Электроника?.. Нет ничего проще!

Беседа седьмая СИГНАЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ. ОГРАНИЧЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Незнайкин — Дорогой Любознайкин, прошлый раз я забыл задать тебе один вопрос. Скажи, пожалуйста, насколько верно воспроизводят сигналы различные «суперусилители», о которых ты мне рассказывал?

Любознайкин — Точность воспроизведения прекрасная у всех систем, собранных по схеме катодного или эмиттерного повторителя и особенно у «суперэмиттерного повторителя» на двух взаимно дополняющих транзисторах, так как эта схема характеризуется глубокой отрицательной обратной связью. Само собой разумеется, что ты можешь осуществить эту верность воспроизведения лишь в том случае, если не перегрузишь схему, т. е. не заставишь ее давать на выходе наибольший ток или наибольшее напряжение, но в промышленной электронике во многих случаях линейность не является основным требованием, предъявляемым к усилителю, иногда даже наоборот…

Н. — Вот как! Так значит сигнал деформируют, полагаясь на волю случая или в силу извращенности?

Л. — Да, сигнал деформируют, но не по воле случая. Что же касается извращенности, то ты можешь и, вероятно, предложишь мне основать АЗСОПД (Ассоциацию Защитников Сигналов От Порочного Деформирования).

Н. — Надеюсь, что ты вступишь в эту ассоциацию. Но как могут деформированные сигналы создавать неискаженный звук?

Л. — На этот раз выбрось из головы свои идеи о звуковоспроизведении и музыкальности. Воспроизведение звука — одна из сфер приложения радиоэлектроники, но она никоим образом не исчерпывает всей радиоэлектроники, точно так же, как и электричество служит не только для питания электроплиток. Напряжение с выхода твоего усилителя может приводить в действие не только громкоговоритель. И если ты хочешь, чтобы оно, например, включало реле, разве напряжение обязательно должно быть синусоидальным?

Н. — Согласен. А каким деформациям ты подвергнешь сигнал?

Л. — Мы начнем с ограничения сигнала сверху, так как этот практичный метод позволяет уравнять величину сигналов с различной амплитудой. Такую задачу можно успешно решить путем использования простого диода. Как ты видишь, изображенная на рис. 53 схема пропустит на выход только положительную часть входного сигнала U_вх.

Рис. 53. Ограничитель. На выход проходит только положительная часть поступающего на вход напряжения.

Н. — Это понять легко. Но для чего понадобился здесь резистор R?

Л. — Его роль не так очевидна. Представь себе, что на выход подключают какую-нибудь нагрузку, использующую напряжение U_вых и обладающую большим сопротивлением для постоянного тока и существенной емкостью. При возрастании U_вх напряжение U_вых будет также возрастать, при этом паразитная емкость зарядится через диод Д, но выходное напряжение не сможет следовать за входным, если последнее резко снизится (даже если оно и останется при этом положительным), так как паразитная емкость не успеет разрядиться. Включив параллельно названной емкости резистор R, я устранил описанную неприятность.

Н. — Но, чтобы хорошо разрядить паразитные емкости, тебе, вероятно, целесообразно взять R с очень небольшим сопротивлением?

Л. — С одной стороны, да, но не следует забывать, что входное напряжение U_вх во время положительных полупериодов должно создавать ток в резисторе R, включенном параллельно выходу. Следовательно, нужно сделать так, чтобы потребление тока резистором R не слишком перегружало источники U_вх.

Н. — А что произойдет, если изменить полярность диода Д?

Л. — Тогда схема будет срезать положительные части сигнала, и на выход будут поступать только отрицательные части входного сигнала U_вх. А теперь я покажу тебе другой амплитудный ограничитель. По своим характеристикам он уступает уже описанному, но иногда его все же приходится использовать; схема этого ограничителя приведена на рис. 54. Ты легко поймешь, как он работает.

Рис. 54. Ограничитель с параллельно включенным диодом, замыкающим накоротко цепь для отрицательной части входного напряжения.

Во время положительных полупериодов входного сигнала U_вх диод Д заперт и напряжение U_вх поступает на выход (через резистор R). Во время отрицательных полупериодов сигнала U_вх диод Д открыт и играет роль короткозамыкателя — напряжения на выходе нет. В принципе резистор R и диод Д работают как делитель напряжения, один элемент которого (Д) может иметь бесконечно большое или равное нулю сопротивление[11].

Н. — Это объяснение, очевидно, относится и к первой схеме. За исключением перемены мест диода и резистора схемы идентичны, и я не понимаю, почему второй ограничитель кажется тебе хуже первого.

Л. — Сейчас ты это увидишь. В схеме на рис. 53 во время положительных полупериодов сигнала U_вх (а меня интересуют только эти полупериоды, потому что отрицательные срезаются) источник U_вx подключается практически непосредственно на выход, так как ток проходит по диоду Д, обладающему малым сопротивлением. А в схеме на рис. 54 во время положительных полупериодов сигнала U_вх между входом и выходом находится резистор R. Все происходит так, как если бы увеличилось внутреннее сопротивление источника U_вх, а я тебе уже объяснил, насколько вредно повышение внутреннего сопротивления источника — оно может исказить форму сигналов.

Н. — Теперь я тебя совсем не понимаю! Только что, срезав все отрицательные полупериоды, ты сам ужасно деформировал сигнал, а теперь кажется боишься какой-то другой деформации?

Л. — Как ты говоришь, я «ужасно» деформировал сигнал, но это мне было нужно, чтобы, например, убрать отрицательные полупериоды. Это не означает, что мне обязательно требуется изменить также и форму положительных полупериодов: они могут являться необходимыми мне положительными синхронизирующими импульсами. Именно поэтому я сожалею о наличии в схеме на рис. 54 последовательно включенного резистора R.

