Знание-сила, 2001 № 05 (887)

CENTAURUS

Встречи с Даниилом Семеновичем Даниным – кентаврические встречи, как он их называл, послужили для меня сильным творческим импульсом, недаром говорят: идеи носятся в воздухе.

И уже л по горло в двухмерную плоскость проник. Арсений Тарковский.

Сегодня возникают новые языковые средства и возможности иного взгляда не только на логику {включая формально логические парадоксы), но и на ряд традиционных и привычных математических объектов. От последовательной обработки – к параллельной (одновременной!). Оптические процессы в компьютерной технологии – «параллельные» по своим физическим возможностям. Но зти возможности упираются в наши «одномерные» представления о логике.

В этом номере предлагаем статью Камиля Бахтиярова, профессора кафедры высшей математики, доктора философских наук. Для специалистов скажем: именно Бахтияров провел арифметизацию силлогистики – механизма логического вывода. А каждый, даже небольшой шаг формализации в области формальной логики происходит нечасто.

Статья началась с выступления на выставке-семинаре неизбежность квадрата в мае 1999, фактически – на встрече трех семинаров: художников-формалистов, физиков-структурал истов, математиков-семметрологов – с неизбежной проблемой языкового контакта.

Возникновение кентавристики, новой научной дисциплины, предложенной писателем Даниилом Даниным (1914 – 2000), выражает потребность в адекватном представлении научных образов. Кентавр – это метафора сочетания несочетаемого. Выход – увеличение размерности – требует прибегнуть к услугам математических драконов – векторов.

Это вполне удовлетворяет девизу «Ohne tierisch Ernst» («Без звериной серьезности»), провозглашенному датским физиком Нильсом Бором (1885 – 1962). Атмосфера на его семинарах вполне соответствовала принципу: «Для серьезного развития серьезных наук нет ничего пагубнее звериной серьезности. Нужен юмор и некоторая издевка над собой и над науками. Тогда все будет процветать».

(X.Y,Z) = VECTOR.

Метафорой логической многомерности может служить трехглавый дракон. У него три головы, но сердце одно. Логический вывод сводится к исключению посредника – средней головы дракона. Заключение как бы говорит: «Не бери в среднюю голову».

Голубой трехглавый Дракон был изображен на щите предводителя греческих войск в Троянской войне – царя Агамемнона, а Змей-Горыныч – излюбленный персонаж русских народных сказок.

«Головы Горыныча посоветовались между собой.

– По-моему, он хамит,

– сказала одна.

Вторая подумала и сказала:

– Дурак, а нервный.

А третья выразилась и вовсе кратко:

– Лангет,

– сказала она».

(В. Шукшин. «До третьих петухов»)

Трехглавый дракон – это метафора трехмерного логического вектора. Например, кафедра истории математики находится в аудитории 1609 главного здания МГУ. Это вектор с координатами: номер этажа – 16 и номер комнаты – 09. В США используется слово «вайлтс» – обхват груди, талии, бедер. Наш писатель И. Ефремов (1907 – 1972) приводит вайлтс Сандры, героини романа «Лезвие бритвы»: 38-22-38 (в дюймах). Вполне очевидно, в повседневной жизни мы весьма смело переходим на векторные обозначения.

Современное мышление становится насквозь неклассическим. Неклассическая логика и неклассическая геометрия применяются в квантовой физике и теории относительности. Принцип дополнительности Н. Бора, описывающий квантовые волны-частицы, является принципом неклассической логики. Углубляющаяся иррационализация рационального знания во многом обязана математике, поразительная эффективность которой объясняется сверхмощью парадоксальных понятий. Но математики уже давно оперируют логическими векторами, фундаментальными в математике объектами. Запретить? От парадоксов не избавиться, сказав, что полкового брадобрея, бреющего всех, кто не бреется сам, не существует. Загадка и действие парадокса: смысл возникает в обоих смыслах-направлениях, берущихся сразу.

Как говорил Нильс Бор, «утверждение тривиально, и содержательность его неглубока, если прямо противоположное утверждение наверняка вздорно. А вот если и прямо противоположное полно смысла, тогда суждение нетривиально…»

Расселовский брадобрей – это любитель-профессионал, подобный двуликому Янусу. У лжеца можно спросить: «Что это, самокритика или самооговор»? Но об этих ситуациях нельзя сказать, что они не существуют. Простейшая модель двуединства – двухмерный логический вектор ЧЕТА = {муж, жена} – целостный комплекс с взаимозависимыми аспектами: женатый мужчина (муж) и замужняя женщина (жена), принимающий собственные значения: или – или.

