Гёдель. Теоремы о неполноте

ГЛАВА 5 Следствия из работы Гёделя

Теоремы Гёделя о неполноте обозначили поворотную точку в исследованиях, связанных с философией математики. Современные тексты по философии математики обязательно учитывают теоремы Гёделя, анализируют и делают из них выводы, которые часто становятся причиной споров. Изучение следствий из теорем о неполноте едва лишь началось и, возможно, будет длиться еще десятки или сотни лет.

В Принстоне Гёдель нашел спокойный и однообразный социальный климат, идеально подходящий его образу жизни. Однако даже благоприятное окружение не смягчило ни ипохондрию ученого, ни его чудачества. Напротив, с течением времени его странности усилились до такой степени, что в 1941 году директор Института перспективных исследований Франк Эйделотт был вынужден спросить у личного врача Гёделя, существует ли опасность того, что его начинающаяся паранойя станет опасной для него и окружающих. Хотя врач ответил, что такой опасности нет, сам факт возникновения этого вопроса говорит о многом.

Гёделем владел страх болезней, реальных и мнимых. Так, он был убежден, что от отопления и кондиционера исходит плохой воздух, вредный для здоровья. У него был навязчивый страх холода, и нередко в разгар лета ученого видели в пальто, шарфе и перчатках. Как ни парадоксально, этот страх перед болезнями сопровождался полным недоверием к врачам, которое медленно трансформировалось в опасение людей в целом. Его стремление к одиночеству росло, и иногда он проводил долгие периоды, избегая любого контакта с другими, за исключением супруги Адели и двух-трех самых близких друзей.

Франклин Риджвей Эйделотт родился в деревне округа Гибсон (Индиана, США) в 1880 году и изучал английскую литературу в Индианском университете, который окончил в 1911 году. С 1921 по 1940 год он руководил колледжем Свартмор — образовательным учреждением, в котором провел много инновационных реформ. С 1939 по 1947 год был директором Института перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси. В тот период в нем работало много выдающихся преподавателей, среди них Альберт Эйнштейн, Гёдель и Джон фон Нейман. Эйделотт скончался в 1956 году в Принстоне.

Фотография, сделанная 14 марта 1951 года — в день, когда Эйнштейну исполнилось 72 года.

На снимке рядом с Эйнштейном — Франк Эйделотт и его супруга.

С момента прибытия в США Адель вела грустную и одинокую жизнь, которая в основном заключалась в заботе о муже, однако необходимость такой заботы становилась все сильнее. Вначале Адели помогал Освальд Веблен, первый друг Гёделя в Принстоне, который поспособствовал ему в получении работы в Институте перспективных исследований. Через некоторое время помощь в заботе о Гёделе стал оказывать Альберт Эйнштейн. Их дружба (особенно крепкая после 1942 года) оказала на Гёделя благотворное влияние; прогулки с Эйнштейном были для него, если можно так сказать, терапевтическими, и хотя чудачества не исчезли полностью, они значительно смягчились. Можно понять, что смерть Эйнштейна в 1955 году стала тяжелым ударом для Гёделя и вызвала обострение его ипохондрии и паранойи. Восполнить эту утрату было невозможно, хотя Адели и помогал в ее заботах о супруге еще один его друг, Оскар Моргенштерн.

Кажется ясным, что плодотворность его идей вдохновит на новые работы. Немногим математикам дарован этот вид бессмертия.

Некролог, посвященный Гёделю, в лондонской газете "Таймс"

Психическое расстройство прогрессировало и в середине 1970-х годов превратилось в бред преследования. Гёдель жил с навязчивой идеей, что его хотят отравить. Доверял он только Адели и Моргенштерну и решительно отказывался принимать пищу, если Адель до этого ее не пробовала.

Оскар Моргенштерн скончался 26 июля 1977 года, через некоторое время Адели пришлось на шесть месяцев лечь в больницу, и Гёдель, оставшийся наедине со своими страхами и навязчивыми идеями, практически перестал есть. Его организм, и так не очень крепкий, быстро ослабел от истощения. Ученого положили в больницу в Принстоне, где он скончался вечером 14 января 1978 года. В заключении о смерти в качестве причины указано "недоедание и истощение, вызванные личными проблемами".

