Гёдель. Теоремы о неполноте

ГЛАВА 3 Вторая теорема Гёделя

Гильберт потратил десять лет на разработку своей программы, и этот период был полон борьбы. После всех усилий, когда первая теорема Гёделя о неполноте показала, что программа неосуществима, сдался ли Гильберт? Не искал ли он неточности в доказательстве Гёделя? Неужели даже не протестовал? В этой главе мы проанализируем, как Гёделю удалось представить доказательство своей теоремы о неполноте таким образом, чтобы никто — даже Гильберт — не мог усомниться в ее справедливости.

Публикация первой теоремы Гёделя о неполноте в 1931 году сделала его международной знаменитостью в мире математики. Его имя зазвучало на всех встречах и конгрессах, а его доказательство стало (и остается до сих пор) классикой математического рассуждения. Однако Гёдель не смог сразу же насладиться славой, поскольку по завершении этой работы пережил сильный нервный срыв и вынужден был отказаться от публичной деятельности на несколько месяцев. Почти наверняка это было результатом стресса, вызванного представлением его теоремы.

На самом деле в статье 1931 года Гёдель представил две теоремы. Одна из них — уже упомянутая первая теорема о неполноте, также известная как теорема Гёделя. Именно ее мы доказали в предыдущей главе и вернемся к ней еще. В теореме говорится, что если выбрать в качестве арифметических аксиом любое множество истинных высказываний и принимать только доказательства, проверяемые алгоритмически, то всегда найдется истинное высказывание, недоказуемое на основе этих аксиом.

Другая теорема, которую Гёдель представил в этой статье 1931 года, сегодня известна как вторая теорема о неполноте, или вторая теорема Гёделя. В ней говорится о невозможности алгоритмически проверить истинность множества арифметических аксиом. Мы обсудим эту теорему чуть позже. Следует сказать, что в статье не содержалось ее детального доказательства. Гёдель ограничился лишь тем, что в общих чертах изложил идею и отметил, что собирается написать вторую часть статьи с полным доказательством. Однако болезнь помешала ему сделать это в ближайшие месяцы, а после выздоровления выяснилось, что доказательства обеих теорем (даже второй, о которой ученый только намекнул) получили всеобщее признание. В этой ситуации Гёдель не счел нужным публиковать дополнительные пояснения, поэтому вторая часть статьи так и не была написана. (Оригинальное название статьи на немецком языке заканчивается римской цифрой I: это указывает на то, что речь идет только о первой части. В переводах на испанский, английский и другие языки ее обычно опускают.)

Преодолев нервный кризис, Гёдель в 1933 году начал работу в Венском университете в качестве приват-доцента. В то время в университетах Центральной Европы с должности приват-доцента обычно начинали карьеру преподавателя. Кроме того, как мы уже сказали, Гёдель превратился в международную знаменитость и в том же году был приглашен в США прочитать лекцию на ежегодном собрании Американского математического общества.

Во время этой первой поездки в США Гёдель познакомился с Альбертом Эйнштейном, который эмигрировал туда в 1933 году. Между ними сразу зародилась теплая дружба, которая длилась до самой смерти Эйнштейна в 1955 году.

В последующие два года, 1934 и 1935, Гёдель снова ездил в США, уже по приглашению Института перспективных исследований в Принстоне. В этом учреждении он прочитал несколько курсов и лекций, не только по своим теоремам о неполноте, но и по темам, затронутым в последующих исследованиях. Среди них, например, такая проблема: существует ли алгоритм, который при заданном множестве аксиом и высказывании Р позволит определить, доказуемо ли Р на основе этих аксиом? Гёдель получил несколько частичных решений, а полностью проблема была решена в 1936 году американским логиком Алонзо Чёрчем, который доказал, что алгоритма с такими

характеристиками не существует. Эта проблема, как и другие, поставленные самим Гёделем или другими логиками, вдохновленными его исследованиями, положила начало теории вычислимости, то есть изучению того, при каких условиях математическая проблема решаема алгоритмически.

Институт перспективных исследований в Принстоне (Нью-Джерси, США), основанный в 1930 году, имел целью собрать международную научно-исследовательскую элиту. И действительно, в нем трудились такие прославленные ученые, как Курт Гёдель, Альберт Эйнштейн, Джулиус Роберт Оппенгеймер (американский физик-теоретик, научный руководитель Манхэттенского проекта), Джон фон Нейман, Оскар Моргенштерн (последние двое — создатели теории игр) и Герман Вейль (выдающийся немецкий физик и математик).

Во время поездок в США Гёдель продемонстрировал свои методы, идеи и поставленные им проблемы, и это дало импульс развитию американской школы математической логики, где блистали Уиллард ван Орман Куайн, Стивен Коул Клини и уже упомянутый Алонзо Чёрч. Также работы Гёделя дали толчок развитию математической логики в целом; по сравнению с другими ученый публиковал очень мало научных работ, но каждая из них открывала новую отрасль в логике и вводила методы и идеи, актуальные до сих пор.

