Большая Советская Энциклопедия (АС)

Асимптотическое выражение

Асимптоти'ческое выраже'ние, сравнительно простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, например нулю); А. в. иногда называется также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение: функция j(x) является А. в. для f(x) при х ® ¥ (или х ® а), если f(x)/j(x) ® 1 при х ® ¥ (или х ® а), или, что то же самое, если f(x) = j(x)[1 + a(x)], где a(х) ® 0 при х ® ¥ (или х ® а). В этом случае пишут: f(x) ~ j(x) при х ® ¥ (или х ® а). Как правило, j(x) должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами А. в. при х ® 0 могут служить sinx ~ x, tgx ~ x, ctgx ~ 1/x, 1 - cosx ~ x²2, ln(1 + x) ~ x, a^x - 1 ~ xlna (a > 0, a ¹ 1). Более сложные А. в. при х ® ¥ возникают для важных функций из теории чисел и специальных функций математической физики. Например, p(x) ~ x/lnх, где p(x) — число простых чисел, не превосходящих х,

где Г(u) — гамма-функция , для целочисленных значений х = n имеем Г(n + 1) = n!, что приводит к Стирлинга формуле:

Ещё более сложными А. в. обладают, например, Бесселя функции.

А. в. рассматриваются также в комплексной плоскости z = x + iy. Так, например, \sin(x + iy)\ ~ e^/y//2 при y ® ¥ и y ® -¥.

А. в. является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.

Лит.: де Брёйн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962.

В. И. Левин.