Фон Нейман. Теория игр

ГЛАВА 1 Венгрия: рождение математика

Уже в очень раннем возрасте фон Нейман демонстрировал качества, свойственные вундеркиндам, например склонность к языкам и фотографическую память. Едва повзрослев, уже в первые годы учебы в университете, он опубликовал работу по математике, которая вызвала восхищение в академических кругах и стала началом его блестящей международной карьеры.

В 1867 году Франц Иосиф I стал императором Австрии и королем Венгрии. В том же году он издал трактат, которым даровал Венгрии достаточную степень свободы. Но поскольку история этой страны, ее политические и культурные особенности несли реальную угрозу национальному единству Австрии, Венгрия не могла иметь собственные министерства обороны и иностранных дел. Разумеется, это серьезно мешало государственной независимости Венгрии, но, несмотря на это, венгры не противились союзу с Австрией, так как он гарантировал им необходимую защиту от экспансии со стороны Российской империи, угрозу которой страна постоянно ощущала.

В то время вся власть Австро-Венгерской империи была сосредоточена при королевском дворе в Вене. Там пытались построить государственное единство с учетом вклада в него венгерской культуры, которая была совсем не простой, учитывая, что в Венгрии проживало множество других народностей — хорваты, сербы, русины, словаки.

В конце XIX века Венгрия еще не вполне освободилась от феодализма, и ее экономика носила преимущественно аграрный характер. Развитие промышленности повлекло неизбежную концентрацию ресурсов в крупных городах. Большинство крестьян делали все возможное, чтобы переехать в столицу, Будапешт, в надежде улучшить свою жизнь и дать детям необходимое образование, которое позволило бы им достичь более высокого положения в обществе. Технический и культурный прогресс сыграл решающую роль в изменении социальной структуры страны. При прежнем, феодальном, строе высокое социальное положение передавалось только по наследству. Теперь же хорошее образование позволяло достичь статуса, соответствующего заслугам человека. Самой активной частью населения была еврейская община, численность которой в Будапеште превышала численность самих венгров.

Строительство фабрик на окраинах города привело к появлению промышленного района, который привлекал обедневших крестьян — будущий рабочий класс. Рабочие тоже жили бедно, но между ними и крестьянами существовала огромная разница: крестьянин всегда был слугой, а рабочий — гражданином, который, даже принадлежа к низам общества, обладал некоторыми правами, немыслимыми до сих пор. С другой стороны, на изменение социального уклада повлияло и появление либеральных профессий, неизбежное при промышленном развитии. Инженеры, архитекторы, врачи, адвокаты, журналисты подталкивали общество к избавлению от старых традиций, мешавших развитию. Венский двор, застывший в ритуалах и роскоши, начинал смотреть на эти изменения с тревогой. Опасение вскоре сменилось страхом, так как старая венская аристократия не только чувствовала свое бессилие перед социальными изменениями, но и с каждым днем все больше беднела. Все эти процессы в конце концов стали плодородной почвой для социальных конфликтов, которые трудно было сдерживать, и для зарождения социалистической идеологии. Относительный политический и культурный мир, которого с трудом добилась Венгрия, был потревожен.

Столица Венгрии появилась в результате объединения трех городов — Буды, Обуды и Пешта. «Буда» означает «вода», и скорее всего это название город получил из-за соседства с великим Дунаем. «Пешт» значит «печь» и, вероятно, относится к многочисленным термальным источникам, бьющим в городе. Официальное объединение трех городов произошло в соответствии с королевским декретом в 1873 году, и с тех пор столица Венгрии стала называться Будапештом.

В математике не усваивают понятий, а постепенно привыкают к ним.

Джон фон Нейман

Несмотря на это жители столицы продолжали использовать названия Буда и Пешт, различая их если не как два разных города, то по крайней мере как два отдельных квартала.

