Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №11

Расчет дополнительных погрешностей каналов ИИС АСУТИ

Кузнецов Б.Ф., Пинхусович Р.Л., Пудалов А.Д.

В настоящее время большинство технологических процессов в химической и нефтехимической промышленности оснащаются автоматическими системами управления (АСУТП), неотъемлемой частью которых являются информационно-измерительные системы (ИИС). Основной особенностью функционирования измерительных каналов ИИС при работе в составе АСУТП является то, что здесь реализуются динамический режим измерений.

Отклонение значений параметров технологических процессов от заданных может привести к значительным экономическим потерям, т. е. снижению эффективности функционирования АСУТП [1]. При этом одним из основных факторов определяющих эффективность работы систем автоматического управления является точность измерения значений параметров технологических процессов, на основе результатов которых вырабатывается управляющее воздействие. В данных условиях, преобладающими являются такие составляющие как динамическая и дополнительные погрешности измерительных преобразователей (ИП), и в совокупности могут составлять до 90 % от суммарной погрешности измерительного канала ИИС.

Появление дополнительных погрешностей обусловлено воздействием на ИП совокупности неконтролируемых факторов, например, температуры окружающей среды, влажности атмосферного воздуха, изменения параметров питающей сети и др..

Существующие в настоящее время методики расчета дополнительных погрешностей позволяют производить вычисления только для случая, когда измерения осуществляются в установившемся режиме, тогда внесение поправок на результат измерений не представляет трудности. Анализ дополнительной погрешности измерительного канала в динамическом режиме требует иного подхода, разработка которого и является целью данной работы.

Модель измеряемого сигнала на входе канала ИИС x(t) может быть представлена в виде суммы математического ожидания измеряемого параметра μ_x = M{x{t)}, стационарного центрированного случайного процесса гауссовского типа x⁰(t) и гармонической составляющей x_h(t) [2–4]:

x(t) = μ_x + x⁰(t) + x_h(t). (1)

Модель влияющих величин ε(t) также может быть описана выражением подобным выражению (1), т. е. [2–4]:

ε(t) = μ_ε + e⁰(t) + e_h(t), (2)

где μ_ε — математическое ожидание влияющей величины; e⁰(t) — стационарный центрированный случайный процесс гауссовского типа; e_h(t) — гармоническая составляющая.

При учете инерционности измерительного канала и канала влияния необходимо также иметь информацию о таких характеристиках сигналов как спектральная плотность мощности (СПМ) или соответствующая ей автокорреляционная функция (АКФ).

В общем случае выходной сигнал измерительного канала y(t) есть некоторый функционал от измерительного сигнала и влияющей величины (или величин) т. е. y(t) = Ψ{x(t),ε(t)}, но при нормировании дополнительной погрешности обычно сводят к одному из следующих видов:

— мультипликативная погрешность;

— аддитивная погрешность;

— аддитивно-мультипликативная погрешность (при нескольких влияющих величинах).

В зависимости от количества влияющих величин и их взаимной зависимости, а так же зависимости между ними и измеряемой величиной могут быть выделены следующие модели погрешности измерительного канала:

— скалярная модель с независимыми сигналами (одна влияющая величина ε{t), p_xε = 0, x_h(t) = 0, ε_h(t) = 0);

— скалярная модель с зависимыми сигналами (одна влияющая величина ε(t), p_xε не = 0, x_h(t) = 0, ε_h(t) = 0);

— скалярная модель с учетом гармонических составляющих (одна влияющая величина ε(t), p_xε не = 0, x_h(t) не = 0, ε_h(t) не = 0);

— векторная модель с независимыми составляющими (вектор влияющих величин [ε] = [ε₁(t),ε₂(t),ε₃(t)….ε_n(t)], матрица корреляции вектора [ε] нулевая);

— векторная модель с зависимыми составляющими (вектор влияющих величин [ε] = [ε₁(t),ε₂(t),ε₃(t)….ε_n(t)] матрица корреляции вектора [ε] ненулевая);

Рассмотрим основные случаи, при этом опустим громоздкие математические выкладки и промежуточные вычисления.

Суммарная погрешность измерительного преобразователя, при статистической независимости между составляющими, может быть определена по формуле [4]:

(3)

где Δ_осн — основная погрешность средства измерений; Δ_дин — динамическая погрешность; Δ_доп — дополнительная погрешность; n — число влияющих величин.