Алонзо Чёрч был одним из главных представителей американской школы математической логики, которая образовалась практически сразу после прочтения Гёделем курсов и лекций в США в 1930-х годах. Чёрч родился в Вашингтоне 14 июня 1903 года и изучал математику в Принстонском университете, где защитил докторскую диссертацию в 1927 году. Его научным руководителем был Освальд Веблен (который помогал в организации Института перспективных исследований в Принстоне и пригласил Гёделя прочитать там свои первые лекции). Чёрч внес вклад в логику первого порядка, теорию вычислимости (которая исследует, какие математические проблемы могут быть решены алгоритмически, а какие нет) и теоретическую информатику. Он также создал лямбда-исчисление, которое до сих пор является важным инструментом в изучении теории алгоритмов. Ученый скончался в США в 1995 году.

В то время как Гёдель наслаждался плодами растущего академического престижа, политическая ситуация в Вене становилась всё более сложной. После того как Адольф Гитлер пришел к власти, он объявил о своем намерении сделать Австрию частью Германии. С этой целью он начал политическое и военное давление на соседнюю страну. В 1931 году он потребовал, чтобы нацистская партия, которая в Австрии была запрещена, получила признание и вошла в состав правительства. Однако на выборах в Австрии в апреле 1932 года нацисты не одержали ожидаемой победы, так что перешли в оппозицию и прибегли к террористическим методам. Произошла серия терактов, убийств высокопоставленных лиц и попыток государственного переворота, которые к 1937 году привели Австрию к угрозе гражданской войны.

Насколько известно, первые годы этой бурной политической жизни особо не затронули Гёделя, который без перерывов продолжал свои исследования и поездки в США. Но 22 июня 1936 года Мориц Шлик, один из его наставников и основатель Венского кружка, был убит. Когда Гёдель узнал об этом, у него случился новый нервный срыв, на восстановление после которого потребовалось несколько месяцев. В том году ученый снова должен был отправиться в США, но поездку пришлось отменить. Гёдель не смог возобновить научную работу до 1937 года.

В феврале 1938 года Гитлер выдвинул ультиматум: Австрия должна добровольно присоединиться к Третьему рейху, или ее присоединят силой. После многочисленных споров, во время которых дважды сменилось правительство, в марте был проведен референдум о присоединении к Германии. Голосование не было секретным; бюллетень с отметкой принимал офицер СС, который и помещал его в урну. При таких обстоятельствах неудивительно, что за присоединение к Германии проголосовало более 99% избирателей, после чего 12 марта Австрия стала провинцией нацистской Германии (это событие было названо аншлюсом, что по-немецки означает "присоединение" или "аннексия").

Нацисты сразу же реформировали австрийскую университетскую систему, после чего некоторые интеллектуалы, включая Гёделя, остались без работы. Однако это не помешало ему в сентябре 1938 года заключить брак с Адель Поркерт, разведенной танцовщицей на шесть лет старше его, с которой Гёдель познакомился в 1927 году. Возможно, брак был первым шагом, необходимым для эмиграции, о которой Гёдель уже думал.

Адель и Курт были очень крепкой, любящей парой, хотя они и не демонстрировали публично нежность друг к другу.

Важно искать непротиворечивые доказательства, хотя любое непротиворечивое доказательство относительно в том смысле, что мы не можем доверять ему больше, чем доверяем той логической системе, в рамках которой развивается это непротиворечивое доказательство.

Уиллард ван Орман Куайн. "С точки зрения логики"

В 1938 и 1939 годах Гёдель вновь посетил Институт перспективных исследований, где, кроме проведения обычных курсов и лекций, постарался завязать необходимые контакты, чтобы подготовиться к вступлению в должность профессора этого института, если ему придется покинуть Австрию. После второй поездки в Вене на него напала группа ультраправых студентов, которых, как говорится в популярной истории, его супруга отогнала ударами зонтика.

Давление на Гёделя усиливалось, этот независимый интеллектуал раздражал нацистов, и в конце концов в октябре 1939 года он был включен в черный список. Это официально подчеркивало статус безработного, а при нацистском режиме безработные почти автоматически призывались в армию. Действительно, через некоторое время Гёдель получил приказ о призыве. Единственно возможным выходом для Курта и Адели стало бегство в США (как и для многих европейских ученых того времени, включая Альберта Эйнштейна и Джона фон Неймана).

Война между Германией, Францией и Англией к тому времени уже началась, так что Гёделю и его супруге пришлось ехать в США самым долгим путем, через Россию, Японию и Тихий океан. Гёдель прибыл в Институт перспективных исследований в 1940 году и благодаря заранее установленным контактам сразу вступил в должность приглашенного профессора. В 1946 году он вошел в состав ученых института на постоянной основе, а в 1948-м — получил американское гражданство.

Ученый так и не вернулся ни в Австрию, ни в Чехословакию. Годы спустя Венский университет предлагал ему должности и почести, но он не принял их.

Г итлер приветствует жителей Вены в связи с присоединением Австрии к нацистской Германии, март 1938 года.

Адель Поркерт и Курт Гёдель в день свадьбы, сентябрь 1938 года.

Немецкий математик Давид Гильберт в 1930-е годы. Созданная им программа стремилась поставить математику на прочные логические основания.

Прежде чем последовать за Гёделем в Принстон, вернемся в сентябрь 1930 года и восстановим образ юноши, который скромно поднял руку на конгрессе в Кёнигсберге, чтобы провозгласить первую теорему о неполноте.

Естественный вопрос, который мы еще не формулировали, состоит в следующем: после десяти лет разработки своей программы, размышлений и трудов сдался ли Гильберт без борьбы? Не пытался ли он оспорить рассуждения Гёделя? Правда состоит в том, что доказательство Гёделя было принято мгновенно и единодушно всеми, включая Гильберта, поскольку Гёдель не только очень хорошо продумал доказательство, но и был очень осторожен в способе его представления.

Как мы уже сказали, в программе Гильберта принимались только те доказательства, которые можно проверить алгоритмически, и к сентябрю 1930 года это ограничение принимали все математики, включая интуиционистов, которые, по словам Аренда Гейтинга, "примут с распростертыми объятиями" бесконечность, если только доказательства будут соответствовать этому критерию.

И так же, как Гильберт в свое время внес предложение с расчетом на то, чтобы убедить интуиционистов, Гёдель изложил доказательство первой теоремы о неполноте так, чтобы было очевидно, что ее правильность можно проверить алгоритмически и что она удовлетворяет условиям программы Гильберта. Даже Гильберт не смог выразить сомнений по этому поводу.

Как хорошо известно, прогресс математики в отношении каждый раз все большей точности привел к [...] тому, что рассуждения можно осуществить на основе небольших механических правил.

Курт Гёдель, введение к "О формально неразрешимых предложениях... " (1931)

Как Гёдель сделал очевидным, что доказательство его теоремы проверяется компьютером? Он прибегнул к "семантикосинтаксическому дуализму".

В математической логике понятие, связанное с последовательностью символов, считается синтаксическим, если оно зависит только от символов, образующих эту последовательность, при этом неважно его значение, если оно вообще существует.

Например, если мы утверждаем, что последовательность букв Кипа mbwa nyekundu образована 18 символами (считая пробелы), мы говорим о синтаксическом понятии. Действительно, нашу правоту легко проверить с помощью простого подсчета символов, и нас не интересует, есть ли в этом ряду букв какой- то смысл. Другие примеры синтаксических понятий: "первая буква — /С" или "здесь нет буквы А".

Наоборот, если понятие семантическое, оно зависит от значения, которое передает последовательность. Например, если мы говорим, что Кипа mbwa nyekundu истинно, то ясно, что мы говорим о семантическом понятии, потому что не можем сказать, является оно "истинным" или "ложным", если предварительно не узнаем, какое значение заложено в этой последовательности букв (если оно там есть).

На самом деле смысл в высказывании есть: Кипа mbwa nyekundu на суахили означает "бывают красные собаки" (см. рисунок). Теперь мы можем задаться вопросом, истинно предложение или ложно, но все равно ответ дать непросто. Ведь что такое красная собака? Она должна была родиться со шкурой такого цвета или ее могли покрасить позже? Уж не говоря о том, что люди воспринимают цвета по-разному. Целью всех этих рассуждений является пояснение: синтаксические аспекты языка прозрачны, а вот семантические — связаны с путаницей и парадоксами. В соответствии с этой идеей основная предпосылка программы Гильберта состояла в требовании того, чтобы справедливость семантических аспектов математики контролировалась синтаксическими методами. Синтаксис, ясный и не вызывающий сомнений, должен был ограничивать семантику, грозящую парадоксами.

Свойство, относящееся к предложению, называют синтаксическим, если оно зависит только от самих символов, независимо от их значения (например, количество букв в предложении).

Оно является семантическим, если зависит от значения (например, утверждение об истинности или ложности предложения). Синтаксические свойства проверяются механически; семантические — нет.

Итак, Курт Гёдель представил доказательство первой теоремы о неполноте таким образом, что всем было очевидно: ее можно проверить с помощью компьютера. Он изложил свое высказывание и каждый шаг доказательства теоремы, апеллируя только к синтаксическим понятиям.

В предыдущей главе мы сформулировали первую теорему Гёделя о неполноте (теорему Гёделя) следующим образом.

Если выбрать в качестве аксиом любое множество истинных арифметических высказываний и требовать, чтобы доказательства, которые получены на их основе, могли быть проверены алгоритмически, то будет по крайней мере одно истинное высказывание, которое не может быть доказано на основе этих аксиом.

В этой формулировке теоремы появляется семантическое понятие истинности. Поэтому Гёдель представил его в статье 1931 года не в такой форме. Формулировка Гёделя аналогична, но записана с помощью только синтаксических понятий.

Определим синтаксические понятия, которыми пользовался Гёдель, и переформулируем первую теорему о неполноте.

Для начала скажем, что "являться доказательством, соответствующим требованиям программы Гильберта" — это синтаксическое свойство, поскольку его можно проверить с помощью компьютера посимвольно. Следовательно, идея "доказуемого высказывания" также синтаксическая, поскольку высказывание Р доказуемо, если существует доказательство, заканчивающееся этим высказыванием.

Даже понятие "высказывание" может быть определено синтаксически. Для начала, в аристотелевском определении говорится, что высказывание — это выражение, которому можно назначить значение истинности (истинно или ложно). Так,

"х — простое число"

не является высказыванием, поскольку его значение истинности зависит от того, каково х. И напротив, из двух высказываний:

"Существует некоторое х_} являющееся простым числом", "Для любого х справедливо, что х — простое число"

первое истинное, а второе ложное.