Буда, расположенный на возвышенности на левом берегу Дуная, со своими великолепными замками и зданиями в стиле эпохи Возрождения и барокко, считался более древней частью города, аристократическим районом, в котором богатые семьи имели летние резиденции. Пешт, напротив, был современной, быстро развивающейся частью столицы. Здесь находилось здание парламента — оплота венгерской бюрократии, — открывались первые магазины, банки, становилась все более активной культурная жизнь.

В конце XIX века окрестности Пешта стали одним из самых крупных центров мукомольной промышленности всей Европы. Якоб Канн, выходец из еврейской семьи, переехавшей в Венгрию из Богемии, вовремя понял, что поставка устройств для помола может стать хорошим источником заработка. Благодаря производству мельничных жерновов он сколотил небольшое состояние, позволившее ему купить дом в Пеште, на берегу Дуная, и еще один, летний, в Буде. Дом в Пеште был четырехэтажным и находился на улице Вачи-Корют под номером 62. На первом этаже Канн расположил конторы своего процветающего торгового бизнеса, а на втором поселил свою семью. Два верхних этажа предназначались старшим дочерям в качестве приданого. Канн был главой еврейской семьи в самом ортодоксальном смысле этого слова и хотел, чтобы вся семья жила под одной крышей.

Его старшая дочь, Маргарет Канн, обручилась с евреем Максом Нейманом, превосходным адвокатом, который вскоре занялся банковским делом. Ко дню свадьбы он уже был директором банка Jelzäloghitel Hitelbank, расположенного в Пеште. Якоб Канн подарил молодоженам четвертый этаж дома. Третий уже занимала семья второй дочери, так что, как и планировал Якоб Канн, вся семья жила вместе и была очень дружной.

В этой стране, в этом городе и в этой сплоченной семье 28 декабря 1903 года родился первенец Нейманов. Четыре года спустя у него родился брат Михаль, а в 1911 году — еще один брат, Николас. Полное имя Яноша было Нейман Янош Лайош (в те времена сначала ставилась фамилия, а потом имя). За годы своей жизни Янош несколько раз менял имя, прежде чем оно приобрело знакомый нам вид.

Культурный бум, охвативший Венгрию в конце XIX века, привел к появлению меритократии. Значительная часть населения, усердно трудившаяся и усваивавшая прогрессивные культурные веяния, начала требовать для себя большего социального веса. Венская аристократия почувствовала, что над ней нависла угроза зарождающегося радикализма, которой можно было противостоять, увеличив экономическую мощь. Одним из немногих способов добиться этого была продажа дворянских титулов. И хотя старая аристократия выступала против того, чтобы дворянские фамилии становились предметом купли-продажи, идея была претворена в жизнь. Таким образом, в начале XX века у венгерской буржуазии было два пути: примкнуть к движениям радикального толка, которые боролись за социальные реформы, либо искать прибежища в среде аристократии, пользуясь всеми ее привилегиями. Дворянские титулы стоили дорого, но были хорошей инвестицией, особенно для тех, кто вращался во влиятельных кругах, как отец фон Неймана. Макс Нейман в 1913 году получил дворянский титул, и к его фамилии добавились символы знатности — приставка «фон» в австрийском варианте и «Маргиттаи» — в венгерском. Полным именем его первенца на венгерском языке стало Маргиттаи Нейман Янош. Имя Джон он взял себе, став американским подданным. Такова история превращения Неймана Яноша в Джона фон Неймана.

Дедушка Джона фон Неймана был большим любителем музыки, и в его доме даже был граммофон — редкость и новинка в то время. В буржуазных семьях было принято создавать небольшие камерные оркестры. Молодой Янош научился играть на скрипке. Позже он забросил инструмент, но любовь к музыке сопровождала его на протяжении всей жизни. Одним из произведений, которые больше всего впечатлили фон Неймана, было «Искусство фуги» Баха, включающее в себя 14 фуг и 4 канона. Бах написал его, чтобы показать пример техники контрапункта, без определенного порядка и не для какого-то конкретного инструмента. Судя по всему, это произвело огромное впечатление на молодого Яноша, который увидел в композиции пример абстрагирования. По словам его брата Николаса, «Искусство фуги» навело Яноша на мысль о том, что компьютер может не иметь предустановленной программы. Так появилась архитектура вычислительных машин, которая с тех пор носит имя фон Неймана.