Выражение (3) также может быть представлено в следующем виде:

(4)

где Ψ(ε_i) — функция влияния, или коэффициент влияния, когда она линейна, или функция совместного влияния нескольких влияющих величин Ψ(ε_i,ε_j); ε_i — i-тая влияющая величина; μ_0i — значение влияющей величины принятое при градуировке ИП; i = 1,2…n; j = 1, 2…n, при i не = j.

Мгновенное значение дополнительной погрешности может быть определено из разности сигнала с выхода преобразователя и входного сигнала:

Δ_доп(t) = (y(t) — x(t)) = ax(t)[ε(t) — μ₀]. (5)

Так как в выражение (4) дополнительная погрешность входит в виде квадрата своего значения, то более удобно определять сразу ее квадрат, поэтому (5) запишем в виде:

Δ²_доп(t) = a²x²(t))[ε(t) — μ₀]².

В технологических измерениях, как правило, интерес представляет не мгновенное, а среднее значение измеряемого параметра, а, следовательно, и расчет дополнительной погрешности необходимо проводить в «среднем» за период времени.

Выражение для расчета математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности без учета динамических характеристик каналов воздействия измеряемой и влияющих величин имеет вид [10]:

M{Δ²_доп} = a²[μ²_xμ²_ε + σ²_xσ²_ε(1 + 2p²x_ε) + μ²_xσ²_ε + μ²_εσ²_x + 4μ_xμ_εσ_xσ_εp_xε]. (6)

где p_xε — коэффициент корреляции между измеряемой и влияющей величинами.

Здесь и в дальнейшем под обозначением μ_ε, будем понимать смещение математического ожидания влияющей величины относительно значения μ₀, которое принято при градуировке измерительного преобразователя.

В том случае, когда в сигналах входной и влияющей величин присутствуют гармонические составляющие, определяемые соответственно как:

x_h(t) = C_xsin(ω_xt),

ε_h(t) = C_εsin(ω_εt).

где C_x и C_ε — амплитуды гармонических составляющих соответственно входного и влияющего воздействий; ω_x и ω_ε — их частоты.

Выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности с учетом гармонических составляющих коррелированных сигналов измеряемой и влияющей величин имеет вид [5]:

В том случае, когда гармонические составляющие случайных процессов x_h(t) и ε_h(t) коррелированы, т. е. ω_x = ω_ε, выражение (7) усложняется:

где ф — сдвиг фаз между гармоническими составляющими.

При воздействии на измерительный преобразователь n статистически независимых влияющих величин (рис. 1), не коррелированных с входным воздействием, выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности имеет вид

где a_i — коэффициент влияния i-той влияющей величины.

Рис. 1. Структура модели возникновения дополнительной погрешности при наличии множества влияющих воздействий.

При воздействии на ИП n статистически зависимых влияющих величин, которые коррелированы с входным воздействием, выражение (9) существенно усложняется и принимает вид:

Во всех предыдущих расчетах предполагалось, что тракты прохождения измеряемой и влияющей величин являются безинерционными, или, искажениями формы сигналов за счет инерционности можно пренебречь. В том случае, когда в каналах присутствует инерционность (рис. 2), расчет математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности осуществляется по иной схеме.

Рис. 2. Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий

При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.

Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:

Δ(t) = x(t) — y₁(t) = x(t) — [a∙y(t)e(t) + y(t)].

Определим квадрат суммарной погрешности:

Δ²(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]² = [x(t) — y(t)]² + a²y²(t)e²(t) — 2ay(t)[x(t) — y(t)].

В выражении (11) присутствуют 3 составляющие. Первая определяет квадрат динамической погрешности Δ²_дин; вторая — квадрат дополнительной погрешности Δ²_доп; третья — член, обусловлен наличием корреляционной связи между дополнительной и динамической погрешностями.

Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида:

S_x(ω) = 2σ²_xα/π(α² + ω²),

где α — параметр функции СПМ, а передаточная функция каналов воздействия сигналов ИП описываются инерционным звеном первого порядка:

W(jω) = 1/(1 + jωT))

где Т — постоянная времени.

Дисперсии измеряемой и влияющей величин соответственно равны [12]:

σ²_y = σ²_x/(1 + αT₁),

σ²_e = σ²_ε/(1 + αT₂),

Примем так же, как наиболее характерный случай, что корреляционная матрица входного воздействия и влияющей величины определена как:

где а_х, а_ε и а_хε, а_εх, с = σ_xσ_εp_xε — параметры соответственно корреляционных и взаимных корреляционных функций измеряемого и влияющего воздействий.

