Фон Нейман. Теория игр

ГЛАВА 2 Германия: чистая математика

Самые важные исследования, проведенные фон Нейманом в Гёттингене под руководством Гильберта, были посвящены вопросам аксиоматизации. Чтобы лучше понять значение его достижений, нужно понимать, какую роль играли аксиомы на протяжении всей истории математики и какой глубокий кризис в аксиоматике наблюдался в начале XX века. Этот кризис поставил под вопрос сами основания математики.

В течение последней четверти XIX века главным центром математики в Европе был Берлинский университет, однако подход к науке в этом учреждении отличался довольно сильным пуризмом. Так, задачи решались прежде всего геометрическими методами. Применение элементов анализа Декарта и алгебры считалось отходом от математического метода, опирающегося на классическую геометрию.

Для пуристов точка, прямая или плоскость были интуитивно понятными объектами, которые можно представить и которые позволяли сформулировать и доказать теоремы исходя из законов логики и аксиом, установленных древнегреческим математиком и геометром Евклидом (ок. 325 — ок. 265 до н.э.). С аналитической же точки зрения, прямая считалась совокупностью точек, определяемых декартовыми координатами, и правила игры в этом случае диктовала абстрактная алгебра. Уже тогда математический анализ был развит достаточно, чтобы оперировать прямыми, плоскостями и кривыми на очень высоком уровне, не нуждаясь в том, чтобы «видеть» эти операции.

Университет немецкого Геттингена стал флагманом этого нового подхода.

Гёттингенский университет был основан в 1734 году Георгом II, курфюрстом Ганновера. В 1866 году этот город был присоединен к Пруссии, что повлекло за собой важные изменения: прусское правительство считало, что университет имел ключевое значение для развития страны. В том же году ректором был назначен немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925): он сохранил верность этому учебному заведению, отклоняя другие предложения работы, среди которых была и кафедра в Берлине. Клейн проработал здесь до самого выхода на пенсию в 1920 году, но продолжал читать лекции до 1924 года. Он разработал проект, известный как Эрлангенская программа, в рамках которой хотел установить новые связи между различными областями математики и приблизить ее к физике.

Немецкий математик Феликс Клейн родился 25 апреля 1849 года в Дюссельдорфе, в семье важного прусского чиновника. Начальное образование ему дала мать. Затем Феликс два года отучился в частной начальной школе и в 1857 году поступил в Дюссельдорфское училище, где провел восемь лет и получил полное среднее образование. В16 лет Клейн поступил в Боннский университет. Несмотря на то что его очень интересовала математика, он большую часть времени посвящал занятиям ботаникой. Через год после поступления в университет начал посещать семинары по физике, которые проходили под руководством Юлиуса Плюккера, физика и математика, в то время работавшего над своей книгой Neue Geometrie des Raumes («Новая геометрия пространства»). Клейн так углубился в изучение этой темы, что после смерти Плюккера взял на себя составление второй части книги.

Отдавая себе отчет в том, что ему не хватает знаний в некоторых областях математики, особенно в интегральном исчислении, в 1869 году Клейн переехал в Гёттинген и в течение года посещал занятия Альфреда Клебша. Клейн никогда не придерживался стандартной академической программы и сам составлял учебный план. Во время учебы в Берлине в 1870 году он посещал не занятия по математике, а кофейни — правда, в обществе двух выдающихся математиков — австрийца Отто Штольца (1842-1905), который уже заведовал математической кафедрой и приехал в Берлин, чтобы расширить свои познания, и норвежца Софуса Ли (1842-1899). Именно Ли открыл Клейну важность теории групп, разработанной Эваристом Галуа (1811-1832) и впоследствии оказавшей большое влияние на научную деятельность Клейна. По прошению Клебша Клейн получил звание ординарного профессора в Эрлангенском университете. Именно там, комментируя созданный им учебный план, Клейн впервые изложил свою знаменитую Эрлангенскую программу. За годы педагогической деятельности он преподавал математику в Мюнхене (1875-1880), Лейпциге (1880-1886) и Гёттингене (1886-1913), где создал институт прикладной математики. В 1882 году у Клейна на фоне серьезного психического расстройства произошел нервный срыв, и он прекратил заниматься наукой. Ученый умер в Гёттингене 22 июня 1925 года.

Эту программу Клейн воплотил в жизнь за десять лет. Его верным союзником стал Давид Гильберт, один из самых выдающихся ученых конца XIX — начала XX века, который, как считается, оказал наибольшее влияние на геометрию после Евклида.

Благодаря Гильберту в 1895 году началась новая эпоха в развитии Гёттингенского университета, а Математический институт Гёттингена прославился во всем мире. Гильберт разделял мнение Клейна о том, что университет должен открыться для международного сообщества и отойти от пуристских взглядов, чтобы способствовать объединению различных математических дисциплин, но при этом стараться избегать открытого столкновения с Берлинским университетом. И действительно, вскоре Гёттингенский университет прославился своей открытостью: здесь радушно принимали ученых и мыслителей с новаторскими идеями независимо от их происхождения или социального положения.

