Диалоги о математике

Диалог о сущности математики

Сократ. Ты кого-то ищешь, дорогой мой Гиппократ?

Гиппократ. Нет, Сократ, поскольку я уже нашел того, кого искал. Именно тебя я искал повсюду. Кто-то на агоре [3] сказал мне, что видел, как ты прогуливаешься вдоль реки Илиссос. Так что я шел вслед за тобой.

Сократ. В таком случае скажи, зачем ты пришел, а после я хотел бы расспросить тебя о нашей беседе с Протагором. Помнишь ли ты о ней?

Гиппократ. Как ты можешь спрашивать? И дня не прошло с тех пор без моих размышлений о ней. А сегодня я пришел к тебе за советом, поскольку эта беседа не выходит у меня из головы.

Сократ. Похоже, Гиппократ, что ты хочешь поговорить о тех же вопросах, которые я и сам хотел бы обсудить с тобой; таким образом, два предмета разговора на самом деле одно. Кажется, математики ошибаются, считая, что два никогда не равно одному.

Гиппократ. Дело в том, Сократ, что математики, как всегда, правы.

Сократ. Но ты, Гиппократ, конечно, знаешь, что я не математик. Почему же ты не задал своих вопросов знаменитому Теодору?

Гиппократ. Я просто поражен, Сократ, ты отвечаешь на мои вопросы прежде, чем я задаю их. Ведь я пришел именно для того, чтобы узнать, стоит ли мне пойти учеником к Теодору. В прошлый раз, когда я решил стать учеником Протагора, мы пошли к нему вместе и ты направил беседу так, что стало совершенно ясно — он не знает предмета, о котором рассуждает. Разумеется, я раздумал и не пошел к нему. Эта беседа помогла мне понять, чего я не должен делать, но не показала, что же следует делать. А мне хотелось бы узнать это. Я бываю на пирах и в палестре [4] со своими приятелями и, осмелюсь сказать, время провожу приятно, но это не дает мне удовлетворения. Я чувствую свое невежество. Точнее говоря, я чувствую, что знания, которыми обладаю, довольно неопределенны. Во время беседы с Протагором стало ясно, что мои познания о хорошо известных вещах, таких, как здравомыслие, справедливость и доблесть, совсем бедны. Но теперь я по крайней мере полностью сознаю свое невежество.

Сократ. Я рад, дорогой мой Гиппократ, что ты так хорошо меня понимаешь. Я всегда говорю себе вполне искренне, что я ничего не знаю. Разница между мной и большинством других людей, может, и состоит именно в том, что я не воображаю, будто знаю то, что в действительности мне неизвестно.

Гиппократ. Это доказывает твою мудрость, Сократ. Но для меня этого недостаточно. Я очень хочу получить вполне определенные и основательные знания, и я не буду счастлив, пока не добьюсь своего. Я постоянно размышляю над природой знаний, которыми пытаюсь овладеть. А совсем недавно Театет сказал, что определенное существует только в математике, и посоветовал мне изучать математику у его учителя Теодора, самого сведущего специалиста по теории чисел и геометрии в Афинах. Мне не хотелось бы повторить ту же ошибку, когда я намеревался стать учеником Протагора. Поэтому скажи мне, Сократ, получу ли я глубокие знания, которые ищу, если стану изучать математику у Теодора?

Сократ. Если ты хочешь изучать математику, о сын Аполлодора, то определенно не сможешь сделать ничего лучшего, чем пойти к моему уважаемому другу Теодору. Но ты должен решить, действительно ли хочешь изучать математику. Никто не может знать твоих желаний лучше, чем ты сам.

Гиппократ. Почему ты отказываешься помочь мне, Сократ? Может быть, я неумышленно обидел тебя, не заметив этого?

Сократ. Ты не так понял меня, мой юный друг. Я не сержусь, но ты просишь меня о невозможном. Каждый должен решить самостоятельно, чем он хочет заниматься. Я могу лишь помочь, подобно акушерке, при рождении твоего решения.

Гиппократ. Прошу тебя, не отказывай мне, дорогой Сократ, и, если ты сейчас свободен, начнем беседу немедля.

Сократ. Ну хорошо, если ты так настаиваешь. Укроемся под тенью того платана и начнем. Но прежде скажи, согласен ли ты вести беседу способом, который я предпочитаю? Я буду задавать вопросы, а ты отвечать на них. В результате ты яснее поймешь, что ты уже постиг, а от этого расцветут семена знаний, имеющиеся в твоей душе. Я надеюсь, ты не уподобишься царю Дарию, который убил управляющего рудниками за то, что тот из медного рудника добыл только медь, а не золото, как желал царь. Я надеюсь, ты всегда будешь помнить, что из рудника можно извлечь только то, что он содержит.

Гиппократ. Клянусь, что не стану ничем тебя попрекать, но, ради Зевса, начнем немедленно.

Сократ. Согласен. Только ответь мне, знаешь ли ты, что такое математика? Надеюсь, ты сумеешь дать определение математики, если намереваешься изучать ее.

Гиппократ. Думаю, что любой ребенок мог бы это сделать. Математика — одна из наук, и притом одна из самых прекрасных.