Математическое ожидание квадрата динамической погрешности равно:

M{Δ²_дин} = σ_xВ₁/(1 + B₁)

где В₁ = а_xТ₁.

Математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности:

где В₂ = а_εТ₂.

Математическое ожидание корреляционной составляющей суммарной погрешности определяется из следующего выражения:

(14)

где B₃ = a_xεT₁; B₄ = a_xεT₂.

Максимальное увеличение суммарной динамической и дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи между этими погрешностями, в рассмотренном примере, не превышает 20 %. Такое увеличение суммарной погрешности является несущественным и, поэтому, во многих случаях, корреляционной составляющей можно пренебречь.

В том случае, если дополнительная погрешность является чисто аддитивной, то математическое ожидание ее квадрата определяется только статистическими параметрами влияющей величины:

M{Δ²_доп} = b2[μ²_ε + σ²_ε]. (15)

где b — коэффициент влияния аддитивной дополнительной погрешности.

На рис. 3 представлена структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности.

Рис. 3. Структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности измерительного преобразователя

Дополнительная погрешность на выходе ИП равна:

Δ_доп(t) = ax(t)ε(t) + bε(t).

Математическое ожидание квадрата мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности, при учете корреляции между измеряемой и влияющей величиной, равно:

Выражение (16) состоит из трех частей, образующих три слагаемых суммарной погрешности. Первая часть характеризует мультипликативную составляющую, которая совпадает с (6). Вторая часть — аддитивную, совпадающую с (15). Третья — характеризует статистическую зависимость между аддитивной и мультипликативной составляющими суммарной погрешности:

M{Δ_p} = 2ab[μ_xμ²_ε + μ_xσ²_ε + 2μ_εσ_xσ_εp_xε]. (17)

Максимальное увеличение суммарной дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи достигает 100 %. Такое увеличение суммарной погрешности за счет корреляционной составляющей является существенным и поэтому ее следует обязательно учитывать при расчетах аддитивно-мультипликативной дополнительной погрешности.

Рассмотренная в качестве примера структура измерительного канала, имеющая инерционные звенья, является лишь частным случаем более сложных динамических структур. Наличие в каналах измеряемой и влияющей величин сложных динамических структур не позволяет представлять результаты в аналитическом виде. В этих случаях следует использовать численное моделирование.

_{Литература}

_{1. Миф Н.П. Оптимизация точности измерений в производстве. — М.: Издательство стандартов, 1991. - 136 с.}

_{2. Нормирование и использование метрологических характеристик средств измерений. Нормативно-технические документы. ГОСТ 8.009-84, методический материал по применению ГОСТ 8.009-84, - М.: Изд-во стандартов, 1985.}

_{3. Волгин В.В. Модели случайных процессов для вероятностных задач синтеза АСУ. Генеральная совокупность реализаций. Эргодичность. Единственная реализация. — М.: Издательство МЭИ, 1998. - 64 с.}

_{4. Волгин В.В., Каримов PH. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления. — М.: Энергия, 1979. - 80 с.}

_{5. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология. — М.: Логос, 2000.}

_{6. Пинхусович P.Л, Кузнецов Б.Ф., Пудалов А.Д. Метод расчета дополнительной погрешности измерительных преобразователей при коррелированных воздействиях. // Измерительная техника, 2002, № 9, с. 12–14.}

_{7. Пинхусович P.Л, Кузнецов Б.Ф., Пудалов А.Д. Модель дополнительной погрешности измерительных преобразователей от множества влияющих воздействий. // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов XV Международной научной конференции. В 10-и т. Том 7. Секция 7/ Под общ. Ред. B.C. Балакирева. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2002, с. 13–16.}

_{8. Пинхусович P.Л, Кузнецов Б.Ф., Пудалов А.Д. Расчет дополнительной погрешности измерительных преобразователей с учетом динамики канала влияния. // Датчики и системы: Сборник докладов международной конференции. Том 3. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002, с. 173–177.}

_{9. Кузнецов Б.Ф., Пинхусович P.Л. Методы расчета дополнительной погрешности измерительных преобразователей стохастических сигналов // Измерительная техника № 4, 2002 г.}

_{10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1968.-720 с.}