Знак Вопроса 1997 № 02

К ЧИТАТЕЛЯМ

Милые и любознательные читательницы и читатели журнала «Знак вопроса», хочу обратить ваше внимание на то, что, пожалуй, нет другой такой проблемы — как парадоксы, — над которой в течение многих и многих веков фатально витает большой и жирный знак вопроса —? От этого вопроса чаще всего отмахиваются, объявляя парадоксальные объекты несуществующими. Однако запреты всегда были знаком презрения к интеллекту и признаком деградации ума.

ЭССЕ ОБ АБСУРДЕ

У людей всегда была тяга к тому, что французы называли absurd (абсурд), а англичане — nonsense (нонсенс). Лауреат Нобелевской премии по литературе за 1957 г. Альбер Камю в своем эссе об абсурде «Миф о Сизифе» писал:

Параллельные тексты даны из чувства «nostalgie d’unitb (ностальгии по единству, по выражению Камю). Но родоначальником, королем нонсенса считается Эдвард Лир:

Здесь приведена вторая строфа его «Автопортрета» в моем переводе, поскольку она была полностью опущена в переводе С.Я.Маршака. Получилась дробь 7/8 — русские читатели узнали только семь строф из восьми.　

Чистый нонсенс был изобретен англичанами в знаменитую викторианскую эпоху, которая — по образному выражению Г. Честертона — была «каникулами для души и ума». Дух этой эпохи превосходно передан в романах Дж. Голсуорси «Сага о Форсайтах» и Дж. Фаулза «Подруга французского лейтенанта» (Многие видели одноименный английский кинофильм, действие которого происходит как бы в двух параллельных мирах — в XIX и в XX веках.) Продолжателем традиции нонсенса является автор «Алисы в Стране чудес» и «Логической игры» — математик Льюис Кэрролл, столетие со дня смерти которого весь мир будет отмечать 14 января 1998 года.　

Беды XX века во многом связаны с утратой духовности. Д.Мастерс в романе «Несчастный случай», описывая аварию в Лос-Аламосе, сравнивает современных ученых-атомщиков, служащих войне, с дикарями-индейцами: «Люди и организации, посвятившие себя какой-то одной цели (single-minded), склонны обращаться с человеком как с вещью. А разве не ясно, что крайняя односторонность (single-mindeness) и стремление властвовать часто неразлучны — ведь человек-то, как правило, не однобок, не однодум (not single-minded).» В оригинале используется английский термин «single-minded», который у нас раньше переводили как целеустремленный, а сейчас переводят как однобокий, ограниченный.

Запреты приводят к примитизированному, однобокому миропониманию. Недаром Г. Гессе иронизировал:

ПАРАДОКСАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

Проще всего, разумеется, запретить использование парадоксальных понятий. Так обычно и поступают в основаниях математики и логике. Однако необходимость решения практических задач вынуждала математиков снова и снова прибегать к услугам парадоксальных объектов.

Обратимся к основам математики. Привычные для каждого из нас отрицательные числа являются парадоксальным понятием. Их введение было нелегким качественным скачком. В средневековой Европе математики пользовались отрицательными числами долгое время с отвращением, да и то только потому, что получался верный ответ. Великий Декарт называл их «ложными числами». В «Мыслях» Паскаля есть выразительное признание: «Я знаю людей, которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре, то получится нуль». Таким образом, он считал вычитание из нуля операцией, лишенной смысла. Кардано включал отрицательные величины в число корней рассматриваемых им уравнений, но полагал, что это просто символы, лишенные реального смысла. Он называл их фиктивными корнями.

Отрицательные числа возникли в результате обобщения операции вычитания на случай, когда она невозможна. Действительно, попробуйте со стола, где лежат 5 яблок, взять 7 яблок. Этот пример приводил математик Л. Карно, живший при Наполеоне (и бывший даже при нем министром внутренних дел). Впрочем, это отрицательное число может быть алгебраически представлено упорядоченной парой (5, 7), которая выражает 5–7 или -2. Детальный анализ такого подхода и его важность в школьном преподавании математики дается в книге М. Клайна «Почему Джонни не может складывать», посвященной трудностям школьной реформы в США.

