Искусственный спутник Земли

Задача Ньютона и ее решение

В главном творении Исаака Ньютона, его книге «Математические принципы натуральной философии», опубликованной в 1687 году, есть такое рассуждение:

«Если свинцовое ядро, брошенное горизонтально силою пороха из пушки, поставленной на вершине горы, отлетает по кривой — прежде чем упасть на Землю — на две мили, то (предполагая, что сопротивления воздуха нет), если бросить его с двойной скоростью, оно отлетит приблизительно вдвое дальше; если с десятикратной, то в десять раз. Увеличивая скорость, можно, по желанию, увеличить и дальность полета и уменьшить кривизну линии, по которой ядро двигается, так что можно бы заставить его упасть в расстоянии 10°, 30° и 90°, можно заставить его окружить всю Землю и даже уйти в небесные пространства и продолжать удаляться до бесконечности».

Вдумаемся в смысл сформулированной здесь задачи. Первая часть рассуждения Ньютона не вызывает сомнений. Кому неизвестно, что чем сильнее бросишь камень или иной предмет, тем он дальше полетит. Понятно и то, что с увеличением скорости вылета снаряда, кривизна пути его полета уменьшается — снаряд летит на большее расстояние, поэтому его траектория становится более пологой.

Правда, никому еще из артиллеристов не удалось стрельнуть так далеко, чтобы снаряд пролетел четверть меридиана (90°), т. е. 10 000 км. Однако можно поверить и в это — все зависит от той скорости, с которой снаряд покидает ствол орудия. Если увеличить скорость вылета, увеличится и дальность полета снаряда.

Но вот чтобы снаряд можно было заставить облететь вокруг земного шара, т. е., по выражению Ньютона, «окружить всю Землю» или, тем более, отправить его навсегда за пределы Земли в мировое пространство, — это кажется невероятным.

Давайте, однако, не спешить с выводами, а попробуем обосновать рассуждения Ньютона численными расчетами.

Известно, что брошенное тело падает на Землю вследствие ее притяжения. Вес тел есть та сила, которая удерживает все земные предметы на поверхности нашей планеты и мешает им отправиться в межпланетное путешествие. Можно, однако, бросить тело так, что оно, сохранив свой вес, тем не менее никогда не упадет на Землю, а будет обращаться вокруг нее, как крошечная Луна.

Для этого необходимо, чтобы центростремительная сила, возникающая при обращении тела вокруг Земли, равнялась его весу, или, точнее говоря, чтобы вес тела стал в таком движении центростремительной силой.

Пусть Масса тела равна m, ускорение силы тяжести g, радиус земного шара R, а скорость, которой должен обладать рассматриваемый нами искусственный спутник Земли, обозначим буквой υ.

Можно считать, что высота горы, на которой установлена воображаемая ньютонова пушка, весьма мала в сравнении с радиусом Земли и потому радиус орбиты спутника положим приближенно равным земному радиусу. Центростремительная сила, действующая на спутник, равна по известной формуле . Для того чтобы вес тела, равный произведению mg, не мешал круговому движению спутника, а, наоборот, сам был движущей центростремительной силой, необходимо, чтобы . Сокращая на m, получаем для искомой скорости выражение .

Остается подставить в выведенную формулу численные значения g=9,8 и R= 637∙10⁴ м. В результате получаем, что υ≈7900 =7,9 .

Таким образом, для того чтобы тело превратилось в искусственный спутник Земли и «окружило всю Землю», необходимо сообщить телу горизонтальную скорость почти в 8 .

В этом случае спутник будет как бы непрерывно «падать» на Землю, двигаясь вокруг нее по окружности, причем, повторяем, единственной силой, действующей на спутник, будет сила его веса.

Нетрудно подсчитать, за какое время подобный спутник облетит всю Землю. Длина окружности земного экватора равна 40076 км, а скорость спутника 8 . Отсюда следует, что период обращения такого спутника вокруг Земли равен 1 часу 24 минутам.

Ньютон, разумеется, не подозревал, что сформулированная им задача может иметь какое-нибудь практическое значение. Для него это был лишь один из теоретических примеров движения тел под действием тяготения.

Современная наука иначе расценивает задачу Ньютона. В ней она усматривает реальную возможность создания искусственных спутников Земли.

Разумеется, созданы они будут не так, как это рассказано у Ньютона. Бессмысленно устанавливать пушку на вершине горы, а затем выпускать из нее с нужной скоростью снаряды. Дело в том, что если бы даже современным артиллеристам удалось получить столь высокие скорости выброса снарядов, то все равно эти снаряды не стали бы спутниками Земли. Сопротивление атмосферы быстро бы затормозило их полет и заставило снаряды упасть на Землю.

Искусственные спутники должны быть созданы за пределами земной атмосферы, там, где ничто не будет мешать их свободному движению. О техническом решении этой задачи мы еще побеседуем, а сейчас попробуем сообразить, как будут двигаться вокруг Земли ее заатмосферные спутники.

С удалением от Земли сила ее притяжения ослабевает. Если на поверхности Земли ускорение силы тяжести равно 9,8 , то уже на высоте 3000 км над Землей оно равно 4,5 , а на расстоянии Луны (384403 км) ускорение земного тяготения составляет всего 0,27 . Заметим, что именно с таким центростремительным ускорением и обращается Луна вокруг Земли, что впервые было доказано Исааком Ньютоном. Значит, силой, заставляющей Луну обращаться вокруг Земли, является сила земного притяжения.