Сократ. Я просил тебя описать сущность математики, а не восхвалять ее. Быть может, ты лучше поймешь, что я хочу выяснить, если мы рассмотрим какую-нибудь другую науку, хотя бы медицину. Вот если бы я спросил тебя об искусстве врачевания, ты бы ответил, что оно имеет дело со здоровьем и болезнью. И цель его — лечить больных и охранять здоровых. Не так ли?

Гиппократ. Ты прав.

Сократ. О том, как распознавать и лечить болезни, знают только врачи, да и им известно еще слишком мало. Но задача медицины и состоит как раз в том, чтобы узнать обо всем этом. А с математикой не обстоит ли дело иначе?

Гиппократ. В таком случае прошу тебя, объясни мне различие, так как я не вижу его отчетливо.

Сократ. Тогда ответь мне: искусство врачевания имеет дело с тем, что существует, или с тем, чего нет? Если бы не было врачей, то были бы болезни?

Гиппократ. Конечно, и даже больше, чем сейчас.

Сократ. Взглянем теперь на другое искусство, хотя бы на астрономию. Ты согласен с тем, что астрономы изучают движения звезд?

Гиппократ. Я уверен в этом.

Сократ. А если я спрошу тебя, имеют ли дело астрономы с тем, что существует, что ты ответишь?

Гиппократ. Я отвечу — да.

Сократ. А существовали бы звезды, если бы не было астрономов?

Гиппократ. Конечно. И даже если бы Зевс в гневе истребил все человечество, звезды все равно сияли бы в небе. Но почему мы говорим об астрономии, а не о математике?

Сократ. Не будь таким нетерпеливым, дорогой друг. Давай обсудим несколько других искусств, чтобы иметь возможность сравнить их с математикой. Как бы ты назвал человека, который знает все о живых существах, обитающих в лесах и в глубинах морей?

Гиппократ. Это ученый, изучающий живую природу.

Сократ. И ты согласен, что такие ученые изучают только те вещи, которые существуют?

Гиппократ. Согласен.

Сократ. А как ты назовешь человека, который интересуется горными породами и знает, какие из них содержат железо?

Гиппократ. Знаток минералов.

Сократ. Занимается ли он вещами, которые существуют, или же тем, чего на самом деле нет?

Гиппократ. Само собой разумеется, вещами, которые существуют.

Сократ. Можем ли мы теперь утверждать, что каждая наука занимается теми вещами, которые существуют?

Гиппократ. Кажется, это так.

Сократ. Теперь скажи мне, юный друг, что является объектом изучения математики? Какие вещи изучают математики?

Гиппократ. Я спрашивал об этом Театета. Он ответил, что математик изучает числа и геометрические формы.

Сократ. Ответ верный и нельзя найти лучшего, но можем ли мы утверждать, что числа и формы существуют?

Гиппократ. Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?

Сократ. Ты прав. Но вот что меня смущает. Возьмем, например, простые числа. Существуют ли они так же, как звезды или рыбы? Существовали бы простые числа, если бы не было математиков?

Гиппократ. Я начинаю понимать, чего ты хочешь. Все не так просто, как я предполагал, и должен сознаться, что я не знаю, как надо ответить на твой вопрос.

Сократ. Поставим вопрос несколько иначе: считаешь ли ты, что звезды на небе будут появляться, если никто их не станет наблюдать, а рыбы будут продолжать плавать, если никто не станет ловить их?

Гиппократ. Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?

Сократ. Тогда скажи, если бы не было математики, были бы простые числа, и если да, то где?

Гиппократ. Не знаю, что и ответить. Ясно, что, если математики думают о простых числах, значит, они существуют в их сознании, но если бы не было математиков, не могло бы быть и простых чисел.

Сократ. Значит, ты считаешь, что математики изучают несуществующие понятия?

Гиппократ. Пожалуй, мы должны допустить это.

Сократ. Если я скажу, что математики занимаются тем, что или вовсе не существует или существует, но не так, как существуют звезды или рыбы, то буду ли я прав?

Гиппократ. Вполне.

Сократ. Теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Я написал на восковой табличке число 37. Ты видишь его?

Гиппократ. Да.

Сократ. И можешь дотронуться до него рукой?

Гиппократ. Конечно.

Сократ. Значит, числа существуют?

Гиппократ. Ты смеешься надо мной, Сократ. Послушай! Я нарисовал на такой же табличке дракона с семью головами. Разве это означает, что он существует?

Я никогда не встречал никого, кто видел бы дракона. Я убежден, что драконы существуют только в сказках. Возможно, я ошибаюсь, и драконы действительно есть где-нибудь по ту сторону Геркулесовых столпов, чего не скажешь о том, которого я нарисовал.

Сократ. Ты прав, Гиппократ, я с тобой согласен. Значит, хотя мы говорим о числах и даже можем написать их, на самом деле они не существуют?

Гиппократ. Конечно.

Сократ. Не делай поспешных заключений. Давай решим еще один вопрос. Прав ли я, говоря, что мы можем сосчитать овец на лугах или корабли в гавани?

Гиппократ. Да.

Сократ. И овцы и корабли существуют?

Гиппократ. Несомненно.

Сократ. Но если овцы существуют, их число тоже должно существовать, не так ли?

Гиппократ. Ты смеешься надо мной, Сократ. Математики не считают овец, это дело овцеводов.

Сократ. Ты думаешь, что математики изучают не количество овец, кораблей или других реальных предметов, а числа сами по себе? И, таким образом, они интересуются только тем, что существует у них в сознании?