Значные числа, то есть числа, взятые со знаком, являются краткой записью упорядоченных пар. Например, отрицательное число —1 = (0, 1), а положительное число + 1 = (1, 0). Они отличаются как проигрыш со счетом 0:1 от выигрыша со счетом 1:0 (заметим, что в англоязычных странах записывают счет 0–1 и 1–0, соответственно). Поэтому следует различать +1 и его модуль — просто 1, на что указывал наш известный кристаллограф академик А. В. Шубников.

Проблема парадоксов свидетельствует о том, как трудно осознать логическую многомерность. Уже введение отрицательных чисел носило парадоксальный характер. Интересный довод против отрицательных чисел выдвинул близкий друг Паскаля, теолог и математик Антуан Арно (1612–1697). Арно усомнился в том, что — 1: 1 = 1: — 1. Как может выполняться такое равенство, спрашивал он, если —1 меньше, чем 1? Ведь меньшее число не может относиться к большему так же, как большее к меньшему. Решению парадокса Арно можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Первое отношение выражает наклон одного вектора, а второе отношение — наклон противоположного вектора. Но отождествление этих векторов неправомерно.

Если вектор имеет координаты X, Y, Z, то он записывается в виде тройки (X, У, Z). Трудности введения векторов в XIX веке в электромагнитную теорию Максвелла объясняются необходимостью преодоления психологического барьера. Даже великий Г. Герц при описании электрической силы вместо вектора рассматривал лишь разрозненные координаты. Широкому внедрению векторов в научную практику мы во многом обязаны гению О. Хевисайда, который любовно называл своего гениального предшественника «heaven-sent Maxwell» (посланный небом Максвелл) и открыл также ионизационный слой, позволивший Маркони осуществить коротковолновую радиосвязь через Атлантический океан.

Практически волей-неволей (volens-nolens) математики уже давно оперируют с логическими векторами. Именно они являются основными, фундаментальными в математике. Алгебраическое неизвестное «до» не могло появиться в склонной к рационализму солнечной Греции. Это могло быть сделано только в окутанной туманом мистики Древней Индии. Интересно отметить, что неизвестное «до» было введено в Индии под названием «йават-тават», что буквально означает «столько-сколько». Введение противоречивого понятия «известное неизвестное» позволило действовать с неизвестными как с известными величинами. Это дало поразительный эффект. При решении задач алгебраическим методом легко устраняются значительные трудности, которые приходится преодолевать с помощью искусственных приемов при решении обычным арифметическим методом. Поэтому в наше время мало кто хочет пользоваться «непротиворечивым неизвестным». Это «очевидно» даже первокласснику. Впрочем, привычка еще не означает понимания сущности.

Простейшая модель — это «двуединство», двумерный логический вектор. Пара — это не просто

«двое = один + один».

Так, например, вместо формулы заборной арифметики:

«Ваня + Таня = любовь» в векторной алгебре логики получим вектор

ПАРОЧКА = (Ваня, Таня),

подобно тому как в математике имеем вектор R = (х, у). Вектор

ЧЕТА = (муж, жена)

имеет компоненты: женатый мужчина (муж) и замужняя женщина (жена). Вместо независимых элементов — мужчины и женщины — имеем взаимозависимые аспекты единого вектора («муж и жена — одна сатана»).

Понятие логического вектора позволяет преодолеть плюрализм отдельных, прежде самостоятельных объектов путем перевода их в разряд аспектов (логических компонентов). Это можно уподобить строительству одного небоскреба вместо множества отдельных лачуг. Вообще, это характерная черта современной, неклассической физики. В классической физике волны и частицы были отдельными объектами, а в квантовой физике фотон рассматривается как волна-частица, имеющая дополнительные волновой и корпускулярный аспекты.

Дальнейшее обобщение понятия числа фактически означало увеличение размерности. Таковы были комплексные числа, имеющие действительную и мнимую часть. Введение мнимых чисел означало обобщение операции извлечения квадратного корня на случай, когда она невозможна. Оно связано с именем Дж. Кардано, который изобрел карданов вал, хорошо известный автомобилистам.

В школе учат, что квадратное уравнение х² = -1 не имеет решений, а в институте сообщают его решения х₁ = +i, х₂= — i в виде мнимых чисел. Вполне понятно, что введение мнимых чисел первоначально представляло несравнимо большие трудности, чем введение отрицательных чисел. Лейбниц называл их «чудом анализа, уродом из мира идей, двойственной сущностью, находящейся между бытием и небытием».