Но в некотором смысле Гёдель так и не умер; его работы, идеи, мысли, теоремы все еще живы; его методы доказательства изучаются и используются по сей день, и не будет преувеличением сказать, что их будут анализировать в течение веков.

Оскар Моргенштерн — экономист и математик. Родился в Силезии (сегодня — часть Польши) в 1902 году. Учился в университетах Вены, Гарварда и Нью-Йорка. В Вене посещал знаменитые семинары, организованные Карлом Менгером (профессором Венского университета), в которых также участвовал Гёдель. Во время Второй мировой войны эмигрировал в Принстон и уже в США в 1944 году совместно с Джоном фон Нейманом опубликовал книгу Theory of Games and Economic Behavior ("Теория игр и экономического поведения"), которая положила начало современной теории игр. Моргенштерн скончался в 1977 году в Принстоне, Нью-Джерси, США.

В книге "За гранью чисел" американский математик Джон Аллен Полос пишет:

"Логик математики Курт Гёдель был одним из интеллектуальных гигантов XX века, и если предположить, что наш вид выживет, возможно, этот ученый окажется в числе немногих наших современников, которых будут помнить еще тысячу лет. [...] Речь идет не о самоуспокоении математиков, хотя для представителей всех дисциплин характерна некоторая профессиональная близорукость. Просто это правда".

Хотя после 1950 года Гёдель публиковался очень мало, это не значит, что он перестал размышлять и писать. Ученый оставил внушительное число неизданных рукописей, посвященных в основном философии и теологии, с исследованиями, среди прочего, на тему существования Бога, переселения душ и анализа философских работ Готфрида Лейбница. Все эти рукописи — поскольку Гёдель не оставил инструкций о том, что делать с ними, — были унаследованы его супругой Аделью, которая, в свою очередь, перед смертью в 1981 году передала их библиотеке Института перспективных исследований, где они и хранятся.

Среди неизданных бумаг выделяется текст Гиббсовской лекции, которую Гёделя пригласили прочитать на ежегодной встрече Американского математического общества, состоявшейся в Провиденсе 26 декабря 1951 года. По свидетельствам, Гёдель ограничился тем, что быстро прочел подготовленную заранее рукопись и даже не предоставил права на вопросы и комментарии в конце, хотя его встречали громкими аплодисментами, вызванными редкой возможностью лично увидеть гения такого уровня.

В последующие годы Гёдель занимался тем, что исправлял и завершал рукопись с намерением опубликовать ее, однако ему так и не удалось придать ей форму, которая удовлетворяла бы его самого. В конце концов лекция была опубликована в 1994 году как часть сборника под названием "Курт Гёдель, неизданные очерки".

Чем так интересна Гиббсовская лекция? В ней Гёдель очень детально (больше, чем в любой другой своей работе) изложил собственное понимание философских следствий из своих теорем о неполноте. В этой лекции он утверждал: теоремы доказывают, что математический платонизм — правильная позиция философии математики.

Вопрос состоит в следующем: математика создается или открывается? Это человеческое творение, или ученые открывают факты, существующие во внешней реальности независимо от них?

Платонизм утверждает, что математические объекты имеют объективное существование, и работа ученых состоит в том, чтобы открывать характеристики этих объектов. Платон был уверен, что наши ощущения — только деформированное отражение высшей действительности, существующей в "мире идей". В этом самом мире живут и объекты, исследуемые математиками.

Знаменитая теорема Гёделя о неполноте показывает, что нет никаких формальных [синтаксических] методов доказательства, с помощью которых можно доказать все математические истины.

Уиллард ван Орман Куайн о теореме Гёделя

Противоположная позиция, которая обычно называется формализмом и в которой собраны некоторые идеи интуиционизма и программы Гильберта, утверждает, что математика — это творение человека, подобное музыке. С этой точки зрения математика — лингвистическая (синтаксическая) игра, в которой есть некоторые отправные точки (аксиомы) и логические правила, позволяющие осуществлять операции на их основе. Работа ученого состоит в том, чтобы открыть, куда нас заведут правила игры (что, по сути, не сильно отличается от работы шахматиста, который ищет оптимальный ход в определенной позиции). Если, согласно платонизму, математические объекты существуют сами по себе, а ученые открывают их свойства, то формализм утверждает обратное: математические объекты и их свойства существуют лишь благодаря ученым. У обеих позиций есть сильные и слабые стороны, и они существуют в математической мысли параллельно друг другу. Современный философ математики Джон Барроу пишет: "Математики — формалисты с понедельника по пятницу и платонисты по выходным".

То есть для повседневной работы, для доказательства теорем и написания статей формалистская позиция является более подходящей, поскольку в конечном счете любая истина основывается на аксиомах, выбор которых не нуждается в дальнейших подтверждениях (в формализме требуется только, чтобы аксиомы были непротиворечивыми, но они не обязаны отражать внешнюю истинность). Однако по выходным, когда математики расслабляются, они чувствуют, что работают с "истинными объектами", существование которых независимо и реально (что бы это ни означало).

Обе позиции четко разделены в отношении вопроса континуум-гипотезы. В предыдущей главе мы увидели, что континуум-гипотеза (СН) неразрешима относительно аксиом теории множеств. Так истинна она или ложна? Для чистого формалиста (хотя сегодня таких почти не существует) ответ не имеет смысла. Аксиомы — это правила игры, выбранные произвольно, не отражающие никакую внешнюю "истинность"; существуют только синтаксические понятия "доказуемого" и "недоказуемого", а не понятия "истинности" или "ложности". Согласно этой точке зрения так же законно добавить в теорию множеств новую аксиому, при которой СН будет доказуема, как и добавить другую аксиому, при которой она будет опровергнута. Две различные теории множеств могут существовать параллельно друг другу так же, как одновременно существуют различные виды шахмат (например, китайские и японские), которые допускают варианты правил игры, и нет необходимости думать, что существуют "истинные" шахматы.

Для платонизма, наоборот, аксиомы теории множеств отражают истину, которая существует объективно и в которой СН либо истинна, либо ложна, и не хватает всего лишь аксиомы, которая позволила бы решить вопрос.

Гёдель был убежденным платонистом и в статье, опубликованной в 1947 году под названием "Что представляет собой проблема континуума Кантора?", писал: "Следует отметить [...], что с точки зрения, принятой здесь, доказательство неразрешимости гипотезы Кантора на основе аксиом, принятых в теории множеств, [...] в какой-то степени решило бы проблему. Итак, если принять, что значение первичных символов теории множеств [...] корректно, то понятия и теоремы теории множеств описывали бы некую точно определенную действительность, в которой гипотеза Кантора должна была бы быть истинной или ложной". Позже, в 1963 году, дополнив доказательство о неразрешимости СН, Пол Коэн согласился с этой точкой зрения и рискнул предположить, что гипотеза Кантора на самом деле ложна.

Китайские шахматы — стратегическая игра из той же серии, что и западные шахматы и сёги (японские шахматы). Считается, что все они происходят от игры под названием чатуранга, зародившейся в Индии в VI веке. Для формалистов (которые подчеркивают синтаксические аспекты математики) выбор аксиом для математической теории не сильно отличается от определения правил настольной игры. Западные, китайские или японские шахматы — родственные настольные игры, но среди них нет "истинной" и "ложных". Подобно этому, поскольку континуум-гипотеза (СН) неразрешима относительно аксиом теории множеств, можно добавить СН или ее отрицание в качестве новой аксиомы. В обоих случаях получаются разные теории множеств (разные правила игры), и нельзя сказать, что одна из них истинная, а другая ложная. Для платонистов, наоборот, теория множеств относится к объективной действительности, в которой континуум-гипотеза на самом деле истинна или ложна.

Доска китайских шахмат с исходной позицией фигур.

РИС. 1

Как мы уже сказали, на Гиббсовской лекции 1951 года Гёдель утверждал, что его теоремы о неполноте доказывают справедливость платонистической точки зрения.

Рассмотрим кратко аргументацию Гёделя. В разуме каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое натуральные числа. Мы понимаем, как определяются основные операции и каковы их основные свойства. Например, мы воспринимаем, что умножение 8 на 5 равносильно физической операции образования восьми столбиков с пятью объектами в каждом из них (рисунок 1).

РИС. 2

Следовательно, у нас есть мысленная модель натуральных чисел, их структуры, которую изучают математики. С другой стороны, первая теорема Гёделя о неполноте доказывает, что эта модель не может быть полностью охарактеризована синтаксическими методами, то есть если мы ограничимся синтаксическими методами рассуждения, всегда найдутся недостижимые истины. Синтаксических методов доказательства недостаточно, чтобы постичь все свойства модели, которую мы не способны понять семантически. Это предполагает, согласно Гёделю, что эта мысленная модель, эти сущности, которые мы называем натуральными числами, со всеми их свойствами и взаимоотношениями, существуют в платонической реальности, находящейся за гранью чистой лингвистики (рисунок 2).

Парадокс Бертрана Рассела был в конце концов решен благодаря переформулировке аксиом теории множеств, предложенной немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году и улучшенной через несколько лет также немецким математиком Абрахамом Френкелем. Хотя существовали и другие аналогичные предложения (одно из них было представлено самим Гёделем), аксиоматическая теория Цермело — Френкеля (или ZF, как ее обычно называют) сегодня является теорией множеств по умолчанию.

1. Два множества равны, если они имеют в точности одни и те же члены.

2. Существует пустое множество.

3. При заданных х и у существует упорядоченная пара (х, у).

4. Объединение множеств — это также множество.

5. Существует по крайней мере одно бесконечное множество.

6. Любое свойство, которое можно выразить на формальном языке теории множеств, может быть использовано для определения множества.

7. При заданном множестве всегда существует множество, образованное всеми его подмножествами.

8. При заданном конечном или бесконечном семействе непустых множеств всегда существует множество, содержащее ровно один член каждого множества этого семейства.

9. Ни одно множество не является членом самого себя.

Ключевая аксиома для избегания парадокса Рассела — шестая, которая уточняет, на каких свойствах могут основываться определения множеств. Эта аксиома в сочетании с девятой позволяет доказать, что парадоксального множества Рассела просто не существует.

Выводы Гёделя были оспорены современными логиками, такими как Соломон Феферман или Пану Раатикайнен, утверждавшими, что аргументы Гёделя основываются на предположениях, справедливость которых можно оспорить (как тот факт, что в каждом человеческом мозге существует модель натуральных чисел).

Дело в том, что сегодня пока еще нет единодушного мнения о том, какая связь существует между теоремами Гёделя и природой математических объектов. В любом случае прошло чуть более 80 лет с момента публикации теорем Гёделя, а это небольшой срок для того, чтобы делать какой-то определенный математический вывод.

Во многих популярных книгах говорится, что теорема Гёделя о неполноте доказывает невозможность найти множество аксиом арифметики, которое позволило бы доказать все истины этой теории; но это утверждение на самом деле некорректно. Как мы уже много раз говорили, это правда, только если ограничиваться только методами доказательства, принятыми программой Гильберта. Однако существуют и другие методы.

Например, вспомним аксиомы Пеано, то есть аксиомы, относящиеся к натуральным числам и включающие в качестве первоначальных составляющих сумму, произведение и функцию последующего элемента.

Аксиома 1: нет ни одного числа с последующим элементом 1.

Аксиома 2: если у двух чисел один и тот же последующий элемент, то они равны.

Аксиома 3: последующий элемент для х — это х + 1.

Аксиома 4: (х + у) + 1 = х + (у + 1).

Аксиома 5: произведение х на 1 равно х.

Аксиома 6: х · (у + 1) = х · у + х.

Аксиома 7: если 1 выполняет некое свойство и можно быть уверенным, что и х выполняет это свойство, а значит, его последующий элемент тоже его выполняет, то при таких условиях можно быть уверенным: любое число выполняет это свойство.

Докажем, что аксиомы Пеано непротиворечивы. Для начала заметим, что все семь аксиом — это истинные высказывания (в мире натуральных чисел). Мы уже сказали, что из истинных предпосылок можно вывести только истинные утверждения, следовательно, из аксиом Пеано нельзя вывести ни одного ложного высказывания. Но если множество аксиом противоречиво, то на его основе доказуемо любое высказывание. Поскольку есть высказывания, которые недоказуемы на основе аксиом Пеано (ложные высказывания недоказуемы), то мы делаем вывод, что аксиомы Пеано непротиворечивы.

Во второй теореме о неполноте говорится, что нельзя доказать непротиворечивость аксиом Пеано... но мы только что его доказали. Как это возможно? Ответ, конечно же, в том, что во второй теореме о неполноте на самом деле говорится: невозможно доказать непротиворечивость аксиом Пеано, пользуясь методами программы Гильберта. Доказательство непротиворечивости, которое мы только что осуществили, следовательно, является корректным рассуждением, но не подчиняется ограничениям этой программы: корректность доказательства нельзя проверить алгоритмически.

Это ведет нас напрямую к следствию из теорем Гёделя: не существует алгоритма, который мог бы во всех случаях проверить истинность или ложность арифметического высказывания (если бы это было так, компьютер мог бы проверить корректность доказательства о непротиворечивости, которое мы вывели выше, что, согласно второй теореме Гёделя, невозможно). Другими словами, никогда нельзя будет запрограммировать компьютер так, чтобы можно было доказать все гипотезы арифметики (речь идет о принципиальном ограничении, которое не сможет преодолеть технический прогресс), компьютеры никогда не превзойдут математиков (хотя, как мы увидим далее, также неясно, всегда ли математики будут способны превосходить компьютеры).

Итак, вторая теорема о неполноте оказывается ложной, если мы применим при доказательстве семантические методы. Но что произойдет с первой теоремой Гёделя? Можно доказать, что если мы допустим семантические методы, то любая арифметическая истина доказуема на основе аксиом Пеано. Под семантическими методами мы понимаем те, что основаны на понятии истины. Логическое правило, которое используется в этих рассуждениях, таково: из Р выводится Q, если во всех мирах (или моделях), где Р истинно, Q также истинно (см. рисунок). Вновь возьмем пример доказательства, который мы рассматривали в главе 2, и зададимся вопросом, справедлив ли вывод:

из равенства (а - b) · а = (а - b) с мы делаем вывод, что а = с,

где Р — это высказывание "(а - b) · а = (а - b) · с", a Q — это "а = с". Вывод несправедлив, поскольку существует модель (пример), в которой Р истинно, a Q ложно. Действительно,

если мы возьмем а = b = 2 и с = 3, то получается, что Р истинно, a Q ложно.

При заданном высказывании существует потенциально бесконечное число миров, где оно может быть истинным. Значит, если на одном шаге семантического доказательства мы говорим, что из Р выводится Q, чтобы узнать, верно ли это, нам придется проверить потенциально бесконечное число случаев, где Р истинно, и убедиться, что во всех также истинно Q. Это предполагает бесконечное число проверок, которое не может быть осуществлено компьютером. Также неясно, может ли оно быть осуществлено человеческим разумом.

Евклидова геометрия, изложенная в работе ученого "Начала" (III век до н. э.), основана на пяти постулатах, или аксиомах, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1. Через две точки можно провести единственную прямую.

2. Отрезок можно продолжить из любого его конца.

3. При любом центре и любом радиусе можно провести окружность.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Итальянский математик Эудженио Бельтрами.

Первые четыре постулата очевидны, но пятый имеет высокую понятийную сложность и может оказаться не таким явным, как остальные. На самом деле оригинальная формулировка Евклида для пятого постулата была еще сложнее (выше приведена самая известная формулировка, предложенная английским математиком Джоном Плейфэром в конце XVIII века). Интересно добавить, что в своих доказательствах Евклид старался меньше использовать пятый постулат (как будто он сам немного не доверял его справедливости).

