Живая математика. Нематематическая книга о вдохновении, науке, образовании и жизни

Зачем нужна математика?

Есть такой анекдот. В школе на уроке математики учитель что-то пишет на доске, а ученик поднимает руку и спрашивает: «Игорь Иванович, а мне разве пригодится вся эта ваша математика?» На что преподаватель отвечает: «Нет, она пригодится только умным детям».

Зачем нужна математика, если есть компьютеры и калькуляторы? В ответ на этот вопрос я могу сказать: «Зачем человеку ноги, если есть автомобиль?»

Ты ведь не будешь ездить на машине по квартире. И даже если припаркуешь автомобиль возле самого подъезда, то к нему всё равно придется спускаться пешком. То есть от ног пока рано отказываться.

Но математика нужна в случае, если есть компьютеры, гораздо сильнее, чем нужны ноги в случае, если есть машины. Ведь максимум, что сможет компьютер, — это проверять доказательства, написанные на формальном языке. Он не способен придумывать что-то новое. Компьютер выполняет лишь то, что ты ему скажешь, а вот что именно ему сказать, зависит уже целиком и полностью от тебя.

Искусственный интеллект никогда не будет заменой человеческому интеллекту. Я исхожу из идеалистического понимания, что сознание в человеке нематериально; соответственно, его можно сымитировать, но его нельзя создать внутри машины.

Если ты полагаешься на компьютер и демонстративно не учишь математику, то ты не сможешь извлечь из компьютера никакой пользы. Ты включишь монитор и будешь как баран пялиться во все эти цифры, пытаясь понять, что они означают.

Хотите быть банановой республикой — вперёд, закройте космическую программу, инженерную. Объявите, что Россия как самостоятельная культурная сущность не существует, адаптирует чужие форматы, будет поставлять только нефть и газ, не будет рыпаться никуда.

А если мы хотим быть страной-цивилизацией, то нам надо много и усердно учиться. Любая учёба начинается с таблицы умножения, так было и будет всегда. Поэтому, в частности, предложение разрешить калькуляторы во время сдачи ОГЭ, которое даст возможность школьникам не учить таблицу умножения, несовместимо с новыми государственными задачами.

Математика, вне зависимости от того, есть ли компьютеры, это упражнение для мозга. Математика позволяет держать мозг человека в тонусе. Извлечь пользу из компьютерных баз, из любых программ, вообще из любой информации, которая оттуда поступает, невозможно без входного барьера, без математического центра в голове, если так можно выразиться. Математика нужна для того, чтобы обработать поток информации, который ты получаешь, чтобы структурировать его и понять.

Конечно, если ты хочешь жить без математики, то честно себе это и скажи. Тогда тебе и калькулятор не нужен: тебя всё равно облапошат в любом магазине. Потому что ты будешь путаться в результатах, выданных устройством, и не понимать, что к чему.

Митрополит Филипп Колычев, святитель наш, пятьсот лет назад сказал: «Если ты не святой, то будь образованным». Имелось в виду, что только святой может игнорировать знания, накопленные человечеством.

Спустя полтысячи лет я бы перефразировал это высказывание: «Если ты не святой, то изволь попробовать понять математику. Не получилось? Тогда будь образован во всех остальных областях. Но если получилось с математикой, то получится с любой сферой знаний».

Приведу в пример Тёму Лебедева, который раньше говорил о том, что математика ему не нужна. Говорил он это до тех пор, пока мы не встретились, и я не показал ему математические красоты. После этого Тёма пригласил меня к себе в студию, чтобы я прочитал лекцию сорока дизайнерам. Он сказал, что видит, как математика может перестроить мышление и дать новые дизайнерские образы.

Можно ли прожить без математики? Конечно. Женщина вообще может спокойно выйти замуж и жить без образования.

Но, опять же, возьмём среднестатистическую женщину. Она вышла замуж, домохозяйка, воспитывает детей. Но если у неё нет математического образования, она всё будет делать неэффективно. Как развезти детей по кружкам, как организовать все процессы? Моя жена каждый день решает огромное количество таких задач. И очевидно, что математическая подготовка, которую она получила на матфаке Иркутского госуниверситета, ей, безусловно, помогает.

Что касается меня, то я очень хорошо рассчитываю своё время. Постоянно вижу людей, которые опаздывают или назначают дел больше, чем могут сделать. А мне математика позволяет максимально структурировать свой день, хотя и у меня бывают ошибки.

У меня сейчас десять (а было одиннадцать) мест работы, постоянные съёмки и лекции. То и дело что-то ломается. Особенно в отношениях между людьми. Мне приходится много ездить. Держу пари, что не математик, который хорошо знает Москву, не построит оптимальный маршрут между десятью пунктами. Я в Москве решаю задачу коммивояжёра. Курьер с хорошим знанием математики будет зарабатывать в два раза больше курьера без этого знания.

Математика может сделать жизнь людей проще и лучше. Если бы больше людей интересовалось этой наукой, то многие бытовые проблемы решались бы быстрее. Например, на днях я видел дикую давку в метро. Просто потому, что неправильно поставили заграждения. Да что метро! Даже обычный кулинарный рецепт уже представляет собой трехмерную геометрию (по координатам «белки́», «жиры» и «углеводы»), а кубик Рубика — это группа вращений.

Без математического образования, грубо говоря, с человеком о математике говорить бесполезно. Как и о чем-то оптимизационном. Человек, у которого нет математического образования, не способен долго поддерживать на высоком интеллектуальном уровне разговор об оптимизации чего бы то ни было.

Я считаю, что математика — это язык Бога. Он дал нам его, чтобы мы могли обустроить жизнь более-менее прилично. Человечество вышло из пещеры, переселилось в удобные здания — всё это произошло благодаря математике. Ведь почему стена не падает? Это объясняет «сопромат» — чистая математика.

Быть умным — это теперь ещё и, вульгарно говоря, «сексуально». Хорошо об этом рассказано у Виктора Пелевина в романе «Тайные виды на гору Фудзи». Героиня, смазливая девчонка, не восприняла всерьёз ухаживания парня-ботаника. А тот потом стал миллиардером. «Блин, естественный отбор, заложенный в нас, опоздал на 10 000 лет!» — с горечью говорила потом героиня этого романа.

Общество развивается, становится технологическим, поэтому этот тренд не теряет свою актуальность. Ум — это новые мускулы в современном мире. Конкурентное преимущество теперь получают индивиды с высоким IQ (если, конечно, эта мера что-то отражает). И сообразительные девчонки всегда знают, на кого смотреть, а в последние годы этот тренд еще сильней, потому что математика проникает буквально во все сферы нашей жизни.

Сегодняшний цифровой мир весь построен на этой науке. Например, если вы приходите в магазин с карточкой, набираете пароль, то пройдёт ли оплата и останутся ли ваши деньги надёжно защищёнными, зависит от системы, которая функционирует на основе шифров — это довольно сложный математический аппарат, построенный на эллиптических кривых. В школе этот раздел, конечно же, не изучают, необходима специальная подготовка для того, чтобы в этом разобраться.

Думаю, математику стоит изучать и тем, кто уже получил среднее и даже высшее образование. Занимаясь ею, человек прогрессирует на всех направлениях. Люди, в том числе образованные, часто ломаются на вопросе о цели их жизни, об их предназначении. Математика дает серьёзное расширение кругозора и тем самым запускает механизм решения этого вопроса. В конце концов, Господу нужны интересные собеседники.

Где не нужна математика?

Есть вещи, которые нельзя объяснить математически, — например, сознание человека. Математика не может описать никаких духовных процессов, не может описать религию. Невозможно математически просчитать человеческое мышление или фантазию. Суть в том, что это нематериальные вещи.

В область социально-экономических процессов математика, конечно, приглашается, но не очень там работает. Чуть глубже копнёшь, например, в каких-то политических процессах — и математика уже не столь полезна, потому что появляется такое количество факторов, влияющих на ситуацию и неконтролируемых, что модель рассыпается у тебя в руках. В итоге всё упирается в волю конкретного человека, а её просчитать нельзя.

Математика не способна предсказать, как пойдёт наш разговор. Или как пройдёт какое-то событие. Например, готовишься к лекции, а она потом идёт своим путём. Это вещи совершенно хаотичные — и, по-моему, это прекрасно. Я бы не стал по этому поводу сокрушаться, не стал бы стремиться к математизации всего и вся.

У меня профессиональный опыт в области теории игр, и поэтому я знаю, что можно пытаться математически моделировать социальные процессы, политические процессы, общественные явления, но эти модели будут описывать жизнь максимум на тройку. Я это знаю и с этим мирюсь: на тройку — это же не на двойку!

Многоэтажная сложность математики

Математика — самая сложная из всех существующих наук. Механизм этой сложности я сейчас попробую вскрыть. Дело в том, что математика похожа на многоэтажное здание. Если ты не освоил предыдущий этаж, то следующий этаж тебе уже в принципе не будет доступен, и все остальные этажи тем более.

На первом этаже математики находится абстракция числа. Когда ты говоришь трёхлетнему ребёнку: «У тебя было три апельсина, я прибавил два яблока. Сколько фруктов стало?» — то, слушая ответ, уже в принципе можно понять степень его склонности к математике. Если ребёнок, не задумываясь, говорит «пять», значит, абстрактное мышление у него развито достаточно хорошо, чтобы он не замечал, что он апельсины на самом деле складывал с яблоками. А если начинается какая-то рефлексия: мол, нельзя апельсины складывать с яблоками, то перед нами либо гениальный физик, который будет заниматься размерностями величин, либо человек гуманитарного склада ума, которому сложно абстрагироваться от реальных объектов к их количествам.

Первый этаж изучается в первых четырех классах школы. Это сложение, вычитание, умножение, деление абстрактных чисел.

Следующий этаж — свободное оперирование иксами, игреками и вообще уравнениями. Когда тебе задали уравнение, а ты не рефлексируешь, что означают эти страшные буковки, которые принадлежат какому-то множеству, а просто приступаешь к решению уравнения. Это всё еще школьная алгебра (но уже, увы, доступная не всем).

А вот третий этаж — это уже абстрактные понятия типа «группа», «кольцо», «модуль», «поле» и многие другие. Всё это в школе объяснить нельзя, разве что в хорошей математической школе, и то в конце обучения. Но в целом это уже материал университетской алгебры.

А дальше есть ещё несколько этажей. Лично я где-то на третьем этаже остановился. Поэтому я и не могу сказать, сколько их там, выше меня, но несколько точно имеется (теория гомологий как четвёртый этаж, а затем ещё весь этот язык категорий и функторов — на пятом этаже — то есть как минимум ещё два этажа!).

Я дошел в своём постижении математики примерно до рубежа XIX–XX веков: то, что было до этого, я понимаю, а вот того, что сделано в математике в XX веке, уже в целом — нет.

Все остальные науки, с которыми я знакомился, устроены совершенно по-другому. Они начинаются с определённого входного порога, а потом ты бегаешь туда-сюда сколько угодно, погружаешься в более сложную тему, возвращаешься к более простой. Стоит пройти входной порог, и ты уже представитель этой области знания. Слушаешь доклады, читаешь статьи и понимаешь, о чём они повествуют.

Например, в условной биологии все происходит так. Нижний этаж у всех общий. А дальше вот это изучил немножко, вот здесь немножко… И у тебя возникает такое общее поле понимания биологии. Ты широко понимаешь её, но можешь отдельно каждую комнату изучить: они все на втором этаже, примерно на одном уровне по сложности. Биолог, который занимается генетикой мышей, может ничего не понимать про растения, и он при этом будет хорошо разбираться в своей области.

В математике так нельзя. Грамотный математик не может не знать всех этажей, хотя бы 3–4 первых из них. И если ты попробуешь зайти на доклад этажом выше своего, то будешь ощущать себя просто непроходимым болваном. Либо тебе покажется, что ты попал на урок китайского языка, потому что не будет понятно ни единого слова.

В общем, математика действительно сложная наука, и её сложность многоэтажна. Это наука для избранных людей. Каждый человек уже при рождении получает возможность дотянуться только до определенного этажа. Выше он не сможет «залезть» ни при каких стараниях, даже если поставит это себе жизненной целью.

Вот почему обычную биологию или химию можно вести для всего класса приблизительно с одинаковой скоростью. Если кто-то занимается быстрее, ему просто дают несколько дополнительных заданий. В математике такой номер не проходит от слова «совсем».

Потому что в любом классе будут те, кто за минуту схватывает материал, и те, кто даже за весь урок не смогут его понять. И эта проблема методически почти непреодолимая.

Это просто факт нашей жизни, и с ним надо жить. Проблема решается только тогда, когда в отдельные классы отбирают суперспособных детей и занимаются с ними по особой программе. Страна не может себе позволить не учить своих гениев, иначе она потеряет конкурентоспособность. Но и всех остальных надо тоже учить — иначе возникнет (к чему всё и идёт в настоящее время) сильнейшая сегрегация!

Математика, в отличие от других наук, развивалась 3000 лет без поворотов назад. Не так, как физика: эта теория неправильная, будет теперь новая. Физика не точная наука, в ней нет логики, как в математике. Это хорошая, добротная приближенная наука. А единожды установленная математическая истина не может быть опровергнута, потому что она базируется на принципах логики. Это что-то вне нас, выше всего человечества целиком.

Математика — это кристальное знание как таковое. Всё сложное, что есть в устройстве мира, находится в ней. Математика сложная ровно потому, что мир, в котором мы живём, очень сложный, вот и всё. Видимо, именно таков и был Божий замысел на наш мир!

Можно ли сделать математику интересной для всех?

Точные науки уже сейчас становятся интересны для многих людей. Я вижу, что в соцсетях вирусятся посты с математическими задачами, а в сериалах у героев-суперагентов появляются напарники-учёные. Набирают популярность блоги и YouTube-каналы физиков и математиков, и научно-популярная литература лидирует в списках бестселлеров.