Именно парадоксальные объекты являются причиной поразительной эффективности математики. Введение отрицательных и мнимых чисел является ярким примером того, что парадокс не разрешается при помощи запретов и ограничений. При решении практических вопросов математики были вынуждены прибегать к помощи парадоксальных объектов, что означало переход от элементов к векторам.

ПАРАДОКСЫ

Попытки свести массив к одному из его компонентов приводят к конфузу («Кто был ничем, так ничем и остался»). Например, попытайтесь ответить на вопрос: «Каково истинное поясное время на полюсе?» Там поясное время описывается набором векторов, учитывающим все направления. В двух диаметрально противоположных направлениях возможны две прямо противоположные ситуации:

Выделение аспектов единого объекта является обычным практическим решением в сложных логических ситуациях. Например, на Курском вокзале различают курское и горьковское направления.

Переход от отдельных элементов к массиву можно образно сравнить с переходом от майора к генерал-майору. Это качественный скачок в другую «октаву». Лучшим символом подобной ситуации является двуликий Янус. И это относится не только к богам. О Френсисе Дрейке, который был известным пиратом и адмиралом английского флота, говорят, что просто это был сложный человек в сложное время. Характерно, что фильм о разведчиках имел следующие названия серий: «Свой среди чужих» и «Чужой среди своих».

Сложная ситуация, описываемая парадоксом, может быть представлена парой противоположных векторов. В известном парадоксе Рассела полковой брадобрей должен брить только тех, кто не бреется сам. Тогда как же ему брить самого себя? Возможны две версии поведения брадобрея:

Двуликий любитель-профессионал подобен древнеримскому богу Янусу, который смотрит в разные стороны, но сердце у него одно.

Итак, брадобрей существует. Более того, существует «квадратный круг», используемый философами как синоним невозможного. Его даже проще представить себе, чем универсальную пробку («ко всем бочкам затычка»). Напомним, что три ее проекции стали эмблемой популярных (во всех смыслах) книг М. Гарднера по математике. Решение загадки дает эпюр Г. Монжа, окончившего Высшую политехническую школу и бывшего в России в составе наполеоновских войск. «Квадратный круг» — это вертикальный цилиндр. Действительно, его горизонтальной проекцией является круг, а вертикальной проекцией — квадрат.

Слово «цилиндр» звучит непротиворечиво. Но парадоксально название эллиптического параболоида, форму которого имеет зеркало прожектора, создающего параллельный световой пучок. Именно его А. Толстой ошибочно назвал гиперболоидом (инженера Гарина). Кстати, мы указали фамилию писателя с именем, чтобы не путали с Л. Толстым. Впрочем, необходимо и отчество — А. Н. Толстой (а то есть опасность спутать с графом А. К. Толстым). Ф. И. О. — это трехмерный вектор (Ф, И, О).

Идея логической многомерности, выдвинутая автором под названием многоаспектностъ, является ключом к моделированию творческого мышления. Блеск возникает при рассмотрении в стереоскоп пары из черного и белого. Каждый может сам проделать маленький опыт. Слегка скосив глаза, совместите внутренний черный квадрат с белым и тогда… он заблестит и ПОДНИМЕТСЯ. восстав «крышей» усеченной пирамиды.

Чудо — это просто!

Многие читатели, видимо, уже получали удовольствие от рассматривания стереограмм в книгах популярной сейчас серии книг «Волшебный глаз. Третье измерение», издаваемых в ФРГ.