Я не могу сильно уменьшить сопротивление резистора R, так как для хорошего срезания отрицательных полупериодов оно должно быть большим по сравнению с динамическим сопротивлением диода.

Н. — Должно быть это несложно, ведь проводящий диод накоротко замыкает цепь.

Л. — Это было бы слишком хорошо! Даже у самых хороших полупроводниковых диодов внутреннее динамическое сопротивление практически не бывает меньше 50 или даже 100 ом. А вакуумный диод с динамическим сопротивлением меньше 300 ом большая редкость. Я показал схему для того, чтобы позволить тебе сделать двухуровневый ограничитель. Взгляни на схему рис. 55.

Рис. 55. Двухуровневый ограничитель, выходное напряжение равно входному, когда последнее находится в пределах от +U до —U.

Как ты видишь, входное напряжение проходит на выход только в том случае, если оно больше —U и меньше +U. Напряжения порога ограничения U подаются на диоды, например, от двух маленьких батарей. Если входное напряжение U_вх поднимается выше +U, то диод Д₂ проводит ток и напряжение на выходе равно +U. Если входное напряжение опускается ниже —U, то ток пропускает диод Д₁ и напряжение на выходе равно —U.

Н. — Тогда, подав на вход синусоидальное напряжение (рис. 56, а), на выходе получим странную штуку, изображенную на рис. 56, б?

Рис. 56. Подавая синусоиду (а) на вход схемы, изображенной на рис. 55, на выходе получают синусоиду со срезанными верхушками (б).

Л. — Правильно. Ты очень хорошо нарисовал выходной сигнал — фронты сигнала не отвесные (отвесными они могут быть только в том случае, если амплитуда U_вх очень велика по сравнению с U). Поэтому, когда требуются сигналы более приближающиеся к прямоугольной форме (как показано на рис. 57), часто приходится вновь усиливать и затем еще раз ограничивать сигнал, полученный после первого ограничения. В результате получается колебание, по своей форме близкое к прямоугольным сигналам.

Рис. 57. Ограниченная синусоида (рис. 56, б) усиливается (а), а затем вновь подвергается ограничению (б).

Н. — Мне в голову пришла гениальная идея! Если сигнал нужно усиливать и ограничивать, то нельзя ли обе операции выполнить одновременно? Я вспоминаю, что перегруженный усилитель имеет тенденцию срезать верхушки сигналов.

Л. — Совершенно верно. Именно так часто осуществляют ограничение сигналов. Очень хорошо справляется с такой задачей усилитель, схему которого я для тебя нарисовал на рис. 58.

Рис. 58. Усилитель-ограничитель на двух транзисторах с эмиттерной связью: когда напряжение на входе положительное, запирается транзистор Т₂, когда отрицательное — запирается транзистор Т₁.

Н. — Почему ты поставил транзисторы n-р-n?

Л. — Потому что легче рассуждать, когда имеешь дело с положительными напряжениями. Кроме того, эту схему без изменений можно сделать на лампах (замену номиналов резисторов вряд ли следует считать изменением схемы). И, наконец, по той причине, что все шире используемые кремниевые транзисторы на 80 % относятся к типу n-р-n. Итак, перейдем к анализу схемы. Когда U_вх становится положительным, ток проводит транзистор T₁, потенциалы эмиттеров повышаются и транзистор Т₂ запирается. Когда U_вx становится отрицательным, ток проводит транзистор Т₂, потенциалы эмиттеров становятся близкими к нулю и запирается транзистор T₁. Я подал на общий для эмиттеров резистор R₃ отрицательный потенциал, чтобы по R₃ протекал определенный ток даже в том случае, когда потенциал эмиттеров близок к потенциалу корпуса. На рис. 59 я вычертил кривую зависимости потенциала коллектора транзистора Т₂ (U_K2) от потенциала базы транзистора T₁ (U_b1).

Рис. 59. Кривая изменения напряжения на коллекторе транзистора Т₂ в схеме на рис. 58 в зависимости от напряжения U_b1 характеризует эффективность ограничения.

Н. — Да, я вижу. Когда напряжение U_вх положительно, транзистор Т₂ заперт, а потенциал его коллектора U_K2 равен +Е. Но как найти величину его потенциала (U_K2)_мин, когда U_вх имеет отрицательный знак, иначе говоря, когда транзистор T₁ заперт?

Л. — Элементарно просто, дорогой доктор Уотсон…. прости…. Незнайкин! Если транзистор Т₂ пропускает ток, то можно считать потенциал его базы равным потенциалу его эмиттера; следовательно, мы можем считать, что потенциал эмиттера транзистора Т₂ равен нулю (равен потенциалу корпуса). Ток в резисторе R₃ равен U/R₃ и таким же будет ток коллектора (всегда следует предполагать, что в нормально работающем транзисторе токи коллектора и эмиттера равны). Значит, падение напряжения на R₂ будет

а минимальный потенциал коллектора Т₂:

Н. — А какую роль играет резистор R₁?

Л. — Он делает схему симметричной. Обычно сопротивление этого резистора равно сопротивлению резистора R₂. Можно также использовать напряжение коллектора Т₁, в качестве выходного напряжения, но это нецелесообразно, потому что одна площадка графика зависимости потенциала коллектора Т₁ (U_K1) от потенциала базы Т₁ (U_Б1) (рис. 60) не горизонтальна. В самом деле, когда U_вх имеет положительный знак, его изменения сказываются на величине тока Т₁.

Рис. 60. При использовании напряжения коллектора транзистора T₁, в качестве выходного напряжения схема хуже осуществляет ограничение сигналов, так как при положительном напряжении U_вх транзистор T₁ остается незапертым.

Как ты видишь, когда в этой схеме U_вх имеет отрицательный знак, Т₁ заперт и U_вх не влияет ни на U_K1, ни на U_K2. Когда U_вх имеет положительный знак, величина U_вх влияет на величину U_K1 транзистора Т₁,но не влияет на U_K2, так как Т₂ заперт.