Гильберт придерживался твердой позиции по поводу роли математики по отношению к физике; однажды он даже заявил, что физика слишком сложна для самих физиков. Совместно с немецким математиком Рихардом Курантом (1888-1972) Гильберт издал книгу Methoden der mathematischen Physik («Методы математической физики», 1924), которая оказалась бесценной для физиков. Работа переиздается до сих пор и известна под кратким названием «книга Куранта — Гильберта».

Такие элементарные понятия, как точка, прямая, плоскость, и их взаимоотношения, от простых до сложных, были систематизированы и упорядочены в период с 330 по 275 год до н.э. в одной из самых известных книг во всей истории человечества. Мы говорим о «Началах» Евклида. Этот труд состоит из 13 книг, в которых содержатся все знания по геометрии того времени. Евклид построил свою геометрию на трех ключевых понятиях: аксиомах, теоремах и постулатах. Теоремы относятся к неочевидным предложениям, которые можно доказать на основе аксиом и постулатов посредством логических рассуждений. Всего Евклид ввел 23 аксиомы (или определения) и 5 постулатов. Различие между аксиомой и постулатом очень важно для понимания сущности геометрии, описанной в «Началах». Аксиома не нуждается в доказательстве, так как это ясное и очевидное утверждение. Например, первая аксиома Евклида гласит: «Точка есть то, что не имеет частей». Постулат же — предложение, которое, не будучи таким очевидным, как аксиома, считается истинным без доказательства.

Таким образом, математическое здание строится шаг за шагом на основе системы аксиом и логических правил, которые позволяют создавать теоремы. До появления неевклидовых геометрий этот фундамент казался достаточно прочным и вызывал полное доверие.

В пятом постулате «Начал» Евклида — не таком ясном, как остальные четыре, — утверждается:

«Если через две прямые проходит прямая, образующая с одной стороны внутренние углы, чья сумма меньше суммы двух прямых углов, то если продолжить эти прямые бесконечно, они встретятся с той стороны, с которой сумма двух углов меньше двух прямых углов».

Возьмем прямую R₃, проходящую через прямые R₁ и R₂ (см. рисунок).

Внутренние меньшие углы, о которых идет речь в постулате, обозначены буквами а и b. Согласно пятому постулату, если мы продолжим прямые R₁ и R₂, то они пересекутся в правой части рисунка. Недостаток в этом постулате простоты и очевидности, присущей первым четырем, всегда привлекал внимание геометров. Сам Евклид старался избегать этого постулата и впервые применил его только в доказательстве номер 29 книги I. Из-за этой попытки построить всю свою геометрию без пятого постулата Евклида даже называли первым неевклидовым геометром. Так или иначе, пятый постулат с самого начала вызывал вопросы. Справедлив ли он? И если да, действительно ли это независимый постулат? Или это теорема, которую можно доказать на основе четырех предыдущих постулатов?

Но среди постулатов Евклида было слабое звено — пятый постулат. Он стал одним из самых обсуждаемых в истории математики, предметом споров, длившихся более 2000 лет, и той трещиной, которая разрушила все здание.

Неевклидова геометрия — это любая геометрическая система, отрицающая истинность пятого постулата. Если вспомнить, что евклидова геометрия на протяжении 2000 лет считалась единственно возможным геометрическим подходом к изучению окружающего нас мира, то становится понятно: для ее отрицания требовалась определенная интеллектуальная дерзость. Создание таких альтернативных геометрий, казалось, могло быть только математической игрой, забавой. И действительно, сначала дело обстояло именно так, но со временем эти геометрии стали мощным инструментом не только в математике (в таких областях, как динамические системы, автоморфная функция, теория чисел), они оказались необходимой системой измерений во многих областях современной физики.

В рамках евклидовой геометрии мы оперируем элементами, которые непосредственно принадлежат этому виду геометрии, — точками, прямыми, плоскостями, углами и так далее, а также преобразованиями, которые можно применить к этим элементам. Мы можем переносить их из одного места в другое, вращать их, удлинять, укорачивать или придавать им определенную симметрию. Некоторые преобразования обратимы, то есть если в ходе преобразования из точки А мы переходим в точку В, то существует и другое преобразование, которое приводит нас из точки В в точку А. Также, применяя два преобразования подряд, мы можем получить еще одно преобразование. Если имеется совокупность преобразований, отвечающих этому критерию (и еще нескольким, но в данном случае это не важно), то она называется группой преобразований. Некоторые объекты, с которыми мы имеем дело в геометрии, могут быть в большей или меньшей степени подвергнуты таким преобразованиям.

Предположим, что мы должны перенести окружность. Ее центром является определенная фиксированная точка, но при переносе она меняется. Если же мы оставим центр на месте и уменьшим длину окружности, изменится ее радиус. Но при всех этих преобразованиях одно свойство остается неизменным — соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Феликс Клейн заметил, что изучение таких инвариантных свойств было определяющей характеристикой конкретного типа геометрии, в рамках которой можно сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами. Тогда он предложил более общее и более абстрактное определение геометрии: она определялась парой (X; G), гдеХ — множество объектов, a G — множество преобразований, применяемых к ним. Все известные геометрии — евклидова, проективная, гиперболическая и так далее — попадали под эту классификацию. Она также открывала путь новым геометрическим системам, поскольку множество объектов X могло состоять из абсолютно любых типов элементов. Клейн изложил свои идеи в докладе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», представленном в 1872 году на математической кафедре Эрлангенского университета. Позднее доклад стал известен в математических кругах как Эрлангенская программа Феликса Клейна.