Рукопись «Искусства фуги» Иоганна Себастьяна Баха.

Янош рос в окружении многочисленных братьев и кузенов, которые жили в одном доме и вместе обедали, ужинали, играли и отмечали праздники. В результате Янош, в отличие от других сверходаренных детей, не был ни молчаливым, ни скрытным ребенком. Напротив, он вырос чрезвычайно общительным человеком, хотя и нельзя сказать, что очень уж открытым и разговорчивым. Его ум всегда был занят какими-то интеллектуальными задачами, и на проявление теплых чувств места уже не оставалось, так что Яноша несправедливо считали немного высокомерным. Его мать рассказывала, что однажды, когда она сидела у окна с потерянным взглядом и хмурым лицом, Янош подошел к ней и вместо того, чтобы попытаться понять, чем она обеспокоена, спросил: «Что ты считаешь?»

В доме говорили на нескольких языках, и гувернантки обучали детей английскому и французскому. Знание иностранных языков всегда было очень важным для еврейских семей, ведь они в любой момент могли быть вынуждены покинуть родину. А кроме того, знание немецкого языка считалось обязательным, так как для некоторых слоев венгерского общества Германия была одной из лучших стран, позволявших достичь высокого профессионального и социального статуса. Ценились и мертвые языки, перед которыми Макс Нейман испытывал настоящее благоговение. В то время в средних школах обязательными предметами были латынь и греческий, которые начинали изучать в 14 лет. Янош благодаря урокам своего отца уже в шесть лет знал несколько фраз на классическом греческом. Неудивительно, что, обладая такими способностями и находясь в такой благоприятной среде, мальчик проявлял склонность к языкам. Во взрослые годы фон Нейман говорил на венгерском — языке своей матери, а также на немецком, английском, французском и, конечно, латинском и греческом. Он неоднократно подчеркивал то, какую важную роль сыграли в его жизни мертвые языки: их изучение помогло ему лучше понять, какой должна быть внутренняя структура вычислительных машин.

Бессмысленно быть точным, когда даже неизвестно, о чем идет речь.

Джон фон Нейман

Удивительно, однако, что на Рождество в семье фон Нейманов пели немецкие народные песни рядом с наряженной елкой. Удивительно, поскольку речь шла о празднике, который еврейская община не отмечала. Якоб Канн, дедушка Яноша, был очень религиозным человеком и строго соблюдал все еврейские обряды, но следующие поколения не унаследовали эту религиозность. Янош не получил еврейского религиозного воспитания, но ритуалы иудаизма в его семье соблюдались, хотя часто только внешне. Среди этих традиций были занятия с раввином по введению в Тору. О том, насколько незначительное влияние имел на фон Неймана иудаизм, свидетельствует тот факт, что ученый без малейших угрызений совести перешел в католическую веру, когда этого потребовали обстоятельства — чтобы заключить свой первый брак. В течение всей жизни фон Нейман был агностиком, за исключением очень краткого периода незадолго до смерти, когда он попросил позвать к нему католического священника.

В биографиях математических гениев часто упоминаются два их качества: первое — это способности к языкам, второе — фотографическая память (возможно, они тесно связаны).

Янош не был исключением и мог запомнить целую страницу из телефонной книги, прочитав ее всего два-три раза. Друзья часто устраивали ему проверку, и действительно, Янош зачитывал по памяти имена, фамилии, адреса и номера телефонов в том порядке, в каком они шли в справочнике, или в обратном, или вразброс. Однажды отец купил ему такую большую энциклопедию, что для нее пришлось выделить отдельную комнату.