Итак, это семантическое понятие может быть сформулировано синтаксически: высказывание — это выражение, не имеющее переменных (букв х, у, z), которые могут быть свободно заменены числами. То есть это выражение, в котором либо нет переменных, как в случае "4 = 2 + 2", либо все они сопровождаются выражениями типа "для любого х справедливо, что..." или "существует некоторое х, которое...", как это происходит в предыдущих двух примерах. Является выражение высказыванием или нет — это условие можно проверить посимвольно, при этом нет необходимости рассматривать значение выражений. Итак, "высказывание" и "доказуемое высказывание" — два синтаксических понятия, которые Гёдель мог использовать при формулировании своей теоремы.

В своей работе Principia Mathematica ("Принципы математики") Бертран Рассел утверждал, что все известные парадоксы всегда порождаются самореференцией. То есть они возникают из-за того, что в высказываниях прямо или косвенно говорится о них самих. Способ избежать любого парадокса, говорил Рассел, — исключить из языка любой намек на самореференцию. В семантическом самореферентном высказывании говорится о семантической характеристике как таковой. Таков случай "это предложение ложно", то есть утверждение, вызывающее парадокс лжеца. В синтаксической самореференции, наоборот, в самореферентном высказывании говорится о синтаксической характеристике как таковой. Например: "в этом предложении пять слов". Семантическая самореференция, как говорил Рассел, всегда опасна и подводит нас к границе парадокса. Синтаксическая самореференция, наоборот, не несет в себе никакого риска. Почему? Потому что синтаксическая самореференция иллюзорна; кажется, что в предложении говорится о нем самом, но на самом деле здесь раздвоение: в значении предложения говорится не о нем самом, а о символах, которые его образуют. Когда мы говорим: "в этом предложении пять слов", мы имеем в виду:

"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится пять слов".

Отрицание этого:

"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится не пять слов".

Мы говорим о символах, а не о смысле, так что нет риска получить парадокс. В высказывании Гёделя G утверждается, что оно недоказуемо, то есть речь идет о синтаксической характеристике себя самого. Так как самореференция синтаксическая, рассуждения на основе G никогда не приведут нас к парадоксу.

Другое важное понятие для синтаксической формулировки первой теоремы о неполноте — это понятие непротиворечивости. Множество аксиом является непротиворечивым, если не существует ни одного высказывания Р такого, чтобы Р и не-Р были одновременно доказуемы на основе этих аксиом (с синтаксической точки зрения не-Р получается простым размещением слева от Р символа, обозначающего отрицание).

Хотя далее мы увидим, какая связь существует между тем, чтобы быть "непротиворечивым" и быть "истинным", очевидно, что непротиворечивость — это чисто синтаксическое понятие (поскольку зависит от синтаксического понятия доказуемости).

Если все аксиомы — истинные высказывания, то множество аксиом непротиворечиво. Действительно, из истинных предпосылок получаются только истинные выводы. Тогда только одно из высказываний Р и не-Р ложно; следовательно, если все аксиомы истинны, невозможно, чтобы Р и не-Р были доказуемы одновременно (ложное не будет доказуемым).

Значит ли это, что выражение "непротиворечивое множество аксиом" равносильно "множеству истинных аксиом"? Это тонкий вопрос, который заслуживает тщательного анализа.

Начнем с вопроса, является ли высказывание "2 — простое число" истинным. Почти любой человек сразу же скажет, что его истинность очевидна. Однако более правильным ответом будет "когда как". Это зависит от Вселенной, в контексте которой мы сейчас работаем. Если подразумевается, что речь идет о натуральных числах, то высказывание действительно истинно, но в другом контексте оно может быть ложным.

Вспомним, что число (отличное от единицы) является простым, если делится только на единицу и само на себя. Можно выразить это понятие по-другому: 2 — простое число, поскольку единственный способ представить его в виде произведения двух чисел тривиален: 2 = 2 x 1 (запись 2 = 1 x 2 считается совпадающей с ней, так как в ней используются те же числа). А вот число 15 не является простым, поскольку его можно представить, помимо тривиального способа 15 = 1 х 15, также как 15 = = 3 x 5.

Но точно ли единственный способ записать число 2 в виде произведения — это 2 = 2 х 1? В мире натуральных чисел — да. Но существуют и другие миры.

Расширим наш числовой мир и включим в него все числа, которые получаются умножением √2 на натуральное число (и на нуль), а затем прибавлением другого натурального числа (или нуля). Например, этот мир содержит числа 3 + 4 √2 или 7 √2. Также в нем содержится само число √2, которое записывается как 0+1 √2, и все натуральные числа, которые могут быть записаны как:

1 = 1 + 0 √2

2 = 2 + 0 √2

3 = 3 + 0 √2.

Итак, в этом мире 2 — не простое число, поскольку может быть записано как 2 = √2 х √2. Высказывание "2 — простое число" верно среди натуральных чисел, но ложно в мире, который мы определили по-другому (см. схему).

