Гёдель. Теоремы о неполноте

ГЛАВА 1 Кризис оснований

В начале XX столетия математика переживала один из самых глубоких кризисов. Первая треть века была наполнена спорами о том, какие методы рассуждения считать подходящими и нужно ли допускать существование бесконечности. Курту Гёделю было предназначено решительно проявить себя в данной ситуации. Но как назрел этот спор? Почему математики начали сомневаться в своей науке после более чем 2500 лет ее развития?

Все люди, даже самые великие, когда-то были детьми. Это прописная истина, но все же любопытно думать, что был день, когда Моцарт не знал даже названий музыкальных нот, было время, когда Леонардо да Винчи еще не смешивал краски... и период, когда Курт Гёдель не начал изучать логику. Пусть знания будущего ученого тогда были невелики, но стремление к интеллектуальному поиску было присуще ему с самого детства. Гёдель рос любопытным ребенком и задавал много вопросов обо всем, что видел вокруг, поэтому в семье его называли герр Варум, что в переводе с немецкого означает «господин Почему».

Его отец, Рудольф, родился в Вене и рано оставил учебу, занявшись коммерцией, в которой добился больших успехов. В 1906 году, когда родился Курт, Рудольф Гёдель был управляющим и совладельцем одной из самых крупных текстильных фабрик в Брюнне — важном промышленном центре Австро- Венгерской империи, который славился своим текстильным производством.

У Рудольфа было два сына: старший, тоже Рудольф, и Курт. Ни один из них не пошел по его стопам. Рудольф-младший стал известным врачом и руководителем клиники в Вене. Курт, в свою очередь, считается самым влиятельным логиком современности (вторым после Аристотеля) и одним из знаменитых мыслителей XX века. Их мать Марианна, немка по национальности, изучала литературу Австро-Венгрии и Франции. В отличие от супруга она была тонкой, художественно восприимчивой натурой, и, возможно, поэтому стеснительный и замкнутый Курт был очень привязан к ней. Многие биографы говорят, что когда матери не было дома, мальчик чувствовал себя немного потерянным. Стеснительность и погруженность в себя сохранились в нем на всю жизнь. Гёдель никогда не был душой компании, никто не хохотал над его шутками, но ему это и не было нужно. Самые яркие умы XX века обратили на него внимание благодаря не его шуткам, но идеям, которые изменили видение математики и, возможно, всей науки. В своей жизни он дружил с немногими, но очень интересными людьми — одним из самых близких его друзей стал Альберт Эйнштейн.

В школе Курт был блестящим учеником. Естественно, он преуспевал в математике и языках. Даже сегодня многие из тех, кто живет в Восточной Европе, хотя бы знают немного языки своих соседей: чешский, немецкий, несколько слов по-русски и так далее. Гёдель, считавший немецкий язык родным, не был исключением, но даже в этой многоязычной среде его страсть и способность к языкам были выдающимися. С юности он в совершенстве говорил и писал по-английски и по-французски, а в последующие годы в его библиотеке всегда было большое количество словарей и грамматик различных языков.

Когда Гёделю было шесть лет, он перенес ревматическую лихорадку, из-за которой несколько дней провел в постели. Физически он полностью выздоровел, однако через некоторое время природное любопытство побудило его почитать о перенесенной болезни, и мальчик узнал, что она может вызывать в качестве осложнения хроническую слабость сердца. Гёдель всю свою жизнь был убежден в том, что это случилось и с ним, хотя врачи неоднократно уверяли его в обратном. Более того, без каких-либо рациональных оснований всю оставшуюся жизнь он был уверен, что если его сердце охладится, то он умрет, и даже в самые жаркие дни ученый ходил в теплой одежде.

Через много лет брат Рудольф говорил, что этот кризис стал причиной глубокой ипохондрии — одной из самых заметных черт личности Курта. Возможно, именно страх перед болезнями всю жизнь вызывал у Гёделя многочисленные недомогания, из-за которых он неделями находился в угнетенном состоянии и вынужден был прерывать любую интеллектуальную деятельность.

В 1912 году, когда шестилетний Курт, еще ничего не знавший о логике, переживал первую серьезную болезнь, математика как наука также находилась в кризисе. И хотя на тот момент Гёдель еще даже не подозревал об этом, ему было предназначено решительно проявить себя в решении этой проблемы.

Кризис, в котором находилась математика в 1912 году, известный сегодня как кризис оснований, начался в 1902-м, за четыре года до рождения Гёделя, с очень короткого письма Бертрана Рассела своему коллеге немцу Готлобу Фреге.

Бесконечность всегда в возможности, а не в действительности.

Аристотель, «Метафизика»

Если не знать исторического контекста, невозможно понять, как письмо, уместившееся на одной странице, развязало спор, который длился потом более 25 лет. На самом деле письмо Рассела к Фреге было лишь камешком, который вызвал сход лавины, ждавшей в течение десятилетий. Исторический процесс, который привел к этому моменту, начался с эпохи Аристотеля, с появления понятия бесконечности — одного из самых странных, сложных и чудесных, созданных человеческой мыслью.

Что такое бесконечность? Что мы хотим сказать, когда утверждаем, что последовательность 1, 2, 3, 4, 5... бесконечна?

В IV веке до н. э. Аристотель утверждал, что мы можем ответить на этот вопрос двумя разными способами.

Чтобы представить себе первый способ, вообразим народ, которому было дано задание, передаваемое из поколения в поколение, — считать и записывать все числа последовательности 1,2,3,4,5... Смогут ли они когда-нибудь завершить эту работу? Нет, даже если посвятят этому заданию годы, десятилетия или тысячи миллионов веков. Каким бы ни было число, до которого дойдет счет, всегда можно дописать еще одно. Если они дошли до 100, есть 101, если дошли до 1000 — есть 1001, если дошли до квинтиллиона — есть квинтиллион плюс один. Они никогда не достигнут последнего числа, просто потому, что его не существует.

Однако заметим, что записи этого гипотетического народа никогда не будут содержать бесконечного количества чисел. Сначала они составят несколько сотен, потом — несколько тысяч, еще позже — несколько миллионов и триллионов чисел, но их количество всегда будет конечным (поскольку при наличии достаточного времени записанные числа можно будет полностью просмотреть от начала до конца). Бесконечность последовательности проявляется в непостижимой характеристике: она никогда не заканчивается, это будущее недостижимое свойство, а не черта, присутствующая в настоящем. Такой способ рассмотрения бесконечности Аристотель назвал потенциальной бесконечностью, или бесконечностью в возможности.