Парадоксы возникают, когда пытаются отделаться односложным ответом на сложный вопрос. Все новое воспринимается как «бред» (парадокс), а потом как «очевидность» (разрешение парадокса). Так, первоначальное неприятие неевклидовой геометрии объяснялось тем, что парадоксальные результаты не укладывались в одномерную логику — блеск ума непостижим для автора плоских шуток (подобно тому как одноглазому не объяснить, что пара из черного и белого дает стереоэффект блеска). Чернышевский из сибирской ссылки писал сыну: «Перестань заниматься неевклидовой геометрией! Математики я не знаю, но знаю достаточно, чтобы утверждать, что это — ерунда». Признанный король математиков Гаусс не опубликовал свои труды по неевклидовой геометрии, ибо, по собственному признанию, «боялся криков беотийцев» (синоним самых тупых в Древней Греции). Эта участь постигла Лобачевского. Об этом можно прочесть в книге А. Ливановой «Три судьбы» (М.: Знание, 1969). Только 26 лет спустя, перечитывая ее как бы заново, я прочувствовал, каким смелым может быть анонимный рецензент, издеваясь даже над названием: «его Геометрия отлична от употребительной, которой мы все учились… и есть только воображаемая. Да, теперь всё очень понятно. Чего не может представить воображение особливо живое и вместе уродливое? Почему не вообразить, например, черное белым, круглое четырехугольным, сумму всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых? Очень, очень можно, хотя для разума все это и непонятно» (курсив мой. — К.Б.). Блеск ума оказался непостижим для рецензента, и ответа Лобачевского редакция не напечатала. Впрочем, до нас дошел его сдержанный, полный достоинства ответ, опубликованный его родным университетом вместе с текстом мемуаров «Воображаемая геометрия»: «Рецензент основал свой отзыв на том только, что моей Теории не понял и почитает ее ошибочной…» Через 7 лет (в 1842 г.) Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества по представлению Гаусса.

Фигуральное выражение «блеск остроумия», означающее совмещение несовместимого, намекает на эффект стереоблеска. В этом разгадка секрета, о котором писал В. Набоков в «Приглашении на казнь»: «Как складывают слова… чтобы слово оживало… заимствовало у своего соседа его блеск…» Вообще, в естественном языке много блестящих противоречивых выражений. Таковы многие идеоматические выражения: как-никак, была-не была, видимо-невидимо, волей-неволей, сам не свой. «Круглый квадрат нельзя даже помыслить (если не верите — попробуйте!)», — восклицает В. Н. Брюшинкин, автор «Практического курса логики для гуманитариев». Подобно этому выражение «без вины виноватые» парадоксально, но парадокс разрешается, когда «невиновный» (де-факто) и «виноватый» (де-юре) разводятся в разные логические проекции (аспекты). Заметим, что несоответствие аспектов для миллионов советских граждан было устранено только после реабилитации.

Наглядным примером парадоксального объекта может служить двойной словарь, включающий русско-английский и англо-русский словари, помещенные под одной обложкой. Если двойной словарь — русский, то он английский; а если он английский, то он русский. Сжатым образом парадоксальной ситуации может служить эпиграф к главе о матрицах в английском учебнике по математической физике: «Все, что не Бельгрейвская площадь, есть Стренд и Пикадили». Действительно, ситуация на перекрестке характеризуется так:

если движение есть (вдоль), то его нет (поперек);

а если движения нет (вдоль), то оно есть (поперек).

Опустив указания на направления (в скобках), получаем парадокс.

Вот уж действительно: иная простота хуже воровства! Более того, с точки зрения классической логики, дом на перекрестке вообще не должен существовать. Ведь угловой дом 1/2 (по Продольной улице) будет одновременно домом 2/1 (по Поперечной улице). При соединении чертой числа прекращают независимое существование, превращаясь в двуединство. Употребительное в быту малограмотное обозначение — дом 1 /2 вовсе не обозначает полдома — в действительности это пара (1; 2). Привычное обозначение приобрело силу предрассудка, а ведь векторы «проходят» в общеобразовательной школе. Поистине, всеобщая полуобразованность является нашим бичом.

Парадоксы являются лучшей мотивацией к изучению логики как науки правильно мыслить. Интерес к ее практическому применению возрастает. За последние два года вышли три книги под названием «Практическая логика», написанные В. А. Светловым, А. А. Ивиным, Е. Б. Кузиной. Но авторы расписываются в бессилии, когда дело доходит до парадоксов. «Тупиковая ситуация создается самим этим умом: он, так сказать, оступается на ровном месте и попадает в свои же собственные сети».

Недаром говорят, что «идеи носятся в воздухе». Возникновение кентавристики — новой научной дисциплины, предложенной Даниилом Даниным, выражает потребность в адекватном представлении научных образов. Кентавр — это метафора сочетания несочетаемого. Увеличение размерности при переходе от двуединства к триединству потребовало прибегнуть к услугам математических драконов — векторов.