Маленький Янош проводил среди книг по нескольку часов в день. Он начал с первого тома и, не пропустив ни одного абзаца, дошел до последней страницы последнего тома (всего в энциклопедии по мировой истории было 20 томов). При этом Янош не только запоминал всю информацию, но и анализировал ее. Уже в раннем возрасте мальчик заинтересовался отношениями между странами, в частности военными конфликтами и стратегиями, которые в них использовались. Янош пытался установить взаимосвязи, не обозначенные в тексте напрямую. Вообще его интерес к военным стратегиям проявился очень рано. Янош быстро научился играть в шахматы у отца, который почти всегда выигрывал, и в это время Макс Нейман понял, что его сын не умеет проигрывать. Но и еще раньше, когда Янош играл со свинцовыми солдатиками, он был в первую очередь стратегом. Его брат Михаль говорил, что Янош не устраивал парады и не убивал солдат: его военные следовали тактике, установленной в самом начале игры, а его самого больше интересовало развитие битвы и движение отрядов, нежели война сама по себе.

Когда Янош был маленьким, он часто играл с братьями, особенно с Михалем, в военные игры. Но делал он это не так, как большинство детей (он никогда ничего не делал так, как другие), то есть проводя военные парады или битвы с участием свинцовых солдатиков. Братья играли в версию старой игры кригшпиль, что в переводе с немецкого означает буквально «военная игра». В 1824 году Георг фон Рассевиц, полковник артиллерии прусской армии, придумал настольную игру, представляющую собой поле битвы, на котором можно реализовывать различные стратегии. Очень скоро высшее военное командование оценило потенциал игры: ее можно было использовать для тренировок офицеров. Эта инициатива принесла свои плоды, что проявилось в военных победах над Австрией в 1866 году и несколько лет спустя — над Наполеоном III. Со временем появились разные версии кригшпиля на английском, немецком и французском языках, и многие страны использовали эту игру для обучения офицеров военным стратегиям. Кригшпиль, в который играл Янош со своими братьями, они придумали сами и сами рисовали на листе бумаги поля сражений, укрепления, горы, реки и другие необходимые для битвы элементы. Во время Первой мировой войны фон Нейман внимательно следил за всеми продвижениями и отступлениями войск, чтобы как можно точнее воспроизвести их в своем личном кригшпиле. Много лет спустя, когда ученый уже был в США, он продолжил играть в эту игру и часто посещал стратегический центр РЭНД (Research And Development Corporation) — исследовательскую лабораторию, в которой обучались американские военные.

Прусские офицеры обсуждают военные стратегии за столом кригшпиля. Гравюра Адальберта фон Росслера (ок. 1884).

Около середины XIX века образовательная система Европы подверглась глубокой реформе. Промышленный переворот вызвал появление множества новых технологий, для применения которых требовались устройства и механизмы, до этого никогда не использовавшиеся. В программы открывающихся инженерных факультетов включали новые дисциплины, требовавшие более продвинутых знаний по математике, чем давала обычная школа.

Изучение математики — долгий процесс, идущий постепенно, шаг за шагом. Это многоэтажное здание, для которого нужен прочный фундамент, закладывающийся еще в школе. В середине XIX столетия в Венгрии была начата реформа, полностью внедренная к началу XX века и породившая так называемое венгерское чудо, которое впоследствии стало предметом изучения историков науки. Это явление было представлено такими учеными, как физики Денеш Габор (1900-1979), Лео Силард (1898-1964), Эдвард Теллер (1908-2003), а также физик и математик Юджин Пол Вигнер (1902-1995). Некоторые из них были товарищами фон Неймана по учебе. Девизом реформы стала фраза «Обновление или смерть», и она была понята буквально. В то время получила развитие дискретная математика, расчищающая себе дорогу в царстве «непрерывной», оставшейся в наследство еще от времен Исаака Ньютона (1643-1727), и лежащая в основе математического анализа. Одним из главных представителей этого прогрессивного направления стал Давид Гильберт (1862-1943), великий немецкий математик, впоследствии оказавший большое влияние на фон Неймана. Ласло Рац (1863-1930), венгерский математик, занимавшийся средним образованием, был одним из авторов реформы школьной программы по математике, начатой в 1909 году. Нововведением в рамках реформы стало создание в 1894 году Közepiskolai Matematikai Lapok — математического журнала для средней школы, редактором которого стал Рац. В нем печатали работы и учителей, и учеников, в основном он содержал довольно простые задачи. Этот журнал, как и учреждение математических конкурсов (например, «Этвёш»), сыграл решающую роль в воспитании нового поколения венгерских математиков.