Второй способ представления бесконечности состоит в том, чтобы рассматривать ее как особенность, присутствующую в действительности. В этом случае мы должны думать не о народе, записывающем числа из поколения в поколение, а о сверхъестественном существе, которое записало их все — абсолютно все — в почти божественном акте доброй воли (при этом неправильно говорить, что оно записало их от начала до конца, потому что конца нет). Очень сложно, если не невозможно, постичь это. Способны ли мы представить себе нечто, что присутствует целиком, но никогда, абсолютно никогда не заканчивается? Невозможно показать реальные ситуации, в которых появляется бесконечность. Вся жизнь Вселенной, начиная с момента Большого взрыва, имеет только потенциально бесконечное количество секунд. Согласно действующим теориям.

Вселенная в целом включает конечное количество субатомных частиц. То ли потому что бесконечность действительно невообразима, то ли потому что ее не существует в физической реальности, то ли по другим философским причинам Аристотель утверждал: бесконечности в действительности (то есть актуальной бесконечности) не существует.

Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности.

Хорхе Луис Борхес. «Аватары черепахи», сборник «Обсуждение» (1932)

В течение столетий, до самого XIX века, этот отказ от актуальной бесконечности единодушно поддерживался западными философскими и математическими догмами. В Средние века схоластическая мысль усилила этот отказ, добавив к нему религиозное измерение. Актуальная (или категорематическая) бесконечность, согласно схоластикам, приписывается исключительно Божеству, и претендовать на то, что человеческий ум способен охватить или понять ее целиком, — ересь.

Приведем три случая, когда проявлялся отказ от актуальной бесконечности. Первый краток и ужасен: в 1600 году Джордано Бруно был приговорен к смерти на костре в том числе из-за утверждения в одной из своих работ, что Вселенная содержит бесконечное количество миров. Второй пример: в 1638 году Галилео Галилей выдвинул математический аргумент, который, согласно видению того времени, доказывал, что актуальная бесконечность — само по себе противоречивое понятие. В рассуждении, известном как парадокс Галилея, говорится так: задумаемся еще раз о последовательности 1, 2, 3, 4, 5... В ней содержится другая последовательность, образованная квадратными числами, то есть теми, которые получаются умножением числа само на себя: 1,4,9,16, 25...

На основе аристотелевского принципа о том, что целое больше любой его части, мы должны сделать вывод, что чисел больше, чем квадратных чисел, поскольку они составляют лишь часть.

Но, говорил Галилей, если бы последовательности 1, 2, 3, 4, 5... и 1, 4, 9, 16, 25... были бесконечны в действительности, было бы возможно идеально установить пары между ними обеими. Числу 1 соответствовало бы число 1, числу 2-4, числу 3-9 и так далее.

В III веке до н. э. Евклид Александрийский написал «Начала», самую влиятельную математическую книгу всех времен (настолько, что вплоть до начала XIX века ее использовали как учебник в некоторых европейских университетах). Эта работа состоит из 13 книг, из них седьмая, восьмая и девятая посвящены арифметике. В суждении 20 девятой книги провозглашается, что существует бесконечное число простых чисел. Интересно отметить, как выражено это утверждение: «Существует больше простых чисел, чем любое предложенное [конечное] количество простых чисел». То есть в утверждении Евклида речь идет о потенциальной, а не об актуальной бесконечности. Он не говорит о том, что «существует бесконечное количество простых чисел», но «если задано любое конечное количество простых чисел, всегда существует на одно больше».

Статуя Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета.

1... 1

2... 4

3... 9

4... 16

5... 25

Каждое число первой последовательности точно соответствовало бы другому числу второй, при этом не было бы ни недостатка, ни избытка ни с одной из сторон. Если можно идеально установить пары, это означает, что существует столько же квадратных чисел, сколько и чисел всего, а это противоречит сказанному: часть была бы равна целому, а не меньше его. Актуальная бесконечность, заключил Галилей, это абсурд.

Почти через 250 лет немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) столкнулся с той же самой проблемой, но его вывод был абсолютно противоположным. Кантор решил, что аристотелевский принцип omne totum est mains sua parte — «целое больше его частей» — нужно отбросить, когда речь идет о бесконечности.

Третий пример — отрывок из письма 1831 года немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855):

«Я протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими».

Гаусс говорил, что бесконечность — это только величина (всегда конечная), которой позволено расти без ограничений, и ее нельзя понимать как нечто завершенное. Снова мы наблюдаем отказ от актуальной бесконечности.

Это только три примера из многих, о которых можно было бы упомянуть. Однако всего через 40 лет после этого письма Георг Кантор вынужден был ввести в математику и философию монстра, много раз отвергнутого, — актуальную бесконечность.

Сочинение Архимеда «Послание к Эратосфену о методе», или «Метод механических теорем», считалось утерянным в веках.

По различным упоминаниям было известно, что в нем описывались физические рассуждения, которые позволили предположить геометрические теоремы, затем доказанные со всей логической строгостью в других книгах автора. Однако точное содержание работы не было известно до 1906 года, когда, к всеобщему удивлению, совершенно случайно в Стамбуле была обнаружена ее копия.

Это был палимпсест, то есть рукопись, нанесенная на пергамент поверх другого текста.

К счастью, первоначальный слой стерли не полностью, и оригинальную работу частично удалось восстановить. Процесс возобновился в начале XXI века, когда группе экспертов, располагающих современными приборами для освещения и анализа изображений, удалось продвинуться в восстановлении «Метода...». Часть их открытий означает, что Архимед работал с актуальной бесконечностью. Эта история рассказана в детективе Ревьеля Нетца и Уильяма Ноэля «Кодекс Архимеда». Согласно полученным данным, чтобы сравнить объем двух тел, Архимед представлял их разрезанными на бесконечное количество полосок бесконечно малой ширины и делал вывод о том, что оба тела равны, если можно установить пары между полосками, образующими эти тела. Это предполагает не только работу с актуальной бесконечностью, но и допущение сравнения между двумя бесконечностями посредством установления пар между их компонентами, что сделал Кантор в конце XIX века. Если эти открытия подтвердятся, придется переписать часть истории бесконечности и признать, что Архимед ранее Кантора использовал актуальную бесконечность.

