Том 3. Квантовая механика

1

В американском издании этот том начинается с двух глав из второго тома [гл. 37 и 38 (вып. 3)], которые авторы считали нужным повторить. Это было сделано для того, чтобы третий том можно было читать, не обращаясь к прежним томам. В русском издании мы не стали печатать их снова: читатель должен всегда держать первые выпуски под рукой, поэтому нумерация глав в русском издании сдвинута на 2 единицы по сравнению с третьим томом. Из тех же соображений мы не перепечатали вновь гл. 34 и 35, они вошли в вып. 7.— Прим. ред.

2

По-русски, наверно, правильнее говорить амплитуда вероятности, но короче говорить просто амплитуда и примириться с выражением типа «амплитуда того, что электрон находится в точке х».— Прим. ред.

3

Вообще-то направление рассеяния должно, конечно, описываться двумя углами — полярным углом φ и азимутом θ. Тогда следовало бы сказать, что рассеяние кислорода в направлении (θ,φ) означает, что α-частица движется в направлении (π-θ, φ+π). Однако для кулоновского рассеяния (и многих других случаев) амплитуда рассеяния не зависит от φ. Тогда амплитуда того, что кислород полетел под углом θ, совпадает с амплитудой того, что α-частица полетела под углом (π-θ).

4

Перестановка dS₁ и dS₂ в (2.11) приводит к другому событию, так что оба элемента поверхности обязаны пройтись по всей площади счетчика. В (2.13) мы рассматриваем dS₁ и dS₂ как пару и включаем все, что может случиться. Если интегралы опять включают все, что случится, когда dS₁ и dS₂ поменяются местами, то все считается дважды.

5

Произносить надо так: (+S)—«плюс-S»; (0S) — «нуль-S»; (-S)— «минус-S».

6

Мы не собираемся вкладывать в слова «базисное состояние» что-либо сверх того, что здесь сказано. Не следует переводить «базис» как «основу» и хоть в каком-то смысле считать их «основными состояниями». Слово «базис» понимается как «система описания», скажем, в таком смысле, как в выражении «число в десятичной системе».

7

На языке наших прежних обозначений α=|<0T|+S>|², β=|<+S|0T>|², γ=|<0S|0T>|².

8

Из этого опыта мы на самом деле не можем заключить, что а=1, а видим только, что |а|²=1, следовательно, а может быть e^iδ, но можно показать, что при выборе δ=0 мы ничего существенного здесь не потеряли.

9

И в самом деле, для атомных систем с тремя или более базисными состояниями существуют другие типы фильтров (совершенно непохожие на приборы Штерна —Герлаха), которые можно было бы употребить для выбора других совокупностей базисных состояний (но при том же общем иx числе).

10

Число базисных состояний n может оказаться (и, вообще говоря, бывает) равным бесконечности.

11

Эта глава — не что иное, как весьма абстрактное и длинное отступление от основной линии рассказа; в ней нет каких-либо новых идей, которые бы не появлялись иным путем в дальнейших главах. Поэтому можете спокойно пропустить ее, а позже, если заинтересуетесь, вернуться.

12

Можно посмотреть на это и иначе. Мы просто производим преобразование к «стандартной форме», описанное в § 2, используя формулу (4.15).

13

Конечно, подошло бы и m=-¹/₂. Однако из (4.17) ясно, что изменение знака просто переопределит понятие «спин вверх».

14

Заметим, что если последовательность малых поворотов приведет в конце концов к первоначальной ориентации предмета, то всегда есть возможность, проследив всю историю, отличить поворот на 360° от поворота на 0° (но интересно, что для поворота на 720° это неверно).

15

Второе решение меняет все знаки у а, b, с, d и отвечает повороту на -270°.

16

Нетрудно показать, что систему х, у, z можно перевести в систему х', у', z' следующими тремя поворотами вокруг первоначальных осей: 1) повернуть на угол γ вокруг первоначальной оси z; 2) повернуть на угол α вокруг первоначальной оси х; 3) повернуть на угол β вокруг первоначальной оси z.

17

Мы предполагаем, что фазы обязаны иметь одно и то же значение в соответствующих точках в двух системах координат. Впрочем, это весьма тонкое место, поскольку в квантовой механике фаза в значительной степени произвольна. Чтобы до конца оправдать это предположение, нужны более детальные рассуждения, учитывающие интерференцию двух или нескольких амплитуд.

18

Если вы пропустили гл. 4, то можете пока просто считать (5.35) невыведенным правилом. Позже, в гл. 8, мы разберем прецессию спина подробнее, будут получены и эти амплитуды.