Какова связь между непротиворечивостью и истинностью? Ответ дан теоремой Лёвенгейма — Скулема (доказанной в 1915 году Леопольдом Лёвенгеймом для частного случая и в 1920 году Туральфом Скулемом для общего случая): множество аксиом является непротиворечивым, если существует какой-нибудь мир, в котором все аксиомы являются истинными высказываниями. Следовательно, множество, образованное двумя аксиомами:

непротиворечиво, поскольку существует мир, в котором обе аксиомы одновременно истинны. С синтаксической точки зрения это означает, что не существует такого высказывания Р, что Р и не-Р доказуемы на основе этих двух предпосылок одновременно.

Для любого х справедливо, что х + 0 = х; 2 не является простым числом

Но можем ли мы принять "2 не является простым числом" за аксиому? Не должны ли аксиомы быть очевидными сами по себе? В чисто синтаксическом мире, в котором истинности и ложности не существует, нет смысла говорить об очевидных высказываниях. Любое из них может быть взято за аксиому. Почему основополагающей является непротиворечивость? Что произойдет, если множество аксиом будет противоречивым? С семантической точки зрения это означает, что нет ни одного возможного мира, в котором все высказывания одновременно истинны. Но у противоречивости системы аксиом есть и синтаксическое следствие, поскольку если множество аксиом противоречиво, то на его основе можно доказать любое высказывание.

Предположим, что существует некое высказывание Р такое, что множество аксиом позволяет доказать как Р, так и не-Р, и возьмем любое высказывание Q. Мы хотим доказать, что Q доказуемо. Для этого вспомним несколько правил логики:

а) из "Р" всегда выводится "не-Q => Р";

б) из "не-Q => Р" выводится "не-Р => Q";

в) из "Р" и "Р ^ Q" выводится "Q" (это правило вывода, modus ponens).

Заметим, что все они сформулированы синтаксически и апеллируют к форме высказываний, а не к их значению. Предположим, как мы сказали, что Р и не-Р доказуемы. Получается следующее.

1. Р доказуемо, по гипотезе.

2. Выводится, что "не-<2=" Р" доказуемо, по правилу "а".

3. Следовательно, "не-Р=> Q" доказуемо, по правилу "б".

4. Не-P доказуемо, по гипотезе.

5. Из не-Р (пункт 4) и "не-Р =" Q" (пункт 3), по правилу вывода, выводится Q.

6. Следовательно, Q доказуемо.

Поскольку Q было произвольным высказыванием, можно сделать вывод, что любое высказывание доказуемо на основе аксиом. То есть любое высказывание доказуемо на основе противоречивого множества аксиом.

Заметим, что проделанные нами рассуждения чисто синтаксические и не затрагивают ни значения Р или Q, ни таких семантических понятий, как "истинно" или "ложно". Мы основывались только на синтаксических правилах логики и на виде высказываний. Таким типом аргументов Гёдель воспользовался для изложения доказательства своей теоремы.

Бертран Рассел в своем парадоксе на самом деле показал, что система аксиом, которую предложил Фреге, противоречива. Рассмотрим эту идею более подробно. Вспомним, что Рассел определил множество R, образованное всеми множествами, не являющимися членами самих себя.

Если R является членом самого себя, то выводится, что оно им не является. Это противоречие, которое возникает от предположения, что R — член самого себя, дает основание допустить: R не является членом самого себя. Но если предположить это, то логическим путем можно прийти к выводу, что все-таки является. Тогда получается, что R является членом самого себя. Парадокс Рассела на самом деле демонстрирует: существует такое высказывание, что и оно, и его отрицание доказуемы на основе аксиом Фреге. Другими словами, как уже говорилось, это демонстрирует противоречивость аксиом Фреге.

Как-то раз, читая лекцию для широкой публики, Бертран Рассел упомянул, что если множество аксиом противоречиво, то любое утверждение доказуемо на их основе. Рассел объявил об этом в семантическом виде, говоря, что исходя из ложной предпосылки можно доказать любую вещь. Аудитория сразу же предложила ученому доказать, что Смит (один из слушателей) является Папой Римским, исходя из ложной предпосылки о том, что 1 = 0. Рассел рассуждал так: если 1 = 0, то при прибавлении 1 к обоим членам мы делаем вывод, что 2 = 1. Теперь подумаем о множестве, образованном Смитом и Папой. У этого множества два члена, но так как 2 = 1, то мы можем сказать, что у множества только один член. То есть Смит и Папа — это одно и то же лицо.

На основе противоречивого множества аксиом доказуемо что угодно. В связи с этим возникает новое синтаксическое понятие полноты. Множество аксиом является полным, если для любого высказывания либо оно, либо его отрицание (по крайней мере одно из них) доказуемо.

Тогда мы можем утверждать, что любое противоречивое множество аксиом является полным, поскольку при любом высказывании Р как Р, так и не-Р доказуемы. Но речь идет о тривиальной полноте, которая не дает никакой информации, поскольку абсолютно все доказуемо, даже те высказывания, которые противоречат сами себе, например "для любого х справедливо то, что х отличается сам от себя".

Более интересно рассмотреть множество аксиом, являющееся одновременно полным и непротиворечивым. Множество аксиом с такой характеристикой приблизилось бы к выполнению цели программы Гильберта. Действительно, если система непротиворечива, то ее высказывания истинны в каком-нибудь мире, а если она полна, то все истины, относящиеся к этому миру, доказуемы (см. схему).