Это вполне удовлетворяет девизу «ohne tierisch Ernst» — без звериной серьезности, который был принят в кругу Н. Бора («Bohrs Kreis»). «Для серьезного развития серьезных наук нет ничего пагубнее звериной серьезности. Нужны юмор и некоторая издевка над собой и над науками. Тогда все будет процветать», — писал в своих воспоминаниях Н. Тимофеев-Ресовский («Зубр»).

Метафорой логической многомерности может служить трехглавый дракон. У него три головы, но сердце у него одно. Логический вывод сводится к исключению посредника — средней головы дракона. Заключение как бы говорит: «Не бери в среднюю голову». Голубой трехглавый Дракон был изображен на щите Агамемнона, по свидетельству десятой книги «Илиады», а Змей-Горыныч — излюбленный персонаж русских народных сказок.

Трехглавый дракон — это метафора трехмерного логического вектора. Например, кафедра истории математики находится в аудитории 1609 главного здания МГУ. Это — вектор с координатами: № этажа=16, № комнаты =09. В США используется слово «вайлтс» = обхват груди, талии, бедер. И. Ефремов приводит вайлтс Сандры, героини романа «Лезвие бритвы», 38-22-38 (в дюймах). В повседневной жизни мы смелее переходим на векторные обозначения.

МНОГОМЕРНОСТЬ ИСТИНЫ

Поэт И. Бродский в эссе с математическим названием «Меньше единицы» пришел к выводу о том, что наука о правде и лжи жизни полезнее школьной алгебры. По нашему мнению, следует подчеркивать не их внешнее различие, а глубокое внутреннее сходство.

То, что простое высказывание не может адекватно описывать сложные логические ситуации, было давно показано самим фактом существования парадоксов. Когда целью спора является не поиск истины, а победа, то зачастую используются приемы, известные еще софистам Древней Греции. В качестве примера приведем известный софизм. По рассказу Аристотеля, одна афинянка внушала сыну: «Не вмешивайся в общественные дела, потому что, если ты будешь говорить правду — тебя возненавидят люди; если же будешь говорить неправду — тебя возненавидят боги». Это — софизм, ибо он основан на произвольной подборке выгодных для данного совета суждений. С таким же успехом можно «обосновать» и противоположный совет о пользе занятия общественными делами.

Все возможные ситуации описываются таблицей:

Софизм возникает, если опустить невыгодную для данного тезиса информацию. Оружием софистов всегда было утаивание, полуправда.

В нашей жизни нам постоянно приходилось сталкиваться не только с одномерной (явной) ложью, рассматриваемой в классической логике, но и с двумерной ложью — ложью, подло замаскированной под истину. Ее обычно называют нейтральным термином дезинформация. Это — логический вектор: КЛЕВЕТА = (ложь, злой умысел). В этом «двуединстве» истинностная квалификация совмещена с отчетливо выраженной интенцией. На уровне человеческого общества ложь обретает новое измерение.

«Борьба за истину, таким образом, является борьбой против разрушения», — писал Г. Маркузе в книге «Одномерный человек». Наиболее коварным врагом истины является полуправда. Это против нее направлена известная юридическая формула: «Говорить всю правду, и только правду». Надо смолоду уберечь детей от лжи умолчанием. Иначе вы не сможете уберечь их от возможных звеньев в цепи бед: болезни — аборт — бесплодие.

Дезинформация всегда творилась под покровом секретности. Так проще. «Секретность есть форма лжи… Секретность требует меньшего напряжения памяти, чем активная ложь», — сообщает Р. Бейкер в «Учебнике лжеца», вышедшем в США. Казалось бы, с появлением детектора лжи отпадает необходимость в логике, ибо решаются все проблемы с распознаванием лжи. Однако все далеко не так просто. В учебниках по аномальной психологии приводится следующее происшествие. Врачи в американской психиатрической клинике собирались выписать шизофреника, предварительно проверив его на детекторе лжи. Пациенту был задан вопрос: «Вы Наполеон?» Пациент ответил отрицательно. Детектор показал, что он лжет.

