в одном из базисных состояний. Обозначим эти амплитуды

(9.45)

Следующим шагом мы должны написать уравнение Гамильтона для такой системы с двумя состояниями. Если бы К⁰ и ^—K⁰ не были бы связаны между собой, то уравнения выглядели бы просто

(9.46)

Однако есть еще амплитуда <^—K⁰|W|K⁰> перехода К⁰ в ^—K⁰; поэтому в правую часть первого уравнения надо еще добавить слагаемое

Аналогичное слагаемое АС₊ надо добавить и в уравнение, определяющее скорость изменения С_-. Но это еще не все! Если уж мы учитываем двухпионный эффект, то надо учесть и то, что существует еще дополнительная амплитуда превращения К⁰ в самого себя по цепочке

Эта дополнительная амплитуда (обозначим ее <K⁰|W|K⁰>) в точности равна амплитуде <^—K⁰|W|K⁰>, так как амплитуды перехода в пару π-мезонов или от пары π-мезонов в К⁰ или ^—K⁰ одни и те же.

Если угодно, можно показать это и подробнее. Прежде всего напишем[37]

и

Симметрия между материей и антиматерией требует, чтобы

а также

Отсюда <K⁰|W|K⁰>=<^—K⁰|W|K⁰> а также <^—K⁰|W|K⁰>=<K⁰|W|^—K⁰> о чем мы уже говорили выше.

Итак, у нас есть две дополнительные амплитуды <K⁰|W|K⁰> и <^—K⁰|W|^—K⁰>, обе равные А, которые надо вставить в уравнения Гамильтона. Первая приводит к слагаемому АС₊ в правой части уравнения для dC₊/dt, а вторая — к слагаемому АС_- в правой части уравнения для dC_-/dt. Рассуждая именно так, Гелл-Манн и Пайс пришли к заключению, что уравнения Гамильтона для системы K^0—K⁰ должны иметь вид

(9.47)

Теперь надо сделать поправку к сказанному в прежних главах: к тому, что две амплитуды, такие, как <K⁰|W|^—K⁰> и <^—K⁰|W|K⁰>, выражающие обратные друг к другу процессы, всегда комплексно сопряжены. Это было бы верно, если бы мы говорили о частицах, которые не распадаются. Но если частицы могут распадаться, а поэтому «пропадать», то амплитуды не обязательно комплексно сопряжены. Значит, равенство (9.44) не означает, что наши амплитуды суть действительные числа. На самом деле они суть комплексные числа. Поэтому коэффициент А комплексный и его нельзя просто включить в энергию Е₀.

Часто, возясь со спинами электронов и тому подобными вещами, наши герои знали: такие уравнения означают, что имеется другая пара базисных состояний с особенно простым поведением, которые также пригодны для представления системы K-частиц. Они рассуждали так: «Возьмем теперь сумму и разность этих двух уравнений. Будем отсчитывать все энергии от Е₀ и возьмем для энергии и времени такие единицы, при которых ℏ=1». (Так всегда поступают современные теоретики. Это не меняет, конечно, физики, но уравнения выглядят проще.) В результате они получили

(9.48)

откуда ясно, что комбинации амплитуд С₊+С_- и С₊-С_- действуют друг от друга независимо (и отвечают стационарным состояниям, которые мы раньше изучали). Они заключили, что удобнее было бы для K-частиц употреблять другое представление. Они определили два состояния:

(9.49)

и сказали, что вместо того, чтобы думать о K⁰- и ^—K⁰-мезонах, с равным успехом можно рассуждать на языке двух «частиц» (т. е. «состояний») К₁ и К₂. (Они, конечно, соответствуют состояниям, которые мы обычно называли |I> и |II>. Мы не пользуемся нашими старыми обозначениями, потому что хотим следовать обозначениям самих авторов, тем, которые вы встретите на физических семинарах.)

Но Гелл-Манн и Пайс проделывали все это не для того, чтобы давать частицам новые названия; во всем этом имеется еще некоторая весьма странная физика. Пусть C₁ и С₂ суть амплитуды того, что некоторое состояние |ψ> окажется либо K₁-, либо K₂-мезоном:

Из уравнений (9.49)

(9.50)

Тогда (9.48) превращается в

(9.51)

Их решения имеют вид

(9.52)

где С₁(0) и С₂(0) — амплитуды при t=0.

Эти уравнения говорят, что если нейтральный K-мезон при t=0 находится в состоянии |К₁> [так что С₁(0)=1 и С₂(0)=0], то амплитуды в момент t таковы:

Вспоминая, что А — комплексное число, удобно положить

(так как мнимая часть 2А оказывается отрицательной, мы пишем ее как минус iβ). После такой подстановки С₁(t) принимает вид

(9.53)

Вероятность обнаружить в момент t частицу К₁ равна квадрату модуля этой амплитуды, т. е. e^-2βt. А из (9.52) следует, что вероятность обнаружить в любой момент состояние K₂ равна нулю. Это значит, что если вы создаете К-мезон в состоянии |К₁>, то вероятность найти его в том же состоянии со временем экспоненциально падает, но вы никогда не увидите его в состоянии |К₂>. Куда же он девается? Он распадается на два π-мезона со средним временем жизни τ=¹/₂β, экспериментально равным 10^-10 сек. Мы предусмотрели это, говоря, что А комплексное.

С другой стороны, (9.52) утверждают, что если создать K-мезон целиком в состоянии К₂, он останется в нем навсегда. На самом-то деле это не так. На опыте замечено, что он распадается на три π-мезона, но в 600 раз медленнее, чем при описанном нами двухпионном распаде. Значит, имеются какие-то другие малые члены, которыми мы в нашем приближении пренебрегли. Но до тех пор, пока мы рассматриваем только двухпионные распады, К₂ остается «навсегда».

Рассказ о Гелл-Манне и Пайсе близится к концу. Дальше они посмотрели, что будет, когда K-мезон образуется вместе с Λ⁰-частицей в сильном взаимодействии. Раз его странность должна быть +1, он обязан возникать в состоянии К⁰. Значит, при t=0 он не является ни К₁, ни К₂, а их смесью. Начальные условия таковы: