Горизонты техники для детей, 1974 №1

Веселая математика

— … нет, и не согласен получать меньше, — крикнул Мишка вскочив с пенька. (От возмущения у него даже дрожали уши, а шерсть встала дыбом).

— Или вы будете давать мне каждый день по литру меда в течение всего года, или я разнесу в пух и прах ваши трухлявые ульи.

Пчелиный рой тревожно загудел.

— Если ты не соглашаешься получать меньше, то может быть смилостивишься и примешь больше, — сказала самая молодая пчелка — работяга Улька.

— Что это еще за шутки? — спросил удивленный мишка.

— Мы могли бы с тобой заключить договор, скажем, на месяц. Каждый день будем давать тебе десять тысяч литров меда.

— Сколько? — крикнул Мишка, не веря своим ушам.

— Да, да, — спокойно продолжала пчелка — десять тысяч литров меда в день в течение месяца. Однако за это ты по доброй воле пожертвуешь нашей королеве наперсток меда.

— Только наперсток? — спросил, еле сдерживая смех Мишка — один кубический сантиметр за десять тысяч литров?

— Это в первый день, — сказала пчела — на второй день, за следующие десять тысяч литров меда ты пожертвуешь два наперстка, на третий день — четыре и так далее в течение месяца, каждый день удваивая эту ничтожную жертву.

— Я согласен, конечно согласен… воскликнул обрадованный медведь.

— Да, но мы не согласны, — загудели пчелы. — Ты, видно, сошла с ума, Улька. Ты всегда был хитра на выдумки, но на этот раз, прости, твое предложение кажется нам безумным.

— Что ж поделать, — сказала Улька. Сейчас не время убеждать вас, что эта сделка выгодна для нас. У меня есть другое предложение. Медведь требует, по крайней мере, литр меда в день, давайте дадим ему больше, но при условии, что он сам, без чьей бы то ни было помощи, будет брать у нас этот мед и относить его к себе в берлогу.

Медведь снова оживился. Эти глупые пчелы не приняли первое предложение Ульки, но видно маленькая пчелка заботится о его благе, если хочет дать ему больше меда, чем он требовал. Ну, что ж, послушаем…

— Давайте дадим ему сегодня, продолжала пчела, — литровый бидон меда, завтра он получит трехлитровый, послезавтра снова в три раза больше: — девять литров и так далее, и так далее, до тех пор, пока мед совсем не опостылеет ему. Сказав это, она наклонилась к подружкам и стала что-то шептать им.

— Хорошо, — загудели в ответ пчелы, — если ты согласен, то мы можем составить договор.

— Согласен. — поспешно произнес довольный Мишка. — Давайте составим договор.

В тот же день вечером Мишка, распевая веселую песенку, возвращался в свою берлогу, размахивая литровым бидончиком, наполненным пахучим лесным медом. На следующий день около улья стоял, поджидая его, трехлитровый бидон. Мишка подхватил его, довольный тем, что пчелы соблюдают договор. На третий день он шел в берлогу с десятилитровым бочонком меда на плече. На четвертый день он слегка вспотел, пытаясь взвалить на плечи двадцатисемилитровую бочку меда, однако, по-прежнему не чувствовал подвоха.

На пятый день его охватила, однако, легка тревога. «Уж не посмеялась-ли над ним маленькая Улька?» Около улья поджидала бочка меда, которая была больше его самого. Согласно договору в ней был восемьдесят один литр меда. Однако, навалившись на бочку, медведь опрокинул ее и сопя и пыхтя, покатил к берлоге.

На шестой день, несмотря на все старания, Мишка так и не смог забрать причитающийся ему мед. Огромную бочку, наполненную 243 литрами меда, он даже не мог опрокинуть на бок. Пришлось Мишке признаться, что его любовь к лакомству была наказано.

Печальный шел он к себе в берлогу, размышляя о том, как бы было хорошо, если бы пчелы приняли первое предложение Ульки. Он, наверное, очень удивился бы, узнав, что за всю свою медвежью жизнь, не смог бы расплатиться с пчелами.

Вы тоже удивляетесь? Что ж, подсчитайте, а потом сравните результат с ответом.

В. В.

Ответ:

Предложение маленькой пчелки только на первый взгляд может показаться безумным. В течение первых десяти дней жертва, приносимая мишкой, действительно, была бы сущим пустяком, по сравнению с тем количеством меда, которое он бы получал. За эти десять дней он получил бы: 10 х 10 000 = 100 000 литров меда, а отдать пришлось бы ему 1 + 2+ 4 + 8 +16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1 023 наперстка, т. е немногим более литра меда.

Однако в течение следующих десяти дней ему пришлось бы принести в жертву уже не наперстки, а свыше тысячи литров меда (1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 192 + 16 384 + 32 728 + 65 536 + 131 072 + 262 144 + 524 288 = 1 048 575 наперстков = 1 048 литров).

Заметьте, как невероятно быстро растут эти числа! Пять дней спустя мишка должен был бы отдавать пчелам больше, чем получает, а за последние пять дней месяца он потерпел бы полнейшее банкротство. Если у вас хватит терпения — то вы можете подсчитать, а если нет, то поверьте на слово, что на тридцатый день мишка должен был бы отдать 536 870 912 наперстков меда, а сумма всех наперстков меда, принесенного в течение месяца, превысила бы миллиард (1 073 714 823), т. е. свыше миллиона литров. А пчелы дали бы ему за месяц только 30 х 10 000 = 300 000 литров.

Мишка никогда не смог бы заплатить такой огромной долг — свыше 700 000 литров меду.

Что? Вы, кажется, говорите, что он смог бы отработать, нанявшись пчелам в батраки за литр меда в день? Да, конечно, но ему пришлось бы работать у них почти… 2000 лет.