Гиппократ. Именно так я и думаю.

Сократ. Ты говорил, Театет считает, что математика изучает числа и геометрические формы. А формы? Если я спрошу тебя, существуют ли они, что ты ответишь?

Гиппократ. Существуют. Мы можем видеть, например, прекрасную форму сосуда и ощутить ее руками.

Сократ. Осталась одна неясность. Если ты смотришь на сосуд, что ты видишь — сосуд или его форму?

Гиппократ. И то и другое.

Сократ. То же самое происходит, когда ты смотришь на ягненка. Ведь ты видишь одновременно и ягненка и его шерсть?

Гиппократ. Это очень удачное сравнение.

Сократ. А я думаю, оно хромает, как Гефест. Ты можешь состричь шерсть с ягненка и увидеть ягненка без шерсти и шерсть без ягненка. Можешь ли ты отделить таким же образом форму сосуда от самого сосуда?

Гиппократ. Я полагаю, этого никто не может.

Сократ. И ты все еще уверен, что можно видеть геометрическую форму?

Гиппократ. Теперь я начинаю сомневаться.

Сократ. Кроме того, если математики изучают формы сосудов, значит ли, что их можно назвать гончарами?

Гиппократ. Конечно.

Сократ. Тогда, если Теодор — лучший математик, должен ли он быть также лучшим гончаром? Многие люди восхваляют его, но никто не говорил, что он хоть сколько-нибудь понимает в гончарном деле. Сомневаюсь, сможет ли он сделать даже самый простой горшок. Может быть, математики имеют дело с формами статуй или зданий?

Гиппократ. В таком случае они должны быть скульпторами и архитекторами.

Сократ. Вот, мой друг, мы и пришли к выводу, что математики, изучая геометрию, занимаются не формой реальных предметов, таких, как сосуды, а формами, которые существуют только в их сознании. Ты согласен?

Гиппократ. Я вынужден согласиться.

Сократ. Мы установили, что математики занимаются предметами, которые существуют не в действительности, а только в их мыслях. А теперь обсудим утверждение Театета, о котором ты упомянул раньше, что математика дает более надежные и заслуживающие доверия знания, чем любые другие науки. Скажи, приводил ли Театет какие-либо примеры?

Гиппократ. Да, он сказал, что никто не может знать точное расстояние от Афин до Спарты. Конечно, люди, которые путешествуют, знают, за сколько дней они проходят этот путь, но невозможно знать точное количество шагов на каком-то расстоянии. Однако любой может вычислить по теореме Пифагора длину диагонали квадрата. Театет сказал еще, что нельзя узнать точное число людей, живущих в Элладе. И если бы кто-либо попытался сделать это, то не достиг бы реального результата, потому что во время счета некоторые старые люди умирали бы и рождались бы дети, поэтому результат был бы только приближенным. Но спроси математика, сколько ребер у правильного додекаэдра, и он ответит, что у додекаэдра 12 граней и каждая имеет пять ребер. Получается 60 ребер, но так как каждое ребро принадлежит двум граням одновременно и потому считается дважды, получится 30 ребер, и эта цифра, несомненно, верная.

Сократ. Приводил ли он еще какие-нибудь примеры?

Гиппократ. Я не помню всех. Он говорил еще, что в природе нельзя найти две совершенно одинаковые вещи. Никакие два яйца не являются абсолютно одинаковыми, и даже колонны храма Посейдона отличаются одна от другой. Но можно быть совершенно уверенным, что две диагонали прямоугольника одинаковы. Он ссылался на Гераклита, который сказал, что все существующее постоянно изменяется и точные сведения можно получить только о понятиях, которые не изменяются, например чет и нечет, прямая и круг.

Сократ. Достаточно. Эти примеры убеждают меня, что в математике мы можем получить знания, которые несомненны, в то время как в других науках и в повседневной жизни это невозможно. Подытожим результаты нашего исследования природы математики. Прав ли я, говоря, что математика изучает несуществующие объекты и может их полностью описать?

Гиппократ. Да, именно это мы установили.

Сократ. Тогда скажи, дорогой Гиппократ, разве не удивительно, что мы знаем о предметах несуществующих больше, чем о предметах реальных?

Гиппократ. Пожалуй, это действительно странно! Я думаю, что в наши рассуждения вкралась ошибка.

Сократ. Нет, мы были предельно внимательны и проверяли каждый шаг наших рассуждений. Здесь не может быть никакой ошибки. Но я, кажется, вспомнил кое-что, и это поможет разрешить нашу задачу.

Гиппократ. Говори быстрее, я совсем сбит с толку.

Сократ. Сегодня утром я был в зале второго судьи, где жену плотника из деревни Питтос обвиняли в измене и убийстве мужа при соучастии любовника. Женщина протестовала, она клялась Артемидой и Афродитой, что невиновна, что никогда не любила никого, кроме своего мужа, и что он убит грабителями. Множество людей было вызвано в качестве свидетелей. Одни говорили, что она виновна, а другие, что нет. И было невозможно выяснить правду.

Гиппократ. Ты снова смеешься надо мной? Сначала ты сбил меня с толку, а теперь передаешь всякие россказни.