Следует подчеркнуть недопустимость полуправды, ибо она порождает полусовесть. В империи лжи у миллионов жертв политических репрессий были засекречены время, место и сам факт расстрела. Мы должны донести этот нравственный урок до молодежи, которая не имеет другого жизненного опыта, кроме сексуального, помочь «преодолеть ущербную особенность человека учиться только на собственном опыте» (Солженицын А. И., Нобелевская лекция). Закостенелость приводит к жесткому редукционизму, сводящему все к однобокой, одномерной истинности. Рептильный комплекс в человеческом мозге, доставшийся нам от ящеров, все еще выполняет функции динозавра. Ведь даже процесс преподавания носит директивный характер, «предельно ритуализирован, то есть основан на почти рептильном следовании раз и навсегда установленным порядкам». Особенно опасна «зашоренность» казарменного ума. Суть дела здесь в жесткой специализации, которая в конце концов неизбежно приводит к надлому из-за своей фатальной закостенелости. Ярким примером подобной «задержанной цивилизации» (по А. Тойнби) явилась Спарта, которая дорого заплатила за то, что она избрала особый путь развития, а два века спустя застыла с оружием наизготовку, словно на параде. В то же время другие эллинские города показали примеры динамичного и творческого развития.

Многомерность познания является типично человеческой чертой. По-видимому, в ней секрет любого творческого начала. Парадоксы — это не тупик, а свет в конце туннеля! Новое мышление в условиях взаимосвязанного мира (а не отдельных, изолированных стран) становится насквозь неклассическим. Проигрыш одной стороны в ядерной войне не означает выигрыша другой стороны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно ли ждать от парадоксов практической пользы? Таким вопросом часто задаются, но еще чаще оставляют его открытым. Многие родители мучились, пытаясь переделать своё «решение с иксом» в арифметическое решение для ребенка. Именно парадоксальные понятия являются главной причиной поразительной эффективности математики. Введение отрицательных и мнимых чисел показывает, что парадоксы разрешаются путем обобщения операций и правил, а не путем ограничений и запретов. Впрочем, в Древней Греции существовал даже запрет на использование дробей. Платон писал: «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать». Но греческие купцы и строители использовали дроби, ведь без них нельзя ни торговать, ни строить. Сейчас примирились с простыми дробями, научившись представлять их в чистой математике в виде упорядоченных пар.

«Понять можно лишь то, что в состоянии вместить наше сознание, то, что в нем уже присутствует в виде некоей матрицы. Иными словами, принять что бы то ни было можно лишь при наличии соответствующего хватательного органа», — писал Г. Майринк в романе «Ангел Западного окна». Академик Б. В. Раушенбах подчеркивал наличие общей идеи, лежащей в основе различных проявлений триединства, и показал, что такой математической моделью является вектор. Поэтому привычная скептическая критика понятия триединости ошибочна: «Критика всегда избирала своей мишенью эту кажущуюся несообразность самого понятия триединства, безотносительно к тому, относится оно к Троице или к чему-либо другому». Таковы три грамматических лица (я, ты, он), три времени (прошедшее, настоящее, будущее) и троекратное повторение обрядов. «Не вдаваясь в эти сложные и тонкие вопросы, мы скажем только, что число т р и, в нашем разуме характеризующее безусловность Божества, свойственно всему тому, что обладает относительной самозаключенностью», — писал о. Павел Флоренский. Примечательно также его замечание в книге «Иконостас» о том, что световая глубь неба, светоносность сверхчувственного может быть передана в иконах только блеском золота.

«Куда мне девать все эти подарки, которыми летнее утро награждает меня и только меня? Отложить для будущих книг? Употребить немедленно для составления руководства: «Как быть счастливым»? Или глубже, дотошнее: понять, что скрывается за всем этим, за игрой, за блеском? А что-то ведь есть, что-то есть», — так писал В. В. Набоков в романе «Дар».

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛОГИЧЕСКАЯ ИГРА Л. КЭРРОЛЛА НА КОМПЬЮТЕРЕ

Исторически первой дедуктивной теорией была силлогистика, которую построил основатель логики древнегреческий философ Аристотель. Даже аксиоматическая система геометрии была создана позже Евклидом в ее духе. Силлогистика является наиболее доступным средством приобщения учащихся к логике благодаря ее простоте, элегантности и близости к естественному языку.

