Диалоги о математике

Послесловие

Автор-оптимист не пишет предисловия к своей книге, так как уверен, что книга скажет сама за себя. Он убежден, что высказанное им читатели поймут без дополнительных объяснений. Несмотря на свой оптимизм, я чувствую, что в данном случае необходимо если не в предисловии, то хотя бы в послесловии рассказать о целях автора и о размышлениях, которые привели его к выбору литературной формы диалога. Я привожу свои замечания в послесловии, поскольку на самом деле хочу, чтобы их прочитали после диалогов.

Интерес к математике и ее применениям увеличивается из года в год в каждой стране у все возрастающего числа людей. Меня уже много раз просили написать популярные беседы о математике; в каждом из таких случаев я замечал, что большинство людей хотят выяснить, что же в действительности представляет собой математика, в чем специфика ее методов, каково ее отношение к точным и гуманитарным наукам. Я увидел также, что все, кто посещает подобные лекции по математике или намерен читать популярные книги по математике, хотят скорее просто расширить свои взгляды, а не узнать специфические математические методы. Даже те, кто действительно нуждается в знании математики по роду своей работы, перед тем как решиться всерьез изучать какую-то область математики, хотят выяснить, что это им даст, так как математика очень нелегка для непривыкших к ней.

Беседуя о математике с нематематиками, я обнаружил предрассудки, неправильное понимание и неправильное представление не только среди лиц, чьи основные интересы и деятельность очень далеки от этой науки, но даже среди тех, кто по роду своей деятельности имеет определенные знания в какой-то части той или иной ее области. Не удивительно, что лица, обладающие некоторыми познаниями, но не имеющие достаточно широких взглядов или достаточно глубокой проницательности, более всего склонны делать ложные обобщения. Я заметил также, что принципы математики и их применения часто обсуждаются даже среди математиков и многое в этой области очень спорно.

Все это убедило меня в том, что действительно необходимо обсудить основные вопросы математики и ее применений таким способом, чтобы сделать их понятными неспециалистам и одновременно раскрыть эти проблемы во всей их сложности. Я сознавал, что сделать такие вопросы общедоступными нелегко, поэтому искал какой-либо особый метод. Поиск привел меня к опыту с сократовской формой диалога. Сократовский диалог демонстрирует мысли в процессе их создания и как бы инсценирует их. Благодаря этому читатель внимательно следит за развитием мысли и легко понимает ее.

Основной темой первого диалога я выбрал вопрос: «В чем же состоит сущность математики?» Я считаю обсуждение этого вопроса особенно важным, поскольку обучение математике в начальной и средней школах все еще далеко от четкого, правильного и современного ответа на этот вопрос.

В первом диалоге я попытался следовать как можно ближе методу и даже языку сократовского диалога. Сократ сам основное действующее лицо, и беседа происходит в период, когда математика зарождалась, в том смысле, в каком с этого времени ее стали понимать. Таким образом, математика преподносится читателю в «процессе становления». В диалоге Сократ, задавая вопросы, постепенно приводит своего собеседника к пониманию существа проблемы. Сократовский диалог — это не столкновение двух точек зрения, просто участники пытаются совместно выяснить истину. Логически анализируя сложные понятия, они шаг за шагом приходят к ответу. В споре участники часто делают выводы — иногда в очень категорической форме, — которые впоследствии осознают как неверные. Таким образом, сократовский диалог — это нечто органически цельное, и его настоящее значение можно понять, только если читать его с начала до конца, по возможности без перерыва. Все указанные особенности делают сократовский диалог живым и ярким, и поэтому я выбрал подобную форму как наиболее подходящую для моих целей.

У меня была еще одна причина — твердая уверенность в том, что сократовский метод родствен математическому. Моя вера еще более усилилась после недавних фундаментальных исследований Арпада Сабо, проливших совершенно новый свет на происхождение древнегреческой математики.

Первый диалог был опубликован в Венгрии в 1962 году. В 1963 году появился французский перевод в журнале «Les Cahiers Rationalistes». В 1963 году я представил этот диалог в качестве застольной беседы на встрече американских физиков в Эдмонтоне, а английский текст был опубликован в «Canadian Mathematical Bulletin» и в «Physics Today», а затем перепечатан журналом «Simon Stevin». Потом он появился в немецком и португальском переводах.

Теплый прием первого диалога как математиками, так и нематематиками поощрил меня продолжить опыт. Второй диалог впервые был прочитан в Торонтском университете в 1964 году и появился на английском языке в журнале «Ontario Mathematics Gazette» и позднее в «Simon Stevin».