19

Вы можете оказать, что надо писать не просто А, но |А|. Но тогда это будет похоже на символ «абсолютного значения А». Поэтому обычно черточки опускают. Черточка (|) вообще ведет себя очень похоже на множитель единица.

20

Здесь небольшая неприятность с обозначениями. В этом множителе i означает мнимую единицу √-1, а не индекс i, относящийся к i-му базисному состоянию! Надеемся, это не слишком смутит вас.

21

В дальнейшем полезно (и читая, и произнося вслух) отличать арабские 1 и 2 и римские I и II. Мы считаем, что удобно для арабских, цифр резервировать названия «один» и «два», а I и II читать как «первый», «второй».

22

Очень жаль, но нам придется ввести новое обозначение. Раз буквы р и Е заняты у нас импульсом и энергией, то мы поостережемся опять обозначать ими дипольный момент и электрическое поле. Напомним, что в этом параграфе μ означает электрический дипольный момент.

23

Например, как легко убедиться, одно из допустимых решений имеет вид

24

Теперь мы опять будем писать |I> и |II> вместо |ψ_I> и |ψ_II>. Вы должны вспомнить, что настоящие состояния |ψ_I> и |ψ_II> суть энергетические базисные состояния, умноженные на соответствующий экспоненциальный множитель.

25

До тех пор, пока нет сильных магнитных полей, это предположение вполне удовлетворительно. Влияние магнитных полей на электрон мы обсудим в этой же главе позже, а очень слабые спиновые эффекты в атоме водорода — в гл. 10.

26

Мы немного упрощаем дело. Первоначально химики думали, что должны существовать четыре формы дибромбензола: две формы с атомами брома при соседних атомах углерода (орто-дибромбензол), третья форма с атомами брома при атомах углерода, идущих через один (мета-дибромбензол), и четвертая форма с атомами брома, стоящими друг против друга (пара-дибромбензол). Однако отыскали они только три формы — существует лишь одна форма орто-молекулы.

27

Сказанное нами может вас слегка ввести в заблуждение. Поглощение ультрафиолетового света в принятой нами для бензола системе с двумя состояниями было бы очень слабым, потому что матричный элемент дипольного момента между двумя состояниями равен нулю. [Оба состояния электрически симметричны, и в нашей формуле (7.55) для вероятности перехода дипольный момент μ равен нулю, и свет не поглощается.] Если бы других состояний не было, существование верхнего состояния пришлось бы доказывать иными путями. Однако более полная теория бензола, которая исходит из большего числа базисных состояний (обладающих, скажем, смежными двойными связями), показывает, что истинные стационарные состояния бензола слегка искажены по сравнению с найденными нами. В результате все же возникает дипольный момент, который и разрешает упомянутые в тексте переходы, приводящие к поглощению ультрафиолетового света.

28

Мы принимаем энергию покоя m₀c² за «нуль» энергии и считаем магнитный момент μ электрона отрицательным числом, поскольку он направлен против спина.

29

Параграф 5 при первом чтении книги можно пропустить. Он сложнее, чем положено в таких курсах.

30

Это похоже на то, что мы обнаружили (в гл. 4) для частиц со спином ¹/₂, когда поворачивали систему координат вокруг оси z; тогда мы получили фазовые множители exp (±iφ/2). В действительности это в точности то же самое, что мы писали в гл. 3, § 7, для состояний |+> и |-> частицы со спином 1, и это не случайно. Фотон— это частица со спином 1, у которой, однако, нет «нуль»-состояния.

31

Мы сознаем, что материал этого параграфа длиннее и труднее, чем это положено на нашем уровне знаний. Лучше пропустите его и переходите прямо к § 6. Но если у вас есть самолюбие и время, попозже вернитесь к нему опять. Это великолепнейший пример (взятый к тому же из последних работ по физике высоких энергий) того, что можно сотворить с помощью нашей формулировки квантовой механики двухуровневых систем. (Для русского издания параграф переделан проф. Сэндсом. — Прим. ред.)

32

Читайте: «.K-нуль с чертой».

33

Среди новых частиц есть барион Ω^- со странностью -3.—Прим. ред.

34

Если, конечно, он не создает еще двух К⁺ или других частиц с общей странностью +2. Можно считать, что здесь речь идет о реакциях, в которых не хватает энергии для возникновения этих добавочных странных частиц.

35

Свободная Λ-частица медленно распадается путем слабого взаимодействия (так что странность не обязана при этом сохраняться). Продуктами распада могут быть либо р и π^-, либо n и π⁰. Время жизни 2,2·10^-10сек.

36

Типичное время для сильного взаимодействия ближе к 10^-23 сек.

37

Мы здесь упрощаем. Система 2π может иметь множество состояний, отвечающих различным импульсам π-мезонов, и в правой части этого равенства следовало бы поставить сумму по всем базисным состояниям π-мезонов. Но полный вывод все равно приводит к тем же результатам.

38

Такую интерференцию действительно наблюдали. Коэффициент α оказался равным — 0,96β. Отсюда можно было вычислить и разность масс К₁- и K₂-мезонов. Она оказалась равной около —0,35·10^-5 эв. Это наименьшая разность масс двух частиц, известных физикам.— Прим. ред.

39

Для этих операторов, правда, оказывается, что от их порядка ничего не зависит.

40

Этот оператор сейчас называют оператор обмена спинами.

41

В действительности состоянием является

но, как обычно, мы отождествим состояния с постоянными векторами, которые при t=0 совпадают с настоящими векторами.

42

Crampton, Kleppner, Ramsey, Physical Review Letters, 11, 338 (1963).

43

Вспомните, что классически U=-μ·B, так что энергия наименьшая, когда момент направлен по полю. Для положительно заряженных частиц магнитный момент параллелен спину, для отрицательных — наоборот. Значит, в (10.27) μ_р— число положительное, а μ_е— отрицательное.

44

Тем, кто перескочил через гл. 4, придется пропустить и этот параграф.

45

Только не старайтесь сделать пакет чересчур узким.

46

Знак корня, который здесь следовало поставить, это технический вопрос, связанный с допустимыми знаками к в (11.39) и (11.40). Мы не будем здесь вдаваться в подробности.

47

Литература: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, М.—Л., 1958, гл. 13, 14, 18.

48

Во многих книжках эта же энергетическая диаграмма истолковывается иначе. Шкалу энергий относят только к электронам. Вместо того чтобы думать об энергии дырки, говорят о той энергии, которую имел бы электрон, если бы он заполнил дырку. Эта энергия меньше, нежели энергия свободного электрона, причем как раз на ту величину, которая показана на фиг. 12.5. При такой интерпретации шкалы энергий ширина энергетической щели — это наименьшая энергия, которой нужно снабдить электрон, чтобы перевести его из связанного состояния в зону проводимости.

49

Основное состояние здесь на самом деле «вырождено». Существуют и другие состояния с той же энергией, например, когда все спины смотрят вниз или в любую другую сторону. Но наложение самого слабого внешнего поля в направлении z снабдит все эти состояния различной энергией, и истинным основным состоянием окажется как раз то, которое мы выбрали.

50

Квазичастицы обсуждаемого типа могут действовать и как бозе- и как ферми-частицы; и, как и у свободных частиц, частицы с целым спином суть бозоны, с полуцелым—фермионы. «Магнон» символизирует, что электрон со спином, направленным вверх, перевертывается вниз. Спин меняется на единицу. Значит, у магнона спин целый и он — бозон.

51

Могло бы показаться, что при четном N есть N+1 состояний. Это не так, ибо s=±N/2 дают одно и то же состояние.

52

Когда имеется пара состояний (с разными распределениями амплитуд) с той же энергией, мы говорим, что эта пара состояний «вырождена». Заметьте, что энергией E₀-А могут обладать четыре электрона.

53

Отношение сторон прямоугольника, который можно разбить на квадрат и на подобный ему прямоугольник.

54

Представьте себе, что по мере сближения точек х_n амплитуда А прыжков из х_n=1 в х_n возрастает.

55

О распределениях вероятностей шла речь в гл. 6, § 4 (вып. 1).

56

Был использован тот факт, что _-∞∫^+∞exp(-t²)dt=√π; см. вып. 1

57

Помните, еще раньше мы условились, что e²≡q_e²/4πε₀

58

Литература: А. Р. Эдмондс, Угловые моменты в квантовой механике, в кн. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.

59

Кстати, вы можете доказать, что ^Q — это обязательно унитарный оператор, т. е. если он действует на |ψ>, приводя к |ψ>, умноженному на некоторое число, то это число должно иметь вид е^iδ, где δ — вещественно. Это мелкое замечание, а доказательство основано на следующем наблюдении. Всякая операция наподобие отражения или поворота не приводит к потере каких-либо частиц, так что нормировки |ψ'> и |ψ> должны совпадать; отличаться они вправе только на множитель с чисто вещественной фазой в показателе.