Архимед. Работа Жана Гужона. Фасад Лувра, Париж.

С 1867 по 1869 год Кантор в Берлине проводил свои первые исследования под руководством Леопольда Кронекера (спустя несколько лет они стали врагами). В то время Берлин был одним из самых мощных математических центров в мире (наряду с Геттингеном и Парижем). Первые исследовательские работы Кантора не слишком впечатлили его преподавателей, которые даже считали, что он никогда не станет выдающимся математиком. В 1870 году Кантору пришлось переехать из центра науки, Берлина, на периферию. Молодой и неизвестный ученый начал собственные исследования в Галльском университете.

Когда математик проводит исследование, его цель — решить определенную проблему. Даже сегодня, если спросить у математика, над чем он работает, его ответ наверняка будет состоять в формулировке задачи, которую он пытается решить. Чтобы понять задачу, занимавшую Кантора в 1870 году, нам нужно кратко рассказать о рядах Фурье.

В начале XIX века французский математик Жозеф Фурье разработал метод, позволяющий разложить любую периодическую функцию на сумму определенных элементарных функций (каждая из которых меняет амплитуду, частоту или фазу исходной функции). Фурье успешно применил его для изучения таких волновых явлений, как распространение тепла или колебания пружины. Так как эти суммы обычно затрагивают бесконечное (теоретически) число функций, а в математике результат сложения бесконечного числа величин называют рядом, этот метод получил название рядов Фурье. Сегодня он является важным инструментом во многих отраслях науки, таких как физика и инженерное дело.

В 1860-х годах, также в Галле, немецкий математик Эдуард Гейне работал над проблемой определения того, всегда ли разложение периодической функции на сумму элементарных волн является единственным.

Вопрос о единственности разложения часто встречается в математике. Возьмем натуральные числа (то есть образующие вышеупомянутую последовательность 1, 2, 3, 4...). Вспомним, что простые числа — это числа, которые делятся только на единицу и на самих себя (например, 2, 3, 5 и 11 — простые числа, в то время как 9 таковым не является, поскольку делится на 3).

Уже много тысячелетий известно (об этом знал и Евклид в III веке до н. э.), что любое натуральное число, большее 1, либо простое, либо может быть записано как произведение простых.

Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) в начале XIX века установил, что любая периодическая функция — это результат сложения бесконечного числа синусоидальных волн. На рисунке 1 представлена периодическая функция со скачками, или разрывами, во всех целых нечетных числах (положительных и отрицательных), в то время как на рисунке 2 показана основная синусоидальная волна.

РИС. 1

РИС. 2

Функция на рисунке 1 — это результат сложения бесконечного количества волн, изменяющих различными способами основную волну на рисунке 2. Например, мы можем сжать или растянуть ее вертикально или горизонтально. На рисунках 3 и 4 показано, соответственно, вертикальное растяжение волны с рисунка 2 и ее сжатие.

РИС.З

РИС. 4

На рисунке 5 показано горизонтальное сжатие волны с рисунка 2. Волны также могут перемещаться по вертикали или горизонтали: на рисунке 6 показана волна с рисунка 2, смещенная горизонтально.

РИС. 5

РИС. 6

Единица — особый случай, который по техническим причинам рассматривается отдельно: это число не является ни простым, ни произведением простых, хотя причины этого отделения неважны для нашего обсуждения. Например: 12 = 2 х 2 x 3; 9 = 3 x 3; 15 = 3 x 5. Есть ли другой способ записать число 12 как произведение простых чисел? Или вариант 2 х 2 х 3 единственно возможный? Ответ заключается в том, что, не учитывая таких тривиальных вариаций, как изменение порядка чисел или группировки 2 х 2 в виде 2², единственная форма записи 12 в виде произведения простых чисел — это 2 х х 2 х 3, и это верно для всех остальных натуральных чисел.

Разложение на простые числа всегда единственное, и эта единственность создает более сильную связь между числами и их простыми множителями. Благодаря этому свойства разложения (или факторизации) на простые числа становятся сильнее.

Эдуард Гейне задался вопросом, существует ли подобная связь между периодической функцией и элементарными волнами. Единственное ли это разложение, как это установлено для разложения на простые числа? В 1860-х годах Гейне удалось доказать, что некоторые типы периодических функций (например, не имеющие скачков, то есть непрерывные) можно разложить на элементарные волны единственным образом. Однако он не нашел общего доказательства для всех возможных ситуаций, а также не смог доказать единственности в случае, когда в каждом периоде у функции бесконечное (теоретически) число разрывов. Так что когда Кантор приехал в Галле в 1870 году, Гейне предложил ему поработать над этим вопросом: всегда ли периодическую функцию можно разложить единственным образом, даже если количество разрывов в каждом периоде может неограниченно расти?

Кантор принялся изучать проблему и в 1871 году получил первый результат: разложение периодической функции является единственным, даже когда количество разрывов неограниченно растет, если только эти скачки распределяются определенным образом. То есть для гарантии единственности точки появления скачков должны удовлетворять некоторым специфическим условиям. Но ученый столкнулся со сложностями при выражении этих требований точно и элегантно. Он явно имел интуитивную догадку о том, какие особенности хотел выразить, но у него не получалось ясно сформулировать это.

В 1872 и 1873 годах Кантор постепенно понял, что для четкой формулировки условий следует рассматривать точки разрывов как множества, бесконечные в действительности. Более того, требовалось сравнить между собой различные бесконечные множества, подобно тому как 250 лет назад Галилей сравнил натуральные числа с квадратными (это, в свою очередь, привело к отбрасыванию аристотелевского принципа о том, что целое больше его частей). Кантор также открыл, что такое сравнение приводит к выводу о существовании бесконечных множеств, больших, чем другие бесконечные множества.

Эти идеи были настолько революционными и так противоречили тысячелетиям исследований, что Кантору понадобилось целых десять лет на то, чтобы полностью принять их и признать: в математику необходимо ввести актуальную бесконечность. В конце концов в 1883 году он написал длинную статью под названием «Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном», в которой не только выступал за введение актуальной бесконечности, но и утверждал, что это абсолютно неизбежно. Кантор начал свою статью, почти прося прощения за это решение:

«Изложение моих исследований об изучении множеств достигло того пункта, где развитие его становится зависимым от расширения понятия целого действительного числа за существующие до сих пор границы, и оказывается, что расширение это совершается по такому направлению, в котором, насколько я знаю, никто до сих пор его не искал.