Н. — В принципе эта схема не так уж симметрична, а затем я обнаружил у нее один недостаток: переход выходного напряжения с +U_K2мин до +Е происходит не так быстро, особенно в тех случаях, когда входное напряжение имеет умеренную величину (что довольно разумно для напряжения базы транзистора). А как называется твоя схема?

Л. — Название довольно странное: LTP — это сокращенный вариант английского выражения Long Tailed Pair (пара с длинным хвостом), отражающего наглядное представление пары транзисторов с длинным хвостом в виде большого резистора. Твое же замечание относительно скорости перехода напряжения от +U_K2мин до +Е совершенно справедливо. Иногда это явление мешает, но скоро мы увидим, как это препятствие можно устранить.

Н. — Еще одно не нравится мне в твоей схеме: база Т₂ исключительно глупо замкнута на корпус; она могла бы вести себя значительно умнее, если бы ее потенциал изменялся в обратном направлении по сравнению с потенциалом эмиттеров.

Л. — Твоя реплика вынуждает меня немедленно выложить тебе все подробности. В схеме имеется именно такой электрод, потенциал которого изменяется в обратном направлении по сравнению с потенциалом эмиттеров — взгляни на рис. 60.

Н. — Туннельный диод меня побери! Об этом-то я и не подумал. Теперь достаточно соединить коллектор Т₁ с базой Т₂ и будет чудесно!

Л. — Не спеши! Идея правильная, но прямо осуществить ее нельзя; коллектор Т₁ должен иметь положительный потенциал относительно эмиттеров и более высокий положительный потенциал относительно баз. Это можно сделать, как в схемах с прямой связью, о которых мы уже говорили, т. е. с помощью делителя, понижающего потенциал. В результате мы получим схему, изображенную на рис. 61.

Рис. 61. Дополнив схему на рис. 58 делителем напряжения R₄, R₅, соединяющим коллектор транзистора Т₁ с базой транзистора Т₂, превращаем ее в триггер Шмитта.

Новая схема, как и схема на рис. 58, работает с током в обоих транзисторах или при напряжениях U_вх, очень близких к нулю, и ведет себя как усилитель. Соединив коллектор Т₁ и базу Т₂ цепочкой из резисторов R₄ — R₅, мы вводим в схему положительную обратную связь. Небольшая обратная связь увеличивает усиление, а следовательно, увеличивает крутизну возрастающей части кривой на рис. 59. Если же положительная обратная связь становится слишком большой…

Н. — Знаю, устройство начинает генерировать.

Л. — Да, но здесь нет ни колебательного контура, ни переменной связи с помощью конденсатора. Поэтому произойдет опрокидывание. Такого состояния, когда оба транзистора дают ток, быть не может — один из транзисторов должен быть заперт.

Н. — И какой из двух станет жертвой?

Л. — Это зависит от величины U_вх. Предположим для начала, что U_вх имеет отрицательный знак; разумеется, что в этом случае запертым окажется Т₁. При увеличении напряжения U_вх до некоторой величины А транзистор Т₁ открывается, а Т₂ запирается. На этот раз очень приятно, что отпирание Т₂ происходит очень быстро и совершенно независимо от скорости, с какой напряжение U_вх проходит величину А, именуемую порогом.

Н. — Чудесно! Значит я могу повышать напряжение U_вх на 1 в в сутки, но когда напряжение пройдет величину А, опрокидывание схемы все равно произойдет быстро?

Л. — Конечно. Здесь имеется определенная аналогия с реле: можно медленно увеличивать ток в катушке и, когда ток достигнет нужного значения, реле сработает. В реле тоже действует положительная обратная связь: как только язычок реле начинает двигаться, воздушный зазор уменьшается и это усиливает магнитное притяжение.

Н. — А если я также медленно начну снижать напряжение U_вх, то когда оно вновь пройдет величину А, схема также резко опрокинется обратно?

Л. — Схема действительно резко опрокинется обратно, но это произойдет не при прохождении величины А, а при прохождении величины В меньшей, чем А. При первом опрокидывании схемы на коллекторе транзистора Т₁ высокий потенциал на базе Т₂, следовательно, тоже относительно высокий (это же относится к потенциалу эмиттеров). Поэтому для отпирания транзистора Т₁ напряжение U_вх должно подняться довольно высоко.

В отличие от этого при втором опрокидывании, соответствующем снижению потенциала базы транзистора Т_1, ток проходит через транзистор Т₁. Потенциал на его коллекторе низкий, потенциал базы Т₂ тоже; это же относится и к эмиттерам. В этих условиях транзистор Т₂ окажется вновь запертым только при более низком напряжении U_вх, а именно, когда оно достигнет величины В. Все происходит точно так, как в реле: когда язычок реле замкнул контакт, можно снизить ток в катушке значительно ниже уровня тока, потребовавшегося для срабатывания реле.

Н. — А что произойдет в твоей странной схеме, если напряжение U_вх будет держаться в пределах между А и В?

Л. — Моя странная схема называется триггером Шмитта. А если ты будешь удерживать значение напряжения U_вх между А и В, я не смогу сказать, в каком состоянии будет триггер. В этих условиях транзистор Т₁ может оказаться запертым, если напряжение U_вх достигло своего значения, поднимаясь с величины, меньшей В; но транзистор Т₁ может оказаться и открытым, если напряжение U_вх подошло к данному значению, уменьшаясь относительно величины, большей А. Все происходит, как в реле; если значение тока в катушке находится между током срабатывания реле I_с и его током отпускания I_о, я не могу определенно сказать, замкнут язычок реле или нет. Впрочем, если язычок не замкнут, нажми на якорь и язычок останется притянутым, а если он замкнут, оттяни якорь и язычок сохранит воздушный зазор.