Видимо, до людей дошло, что математика заправляет всеми сферами деятельности, что всё вокруг, связанное с техническими и цифровыми устройствами, базируется на математике. Вот, например, у Росатома есть ИЦАО — информационный центр атомной отрасли, с которым я сотрудничаю. Это очень серьёзная, продуманная, фантастически эффективная организация. Я езжу по стране с лекциями, и на них приходят люди, зачастую совершенно не имеющие отношения к Росатому, которым вроде бы мои выступления совсем не нужны. Но им интересно. У людей есть какое-то количество времени, кроме работы, которое нужно чем-то занять. И хорошо, что они решают распорядиться им так, а не иначе.

Есть такое сообщество теоретиков, изобретателей и испытателей «Суровый технарь», у которого 275 тысяч подписчиков. Ведь это жутко востребовано сегодня. Время, когда все шли в экономисты, ушло. Сейчас мы возвращаемся к тем представлениям из Советского Союза, согласно которым инженеры, технари — это круто.

В России сейчас формируются ведущие инженерные школы, и это очень правильная идея. Для чего вообще инженерам и людям технических профессий нужно знание математики? Это всё равно что спросить, зачем тебе еда. Да потому что это — БАЗА. Математика зашита вообще всюду, просто везде, в любом алгоритме.

Всё, что связано с инженерией, основано на системах дифференциальных уравнений. А как можно написать систему дифференциальных уравнений, если не знаешь, что такое производная? А если ты хочешь узнать, что такое производная, но в таблице умножения ошибаешься, то тебя тоже ждет провал. А чтобы работать с программным обеспечением, надо знать, что в нём зашито. Иначе ты поставишь в какой-нибудь ракете что-нибудь вниз головой, и оно взорвётся через пять минут после старта.

Нигде ничего без понимания сделать нельзя, а понимание — это и есть математика. Это когда ты воспринимаешь числа грамотно, понимаешь, откуда взялись те или иные числа, а они всегда берутся из математики, из каких-то формул и уравнений.

Но если ты не знаешь математику, ни одно из уравнений ты не поймёшь. Для тебя это будет абракадабра, набор букв X и Y. И наоборот: если программист знает математику, он вместо программного кода из трехсот слов напишет код на пятьдесят, и программное обеспечение будет работать отлаженно, как часы.

Математика и гуманитарии

С техническими профессиями понятно, но вот зачем математика гуманитариям? Давайте разберемся в терминах. Гуманитарий — это не тот, кто математически туп, а тот, кто чу́ток к эмоциональной сфере. Среди людей, склонных к истории, языкам, литературе, есть и те, кто способен к математике.

Это стандартная ошибка — думать, что гуманитарии ничего не понимают в математике, зато хорошо знают историю и литературу, а математики ничего не понимают в истории и литературе, зато хорошо знают математику. Это неверное противопоставление. Оно началось в Советском Союзе, его не было в царской империи. До революции не противопоставляли. Люди были грамотные, всесторонне развитые, либо неграмотные и некультурные.

Когда мы смотрим на произведения ученых XIX века и более раннего времени, то видим, что каждый из них был чрезвычайно одарен и в гуманитарных, и в точных науках. Это искусственное разделение на «физиков» и «лириков», видимо, связано с тем, что огромный запас знаний, который появился, уже не мог быть целиком охвачен одним человеком, и его стали делить на условные области.

Я не уверен, что я вообще верю в разделение на математиков и гуманитариев. Да, действительно, существуют два совершенно разных вида исследования реальности. Но в том, что одни люди более способны к одному виду, а другие к другому, я сомневаюсь. Потому что в математике на высоком уровне огромную роль играет гуманитарная составляющая. Угадывание, наитие, какие-то гениальные прозрения — то, что важно при написании картин или создании музыки, так же важно и в математике. Человек действительно высочайших способностей не может не быть гуманитарно одарённым, иначе он бы не стал гением и в математике.

Вот нынче идут споры о политике. Казалось бы, при чем здесь математика? Но при детальном изучении ситуации ясно, что у людей, незнакомых с азами математики, в голове не мнение, а «каша». Они ни на чём не могут сфокусироваться, перепрыгивают с одной аргументации (беспорядочной и зачастую противоречивой) на другую. А у человека, понимающего математику, в голове порядок, всё расставлено по местам, «разложено по полочкам». Он свою позицию прорабатывает, на мякине его не проведешь. Итак, незнание математики грозит кашей в голове.

Гуманитариев нужно учить красивой математике — картинки, картинки и ещё раз картинки. Но эти картинки сразу должны заставлять работать головой: думать, сопоставлять, сравнивать и делать выводы. Не просто созерцать красивые математические построения, а быть их активным со-устроителем, видеть, с какой целью делается то или иное построение, понимать простые логические переходы.

Затем, на следующей стадии, можно уже переходить к абстрактным понятиям и терминам. Как ни странно, они лучше даются гуманитариям, нежели прожжённым и упёртым технарям! Вполне можно порешать разные Диофантовы уравнения, поговорить о комплексных числах, о числовых системах (кольцах, полях) и о том, как они помогают в решении задач. Вполне доступен уже на ранних стадиях постижения математики анализ задач на построение, что можно и что нельзя построить циркулем и линейкой. Вообще, я бы посоветовал любому гуманитарию освоить книгу Куранта и Роббинса «Что такое математика».

В Университете Дмитрия Пожарского я преподавал курс «Математика для гуманитариев». К нам приходили взрослые уже люди, многие сделали успешную карьеру, и они точно все были очень талантливы. Но никто из них никогда серьёзно математикой не занимался, а школьный курс либо не знал, либо забыл.

И я заметил, что на первом же занятии они распадаются на две существенно разные по способностям группы. Среди них есть люди с явными способностями к математике — их сразу видно, они моментально схватывают материал и оставшееся время зевают. И есть те, кто по полчаса не может ничего понять.

Можно сказать, бывает математика для всех, а бывает математика для гуманитариев. Причём первая из них значительно проще, чем вторая. Гуманитарию математика очень нужна, потому что он должен быть всесторонне развитым человеком. И математик, если он не гений, тоже должен быть знаком с основными гуманитарными «дискурсами».

Гуманитарный склад ума совершенно не противоречит тому, что человек может понять математику. Просто он будет на неё по-другому смотреть. Может быть, вначале ему зайдёт геометрия, но потом, через неё, он поймёт и формулы. У него будет свой путь погружения в математику — если он захочет, конечно, в неё погружаться.

Известен случай, когда гуманитарий решил сложную задачу, с которой не могли справиться математики. Это Обри де Грей, пятидесятичетырёхлетний англичанин, геронтолог. Он продвинулся в проблеме хроматического числа плоскости: сколько цветов нужно, чтобы можно было всю бесконечную плоскость раскрасить так, чтобы на фиксированном расстоянии всегда были разноцветные точки. Было известно, что трёх цветов недостаточно, нужно от четырёх до семи цветов. Но точную цифру никто не знал.

И Обри де Грей в 2018 году неожиданно улучшил нижнюю оценку в этой задаче! Он доказал, что четырёх цветов будет недостаточно, построив безумный граф на 1585 вершинах. Мы все были в полном афиге, если говорить прилично. Ещё известен случай с американской домохозяйкой. Она находила новые виды пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Правда, у неё все же было математическое образование.

Если гуманитарий может постичь математику, то и математик может стать знатоком истории. Я, например, полюбил историю лет в тридцать пять, и мне её не хватает, я сейчас читаю много книг на эту тему. Но не только исторических. Сейчас, будучи уже в возрасте, я начал укреплять свою гуманитарную часть.

Мне вообще кажется, что математика — дело молодых, а гуманитарные науки, интерес к ним проявляется ближе к возрасту в сорок-пятьдесят лет. Тем не менее зачастую ученики в старших классах школы часто выбирают для изучения гуманитарные предметы. Но не потому, что им не нравится математика, а потому, что они её не поняли. Это можно признать как неснимаемую проблему.

Популяризация против сакральности

Популяризация науки важна, потому что это один из способов компенсировать развал массового образования. На науку в настоящее время очень большой спрос, а доступна она для понимания буквально единицам. В результате у нас многомиллионный кадровый голод. На долгом горизонте нужны кардинальные решения, восстановление добротной народной школы, но что делать прямо сейчас? Ответ: популяризовать математику и другие науки на ту аудиторию, которая сама к этому стремится.

Как в интернете, так и в реале люди стали тянуться к популярным лекциям, на которых доступным языком раскрываются достаточно сложные понятия. Вот я и есть один из тех, кто старается просто и понятно донести математику до как можно бо́льшего числа людей.

Говорят, математическое знание сакрально. Мы специально придумали такой язык, где вместо перестановочного закона — коммутативность, вместо дробей — рациональные числа. Это нужно для того, чтобы порог входа был высокий. Я полностью снимаю это барьер в своих лекциях и показываю, что до великих математических достижений может добраться любой интересующийся и готовый работать головой слушатель.

«Проповедуя» математику, я хочу открыть её для тех, кто думает, что это какие-то непонятные заклинания, которыми его замучили на уроках. Я хочу, чтобы все поняли: наоборот, математика — это глубокая по смыслу и содержанию наука. В ней есть свой язык, свои коды. Но за этим языком, кроме букв, стоят идеи, какие-то приводные ремни. И эти приводные ремни красивы; иногда, например, в геометрии, их можно даже изобразить. В алгебре всё не так просто, там ты не визуализируешь основные идеи, но, когда ты в неё проник, она сама рисует их в твоей голове. И те, кто не знал, что они математики, вдруг оказываются очень способными к точным наукам.

Ректор Адыгейского государственного университета Дауд Мамий как-то спросил, наполовину в шутку, наполовину всерьёз: пробовал ли я в электричке читать лекции по математике. Не пробовал. Но у меня был негативный опыт, и вывод из него такой: просто так заинтересовать на улице людей математикой не получится. Никто не слушает — и всё. Не вдохновляется и не зажигается. Человек должен быть хотя бы немного готов сам.

Вот почему я люблю выступать перед учениками математических школ: они все хорошо знают школьный материал и готовы к взлёту. Эту аудиторию я обожаю, но езжу не только к ним. Время от времени я приезжаю в обычные, не математические школы, и тогда я вижу ребят, у которых прямо во время лекции вдруг проснулся интерес.

Как правило, бывает так. На уроке, допустим, присутствует 70 человек. Кто-то сидит просто из вежливости, ждёт, когда всё закончится. Кто-то думает: «Как сложно, красиво, жалко, что я не понимаю, что здесь нарисовано». А ещё человек десять-пятнадцать сидят и видят, что, в принципе, это они понять могут. Может быть, не прямо сейчас, но дома они сядут и восстановят детали рассуждений. И вот такие ребята — они подтягиваются, участвуют в олимпиадах, они наполнены внутренним драйвом, они идут к математике.

Математическое образование подходит не всем. Но мой проект «Сто уроков математики» и не рассчитан на всех. Я понимаю, что охватить можно не более 5–10 процентов школьников и не более 1–2 процентов взрослого населения. То есть проект в определённой степени элитарный, не массовый. Он — для избранных, но избранных не по материальному статусу или социальному положению, а для тех, кто чувствует в себе зов к математике. Любой человек, услышавший этот зов, независимо от возраста и рода деятельности, может воспользоваться моим курсом и существенно повысить уровень своих знаний.

Казалось бы, популяризация науки в нашей стране расцветает, всё больше детей и взрослых посещают научно-популярные лекции, фестивали науки. Но, несмотря на всю жажду знаний у людей, качество науки пока не возрастает.

Дело в том, что тут есть некоторый «отложенный эффект». Когда вы популяризируете школьникам ту или иную науку, больше ребят выберут именно эту специальность. А спустя двадцать лет они станут взрослыми учёными и смогут внести свой вклад в науку.

То есть сегодня мы рассказываем пятиклассникам или семиклассникам о науке и её самых известных достижениях, а через 20 лет мы обнаружим, что стало очень много новых талантливых учёных. Получается, что качество науки обязательно повысится, хотя и в отдалённом будущем. Впрочем, для этого нужно, чтобы государство создало наконец молодым учёным нормальные условия для работы в России — иначе они могут уехать.

Мне важно снизить порог входа в математику, ведь тогда вместо тысячи человек в профессию придут десять тысяч. Тем скорее появится новый Перельман, который докажет новую теорему.

Заменит ли популяризатор учителя?

Часто слышу: «Вы объясняете математику лучше, чем школьный учитель». И отсюда следует неизбежный, по мнению собеседника, вывод: что популяризатор науки сможет заменить настоящего учителя.

Ни в коем случае не сможет. Это невозможно. Перед учителем стоит конкретная задача — обучить за год определённым приёмам как можно большее количество школьников. Он должен дать всему классу добротную базу.

В 50–60-е годы математическое образование у нас было не просто самым лучшим на свете, оно было на голову выше всего мира. И этот феномен до сих пор не перестает удивлять, поражать. Люди пытаются понять — а как к этому можно вернуться? Как это сделать?

Ответ очень прост — добросовестный живой учитель. Да, строгий, да, муштрует. Но он знает предмет, и его миссия — научить. И этого учителя никогда не заменит никакой популяризатор, никакие картинки, никакие завлекаловки или даже целые онлайн-курсы.

Но если я провёл занятия у нескольких классов, то они потом своего учителя будут слушать лучше, у них откроются глаза. То есть ни в коем случае нельзя меня и учителей противопоставлять. Я делаю всё это в интернете вовсе не для того, чтобы заменить учителя. Наоборот — я хочу ему помочь.

Я не хочу, чтобы моя известность была за счёт кого-то. То, что я делаю, должно идти на пользу всем учителям.

Как узнать, станет ли ребёнок математиком?

Часто родители не могут определиться, гуманитарий их ребёнок или математик. На самом деле вопрос в том, чем ему самому хочется заниматься. Он должен сам выбрать свою «индивидуальную траекторию», решить, что ему больше нравится — история или математика.

Есть такая вечная тема для спора: математиками рождаются или становятся? На мой взгляд, математиками рождаются. И связано это как раз таки не со способностями, математическими или гуманитарными, а с тем, что человеку интересно. Ты замечаешь что-то про наш мир и думаешь об этом именно в направлении математики. А кто-то другой думает в направлении физики, химии или биологии. То есть рождаются людьми, имеющими склонность задавать те или иные вопросы.

Но к математике, наверное, врождённые способности существуют. Не исключено даже, что они передаются по наследству. Но это очень сложный вопрос, и я не уверен в своих словах на сто процентов.

Есть ли у ребёнка математические способности? Оценка тут не показатель. Пятерки по математике означают, что у человека есть способности к быстрому копированию, умение производить действия по заданному шаблону. Это навыки подражания, к математике они не имеют отношения. Математика — это творчество, способность придумать решение самостоятельно, умение мыслить вне заданных шаблонов.

Примерно в четвертом-пятом классе становится понятно, есть ли у ребёнка способности к математике. Иногда даже раньше: например, мой старший сын Миша, который способнее меня, в четыре года уже перемножал числа. Когда ему предлагали сложить 50 апельсинов и 24 яблока, он не спрашивал, зачем апельсины и яблоки, — просто 50 плюс 24. В то же время многие дети не понимают, как можно апельсины с яблоками складывать — это же разные вещи. Выше я уже говорил о таком способе мышления.

Вообще, главный признак того, что склонности к математике, скорее всего, нет, это быстрая потеря интереса. Если дошкольник может заниматься математикой 10–15 минут, то можно предполагать, что способности у него есть, и нужно наблюдать за ним дальше.

Заставлять ли учиться математике?

Порой родители хотят, чтобы ребёнок занимался математикой, даже если они видят, что у него нет особых способностей, аргументируя свое желание так: «Пусть развивается».

Да, математика действительно прокачивает мозги. Но родители должны понимать: если способностей нет, то ребёнок продвинется только до своего предела. В принципе, это тоже хорошо и полезно. Но зачем его мучить? Прокачать мозги можно и в гуманитарных науках. В научном мире тому великое множество примеров.

Не уверен, что заставлять через «не хочу» — это правильная тактика. Я никого из своих детей никогда не принуждал к математике. Наоборот, сыну Мишеньке я всегда говорил: «Главное — не перенапрягись». Но он каждое воскресенье всё равно участвовал в двух-трех олимпиадах. Это было его желание, а не моё!

Дочь Света (сейчас она в математическом классе школы № 444) уже в семь лет свободно оперировала в рамках целых чисел: без труда вычитала из пяти семь и получала минус два. Площади, длины, квадраты — со всем этим легко она справлялась.

И тут важно уточнить: всё это она делала, когда у неё было настроение. Насильно заставить ребёнка заниматься в таком возрасте нельзя. Можно, конечно, действовать подкупом, например в обмен на сладости, игрушки или что-то еще, но я не сторонник таких способов.

Обычно математические способности проявляются лет в 11, но с пяти-шести лет уже можно заниматься с ребенком, сильно его не напрягая. Хотя есть и «избранные» дети, про которых можно сказать, что они «родились математиками». Например, Дима Захаров из московской школы № 179. В девятом классе он уже писал научную статью, улучшив результат Эрдёша в задаче Данцера и Грюнбаума.

Таким ребятам не нужны олимпиады, им неинтересна эта игра. Олимпиады — это спорт. А математика — призвание. Иногда, впрочем, и через спорт приходят к призванию.

Я не противник олимпиад, они хорошо прокачивают мозг. Я лишь против того, чтобы оценивать детей только по успехам в олимпиадах, и против того, чтобы к олимпиадам как-то серьёзно готовиться. Но если ребёнку это нравится — нет проблем, пусть балуется!

Убеждён, что человек, который увлечён чем-то, не нуждается в соревновании. Это верно по отношению к любой деятельности. Однажды в сентябре я был с лекциями в «Орлёнке» (там в это время разгар лета). Пятнадцатилетний парень снимал кино про меня, надо было видеть, как он работает! «Алексей Владимирович, вы стоите здесь. Нет, стоп, вот здесь…» И у меня даже мысли нет, что я могу где-то еще стоять! Я чувствую себя солдатом, а он — мой командир. Господь отметил этого человека. И тут главное — не сбить его с пути.

И дам ещё один совет. Следите за тем, что вы транслируете своему ребёнку. Бывает, родители хотят, чтобы ребёнок занимался математикой, но на деле внушают боязнь к ней.

Например, третьекласснику или четверокласснику задали задачу. Родители ему стремятся помочь, но понимают, что не могут её решить, и в их глазах появляется священный ужас. Он моментально передается ребёнку, который неосознанно делает вывод: «Ой, видимо, разобраться в математике невозможно». В результате ребёнок забрасывает математику уже на этой стадии. И это конец. Если ты бросил математику в самом начале пути, потом ты её уже не освоишь.

Математика и взрослые

А бывает ли наоборот? Человек начал заниматься математикой довольно поздно, допустим в тридцать лет, но увлёкся и «нагнал» уходящий поезд? На встречах со взрослой аудиторией мне нередко задают этот вопрос. Видимо, у многих людей проснулся интерес, который долгое время никак себя не проявлял.

По обширному опыту своих наблюдений я вывел «закон Савватеева»: тридцатилетний будет продвигаться в математике в два раза медленнее, чем тот же человек в двадцать лет. Расчёт тут простой: каждые десять упущенных лет снижают скорость усвоения вдвое.

Но речь в этом законе идет о тех людях, которые знакомство с математикой начинают с нуля. Если же человек успешно занимался математикой, а потом сделал перерыв и спустя некоторое время к ней вернулся, то он довольно быстро все наверстает.

Я популяризатор математики среди детей и взрослых, это мой принципиальный подход. Да, самая плодотворная и интересная работа возможна только с матшкольниками (и в особенности с олимпиадниками), но это вовсе не означает, что я только с ними и работаю.

Я иду в массы, провожу лекции для начинающих взрослых. У меня есть целая серия, цикл на девять лекций материала, который можно назвать «Математика вокруг нас», или «Математика в нашей жизни», или «Математика для гуманитариев». Это всё, в принципе, об одном и том же: примерно сотня сюжетов, из которых на лекции можно успеть рассказать с десяток. Поэтому, если вы видите ряд объявлений про мои лекции с похожими или даже одинаковыми названиями, не думайте, что это одна и та же лекция. Они могут пересекаться на любимых моих сюжетах, но в целом дополняют друг друга.

Мой путь в математике

Я в детстве смотрел на таблицу умножения и обнаружил в ней поворотную симметрию, то есть симметрию относительно центра таблицы у множества её последних цифр. Стал мучить папу. Он говорит: «Ну это же деление с остатком, вычисление по модулю десяти». Научил меня остаткам, и пошло-поехало.

Во втором или третьем классе я пытался собственноручно вывести формулу бинома Ньютона. Писал (а + b)^2, (а + b)^3, раскладывал полностью в сумму одночленов (а + b)^4 и пытался понять, какая здесь закономерность. У меня никак это не получалось.

Вдруг в какой-то момент мне показалось, что я все понял. Я осознал это во сне, в 2.30 ночи. Разбудил отца со словами: «Пап, ну всё. Я всё знаю». Отец встал и зажёг лампу — «показывай!». Я объяснил ему свои расклады. На что он мне ответил: «Лёшенька, дорогой, начало правильное, но, начиная с a^3 b^(n — 3), идут отклонения от истины. Думай дальше».

И я не отступил от этого бинома, пока в нем окончательно не разобрался. Именно в тот момент я понял, что реально хочу заниматься математикой.

В школьные годы я не просто много участвовал в олимпиадах — я участвовал в них всегда и во всех. Самое большое моё достижение — это 1988 год, победа на Московской городской олимпиаде. Моя работа заняла первое место из восемнадцати абсолютно одинаковых — дали слишком простой вариант. Причем из этих восемнадцати человек примерно двенадцать были моими одноклассниками: тогда в Москве была только одна крутая математическая школа, номер 57, и мы учились там по жутко сложной программе.

Ради справедливости следует ещё отметить, что я списал одну из задач в обмен на другую. Так что, строго говоря, на Всесоюзную олимпиаду поехал нечестным образом. Это мне там и аукнулось: после бурной и весёлой ночи я на второй день ничего не смог решить, фактически его проспал и отправился домой с похвальной грамотой.

После школы я поступил на мехмат МГУ, где изучал теоретическую математику, и учился там так себе, без особого напряга. В конце концов закончил с красным дипломом, но у меня есть две четвёрочки — по функциональному анализу и по дифференциальным уравнениям. Причем функциональный анализ я знал очень хорошо, просто не повезло на экзамене. Зато по некоторым предметам, по которым я должен был получить четверки, я получил пять.

Был такой случай: пересдача по теории случайных процессов. Это очень трудный курс. На экзамене, как сейчас помню, мне достался закон повторного логарифма. Я о нём ничего не знал и вывести его за отведенное время не сумел, поэтому сказал: «Ставьте мне двойку, я пойду готовиться дальше».

Что я сделал потом? Пришел домой, врубил Pink Floyd и под него очень хорошо разобрался в законе повторного логарифма. Пересдача была через день, а накануне пересдачи, то есть на следующий день, был намечен поход, который я не хотел отменять. То есть в день провала я разобрался в повторных логарифмах, на следующий день ушёл в поход на много километров — я очень люблю такой стиль, когда выходишь утром и идёшь до позднего вечера — и вернулся в прекрасном расположении духа.

На следующий день отправился на пересдачу и твердой рукой снова вытащил вопрос о законе повторного логарифма. Просто вот так взял и достал тот же билет. Преподаватель посмотрел на меня сочувственно и предложил попробовать еще раз, но я сказал, что все нормально, я хорошо подготовился к экзамену. Сразу ответил, заработал пятёрку и ушел.

В 1995 году я получил красный диплом и раздумывал, что делать дальше. И вот тут мой друг, бывший одноклассник и одногруппник по мехмату, сын моего будущего научного руководителя Ося рассказал мне, что есть такая российская экономическая школа. «Хочешь — пойди поучись». Ну я пошел и поучился. У меня не было какой-то конкретной цели, просто это казалось естественным продолжением моей жизни — учиться дальше.

Забегая вперед, скажу, что преподаваемая там экономика была в основном математикой, модели я очень легко сдавал. Трудности были с макроэкономикой и с практической частью эконометрики. (С эконометрикой проблемы были оттого, что я никогда не умел работать за компьютером.) Впрочем, я закончил обучение в РЭШ с особым отличием в 1997 году.

Стоит ли идти в РЭШ обычному студенту? Не знаю, может, и да, никогда не бывает лишнего образования. Экономика по западным лекалам даст некую новую грань понимания окружающей действительности. К тому же Российская экономическая школа — лучшая школа теоретической экономики в стране и даже, по некоторым сведениям, в некоторой окрестности нашей страны — во всей Восточной Европе.

В дальнейшем я обнаружил такую область знания, которая находится между математикой и экономикой. Она называется теория игр. Эта область мне очень нравится, потому что там много интересных и красивых задач. Сегодня можно сказать, что я специалист по теории игр, а по призванию — популяризатор математики среди детей и взрослых.

Несмотря на два высших образования, я не могу сказать, что досконально разобрался в математике, поэтому продолжал учиться и, собственно говоря, продолжаю до сих пор. Как это ни парадоксально, а некоторые разделы математики я стал лучше понимать, потому что вёл курсы по ним. Пока преподавал, выучивал и сам.

В общей сложности я вёл занятия в двадцати разных вузах. Как правило, это были не огромные курсы на весь семестр, а так, плотно отчитать недельку. Если добавить сюда разовые лекции, то список городов, где я проводил занятия, потянет на четверть-треть городов нашей страны. Так что преподавательский опыт у меня довольно большой. (Ну а всего я побывал более чем в половине городов России и во всех регионах страны, кроме буквально нескольких, которые можно пересчитать по пальцам полутора рук.)

Непокорённые Эвересты математики

Математика велика и разнообразна, но есть всё же темы, которые вызывают у меня особое чувство восхищения. Например, теория чисел, делимость. А ещё Диофантовы уравнения, это основная тема в арифметике, всё вокруг нее крутится. Гауссовы числа. Эллиптические кривые. Малая теорема Ферма. Конечные поля. Квадратичный закон взаимности.

Эти темы я просто обожаю. Здесь чувствуется красота математики, её эстетика. Можно сказать, что это аккуратные мазки на картине нашего мира, сделанные самим Творцом.

Есть в математике и темы, которые моему пониманию пока неподвластны. Однажды во время интервью меня спросили, может ли такое быть, что я открываю книгу по математике, вижу формулы и говорю: «Ничего не понимаю!»

«Конечно!» — ответил я. Более того, это происходит с большинством математических книг. Открывая книгу по начальной алгебре, я могу понять большую её часть. Но, беря в руки, например, книги по алгебраической геометрии, я не понимаю уже ни бельмеса. Теорию категорий я практически не понимаю, какие-то там производные категории и функторы, пучки, резольвенты — всё это для меня пока тёмный лес. Я планирую все это понять, но для этого мне нужно время, а его не хватает. У меня очень много целей. Я не достиг особых успехов в том числе и потому, что я не всю математику выучил.

Я не понимаю доказательство Великой теоремы Ферма, например. Она была доказана в 1994 году английским математиком Эндрю Уайлзом, но до сих пор в мире есть всего, думаю, одна тысяча человек, которые понимают это доказательство.

С самыми сложными задачами есть одна проблема. После того как такую задачу решили, как минимум двести человек должны проверить предложенное решение. Это не так-то просто! Вот почему Уайлз получил премию Абеля за свое доказательство только спустя 22 года. Все это время комитет премии не располагал достаточным количеством подтверждений правильности решения, а ошибаться им не хотелось.

Я начал разбираться в Великой теореме Ферма, изучаю эллиптические кривые, но, чтобы полностью разобрать доказательство, мне нужно бросить вообще всё и на год-два запереться на даче с книжками. Если бы у меня были эти два года, то вскоре после этого появился бы курс Савватеева «Доступно о Великой теореме Ферма».

Знаете, почему именно теорема Ферма стала такой знаменитой? Чудеса тут начались с самого начала. Ферма, который никогда не ошибался, заявил, что знает доказательство. А записать его не может лишь потому, что поля книги слишком узкие.

И вот тут у людей пробудился азарт: раз Пьеру Ферма только узкие поля помешали, то что же я, дурак? Не могу выдумать это доказательство? Началось настоящее соревнование, сформировалось сообщество так называемых ферматистов, которые полагали, что безо всякого образования они могут прийти — и раз-раз-раз, восстановить доказательство самого Пьера Ферма.