Приведем основные определения по «Учебнику логики» Г. И. Челпанова, который был отмечен премией Петра Великого и выдержал девять дореволюционных изданий. Умозаключением называется выведение нового суждения из нескольких данных суждений, называемых посылками. Выводимое суждение называется заключением. «Силлогизм есть такая форма умозаключения, в которой из двух суждений необходимо вытекает третье.»

Посылки и заключение силлогизма представляют собой суждения. К ним относятся следующие суждения:

1. «Все х суть Z» — общеутвердительное суждение.

2. «Ни один хне есть z» — общеотрицательное суждение.

3. «Некоторые х суть z» — частноутвердительное суждение.

4. «Некоторые х не есть z» — частноотрицательное суждение.

Например, суждение «Все ученые смертны» является общеутвердительным, а суждение «Некоторые ученые смертны» является частноутвердительным. При арифметизации будем кодировать утверждение числом +1, отрицание числом —1. В дальнейшем часто будем просто ставить «+» и «—". Отсутствие информации будем обозначать числом 0.

Частноутвердительному суждению соответствует положительный вектор, а общеотрицательному суждению — отрицательный вектор. Если обозначить: мученые, у = люди, z = смертные, то вектор (+ 0 +) будет обозначать частноутвердительное суждение «Некоторые ученые смертны» = «Некоторые х суть z», а вектор — (+ 0 —) — общеотрицательное суждение «Ни один ученый не бессмертен» = «Ни один х не есть не — z». Эти два вектора дают общеутвердительное суждение «Все ученые смертны» = «Все х суть z».

Получение логического заключения сводится к исключению термина-посредника «у» (среднего термина силлогизма). Приведем пример силлогизма, который состоит из общеутвердительных суждений:

«Все люди смертны»

«Все ученые — люди»

«Все ученые смертны»

В векторных обозначениях приведенный выше силлогизм может быть записан в следующем виде:

При решении проблемы разрешимости силлогизмов решающую роль играет принцип аннигиляции. Заключение следует из данных посылок при условии ровно одной аннигиляции при сложении или вычитании векторов.

В заключение получаем положительный вектор как разность (1,1,0) — (0,1, —1)= = (1,0,1), а отрицательный вектор — как знак суммы отрицательных частей (0,1, —1) + (1, ^_1,0) = (1,0, —1). Заключение принимается, когда сумма отрицательных частей или хотя бы одна перекрестная разность дает ровно один нуль.

Другая разность (0,1,1) — (1, -1,0) = (-1,2,1) отвергается (ибо число 2 в заключение указывает на несовместность утверждения +1 и отрицания —1).

Приведем текст программы Aristotle.bas для решения силлогизмов:

PRINT

SCREEN 8: COLOR 7, 1: DIM х(4, 2, 3) 

PRINT " ЕСТЬ х у z НЕТ х у z": PRINT

FOR k = 1 ТО 2 

FOR i = 1 ТО 2 

PRINT SPC(6);

FOR j = 1 TO 3 

READ x(k, i, j)

PRINT x(k, i, j);

NEXT j 

NEXT i 

PRINT 

NEXT k

PRINT "………………………."

FOR j = 1 TO 3

x(3, 2, j) = SGN(x(1, 2, j) + x(2, 2, j)) 

x(3, 1, j) = x(1, 1, j) — x(2, 2, j) 

x(4, 1, j) = x(2, 1, j) — x(l, 2, j)

NEXT j

PRINT SPC(6); x(3, 1, 1); x(3, 1, 2); x(3, 1, 3); 

PRINT SPC(6); x(3, 2, 1); x(3, 2, 2); x(3, 2, 3) 

PRINT SPC(6); x(4, 1, 1); x(4, 1, 2); х(4, 1, 3)

DATA 1,1,0, 1, -1,0 

DATA 0,1,1, 0,1, -1 

END

Автором написана программа Carroll.bas, позволяющая получать также чертеж диаграммы Кэрролла.

На диаграмме верхняя и нижняя половины соответствуют +х и — х, левая и правая половины соответствуют +z и — z,внутренний квадрат и его внешность соответствуют +у и — у:

Всевозможные комбинации х, у и z приводят к различным тройкам (х, у, z).