Парадоксы разрешаются с помощью геометрической или логической многомерности. Сжатым образом парадоксальной ситуации может служить перекресток. Логическое разрешение перекрестной ситуации обычно реализуется с помощью светофора.

Все современные парадоксы родственны известному еще в древности парадоксу «Лжец». Критскому философу Эпимениду (VI век до новой эры) приписывается высказывание: «Все критяне – лжецы». Допустим, что высказывание Эпименида истинно, тогда в силу своего смысла и того обстоятельства, что сам Эпименид – критянин, оно оказывается ложным.

Для решения парадокса будем различать ложь и закавыченную «ложь». Закавыченные оценки – это ярлыки, навешиваемые на истинности достоверно (при их совпадении) или недостоверно (при их несовпадении). В парадоксе содержатся две различные ситуации, поскольку ярлык «ОТВЕРГНУТОЕ» можно навесить как на ЛОЖЬ, так и на ИСТИНУ: см. таблицу.

В языке много идиоматических выражений: как-никак, была не была, видимо-невидимо…

«Блеск остроумия» – совмещение несовместимого, намекает на эффект стереоблеска , возникающий при рассмотрении в стереоскоп пары из черного и белого. Каждый может проделать маленький опыт: слегка скосив глаза, совместите внутренний черный квадрат с белым, и тогда… он заблестит!

В приведенной историческои форме парадокса «Лжец» более правильным будет выбор в пользу достоверности принятой оценки. Действительно, согласно свидетельству древнегреческого историка Плутарха (I век), критяне пользовались в древности дурной славой людей, действующих обманом. Эпименид был прав, говоря о лжецах (в том числе и о себе). Получается прямо по Бернсу:

Ист, у него не лживый взгляд.

Его глаза не лгут,

Они правдиво говорят,

Что их владелец – плут.

Р. Бернс (пер. С.Я. Маршака)

ОТВЕРГНУТАЯ ЛОЖЬ – это правда о лжи, воистину ложь (а вовсе не истина). Умение видеть различие между истинностью (истина или ложь) и достоверностью (правда или неправда) преодолевает парадокс.

Идея логической многомерности и ее «работа»; сегодня в науке возникает парадигма «параллельных миров», когда можно представить наглядно строгие логические или математические объекты при помощи компьютера.

Введение второго логического измерения позволяет получить «портреты» иррациональных и трансцендентных чисел (таких, которые невозможно построить циркулем и линейкой, то есть не удовлетворяющих никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, например «пи» = 3,14.., и других). Качественный скачок перехода количества в качество особенно ярко проявляется для шахматной доски с бесконечным числом строк того или иного формата – количества клеток в строке. Общий принцип представления однократного многообразия посредством многократного был сформулирован летом 1901 года в лекциях перед студентами Лейпцигского университета В. Освальдом, более известным своими работами по физической химии и теории цвета. Можно сказать, что ему удалось исходить числовую ось

Достоверность оценка истинности

мнение 1: достоверно отвергнутая ложь

мнение 2: не достоверно отвергнутая истина

Названная «ложью» ложь – ОТВЕРГНУТАЯ ЛОЖЬ – будет вектором ОЛ =(«Л»; Л), а обозванная «ложью» истина – ОТВЕРГНУТАЯ ИСТИНА – вектором ОИ = («Л»; И).

Кластеры для групп из 4х 4 = 16 элементов: сглаживание путем усреднения.

Портрет Золотого сечения Ф (фрагмент) 1,618033988749894848204586834365638117…

12 34567 89 1011 1213 1415 16 17… «вдоль и поперек», представив одномерную ось в виде двухмерного растра. РАСТР – дискретность непрерывного. Двухмерный образ, в котором далекое оказывается близким («далекое – близкое»), способствует выявлению скрытых периодичностей.

Это можно пояснить на примерах табеля-календаря и телевизионного растра, при передаче в эфир развертываемого в одномерный радиосигнал и свертываемого в строки экрана.

Независимо от Оствальда математик А.А. Зенкин ввел построчную запись чисел числового ряда. («Послушайте Третью математическую симфонию Гаусса» // «Знание – сила». – 1986. – № 7). Цветовое кодирование цифр иррациональных чисел, предложенное художником А.Ф. Панкиным, в сочетании с проведенным автором квантованием позволило выявить кластеры («сгущения») в иррациональных числах на примере чисел «пи», е, Ф.