В течение многих веков считалось, что пятый постулат можно доказать на основе четырех других. Было сделано много попыток найти доказательство, но все они провалились. Наконец, в 1868 году Эудженио Бельтрами доказал, что пятый постулат неразрешим относительно остальных четырех, то есть ни сам постулат, ни его отрицание не могут быть доказаны на их основе. Это был первый в истории известный пример неразрешимости относительно множества аксиом — за несколько десятков лет до того, как Гёдель доказал свою теорему. У пятого постулата есть два отрицания: в одном из них говорится, что через точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной, в другом — что через нее проходит больше одной параллельной прямой. Как пятый постулат, так и его отрицания могут быть добавлены к оставшимся четырем, и во всех случаях получается непротиворечивое множество аксиом. Когда добавляется пятый постулат, получается, конечно же, геометрия Евклида; в оставшихся двух случаях возникают так называемые неевклидовы геометрии. Сегодня считается, что все эти геометрии одинаково справедливы; неевклидовы больше подходят для описания эйнштейновского пространства, искривленного присутствием масс, в то время как евклидова больше приспособлена к нашему восприятию повседневных явлений.

Это приравнивает математику к естественным наукам. В физике, например, любая теория является предварительной. То, что гравитационное притяжение между двумя телами уменьшается согласно квадрату расстояния, — это предварительное утверждение, поскольку мы никогда не сможем проверить силу гравитационного притяжения для всех пар тел, существующих во Вселенной, на всех возможных расстояниях. Утверждение истинно... пока не найдена ситуация, в которой оно не работает.

Нечто подобное происходит с семантическими доказательствами; мы можем быть уверены, что из Р выводится Q... пока не найдем мир, в котором Р будет истинным, a Q не работает. В программе Гильберта предполагалось избавление от этой неточности и предлагались методы доказательства, правильность которых можно было бы проверить раз и навсегда.

Повторим сказанное выше: любое истинное арифметическое высказывание может быть доказано на основе аксиом Пеано, если мы допустим семантические методы. Но мы никогда не сможем быть абсолютно уверены в том, что эти семантические методы верны. Мы можем иметь точные и достоверные методы рассуждения, как хотел Гильберт, но в этом случае не сможем доказать все истины. Мы можем узнать потенциально все арифметические истины, но без уверенности в том, что наши методы корректны. Надежность и достоверность либо возможность узнать все истины — одно или другое, но не оба варианта одновременно.

Выше ли человеческий разум компьютера? Верно ли, что мы "думаем", в то время как компьютер просто "считает"? Или нет принципиальной разницы, и однажды технологический прогресс позволит нам создать искусственный интеллект, с которым мы встречаемся в научной фантастике?

Полемика на эту тему началась в середине XX века — с развитием первых электронных компьютеров. С тех пор были написаны десятки и даже сотни книг и статей с аргументами, опровержениями, дебатами и гипотезами на эту тему, но до сегодняшнего дня ответа так и нет.

Очевидно, что на нескольких страницах невозможно сделать обзор всех аргументов за или против. Упомянем лишь: теоремы Гёделя о неполноте несколько раз использовались в таких дискуссиях как аргумент в пользу того, что человеческий разум выше компьютера.

Прежде мы привели доказательство непротиворечивости аксиом Пеано, и наша человеческая способность воспринимать семантическое понятие "истины" убеждает нас в том, что оно верно. Однако во второй теореме Гёделя доказывается, что правильность этого доказательства не может быть проверена компьютером. Так мы нашли задачу (проверка правильности доказательства того, что аксиомы Пеано непротиворечивы), которую человеческий разум может осуществить, а компьютер нет (и эта невозможность принципиальна). Следовательно, человеческий разум выше компьютера.

В случае если математические предложения имеют отношение к действительности, они неточны, и наоборот, если они точные, они не имеют отношения к действительности.