Это расширение понятия числа носит только принудительный характер, и без него я вряд ли смогу сделать свободно хотя бы малейший шаг вперед в учении о множествах; пусть в этом обстоятельстве увидят оправдание или, если необходимо, извинение того, что я ввожу в свое рассмотрение, по-видимому, чужеродные идеи».

Теория множеств, которую упоминает Кантор, была его способом обозначения изучения бесконечных совокупностей как отдельных объектов. Он предложил сделать эту теорию основой математики. Числа, операции с ними и все математические понятия могут быть определены, согласно Кантору, на базе понятий теории множеств.

Множество, согласно определению Кантора, это «собрание целиком объектов действительности или нашей мысли». Например, числа 1, 2, 3, 4, 5,... мы можем объединить в совокупность, которую назовем множеством натуральных чисел. Числа — это элементы, или члены этой совокупности, и множество становится отдельным объектом, доступным для изучения. Мы можем также задумать множество, образованное только числом один, или днями недели, или людьми, родившимися 20 июля 1899 года. Следовательно, теория множеств — это изучение взаимных свойств и отношений множеств, или совокупностей.

Теория [бесконечных] множеств — это область, в которой ничто не очевидно; истинные высказывания ее часто парадоксальны, а предполагаемые высказывания ложны.

Феликс Хаусдорф, немецкий математик, 1914 год

Предложение Кантора заключалось в том, чтобы определить числа и операции с ними на основе множеств. Как это сделать? Например, число 0 может быть определено как количество элементов пустого множества (то есть множества, у которого нет членов). Число 1 может быть определено как количество элементов любого множества, в котором выполняется свойство «во множестве есть некоторый элемент, и, кроме того, если х и y — элементы множества, то х = y».

С другой стороны, в теории множеств существует операция под названием объединение. Если задано два множества, объединение состоит в том, чтобы собрать в новом множестве элементы их обоих. Например, объединение множества, содержащего в качестве элемента город Париж, и множества, содержащего город Рим, — это множество, содержащее оба города одновременно. Сумму чисел можно определить, согласно предложению Кантора, на основе этой операции теории множеств. Если п — это количество элементов одного множества, а т — количество элементов другого множества (которое не содержит общих элементов с первым), то п + т может быть определено как количество элементов результата объединения этих двух множеств.

Как можно было ожидать и, вероятно, как предвидел сам Кантор, теория множеств вызвала большое сопротивление. Его бывший учитель Леопольд Кронекер назвал Кантора совратителем молодежи и воспользовался своим немалым влиянием на немецкие научные журналы, чтобы те не публиковали его работы.

Однако со временем теория множеств и актуальная бесконечность получили признание. Почему это произошло? Может быть, Кантору удалось убедить Кронекера? Чтобы ответить на эти вопросы, стоит вспомнить утверждение Планка: «Новая научная истина побеждает не потому, что ее противники убеждаются в ее правильности и прозревают, а скорее потому, что ее противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери».

Когда Планк писал эти слова, он думал о квантовой механике, но этот принцип можно применить и к теории множеств. В конце XIX века новое поколение математиков, среди которых был Давид Гильберт, начало видеть в теории Кантора важный вклад в науку. Обычно молодежь расположена разрушать традиции, так что, возможно, новое поколение было готово разбить аристотелевское видение бесконечности.

В 1890-м, за год до смерти Кронекера, Кантор был выбран председателем недавно созданного Немецкого математического общества, и его идея считать теорию множеств базой и основанием математики начинала набирать сторонников. Одним из них был немецкий логик Готлоб Фреге.

Готлоб Фреге родился в 1848 году, то есть он принадлежал к тому же поколению, что и Кантор. Фреге принял теорию множеств с самого начала и стал одним из защитников идеи о том, что эта теория должна стать базой для остальной математики.

Немецкое слово Begriffsschrift, которое Готлоб Фреге использовал для обозначения символической структуры, созданной им для логики и математики, обычно переводится как концептография, что дословно означает «рисунок концептов».

Как мы можем увидеть на изображении справа, символизм Фреге приближается скорее к линейному рисунку, чем к написанному тексту. Здесь показана теорема 71 из его книги «Исчисление понятий...», и ее перевод следующий: f — это процедура, a F — свойство, которое сохраняется при применении процедуры f. Если x обладает свойством, а y получен из х посредством применения процедуры f, то у также обладает этим свойством.

Хотя Фреге был согласен с Кантором в целом, у него было много формальных критических замечаний. По мнению Фреге, статьи Кантора были написаны недостаточно научным языком, без четкого разграничения аксиом (утверждений, которые принимаются без доказательств) и теорем (утверждений, которые доказываются на основе аксиом). Кантор все время взывал к интуиции читателя, что Фреге критиковал и называл психологизмом. Математика, по его мнению, должна пользоваться строгим языком со специально созданными символами. Все рассуждения должны быть выражены ясно, лишены двусмысленностей и взывания к интуиции. Фреге посвятил почти всю свою жизнь развитию этой идеи. В одной из своих основополагающих работ, «Исчисление понятий, или подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» (1879), Фреге объясняет свой символический язык, очень отличающийся от нашего обычного письма (он похож скорее на линейный рисунок, чем на текст). Это вызывало сложности в понимании и у современников ученого, и даже сегодня. Возможно, Фреге намеренно хотел дистанцировать символическую запись от естественного языка, но стратегически это было ошибкой, поскольку затруднило понимание работы широкой аудиторией.

В 1893 году Фреге опубликовал первый том «Основных законов арифметики», первую часть работы всей своей жизни, в которой изложил строгое определение натуральных чисел на основе логики и теории множеств. Почти через десять лет, 16 июня 1902 года (за четыре года до рождения Гёделя), когда Фреге уже отправил в печать второй том «Основных законов...», он получил письмо от Бертрана Рассела, отправленное из Фрайдиз Хилл, Хаслмир (Великобритания). Письмо занимало одну страницу, однако этого было достаточно для того, чтобы развязать кризис оснований. Рассел начал с похвалы работы Фреге и выразил свою абсолютную поддержку автору. «Но я нашел небольшую сложность», — пишет Рассел.