Открытка 1916 года, на которой изображена улица на территории Эрлангенского университета.

Если речь идет об относительно небольших расстояниях, евклидова и неевклидова геометрии практически эквивалентны. Однако если рассматривать расстояния в астрономии или в некоторых системах современной физики (теории относительности или теории распространения волн), неевклидовы геометрии оказываются более точным инструментом.

В свете этого ученые заключили, что гиперболическая геометрия — один из видов неевклидовой — не менее обоснована, чем евклидова; другими словами, если в гиперболической геометрии и есть противоречия, то они есть и в геометрии Евклида. Последующее развитие теоретической физики показало, что евклидова геометрия необязательно наиболее соответствует «реальности».

Появление неевклидовых систем стало важным этапом не только в развитии самой геометрии. Речь шла о том, чтобы зайти за священную ограду непреложных истин, содержащихся в аксиомах, и сделать предметом изучения само внутреннее обоснование этих аксиом. Геометрия стала детонатором глубокого кризиса, который в итоге поразил один из столпов всей математической науки — теорию множеств.

Теория множеств имеет большое значение для математики: являясь, в сущности, очень простой, она позволяет дать определения таким понятиям, как упорядоченная пара, соотношение, функция, разбиение множества, порядок, натуральные числа, рациональные, вещественные, комплексные числа, структура группы, кольцо, тело, векторное пространство и так далее,— список можно продолжать очень долго. Само же понятие множества — одно из основных в математике. Сложно найти хотя бы одну ее область, которая не была бы основана на нем, явно или не очень явно. Можно даже утверждать, что все математическое здание стоит на краеугольном камне теории множеств, которой пользуются математики, логики и, в меньшей степени, те, кто имеет дело с программированием.

Первая сложность в этой теории — само определение множества, но если ее преодолеть, все остальное работает прекрасно. Сформулировать же это определение, не используя само слово «множество» или его синонимы (совокупность, общность, последовательность и другие), очень трудно. Одна из лучших формулировок, в которой нет никаких синонимов (по крайней мере на первый взгляд), была предложена британским ученым Бертраном Расселом (1872-1970):

«Множество суть одновременное рассмотрение различных элементов».

Это очень интересное определение, так как в нем множество представляется как направление мысли, и это означает, что речь идет действительно о базовом понятии. Представим, что мы пришли на прием, где никого не знаем, и начинаем скучать. Чтобы убить время, мы посмотрим на обувь, которую носят гости, и попробуем ее классифицировать по очень простому принципу «нравится — не нравится». Тем самым мы установим некое соотношение в точно определенном множестве: вся обувь на приеме. Перемена направления мысли состоит именно в том, чтобы рассмотреть одновременно ряд объектов, ограничить наше внимание только ими, сконцентрироваться только на них. Именно так мы и получили «множество обуви».

Существует два особых и теоретически неизбежных множества — пустое и универсальное. Пустое множество обозначается знаком 0 и определяется как множество, не имеющее ни одного элемента. С философской точки зрения это очень противоречивое понятие, и в свое время у него было много противников. Ведь раз множество не содержит ни одного элемента, значит оно состоит из ничего, а поскольку «ничто» не существует, то не существует и пустого множества. Универсальное множество, напротив, имеет слишком много элементов, то есть оно просто-напросто слишком большое. В большинстве научных работ его обозначают буквой U. Определение универсального множества не такое четкое, как пустого. Считается, что оно включает в себя все множества, которые мы только можем рассмотреть. Поскольку в пустом множестве ничего нет, в U возникает соблазн включить все. Это означало бы, что U — множество всех возможных множеств, что не совсем правильно — не с метафизической точки зрения, на которую математики не обратили бы внимания, а с точки зрения внутренней логики самого понятия множества. Поэтому для универсального множества ставят условные ограничения. В приведенном выше примере, когда скучающий гость рассматривает обувь всех приглашенных на прием, мы можем считать универсальным множеством U «всю обувь, которая есть на приеме». Но для нас также удобно расширить это множество до всей обуви, произведенной в стране, если, например, мы рассматриваем определенные марки. Или мы легко могли бы принять за универсальное множество «всю обувь мира». Главное — множество должно быть достаточно большим, чтобы нам было удобно оперировать членами внутри него. Разумеется, если мы будем следовать такому алгоритму, то в наших универсальных множествах в итоге всегда будет бесконечное количество элементов. Неудивительно, что история теории множеств тесно связана с понятием бесконечности, в частности с понятием актуальной бесконечности и необходимостью создавать математические объекты с бесконечным количеством элементов.

Несмотря на то что первые понятия множеств были выведены еще Бернардом Больцано (1781-1848), создателем этой теории является Георг Кантор (1845-1918). Можно сказать, что она родилась в 1874 году в работе Кантора, опубликованной в престижном «Журнале Крелля» под названием Über eine Eigenschaft des Ibegriffes aller reellen algebraischen Zahlen («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»).

Впервые аксиомы для теории множеств вывел немецкий математик и логик Готлоб Фреге (1848-1925), который хотел придать ей логическую структуру. Эта серия аксиом должна была не только обеспечить правильность операций с множествами, но и неким образом, явно или нет, выявить само определение множества. Так или иначе, эта система аксиом просуществовала очень недолго, так как в теории был открыт коварный парадокс.