Н. — Я не понимаю, зачем нужна твоя схема?

Л. — Схема интересна тем, что она не может находиться в промежуточном состоянии. У нее имеется два возможных устойчивых состояния и из-за этого свойства ее называют «бистабильной».

Н. — Но тогда для нее невозможно начертить кривую, показанную на рис. 59.

Л. — Ты ошибаешься — возможно, но немного сложнее. Для тебя я начертил такую кривую на рис. 62. Но это уже не простая кривая, а «петля». Если напряжение U_вх меньше В, все ясно — выходное напряжение равно U_{к2 мин}. Начнем повышать напряжение (следи за стрелкой на рис. 62): при прохождении U_вх значения А схема опрокидывается и выходное напряжение U_K2 «подскакивает» от (U_к2)_мин до величины +Е (здесь поднимающаяся ветвь строго вертикальна). Дальнейшее повышение напряжения U_вх никак не сказывается на выходном напряжении U_к2 — оно остается на уровне +Е. Начнем теперь снижать напряжение U_вх; при прохождении А ничего не происходит (продолжай следить за соответствующей стрелкой на рис. 62), когда же напряжение U_вх станет меньше В, схема вновь опрокинется.

Рис. 62. Кривая, характеризующая изменение напряжения коллектора транзистора Т₂ триггера Шмитта в зависимости от напряжения U_вх, свидетельствует о существовании явления, аналогичного гистерезису. Это уже не простая кривая, а петля.

Н. — Твоя кривая мне что-то напоминает… совершенно верно, она идентична петле гистерезиса ферритов, которые используются в запоминающих устройствах цифровых электронных вычислительных машин.

Л. — Оооохх!!!

Н. — Прошу тебя, не падай в обморок. Откровенно говоря, я недавно попытался прочитать популярную статью на эту тему и теперь имею некоторое представление о значении этих выражений.

Л. — Теперь мне лучше. Позднее я объясню тебе это несколько подробнее, но твое замечание было так верно, что у меня вдыхание перехватило.

Н. — А теперь, прежде чем идти дальше, я попросил бы тебя рассказать, как используется триггер Шмитта и при каких обстоятельствах прибегают к амплитудным ограничителям.

Л. — Сейчас я приведу один пример из практики. Видел ли ты на выставках системы с фотоэлементом, считающие посетителей?

Н. — Видел. В проходе установлен фонарь, посылающий луч света на небольшую коробочку, в которой должно быть находится фотоэлемент. При входе посетитель прерывает луч света.

Л. — Правильно. В такой установке при отсутствии посетителей никогда нельзя знать интенсивность попадающего на фотоэлемент света, так как световой поток от лампы может изменяться (немного со временем и значительно больше от колебаний напряжения сети). А когда посетитель перекрывает собой луч света, остаточный свет также не достаточно известен (на фотоэлемент всегда попадает сбоку некоторое количество света от других источников).

Н. — И особенно, если посетитель немного прозрачен!

Л. — Установка не рассчитана для подсчета полупризраков. Во всяком случае, как ты видишь, поступающий в фотоэлемент сигнал точно неизвестен. Поэтому представляется целесообразным установить на выходе фотоэлемента триггер Шмитта; благодаря ему мы получим совершенно определенный выходной сигнал «все или ничего». Кроме того, сигнал будет иметь крутые фронт и спад, что очень важно, если мы захотим превратить сигналы в короткие импульсы, которые я тебе скоро покажу. При необходимости лишь «подрезать» сигналы сверху, можно ограничиться схемой LTP с рис. 58 или даже простым транзисторным усилителем с очень сильной перегрузкой. Как ты видишь, на рис. 63 нагрузочная прямая пересекает характеристику при I_{б. э} = 0 в точке А и характеристику при I_{б. э} = 100 мка, например, в точке В. В точке А транзистор почти заперт (проходит лишь ток утечки), а в точке В транзистор находится в состоянии насыщения; он может пропустить значительный ток коллектора при разности потенциалов коллектор — эмиттер 0,1 в или даже меньше. Если мы сделаем так, что в усилителе выходной транзистор будет возбуждаться током базы, то снижающимся до нуля (и возможно даже изменяющим направление), то значительно превышающим 100 мка, выходное напряжение будет очень хорошо ограничено сверху и его размах (или удвоенная амплитуда выходного напряжения) будет практически равен напряжению £ питания последнего каскада.

Рис. 63. Про транзистор, на который напряжение питания Е подается через резистор R, говорят, что он находится в состоянии насыщения (точка В), если на его базу поступает достаточный ток. Он может также быть запертым или почти запертым (точка А).

Н. — Просто чудесно, пропускать значительный ток при напряжении 0,1 в! О достижении такого результата на лампах и речи быть не могло!

Л. — Пентод позволяет получить близкий к этому результат, так как анодный ток имеет большое значение даже при очень низком потенциале анода (потенциал анода может быть существенно ниже потенциала экранирующей сетки). Потенциал, понятно, не может опуститься до 0,1 в, но не следует забывать, что в жизни все относительно: рабочие напряжения у пентода значительно выше, чем у транзистора, и снижение анодного напряжения до 5 б при напряжении питания 300 в дает такое же соотношение, как и 0,1 в при напряжении питания 6 в. Само собой разумеется, что при использовании триодов получить такое ограничение сигнала немыслимо.

Н. — Но тем не менее в семействе характеристик триодов имеется характеристика, снятая при напряжении смещения, равном нулю, — она соответствует максимально возможному анодному току. Разумеется, это не позволит нам снизить почти до нуля анодное напряжение, но ограничение сигналов будет иметь место.