Сократ. Не сердись, мой друг! У меня есть серьезные причины, чтобы поговорить об этой женщине, виновность которой установить невозможно. Но одно верно: женщина существует, я видел ее собственными глазами, и все, кто был там, а многие из них ни разу в жизни не солгали, ответят тебе так же.

Гиппократ. Твоего свидетельства для меня вполне достаточно, дорогой Сократ. Пусть считается доказанным, что женщина существует. Но что общего у этого факта с математикой?

Сократ. Больше, чем ты думаешь. Скажи мне сначала: знаешь ли ты предание об Агамемноне и Клитемнестре?

Гиппократ. Эту историю знают все. В прошлом году я видел трилогию Эсхила в театре.

Сократ. Расскажи мне ее в нескольких словах.

Гиппократ. Пока Агамемнон, микенский царь, сражался под стенами Трои, его жена Клитемнестра согрешила с Эгистом, двоюродным братом мужа. После падения Трои, когда Агамемнон вернулся домой, Клитемнестра и ее любовник убили его.

Сократ. Скажи мне, Гиппократ, ты уверен, что Клитемнестра виновна?

Гиппократ. Не понимаю, зачем ты задаешь подобный в. опрос? Правдивость этой истории несомненна. Согласно Гомеру, когда Одиссей был в преисподней, он встретил Агамемнона и тот сам рассказал ему о своей печальной судьбе.

Сократ. Но ты уверен, что Агамемнон, Клитемнестра и все остальные персонажи этой трагедии действи_: тельио существовали?

Гиппократ. Возможно, меня изгнали бы из общества, если бы я сказал это публично, но мое мнение таково, что по прошествии стольких веков невозможно доказать или опровергнуть правдивость гомеровских поэм. Но это совсем не относится к делу. Когда я сказал тебе, что Клитемнестра виновна, я говорил не о реальной Клитемнестре, если она действительно когда-либо существовала, а о Клитемнестре из поэмы Гомера, Клитемнестре из трилогии Эсхила.

Сократ. Могу ли я сказать, что мы ничего не знаем о реальной Клитемнестре? Даже ее существование сомнительно, но, рассматривая ее как персонаж трагедии Эсхила, мы уверены, что она была вероломна и действительно убила Агамемнона, потому что именно так рассказывает нам Эсхил.

Гиппократ. Согласен. Но к чему ты настаиваешь на этом?

Сократ. Погоди. Сначала подытожим все, что мы выяснили. Невозможно установить, виновна ли жен-щина во крови и плоти, живущая сегодня в Афинах, в то время как несомненно, что персонаж трагедии — Клитемнестра, которой, возможно, вообще не было на свете, виновна. Ты согласен?

Гиппократ. Я начинаю понимать, что ты хочешь сказать. Однако будет лучше, если ты сделаешь выводы.

Сократ. Заключение таково: мы знаем гораздо больше о людях, которые существуют только в нашем воображении, например о персонажах пьес, чем о реально живущих людях. Если мы говорим, что Клитемнестра виновна, то это означает, что так ее изобразил Эсхил в своей пьесе. Подобное положение и в математике. Мы уверены, что диагонали прямоугольника абсолютно одинаковы, потому что это следует из определения прямоугольника, данного математиками.

Гиппократ. Ты имеешь в виду, Сократ, что наш парадоксальный результат действительно правилен и можно иметь значительно более определенные знания о несуществующих вещах, например о математических понятиях, чем о реальных объектах? Мне кажется, теперь я понимаю, отчего так получается. Понятия, которые мы сами создали, известны нам полностью по самой их природе и мы можем о них узнать все, поскольку у них нет иной жизни, кроме как в нашем воображении. А вот объекты, существующие в реальном мире, не тождественны с нашими представлениями о них, поскольку они всегда неполны и приблизительны. Именно поэтому наши знания о действительно существующих вещах никогда не могут быть исчерпывающими или окончательными.

Сократ. Совершенно верно, дорогой мой друг, ты сказал лучше, чем смог бы это сделать я сам.

Гиппократ. Это твоя заслуга, Сократ, потому что ты помог мне понять эти вещи. Теперь я не только вижу, что Театет был совершенно прав, говоря, что я должен изучать математику, если хочу получить надежные знания, но и знаю, почему он был прав. Однако если уж ты так терпеливо разъяснял мне все до сих пор, то, прошу тебя, не покидай меня и теперь, потому что один мой вопрос, пожалуй наиболее важный, еще остался без ответа.

Сократ. Какой вопрос?

Гиппократ. Вспомни, Сократ, что я пришел просить твоего совета, должен ли я изучать математику. Ты помог мне попять, что математика и только математика может дать те основательные знания, которые я хотел бы иметь. Но какая польза от этих знаний? Ясно, что если получить некоторые знания о реальном мире, хотя бы неполные и не вполне определенные, то их значение будет несомненно и для отдельного человека и для страны в целом. Даже изучение звезд полезно, например, для мореплавателей. Но какая польза от изучения несуществующих предметов, которым как раз и занимается математика?

Сократ. Дорогой мой друг, я уверен, что ты знаешь ответ и только хочешь проверить меня.

Гиппократ. Клянусь Гераклом, я не знаю ответа. Помоги мне, прошу тебя.

Сократ. Согласен. Попытаемся найти его. Мы уже убедились, что математические понятия создаются самими математиками. Но выбирает ли математик эти понятия произвольно, как ему хочется?