В 1903 году Бертран Рассел доказал, что в теории множеств Кантора таится противоречие, и поставил под вопрос само определение множества. Кантор понял это, когда столкнулся с тем, что множество всех множеств не может существовать, так как множество никогда не может являться частью самого себя. Предположим, что существует два типа множеств, — те, что принадлежат сами себе, и те, которые не принадлежат. Назовем, например, множество всех существующих столов М. Пусть m — произвольный стол. Следовательно, m принадлежит М:

m ϵ М

Разумеется, множество всех столов не является столом. Следовательно, мы можем утверждать, что

М┐ϵ М.

(здесь ┐ϵ заменяет отсутствующий символ "перечеркнутое ϵ ")

Таким образом, это пример множества, не принадлежащего самому себе. Теперь рассмотрим множество T, состоящее из всех множеств, которые содержат более трех членов. Если мы возьмем множество р, образованное парой одинаковых элементов, то получим, что

р┐ϵ Т.

У множества T, разумеется, больше трех элементов — их бесконечное количество, поэтому

T┐ϵ T.

Следовательно, это пример множества, принадлежащего самому себе.

Тогда Рассел вводит следующее множество R:

«R состоит из множеств, которые не являются элементами самих себя».

Исходя из предыдущих примеров, мы имеем:

M┐ϵ R и T┐ϵ R.

В этом случае вопрос Рассела звучит так:

R┐ϵ R?

Если ответ да, то R не может быть элементом R, так как содержит само себя и, следовательно, не принадлежит само себе. Если же ответ нет, то множество R не принадлежит само себе. Таким образом, в любом случае мы получаем элемент, который одновременно и принадлежит, и не принадлежит некоему множеству, что является парадоксом, или, выражаясь языком логики, противоречием. Проблема, лежащая в его основе, заключалась в том, что в рамках теории Кантора ничто не запрещало образовывать такие множества, как множества Рассела. Следовательно, надо было создать такую аксиоматику, которая не оставила бы места множествам такого типа.

Немецкий логик и математик Эрнст Цермело (1871-1953) сформулировал семь аксиом, с помощью которых не только хотел придать логическую основательность теории множеств, но и избежать таких спорных ситуаций, как в парадоксе Рассела. Для этого Цермело дал определение основным понятиям и их отношениям. За аксиому принималось существование самого множества, пустого множества, объединения и пересечения множеств, а также части множества. Таким образом гарантировалось точное существование множеств, на которых можно было основываться и которые позволяли доказать фундаментальные для анализа теоремы. В то же время из игры исключались ненадежные множества, которые могли привести к парадоксам.

Бертран Рассел, один из основателей аналитической философии. Портрет маслом кисти Роджера Фрая, 1923 год.

В Геттингенском университете фон Нейман (фотография 1940-х годов) познакомился с Давидом Гильбертом, чьи труды оказали на него большое влияние.

Медная гравюра, на которой изображено здание Гёттингенского университета и библиотеки. Около 1815 года.

Позже теория множеств Цермело была дополнена и расширена Абрахамом Галеви Френкелем (1891-1965). Так появилась система аксиом, ставшая известной как аксиоматика Цермело — Френкеля. Пользуясь сравнением Анри Пуанкаре (1854-1912), теперь овцы были окружены забором, который защищал их от волков, оставшихся снаружи, но при этом было неизвестно, не спрятался ли какой-нибудь волк внутри. Другими словами, система Цермело — Френкеля позволяла создавать все необходимые для математики множества, но не исключала вероятности существования множеств, принадлежащих самим себе, — затаившихся внутри ограды волков.

Существует такое бесконечное множество А, которое не является слишком большим.

Джон фон Нейман

Фон Нейман предложил для решения этой проблемы два способа, которые дополняли друг друга: аксиому регулярности и понятие класса. Обе эти модели он изложил в 1928 году в своей докторской диссертации Die Automatisierung der Mengenlehere {«Аксиоматизация теории множеств»), которую защитил в Будапештском университете.

При помощи аксиомы регулярности и следуя аксиомам Цермело фон Нейман строил множества снизу вверх, так, что если одно множество принадлежало другому, то оно обязательно было первым в последовательности. При этом исключалась вероятность того, что множество принадлежит само себе. Важно подчеркнуть, что метод, использованный фон Нейманом для демонстрации этого результата, стал фундаментальным для многих доказательств теории множеств и используется по сей день.

Другой его метод, связанный с понятием класса, состоял в использовании функций для определения множеств.

Функция принадлежности, применяемая для множества, принимает только два значения — 0 и 1 — исходя из заданного критерия. Его устанавливают так, что все элементы, принимающие значение 1, — это именно те, что составляют множество, которое мы хотим определить. Рассмотрим множество всех четных чисел. С помощью функции с его можно определить следующим образом: с (4) = 1; с (7) = 0; с (31) = 0; с (220) = 1. То есть функция с равна 1, когда применяется к четному числу, и 0 — когда к нечетному (см. рисунок). Таким образом, множество всех четных чисел — это множество, образованное всеми числами, для которых функция принадлежности принимает значение 1. Следовательно, множества можно определять с помощью функций.

Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами — это особый вид соотношений между элементами первого и второго множеств. Например, если первое множество состоит из рубашек, а второе — из брюк, мы можем установить между ними следующее соответствие: каждой рубашке первого множества соответствует пара брюк такого же размера из второго. Тогда мы скажем, что брюки — отображение определенной рубашки. Может случиться, что у одной рубашки будет размер XXL, а среди брюк не будет ни одной пары этого размера; тогда мы скажем, что у этой рубашки нет отображения. Или может быть, что одной рубашке соответствуют несколько пар брюк того же размера. В этом случае мы скажем, что у рубашки несколько отображений. Когда каждому элементу соответствует только одно отображение, мы говорим о взаимно однозначном отображении, или о биективной функции. Например, биективной будет функция, переводящая каждое число множества целых чисел в то же число, умноженное на два. Назовем эту функцию ƒ. Мы получим, что ƒ(2) = 4; ƒ(5) = 10; ƒ(14) = 28... Если вместо того чтобы записывать через функцию значения, которые принимает каждый элемент, мы запишем их в скобках, то получим тот же результат:

(2, 4) (5, 10) (14, 28).

Разница состоит только в том, что теперь функция определена через множество, элементы которого представляют собой пары. Итак, функция может быть представлена как множество парных элементов, а множество может быть выражено с помощью функции принадлежности. Идея о том, что множество основано на понятии принадлежности, относится к аксиоматике Цермело — Френкеля. Фон Нейман же (ему было всего 22 года, когда он разработал свою аксиоматику теории множеств) взял в качестве ключевого понятия функцию. Это формальное отличие имеет важное следствие: количество аксиом Цермело — Френкеля не определено изначально, теоретически оно может быть бесконечным, в то время как, следуя подходу фон Неймана, требуется всего 18 аксиом, к тому же первую можно включить во вторую как частный случай.

Еще одним достоинством метода фон Неймана было то, что модель множества основывалась не на принадлежности, а на классах функций, которые делились на множества и собственно классы. Последние настолько велики, что не могут содержаться в других классах. Множества же удовлетворяют ограничивающим условиям и могут входить в другие классы. Таким образом, внутри забора оставались только овцы, а все волки оказывались снаружи, поскольку то, что приводило к противоречиям, было рассмотрением не классов самих по себе, а возможности их вхождения самих в себя. Аксиоматика Цермело — Френкеля, дополненная фон Нейманом, используется и сегодня.

С самого зарождения физика была экспериментальной наукой.

Физическая теория часто рождается в результате опыта и подтверждается другим опытом. В промежутке строятся рабочие гипотезы, даются определения терминам и выводятся формулы — в этом случае физика активно сотрудничает с математикой. Создание формул крайне важно, так как в числе прочего в них заложен большой потенциал предвидения и обобщения, что является следствием абстрактного характера математики.

Если у нас есть сосуд с жидкостью, характеристики которой нам известны, и у сосуда есть слив, то мы можем измерить время, за которое вся жидкость вытечет. Имея в распоряжении подходящую физическую теорию, построенную на законах вытекания жидкости из сосуда (что обязательно подразумевает и существование определенных математических формул), мы сможем предположить, сколько времени будет затрачено для этого в сосудах разной формы с разными жидкостями разного объема.

Гораздо легче лететь на самолете или даже управлять им, чем понять, почему он движется.

Джон фон Нейман

Тесная связь математики и физики существовала не всегда. Как правило, эти науки шли разными путями, хотя в итоге всегда стремились друг к другу. Рано или поздно физика должна была прибегнуть к помощи математики, чтобы оформиться как точная наука. Появление в начале XX века новых теорий, таких как теория относительности и квантовая механика, требовало развития и новой математики, приспособленной к новым парадигмам. Так теоретическая или, как ее еще называют, математическая физика стала выходить на первый план, и благоприятные условия для этого создал Давид Гильберт в Гёттингенском университете.

В какой-то момент ньютонова физика уже не могла объяснить накопившиеся экспериментальные данные. Главные сложности возникли с двумя явлениями. Первым было излучение черного тела, которому никак не удавалось найти удовлетворительного объяснения. Второе касалось электрона, вращавшегося по орбите вокруг ядра: теоретически он должен был постепенно терять энергию и упасть на ядро, но этого не происходило. Помимо этого, по результатам некоторых экспериментов природа частиц оказывалась двойственной — они вели себя как волны и корпускулы одновременно. То же самое получалось и в некоторых экспериментах с фотонами. Например, при фотоэффекте они вели себя как частицы, а в эксперименте с двойной щелью проявляли волновую природу. Тогда появились две теории, объясняющие эти явления. Первая принадлежит Вернеру Гейзенбергу (1901-1976), вторая — Эрвину Шрё- дингеру (1887-1961). Механика Гейзенберга была матричной, механика Шрёдингера — волновой, и, разумеется, для них требовались разные математические инструменты. По схеме Шрёдингера волновое уравнение, описывающее частицу, было дифференциальным, а его решение для электрона атома водорода совпадало с результатом, полученным опытным путем.