Этой небольшой сложностью была одна из аксиом, на которых Фреге основывал теорию множеств, — так называемая аксиома выделения. В ней говорится, что каждому свойству назначается множество (множество объектов, которые обладают этим свойством). Например, свойству «быть четным числом» соответствует множество, образованное всеми четными числами; свойству «быть планетой Солнечной системы» соответствует множество всех планет Солнечной системы, и так далее. На первый взгляд эта аксиома кажется абсолютно невинным утверждением, неспособным породить какую-либо проблему. Однако Рассел задал свойство «быть множеством, которое не является членом самого себя».

Поразмышляем об этой идее.

Множества образованы членами (также существует пустое множество, не имеющее членов, но мы можем оставить его за рамками нашего анализа). Например, множество планет Солнечной системы состоит из (насколько мы знаем) восьми членов: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Объект «множество планет Солнечной системы» — это абстрактная сущность, существующая только как идея и собирающая под одним названием восемь планет. Каждый из членов этого множества — наоборот, конкретная планета, а не абстракция. Множество планет Солнечной системы не входит в список самих членов: оно не является членом самого себя. Рассел выражал эту идею следующим образом: «Множество, образованное лошадьми, — не лошадь» (мы можем сесть на лошадь, но не на абстрактную сущность). Но некоторые множества действительно являются членами самих себя. Например, подумаем о множестве всех абстрактных сущностей. Оно само является абстрактной сущностью и, следовательно, членом самого себя.

Теперь вернемся к аксиоме выделения. Возьмем множество, связанное со свойством «быть множеством, не являющимся членом самого себя». Пусть множество R образовано всеми множествами, не являющимися членами самого себя. Сформулируем следующий вопрос: является ли R элементом самого себя? Если R является членом самого себя, то выполняется свойство, определяющее R. По нему R не является членом самого себя. Это противоречие. Но если R не является членом самого себя, то не выполняется свойство, определяющее R. Следовательно, если не выполняется свойство, R все-таки является членом самого себя. Получается другое противоречие.

То есть R не может быть членом самого себя, но также не может и не быть им. Это логический парадокс. Множество R (существование которого обусловлено аксиомой выделения) не может существовать, потому что это порождает логическое противоречие. Итак, аксиома выделения, которая казалась такой невинной, на самом деле противоречит самой себе. Это открытие сегодня известно как парадокс Рассела.

Открытие противоречивости теории множеств развязало кризис оснований математики. Если такая невинная с виду аксиома выделения порождает противоречие, чего ждать от теории Кантора с актуальной бесконечностью и «бесконечностями, которые больше, чем другие бесконечности»? Положение осложнялось тем, что теория Кантора уже проникла в основные области математики, такие как анализ и топология.

В 1904 году британский философ и математик Бертран Рассел (1872-1970) представил популярную версию своего парадокса. Он предложил представить себе, что в некой деревне есть только один брадобрей, бреющий всех мужчин, которые не бреются сами. Но бреет ли он сам себя? Ответ в том, что брадобрей не может бриться сам, но также не может и не делать этого.

Из-за открытия Рассела математики задались вопросом о справедливости всех математических открытий по меньшей мере за 30 предыдущих лет. Они начали сомневаться в справедливости любого рассуждения, включающего в себя бесконечность, и даже задавали вопросы о смысле и значении математики. Каков конкретно объект изучения математики? Какие критерии подтверждают справедливость ее рассуждений?

Сам Фреге почувствовал, что открытие Рассела разрушает всю его работу. Во второй том своих «Основных законов...» он добавил следующие слова:

«Ученому сложно встретиться с чем-то более нежелательным, чем увидеть, как подрывается фундамент, когда работа уже заканчивается. Таково положение, в которое меня поставило письмо господина Бертрана Рассела, когда работа была уже почти напечатана».

Сразу после этого Фреге оставил борьбу и сдался. Он прожил до 1925 года, но никогда больше не вернулся к теме оснований.

Какую реакцию вызвало открытие парадокса Рассела? С самого начала было предложено два решения. Первая попытка принадлежит самому Расселу и выражена в монументальной работе «Основания математики», которую он написал вместе со своим учителем Альфредом Уайтхедом.

Предложение Рассела, которое получило название «логицизм», состояло в том, чтобы вернуться к работе Фреге, но перечислить ошибки, приведшие к кризису. Рассел говорил, что любой парадокс возникает от наличия самореференции. Например, знаменитый парадокс лжеца, который возникает, когда встает вопрос, является фраза «это предложение ложно» истинной или ложной. Он рождается из-за анализа фразы, в которой говорится о ней же. Сам парадокс Рассела возникает из вопроса о том, выполняет ли некое множество свойство, определяющее само множество.

Во избежание этих ситуаций логицизм предлагает радикальное изменение логического языка с помощью теории типов. Общая идея заключается в том, чтобы назначить языку математики строгую иерархию, в которой каждое утверждение может относиться только к сущностям или утверждениям, расположенным на более низких уровнях. Таким образом, сама структура языка избегает самореференций и, следовательно, парадоксов.

На нулевом уровне иерархии находятся индивиды; на уровне 1 — утверждения, в которых говорится об индивидах; на уровне 2 — утверждения, в которых говорится об утверждениях типа 1, и так далее. Например:

1, 2,3, 4,... (индивиды, тип 0);

«2 + 2 = 4» (утверждение типа 1, в котором говорится об индивидах);

«Верно, что 2 + 2 = 4» (утверждение типа 2, в котором говорится о предыдущем).

Однако по техническим причинам Рассел был вынужден усложнить свою стратификацию и ввести произвольные и неинтуитивные правила. Вследствие этого система потеряла убедительность, и Рассел в итоге оставил ее. Хотя некоторые элементы, введенные логицизмом, дошли до наших дней, к 1920 году влияние этой школы практически исчезло.

Второе решение стало известно как интуиционизм, или конструктивизм, и его лидером был нидерландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966).

Решение задач, которые до этого времени окружали математическую бесконечность, — возможно, самое большое из достижений, которыми может гордиться наша эпоха.