Гиппократ. Я уже говорил тебе, что еще недостаточно знаю математику. Но мне кажется, математик гак же свободен в выборе объектов своего исследования, как поэт в выборе персонажей своих пьес, и как поэт наделяет своих персонажей чертами, которые ему приятны, так и математик вкладывает в понятия такие свойства, какие ему хочется.

Сократ. Но тогда существовало бы столько же математических истин, сколько самих математиков Как же ты объяснишь в таком случае то обстоятельство, что все математики изучают одни и те же понятия и проблемы? И почему нередко математики, живущие далеко один от другого и даже не знающие друг друга, открывают одни и те же истины и изучают одни и те же понятия? Если они говорят о числах, то имеют в виду одни и те же числа, а прямые, круги, квадраты, шары и правильные тела одинаковы для всех.

Гиппократ. Нельзя ли объяснить это тем, что все люди мыслят одинаковым образом и поэтому одни и те же вещи они представляют одинаково?

Сократ. Дорогой Гиппократ, мы получим удовлетворительное объяснение не раньше, чем рассмотрим предмет обсуждения со всех точек зрения. Как объяснить те нередкие факты, когда математики, живущие далеко друг от друга, скажем один в Тарепте, а другой на острове Самос, открывают одну и ту же истину, даже не зная один другого? И в то же время я никогда не слышал, чтобы два поэта написали одну и ту же поэму.

Гиппократ. Ия никогда не слышал об этом. Но вспоминаю, что Театет рассказывал мне об очень интересной открытой им теореме о несоизмеримых величинах. Он показал теорему своему учителю Теодору, а тот в свою очередь вытащил письмо от Архитаса, где было изложено то же доказательство, почти слово в слово.

Сократ. В поэзии это невозможно. Вот видишь, появилась новая проблема. Но продолжим. Как ты объяснишь, что математики разных стран обычно согласны по поводу математических истин, в то время как о государственных вопросах персы и спартанцы, например, имеют совершенно противоположные мнения, чем в Афинах, и, более того, даже между собой мы часто не соглашаемся друг с другом?

Гиппократ. Я отвечу на твой последний вопрос. В делах, касающихся государства, заинтересован каждый, и эти частные интересы иногда очень противоречивы. Вот почему трудно прийти к соглашению. А математик руководствуется просто стремлением найти истину.

Сократ. Ты хочешь сказать, чго математики пытаются найти истину, которая совершенно не зависит от их собственных интересов?

Гиппократ. Да.

Сократ. Но тогда мы ошибались, думая, что математики выбирают объекты своего изучения по собственному желанию. Выходит, объект их изучения имеет несколько форм существования, которые независимы от личности математика. Мы должны разрешить эту новую загадку.

Гиппократ. Я не знаю даже, с чего начать.

Сократ. Если у тебя еще осталось терпение, то попытаемся вместе. Скажи мне, что общего между мореплавателем, который ищет необитаемый остров, и живописцем, ищущим новую краску, которая не была бы использована раньше?

Гиппократ. Я думаю, что они обогащают человечество открытиями.

Сократ. Но в чем, по твоему мнению, состоит различие между ними?

Гиппократ. Я думаю, что мореплавателя можно назвать открывателем, а живописца — изобретателем. Мореплаватель открывает остров, который существовал раньше, только он был неизвестен, в то время как живописец изобретает новую краску, которая до этого вообще не существовала.

Сократ. Никто не смог бы ответить на этот вопрос лучше. Но, скажи мне, математик, ищущий новую истину, открывает ее или изобретает? Открыватель ли он, как мореплаватель, или изобретатель, как живописец?

Гиппократ. Я не могу ответить на этот вопрос, так как у меня еще нет никакого собственного опыта. Но Театет рассказывал мне о их совместных исследованиях с Теодором, и поэтому я думаю, что математика скорее нужно считать открывателем, хотя он имеет сходство и с изобретателем.

Сократ. Хорошо сказано. Мне кажется, что математик в равной мере открыватель и изобретатель. Но почему ты ответил так быстро? Ты хотел сказать, что математик в известном смысле является также и изобретателем?

Гиппократ. Математик сам создает понятия, которые он изучает. При этом, когда математик создает новое понятие, он поступает так же, как изобретатель. Когда же он изучает понятие, введенное им самим или кем-либо другим, или формулирует теорему — на языке математики — и доказывает ее, то он поступает как открыватель. После всего, что мне рассказал Театет, «открытие» теорем в работе математиков играет, по-видимому, большую роль, чем «изобретение» понятий, так как самые простейшие понятия, например понятия числа и делимости, приводят к столь многим и глубоким проблемам, что математики до сих пор смогли решить лишь небольшую их часть.

Сократ. Очевидно, дорогой Гиппократ, твой друг Театет уже многое изучил и, как я вижу, успешно. Мне кажется, что математик больше похож на открывателя. Он — смелый мореплаватель, плавающий по неизвестному морю и исследующий его побережья, острова и водовороты. Я хотел бы только добавить, что математик в некотором роде также изобретатель, в особенности когда он вводит новые понятия. Ведь каждый открыватель должен быть в какой-то мере изобретателем. Например, если мореплаватель хочет достичь мест, до него никем не достигнутых, он должен построить корабль, который был бы лучше других кораблей. Новые понятия, введенные математиками, подобны новым кораблям, которые поддерживают исследователя в великом море мыслей. Прежде всего математик является открывателем; изобретателем он является лишь постольку, поскольку им должен быть открыватель.