Все эти исследования проходили в Гёттингенском университете в 1925-1926 годах. Необходимо было как можно скорее найти математический инструмент, пригодный для использования в рамках обеих теорий. Как это часто происходило в истории науки, именно математический, сугубо абстрактный подход, не имевший ничего общего с конкретной физической реальностью, стал прекрасной основой для двух разных теорий. Их объединила теория функциональных полей Давида Гильберта. Однако это объединение в более широком смысле могло произойти только при наличии абстрактной системы аксиом, способной совместить оба подхода.

Можно ли аксиоматизировать физику? Этот вопрос стоит на шестом месте в знаменитом списке 23 задач Гильберта, представленном на Международном математическом конгрессе в Париже. В оригинальном тексте доклада ученый писал:

«...[изучение основ] физических наук, в том числе математики, имеет важное значение; в первую очередь речь идет о теории вероятностей и механике».

Аксиоматику теории вероятностей впервые установил советский математик Андрей Николаевич Колмогоров в 1933 году.

В области физики многие ученые, среди которых был и фон Нейман, достигли больших успехов, но они сомневались в возможности найти окончательное решение: результаты опытов были невероятно сложными и могли разрушить устойчивость системы аксиом. Таким образом, этот вопрос из списка 23 задач до сих пор остается открытым.

Фон Нейман аксиоматизировал квантовую механику таким образом, что параметры, определяющие положение частицы, могли быть установлены при помощи пяти аксиом, сформулированных для гильбертова пространства. Математические формулировки были достаточно абстрактны, чтобы оставаться полностью отделенными от экспериментальной физики. Эти результаты были изложены в различных статьях в журнале Mathematische Annalen («Математические анналы») в 1929— 1930 годах.

Фон Нейман занимался еще одной проблемой, которая не давала покоя физикам и решение которой стало бы большим прогрессом в теории меры. В большинстве физических опытов всегда проводится некое измерение, и — каким бы точным ни был используемый инструмент — ошибка неизбежна. Поэтому важно знать, насколько велика эта ошибка, хотя бы приблизительно. В классической физике теория ошибок была достаточно развита и позволяла установить, насколько результаты эксперимента заслуживают доверия.

Но в рамках квантовой физики появилось новое понятие ошибки, для которого были неприменимы прежние теории.

Немецкий математик Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге (сегодня Калининград, Россия), столице Восточной Пруссии. Его отца, государственного чиновника, направили в этот город на работу в качестве судьи. Обстановка, в которой рос Гильберт, была чрезвычайно благоприятной для интеллектуального развития мальчика, преимущественно благодаря его матери, невероятно образованной женщине, любившей философию, астрономию и математику. В 18 лет, окончив школу, Гильберт начал изучать математику в Кёнигсбергском университете. Среди его прекрасных учителей были такие ученые, как Генрих Вебер и Фердинанд фон Линдеман. В этот период Гильберт впервые занялся теорией инвариантов и познакомился с математиком Германом Минковским (1864-1909), дружбу с которым сохранил на протяжении всей жизни. В 1892 году Гильберт получил место экстраординарного профессора в университете Кёнигсберга. Эта должность не только была престижной, но и давала ему финансовое положение, необходимое для создания семьи. В том же году Гильберт женился на Кете Ерош. Одним из поворотных моментов в его карьере было предложение Феликса Клейна (пошедшего наперекор мнению большинства преподавателей) стать ординарным профессором Гёттингенского университета в 1895 году. В конце весны 1920 года состояние Г ильберта, страдавшего анемией, серьезно ухудшилось. В то время анемия была сложной болезнью, от которой не существовало эффективных лекарств.

Несмотря на тяжелые физические и душевные испытания, ученый нашел силы для того, чтобы полностью посвятить себя изучению основ математики. К счастью, в 1927 году появился новый препарат от анемии, и Гильберт принимал его в числе первых пациентов, что, возможно, спасло ему жизнь.

Последние десять лет ученый провел в изоляции из-за политики нацистской Германии. Гильберт умер 14 февраля 1943 года в Гёттингене. На похороны пришли всего несколько человек. Среди них были его жена, к тому времени полуслепая, и физик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951), которому с трудом удалось приехать из Мюнхена.

Портрет Давида Гильберта в последние годы жизни.

Точные измерения здесь получить невозможно, самое большее — можно надеяться на статистические результаты. Объект измерения (например, атом или электрон) в квантовой физике имеет микроскопический размер, и на него оказывает воздействие сам инструмент измерения.

Представим, что мы хотим с помощью линейки определить положение коробка спичек, лежащего на столе, по отношению к его краям, и каждый раз ненамеренно сдвигаем его. Нечто похожее происходит в квантовой физике. Система аксиом, созданная фон Нейманом, позволяла описать процесс наблюдения и наблюдаемый объект как логические элементы, которые можно рассмотреть в ее рамках. Ему в голову пришла блестящая идея: принять, что наблюдение происходит не в течение определенного промежутка времени, а в одно мгновение, то есть имеет вневременной характер. Эти результаты фон Нейман изложил в одной из своих самых известных книг — Mathematische Grundlangen der Quantenmechanik («Математические основы квантовой механики»), опубликованной в Берлине в 1932 году. В 1936 году он совместно с американским математиком Гарретом Биркгофом (1911-1996) дополнил работу подробным исследованием квантовой механики с точки зрения логики.