Л. — Нет, Незнайкин, нулевому смещению соответствует совсем не максимальный ток. Например, ток увеличится, если сетку сделать положительной. Конечно, такой способ не очень-то рекомендуется, но все же применяется (в частности, в пушпульном каскаде, работающем в режиме АВ₂). Некоторые специалисты говорили об ограничении сверху сеточного напряжения с помощью сеточного тока, если последовательно сетке включить резистор. Такое устройство напоминает изображенную на рис. 54 схему амплитудного ограничителя, если бы в ней поменяли полярность диода. Но это плохой способ.

Само собой разумеется, что ни один из этих способов ограничения сигналов сверху не позволяет получить такие крутые фронт и спад сигнала, как с помощью триггера Шмитта.

Н. — Но почему ты придаешь такое значение крутизне фронта и спада сигнала? Из эстетических соображений?

Л. — Совсем нет. Это необходимо, если мы захотим вновь деформировать наш прямоугольный сигнал, на этот раз путем дифференцирования.

Н. — Ой, ой! В «дифференцировании» несомненно участвуют «дифференциалы», и это начинает меня сильно беспокоить.

Л. — Для беспокойства совершенно нет причин. Знаешь ли ты цепь, изображенную на рис. 64?

Рис. 64. Этот фильтр верхних частот называют дифференцирующей схемой. Он пропускает крутые фронты напряжения U_вх, но искажает пологие участки этого напряжения.

Н. — Нет… прости, да! Это та самая цепь, которую включают между анодом одной лампы и сеткой следующей лампы, чтобы задержать постоянную составляющую и пропустить переменную.

Л. — Верно. Что произойдет, если на вход этого фильтра подать напряжение, изменяющееся, как показывает график на рис. 65: напряжение продолжительное время держится на одном уровне (равно нулю), а затем резко возрастает до величины А и бесконечно долго остается на этом уровне?

Рис. 65. Кривая скачкообразного изменения напряжения, приложенного на вход схемы, изображенной на рис. 64.

Н. — Ответить чрезвычайно сложно. Я могу только сказать, что пока подаваемое на вход напряжение имеет постоянное значение, выходное напряжение останется равным нулю. А вот что произойдет' потом…

Л. — Ты можешь сказать мне еще одну вещь: каким будет выходное напряжение спустя много времени после резкого изменения входного напряжения?

Н. — Если подождать довольно долго, выходное напряжение должно стать равным нулю, потому что входное напряжение опять имеет постоянное значение. А вот… U_вых. всегда равно нулю!!!

Л. — Не торопись! До скачка U_вх выходное напряжение равно нулю, и много времени спустя после скачка оно вновь равно нулю, но в момент скачка входного напряжения все обстоит иначе. Предположим, что скачок происходит за время, равное нулю. Скажи, на сколько может зарядиться конденсатор за время, равное нулю?

Н. — Дай подумать. Чтобы зарядиться, конденсатор должен получить некоторое количество электрической энергии. Чтобы получить энергию за равное нулю время, ток должен быть бесконечно большим. Но тогда разве он может зарядиться?

Л. — Скажи «совсем не может», и ты будешь прав. Никогда не забывай, Незнайкин, что: «Напряжение на выводах конденсатора не может измениться на конечную величину за равное нулю время».

Н. — Хорошо, твое правило я попрошу высечь на мраморе своего камина. Но какое отношение имеет оно к нашей задаче?

Л. — Просто-напросто оно дает нам решение. Какое напряжение было бы на конденсаторе С перед скачком U_вх?

Н. — Хм… Нуль, потому что U_вх и U_вых были равны нулю.

Л. — Совершенно верно. Перед самым скачком U_вх заряжающее конденсатор напряжение было равно нулю. А каким оно стало сразу после скачка U_вх?

Н. — Твои подчеркивания «перед самым скачком» и «сразу после скачка» заставляют меня думать, что интервал между этими двумя моментами времени равен нулю. Применив твое замечательное правило, я должен сделать вывод, что заряд конденсатора имеет такую же величину, т, е. нуль.

Л. — Превосходно. Двадцать из двадцати. Однако сразу же после скачка U_вх потенциал левой обкладки конденсатора С повысился до величины А. До какого уровня тогда поднимется потенциал правой обкладки?

Н. — Разумеется, до величины А, потому что конденсатор С был разряжен. Но тогда… по резистору R должен пройти ток, а это невозможно, так как конденсатор не может пропустить ток!

Л. — Не увлекайся. Да, сразу же после скачка входного напряжения по резистору R пойдет ток, и в начале его величина будет A/R. Ведь конденсатор имеет полное право пропустить ток, если этот ток заряжает, произойдет следующее: по мере заряда конденсатора С ток в резисторе R будет снижаться.

Н. — И, если подождать достаточно долго, С зарядится до напряжения А, после чего в R не будет тока, и U_вых вновь станет равно нулю.

Л. — О, Незнайкин, как быстро ты все понимаешь сегодня! Выходное напряжение изменяется так, как я показал на рис. 66.

Рис. 66. Форма напряжения на выходе дифференцирующей схемы, на вход которой подается скачкообразно изменяющееся напряжение, изображенное на рис. 65. Пунктирной линией обозначена форма напряжения при малом произведении (RC)₃, сплошной — при среднем (RС)₂ и штрих-пунктирной — при большом (RC)₁.

Скорость снижения напряжения определяется произведением R на С, которое называется постоянной времени схемы и выражается в секундах (при С в фарадах и R в омах). В самом деле, чем больше емкость конденсатора С при данном сопротивлении R, тем медленнее он заряжается; чем больше сопротивление резистора R (при данной емкости С), тем больше времени требуется на заряд конденсатора. Можно легко доказать, что по истечении времени, равного постоянной времени RC, выходное напряжение падает примерно до 37 % величины А. По истечении удвоенного такого отрезка времени RC выходное напряжение составляет только 13,5 % величины А, после утроенного времени RC можно сказать, что выходного напряжения уже совсем нет, так как напряжение упало до 5 % величины А. Если произведение RC невелико, выходное напряжение изменяется, как показано пунктирной линией на рис. 66; при большой величине RC кривая принимает форму, показанную на рис. 66 штрих-пунктирной линией. При очень малой величине произведения RC кривая выходного напряжения имеет вид короткого сигнала импульсного типа (рис. 67).