Поскольку в первом диалоге я обсуждал отношение математики к действительности только в общем философском смысле, во втором я хотел более детально обсудить применения математики. Казалось логичным выбрать главным героем подобного диалога Архимеда, так как его имя даже в древности было неразрывно связано с применениями математики. Однако исторические рамки второго диалога не позволили мне сказать об этой спорной теме все, что я хотел.

В результате я почувствовал, что надо писать третий диалог, главный герой которого — Галилей, первый мыслитель нового времени, полностью осознавший центральное значение математических методов в открытии законов природы и распространявший свои убеждения с огромной силой. Второй и третий диалоги дополняют друг друга, а также первый. Они существенно отличаются от первого по форме и стилю. Архимед и Галилей, конечно, не используют метод Сократа: вместо того чтобы подвести своих собеседников к тому, чтобы те угадали их мысли, они высказываются сами. Таким образом, я был вынужден обойтись без главного источника внутреннего напряжения, которое присуще сократовскому диалогу. Я попытался скомпенсировать эту потерю, выбрав решающие исторические ситуации, динамика которых неразрывно связана с проблемами диалогов.

Введение образов Архимеда и Галилея позволило затронуть в диалогах более специальные математические темы, чем в первом, особенно те идеи, которые были высказаны в свое время Архимедом и Галилеем. Я попытался в той или иной форме объединить наиболее значительные их достижения.

В этой связи я должен сказать несколько слов о том, как я поступил с историческими фактами. Во всех трех диалогах я пытался избежать разного рода анахронизмов. Я был очень осторожен, чтобы не приписать своим героям такие знания математики (равно как и других предметов), которыми они не могли обладать в то время. Однако и Архимед и Галилей были пионерами, чьи идеи и образ мышления не только опережали их век, но остаются современными даже при измерении их мерами наших дней, поэтому я не отказался от включения в диалоги всего, что считал важным. Конечно, чтобы избежать анахронизмов, я вынужден был ограничивать себя в основном примерами из элементарной математики. Я смог затронуть математику бесконечно малых величин только в такой мере, в какой это сделали Архимед и Галилей. Последнее вынудило меня избежать примеров, которые могли бы оказаться слишком трудными для нематематиков.

Я не придерживался требований исторической правды так строго, как тогда, когда нужно было описать действительные взгляды и идеи моих героев, я считал себя вправе приписать им взгляды и мысли, которые они могли бы высказать, особенно если они являлись логическим развитием идей, о которых они были хорошо осведомлены. В тех случаях, когда они ошибались, я был вынужден не утаивать фактов. Галилей, например, считал, что планеты движутся по круговым орбитам вокруг Солнца, но не понимал роли гравитации, поэтому соответственно и высказывался по этим вопросам. Однако я считал допустимыми смелые предположения, например то, что Архимед дошел до некоторых идей современной кибернетики и создал машину для отсеивания простых чисел[8]. Я не могу подтвердить подобные предположения какими-либо документами и, конечно, не считаю их хорошо известными; единственное, что я утверждаю, это их достаточную правдоподобность. Мы не в силах ни опровергнуть эти предположения, ни доказать их. Я думал, что «поэтическая свобода» дает мне право использовать такие гипотезы.

Что касается исторического фона второго и третьего диалогов, я старался придерживаться исторических фактов. Единственное исключение, где я сознательно отступил от достоверности, когда во втором диалоге допустил, что царь Гиерон руководит обороной Сиракуз при осаде их в 212 году до н. э. На самом деле он умер тремя годами раньше. Все диалоги содержат описание предполагаемых гипотез, о которых мы ничего определенного не знаем, но которые не противоречат известным фактам. Например, план побега Галилея: не известно, готовили в действительности Торричелли и его друзья такой план или нет, но это вполне возможно.

Основное содержание некоторых высказываний в диалогах либо прямо принадлежит моим героям, либо приписывается им их современниками. Например, случаи, когда Сократ беседует о себе[9], Архимед — о своем методе[10] и Галилей — о языке книги природы[11]. Такие предложения выделены курсивом. Я пытался представить личности моих героев по возможности правдиво. Что касается третьего диалога, на меня очень повлияла драма Ласло Немета «Галилей»: я взял оттуда, среди пролего, мысль о существовании Торричелли и синьоры Никколини.

Надеюсь, послесловие разъяснило мои цели при написании диалогов. Пусть судит читатель, насколько хорошо мне удалось реализовать свои намерения.