Коды цветов: 0 – черный, 1 – фиолетовый, 2 – лиловый, 3 – синий, 4 – голубой, 5 – зеленый, 6 – желтый, 7 – коричневый, 8 – красный, 9 – пурпурный.

Эта раскраска, исходящая из символики цветов физической географической карты с ее фиолетово-голубыми морями (1-4) и зелено-желтыми материками (5-6) с коричнево-красными горами <7-8), позволяет ввести третье измерение!

Три звука;

А О И

Поиск цвета гласных был практически реализован А. П. Журавлевым. «Уже первые результаты нас просто ошеломили: против А почти все напи-

Нами были использованы следующие коды цветов:

1 фиолетовый (Ю), 2-лиловый (Я), 3 – синий (И), 4 голубой (У), 5 – зеленый (Е), 6 – желтый (О), 7 – темно- оранжевый (Ы), 8 – красный (А).

Итак,

АЫОЕУИЮ.

– шкала замыкается в круг!

Поэтому диаметрально противоположные стили мышления соответствуют дополнительным цветам.

По тесту Люшера: желтый – цвет оптимизма, синий – цвет пессимизма, красный – цвет страсти, зеленый – цвет единообразия.

ТЕКСТ – строки гласных:

Дни поздней осени бранят обыкновенно,

Но мне она мила, читатель дорогой,

Красою тихою, блистающей смиренно.

Так нелюбимое дитя в семье родной

К себе меня влечет.

Сказать вам откровенно.

Из годовых времен я рад лишь ей одной,

В ней много доброго;

любовник не тщеславный,

Я нечто в ней нашел мечтою своенравной.

И забываю мир - и в сладкой тишине

Я сладко усыплен моим воображеньем,

И пробуждается поэзия во мне

Душа стесняется лирическим волненьем,

Трепещет и звучит, и ищет как во сне.

Излиться наконец свободным проявленьем

– И тут ко мне идет незримый рой гостей.

Знакомцы давние, плоды мечты моей

Две строфы Пушкина в полном тексте гласных стихотворения «Осень»; мастер сали «красный», И – для большинства – «синий», О – «желтый»…».

– Можно использовать не только окраску цифр, но и окраску букв!

– Как ТЕКСТ?!

Некоторые созвучия своей напевностью, мелодическим совершенством вызывают представление о заклинании, магической формуле. Недаром сборник самых значительных произведений лирики Поля Валери получил название «Charmes» («Чары» или «Заклятия»). Это – сплав логики и музыки поэтического слова.

Провозглашение первенства напевности перед смыслом: Артюр Рембо в известном сонете прямо говорит о цвете гласных. Комбинация зрительных и слуховых представлений воздействует на душу слушателя так, чтобы «в ней зазвучал аккорд чувствований, отвечающий аккорду, вдохновившему художника».

Но подлинное единение достигается «общим мистическим лицезрением единой для всех объективной сущности». Это – символ как таинственный иероглиф, который, подобно нормали, прорезывает все планы, знаменуя в каждом из них иные сущности. Вяч. Иванов сравнивает его с жестом указания, подобным протянутому пальцу на картинах Леонардо да Винчи. Символисты подхватили мысль о взаимном соответствии «запаха, цвета и звука», высказанную Ш. Бодлером в сонете «Соответствия» («Corresponances»). Идея восходит к французским символистам, которые, начиная с С. Малларме, своими «причудливыми и темными» произведениями оказали глубокое влияние на последующие поколения. Эта мысль была воспринята и П. Верленом:

Гиперболе! Из памяти моей

Не знаешь, как победно возродиться.

Под современною галиматьей

В железо книг сумевших облачиться.

С. Малларме. ПРОЗА

Важнее музыка во всем,

Затем Абсурд предпочитают,

Который в воздухе растет,

Тем, кто позируя, весом.

П. Верлен.

Арсений Тарковский прямо заявляет: «Я ловил соответствия звука и цвета» в своем стихотворении «Из тени в свет перелетая…», написанном в зелено-желто-красных тонах. В стихотворении «Я учился траве…» преобладают красный цвет и характерный узор кластеров. Его же, «Перед листопадом»:

«Свой мозг пронзил я солнечным лучом»… – у Бальмонта явное смещение из синего в фиолетовую область спектра. Цвет творчества находится между красным и синим. В тональности фа-диез начинается симфоническая поэма «Прометей». По Скрябину, начальные звучания возникают в лиловом сумраке, переходящем в волны синего, а затем багрово-красного цвета, сменяемого, наконец, лиловыми и синими тонами. Переливами фиолетового цвета, характерного для стиля «модерн», ему вторит «Демон» Врубеля.