Гиппократ. Дорогой мой Сократ, я уверен, что в Афинах и, вероятно, даже во всей Элладе нет человека, который так же, как ты, владел бы искусством вести беседу. Каждый раз, когда ты обсуждаешь мои слова, ты говоришь то, о чем я, возможно, подозреваю, но не могу выразить с такой ясностью/Из твоего заключения следует, что главная цель математика — исследование секретов и загадок в море человеческого мышления. Они существуют независимо от личности математика, но не от человечества в целом. Математик может вводить по своему усмотрению новые понятия в качестве рабочего инструмента. Однако он не совсем свободен в этом, потому что новые понятия должны быть полезны для его работы. Мореплаватель тоже может построить любой корабль по своему усмотрению, но мы бы сочли его сумасшедшим, если бы он построил корабль так, что тот развалился на куски при первом же шторме. Теперь, я думаю, все ясно.

Сократ. Если ты все так ясно представляешь, попробуй снова ответить на вопрос, что же изучает математика.

Гиппократ. Попытаюсь, но, разумеется, это снова будет неполный ответ, ведь я все еще понимаю лишь часть истины.

Сократ. Тогда смело вперед, подобно отважному мореплавателю!

Гиппократ. Теперь я вижу: раньше мы ошибочно утверждали, что математика занимается вещами, которых в действительности нет. Эти вещи существуют, но не так, как существует камень или дерево. Мы их не можем увидеть, коснуться, мы можем только охватить их своими мыслями. Есть другой мир — мир математики, отличный от обычного мира, в котором мы живем. А математик — отважный мореплаватель, не отступающий перед трудностями, опасностями и риском, подстерегающими его.

Сократ. Друг мой, твоя юношеская энергия почти сбивает меня с ног, но боюсь, что в пылу энтузиазма ты не замечаешь некоторых вопросов.

Гиппократ. Каких вопросов? Ты пожертвовал мне так много времени, но, прошу тебя, не оставляй меня на полпути и скажи, что я позабыл.

Сократ. Мне кажется, мы все еще не нашли ответа на твой вопрос. Мы оба, вероятно, теперь лучше понимаем, что такое собственно математика. Но на вопрос о смысле и цели математики, этого океана человеческих мыслей, мы еще не ответили.

Гиппократ. Ты прав. Я убедился, что при изучении математики приобретаешь надежные основополагающие знания. Когда я погружусь в этот чудесный мир, ко мне, наверное, придет то прекрасное чувство, которого до сих пор я не находил: есть истина, которая не оставляет место сомнению. Я понял, что мир математики существует в действительности и независимо от меня, пусть не в том роде, как камни и деревья, но тем не менее он существует. К чему, собственно, исследовать этот мир? Может быть, на этот раз ты отложишь в сторону свой метод и попросту ответишь на мой вопрос? Боюсь, что сам я не способен найти разумный ответ.

Сократ. Нет, мой друг, если бы даже я смог, я бы не сделал этого, и только ради твоей же пользы. Знания, получаемые без труда, ничего не стоят. До конца мы понимаем только то — возможно, с помощью извне, — что узнаем сами, подобно тому как растение может использовать только ту воду, которую оно высасывает из почвы собственными корнями.

Гиппократ. Хорошо. Продолжим наши поиски тем же методом, но помоги мне вопросом.

Сократ. Теперь я вижу, дорогой Гиппократ, что мы должны вернуться назад, если хотим продвинуться вперед.

Гиппократ. Как далеко нам следует вернуться?

Сократ. Я думаю, мы должны вернуться к тому моменту, когда мы установили, что математик имеет дело не с числом овец, кораблей или других реальных вещей, а с числами как таковыми. Me думаешь ли ты, однако, что математическое открытие, верное для простых чисел, справедливо также и для чисел реальных предметов? Например, математик определяет, что 17 — это простое число. А разве не правда, что ты не можешь 17 живых овец равномерно распределить между людьми, если их не 17 человек?

Гиппократ. Конечно, это правда.

Сократ. Значит, то, что математик знает о числах, можно применять к действительно существующим предметам?

Гиппократ. Это так.

Сократ. А в отношении геометрии? Не опирается ли архитектор на геометрические теоремы, когда он чертит план постройки? Не использует ли он знаменитую теорему Пифагора, когда вычерчивает прямой угол?

Гиппократ. Ты прав.

Сократ. А не использует ли геометрию также землемер?

Гиппократ. Это общеизвестно.

Сократ. А корабельный плотник или кровельщик?

Гиппократ. Они поступают точно так же.

Сократ. А когда гончар делает кувшин или мореплаватель подсчитывает, сколько зерна вмещают трюмы его корабля, разве они не нуждаются в математике?

Гиппократ. Конечно, хотя, мне кажется, в делах ремесленников не требуется слишком много математики. Для большинства подобных задач достаточно знать простые правила, известные еще чиновникам египетских фараонов, и новые открытия, о которых Театет рассказывал мне с таким усердием, совсем не используются и не нужны для практических дел.

Сократ. В одном ты прав, Гиппократ, но в другом ты снова ошибаешься. Возможно, придет время, когда люди из всех математических открытий будут извлекать практическую пользу. То, что сегодня только теория, когда-нибудь сможет приобрести крайнюю необходимость для реальной жизни. Не так ли?