60

В других книгах вы можете встретить формулы с другими знаками; вероятнее всего, в них используются углы, определенные по-иному.

61

Точнее, мы определим ^R_z(φ) как поворот физической системы на -φ вокруг оси z; это то же самое, что повернуть систему координат на +φ.

62

Мы всегда вправе выбрать ось z вдоль направления поля при условии, конечно, что его направление не меняется и что больше полей нет.

63

Для большей строгости все эти рассуждения нужно было бы провести для малых поворотов ε. Раз каждый угол φ представляет собой сумму некоторого числа n таких поворотов, φ=nε, то ^R_z(φ)=[R_z(ε)]ⁿ, и общее изменение фазы в n раз превосходит изменение для малого угла 8 и поэтому пропорционально φ.

64

Прошу прощения! Этот угол имеет обратный знак по отношению к использовавшемуся в гл. 9, § 4.

65

Как правило, момент количества движения атомной системы весьма удобно измерять в единицах ℏ. Тогда можно говорить, что частица со спином ¹/₂ обладает по отношению к любой оси моментом количества движения ±¹/₂. И вообще, что z-компонента момента количества движения есть m. Не приходится все время повторять ℏ.

66

Мы попытались на худой конец доказать, что компонента момента количества движения вдоль направления движения у частицы с нулевой массой должна быть, например, кратной ℏ/2, а не ℏ/3. Но даже приведя в действие всевозможные свойства преобразований Лоренца (и многое другое), мы с этим не справились. Может, этой не так. Надо было бы потолковать об этом с профессором Вигнером, который знает все о таких вещах.

67

Мы сейчас предполагаем, что механизм квантовой механики вам настолько знаком, что обо всем можно говорить на чисто физическом языке, не тратя времени на расписывание всех математических деталей. Но если то, что мы здесь говорим, вам не очень ясно, то обратитесь к концу этого параграфа, где приведены некоторые недостающие детали.

68

Мы провели ось z' в плоскости xz и используем матричные элементы для R_y(θ). То же получилось бы и при другом выборе осей.

69

Вспомните, что спин — это аксиальный вектор и при отражении он переворачивается.

70

Когда мы переводим x, y, z в -x, -y, -z, то можно подумать, что все векторы перевернутся. Это верно для полярных векторов, таких, как смещения и скорости, но не для аксиальных векторов наподобие момента количества движения, да и любых векторов, представляющих собой векторное произведение двух полярных векторов. Компоненты аксиальных векторов при инверсии не меняются.

71

Кое-кто может возразить, что все эти рассуждения неверны, потому что наши конечные состояния не обладают определенной четностью. В добавлении 2 в конце этой главы вы найдете другое доказательство, которое вас удовлетворит.

72

При нашем нынешнем глубоком понимании мира нелегко ответить на вопрос—менее ли «материальна» энергия фотона, чем энергия электрона, ведь, как вы помните, все частицы ведут себя очень похоже. Единственное различие в том, что у фотона масса покоя равна нулю.

73

Заметьте, что мы всегда анализируем момент количества движения относительно направления движения частицы. Если бы мы стали интересоваться моментом количества движения относительно других осей, нам пришлось бы учесть возможность «орбитального» момента количества движения — от члена p×r. Так, мы не вправе говорить, что фотоны вылетают прямо из центра позитрония. Они могли вылететь, как два комка с обода вертящегося колеса. О таких подробностях не приходится задумываться, если проводить ось вдоль направления движения.

74

Мы не нормировали наши амплитуды и не умножали их на амплитуду распада в то или иное конечное состояние, но легко видеть, что наш результат верен, ибо, рассчитывая вторую из взаимоисключающих возможностей [см. (16.23)], мы получаем вероятность нуль.

75

Детали вы найдете в добавлении, стр. 165.

76

Отдачей, которую испытал Ne^20* в первой реакции, можно пренебречь. Или, еще лучше, подсчитать и сделать поправку на нее.

77

Тем более, что большая часть работы уже проделана, раз у нас есть общая матрица поворота (16.35).

78

Первоначально материал этого добавления входил в текст лекции, но потом мы поняли, что не стоит включать в нее такое подробное изложение общего случая.

79

Как обычно, e²=q_e²/4πε₀

80

Поскольку это и другие особые наименования являются частью общепринятого словаря атомной физики, вам попросту придется выучить их. Мы вам поможем их запомнить, поместив в этой главе небольшой «словарик» подобных терминов.