В общем, интерес к этой проблеме был здоровый и нездоровый одновременно.

Нездоровый — потому что появилось множество людей, которые настаивали, что именно их бред сивой кобылы является верным доказательством теоремы. А здоровый — потому что теорема Ферма породила целый ряд совершенно новых, интереснейших разделов современной математики. Благодаря ей математика очень сильно продвинулась вперёд.

В 2000 году математический институт Клэя назвал семь задач тысячелетия — самые главные и самые сложные проблемы, которые предстоит решить математикам. За решение каждой из этих задач институт заплатит миллион долларов, но математикам это не важно на самом деле. Семнадцать лет с тех пор прошло. Как вы думаете, сколько проблем решено? Всего одна. Гипотеза Пуанкаре, которую доказал наш Григорий Перельман, который был удостоен за это Филдсовской премии. От денег отказался, как известно.

Когда математики решают задачи, они не задают себе вопрос, зачем это нужно делать. Хороший пример — Пол Эрдёш, величайший математик из всех, когда-либо занимавшихся комбинаторикой (мы говорим «комбинаториалист»). Он оставил после себя много сотен нерешенных задач, над которыми математики не без удовольствия ломают головы до сих пор. Они все очень красивые, звучат зачастую весьма просто, но непонятно как их решать, иногда даже неизвестно, с какого конца вообще к ним надо подбираться.

Вот, например, задача Эрдёша о равных расстояниях. Она фантастическая, потому что её формулировка — буквально «для детского сада». Вам дают 10 фишек, а ваша задача расставить их на плоскости так, чтобы как можно больше отрезков между ними были одинаковой длины. Как это сделать? Как доказать, что вы нашли максимальное число таких отрезков? Ну, допустим, с десятью точками компьютер худо-бедно разберётся. А что, если их 100? 1000? Какова асимптотика доли равных отрезков при оптимальном размещении растущего числа точек на плоскости? Даже приближённо никто не знает!

На мой вкус, самые красивые, самые манящие задачи — вот такие, как эта. Когда саму формулировку задачи может понять ребёнок детсадовского возраста, но решения так никто пока и не нашёл. Кому-то, наоборот, нравятся такие проблемы, которые не сформулируешь для непосвящённого. Главное для математика — это суметь разобраться в чём-то. А если в чём-то не может разобраться ни один математик мира, то это особые Эвересты для нас, непокорённые горы нашей науки, вершины в белом снегу и во льду.

Математики XXI века занимаются ровно тем же, чем занимались две с половиной тысячи лет назад, а именно — решают нерешённые загадки математики. Таких загадок довольно много. Постепенно возникают новые, но лично мне интересны не они, а старые, которым две тысячи лет. Список вопросов меняется очень медленно, а вот прорывы в решении задач могут происходить скачками — и тогда потом скажут о «революции» в математике.

Первая революция произошла в 1820-е годы. Тогда снялись все вопросы выполнения операций циркулем и линейкой. Было изобретено понятие группы, понятие поля — то есть вся современная алгебра. Вторая революция совершилась фактически на наших глазах, в конце ХХ века, когда «развязали узлы», доказали теорему Ферма, гипотезу Пуанкаре… Возможно, эта вторая революция ещё не завершена.

Конечно, хотелось бы получить ответ на самую интересную загадку математики — гипотезу Римана. Она звучит так: «Нули дзета-функции в правой полуплоскости все лежат на вертикальной прямой, где вещественная часть равна 0,5». Для понимания даже формулировки требуется некоторая математическая культура, уровня 2-го курса добротного факультета математики. Как ни странно, эта гипотеза напрямую связана с распределением простых чисел. Общепризнано, что гипотеза Римана — самая великая нерешённая проблема на сегодняшний день. Не самая старая, но самая знаменитая.

Однако в математике есть и совсем удивительные вещи.

Возьмём семиугольник. Точный, правильный семиугольник. Так вот: построить его при помощи циркуля и линейки — невозможно. Вообще. Независимо от того, сколько ты сделал построений, у тебя ничего не получится. То же самое относится и к правильным многоугольникам с одиннадцатью и тринадцатью углами. А вот семнадцатиугольник, напротив, строится: это открыл Гаусс, спустя 2000 лет после Евклида.

Невозможность построить семиугольник доказали в 1830-х годах благодаря великому алгебраисту Галуа, перевернувшему всю математику. Он дал инструменты для доказательства невозможности. Коротко говоря, любые проведения прямых и окружностей приводят к квадратным уравнениям на координаты всевозможных точек пересечения. А для того, чтобы построить семиугольник, нужно решить кубическое уравнение.

Почему математика завораживает? Потому что ты можешь ещё в детском саду узнать про задачу Эрдёша о равных расстояниях и потом всю жизнь о ней думать. И в этой задачке до сих пор неизвестно даже примерно, сколько этих отрезков будет при очень больших n.

«И что, компьютер не считает?» — спрашивают меня, когда я рассказываю о проблеме девяти точек. Начиная с n = 40 он уже ничего не считает, потому что он вообще не понимает, что значит — расставить точки на плоскости. Там же бесконечно много выборов, куда их поставить. Какие-то алгоритмы у него есть, но в подобных задачах он слаб.

В итоге получается, что в данном случае запустить ракету на Луну проще, чем «задачку из детского садика» решить. Ракета на Луну стоит каких-то денег. Бюджет на неё в случае Америки нужно утвердить в каком-нибудь конгрессе, а у нас нужно, чтобы лично Владимир Владимирович сказал, что её нужно запустить. Дальше будет потрачено некоторое количество средств, и она будет запущена. (Или упадёт, если в школе плохо детей учить.) А вот с задачкой нашей ничего не поделаешь, сколько ни приказывай.

В качестве завершения этого «философского эпоса» я признаюсь в том, что не умею решать олимпиадные задачи по геометрии. Когда я их вижу, то первые полчаса всегда туплю. Потом либо мне в голову случайно приходит какая-то идея, либо мне надоедает думать, я заглядываю, например, к Диме Белову, и подглядываю решение.

Смысл математики — движение к истине

Как я уже говорил, Перельман решил одну из семи величайших математических задач человечества. На примере Григория Перельмана и его достижения можно понять, чем живёт математик. Когда я, например, начинаю раскручивать даже самую простенькую задачку, то не могу оторваться и забываю обо всём, пока не найду решение. Для математика смысл — это движение к истине.

Блажен ищущий истину, ибо он насытится. Это про математиков. Конечно, истину можно искать и другими способами, но математика — единственная область, где истина формализуема. То есть ты не просто разобрался в ситуации, а ты можешь доказать другому человеку, что это действительно так.

Верующие люди знают: если ты не сосредоточишься целиком на одном настоящем Боге, то нарушишь Первую заповедь и скатишься в ересь и сектантство. Вот и с математикой то же самое — если ты не целиком весь «её», то ты не сможешь её действительно глубоко понять. В каком-то смысле Перельман — это единственный путь быть совсем наверху.

Можно сказать, что он отшельник — полностью посвятил себя математике. Григорий давным-давно не давал никому интервью. Я бы многое отдал за возможность пообщаться с ним, но для этого нужно, чтобы он согласился на беседу. Однако мне нечем его удивить и заинтересовать, а он знает многое, что интересно мне. Так что интервью не случится.

Я больше популяризатор, чем учёный, и в этом плане я в математике «плаваю всюду, но неглубоко». Большинство учёных глубоко погружены в определённую тему и при этом ещё более поверхностны, чем я, в остальных разделах математики. Поэтому они сидят на своём месте, и Перельман со своей топологией им, как правило, не очень интересен.

Однако с моей колокольни Перельман представляет собой не только пример удивительной математической судьбы фантастически глубокого уровня, но и в целом достояние мировой культуры. Я интуитивно понимаю, с чем связано его отречение от всего мирского. Просто заповедь «я Бог твой единый, и не будет у тебя иных богов» можно проинтерпретировать и так: постигая что-то действительно настоящее, ты меняешь своё внутреннее состояние, ты начинаешь сам себя ограничивать, чтобы постичь истину как можно глубже и полнее.

Поэтому да, настоящим математиком вряд ли может стать человек с бытовыми, светскими ценностями. Но заинтересоваться математикой и видеть в ней Божественную сокровенную красоту может и человек, просто почитывающий о ней на ночь.

Бог и математика

В разговорах и в интервью о математике рано или поздно возникает тема Бога. Часто слышу что-то вроде: «Удивительно, как в вас могут уживаться логик-рационализатор, с одной стороны, и глубоко верующий человек, с другой».

Начнем с того, что я вообще не рационализатор. Я вижу вокруг себя в мире очень много нерационального, множество диких вещей, диких поступков — и отдельных людей, и целых стран. И тут надо понимать, что математика — это точная наука про материальный мир, а вовсе не про нематериальный.

Более того, про нематериальный мир и науки-то нет. Отец Кирилл Копейкин говорил мне: «Есть две книги. Одна из них — Библия, а вторая — книга о Природе». То есть существуют две книги о мире, о жизни, о Боге. И наука совершенно не умеет залезать туда, в ту самую нематериальную часть мира. Для этого существует религия, и здесь видится естественным предельно чёткое разграничение.

Библия для меня — абсолютная реальность. В ней есть всё. Это прототип всех человеческих ситуаций, всего, что было и будет с людьми. Только не надо искать в ней научные истины. Наука исследует материальный мир, а Библия — совсем про другое.

Вообще, Бог и наука друг другу не противонаправлены, а, скорее, перпендикулярны. Наука никогда не сможет доказать или опровергнуть существование Бога. Религия же, в свою очередь, вряд ли кому-то поможет установить прочные научные истины — здесь нужен эксперимент, анализ, рассуждения и обобщения и тому подобное (в зависимости от конкретной научной области методы научного поиска сильно различаются).

Но это не означает, что нужно удивляться, когда человек, который занимается точными науками, верит в Бога. Это удивительно только людям постсоветской эпохи; до 1917 года верующий учёный был абсолютно гармоничен. Практически все гениальные ученые были верующими, за редчайшими исключениями. Последние, скорее, играли в атеизм лишь в пику атмосфере слишком сильного религиозного насаждения: кто-то когда-то там мог высказаться о том, что вообще не верит в Бога, лишь из желания противоречить.

Повторюсь: в российской дореволюционной традиции это было абсолютно нормально — гармоничный человек был гармоничен и в своём интеллектуальном развитии в научном плане, и в своей религиозности. Потом советские атеисты разогнали весь цвет настоящей русской интеллигенции, и традиция была полностью перечеркнута. Вместо неё возникла новая традиция, в которой советский ученый сам себе «доказал», что Бога нет, и заявляет, будто бы это сделала наука.

На самом деле в науке мы часто ощущаем присутствие Бога. Находясь на очень глубоком уровне погружения в тему, ты понимаешь, насколько всё гармонично устроено, ощущаешь руку гениального Творца. И в математике это заметно буквально с третьего этажа.

Некоторые достижения современной науки даже более-менее прямо указывают на Бога. То, что мы знали сто лет назад, к атеизму нас могло склонять в большей степени, чем то, что мы узнали сегодня. В частности, теорема Гёделя видится многим просто росписью Всевышнего. Или теория Большого взрыва, с которой боролся Советский Союз.

В математике есть не только полная гармония с Творцом, но даже и своя «мистика». Существуют иррациональные числа — это те числа, которые нельзя представить в виде дроби. Например, квадратный корень из двух. Есть трансцендентные числа — число «пи», например. В математике «трансцендентность» — строгий термин. Есть комплексные числа.

А ещё математика — это шаг через бесконечность. Бесконечность в ней — не абстракция, а центральное понятие. Иногда можно в точности узнать, чему равна сумма бесконечного ряда чисел. Вот пример: единица плюс одна вторая, плюс одна четвертая, плюс одна восьмая и так далее — до бесконечности. Чему всё это равно? В точности двум.

Каждый это легко поймёт, если представит себе два яблока. Одно целое яблоко — это единица, а другое я начинаю резать — пополам, потом половинку ещё раз пополам, потом четвертинку ещё раз пополам, потом одну восьмую… Бесконечно режу пополам и складываю кусочки — а в сумме всё равно получится два яблока. Правда, красиво?

В математике, как и в искусстве, Бог ощущается через красоту. Есть фантастическая красота некоторых построений — такая, что просто оторопь берёт. Мой друг Андрей, учёный-физик, признавался, что уверовал, когда открыл для себя автоматическую дифференцируемость голоморфных функций. «Без Бога такого быть не может!»

Каждая система знаний о том, что будет после смерти, — это и есть религия, то есть то, что в принципе непроверяемо. Наука — про то, что здесь, а религия — про то, что там. Но если ты долго читаешь религиозные тексты, углубляешься в них, то понимаешь их законы почти с математической точностью. Именно поэтому Ньютон, Паскаль и многие другие великие математики значительную часть своей жизни посвятили изучению религиозных текстов и трактатов.

Однако и в высокой математике происходят симметричные вещи. Когда ты разбираешься в действительно сложных конструкциях, то начинаешь видеть что-то типа заповедей: «Вот здесь лучше делать так, и это правильно, а вот этот способ мышления ни к чему не приведёт». Получается так, что наука без веры — только для недоучек, для троечников, для людей, которые получили диплом, защитили диссертацию и бегают, всем вокруг рассказывают о том, какие они умные.

Когда вы глубоко погружены в математику или какую-то другую науку, ваше развитие в ней — это уже вопрос вашей воли. В конце концов, то, куда вы пойдете, что вы считаете важным, какие направления кажутся вам перспективными, — подскажет вам интуиция, складывающаяся из большого труда, который вы потратили, чтобы эту науку постичь.

Но одновременно добавляется что-то новое, и какое-то вдохновение подсказывает вам: а вот сюда надо идти, «в эту степь копать». И это, скорее всего, оттуда, «сверху». Именно поэтому большинство величайших учёных — за редким исключением — были глубоко верующими людьми. Про Эйлера, например, король Германии говорил: «От него попахивает попом». Эйлер каждый день собирал всю семью для часовой молитвы.

Но бывают еще феномены типа Эйнштейна, (когда человек пришёл к чему-то внешнему, но не понимает, что это). Он не принадлежит ни к какой религиозной традиции, но видит, что всем, что происходит, всё-таки управляет какой-то внешний разум.