Гиппократ. Меня интересует настоящее.

Сократ. Ты непоследователен, Гиппократ. Если ты хочешь стать математиком, то должен осознать, что будешь работать в большей мере для будущего. А теперь вернемся к главному вопросу. Мы увидели, что познание мира идей, то есть вещей, которые не существуют, в обычном смысле этого слова, может пригодиться в повседневной жизни для ответа на вопросы о реальном мире, Не удивительно ли это?

Гиппократ. Более того, непостижимо! Это действительно чудо.

Сократ. Возможно, это не так уж таинственно, и если мы вскроем сущность этого вопроса, то сможем найти подлинную жемчужину.

Гиппократ. Прошу тебя, дорогой Сократ, не говори загадками, подобно Пифии.

Сократ. Скажи мне в таком случае, удивляет ли тебя, когда кто-то, кто побывал в дальних странах, кто многое видел и многое испытал, возвращается домой и пользуется приобретенным опытом для того, чтобы дать хороший совет своим согражданам?

Гиппократ. Вовсе нет.

Сократ. Даже если страны, которые он посетил, находятся очень далеко и населены совершенно другим народом, разговаривающим на другом языке и поклоняющимся иным богам?

Гиппократ. Нет, даже в этом случае, потому что между разными народами есть много общего.

Сократ. Теперь скажи мне: если бы оказалось, что мир математики, несмотря на его особенности, в некотором смысле подобен нашему реальному миру, ты бы все еще удивлялся, что математика может применяться для изучения реального мира?

Гиппократ. В этом случае нет, но я не вижу никакого сходства между реальным миром и воображаемым миром математики.

Сократ. Ты видишь скалу на другом берегу реки, там, где река расширяется и образует как бы озеро?

Гиппократ. Вижу.

Сократ. А ты видишь отражение скалы в воде?

Гиппократ. Конечно.

Сократ. Тогда скажи, какая разница между скалой и ее отражением?

Гиппокра т. Скала — твердый кусок тяжелого вещества. Она нагревается на солнце. И на ощупь грубая. Отражение нельзя потрогать. Если положить на него руку, то ощутишь только прохладную воду. Па самом деле отражения не существует. Это иллюзия — и ничего больше.

Сократ. Значит, нет ничего общего между скалой и ее отражением?

Гиппократ. В определенном смысле отражение есть точная копия скалы. Контуры скалы, даже самые маленькие ее складки ясно видны в отражении. Но что из того? Неужели ты хочешь сказать, что мир математики — это отражение действительного мира в зеркале нашего мышления?

Сократ. Ты сказал очень хорошо.

Гиппократ. Но как же это возможно?

Сократ. Вспомни, как развивались абстрактные математические понятия. Мы говорили, что математики имеют дело с отвлеченными числами, а не с количествами реальных предметов. Но думаешь ли ты, что тот, кто никогда не считал действительных предметов, может постичь абстрактное понятие числа? Так и в геометрии. Ребенок приходит к понятию шара благодаря общению с круглыми предметами, например с мячами. Все основные математические понятия человечество развило таким же путем. Эти понятия выкристаллизовывались из знаний о реальном мире, и совершенно естественно, что они сохраняют следы своего происхождения, подобно тому как дети сохраняют черты своих родителей. И точно так же как дети, когда они подрастают, становятся поддержкой своих родителей, так и некоторые отрасли математики, если они достаточно разработаны, становятся полезными инструментами в исследовании действительного мира.

Гиппократ. Теперь мне вполне ясно, как познание несуществующих понятий мира математики может быть полезно в повседневной жизни. Ты оказал мне большую услугу, помогая понять это.

Сократ. Завидую тебе, дорогой мой Гиппократ, потому что мне лично хотелось бы кое-что обосновать. Вероятно, ты сможешь помочь мне.

Гиппократ. Я сделаю это с удовольствием, но боюсь, ты снова подшучиваешь надо мной. Не смущай меня просьбой о помощи, а лучше разъясни вопрос, которого я не заметил.

Сократ. Ты и сам увидишь, если попытаешься подвести итоги нашей беседы.

Гиппократ. Хорошо. Когда стало ясно, почему математика может дать определенные знания о мире, отличном от мира, в котором мы Живем, то есть о мире человеческого мышления, остался вопрос о том, какова польза этого познания. Сейчас мы выяснили, что мир математики— не что иное, как отражение в нашем сознании реального мира. Теперь понятно, что каждое открытие в мире математики дает некоторую информацию о действительном мире. Я полностью удовлетворен ответом.

Сократ. Если я скажу, что ответ не вполне законченный, то сделаю это не для того, чтобы смутить тебя, а потому, что уверен — раньше или позже ты сам задашь подобный вопрос и упрекнешь меня в том, что я не обратил на него твоего внимания. Ты спросишь: «Скажи мне, Сократ, какой смысл в изучении отраженных образов, если мы можем изучать сами предметы?»

Гиппократ. Ты совершенно прав, это очевидный вопрос. Ты волшебник, Сократ. Ты способен смутить меня несколькими словами и невинным с виду вопросом разрушить здание, построенное с таким большим трудом. Я могу, конечно, ответить, что если есть возможность взглянуть на оригинал, то бессмысленно рассматривать его отражение. Но я уверен, что это доказывает только то, что наше сравнение неудачное. Конечно, ответ где-то здесь, но я не знаю, как его найти.