Фактически, это — трехмерная диаграмма. Поэтому для сравнения слева приведено ее представление в виде куба.

Для освоения диаграмм Кэрролла была написана простая программа-тренажер С², которая позволяет для трехбуквенной диаграммы Кэрролла (приведенной в заставке) освоить расположение ячеек, задаваемое трехмерными векторами (х, у,) В отличие от Аристотеля, у Кэрролла выводим силлогизм:

По 1-му правилу Кэрролла: из двух Химер с исключаемыми терминами различных знаков следует Химера, в которой оставляемые термины сохраняют свои знаки. За счет включения негативной силлогистики выводимы 624 модуса.

Рассмотрим еще один интересный пример из книги Л. Кэрролла. Если обозначить х = уроки, у = трудные, г = требующие особого внимания, то пример № 22 может быть записан в виде:

Некоторые уроки трудны = Некоторые х суть у

То, что трудно, требует особого внимания = Все у суть

Некоторые уроки требуют особого внимания» = Нек. х суть z

Заключение получаем как разность (1, 1, 0) — (0, 1, -1) = (1, 0, 1).

Приведем также решение многопосылочного силлогизма:

Ни одна утка (х) не танцует вальс (и)

Ни один офицер (z) не откажется танцевать вальс (и)

Все мои домашние птицы (у) — утки (х)

Все мои домашние птицы (у) — не офицеры (-z)

Предложенный алгоритм сводит выполнение умозаключений к действиям с компонентами логических векторов (записанных в троичной системе счисления). Многоаспектный метод является аналитическим методом, который применим для логических векторов любой размерности. Будет поучительно рассмотреть полисиллогизм из книги Кэрролла:

1. Ни один из встреченных в море, но оставшихся незамеченными предметов — не русалки.

2. Предметы, занесенные в вахтенный журнал, стоят того, чтобы их запомнить.

3. В моих путешествиях я не видел ничего такого, что стоило бы запомнить.

4. О встреченных в море и замеченных предметах делается запись в вахтенном журнале.

Запишем его через пятимерные векторы: (x1, х2, хз, х4, x5) = х, у, z, и, v).

Заключение: «Я никогда не видел ни одной русалки». С помощью диаграмм Кэрролла решение этого полисиллогизма получить нельзя, ибо увеличение размерности выше четырех делает геометрический метод непригодным. Традиционные способы решения применимы только к силлогизмам с тремя терминами. Они основаны на классификации модусов на 4 фигуры и требуют запоминания мнемонических латинских слов.

Лучше затратить труд на освоение аналитического метода, чтобы потом легко получать решения любых силлогизмов. Поразительная эффективность диаграмм Кэрролла по сравнению с кругами Эйлера основывается на использовании помимо положительных и отрицательных ячеек еще пустых ячеек. Это — ситуация неопределенности, отсутствия информации, которая обозначается нулем и возникает при аннигиляции. Действительно, знать, что фишка находится в левой или в правой половине — это значит ничего не знать о ее местонахождении.

В качестве упражнения предлагается также силлогизм, который использовался американскими психологами в качестве теста:

«Ни один химик не является пчеловодом»

«Некоторые пчеловоды — художники» 

-----------

?

При решении каждое суждение будем обозначать вектором. Например, если обозначить: х = химики, у = пчеловоды, z = художники, то положительный вектор +(0,1,1) будет обозначать частноутвердительное суждение «Некоторые пчеловоды — художники» = «ЕСТЬ xz», а отрицательный вектор — (1,1,0) — общеотрицательное суждение «Ни один химик не пчеловод» = «НЕТ ху».

Приведем также чертежи трехбуквенных диаграмм Кэрролла:

Из первой посылки, описываемой положительным вектором, вычитается вторая посылка, описываемая отрицательным вектором: (0,1,1) — (1,1,0) = (—1,0,1). Итак, получаем заключение: «Некоторые не-химики — художники».

В заключение отметим, что в современные американские тесты по проверке умственных способностей обязательно входят логические задачи. Интересно напомнить, что известный советский психолог А. Р. Лурия еще в 30-е годы во время экспедиций в Среднюю Азию. проводил тестирование неграмотных крестьян именно с помощью силлогизмов, а не арифметических задач.