Но в программе Гильберта искали аксиомы для арифметики, а не произвольного мира. Есть ли какой-нибудь синтаксический способ сформулировать эту цель? Да, такой способ есть.

Существуют некоторые арифметические высказывания, истинность или ложность которых можно проверить алгоритмически за конечное количество шагов, — интуиционисты могли бы считать их истинными или ложными без споров, в основном потому что они не затрагивают идею бесконечности (даже в потенциальном значении).

Например, следующие финитные высказывания

"2 + 3 = 5"

"3 х 7 = 21"

"45 делится на 9"

"2 — простое число"

истинны (во всех этих случаях мы рассматриваем мир натуральных чисел), а "2 х 3 = 10" — финитное и ложное. Высказывание "Любое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел" не является финитным, поскольку предполагает бесконечное число случаев. Действительно, это равносильно "4 — сумма двух простых чисел, и 6 — сумма двух простых чисел, и 8 — сумма двух простых чисел (и так далее)".

Заметим, что "36 — сумма двух простых чисел" является финитным высказыванием. Действительно, если 36 — сумма двух простых чисел, то они обязательно меньше 36. Существует всего 11 простых чисел, меньших 36 (это 2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31), и 55 пар, которые из них можно образовать. Чтобы посмотреть, истинно ли высказывание, достаточно проверить одну за другой эти 55 пар и убедиться, даст ли какая-нибудь в сумме 36. Высказывание истинно, поскольку 36 = 5 + 31.

Напротив, для высказывания "43 является суммой или разностью трех последовательных простых чисел" тот факт, что мы говорим о сумме или разности, предполагает: задействованные простые числа могут быть настолько большими, насколько мы захотим. Поиск простых чисел потенциально бесконечен, поэтому высказывание не финитное.

Утверждение о том, что любое четное число является суммой двух простых, известно как гипотеза Гольдбаха. Он сформулировал ее в 1742 году в письме знаменитому швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707-1783).

До сих пор неизвестно, верна ли эта гипотеза. Она выполняется для большого числа четных чисел, но до сих пор никто не нашел доказательства для всех возможных случаев, так же как и не нашли примера, при котором гипотеза была бы ложной.

Итак, если мы предложим множество аксиом арифметики, то наименьшее, чего мы можем от него требовать — это способности доказать все финитные истинные высказывания. Следует заметить: во всем, что мы только что сказали, слово "истинное" связано с финитными высказываниями. В этом ограниченном контексте "истинное" и "ложное" становятся синтаксическими условиями, поскольку они проверяются механически за конечное число шагов. С точки зрения синтаксиса программа Гильберта предполагала нахождение непротиворечивого и полного множества аксиом арифметики, которое было бы способно доказать все финитные истинные высказывания. В первой теореме Гёделя о неполноте доказывается как раз то, что эта цель недостижима.

Так мы дошли до синтаксической формулировки первой теоремы Гёделя о неполноте:

если множество арифметических аксиом непротиворечиво и позволяет доказать все финитные истинные высказывания, то оно неполное, то есть существует такое высказывание G, что ни Gy ни не-G (ни одно из двух) недоказуемо. (Мы все время помним, что допускаются только доказательства, проверяемые алгоритмически.)

В этой версии теоремы появляются только синтаксические понятия ("непротиворечивый", "неполный", "высказывание" и "доказуемый"). Понятие "истинность" связано с финитными высказываниями, то есть появляется в более ограниченной, синтаксической версии.

Эту синтаксическую формулировку Гёдель представил в своей статье 1931 года, и синтаксическими также были аргументы, которые он использовал для доказательства. Далее вспомним рассмотренное в предыдущей главе доказательство и посмотрим, как его можно реализовать на основе исключительно синтаксических аргументов.

— Шаг 1. Предположим, что у нас есть непротиворечивое множество арифметических аксиом, позволяющих доказать все финитные истинные высказывания (мы не указываем на то, что это истинные высказывания, поскольку апеллируем только к синтаксическим понятиям). Нам нужно доказать, что существует такое высказывание G, что ни Gy ни не-G недоказуемы. Как мы увидели в предыдущей главе, каждому высказыванию и каждой пропозициональной функции назначается код (или число Гёделя), но сейчас мы должны подчеркнуть, что назначение происходит чисто синтаксически, на основе символов, образующих высказывание или функцию, вне зависимости от того, каково их значение. Точно так же, синтаксически, назначается код каждой последовательности высказываний и, в частности, каждому доказательству.

— Шаг 2: Гёдель доказал, что пропозициональная функция

"у — код доказательства высказывания с кодом х"

может быть представлена как арифметическое свойство, связывающее числа х и у. Кроме того, он доказал, что какими бы ни были числа n и r, высказывание

"я — код доказательства высказывания с кодом r"

всегда финитно.

— Шаг 3: Гёдель определил пропозициональную функцию

"Не существует у, которое было бы кодом доказательства высказывания с кодом х".

— Шаг 4: Гёдель определил диагональную функцию. Если n — код пропозициональной функции Р(х), то d(n) — код Р(n). Следовательно, определение диагональной функции, которое основывается на механизме назначения кодов, синтаксическое.