Рис. 67. Короткий импульс, получаемый на выходе дифференцирующей схемы с малым произведением (RC)₃ при подаче на ее вход скачкообразно изменяющегося напряжения.

Н. — Хорошо, это я понял. Но напряжение, получаемое на выходе триггера Шмитта или амплитудного ограничителя, имеет совсем не такую форму, как на рис. 65. Оно состоит из чередующихся фронтов и срезов. Скажи, пожалуйста, что получится, если это напряжение (рис. 68, а) подать на вход схемы, изображенной на рис. 64.

Л. — Фронт и срез — практически одно и то же, различие между ними лишь в направлении изменений. На выходе схемы срез даст нам отрицательный импульс (рис. 68, б).

Рис. 68. Прямоугольный сигнал (а) представляет собой периодическую последовательность резких подъемов и спадов. Дифференцирующая схема с малой постоянной RC превращает этот сигнал в чередующиеся положительные и отрицательные импульсы (б).

Н. — В сущности это очень просто. Теперь я понимаю, почему ты так стремишься получить крутые фронт и срез: при медленном изменении напряжения конденсатор С успел бы зарядиться и перестал передавать изменения входного напряжения. Но и в этих условиях можно получить хороший результат, достаточно увеличить R или С (или обе величины) и тогда конденсатор С будет мало разряжаться во время изменения сигнала.

Л. — Незнайкин, ты сегодня определенно в прекрасной форме, но будь осторожен; если ты увеличишь произведение RC, может случиться, что между двумя сигналами конденсатор С не успеет полностью зарядиться; тогда выходное напряжение примет такую форму, которую я изобразил для тебя на рис. 69. Поэтому нужно сделать постоянную времени RC большой по сравнению с длительностью сигнала и малой по сравнению с периодом сигнала. Чем меньшую часть периода занимает сигнал, тем легче подобрать постоянную времени RC.

Рис. 69. Если постоянная времени RC-схемы достаточно велика по сравнению с периодом сигнала, то выходное напряжение принимает иную форму. Конденсатору С не хватает времени полностью зарядиться.

Н. — Бедный сигнал, его совсем лишили человеческого лица! Исходную синусоиду (можно предположить, что сначала наш сигнал имел именно такую форму) с помощью триггера Шмитта превратили в прямоугольные сигналы, а затем в короткие импульсы с помощью твоей схемы с рис. 64… кстати, как называется эта схема?

Л. — Ее называют дифференцирующей схемой. Как видишь, ты напрасно испугался этого названия. Но мы на этом не остановимся, ибо сигнал можно подвергнуть и другим деформациям. Что ты думаешь о схеме на рис. 70? Ее название я скажу тебе потом.

Рис. 70. Фильтр нижних частот, используемый в качестве интегрирующей схемы.

Н. — Это та же самая схема, что показана на рис. 64, только ты поменял местами R и С.

Л. — Но эта деталь все изменяет! Что мы получим на выходе схемы, если на ее вход подадим прямоугольные сигналы?

Н. — Здесь имеются резистор и соединенный с ним последовательно конденсатор, поэтому мы возможно получим то, что ты раньше нарисовал на рис. 68, б.

Л. — Какой ужас! Ведь я тебе объяснил, что «напряжение на выводах конденсатора не может измениться на конечную величину за равное нулю время». Но посмотри, Незнайкин, если на вход схемы (см. рис. 64) подать прямоугольные сигналы (см. рис. 68, а) и если на выходе, т. е. на выводах резистора R, получим сигнал, изображенный на рис. 68, б то на выводах конденсатора должен быть такой сигнал, который, будучи прибавленным к сигналу на рис. 68, б, даст сигнал, показанный на рис. 68, а.

Н. — Ты хочешь сказать разность этих двух сигналов? Хорошо, я могу найти ее графически. Подожди минутку… интересующий тебя сигнал я начерчу на рис. 71.

Рис. 71. При подаче на вход интегрирующей схемы прямоугольного сигнала с большим по сравнению с постоянной времени RC периодом на выходе получают сигнал с округленными фронтами, очень мало похожий на входной сигнал.

Л. — Очень хорошо. Как ты видишь, на выводах конденсатора находится тот самый сигнал, который мы получим на выходе схемы, приведенной на рис. 70. Этого можно было ожидать. При изменении входного сигнала сигнал на выходе реагирует не сразу, так как требуется некоторое время, пока конденсатор С зарядится до нового напряжения.

Н. — Фронты и срезы твоего прямоугольного сигнала стали наклонными и округленными. Для чего нужен такой сигнал?

Л. — Такой сигнал, как ты нарисовал, действительно не представляет большого интереса. Но предположим, что я увеличу произведение RC. Как при этом изменится форма сигнала на выходе?

Н. — Я предполагаю, что конденсатор С получит меньше тока (он увеличился и его потребности возросли), и поэтому он не успеет зарядиться к моменту прихода второго сигнала. Вероятно, в результате получим сигнал, форма которого показана на рис. 72.

Рис. 72. При большей величине RC конденсатор С не успевает полностью зарядиться между двумя изменениями напряжения.

Л. — Ты прав. Если еще увеличить RC, то выходное напряжение будет изменяться мало и выходной сигнал примет форму, изображенную на рис. 73.

Рис. 73. При дальнейшем увеличении произведения RC амплитуда выходного сигнала уменьшается.