81

Это нетрудно вывести из (16.35). Но можно это сделать, исходя из основных принципов; надо только воспользоваться идеями, изложенными в гл. 16, § 4. Состояние |l, l> может быть составлено из 2l частиц со спином ¹/₂, у которых спин направлен вверх; а в состоянии |l, 0> l спинов было бы направлено вверх, а l — вниз. При повороте амплитуда того, что спин останется тем же, равна cosθ/2, а амплитуда того, что он перевернется, равна sin θ/2. А нас интересует амплитуда того, что l спинов не перевернутся, а другие l перевернутся. Такая амплитуда равна (cosθ/2sinθ/2)^l, а это то же самое, что sin^lθ.

82

В действительности мнение об инертности благородных газов оказалось, как и многое другое, сильным преувеличением. Криптон, например, весьма охотно соединяется с фтором, образуя кристаллы KrF₆. Сейчас химия инертных газов превращается в большую и увлекательную науку.— Прим. ред.

83

Элемент объема мы обозначаем dОбъем. Он попросту равен dxdydz, а интеграл берется от -∞ до +∞ по всем трем координатам.

84

Можно выразить это и иначе. Какую бы функцию (т. е. состояние) вы ни выбрали, ее всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний, являющихся состояниями с определенной энергией. Поскольку в этой комбинации присутствует примесь состояний с более высокими энергиями, то средняя энергия окажется выше энергии основного состояния.

85

Уравнение (18.38) не означает, что |α>=x|ψ> [ср. (18.35)]. Сокращать на <х| нельзя, потому что множитель х перед для каждого состояния <х| имеет свое значение. Это — значение координаты электрона в состоянии |х> [см. (18.40)].

86

Во многих книжках для ^A и ^A^[script] используется один и тот же символ: физика в них одна и та же, да и удобнее все время обходиться без новых букв. А из контекста всегда ясно, что имеется в виду.

87

Фактически это не напоминание, потому что некоторые из этих уравнений я раньше не приводил; не забудьте, что я веду настоящий семинар.

88

Только, пожалуйста, не путайте это φ с нашим прежним обозначением состояния φ !

89

К — это та самая величина, которая в задаче о линейной решетке обозначалась буквой А (см. гл. 11).

90

См., например, J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, New York, 1962 (есть перевод: Д. Джексон, Классическая электродинамика, изд-во «Мир», 1965).

91

Впервые это открыл Оннес в 1911 г. [Н. К. Оnnes, Comm. Phys. Lab., Univ. Leyden, № 119, 120, 122 (1911)]. Прекрасное современное изложение предмета вы найдете в книге E. A. Lуntоn, Superconductivity, New York, 1962 (есть перевод: E. Линтон, Сверхпроводимость, М., 1964).

92

J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Phys. Rev., 108, 1175 (1957) (см. перевод в сборнике «Теория сверхпроводимости», ИЛ, 1960).

93

W. Meissner, R. Ochsenfeld, Naturwiss., 21, 787 (1933).

94

В действительности, если бы электрическое поле оказалось чересчур сильным, то пары разорвались бы, и среди возникших «нормальных» электронов началось бы движение за нейтрализацию всяческих излишеств в положительном заряде. Но все же для образования этих нормальных электронов понадобилась бы энергия, так что основная мысль, заключающаяся в том, что почти однородная плотность ρ очень выгодна энергетически, остается справедливой.

95

Н. London, F. London, Proc. Roy. Soc. (London), A149, 71 (1935); Physica, 2, 341 (1935).

96

F. London, Superfluids, Vol. 1, New York, 1950, p. 152.

97

B. S. Deaver, Jr., W. M. Fairbank, Phys. Rev. Letters, 7, 43 (1961).

98

R. Doll, M. Nabauer, Phys. Rev. Letters, 7, 51 (1961),

99

Когда-то Онзагер говорил, что это возможно (см. цитированную на стр. 243 книжку Лондона), но никто не понимал, почему.

100

В. D. Josephson, Physics Letters, 1, 251 (1962).

101

P. W. Andеrsоn, J. M. Роwеll, Phys. Rev. Letters, 10, 230 (1963).

102

S. Shapirо, Phys. Rev. Letters, 11, 80 (1963).

103

Jaklevic, Lambe, Silver, Mercereau, Phys. Rev. Letters, 12, 159 (1964).

104

Jaklevic, Lambe, Silver, Mercereau, Phys. Rev. Letters, 12, 274 (1964).