— Шаг 5: На основе шагов 3 и 4 метод самореференции позволил Гёделю записать высказывание G:

"Не существует у, которое было бы кодом доказательства высказывания с кодом m",

код которого — само число m.

— Шаг 6: Теперь докажем синтаксически, что G недоказуемо. Предположим, от противного, что G доказуемо.

Тогда существует доказательство G, и ему соответствует код, к примеру k. Следовательно, высказывание

"k — код доказательство высказывания с кодом m"

истинное (поскольку m — код G, a k — код доказательства G) и, кроме того, финитное, поскольку можно проверить его истинность за конечное число шагов (можно проверить алгоритмически, что k — действительно код доказательства G). Так как оно финитное и истинное, то, по гипотезе, высказывание доказуемо. Тогда одно из правил логики позволяет нам сделать вывод, что также доказуемо высказывание

"Существует у, являющееся кодом доказательства высказывания с кодом т".

Схема доказательства того, что G недоказуемо.

Мы исходим из предположения, что G доказуемо. Стрелки показывают последовательные выводы, которые получаются из этого предположения, пока мы не приходим к заключению, что отрицание G также доказуемо. Это содержит противоречие, следовательно G не может быть доказуемо.

Если сравнить последнее высказывание с тем, как мы формулировали G, оказывается ясным, что оно соответствует не-G. Получается, мы говорим, что G и не-G одновременно доказуемы. Мы пришли к противоречию. Оно возникает из предположения, что G доказуемо, следовательно делаем вывод: G недоказуемо (см. схему на предыдущей странице).

— Шаг 7: Теперь докажем, что не-G также недоказуемо. Снова сделаем это от противного. Предположим, что не-G доказуемо, и придем к противоречию. Так как множество аксиом непротиворечиво, если не-G доказуемо, то G не может быть доказуемым.

Когда мы показали, что высказывание не-G недоказуемо, мы основывались на том факте, что если для свойства Р верно

высказывание "1 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

высказывание "2 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

высказывание "3 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо

...и так далее,

то высказывание "существует некое х, удовлетворяющее свойству Р" недоказуемо. Но так ли это? Сначала рассмотрим этот вопрос семантически. Предположим, что Р — арифметическое свойство, для которого выполняется:

высказывание "1 не удовлетворяет свойству Р" истинно,

высказывание "2 не удовлетворяет свойству Р" истинно,

высказывание "3 не удовлетворяет свойству Р" истинно

...и так далее,

то есть для любого числа л справедливо, что свойство Р не выполняется. Тогда ясно, что высказывание "существует некоторый х, для которого выполняется свойство Р" ложно (поскольку мы сказали, что ни для 1, ни для 2, ни для 3 и так далее свойство не выполняется). Но оно ложно, если мы говорим о мире натуральных чисел, и может быть истинным, когда говорим о другом мире. Например, если свойство Р — это "х² = 2", а мы говорим о мире чисел, образованных на основе √2, то для 1 свойство не выполняется, как и для 2, 3 и так далее. Но для √2 свойство Р выполняется. Что же происходите синтаксической точки зрения? Рассмотрим снова свойство Р, но теперь предположим, что:

"1 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

"2 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

"3 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо

...и так далее.

Верно ли, что "существует некоторое х, которое удовлетворяет свойству Р" недоказуемо? Поскольку в некоторых мирах это истинно, мы не можем точно утверждать, что это никогда не будет доказуемо. В доказательстве того, что не-G недоказуемо, имеется логический пробел, поскольку мы не можем утверждать, что это высказывание не окажется доказуемым. Чтобы справиться с этой проблемой, Гёдель ввел синтаксическое понятие омега-непротиворечивости. Множество аксиом омега-непротиворечиво, если притом что каждое из высказываний "1 не удовлетворяет свойству Р", "2 не удовлетворяет свойству Р", и так далее доказуемо, "существует некоторый х, который удовлетворяет свойству Р" недоказуемо (в какой-то степени это синтаксически вынуждает считать, что мы имеем в виду мир натуральных чисел). Следовательно, в начало синтаксического изложения первой теоремы Гёделя, где говорится, что множество аксиом непротиворечиво, следовало бы добавить "омега-непротиворечиво".

К счастью, в 1936 году американский логик Джон Б. Россер в статье объемом всего две страницы изменил рассуждение Гёделя так, чтобы оно было справедливо и при гипотезе непротиворечивости. Благодаря Россеру в изложении теоремы Гёделя можно опустить упоминание омега-непротиворечивости, и она может быть записана в том виде, в каком мы привели ее в тексте. Изменение, внесенное Россером в рассуждение Гёделя, состояло в том, чтобы заменить самореферетное высказывание "это высказывание недоказуемо" другим: "если это высказывание доказуемо, то также доказуемо и его отрицание".

Это означает, что не существует доказательства G; следовательно, ни одно число не является кодом доказательства G: число 1 — не код доказательства G, так же как 2,3 и так далее.

Получается, что высказывания

"1 — не код доказательства высказывания с кодом m",

"2 — не код доказательства высказывания с кодом m", "k — не под доказательства высказывания с кодом т" и так далее являются финитными истинными высказываниями. Раз они финитные и истинные, они доказуемы. Следовательно,

"существует у, являющееся кодом доказательства высказывания с кодом m" недоказуемо. Но это высказывание — не-G, следовательно, не-G не будет доказуемым; однако это противоречит предположению того, что не-G доказуемо. От противного получили, что не-G в итоге недоказуемо (см. схему).