Теорему Гёделя о неполноте я учил и сдавал на четвертом курсе мехмата МГУ. Я тогда сказал: «Слушайте, а есть кто-то в этом зале, кто после этого еще атеист?» А мне в ответ: «Ой, Савватеев, опять ты за своего Бога взялся! Это вообще формальное утверждение, оно никакого отношения к Богу не имеет…»

Но на самом деле эта теорема говорит, что в любой непротиворечивой аксиоматической теории есть верное, но недоказуемое, не выводимое из её аксиом утверждение. Просто вдумайтесь: утверждение верно, но недоказуемо — это что? Это же явный красный флажок: вот сюда, за эту черту заходить нельзя! В математике на самом деле такого много. (В физике тоже, как мне сообщают друзья.)

К примеру, почему мы не умеем предсказывать погоду? Система уравнений, которая задаёт движение воздушных масс, трёхмерная: давление, температура, влажность — они непредсказуемы даже приблизительно далее, чем за шестидневный горизонт. Потом начинаются только усредненные режимы: мы сравниваем данные, допустим, за 150 лет и выбираем ситуации, похожие на сегодняшние. И иногда это работает. Но не всегда. Выходит, что Господь не зря навёл нас на теорию вероятностей — чтобы мы слишком далеко не лезли и носа не задирали.

Точные науки — это та часть системы познания мира, которая относится к возможности повторения (воспроизведения) ситуаций и к установлению законов, согласно которым они повторяются. Но если вы представите себе, что создаёте мир, то наверняка введёте в нём какие-то правила игры. Нелепо думать, что Господь каждую секунду все делает Лично! Понятно, что Он оставляет людям законы, которыми они могут воспользоваться, чтобы, к примеру, построить самолёт. И наука эти законы изучает. То есть она изучает то, что нам оставлено, чем мы можем воспользоваться. Но любой нормальный учёный прекрасно знает, что в каждой науке расставлены красные флажки, за которые нам заходить нельзя. И кто, если не Господь, их расставил, интересно?

Области знания, связанные с религией, так же как и с математикой, нельзя понять «с кондачка». Настоящий математик вряд ли скажет: «У меня что-то не укладывается в голове». Если что-то не укладывается в голове, значит, голову надо немножко расширить. А для этого нужно углубиться в соответствующую — возможно, духовную — литературу.

Например, можно задаться вопросом: «Почему число Пи трансцендентно?» Можно даже понять, что это означает, что Пи не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Это ты понял, а вот доказательство ты так сразу не поймёшь, потому что оно бы заняло семь моих лекций, если бы я взялся их читать. Так что быстро я могу сказать только то, что на это придётся потратить большое время и при этом серьёзно интеллектуально прокачаться.

С религией то же самое. Ты не можешь получить ответы на все свои вопросы, не почитав религиозные тексты, а они столь же глубоки, сколь и математические. Из действующих на сегодня русских математиков я почти не знаю атеистов. На семинаре Валеры Лунца, на котором мне посчастливилось побывать в 2014 году, утро начиналось с молитвы, которую за завтраком читал Коля Тюрин с женой и детками. И это происходило на самом крутом семинаре, который есть по математике в России (насколько я сам могу судить). Религия и математика — это две разные ипостаси этого мира, и каждая из них чрезвычайно глубока.

Из ЖЖ Алексея Савватеева

Едем мы в 2023 году на Пасху с женой и мелкими тремя детками в гости к Олегу Степанову в Кратово. Все там друг друга поздравляют, всё как обычно: «Христос воскресе — воистину воскресе!»

И вдруг один молодой человек на восклицание Олега «Христос воскресе» отвечает так: «Я стою на позициях науки». (Правда, сразу оговорюсь: он тут же сказал: «Но я уважаю ваше мнение». Так что по линии вежливости претензий к этому молодому человеку нет.)

Мы с женой переглянулись и понимающе заулыбались. Он стоит на позициях «науки», которая, как его убедили всякие горе-просветители, «доказала, что Бога нет».

Для меня, члена-корреспондента РАН, стоять на позициях науки очень даже естественно, и с этих позиций более-менее все основные научные прорывы XX века как раз на бытие Божие всё более явственно и указывают.

Я не стал троллить молодого человека по случаю Пасхи, задавая ему вопрос о том, в чём же заключаются его «научные позиции» и как именно они, с его точки зрения, противоречат нашей вере. Лучше сосредоточимся на Божественной красоте науки. Например, нет ничего более завораживающего, чем построение правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Или, скажем, понятие совершенного числа — такого числа, сумма делителей которого (почти всех делителей — за исключением самого числа!), равна как раз ему самому. Нечётных совершенных чисел не существует, предположил Евклид примерно две с половиной тысячи лет назад — и никто до сих пор не может этого предположения ни доказать, ни опровергнуть — это одна из самых старых нерешённых задач математики! Из более нетривиальных, но не менее поражающих своей красотой математических достижений человечества упомяну доказательство великой теоремы Ферма при n = 3, с выходом из области целых чисел в область чисел Эйзенштейна.

Красота мира — это красота математики!

Конечно, есть и другие виды красоты. Бывает девушка красивая, а бывает красивый вид с горы. Красота — это то, что вызывает в тебе чувство сопричастности Божественному. Чему-то вне тебя, приходящему к тебе извне. Красота трансцендентности, и не обязательно в математическом смысле слова (хотя концепция трансцендентных чисел тоже прекрасна!). Что-то, что тебе дано в ощущениях, но что ты не можешь постичь: как это могло появиться? Откуда это могло прийти?

Когда видишь такую красоту, трудно не реагировать эмоционально. Одно время мы матерились много, прямо в интернет фигачили видео без всякого запикивания. Но после одного случая мои начальники собрались и хором сказали, что они просят меня не использовать матерные слова в эфире. С тех пор я стараюсь обуздать свой язык.

В математических роликах я прекратил мат вообще, хотя часто приходится сдерживаться, когда, например, вижу какое-нибудь фантастически красивое доказательство. Сложно не крикнуть что-нибудь восторженное. Понятно, страсть и восторг выходят наружу не всегда в приличном виде.

Мифы математики

Если математика — наука точная, то откуда в ней исключения?

Правильный ответ такой: ниоткуда, их в ней нет. Дважды два четыре — везде и всегда, в любом месте, на Луне, на Марсе или где бы то ни было ещё. Почему же, в таком случае, люди полагают, что в математике есть исключения? Мне на ум приходят две причины.

Первая: в математике бывают рассуждения типа «Все простые числа — нечётные. Но есть одно исключение — число 2». Здесь «исключительность» связана не с какими бы то ни было правилами, а со спецификой постановки вопроса.

Ведь в утверждении «все простые числа — нечётные» подразумевается что? Что любое чётное число делится на 2, поэтому оно уже не может быть простым. Однако в этом рассуждении, естественно, содержится логический пробел: само-то число 2 делится на 2, но при этом оно простое (ни на какое число, кроме себя и единицы, число 2 не делится). Вот и создаётся ощущение, что исключение здесь есть, но на самом деле никакого исключения нет.

А вторая причина более тонкая. Если открыть сложные книги по математике, то они пестрят утверждениями типа «почти для всех x (икс) верно то-то». Создаётся впечатление, что в математике всё же есть исключения, раз присутствует слово «почти».

Но на самом деле подобные рассуждения относятся к теории меры и являются абсолютно строгими. Грубо говоря, с какой-то вероятностью, если я возьму наугад точку из отрезка [0,1], то получу число 1/е. С какой вероятностью? Если подумать, то станет ясно, что только с нулевой. Однако всё-таки это событие возможно. Вот такого рода исключения бывают в математике, и их изучают в теории меры. Но это уже сложный материал.

Говорят, что если скинуть с небоскрёба монетку, то она может убить человека.

Это не так. Дело в том, что монетка, с какой бы высоты она ни летела (достаточно большой, например начиная с 10 метров), уже входит в колебательный режим: когда она летит вниз ребром, она разгоняется. Но чуть она отклонится в полёте хоть на градус от вертикального положения — а понятно, что в какой-то момент случайное отклонение будет — как она тут же «встаёт плашмя» и очень сильно тормозится. Летя плашмя, она точно никого не убьет.

Потом монетка может снова повернуться и некоторое время вновь лететь вниз ребром. Потом снова плашмя. В такой непрерывной смене фаз она и будет лететь с небоскрёба. Поэтому, если бы высказанное утверждение было верным, то было бы верным и другое утверждение: что монетка, сброшенная с третьего этажа, убьёт человека.

Очевидно, это не так.

Человеку повезёт, если монетка упадёт на него плашмя, ибо тогда он вообще почти ничего не почувствует. И не очень повезёт, если она упадёт ребром, потому что тогда ему будет больно. Но смертельной травмы он в любом случае не получит.

Существует самое большое простое число.

Самого большого простого числа не существует. Доказательство достаточно простое. Предположим, что есть самое большое простое число. Тогда простых чисел всего должно быть конечное количество: начиная от числа 2 и заканчивая этим самым большим числом.

Возьмем все эти простые числа и перемножим. Если я перемножаю конечный набор чисел, то получается какое-то корректно определённое («конечное») число. Оно может быть безумным, гротескным, грандиозным по своему размеру — например, 10 в 10-й в 10-й степени и так далее, многоэтажные башни степеней, — но все-таки это будет конкретное число. Бьют фанфары, и мы прибавляем к этому гротескному числу единицу!

Возникает вопрос: а на какие числа может делиться это грандиозное число плюс один? Прежде всего заметим, что если оно делится хоть на какое-то число, то постепенно, выделяя все меньшие и меньшие делители, мы в конце концов дойдём до простого делителя нашего числа. Тем самым мы установили, что любое число либо само является простым, либо делится на какое-то из простых чисел, которое меньше него.

Но дело в том, что это число по построению не может делиться ни на одно из простых чисел, потому что предыдущее перед ним число делилось на них всех! Делимость же на фиксированное (простое или нет — даже не так важно!) число, бо́льшее единицы (а все простые числа больше единицы!), наступает через промежутки, равные этому числу.

Получается, что построенное нами число не может быть ни составным (ибо оно не делится ни на какое простое), ни простым (потому что простые мы уже все перебрали).

Таким образом, мы пришли к строгому математическому (логическому) противоречию, доказывающему, что самого большого простого числа существовать не может. Кстати, сейчас я воспроизвёл один в один доказательство самого Евклида!

Математика как предсказатель процессов в обществе

Соблазнительно думать, что методы современной математики могут моделировать сложные общественные процессы. Согласитесь, было бы здорово рассчитать, когда и где закончится СВО, кто победит на выборах в США или что будет с долларом и рублём. В общем, найти точный ответ на вопросы, по поводу которых так ожесточенно спорят эксперты, а вслед за ними пользователи Твиттера и Телеграма. Дело, конечно, не в них, а в том, что, наверное, человечеству, вооруженному знанием о будущем, жилось бы спокойнее и легче. (Хотя при этом куда менее увлекательно!)

Но всё осложняется тем, что в общественных процессах есть принципиальная грань, за которой моделирование уже не работает — как бы мы ни старались. Конечно, у социума есть какие-то закономерности, которые можно математизировать. И кое-что предсказать мы можем — правда, на три с плюсом по пятибалльной шкале.

Но когда мы пытаемся прогнозировать социум с большой степенью точности, всё упирается в огромное количество каких-то побочных факторов. В физике мы умеем разделять их на важные и неважные, а в социуме не умеем. Например, физик знает, что, независимо от ветра, камень летит вниз примерно с ускорением g. И на этом он может строить точные расчёты. Однако есть нюанс: при урагане эта формула перестаёт работать. Этот нюанс, как правило, не мешает физикам, ведь природные катаклизмы происходят не слишком часто.

А вот в социуме, образно говоря, всегда бушует ураган — просто так устроена жизнь. И ты в этом урагане должен выделить какие-то факторы и обнаружить, что они то работают, то не работают. Поэтому математика при расчёте общественных процессов хоть и применима, но далеко не всегда точно.

Приведу пример. Философ и этнолог Лев Николаевич Гумилёв подкрепил свою пассионарную теорию этногенеза математическим графиком. Не буду разбирать сам график: скорее всего, с математической точки зрения он неплох, иначе его давно бы раскритиковали. Но имеет ли он реальное отношение к нациям и их генезу?

Первый вопрос, который критический исследователь должен себе задать, — можно ли вообще измерить жертвенность, стремление к идеалу, волю к победе и так далее? И если можно, то в терминах каких количественных показателей?

Например, Гумилёв написал бы, что жертвенность измеряется в количестве людей, которые добровольно отдали свою жизнь в течение данного периода. Допустим, историки даже подсчитали, что в 70-х годах XIX века было произведено такое-то количество покушений на чиновников царского режима. То есть цифры мы получили. Но вопрос в другом: может ли жертвенность измеряться именно этим? Мне кажется, вряд ли.

Может быть, конечно, Гумилёв прав. Возможно, он чувствует логику и движущие силы этногенеза. Что ж, признаю, художественная литература бывает очень интересной, но мы не требуем от неё точности. И если историк или философ влезает в математическую область, то, скорее всего, она окажется для него минным полем.

Любой конфликт в обществе можно математически смоделировать и сделать из этого определённые выводы. Но важно понимать, что выводы, к которым математик придёт на основе своей модели, могут оказаться полностью не соответствующими реальности.

До определённой степени поддаются анализу военные конфликты. Профессор политологии Нью-Йоркского университета Брюс Буэно де Мескита заявляет, что разгадал все современные войны на основе математики и теории игр. Вполне возможно, что так и есть, ведь в войнах часто понятно, что нужно сторонам. Следовательно, есть шанс, что мы сможем это математически смоделировать и получить правильный вывод.

Но война войне рознь. Если битва идёт за ресурсы, то она отчасти математизируема. А если за идеи и смыслы — уже нет. Например, Великая октябрьская революция — идейная. Отечественная война 1812 года имела несколько аспектов, в том числе религиозный, а значит, ее можно назвать войной смыслов. Когда речь идёт о смысловых войнах за образ жизни, за то, что человек не может чего-то терпеть до такой степени, что готов рисковать жизнью ради борьбы с этой угрозой, то тут трудно что-то предсказать с математической точки зрения.