Сократ. Твоя догадка верна, парадокс возник из-за того, что мы считали сходство отражения и образа слишком уж близким. Сходство подобно луку — если ты натягиваешь его слишком сильно, он ломается. Оставим этот пример и выберем другой. Ты, конечно, знаешь, что путешественники и мореплаватели пользуются картами.

Гиппократ. Я знаю это по собственному опыту. Ты считаешь, что математики составляют карту реального мира.

Сократ. Да. Можешь ли ты теперь ответить на вопрос: в чем преимущество взгляда на карту по сравнению со взглядом на ландшафт?

Гиппократ. Здесь все ясно: пользуясь картой, мы изучаем огромные расстояния, которые, путешествуя, мы можем разглядеть только за многие недели или месяцы. На карте показаны не детали, а только наиболее важные предметы. Поэтому карты очень полезны, если кто-либо собирается в длительное путешествие.

Сократ. Превосходно. Но мне на ум пришло еще кое-что.

Гиппократ. Что же?

Сократ. Есть другая причина, почему изучение математических представлений мира может быть полезно. Если математики обнаруживают какое-то свойство круга, это в то же время дает нам некоторую информацию о любом объекте круглой формы. Таким образом, математический метод позволяет в одно и то же время иметь дело с различными вещами.

Гиппократ. Рассмотрим следующие примеры. Если кто-либо смотрит на город с вершины близлежащей горы, он получает более полное впечатление, чем когда прогуливается по извилистым улицам. Или, когда военачальник наблюдает за передвижением вражеской армии с холма, он получает более четкую картину положения, чем солдат на переднем крае, который видит только то, что находится непосредственно перед ним.

Сократ. Хорошо, ты лучше меня придумываешь новые сравнения, но, так как я не хочу отставать, позволь мне рассказать одну притчу. Недавно я наблюдал, как рисовал Аристофан, сын Аглаофопа, и живописец предупредил меня: «Если ты, Сократ, подойдешь к картине слишком близко, то увидишь лишь цветные пятна, но не увидишь всей картины».

Гиппократ. Конечно, он был прав, и ты тоже, когда не дал закончить нашу беседу, прежде чем мы достигли существа вопроса. Но, я думаю, пора возвращаться в город, так как уже темнеет, а я голоден и хочу пить. Если у тебя еще осталось терпение, я хотел бы спросить тебя кое о чем по дороге.

Сократ. Прекрасно, пойдем и можешь задать свой вопрос.

Гиппократ. Наша беседа окончательно убедила меня, что я должен изучать математику, и я очень благодарен тебе за это. Но скажи мне, почему ты сам не становишься математиком? Судя по тому, как глубоко ты понимаешь окружающую природу и сознаешь важность математики, я догадываюсь, что ты превзошел бы всех математиков Эллады, если бы занялся ею. Я был бы рад пойти к тебе учеником по математике, если бы ты согласился.

Сократ. Нет, дорогой Гиппократ, это не мое дело. Теодор знает гораздо больше о математике, чем я, и ты не сможешь найти лучшего учителя. Что касается твоего вопроса, почему я не математик, я тебе скажу причину.

Я не скрываю своего высокого мнения о математике. Я думаю, что мы, эллины, ни в каком другом искусстве не продвинулись так далеко, как в математике, и это только начало. Если мы не уничтожим друг друга в безумных войнах, мы достигнем прекрасных результатов и как открыватели, и как изобретатели. Ты спросил, почему я не присоединяюсь к тем, кто развивает эту великую науку. Отвечу тебе коротко: я один из математиков, только другого рода. Внутренний голос — ты можешь назвать это прорицанием, — к которому я всегда внимательно прислушиваюсь, спросил меня много лет назад: «Каков источник огромного успеха, достигнутого математиками в их благородной науке?» Я ответил: «Я думаю, ключ к успехам математиков лежит в их методах, высоких стандартах их логических требований, стремлении к истине без малейших компромиссов, в привычке начинать всегда с первичных принципов, с определения каждого понятия, используемого точно и лишенного внутренних противоречий». Мой внутренний голос продолжал: «Очень хорошо, но почему ты думаешь, Сократ, чго эти методы мышления и доказательства могут быть полезны только для изучения чисел и геометрических форм? Почему ты не попытаешься убедить своих сограждан применять те же самые высокие логические стандарты в других областях знания, например в философии и политике, при обсуждении проблем повседневной личной и общественной жизни?» С того времени именно это стало целью моей жизни. Я уже доказал (ты помнишь, конечно, наш спор с Протагором?), что те, кого считают мудрыми, большей частью просто невежественные глупцы. Всем их рассуждениям не хватает твердого основания-, поскольку — в противоположность математикам — они используют неопределенные и полуосознанные понятия. Поэтому я нажил много врагов. И не удивительно, так как для всех, кто пользуется туманными терминами, чтобы скрыть неясность содержания, я стал живым упреком. Люди не любят тех, кто постоянно напоминает им о недостатках, которые они не способны или не желают исправлять. Придег день, когда мои враги нападут и уничтожат меня. Но пока этот день не пришел, я буду следовать моему назначению. А ты все же иди к Теодору.