Итак, синтаксически доказано, что как G, так и не-G, ни одно из двух, недоказуемо. Таким образом, доказательство первой теоремы о неполноте может быть полностью переведено в синтаксические аргументы и понятия, как этого требует программа Гильберта. Этот способ представления доказательства, основанный исключительно на синтаксических аргументах, проверяемых механически, спас от любых споров.

В программе Гильберта требовалось, как мы уже сказали, найти непротиворечивое множество аксиом арифметики таким образом, чтобы каждое высказывание Р (либо его отрицание) было доказуемым. Но также требовалось, чтобы непротиворечивость этих аксиом проверялась алгоритмически, — это придавало уверенности, что аксиомы не приведут к парадоксу. В своей статье 1931 года Гёдель доказал вторую теорему, так называемую вторую теорему о неполноте. В ней доказывается, что эта цель также неосуществима.

Эта теорема часто формулируется следующим образом:

ни одно непротиворечивое множество аксиом не содержит арифметики, достаточной для того, чтобы доказать свою собственную непротиворечивость.

В выражении "содержит арифметики, достаточной..." речь идет об уже упомянутом условии того, что множество аксиом, о котором мы говорим, способно доказать все финитные истинные высказывания. Но как же может множество доказать или не доказать собственную непротиворечивость? Для начала арифметические аксиомы позволяют доказать только те высказывания, в которых говорится о числах, но не такие, в которых говорится о непротиворечивости множества аксиом. Мы уже сталкивались с подобной проблемой в предыдущей главе, когда хотели записать арифметическое высказывание, которое говорило бы о себе самом. Как добиться того, чтобы арифметическое высказывание, в котором говорится о числах, начало говорить о самом себе? Способом достижения этого была идентификация высказываний с помощью их кодов, так чтобы разговор о высказывании был равносилен разговору о его коде.

Для доказательства непротиворечивости аксиом арифметики необходим прямой метод.

Давид Гильберт на инаугурационном докладе на Втором Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году

В нашем случае, когда мы хотим записать арифметическое высказывание, в котором говорилось бы о непротиворечивости множества аксиом, нумерация Гёделя снова приходит нам на помощь.

Как уже говорилось, если множество аксиом противоречиво, то любое высказывание доказуемо на его основе. Наоборот, если множество непротиворечиво, всегда найдется высказывание, являющееся недоказуемым (поскольку для любого Р либо оно, либо его отрицание, по крайней мере одно из двух, недоказуемо). Следовательно, непротиворечивость множества аксиом равносильна тому, что есть по крайней мере одно высказывание, которое не является доказуемым на его основе. То, что система непротиворечива, равносильно следующему:

"существует некоторое высказывание, не являющееся доказуемым".

Вновь возьмем гипотетический пример из предыдущей главы, в котором мы предположили, что всем высказываниям соответствуют коды, являющиеся простыми числами, а доказуемым высказываниям, в частности, соответствуют простые числа, являющиеся суммой или разностью трех последовательных простых чисел. В данном контексте в предыдущем высказывании утверждалось бы, что "существует некоторое простое число, не являющееся суммой или разностью трех последовательных простых чисел", что на другом уровне прочтения означало бы: "существует код высказывания, не являющийся кодом доказуемого высказывания", то есть "существует недоказуемое высказывание" или "множество аксиом непротиворечиво".

У нас есть два уровня прочтения для "существует некоторое простое число, не являющееся суммой или разностью трех последовательных простых чисел": арифметический, где указывается только арифметическое свойство; и более высокий уровень прочтения, зависящий от нумерации Гёделя, на котором заявляется непротиворечивость множества аксиом. Теперь сформулируем вторую теорему о неполноте:

если система арифметических аксиом непротиворечива и может доказать все финитные истинные высказывания, то арифметическое высказывание, в котором утверждается непротиворечивость множества аксиом, недоказуемо на основе этих же аксиом.

Прокомментируем идею доказательства этой теоремы, как это сделал Гёдель в статье 1931 года. В своей первой теореме о неполноте Гёдель доказывает, что:

если множество аксиом непротиворечиво, то G недоказуемо.

Заметим, что высказывание, в котором говорится: "G недоказуемо", — это само G. То есть G = "G недоказуемо". Следовательно, в предыдущее утверждение, в котором говорится: "G недоказуемо", можно просто поставить G. Или, что то же самое, в своей первой теореме Гёдель доказал:

если множество аксиом непротиворечиво, то справедливо G.

Итак, если доказать, что система аксиом непротиворечива, то высказывание "если множество аксиом непротиворечиво, то справедливо G" будет доказуемым. То есть "если множество аксиом непротиворечиво, то справедливо G" доказуемо, тогда доказуемо "множество аксиом непротиворечиво".

Тогда, по правилу вывода, G тоже доказуемо. Это абсурд, поскольку мы уже доказали, что G недоказуемо. Делаем вывод, что "множество аксиом непротиворечиво" недоказуемо на основе аксиом (см. схему).

В последней главе мы рассмотрим некоторые философские следствия обеих теорем Гёделя о неполноте.