То же самое касается социально-экономических процессов: математика в них не слишком полезна, потому что появляется такое количество факторов, влияющих на ситуацию и неконтролируемых, что модель рассыпается у тебя в руках. В итоге всё упирается в волю конкретного человека, а её просчитать нельзя.

Математика не способна предсказать, как пойдёт взаимодействие двух людей или как пройдёт какое-то событие. Например, я готовлюсь к лекции по одной теме, а слушатели задают вопросы по другой теме, и в итоге встреча проходит совершенно не так, как я планировал. Общение двух или нескольких людей, их поступки — это вещи совершенно хаотичные, и, по-моему, это прекрасно. Я бы не стал по этому поводу сокрушаться, не стал бы стремиться к математизации всего и вся.

Кроме того, существует то, что вообще нельзя объяснить математически — например, сознание человека. Математика не может описать никакие духовные процессы, не может описать религию или чувства. Невозможно математически просчитать человеческое мышление и фантазию. Суть в том, что это нематериальные вещи.

Суммирую сказанное. Мой большой профессиональный опыт в области теории игр свидетельствует в пользу того, что можно пытаться математически моделировать социальные и политические процессы или общественные явления, но эти модели будут описывать жизнь максимум на тройку. Я это знаю и с этим мирюсь: не на двойку же!

Для чего нужна теория игр

К теории игр я шёл довольно долго. Хотя я и закончил мехмат МГУ с отличием, но в математике нашел себя не сразу. И только когда уже учился в Российской экономической школе, понял, что есть тема, которая увлекает меня больше других.

Разумеется, интерес к ней проявляю не только я. Давно заметил, что среди всех курсов, которые я читаю, теория игр — традиционно самый популярный, ведь она объясняет, как устроен мир людей, что происходит вокруг нас в социуме.

Речь идет о математическом описании социальных конфликтов. Оно может включать в себя множество подтем, например транспортные задачи: как оптимально организовать пассажиропоток, как организовать систему парковок в городе и так далее. Подобные задачи, по сути, вырабатывают принципы успешного функционирования социума.

Если вы читали роман Виктора Пелевина «Transhumanism Inc.», то наверняка помните термин «картель». Писатель вводит его вместо терминов «мировое правительство» и «мировой заговор». Но ведь, по сути, картель действительно существует: его роль выполняет способ мышления «людей с огромными деньгами»: мультимиллиардеров, находящихся внутри системы финансового мирового капитала.

И этого миллиардерам вполне достаточно, чтобы не нуждаться ни в переговорах друг с другом, ни во взаимной координации своих действий. На любое социальное движение они в норме реагируют так же, как и их «коллеги». Поэтому возникает ощущение, что это заговор. А заговора нет, есть способ мышления. Вот это и объясняет теория игр. И сейчас я привёл в пример лишь одну из миллиона загадок, на которые она даёт ответ.

Если еще поговорить про социум, то в теории игр есть результат, который показывает, что современная демократия — это всего лишь временный, очень короткий всплеск в истории человечества, который скоро закончится и превратится во что-то другое, и, скорее всего, всё обернётся новым тоталитаризмом. Легко предложить модель, которая это объяснит.

Ключевым является постулат о том, что человек, чтобы разобраться в чём-то, должен приложить много усилий. Но у нас ведь демократия, так что я могу сам решать, разбираться или не разбираться. Я свободный человек в свободной стране! Проходит какое-то время — и вдруг обнаруживаешь, что зависаешь в какой-нибудь соцсети, потому что это проще и приятнее. Свободный выбор требует много ресурсов, а у тебя не всегда есть сила воли и мотивация, чтобы добровольно решиться их расходовать.

Постепенно вовлечение народа в какую-то проблему будет всё меньше, и малым активным группам захватить власть будет становиться всё проще. Поэтому всплески демократии всегда короткие. Сначала людям интересно, хочется участвовать в жизни страны или города, а потом — семья, дети, сериал. Так было, например, с московской реновацией. Имелись ведь все механизмы, чтобы отменить решение по своему дому, но нужно было усилия прилагать, а это сложно. В тоталитарном обществе жить намного проще: кто-то отдаёт распоряжения, а тебе остаётся всего лишь их выполнять.

Теория игр нужна для того, чтобы правильно предсказывать последствия решений — как своих, так и чужих. Владение основными концепциями теоретико-игрового моделирования, понимание сферы применимости тех или иных игровых решений помогает воссоздать картину событий, часто совершенно невероятную, подобно «Шерлоку Холмсу 2.0» — то есть, не только выбирая единственный допустимый вариант, сколько бы он ни был парадоксален, но и управляя ходом сложившейся ситуации.

Теория игр вскрывает способы манипулирования целыми группами населения, даёт средства защиты от информационных атак. Кем теория игр окажется более освоенной, организаторами беспорядков или существующей в стране властью? От ответа часто зависят судьбы целых государств.

А в качестве примера того, как увлекательна теория игр и как она помогает «решать» самые повседневные проблемы, я приведу свою лекцию об американском математике и экономисте Ллойде Шепли. В 2012 году он получил Нобелевскую премию по экономике за вклад в теорию устойчивого парсочетания и в практику дизайна систем назначения.

Задача об устойчивых бракосочетаниях и вектор Шепли

Происходило это давным-давно. Высоко в горах, отрезанная от остального мира, расположилась деревня. На протяжении долгих лет управлял ею один и тот же Старейшина, мудрый и справедливый. При нем народилось много девушек и молодых парней, но все без исключения девушки были влюблены в Старейшину и не выходили из-за этого замуж. В конце концов настал ему час помирать. И вот он собрал всех жителей деревушки, и говорит: «Чтобы жизнь в деревне продолжалась, надо вам пережениться да детей нарожать. А чтобы мир да покой был, я вас сейчас так переженю, чтобы потом, когда я помру, никто не развелся и заново бы не женился».

Затем Старейшина позвонил по спутниковому телефону нобелевскому лауреату Ллойду Шепли и долго разговаривал с ним, не жалея денег.

И приказал он всем молодым людям, равно как и всем девушкам, составить список представителей противоположного пола, в порядке убывания привлекательности в качестве будущего супруга.

Неволить никого не велел, и если, скажем, для девушки Анны выйти за Сергея было горше одиночества, то так и велел в списке пометить.

Затем он велел со списками поступить следующим образом. В тот же день и час каждый парень должен был постучаться в дверь к своей самой желанной даме (кроме тех, кто пометили в своих записях, что они убежденные холостяки). Как можно догадаться, у некоторых девушек у двери возникло целое столпотворение, а у некоторых — никого, хоть шаром покати.

Кроме того, некоторые девушки, выглянув в окошко, с разочарованием обнаружили, что хоть и много мужиков собралось, но не больно-то она за кого из них замуж хочет. Что поделать, судьба бывает злой!

Дальше Старейшина приказал всем девушкам, которые в принципе хотят замуж (то есть с непустыми списками женихов), осуществить следующее:

1) выяснить, есть ли среди постучавшихся к ним самый желанный жених. Если есть, то всех прочих прогонять и свадьбу играть;

2) если нет, то проверить, есть ли среди постучавшихся хоть один вообще приемлемый жених, и если нет, то всех прогнать;

3) если приемлемые варианты есть, но самого лучшего нет, то одного наиболее приемлемого оставить, остальных прогнать — но свадьбу пока не играть!

Теперь расклад в деревне таков: все парни, кто хотел жениться, либо женились (это кому из парней так повезло, что его самая желанная невеста на первое место поставила также его), либо посланы прочь, либо ждут решения у дверей первой из их избранниц.

На следующий день ситуация повторяется, однако с небольшими изменениями: те, кто ждут у дверей, никуда не рыпаются, а ждут дальше. Те, кто счастливо женились, вообще «выходят из игры». А вот те, кто был вчера послан, смотрят на свои списки и решают, идти ли ко второй («второй сорт не брак, то есть в нашем контексте — тоже брак!») или же остаться навек холостым (в том случае, если приемлемым вариантом для брака у парня была одна-единственная самая желанная невеста).

Те, кто жениться всё же хочет, идут ко второй невесте в своём списке. И вновь женихи оказываются как-то раскиданными по порогам домов прекрасной половины деревни.

А что же девушки на второй день? Они смотрят на вновь пришедших. И те девушки, которые в первый день одного из парней «придержали», сравнивают его с лучшим из вновь появившихся (если вообще кто-то появился). Если старый лучше всех новых, то он остается ждать и дальше, а новые посылаются; если лучший из новых лучше старого, то старый посылается вместе со всеми остальными, а лучший из новых занимает место старого. За одним исключением: если лучший из вновь пришедших — самый желанный для неё, то такая пара сразу же играет свадьбу. Те из девушек, которые послали всех в предыдущий день, решают задачу с чистого листа, как если бы это был первый день.

Так продолжается день за днём, вечер за вечером. Кто из парней «ангажирован» — ждёт до талого, пока его не пошлют или до тех пор, пока всякие хождения в деревне полностью не прекратятся. Кто послан, смотрит на свой список и решает, идти ли к третьей, четвертой и так далее, пока наконец не обнаружит, что все прочие не заслуживают чести быть его женой; такой парень остается навек одиноким.

Каждая девушка, пока ещё кто-то куда-то приходит и кто-то кого-то посылает, всякий раз решает задачу выбора «лучшего из доступных»: если хоть один раз ей подвернулся приемлемый вариант, она уже свою удачу не упустит и будет рядом держать кого-то — либо этого, либо даже более подходящего. Если же все время не везло и никто из мало-мальски приемлемых женихов так и не появился, девушка остаётся незамужней навсегда.

В конце концов наступит момент (это можно строго математически доказать!), когда хождения прекратятся. Кто-то остался навек холостым или незамужней, а кто-то сидит под дверями и ждёт. В этот момент все сидящие приглашаются внутрь соответствующих домов, и разом играются все такие свадьбы. На этом шаге алгоритм, описанный выше и носящий имя Гейла и Шепли, останавливается и заканчивает свою работу.

Можно доказать (это сделали Ллойд Шепли, вместе с уже ушедшим от нас в 2008 году Дэвидом Гейлом), что система заключенных подобным образом браков устойчива. В конечном итоге никто не женат насильно, и нигде не возникнет «разводной пары», то есть пары «мужчина — женщина», в которой оба участника предпочтут брак друг с другом текущему своему положению. После этого Старейшина, познакомившийся с теорией игр не понаслышке, может спокойно умирать.

Конечно, Нобелевская премия была вручена не за красивую сказку о бракосочетаниях. Просто этот алгоритм оказался чрезвычайно удобным при распределении студентов по университетам, учеников по колледжам, работников по фирмам и даже донорских органов по людям, в них кровно нуждающимся. Тогда и оценили его экономисты, правда, спустя целых полвека.

Однако нобелевский лауреат Ллойд Шепли знаменит не только этим алгоритмом: за 10 лет до этого, в 1953 году, он изобрёл так называемый «вектор Шепли», хотя более правильно было бы назвать его изобретение «дележом по Шепли», ибо предложенный Ллойдом Шепли метод помогает разделить выигрыши и затраты в спорных (конфликтных) ситуациях. А официальное его наименование звучит так: «Принцип справедливого распределения выигрыша между игроками в задачах кооперативной теории игр».

Давайте рассмотрим более подробно, как вектор Шепли помогает при решении различных бытовых проблем. Допустим, перед нами три ситуации.

1. Трое заключают круговую сделку по квартирам. Первому надо срочно оформить все бумаги (это стоит 30 тысяч рублей за неделю ожидания), второму это дело предстаёт в средней срочности (18 тысяч рублей за две недели), в то время как третий никуда не торопится (12 тысяч рублей за месяц ожидания). Оформляют срочно. Но кто сколько должен платить, чтобы распределение платежей было справедливым?

2. Трое музыкантов играют в переходе. Солистка Оля, барабанщик Гена и гитарист Паша втроем зарабатывают 130 рублей за час. Если Оля и Гена будут играть в паре, они за час заработают 60 рублей; Оля и Паша смогут заработать 70 рублей; Паша и Гена без Оли смогут получать в час всего 30 рублей. Поодиночке ребята могут заработать: Оля 40 рублей, Паша 20 рублей, Гена 10 рублей. Кто сколько должен получать из зарабатываемых ими 130 рублей в час, чтобы делёж был справедливым?

3. К новому коттеджному поселку прокладывается асфальтовая дорога от магистральной трассы. Стоимость строительства одного метра дороги равна 1 000 рублей, расстояния от магистрали до коттеджей равны соответственно 50 метров, 100 метров, 150 метров и 200 метров. Стоимость всей дороги — 200 тысяч рублей. Кто из жильцов какую часть стоимости дороги должен оплатить, опять-таки исходя из соображений справедливости?

Общее в этих проблемах то, что «топорное» деление поровну не видится справедливым вариантом ни в одной из них. В первом случае кто торопится, тот пускай и платит больше, не правда ли? Во втором сюжете девушка Оля явно имеет перед ребятами преимущество, они без неё почти что никуда, а значит, она должна, по идее, получать больше их обоих. В третьем случае жители более далёких коттеджей накладывают большие финансовые затраты на общий проект.

В то же время, во всех трёх историях с ходу совершенно непонятно, насколько больше должны платить/получать одни по сравнению с другими.

Именно здесь нам и пригодится механизм, названный «вектором Шепли». Шепли также предложил систему из четырёх аксиом, или требований, которым должен удовлетворять механизм дележа, и доказал, что тот принцип, который мы ниже опишем, является единственным принципом дележа, удовлетворяющим этим четырем аксиомам.

Вот как работает «вектор Шепли».

Участники проблемной ситуации выстраиваются в линейку, один за другим. Например: Оля, потом Гена, потом Паша. Оля берет себе то, что может заработать в одиночку, то есть 40 рублей. Затем Гена берет себе весь дополнительный выигрыш, который он привнесёт поющей Оле, присоединившись к ней со своими барабанами: 60 рублей минус 40 рублей, то есть 20 рублей. Пришедший третьим Паша забирает оставшиеся 70 рублей (130 минус 60).