После Первой мировой войны Венгрия пережила краткий, но кровавый период режима Белы Куна — военного, сражавшегося в австро-венгерской армии и побывавшего в российском плену, откуда он вернулся на родину убежденным коммунистом. В марте 1919 года Бела Кун захватил власть и начал претворять в жизнь теории Маркса и Ленина. Это означало передачу власти пролетариату, большая часть которого фактически была крестьянами, перераспределение благ и установление политического террора, осуществляемого комиссарами, которых назначал сам Кун. Вандализм и насилие со стороны членов его партии сделали Будапешт крайне опасным городом, и семья Нейманов уехала в Австрию. Яношу было тогда 14 лет. Кун оставался у власти на протяжении еще пяти месяцев, а в августе 1919 года был свергнут адмиралом Миклошом Хорти, который установил еще более жесткий, крайне правый режим. Красный террор сменился белым. Было убито более 5 тысяч человек и примерно 100 тысячам пришлось уехать из страны. Евреи были активными членами предыдущего правительства (8 из 11 комиссаров Куна), и Макс Нейман избежал опасности только потому, что всегда твердо выступал против режима Куна и к тому же принадлежал к аристократии. Безопасности его семьи в тот момент ничто не угрожало, но в обществе к евреям относились с подозрением. Именно тогда многие интеллектуалы еврейского происхождения решили эмигрировать в Германию.

Бела Кун выступает в городе Касса (современный Кошица в Словакии).

Как было принято в богатых семьях того времени, до десяти лет Янош занимался с учителями дома. Среднее образование он получил в Лютеранской гимназии Будапешта (Budapest- Fasori Evangelikus Gimnäzium), элитной школе, которая, хоть и относилась к лютеранской церкви (все частные школы тогда финансировались какой-либо церковью — христианской, коптской или лютеранской), была толерантна к представителям других верований. Помимо уроков Янош занимался с раввином, который дал ему начальные знания иврита и понятий иудейской культуры, содержащихся в Торе.

В этой школе Янош проучился восемь лет. Он отлично успевал, но не перескочил ни через один класс — это могло бы отдалить его от других ребят и противоречило педагогическому подходу самого Ласло Раца, его учителя по математике. В школе поощрялась командная работа, и товарищи Яноша, с одной стороны, завидовали ему, а с другой — восхищались его интеллектуальными способностями. Там же Янош познакомился с Юджином Вигнером, который учился на класс старше. Позже, в 1963 году, Вигнер получил Нобелевскую премию. Он вспоминал, что Яношу очень нравилось разговаривать с ним, преимущественно о математике, и во время их долгих прогулок он всегда пытался перевести разговор на теорию множеств, которой был очарован уже в то время.

Рац быстро разглядел одаренность Яноша и предложил его отцу составить для мальчика индивидуальный план занятий. Макс сразу же согласился. Рац переговорил с Йожефом Кюршаком, известным математиком из Будапештского университета, который выбрал для Яноша в качестве частного преподавателя молодого математика Михаэля Фекете (1886-1957). Они занимались до самого окончания средней школы. На последнем году школьного обучения Янош и Фекете опубликовали совместную статью об одной теореме математического анализа в журнале Jahresbericht der Deutsche Mathematiker-Vereinigung {«Ежегодный отчет Немецкого математического общества»).

За эту статью Янош был удостоен национальной премии Этвёша. Для конкурса, в котором принимали участие все средние школы страны, требовалось глубокое знание математических понятий и принципов решения задач. Став лучшим в тот раз, Янош навсегда осознал свои удивительные способности.

Маргарет Канн, жена Макса Неймана, мать Джона фон Неймана.

Макс Нейман с сыном, маленьким Яношем Нейманом.

Фасад Лютеранской гимназии в Будапеште, куда Нейман поступил в 1911 году.