Н. — Смотри, твоя кривая состоит из прямых отрезков!

Л. — Так оно и есть. Выходное напряжение по сравнению с входным мало, и можно сказать, что напряжение на выводах резистора R в интервалах между переходами почти постоянное. Следовательно, зарядный (или разрядный) ток остается почти постоянным и конденсатор С заряжается (или разряжается) почти линейно. Чтобы ты мог лучше видеть форму напряжения на выходе, я увеличил масштаб полученной кривой по вертикали (рис. 74).

Рис. 74. Если выходной сигнал (рис. 73) вычертить в другом масштабе, четко видны почти равносторонние треугольники, напоминающие зубья пилы.

Н. — Странная форма, прямо как зубья пилы для пилки дерева.

Л. — Верно, по этой причине сигнал назвали «зубьями пилы» или «симметричным пилообразным сигналом». Его используют в тех случаях, когда нужно периодически и линейно изменять напряжение вверх и вниз. Это один из возможных случаев применения изображенной на рис. 70 схемы, которую называют интегрирующей.

Н. — Так вот почему ты не хотел сказать мне название схемы! Но скажи, пожалуйста, почему этим схемам дали такие жуткие названия.

Л. — Ну так, Незнайкин, ты сам захотел! Чтобы ответить на твой вопрос, необходимо хотя бы в самой общей форме объяснить, что такое производная и интеграл. Впрочем, это не очень разрядит твой мозг.

Функцией называют величину у, зависящую от другой величины х, которую называют переменной: каждому значению (причина) соответствует определенная величина у (следствие). Посмотри, как «реагирует» величина у на изменения переменной относительно заданного значения а. Иначе говоря, сравним изменения следствия с изменениями породившей их причины (рассчитав для этого коэффициенты этих изменений). Ответом может служить отклонение функции относительно точки а. Мы рассмотрим возможно малые изменения х относительно величины а, чтобы точнее установить, как ведет себя функция в окрестности величины а.

Как ты видишь, мы легонько «пощекочем» переменную (причину) и посмотрим, как это скажется на функции (следствии). Если следствие этого «щекотания» будет велико, мы скажем, что производная большая.

Если переменной служит время, а функцией — пройденным путь, то производной является скорость. Например, если для каждого момента известно место нахождения автомобиля на дороге, то мы можем рассчитать его скорость. Если в момент, который я обозначу t₀, автомобиль находится в некотором месте, а в момент t₀ + 2 сек (т. е. 2 сек спустя) он находится на 30 м дальше, то я могу рассчитать его скорость, разделив прирост пройденного пути (30 м) на прирост времени (2 сек)

30 м: 2 сек = 15 м/сек (или 54 км/ч).

Следовательно, я могу сказать, что скорость в данном месте есть производная от пройденного пути по времени. Эта производная велика, когда пройденный путь быстро увеличивается с увеличением времени.

Н. — Довольно туманно. Мне представляется, что это несколько напоминает схему на рис. 64. Если входное напряжение увеличивается быстро, то зарядный ток конденсатора С будет большой, что даст большое напряжение на выходе.

Л. — Ты очень хорошо понял. Но в нашем примере с автомобилем, разумеется, не может быть резкого изменения пройденного пути, так как соответствующая этому изменению скорость была бы бесконечно большой…

Н. — Вот чему могли бы позавидовать все бегуны!

Л. — Но это невозможно, так как «бесконечно большую» скорость нужно было бы достичь за ничтожно малый отрезок времени, что в свою очередь требует бесконечно большого ускорения. Но поговорим теперь о математическом определении интегрирования. Ты можешь получить прекрасное представление на том же примере с автомобилем, если теперь предположить, что для каждого момента мы знаем не место машины на дороге, а ее скорость (например, зафиксировав самописцем показания спидометра). Задача сводится к определению пройденного автомобилем пути к соответствующему моменту времени.

Н. — Это совсем просто. Достаточно умножить скорость на время движения.

Л. — Твои рассуждения совершенно справедливы, но только для случая, когда скорость остается строго постоянной. Однако имеются серьезные основания полагать, что этого не случится. Наш автомобилист будет проезжать через населенные пункты, где ему придется снизить скорость, ему попадутся хорошие участки дороги, где он сможет «жать на всю железку», и в результате его скорость не будет постоянной.

Н. — Тогда я совсем не знаю, что делать…

Л. — Мы просто-напросто применим твой метод, но разделим время на небольшие интервалы, каждый из которых настолько короток, что в его пределах скорость можно рассматривать как неизменную…

Н. — Но это все изменяет! Твои расчеты не будут соответствовать реальной действительности.

Л. — Именно такого заявления от тебя я и ждал. Чем больше интервалов мы возьмем, тем ближе наша оценка будет к реальной действительности. Не забывай, что обычно скорость автомобиля довольно медленно изменяется во времени…

Н. — Я такого мнения не придерживаюсь. Помнишь я говорил тебе о своем приятеле, купившем спортивный автомобиль; ему нужно всего лишь несколько секунд, чтобы разогнать свою машину до 180 км/ч…

Л. — Согласен, но я-то говорил тебе о нормальных людях. Если мы возьмем очень короткий интервал времени, например, 1 сек, и если зафиксированная в какой-то момент этого интервала скорость будет около 36 км/ч (или 10 м/сек), то мы можем сказать, что пройденный за эту секунду путь будет очень близок к 10 м.

Складывая рассчитанные таким образом отрезки пути, пройденные за очень короткие интервалы времени, мы получим сумму, состоящую из огромного числа малых слагаемых, при этом полученный результат будет достаточно близок к истинному.

В своих действиях математика исходит из подобного представления, доводя дело до крайности — предполагая, что количество интервалов бесконечно растет, а протяженность их бесконечно уменьшается. В этом случае они говорят, что проинтегрировали некоторую функцию.