Бертран Рассел, 1910 год

Интуиционисты утверждали, что появление парадоксов напрямую обязано введению понятия актуальной бесконечности и это понятие, как утверждали еще Аристотель и Галилей, противоречиво само по себе. Вся теория Кантора не имеет смысла и должна быть оставлена, а математика — в том, что касается бесконечности, — должна вернуться к положению, существовавшему до 1870 года.

Основой математики должны быть натуральные числа и операции с ними — сложение и умножение. Эти числа не нуждаются в определении, поскольку понятие о них априори заложено в нашем сознании. Числа должны пониматься не как законченная бесконечная совокупность, а как результат непрерывного процесса (упомянутый ранее пример с народом), который начинался с числа 1 и продолжался неопределенное время за счет применения понятия последующего элемента (1 — первый элемент, 2 — элемент, следующий за 1, 3 — элемент, следующий за 2, и так далее).

Для утверждения о том, что существует математический объект, отличный от натуральных чисел, необходимо, чтобы его можно было построить за конечное число шагов на основе натуральных чисел с помощью строго определенной процедуры. Объекта, который невозможно построить таким образом, просто не существует. В некотором смысле интуиционисты возвращались к идее, содержащейся в сентенции Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека».

Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр родился в Роттердаме, Голландия, 27 февраля 1881 года, за два года до публикации статьи Кантора, в которой впервые была введена в математику актуальная бесконечность. В1904 году, сразу после окончания университета, Брауэр доказал несколько оригинальных результатов о непрерывном движении в четырех измерениях, которые были опубликованы Амстердамской королевской академией наук. В его докторской диссертации, опубликованной в 1907 году, речь шла о проблеме оснований математики. В этой работе он ввел первые понятия об интуиционизме. Также ученый внес значительный вклад в топологию, где доказал знаменитую теорему о неподвижной точке, носящую его имя. Что любопытно, доказательство этой теоремы не выполняет интуиционистских стандартов. В1935 году Брауэр занялся политикой и практически отдалился от математических исследований, хотя в том же году основал журнал Compositio Mathematica и продолжал деятельность в качестве его издателя. Брауэр скончался 2 декабря 1966 года в Бларикюме (Голландия) в результате автокатастрофы.

С другой стороны, согласно интуиционистам, для того чтобы определение свойства было справедливым, должна существовать механическая процедура (которую можно реализовать на компьютере, поскольку алгоритм — это не что иное, как последовательность действий), и с ее помощью можно проверить, выполняется ли свойство. Например, свойство «быть простым числом» для интуиционистов справедливо, поскольку его всегда можно проверить за конечное количество шагов. Чтобы узнать, является ли число 17677 простым, достаточно разделить его на все числа, меньшие его. Если во всех случаях деления есть остаток, то число простое. Процедура, которую мы описали, не самая лучшая (есть более быстрые методы), но она всегда дает правильный ответ за конечное количество шагов.

Чтобы рассмотреть пример свойства, не принимаемого интуиционистами, определим число р, используя знаки числа π = 3,14159265... (которое, как мы знаем, является иррациональным, то есть имеет бесконечное непериодическое количество знаков после запятой). Число р определяется следующим образом: если среди знаков числа π появится хотя бы одна последовательность ровно из 15 нулей подряд, то р — это цифра (отличная от нуля), следующая после первого появления этих нулей. Если никогда не появятся 15 нулей подряд, то р равно 0. Отметим, что среди знаков числа π, вычисленных на сегодняшний день, последовательность из 15 нулей еще не появилась.

Существует ли число р? Чему оно равно? В 1900 году Гильберт написал, что если мы определим математический объект и это определение не противоречит само себе, то мы можем утверждать, что объект существует.

Почти любой современный математик ответит, что р существует. Более того, все они согласятся, что хотя мы не знаем точно, чему оно равно, можно утверждать: это число от 0 до 9. Именно в тот момент, когда мы узнаем, появится или не появится эта последовательность из 15 нулей в числе π, мы узнаем точное значение р. Однако для интуиционистской философии р не существует, поскольку оно определено на основе свойства, которое невозможно проверить за конечное количество шагов, так как у числа π бесконечное количество знаков после запятой, и для проверки требуется просмотреть их все. Если бы среди знаков числа π, вычисленных до сих пор, появилось 15 нулей подряд, то р существовало бы и мы знали бы его точное значение. Более того, если в будущем эти 15 нулей кто-то найдет, в тот же момент р начнет существовать.

Сегодня р не существует, но, возможно, оно появится в будущем. То же самое мы могли бы сказать о еще не написанном романе любого современного писателя. В этом сравнении нет ничего странного, поскольку для интуиционистов математика — это динамический, творческий процесс, подобный литературе, хотя он и управляется более строгими правилами. Математика создается (при соблюдении определенных правил), а не открывается.

Последующие поколения будут рассматривать теорию [бесконечных] множеств как болезнь, от которой мы излечились.

Анри Пуанкаре, французский математик, 1908 год

Поскольку сейчас р не существует, у него нет значения. Следовательно, ошибочно говорить, что оно находится в пределах от 0 до 9. Любое утверждение относительно р не имеет смысла. Некорректно говорить: «р либо четное, либо нечетное» или «оно равно или не равно 1».

Интуиционисты также задавались вопросом о статусе иррациональных чисел. Эти числа рассматривались только как никогда не достижимый результат последовательных приближений. Например, для интуиционистов числа π не существует в виде законченной совокупности (еще один аргумент в пользу несуществования р).

Между 1905 и 1920 годами Брауэр формулировал глобальную программу для математики на основе этих идей. В течение этих лет он писал статьи и книги, в которых объяснял, как осуществить его подход на практике. Постепенно эта программа начала обретать последователей среди самых видных математиков того времени, таких как Анри Пуанкаре (1854-1912). К 1920 году теория Кантора (скончавшегося в 1918 году) подвергалась серьезному риску быть забытой. Но за интуиционизм выступали не все математики. Одним из них был Давид Гильберт, который быстро принял теорию бесконечности.

В 1890 году он поддержал кандидатуру Кантора на пост председателя Немецкого математического общества. Кроме того, ученые дружили и вели интенсивную переписку.

Семья Гёделя. Слева направо: Марианна, Курт, Рудольф- старший и Рудольф- младший.

Немецкий математик Георг Кантор, которому приписывается создание теории множеств.

Гёдель в Вене в первой половине 1920-х годов, когда он доказал свою первую теорему о неполноте.

Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге, Германия (сегодня Калининград, Россия), и в 1885 году стал доктором математики в университете того же города. Через десять лет ему предложили должность в Гёттингене (одном из двух самых важных исследовательских центров в Германии наряду с Берлином), которую он потом занимал до конца карьеры. В числе прочего ученый внес значительный вклад в алгебру, геометрию, анализ и основания математики.

В 1899 году Гильберт переформулировал «Начала» Евклида, исправив некоторые логические пробелы, не замеченные в течение более 2100 лет. Его итоговая работа, «Основания геометрии»,— это выдающийся труд в истории математической логики. И конечно, знаковым является доклад Гильберта на Втором Международном математическом конгрессе, прошедшем в Париже в 1900 году. Одна фраза из доклада стала бессмертной. В ней ученый выразил убежденность в том, что неразрешимых математических проблем не существует: «Мы должны знать, и мы будем знать» (Wirmiissen wissen, wir werden wissen). Гильберт скончался в Гёттингене 14 февраля 1943 года.

В 1900 году Гильберту было предложено прочитать инаугурационный доклад на Втором Международном математическом конгрессе в Париже. Это была почетная задача, которая говорила о признании, которое ученый заслужил своей блистательной карьерой. До сих пор, даже век спустя, доклад Гильберта широко известен, и его полный текст можно найти в интернете. Анализу этого выступления были посвящены целые книги.

В своем докладе Гильберт представил 23 нерешенные математические проблемы, принадлежащие к разным областям этой науки, решение которых, как он думал, определит направление математических исследований XX века. Первая проблема связана с теорией Кантора и известна как континуум-гипотеза. Она была впервые поставлена самим Кантором в 1880-х годах, причем сам ученый так и не решил ее. Позже мы вернемся к этой проблеме, поскольку Гёдель в 1940 году нашел частичное решение, которое затем было дополнено Полом Коэном.

Решение поместить континуум-гипотезу на первое место в списке следует трактовать как открытую поддержку Гильбертом теории множеств Кантора. В первые годы полемики об основаниях математики Гильберт держался в стороне, возможно надеясь на то, что интуиционистская точка зрения падет под тяжестью собственного веса. Но к 1920 году логицизм начал приходить в упадок, а интуиционизм набирал все больше сторонников. Именно поэтому в итоге Гильберт решил выступить лично. Под лозунгом «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор» ученый решил остановить интуиционизм. Для этого он предложил третье решение проблемы, поставленной парадоксом Рассела. Оно было направлено на то, чтобы привлечь внимание сторонников интуиционизма и одновременно оставить нетронутой теорию Кантора.

Привлечь интуиционистов, но в то же время спасти теорию Кантора? Казалось, это невозможная задача, поскольку интуиционисты открыто отвергали актуальную бесконечность как абсурдное понятие. Но Гильберт был Гильбертом, и с помощью своего ума, ловкости и хитрости он добился своей цели.

В 1920 году Курту Гёделю было 14 лет, и в своем родном городе Брно он, возможно, мечтал о научной карьере. В то же время в Геттингене 58-летний Давид Гильберт начал примирение интуиционистов с актуальной бесконечностью. Эта работа займет десять лет.

Как уже было сказано, интуиционистская мысль находилась полностью во власти идеи конечности. Они считали, что существуют только объекты, которые можно построить механически на основе натуральных чисел за конечное количество шагов. Иррациональные числа, такие как π или √2, могли рассматриваться лишь как недостижимый результат последовательных вычислений, основанных на специфических формулах.

Предложение Гильберта, по сути, заключалось в том, чтобы привести требование конечности математических объектов к математическим рассуждениям. Мы можем перефразировать его мысль следующим образом. Установим такие методы рассуждения, чтобы правильность нашей аргументации можно было проверить алгоритмически за конечное количество шагов (алгоритм — это механический процесс, выполнимый компьютером). Кроме того, убедимся тем же «конечным» способом, что наши доказательства никогда не приведут к парадоксу. Как только мы достигнем этой цели, в наших теориях можно будет говорить о любом объекте, даже об актуальной бесконечности.

В программе Гильберта, которую также называют формальной программой, утверждается, что любая математическая теория должна быть основана на аксиомах, то есть на некоторых базовых утверждениях, принятых в качестве истинных. Любое другое утверждение должно быть доказано на основе этих аксиом с помощью рассуждений, справедливость которых можно будет проверить механически за конечное число шагов. Кроме того, непротиворечивость этих аксиом (то, что они никогда не приведут нас к парадоксу, как это произошло с Фреге) также должна быть проверена тем же механическим, или алгоритмическим, способом.

Для начала целью Гильберта была разработка такой программы для арифметики — теории, относящейся к свойствам сложения и умножения натуральных чисел (в ней идет речь о самых простых числах и самых простых операциях). Гильберт, как и интуиционисты, поддерживал идею о том, что основой всей математики должна быть арифметика, а не теория множеств. Если установить прочную базу для арифметики, будет легко добиться таких же прочных оснований для всех остальных теорий.

-----------врезка----------

Для интуиционистов √2 существует только как недостижимый результат, к которому асимптотически приводят последовательные приближения. Эти приближения, в свою очередь, должны быть вычислены по определенным, четким правилам. Существуют многочисленные формулы, позволяющие вычислить последовательные приближения к √2. Одна из самых древних и в то же время самых простых формул была известна Герону Александрийскому уже в I веке. В переводе на современный язык в правиле Герона для приближения к √2 говорится следующее.

— Шаг 1: возьмите любое положительное число.

— Шаг 2: назовите выбранное число х и вычислите 1/2(x + 2/x).

— Шаг 3: примените ту же формулу к полученному результату.

— Шаг 4: продолжайте применять ту же самую формулу столько раз, сколько пожелаете.

Если на первом шаге мы выбрали 5, в первый раз получим 2,7. Подставив 2,7 в формулу, получим 1,72037037..., затем 1,4414553..., затем 1,41447098..., и так далее, все больше приближаясь к √2.

Проблема нахождения системы аксиом для арифметики была представлена Гильбертом в докладе 1900 года (вторая проблема в списке), хотя в ее формулировку не было включено существование механической проверки рассуждений. Зато вопрос алгоритма появлялся в десятой проблеме, в которой спрашивалось, всегда ли возможно механически определить, имеет ли решение особый тип уравнений, называемых диофантовыми. Как мы видим, в докладе ученого появились, хотя и по отдельности, две центральные идеи формальной программы.