Альберт Эйнштейн на лекции, прочитанной 27 января 1921 года

Аргумент кажется убедительным, но он не окончательный. Доказательство непротиворечивости аксиом Пеано основывается на нашей интуиции о том, что эти аксиомы являются истинными высказываниями. Но не ошибается ли наша интуиция? Она ведь подвела, например, Фреге, который в течение нескольких лет был убежден в непротиворечивости своих аксиом, пока Бертран Рассел не открыл, что одна из них противоречит самой себе. Возможно, когда-то в будущем новый Рассел покажет нам парадокс, следующий из аксиом Пеано, и скажет, что они все-таки противоречивы.

Следовательно, мы не можем хвастаться своим превосходством над компьютерами, поскольку никогда не будем уверенными в том, что наши семантические рассуждения верны. Нам нужно свыкнуться с возможностью того, что в будущем все (или почти все) наши рассуждения окажутся неверными.

Дискуссия, начатая с открытия парадокса Рассела, так и не закончилась. Три предположения, которые были сделаны в начале XX века, — интуиционизм, логицизм и формализм (или программа Гильберта) — провалились по разным причинам и не были заменены другой программой аналогичного уровня. Какова природа математических объектов? Существует ли промежуточный уровень между чисто синтаксическими и семантическими рассуждениями, который позволил бы превзойти неполноту теорем Гёделя, в то же время обеспечив непротиворечивость? Действительно ли существует категорическая разница между синтаксическим и семантическим? Или понятия, которые мы называем семантическими, являются всего лишь более сложными синтаксическими понятиями (в которых работают с группами символов вместо индивидуальных символов)? Существует еще много подобных вопросов, ответы на которые не найдены... к счастью.

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Godel, K., Sobrepropositions formalmente indetidibles de los Principia Mathematica у sistemas afines, Oviedo, KRK Ediciones, 2006.

Hofstadter, D., Godel, Eschery Bach (Un etemo у grdcil bucle), Barcelona, Tusquets, 1992.

Kline, M., Matemdticas, la perdida de la incertidumbre, Mexico D.F., Siglo Veintiuno Editores, 1998.

Martinez, G., Pineiro, G., Godel V (para todos), Barcelona, Destino, 2010.

Martinon, A. (compilador), Las matemdticas del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.

Nagel, E., Newman, J., El teorema de Godel, Madrid, Tecnos, 1994.

Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx: de los conjuntos a la complejidad, Buenos Aires, Katz Editores, 2006.

Smullyan, R,,Juegos por siempre misteriosos, Barcelona, Gedisa, 1988.

Stewart, I., Historia de las matemdticas, Madrid, Critica, 2008.

Аристотель 18-21, 37, 65

арифметика 22, 33, 35, 44-48, 51, 54, 58, 60, 62, 63, 64, 69, 73, 76-78, 81, 83, 84, 107, 108, 110, 112, 115-117, 155-157, 160

Архимед 24

бесконечность

актуальная 19-24, 28, 29, 31, 35, 37, 43, 44

потенциальная 19, 20, 22, 25, 28

Борель, Эмиль 10, 11

Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 37, 38, 40, 47, 48, 56

Вена 13, 17, 18, 41, 53-57, 67, 90, 92-94, 96, 121, 126, 148

Венский кружок 13, 56-57, 67, 93, 121

Вселенная 21, 101, 124, 126, 127, 156, 157, 158

вращающаяся 123-128

Гёделя 124

Галилей, Галилео 21-23, 29, 37

Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 23

Гейне, Эдуард 25, 28

Гейтинг, Аренд 48, 96

Герон Александрийский 45

Гёте, Иоганн Вольфганг фон 54

теория цвета 53, 54

Гиббсовская лекция 13, 149-155

Гильберт, Давид проблемы 7, 8, 42, 45, 46, 56, 65, 128, 137

программа 43-49, 51, 56-58, 61, 64, 65, 68, 74, 84, 87, 96-99, 106-108, 115, 150, 155, 156, 159, 161, 162