Математические олимпиады, как говорится в их уставе, являются «состязаниями среди юных школьников, и главная их цель состоит в стимулировании занятий математикой и развитии молодых талантов в этой области». Они возникли на основе национальных математических соревнований Этвёша. В 1894 году барону Лорану Этвёшу (1848-1919) предложили стать министром образования, чтобы способствовать установлению гражданских прав и религиозной свободы.

В честь этого события Венгерское общество математики и физики решило организовать ежегодные соревнования для выпускников средних школ. Современное название олимпиад было принято в 1958 году, когда по инициативе Румынии прошла первая Международная математическая олимпиада.

В ней приняли участие 7 стран, а сегодня она открыта для 80 стран всех пяти континентов. Фон Нейман, получивший национальную премию Этвёша, может считаться преолимпийским чемпионом.

Венгерский физик и политик Лоран Этвёш, в честь которого были названы первые соревнования по математике в Венгрии, учрежденные в 1894 году.

Наверное, многие удивились бы, узнав, что один из самых ярких математиков XX века закончил химический факультет. Фон Нейман выбрал его не по зову сердца, а как компромисс между интересами отца и собственными желаниями. Еврейская семья в Европе вне зависимости от социальной или экономической ситуации должна была жить на чемоданах, готовой в любой момент к путешествию без обратного билета. Часто евреям в течение одного дня нужно было покинуть родину, бросив все нажитое, поэтому они прекрасно понимали, что главным богатством было не то, что можно положить в чемодан, а то, что находится в голове, — этого уж точно никто не может отнять. Каждый еврей должен был владеть хотя бы одним иностранным языком и иметь профессию, которая позволила бы заработать на жизнь. Конечно, многое зависело и от того, в какую страну пришлось бы переехать. Макс Нейман заранее подумал о том, чтобы обучить своих детей превосходному немецкому и дать им достаточные знания английского и французского, — эти страны в то время имели наибольший вес в мировой политике. Кроме того, Макс Нейман всегда хорошо относился к занятиям сына математикой. Его врожденная склонность к этой науке была так велика, что отец понимал: в конце концов Янош сделает ее своей профессией. Но в данном случае речь шла только об интеллектуальном развитии. Достойного экономического положения математика могла и не обеспечить. Макс Нейман попросил помощи у своего друга, физика и инженера Теодора фон Кармана (1881-1963), чтобы тот убедил Яноша выбрать более доходную профессию. Втроем они пришли к соглашению: Янош будет штудировать химическую инженерию, но при этом не оставит и математику. В последующие пять лет обучения в университете Янош занимался в таком интенсивном ритме, что выдержать его мог только человек с необыкновенными способностями.

Университетское образование в Венгрии было доступно далеко не всем и тем более ограничено для евреев, но список достижений фон Неймана открывал ему двери в любое европейское учебное заведение. В 1921 году он поступил на математический факультет Будапештского университета. Юноше нужен был только диплом: он не посетил ни одного занятия и приходил только на экзамены, на которых всегда получал самые высокие оценки. Одновременно с этим Янош два года, с 1921 по 1923 год, занимался химической инженерией в Берлинском университете, а последующие два, с 1923 по 1925 год, — изучал химию в Федеральном технологическом институте в Цюрихе, где и получил диплом. Университетское образование Неймана завершилось защитой докторской диссертации по математике (по теории множеств) в Будапештском университете в 1926 году. К 20 годам он сформулировал определение ординальных чисел, которое используется по сей день.

С этого момента карьера фон Неймана очень быстро пошла в гору, и вскоре он стал одним из самых известных математиков в мире. Янош работал профессором в Берлинском университете с 1926 по 1929 год и в Гамбургском — с 1929 по 1930 год.

Важной датой в его биографии стал 1927 год: фон Нейман получил Рокфеллеровскую стипендию для продолжения обучения в Гёттингенском университете, главном математическом центре Европы. Там он познакомился с Давидом Гильбертом, одним из выдающихся математиков XX века, который оказал огромное влияние на его научную деятельность.