И это все? Конечно же, нет! Паша «оторвал куш» от того, что ему посчастливилось быть последним. Если бы третьей появилась Оля, то она бы получила не 40, а целых 100 рублей (130 минус 30)! Поэтому от порядка появления музыкантов зависит и результат деления заработанных 130 рублей в час.

Как же тогда поступить? Шепли предложил самый простой и понятный способ: перечислить все способы упорядочения (выстраивания в линейку) участников, для каждого способа вычислить, кому сколько досталось, и потом просто усреднить три полученных вектора дележа. Если участника три, то способов упорядочения 6 (= 3 × 2 × 1, так называемый «3-факториал»), и задача решается довольно быстро.

Решим ее для наших музыкантов.

Линейка 1:

Оля, Гена, Паша.

Оле 40, Гене 20, Паше 70.

Линейка 2:

Оля, Паша, Гена.

Оле 40, Паше 30, Гене 60.

Линейка 3:

Гена, Оля, Паша.

Гене 10, Оле 50, Паше 70.

Линейка 4:

Паша, Оля, Гена.

Паше 20, Оле 50, Гене 60.

Линейка 5:

Гена, Паша, Оля.

Гене 10, Паше 20, Оле 100.

Линейка 6:

Паша, Гена, Оля.

Паше 20, Гене 10, Оле 100.

Теперь Оля получает среднее из (40, 40, 50, 50, 100, 100), то есть (40 + 40 + 50 + 50 + 100 + 100)/6 = 380/6 — чуть больше 63 рублей (почти половину заработанных ребятами денег!), Гена — (20 + 60 + 10 + 60 + 10 + 10)/6 = 170/6 — чуть меньше 29 рублей, а Паша — 70 + 30 + 70 + 20 + 20 + 20)/6 = 230/6 — чуть меньше 39 рублей. В сумме как раз 130 рублей в час!

Так же легко можно решить и задачу про квартирную сделку, поняв, какие издержки понесла бы каждая из сторон, если бы была одна или в паре с какой-то другой. А вот задачу про коттеджи в лоб решать долго: вариантов упорядочить четырех участников — 4 × 3 × 2 × 1 = 4! (обозначение для числа «4-факториал») — целых 24 способа!

Впрочем, у задачи с коттеджами существует «обходной приём». Можно доказать, что при делении по Шепли в этой задаче нужно дорогу разделить на 4 равных участка по 50 метров. За первый из них все платят поровну (по 50/4 = 12,5 тыс. рублей каждый), за второй платят только те трое, которые по нему ездят (по 50/3, то есть примерно по 17 тыс. рублей каждый), за третий — двое последних по 25 тыс, и последний участок целиком оплатит хозяин последнего коттеджа. Таким образом, например, третий хозяин заплатит 50/4 + 50/3 + 50/2 тыс. рублей, то есть приблизительно 55 тыс, а последний — целых 105 тыс. рублей. Но и первые двое не будут кататься совсем уж бесплатно.

А задачку про квартирную сделку советую решить самостоятельно, чтобы разобраться, что к чему. Есть еще целый ряд занимательных сюжетов, связанных с вектором Шепли. Например, по этому алгоритму можно рассчитать переговорную силу пяти основных и десяти сменных участников Совета Безопасности ООН. Сила каждого из этих десяти «временщиков» равняется 1/1330, в сумме — 1/133 от общей переговорной силы, взятой за единицу.

Как говорится, здесь есть о чём призадуматься!

Математика: прикладная дисциплина или чистая наука?

Если говорить «по чесноку», то настоящая математика — это наука ради науки, ищет смыслы в великих задачах прошлого, продолжая традицию в будущее. Красота ради красоты. Истина ради истины. А вот прикладная математика — это уже не вполне математика. Это физика, электроника, инженерия и так далее.

В качестве примера приведу кубик Рубика. У него есть достаточно сложный секрет, который кроется в современной алгебре. Правильная формулировка задачи такова: найти порядок группы кубика Рубика. Но если чуть-чуть погрешить против истины, то можно сформулировать вопрос так: сколько вообще может быть разных позиций, «внешних видов» кубика Рубика. Секрет, таким образом, математический, однако наработанные приёмы, которые люди используют при его сборке, — это уже чистое «ноу-хау»: достаточно их выучить, и можно собирать кубик безо всякой алгебры. Она не особо поможет в скорости сбора, зато поможет понять, что, собственно, происходит.

Прикладной же смысл задач по математике специфичен для соответствующей дисциплины. В физике прикладные задачи одного рода, в химии — другого, в компьютерном деле — третьего.

Отношения между миром и фундаментальной математикой примерно такие же, как между безумным воздыхателем какой-то дамы и дамой, которая в упор его не видит. Фундаментальная математика развивается целиком внутри себя, не повинуясь требованиям прикладной инженерии, исходя только из собственной внутренней логики. А уже потом практический мир ухватывает то одно, то другое её достижение, пытаясь использовать их настолько, насколько он умеет и понимает. Вдруг возникают люди, которые говорят математикам: «Блин, вы вот это знаете, нам оно нужно, чтобы изучить распространение общественного мнения в социуме», «А нам нужно, чтобы наши ракеты летали», «А нам нужно Крымский мост построить». Математики пожимают плечами, но охотно и бескорыстно делятся с прикладниками своими прозрениями!

Вообще, все три тысячи лет, которые существует математика, мы занимаемся решением нерешённых задач — греческих или созданных после греков. Например, была поставлена задача: найти все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон, так называемые Пифагоровы тройки. И их нашли, они были известны, кажется, даже шумерской цивилизации, а вавилонской точно. Формулы эти дрейфовали из цивилизации в цивилизацию.

Зачем они были нужны, кому? Это не имело никакого отношения к практике. Это имело отношение к идеальному восприятию нашей действительности. Прямоугольный треугольник красивый. Когда я его вижу, то первый вопрос, который я задаю: «А может ли быть так, чтобы все три стороны у него были целыми?» И дальше, после ознакомления с несколькими примерами типа (3, 4, 5), (12, 5, 13), (20, 21, 29), (15, 8, 17), следующий вопрос: «А как описать ВСЕ такие треугольники?» Данным вопросом люди интересовались уже несколько тысяч лет!

И можно задать ещё какие-то вопросы, потом следующие, следующие. Вот так и идёт внутреннее развитие фундаментальной математики. А практический мир тем временем пытается собрать с этого дерева какой-то урожай.

К примеру, возьмем комплексный анализ. Его разработали математики не для конкретной цели, а просто потому, что есть комплексные числа и с ними можно научиться работать. Всё. А потом вдруг выяснилось, что с помощью комплексного анализа ученый Николай Жуковский выдумал формулу крыла: эта формула следовала исключительно из науки про комплекснозначные функции. А потом построили самолёт, на котором мы сейчас летаем. Если бы не было математики 200 лет назад, самолёт так бы и оставался на уровне идеи о том, что мы можем летать как птицы. Ну или какой-то умелец построил бы этажерки, скорость полёта которых была бы сравнима со скоростью поездов. Но на основе функции Жуковского однажды техники взяли и построили самолёт, летающий в 10 раз быстрее.

При этом сам математик продолжает сидеть в кабинете и работать. Окружающий мир математику не нужен, но окружающему миру очень сильно нужен математик.

Кто такие математики?

Поскольку математика — чистая наука, то в неё идут люди увлечённые. Их мотивация — получение знаний, а не использование их в прикладных целях.

Но бывает и наоборот. Человек хочет разобраться в биткоине, а для этого нужно понять, как устроено множество остатков от деления на простое число. Он идёт учиться и выходит специалистом по высшей математике: то есть пришёл с прикладным вопросом, а дошёл до сути. Но только тот, кто проникся любовью к математике, способен изобрести биткоин.

Математик вне своей профессиональной деятельности — это часто человек, который буквально воспринимает установки, принятые в обществе. О жизни он склонен судить по тем математическим законам, к которым приучен. Поэтому слепо доверяет правилам общества и из-за этого часто отрывается от жизни (нередко прописанной в законах и правилах лишь очень приблизительно).

Вот физики ближе к жизненной реальности, потому что физика познает физические законы бытия. И для них менее характерны строго-аксиоматические рассуждения о политике, экономике и социуме, свойственные математикам. Многолетний опыт жизни среди математиков и физиков привёл меня именно к такому выводу.

Зато математика учит брать на себя ответственность. Это важная черта для жизни в социуме, особенно необходимая мужчине, потому что для него ответственность — это естественное состояние.

Каждый раз надо понимать, с кем ты находишься во взаимодействии, перед кем у тебя возникают обязательства. Когда ты рожаешь детей, а у меня их пятеро, ответственность в том, что ты их воспитаешь. Когда выступаешь публично — ответственность перед всем миром. Извиниться, когда ты не прав, — это тоже ответственность. Нельзя быть всегда и во всём правым. Особенно математику: порой мы делаем ошибку на ошибке, потому что занимаемся исследованием. И вот это умение признаваться в ошибке — тоже черта, свойственная математикам.

Во время одного из интервью меня однажды спросили, что мне нравится и что бесит в математике. Не задумываясь, я ответил, что мне нравится всё. Потому что математика — самое красивое из всего, что на свете. Если ты проникся этой красотой, то математика будет для тебя лучше самых гениальных картин, философских изысканий и поэтических строк. Может быть, только музыка по красоте может сравниться с нею.

Для меня в математике нет ничего, что бы меня раздражало, ведь в ней не надо ничего заучивать. Да, есть расхожий школьный миф, что надо зубрить математические формулы. Но когда ты зубришь формулы, ты не математикой занимаешься, а готовишься к ЕГЭ.

Конечно, таблицу умножения надо знать назубок. Однако если ты много занимаешься математикой, ты незаметно для себя, автоматически, выучишь и таблицу умножения, и формулу разности квадратов, и сумму геометрической прогрессии. Пока решаешь задачи, хоть олимпиадные, хоть из школьного курса, все эти формулы сами отложатся в голове.

Самое большое разочарование, которое может испытать математик, это когда долго думал над решением задачи, вроде бы получил его, а оно оказалось неверным, обнаружилась ошибка в рассуждениях. Но я не могу сказать, что это бесит, потому что это шаг вперёд: ты понял, что такой-то путь ведет не туда, куда надо; следовательно, нужно искать другой. Подобная ситуация случалась со мной много раз, и то же самое скажет любой математик.

Да, если ты встал на эту дорогу, то у тебя могут быть разочарования в себе самом. Ты будешь ругать себя за тупость. Но помни: ты всё равно умнее многих других, просто потому что ты математик. (Здесь нужен смайлик, чтобы не впадать в гордыню!)

Математик: карьера и заработки

Математик может заработать много денег, да хоть миллион долларов, как Перельман, который, впрочем, от этой суммы отказался. Иными словами, математик, в принципе, может о деньгах не думать. Какие деньги, когда он каждый день с Богом разговаривает?

Но если стоит вопрос о хлебе насущном, например чтобы прокормить детей, то можно стать теоретиком-игровиком, и тебя тогда будут вызывать, например, на консультацию по практической организации аукционов. Можно пойти в прикладную математику и дальше зарабатывать сколько угодно — никакой верхней границы нет. Когда математику нужны деньги, он решает этот вопрос мгновенно: превращается в прикладного математика.

А если он гений, то может заниматься только теоретической наукой и получать государственные гранты огромного размера. Но я ещё раз повторю: математиков не интересуют деньги.

Карьерный рост у математиков, в принципе, такой же, как у любого другого учёного: кандидат наук, потом доктор наук, затем член-корреспондент РАН и, наконец, академик. Тут нет особой разницы с другими научными областями. Зато есть внутренняя кухня: у нас слишком много докторов, и доктор доктору рознь. Например, доктор физико-математических наук может быть не в состоянии решить олимпиадную задачу.

Всех секретов нашей внутренней кухни я выдавать здесь не буду (смайлик), однако скажу следующее: математик, находящийся на n-ном этаже постижения нашей науки, хорошо понимает, чего сто́ит тот или иной математик на предыдущих этажах, но не понимает, чего сто́ят математики на следующих, более высоких этажах, потому что он не способен сравнить их между собой. То есть он может оценить тех, кто на уровень слабее его, но не может оценить тех, кто объективно сильнее. И это порождает некие особые отношения в профессиональных кругах. Внутренняя кухня у нас богаче, чем в иных направлениях.

Где брать математиков

Я полагаю, что в XXI веке российское могущество будет прирастать не только Сибирью, но и Кавказом (перефразируя знаменитое высказывание Ломоносова). Во-первых, на Кавказе принято много рожать детей, а если детей рожается много, то в числе прочих будут рождаться и гении, это аксиома. Да и в целом — там, где много рожают, постоянно идет какой-то «движ», и надо лишь направить его в плодотворное русло.

Иными словами, математический центр в Майкопе появился совсем не случайно — там долгие годы действовала Региональная естественно-математическая школа (РЕМШ), и появилось желание перейти на новый уровень и в математике высшей. Но и в других регионах Кавказа, будь на то моя воля, я бы развивал математическое движение.

Расскажу такую историю. Однажды, в далёком 2019 году, мы ездили на каникулах в Ригу (и заодно я там выступил). После пары-тройки часов путешествия по городу я спросил у жены: «А что случилось, где хоть один ребёнок? Они здесь вообще есть или нет их?».

Жена сказала: «Даже не начинай, будешь сейчас рассказывать, как тут все плохо, что даже детей не рожают. Ты просто не был на окраине, там наверняка есть большое количество детей, а в центре и в Москве нет детей. Вот если на окраинах не будет детских площадок и школ — это уже будет интересно».

На окраину мы так и не съездили, но на моей лекции было около двухсот человек, как русскоговорящих, так и латышей, и я поговорил с ними. И они мне подтвердили, что в Латвии экстремально низкая рождаемость, да ещё многие уезжают из страны.

А потом я приехал в Грозный и обнаружил, что там дети попросту везде, на каждом шагу. Кучи классов в гимназиях, школах, все яркие, интересные, всё «пышет движухой». Они хотят слушать про математику, им это интересно. И если страна обеспечит достаточное количество грамотных учителей математики для Чеченской Республики (сейчас их там практически нет), то математика будет питаться оттуда, потому что где есть дети, там есть и будущее, там кипит жизнь.