гипотеза континуум 43, 128, 136-138, 141, 151, 152

Римана 8

Гольдбах, Кристиан 108

Гольдбаха гипотеза 8, 9, 10, 108

Гудстейна теорема 80, 81

Джинс, Джеймс Хопвуд 126, 127, 140

диагональная функция 78, 79, 110

доказательство семантическое 157, 159, 160

синтаксическое 97, 99, 101, 103, 104, 107, 109-111, 113, 115, 139

единственность 26, 28, 137

разложения на простые числа 28

интуиционизм 36-43, 47, 48, 150, 161

Кантор, Георг 23-25, 28-32, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 128, 130-132, 136, 137, 141, 151, 152

Кантора диагональный метод 132-136

код 70-74, 76-82, 109, 110, 111, 113, 114, 116, 117

концептография 32

Коэн, Пол Джозеф 43, 137, 138, 141.152

Кронекер, Леопольд 25, 30, 31, 38

логицизм 36-43, 48, 161

множество 29, 30, 33, 34, 36, 46, 51, 58, 60, 65, 66, 73, 84, 85, 89-91, 99, 101, 103-106, 108, 109, 112, 113, 115-118, 128, 130-132, 134, 136-138, 141, 154-156, 159

бесконечное 28, 29, 128, 130— 32, 154

кардинальное число 128-134, 136, 138, 141

конечное 128, 130

теория 29, 30, 31, 33, 40, 41, 43, 44, 81, 127, 138, 141, 151, 152, 154

множество аксиом 46, 58,60,65, 66,73,89,90,101,103-106, 108,109,112,113,115-118, 155,156,159

неполное 106,109

непротиворечивое 101,103, 106,108,109,112-118,124, 151, 156, 159, 161

омега-непротиворечивое 112

полное 106, 108, 115

противоречивое 103-106, 116, 156, 161

модель 139-141, 153, 154, 157

Моргенштерн, Оскар 91, 122, 147, 148

"Начала" (Евклид) 22, 158

Нейман, Джон фон 48, 49, 91, 94, 146, 148

относительности теория 12, 55, 119, 123, 124, 126, 127, 140

парадокс лжеца 36, 83, 100

Пеано, Джузеппе 46

аксиомы 46, 60, 84, 155-157, 159-161

Планк, Макс 57

Планка принцип 31

платонизм 149-151

понятия семантические 96-100, 104, 156, 157, 159-162

синтаксические 96-99, 101, 103, 104, 106, 109, 115, 151-153, 162

Поркерт, Адель 13, 93-95

правила логики 60, 63, 66, 104, 111, 150, 157

синтаксические 104

Принстон, Институт перспективных исследований 13, 55, 90- 92, 96, 119, 121-123, 125-127, 145-148

Рассел, Бертран 11, 19, 31-37, 56, 70, 100, 104, 105, 124, 161

Рассела парадокс 34, 36, 43, 60, 100, 105, 154, 161

самореференция 36

метод 78-84, 110

семантическая 100

синтаксическая 100

теорема о неполноте (вторая теорема) 49, 65, 90, 106, 117, 143, 149, 152, 156, 160, 162

о неполноте (первая теорема) 7, 13, 41, 48, 51, 57, 64-68, 70, 82, 84, 87, 89, 90, 96, 97-99, 101, 109, 115, 117, 138, 143, 149, 152, 153, 160, 162

о полноте 57, 58-65, 85

Уайлс, Эндрю 59, 75, 85

Ферма теорема 59, 75, 84

формализм 48, 150, 151, 161

Фреге, Готлоб 19, 31-33, 35, 36, 44, 104, 105, 161

Фуртвенглер, Филипп 13, 54, 55, 67

Фурье ряды 25-26, 137

Чёрч, Алонзо 91, 92

число Гёделя 70-74, 76-79, 109, 116, 117

действительное 132, 134, 136

иррациональное 39, 40, 44

квадратное 22, 23, 29, 130

нормальное 10, 11

простое 8, 9, 22, 26-29, 38, 39, 58, 74, 76-78, 83, 99, 100, 102, 103, 107, 108, 116, 117

целое 26, 131, 132, 134, 139, 140

Шлик, Мориц 13, 56, 57, 93

Эйделотт, Франклин Риджвей 145, 146

Эйнштейн, Альберт 13, 18, 55, 90, 91, 94, 119, 122-126, 141, 146, 147, 161

Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.