Фон Нейман понимал, что логика, описывающая явления квантовой физики, значительно отличается от той, к которой все привыкли. В логике высказываний существует конъюнкция, обозначаемая символом ^, она соответствует сочинительному союзу «и». Два высказывания A и В, соединенные конъюнкцией, записываются как А ^ В. Например, высказыванием А может быть «Луиджи 34 года», а В — «Луиджи брюнет», так что А ^ В читалось бы как «Луиджи 34 года, и он брюнет». Это утверждение будет верным, только если верны оба высказывания. Для конъюнкции соблюдается коммутативный закон, то есть порядок высказываний не влияет на их истинность или ложность. Сказать «Луиджи 34 года, и он брюнет» — то же самое, что «Луиджи брюнет, и ему 34 года». Но в квантовой физике все иначе.

Свет — это электромагнитная поперечная волна с двумя перпендикулярными плоскостями колебаний. Когда мы ставим поляризационный фильтр (такой, как в поляризационных очках) на пути луча света, то препятствуем прохождению одного из двух планов колебаний. Если же мы поставим два перпендикулярных поляризационных фильтра, свет не сможет пройти сквозь них.

Теперь возьмем третий фильтр, поляризованный по диагонали. Опытным путем было установлено, что если поставить его между двумя предыдущими, то свет сможет пройти. Разумеется, если мы поставим его после второго, свет не пройдет, так как ему помешают первые два. Назовем второй фильтр А, а третий — В и поставим за фильтрами экран. Условимся, что когда на экран падает свет, это означает «истина», когда экран остается темным — «ложь». В таком случае В^А было бы «истиной», так как при таком расположении фильтров экран загорается. Напротив, А л В было бы «ложь», так как свет не смог бы пройти. Таким образом, А ^ В ≠ В ^ А.

Все свои открытия в области логики, описывающей явления квантовой механики, Нейман изложил во втором издании «Математических оснований квантовой механики», опубликованном в 1936 году.

Описанная выше логическая система предполагает некую механичность — в том смысле, что все операции с высказываниями следуют определенным правилам. Проще говоря, хоть это и не совсем правильно, важно следить за тем, что ты делаешь, но можно не думать о том, что ты делаешь. Можно создавать геометрические теоремы исключительно по правилам логики, не думая ни о прямых и плоскостях, ни о том, как они пересекаются и расходятся в пространстве. Мы могли бы «включить тумблер» и автоматически создать все возможные геометрические теоремы. Это сделало бы математику не только точной, но и совершенной наукой — наукой наук.

На протяжении 2000 лет аксиоматический метод в геометрии давал довольно хорошие результаты. Полагалось, что этот же метод можно применить и к другим областям науки. В конце XIX века арифметика уже обладала собственной системой аксиом, из которых можно было бы вывести целый ряд предложений, возводимых в ранг теорем. Этим и занимался Давид Гильберт, когда Гёдель сформулировал свою теорему, значительно ускорившую весь процесс.

В 1930 году Гёдель защитил докторскую диссертацию, написанную под руководством Ханса Хана (1879-1934). Она называлась «Полнота аксиом логического функционального исчисления» и была посвящена теме, тесно связанной с формалистской программой Гильберта. В начале сентября того же года Гёдель принял участие в конгрессе «Эпистемология точных наук», на котором также выступали Рудольф Карнап, Аренд Гейтинг, Джон фон Нейман и Фридрих Вайсман. Гёдель четко заявил о своих сомнениях в выполнимости программы Гильберта и изложил некоторые свои результаты, демонстрирующие неполноту арифметики. Немногим позже, в 1931 году, когда ему было всего 25 лет, Гёдель опубликовал знаменитую теорему о неполноте, которая подрывала сами основы математики. Несмотря на то что в теореме говорилось о сугубо специализированных вещах, она очень быстро получила широкий международный резонанс. Благодаря этому в 1933 году ученый получил звание приват-доцента Венского университета.

Теория состоит из совокупности аксиом и правил логического вывода, которые позволяют установить ряд теорем исходя из этих аксиом. Теория считается противоречивой, когда в ее рамках можно доказать и некое утверждение, и противоположное ему. Если теория не противоречива, то говорят, что она последовательна. С другой стороны, в рамках теории должна быть возможность доказать любое утверждение, если оно истинное. В этом случае теория считается полной.

Первая теорема Гёделя гласит, что в любой системе аксиом, к которой можно отнести арифметику целых чисел, существуют верные предложения, которые невозможно доказать в рамках этой системы. То есть если арифметическая теория непротиворечива, то она неполная. Это равноценно утверждению, что совершенной системы аксиом, включающей арифметику натуральных чисел, не существует, так как она либо противоречивая, либо неполная.

Фон Нейман, принимавший участие в знаменитом конгрессе в Кёнигсберге, сразу же заинтересовался идеями Гёделя. Сам фон Нейман установил систему аксиом для теории множеств и считал, что тема закрыта. Но ученому пришлось признать, что его система была неполной: не потому, что в ней были недостатки, а потому что любая такая система является неполной по определению. Фон Нейман не только согласился с этим, но и за рекордно короткий срок, всего за месяц, подготовил для Гёделя следствие его теоремы, которое стало известно как вторая теорема Гёделя. Согласно ей если арифметическая теория непротиворечива, то в ее рамках нет ни одного доказательства, что она таковой является. Эта вторая теорема немного запутанная, и из нее следует, что если теория вмещает в себя арифметику натуральных чисел, она не может подтвердить сама себя, то есть утверждать «теория Т непротиворечива». Для этой теории было разработано несколько символов; чтобы выразить утверждение «теория Т непротиворечива», можно записать, например, С(Т). Согласно второй теореме Гёделя, если Т непротиворечива, то С(Т) нельзя доказать на основе Т.