Н. — Термин этот мне в высшей степени не нравится. Но как бы там ни было, твой знаменитый «интеграл» кажется мне прямой противоположностью тому, о чем ты мне только что говорил, а именно производной. Если память мне не изменяет, вычисление производной позволяет определить скорость по местоположению, а противоположная операция позволяет рассчитать местоположение по скорости.

Л. — Ты очень правильно понял. Только математики говорят не противоположная, а обратная операция. Я думаю, что теперь ты видишь аналогию между интегрированием и действием схемы рис. 70…

Н. — Я не вижу никакого сходства.

Л. — Сейчас увидишь. Предположим, что на вход этой схемы я подаю постоянное напряжение. Какое напряжение получим мы на выходе?

Н. — Ну, разумеется, классическую кривую заряда конденсатора — кривая напряжения поднимается и затем округляется, стремясь достичь максимума, равного приложенному на вход постоянному напряжению.

Л. — Прекрасно, Незнайкин. Если внимательнее рассмотреть эту кривую, то заметим, что в ней имеется небольшой участок равномерного подъема, который соответствует времени, когда выходное напряжение мало по сравнению с входным. Впрочем, это абсолютно логично, ведь на выводах резистора действует разность входного и выходного напряжений. Если входное напряжение имеет постоянную величину, выходное удерживается небольшим и проходящий через R зарядный ток практически остается постоянным. В этих условиях заряд конденсатора нарастает равномерно (а правильнее сказать «линейно»).

Н. — Хорошо, до сих пор все понятно, но я не вижу никакой связи между твоей историей с автомобилем и интегрированием.

Л. — Все очень просто. Подай на вход схемы рис. 70 напряжение, в каждый момент пропорциональное скорости автомобиля. Что произойдет, если при этом предположить, что выходное напряжение останется небольшим?

Н. — Раз мы предположили, что выходное напряжение ничтожно мало, протекающий по резистору ток в каждый момент будет пропорционален входному напряжению. Следовательно, конденсатор будет заряжаться быстрее или медленнее в соответствии со значением входного напряжения (т. е. если я не ошибаюсь, скорости автомобиля).

Л. — Нет необходимости анализировать дальше, так как все нас интересующее уже произошло: в каждый момент напряжение на выводах заряжающегося конденсатора повышается точно так же, как увеличивается пройденный автомобилем путь.

Если скорость большая (входное напряжение высокое), конденсатор зарядится быстро, напряжение на его выводах поднимается так же быстро, как увеличивается пройденный автомобилем путь, когда он движется быстро. Если в один прекрасный момент автомобиль остановится, входное напряжение становится равным нулю и конденсатор перестает заряжаться.

Н. — А, нет. Я с тобой совершенно не согласен; когда напряжение равно нулю, конденсатор разряжается.

Л. — Строго говоря, ты прав. Но мы предположили, что входное напряжение, а также сопротивление резистора и емкость конденсатора велики. Напряжение на выводах конденсатора всегда очень мало по сравнению с нормальными значениями входного напряжения, когда входное напряжение исчезает, конденсатор действительно немного разряжается, но этот разряд ничтожно мал.

Н. — Теперь я начинаю понимать, и у меня даже возникла идея.

Л. — Обычно к твоим идеям я отношусь с недоверием, но все же расскажи, что ты придумал.

Н. — Если вдруг машина начинает пятиться назад, то при известной ловкости можно считать, что ее скорость стала отрицательной.

Л. — Все правильно, в этом нет никаких фокусов, это совершенно правильное алгебраическое выражение.

Н. — Хорошо, но при таких условиях мы получим на входе схемы (рис. 70) отрицательное напряжение. Оно имеет значительную величину, и мы можем сказать, что конденсатор С разряжается. Точно такую же картину можно видеть на спидометре катящегося назад автомобиля — счетчик пройденного пути начнет крутиться в обратную сторону.

Л. — Прими мои поздравления, Незнайкин, ты прекрасно понял… В самом деле подаваемое на вход напряжение может быть отрицательным. Но мне не хотелось бы оказаться рядом с тобой в автомобиле при выполнении эксперимента на практике, когда ты попытаешься быстро ехать назад, оставаясь на правой стороне дороги. Но за исключением этого случая, который относится лишь к правилам уличного движения, твоя идея полностью обоснованна.

Н. — Да, но… прости, здесь имеется одно непонятнее мне обстоятельство: Ты сказал, что схема на рис. 70 ведет себя правильно, т. е. ведет себя как интегрирующая схема, только при условии, что выходное напряжение очень маленькое. Но когда ездишь, машина неизбежно накапливает пройденные километры, иначе говоря, конденсатор С накопит вольты. Что же тогда делать, ведь ты уже не сможешь сказать, что выходное напряжение останется небольшим по сравнению с входным напряжением?

Л. — Ты совершенно прав. Эта система сохраняет работоспособность как интегрирующая в течение ограниченного времени, и это время можно увеличить, если подобрать высокоомный резистор и конденсатор большой емкости. Таким подбором можно сделать напряжение на выводах конденсатора чрезвычайно низким.

Н. — Но тогда, доводя дело до крайности, можно было бы сказать, что твоя схема действительно совершенна только в том случае, когда не дает никакого напряжения на выходе.

Л. — Незнайкин, ты попал прямо в один из управляющих миром философских принципов. Совершенство нам несвойственно, а совершенным могло бы быть лишь нечто, стремящееся к нулю. Мы же привыкаем к далекому от совершенства и от нуля и считаем это очень хорошим.

Н. — Я полагаю, что достаточно внимательно слушал тебя, но у меня складывается впечатление, что от интегрирования знаний мой мозг достиг такого напряжения, что верность восприятия, о которой ты говоришь, стала чрезвычайно далекой от совершенства, поэтому наступило время прервать нашу беседу.