Математика — это наполовину язык. И здесь дело обстоит как и с другими языками: чем раньше ты его усваиваешь, тем лучше. Классификации движений прямой или окружности, например, по моим наблюдениям, легче воспринимается учениками средних классов, чем более старшими учащимися. Ещё хуже этот материал усваивается в десятом классе, а в одиннадцатом классе и позже — совсем плохо (конечно, если речь идёт о школьниках, обучающихся по обычной школьной программе).

В начальной школе объяснять детям специальную математику, как мне сейчас кажется, нет особого смысла. Главное — это пробудить в ребёнке интерес. В исключительных случаях можно говорить с детьми о сложных вещах, но надо быть готовым к тому, что спустя какое-то время придется всё повторять. С пятого класса с ними можно работать вглубь.

В этом возрасте видно, насколько быстро или медленно ребёнок воспринимает конструкции, которые ты ему объясняешь. Рассказываешь про обратные операции, степени, и если человек схватывает и уже через пять минут начинает решать задачи на данную тему, то, скорее всего, он может стать нормальным математиком. Дальше вопрос в том, готов ли он к тому, чтобы стать немножко оглашенным, совсем другим по жизни.

Один из форматов моих выездов — это приехать в деревню, выявить талантливых к математике детей и сподвигнуть их усиленно заниматься математикой. Остальные тоже начнут учиться на ненулевом кураже, на какое-то время их энтузиазма хватит. В нашей стране талантливых детей рождается очень большой процент. А русская культура, в том числе русские образовательные традиции, способствуют раскрытию талантов. Важно не уходить от отечественных ориентиров, что, к сожалению, в последние 30–40 лет активно делалось.

А таланты всё равно будут рождаться, причем независимо от политического режима: сегодня Путин, вчера Брежнев, позавчера царь — а таланты рождались, рождаются и будут рождаться на нашей земле. В чём тут дело — в генетическом ли разнообразии, или же в способе общения родителей с детьми — я не знаю, мне трудно сказать. Русские народные сказки, русский менталитет, много чего ещё. Одним словом этого не опишешь.

Советская математическая школа — как в смысле общеобразовательном, так и в плане научных школ — была, несомненно, лучшей в мире. Наверное, можно сказать, что личность академика Колмогорова играла большую роль, хотя и вокруг него было множество звёзд первой величины. Что же касается самого Андрея Николаевича Колмогорова, то его авторитет не просто был признан во всем мире; можно сказать даже больше — многие западные учёные полагали, что это псевдоним, подобно знаменитым Бурбакам, стоящий за коллективом советских учёных. Настолько в разных областях Колмогоров отметился прорывными, ошеломляющими результатами.

Эти традиции сохранялись и в лихие 90-е, и в дальнейшем, несмотря на очень негативный общий фон образовательных антиреформ. Многие учёные, увы, успели поразъехаться по всему миру, и наводят своими способностями страх и ужас на всё население Земли, не будучи полноценно востребованными и оцененными на земле родной. Впрочем, если условия изменятся к лучшему, то всё быстро вернётся назад — именно в силу этого потрясающего свойства нашей культуры воспроизводить таланты. (Здесь надо написать, что издательство АСТ не несёт ответственности за фашистские воззрения автора этой книги, и много-много смайликов!)

За пределами России/СССР с математическими достижениями дела лучше всего обстоят в Венгрии, Японии, Франции, США (в последнем случае это делается нашими руками, а также руками всех вышеперечисленных, и не только их). Китай стремительно догоняет.

Где учиться математике?

Несколько лет назад я бы мог сказать, что хорошее математическое образование в России можно получить в каждом городе, где живёт более 50 тысяч жителей. Сейчас это уже не так — из многих городов учителя переехали в мегаполисы в супершколы либо сбежали от нынешних условий работы в репетиторы. Но всё же на любой большой город — не 50, так 250 тысяч жителей и выше — хотя бы один хороший учитель математики да найдётся. Бывает, что и в совсем маленьких городках есть математическая традиция. Не считая академгородков сибирских городов, навскидку назову Белорецк.

А вот образование в обычной школе скатывается до уровня в лучшем случае школы начальной. Мне кажется, что если ставить целью возродить массовое математическое образование, то прежде всего надо определить минимальный набор тем, которые реально «вдалбливать» в головы поголовно всем. Например:

0. Перевод текстовых задач в символы, решение простейших текстовых задач.

1. Делимость, основная теорема арифметики (хотя бы на уровне формулировки).

2. Дроби: сложение, умножение, сравнение, а также свободное владение пропорциями.

3. Проценты. Все виды задач на проценты, в том числе «сюжеты из прессы».

4. Геометрия. Простейшие фигуры, равенство треугольников и тому подобное.

Понятно, что все ученики разные, и каждый ученик на своей стадии остановится. Но бессмысленно «перепрыгивать» через разделы и уровни: скажем, учить человека, так и не освоившего сложение дробей, решению квадратных уравнений — это совершенно бессмысленно. К сожалению, именно это массово и происходит в современной школе (и хорошо, если хотя бы это происходит, тут нужен грустный смайлик).

Поэтому мне кажется безумной европейская идея полной уравниловки — запретить элитарное образование, чтобы базовое образование было хорошим. Полный бред, ибо дети рождаются с бесконечно разными способностями. В любом регионе есть гении, а есть и совершенно не способные к математике дети. В Англии не ставят целью обучить всех детей математике, но, судя по отзывам, в отличие от континентальной Европы, в очень дорогих элитных школах процесс организован правильно: есть несколько уровней изучения математики. Другое дело, что за деньги это каждый дурак сумеет, а массовое образование сделать неплохим удалось за всю историю мира только несуществующей ныне стране под гордым названием СССР. (Мы не будем обсуждать, какой ценой этого удалось добиться; оставим такие дискуссии историкам, пусть спорят друг с другом!)

Я езжу по всей стране, и, когда меня зовут в школы, я всегда вижу, какой процент мог бы заниматься по моей программе «100 уроков математики». Даже в самых простых школах это где-то 5–10 процентов детей. Заходишь в сельскую школу — учителей нет вообще. Есть люди, формально выполняющие что-то, из учебника что-то делающие с детьми, но они сами не понимают, что делают. Когда ты начинаешь заниматься с учениками, видишь: этот, тот смогут заниматься дальше нормально. Но им там не с кем. Поэтому мы записываем курс «100 уроков математики», я знаю, что на него имеется определённый родительский спрос.

Конечно, этот курс рассчитан только на минимальный процент сверхмотивированных школьников, умеющих учиться через экран; но хотя бы для них что-то теперь есть!

Те дети, которые к девятому классу пройдут мою программу «100 уроков» хотя бы наполовину, без проблем смогут изучить физику, химию, биологию. Кто не пройдёт, тот все эти науки освоит только на уровне классификации, собирания бабочек. Так что это ни в коем случае не ранняя специализация. Люди должны узнать математику, потому что без неё они не узнают ничего.

Но вот человек собирается получить профессию математика. Возникает вопрос: где получать высшее образование? Назову хорошие, на мой взгляд, вузы.

В Москве это школа прикладной математики и информатики МФТИ, где я работаю, либо механико-математический факультет МГУ. В Высшей школе экономике есть факультет математики и факультет прикладной математики и информатики. Правда, оттуда многие преподаватели побежали за рубеж, и часть предметов теперь, насколько я осведомлён, ведётся через экран. Качество образования это, естественно, снижает. Стоит упомянуть также Независимый Московский Университет. Это дополнительное вечернее образование: например, где-то учишься и понимаешь, что нужна и математика, и доучиваешься там.

В Питере есть Чебышовка — Исследовательская лаборатория им. П. Л. Чебышева под руководством Станислава Смирнова. Они набирают спецгруппу, в которой очень хорошо учат, на передовом мировом уровне.

Если хотите разобраться в математике, то можно поехать и в Майкоп: в Адыгейском государственном университете есть Кавказский математический центр, и вам дадут в руки «индивидуальную траекторию нормального человека», вас в научном смысле возьмёт на поруки мой друг Сева, работающий там. Я же сам там — заместитель руководителя, А. М. Райгородского. Мне нравится там приятная атмосфера и, конечно, близость гор.

С чего начать изучение математики взрослому человеку?

Что, если человек уже взрослый, но загорелся вдруг математикой? Дам несколько советов по погружению в Царицу наук.

1. Наполнить себя смыслом.

Подготовиться к тому, что в ближайшие годы значительную часть своей жизни вы наполните изучением математики. При этом не стоит задавать себе вопрос: «Зачем мне нужна математика?» Если уже есть внутренний смысл, который вас вдохновляет, то не имеет значения, откуда он взялся. Отталкиваясь от него, можно строить индивидуальную стратегию изучения математики, выбрать подходящие ресурсы и преподавателей.

Входов в математику очень много, но нужно понимать, что при любом входе довольно быстро начинается движение в гору и «одышка головного мозга». Человек же и живёт для того, чтобы осуществлять интеллектуальные усилия и прыгать выше головы. Важно настроиться на работу и не читать книги по математике просто как художественную литературу — их надо именно понимать, выполнять упражнения и так далее.

2. «Поставить голову».

Лучше всего «ставит голову» книга «Начала теории множеств» Николая Верещагина и Александра Шеня. Эта книга даст основу для понимания (а в дальнейшем — также и самостоятельного построения!) логических рассуждений. С неё же начнется и понимание теории множеств, лежащей в основе современной математики. Это важно, потому как самая главная идея, которая отличает математику от других наук, — это наличие «абсолютного доказательства». Можно дать голову на отсечение, что любая строго доказанная математическая теорема даёт нам абсолютное, стопроцентное, универсальное знание, непоколебимое ни временем, ни пространством.

Например, в «пятнашках», действуя по правилам игры, в принципе нельзя поменять местами 14 и 15, если все остальные числа должны в конце концов остаться на своих местах. Таким же примером служит футбольный мяч, который состоит из пятиугольных и шестиугольных лоскутков: если он склеен «по три лоскутка в каждой вершине», то 5-угольных лоскутков всегда, независимо от числа 6-угольных лоскутков и от метода склейки, будет ровно 12.

Всё необходимое для проведения соответствующего рассуждения придумал Эйлер ещё 250 лет назад, и не нужно тратить время на попытки сделанные выше утверждения опровергнуть (хотя придурки всё равно с завидной регулярностью находятся — те, кто себя убеждает в том, что он «всё-таки опроверг», провёл трисекцию угла, решил общее уравнение пятой степени в форме выражения с корнями и тому подобное).

Охватить больше разделов математики поможет книга Рихарда Куранта и Герберта Роббинса «Что такое математика?». Как и книгу Верещагина и Шеня, её нужно читать внимательно, делая все упражнения.

Если чувствуете, что сложновато, то для начала подойдёт моя «Математика для гуманитариев». Её также следует читать с самого начала, страницу за страницей, не стоит браться за чтение с середины. Она не очень простая, но предварительных сведений и математической культуры не предполагает, и в этом её суть и преимущество перед многими другими. Книга поможет заново освежить знания или узнать что-то с нуля.

Чтобы понять, каким образом математика входит в нашу жизнь, можно познакомиться с двумя книгами: «Кому нужна математика?» Андрея Райгородского и Нелли Литвак и «Математическая составляющая» (сборник сюжетов под редакцией Николая Андреева).

По теории игр для начала советую две переведённые книги Диксита и Нейлбафа — «Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни» и «Стратегические игры». Есть и более сложные: А. Захаров, «Теория игр в общественных науках», Г. Колесник, «Теория игр». Самая сложная — В. Данилов, «Лекции по теории игр». Из англоязычных рекомендую Кена Бинмора «Fun and Games» или её развитие — «Playing for Real».

Если хочется познакомиться с теорией игр в лёгкой и непринуждённой форме, то есть мой курс на Национальной платформе открытого образования «Теория игр в сюжетах» https://www.youtube.com/watch?v=6JqhxxuWVkg&t=12s. Собственно, эта рекомендация относится уже к следующему разделу/совету.

3. Смотреть видеолекции.

В интернете есть огромное количество научно-популярных лекций по математике. Смотрите и понимайте мои лекции про открытые проблемы школьной математики, про знаменитые решенные математические проблемы вообще и про те из решённых задач, над которыми математики ломали голову веками. Это вдохновит вас вдумываться в глубокие и сложные рассуждения.

Например, в античные времена была такая задача: разделить произвольный угол на три равные части при помощи циркуля и линейки. Сколько было сломано копий, пока в начале XIX века человечество не накопило достаточно знаний для понимания того, что такое вообще вещественное число и какие бывают числа (рациональные, алгебраические разных «степеней», трансцендентные). Это была, можно сказать, математическая революция вселенского масштаба, которая произошла в конце XVIII — начале XIX века. После этого стало ясно, что разделить с помощью циркуля и линейки угол на три равные части в принципе невозможно. (Эта задача называется «задачей о трисекции произвольного угла», и она уже выше упоминалась в связи с поведением сумасшедших от математики — увы, такие были, есть и будут во все времена!)

4. Тренируйтесь и получайте обратную связь.

Для этого можно использовать различные онлайн-курсы — на Coursera, например. Разбавлять вдумчивое изучение теории с практическими навыками по решению упражнений и получать обратную связь. В противном случае всё то, что вы, как вам казалось, поняли, улетучится на следующий день из вашей головы. Да и сразу после прослушивания лекций вы не сможете объяснить экзаменующему вас учёному, что же там в лекциях содержалось, каковы корректные определения вводимых понятий и формулировки (не говоря уже о доказательствах!) ключевых теорем.

5. Ищите красоту!

Математика без красоты — это ремесло, а математика с красотой — это искусство. Если вам какие-то задачи нравятся и вы готовы тратить на них силы, то стоит сосредоточиться на этих задачах и двигаться вперёд по своей собственной «индивидуальной траектории» в математике, до поры до времени не смущаясь тем, что у вас много пробелов в иных областях (помимо вашей любимой области). Но потом, когда/если вы захотите стать настоящим профессионалом в Царице всех наук, вам уже придётся, стиснув зубы и скрепя сердце, изучить и «нелюбимую» часть математики.

Вперёд, желаю удачи, а главное, вдохновения и терпения каждому из вас!