Австрийско-американский математик, логик и философ Курт Гёдель (1906- 1978) был младшим из двух сыновей Рудольфа и Марианны Гёделей, немецких иммигрантов, работавших в текстильной промышленности. После окончания учебы в Королевской гимназии Брно Курт в 1924 году уехал учиться в Венский университет. Он поступал туда с четкой целью изучать физику, но под влиянием преподавателей Филиппа Фуртвенглера и Ханса Хана занялся математикой. Уже в то время Гёдель страдал ревматической лихорадкой, и эта болезнь наложила свой отпечаток на характер ученого: он испытывал маниакальное волнение за свое здоровье и главным образом за все, что касалось питания. В 1920-е годы, несмотря на глубокий экономический кризис, Венский университет был культурным и научным центром страны. В 1926 году Гёдель был приглашен на философский семинар в кружок Морица Шлика (1882-1936), который посещали такие физики и математики, как Рудольф Карнап (1891-1970), Ханс Хан (1879-1934), Фридрих Вайсман (1896-1959) и Отто Нейрат (1882-1945). Они впоследствии и составили знаменитый Венский кружок. Философ Карнап и математик Карл Менгер ввели Гёделя в математическую логику. В то время кружок пристально следил за работами Людвига Витгенштейна (1889-1951) о языке для описания языка (метаязыке), и этот подход Гёдель хотел применить к математике. Но ученый не полностью разделял научные воззрения в духе логического позитивизма, царившие в кружке. Он придерживался скорее обратной позиции — чистого платонизма. Гёдель считал, что истина существует независимо оттого, известна она нам или нет. В математике это означало, что теоремы не создаются, а открываются. Гёдель неоднократно подчеркивал, что к своим результатам он пришел, будучи вдохновленным этой платоновской метафизикой. В 1952 году Гарвардский университет наградил Гёделя степенью почетного доктора наук и назвал его «первооткрывателем самых важных математических истин этого столетия».

Курт Гёдель в период работы в Институте перспективных исследований в Принстоне (Нью- Джерси, США) в 1940-е годы.

Именно вторая теорема, которой сам Гёдель не придал большого значения и считал следствием первой, оказала наибольшее влияние на математическое научное сообщество. Ее всегда называли второй теоремой Іеделя, никогда не упоминая вклад фон Неймана.

Сегодня теории Гёделя обобщены и перенесены в самые разные области. Они применяются в информатике, особенно в случае невозможности решить проблему остановки. Эта проблема заключается в том, чтобы найти способ определить, может какой-либо компьютер с произвольным набором установленных программ остановиться после выполнения алгоритма или он зависнет. Еще одно следствие теоремы Гёделя для информатики относится к вирусам, так как доказывает, что «ни одна программа, которая не меняет операционную систему компьютера, не сможет определить все программы, которые ее меняют».

Гильберт довольно пессимистически отнесся к следствиям из теоремы Гёделя, так как очень надеялся на возможность установить такие основания математики, которые запустят самосозидательный процесс, и при помощи него, исходя из простых предложений, сформулированных в непротиворечивой логической системе, можно будет вывести сложные результаты. Гёдель не разделял этого пессимизма, так как не считал, что его теорема неполноты подразумевает ошибочность аксиоматического метода для развития теории математики. По его мнению, это был этап эволюции, на котором главную роль вновь начинала играть научная интуиция, как это и должно быть. Такой взгляд полностью соответствовал философии Гёделя, более близкой к платонизму, чем к логическому позитивизму «Разрушающее» значение его теорем заключалось в том, что механический, точный аспект математики уходил на второй план, выдвигая на первый воображение и интуицию, возвращая математике место духовных наук, которое принадлежало ей по праву, как музыке и философии.

Программа Гильберта потерпела неудачу, но фон Нейман не разделял его пессимизма по поводу будущего математики. С практической точки зрения он считал аксиоматизацию множеств, освободившую математику от странных элементов, и последующую аксиоматизацию квантовой механики вполне успешными. Фон Нейман никогда не отказывался от идеи создания логических моделей и стремился как можно больше абстрагировать задачи даже в областях, далеких от математики, что он впоследствии применил в теории игр. Так что, хотя план и провалился, хотя аксиоматизация и не позволяла уничтожить все противоречия и странности, она, тем не менее, помогала их выявить и в какой-то мере контролировать.

Математика всегда давала свои плоды, и фон Нейман не видел причин для изменения ситуации. Несмотря на то что внутренняя правильность логической системы математики была поставлена под вопрос, в истории этой науки начиная с ее появления существовало великое множество доказательств ее эффективности. Фон Нейман утверждал, что в классической математике совершались полезные и одновременно изящные открытия, а ее основания были такими же твердыми и точными, как, например, существование электрона. Уж если, по его мнению, можно было принять правомочность такой науки, как физика, то не стоило сомневаться и в классической математике.