Иногда говорят, что Гильберт считал, будто работа математика должна сводиться к механическому процессу: он, словно компьютер, должен вычислять, но не думать. Но это не так. Механический характер носит только проверка справедливости аргументов, использованных математиком, а не открытие самих аргументов. Чтобы подчеркнуть эту разницу, Гильберт говорил о двух науках: математике и метаматематике. Объектом второй науки, механической и связанной с конечностью, была бы проверка методов первой.

Давид Гильберт в качестве одной из кардинальных проблем представил нахождение множества аксиом арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории (не упоминая необходимости механической проверки правильности использованных рассуждений). В своем докладе Гильберт не указал на существующие работы по этой теме. Это упущение вызвало недовольство Джузеппе Пеано — итальянского математика, присутствовавшего на лекции Гильберта. В1889 году он предложил аксиомы арифметики, считая, что они позволят вывести все истинные арифметические высказывания. Аксиомы Пеано, как они известны сегодня, имеют в качестве первичных элементов число 1, знаки сложения (+) и умножения (·) и функции последующего элемента (S).

— Аксиома 1: S(x) никогда не равно 1, то есть 1 не является последующим членом ни для какого числа.

— Аксиома 2: если S(x) = S(y), то х = у.

— Аксиома 3: х + 1 = S(x).

— Аксиома 4: х + S(y) = S(x + у).

— Аксиома 5: х · 1 = х.

— Аксиома 6: х · S(y) = х · у + х.

— Аксиома 7: если можно доказать, что 1 выполняет некое свойство, х его выполняет и S(x) — тоже, то можно сделать вывод: это свойство справедливо для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома, также называемая схемой индукции, выражает тот факт, что все натуральные числа получаются на основе единицы повторяющимся применением функции последующего элемента. Если свойство справедливо для числа 1 и мы можем быть уверены, что оно будет распространяться на каждое число, выраженное последующим элементом, то это свойство будет справедливо для всех натуральных чисел. Следствие из теоремы Гёделя состоит в том, что если учитывать условие алгоритмической проверки всех рассуждений, то будут существовать арифметические истины, недоказуемые на основе этих аксиом. Таким образом, арифметика будет неполной.

С 1920 по 1930 год Гильберт опубликовал ряд статей, в которых постепенно излагал свою программу и показывал, как ее можно осуществить на практике. Другие математики увлеклись этой идеей и внесли значительный вклад в ее осуществление. Сам Гёдель в 1929 году, защищая докторскую диссертацию, показал, что можно установить методы рассуждения, правильность которых может быть проверена алгоритмически. В том же году польский математик Мойжеш Пресбургер представил ряд аксиом, непротиворечивость которых можно было проверить алгоритмически. Они позволяли доказать хотя и не все арифметические истины, но их значительную часть. Это были две важные победы формальной программы.

В то же время интуиционизм терял авторитет среди математиков. Многие из тех, кто симпатизировал общим идеям Брауэра, начинали чувствовать, что их реализация на практике, предполагавшая отказ от рассуждений из области теории множеств, принесет больше потерь, чем преимуществ. Формальная программа, в свою очередь, предлагала альтернативу, которая была допустима с философской точки зрения и осуществима на практике.

К 1930 году стало ясно, что Гильберт победил. Оставалось только помочь интуиционистам сохранить лицо и достойно сдаться. В Кёнигсберге, родном городе Гильберта (выбор, конечно, не случаен), был организован конгресс, посвященный основаниям математики. Он проводился с пятницы 5 сентября по воскресенье 7 сентября; на понедельник было назначено награждение Гильберта званием почетного гражданина Кёнигсберга. Все было готово к великой победе учителя.

В пятницу представляли свои работы менее значимые, неизвестные математики. В субботу выступали более значимые, среди них был Ханс Хан, руководитель докторской диссертации Гёделя. Брауэр, который враждовал с Гильбертом по причинам, выходившим далеко за рамки академической науки, не присутствовал; интуиционистскую точку зрения излагал Аренд Гейтинг. Гильберт, имевший проблемы со здоровьем, также отсутствовал, и его главным представителем был его ученик Джон фон Нейман. На конгрессе присутствовал и представитель логицизма, философ Рудольф Карнап. В воскресенье конгресс закрылся пленарным заседанием, на котором были подведены итоги точек зрения интуиционизма, формализма и логицизма. Резюме подвел Гейтинг. Завершая выступление, он сказал, что отношения между интуиционизмом и формализмом наконец-то прояснились и больше нет необходимости продолжать борьбу между этими школами: «Если выполнится программа Гильберта, даже интуиционисты примут бесконечность с распростертыми объятиями». Интуиционисты сдались. Гильберт победил.

Какое значение могут иметь жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики.

Давид Гильберт об интуиционистской школе

Все очевидцы говорят, что именно в этот момент неизвестный молодой математик скромно поднял руку, прося слова. Он был худым, носил очки и, похоже, очень нервничал. Этот молодой человек, Курт Гёдель, объявил, что доказал следующую теорему: если требуется, чтобы доказательства проверялись механически, то невозможно задать аксиомы арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории; всегда будут истинные утверждения, которые будет невозможно доказать на основе предложенных аксиом. (Сегодня это утверждение известно как первая теорема Гёделя о неполноте.) Более того, если предложенные аксиомы позволяют доказать довольно обширную часть арифметических истин, то невозможно проверить их непротиворечивость механическими методами. (Это вторая теорема Гёделя о неполноте.) Другими словами, программа Гильберта абсолютно нереализуема.

Мы можем представить себе сцену, которой на самом деле не было, но которая отражает состояние духа формалистов в тот воскресный вечер. Представим себе, что Гильберт звонит по телефону Джону фон Нейману, чтобы спросить его, как все прошло, и тот отвечает: «У меня одна хорошая новость и одна плохая. Хорошая — интуиционисты сдались. Плохая — Гёдель говорит, что и мы проиграли».

Как Гёделю удалось доказать свою теорему? Как можно доказать, что, независимо от предлагаемых аксиом, всегда будет существовать утверждение истинное, но недоказуемое на их основе? Доказательство Гёделя, один из самых больших интеллектуальных подвигов XX века, будет центральной темой следующей главы.