Известно, что Луна совершает полный оборот вокруг Земли за 27⅓ суток. Если бы ее поместить на более близкое расстояние от Земли, то взаимное притяжение этих двух тел увеличилось бы и Луна, приобретя бóльшую скорость, совершала бы обращение вокруг Земли за меньший срок.

Знаменитый предшественник Ньютона немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) открыл закон, связывающий расстояние планет от Солнца с их периодами обращения. Закон Кеплера гласит: «Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца».

Сформулированный закон верен не только для Солнца и планет, но вообще для всех небесных тел, движущихся под действием взаимного тяготения. Давайте применим его к интересующему нас случаю.

Обозначим расстояние Луны от Земли буквой R, ее период обращения вокруг Земли T. Пусть где-то между Землей и Луной, на расстоянии r от центра Земли, обращается вокруг нее искусственный спутник. Найдем период обращения спутника, обозначив величину этого периода буквой t.

По закону Кеплера: . Откуда .

Полученная формула позволяет для любого заатмосферного спутника подсчитать период его обращения вокруг Земли. Вот таблица, дающая результаты подобных вычислений. В первой ее графе указаны расстояния спутника от центра Земли (r), во второй — его высота над земной поверхностью (h), а в третьей — приближенное значение периода (t).

Зная расстояние спутника от Земли (r) и его период обращения (t), легко найти скорость, с которой спутник движется по своей орбите. Обозначим искомую скорость буквой υ. Тогда, по известной формуле для кругового движения, получаем .

Легко убедиться, подставляя в данную формулу из предыдущей таблицы различные значения r и t, что с удалением от Земли скорость спутника уменьшается и на высоте 36 000 км она становится равной всего 3,1 .

Таким образом, если человечеству удастся создать искусственный спутник Земли, то вселенная обогатится еще одним небесным телом, которое, несмотря на свое искусственное происхождение, будет в своем движении подчиняться тем же законам, что и настоящие небесные тела.

В конце задачи Ньютона сказано, что можно заставить тело навсегда «уйти в небесные пространства и продолжать удаляться до бесконечности». В сущности здесь утверждается, что возможно сообщить такую скорость телу, при которой оно не упадет на Землю и даже не станет ее спутником, а навсегда покинет нашу планету, отправившись в межпланетное путешествие. Возможно ли это?

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, утверждает, что тела[1] с массами M и m притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональный квадрату расстояния (r) между ними. Иначе говоря:

где f — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной тяготения.

Из закона тяготения вытекает важное следствие. Допустим, что тело с массой m находится на поверхности планеты, масса которой М, а радиус равен R. Тогда, как можно доказать методами высшей математики, работа, которую надо совершить, чтобы удалить тело с поверхности планеты в бесконечность, равна .

Вернемся снова к задаче Ньютона. Чтобы снаряд, выброшенный из ньютоновой пушки, смог улететь в бесконечность, необходимо сообщить ему такую кинетическую энергию, которая бы равнялась указанной выше работе.

Следовательно, если масса снаряда m, а скорость его вылета υ, то , откуда .

В первом приближении, вес снаряда, находящегося на Земле, есть сила его притяжения к Земле, т. е. или .

Сравнивая две полученные формулы, приходим к заключению, что искомая скорость (без учета сопротивления воздуха) может быть найдена по формуле . Учитывая, что g=9,8 , а радиус Земли R=6370 км, получаем υ=11,2 .

Оказывается, отправиться в путешествие по вселенной дело непростое — для этого нужно приобрести начальную скорость не менее 40 000 ! Такова та «скорость отрыва», к достижению которой стремится современная техника.

Разумеется, во времена Ньютона, когда транспортные средства сообщения ограничивались кабриолетами и дилижансами, огромные скорости казались возможными лишь в мире небесных тел. С такой чисто астрономической точки зрения и рассматривал Ньютон решение своей знаменитой задачи.

Ему удалось не только найти скорость отрыва от Земли, но и вычислить, по какой же кривой в этом случае полетит брошенное тело. Мы не будем приводить вычислений Ньютона, потому что нахождение всех возможных траекторий брошенного тела в задаче Ньютона требует применения высшей математики. Ограничимся лишь тем, что укажем конечные результаты.

Оказывается, снаряд, покинувший ствол ньютоновой пушки в горизонтальном направлении со скоростью 11,2 , начнет двигаться по параболе. Как известно, парабола в отличие от окружности представляет собой разомкнутую кривую, обе ветви которой, постепенно удаляясь друг от друга, уходят в бесконечность. Вершина параболы в задаче Ньютона совпадает с воображаемой пушкой и выброшенный ею снаряд станет двигаться по одной из половин параболы.

У читателя естественно мог возникнуть вопрос: что же произойдет со снарядом, если его скорость будет больше «круговой» скорости в 8 , но меньше «параболической» скорости в 11,2 ?

Ньютон доказал, что в таком случае снаряд превратится в искусственный спутник Земли, но только обращаться вокруг Земли он будет не по окружности, а по эллипсу (рис. 2).

Чем с большей скоростью снаряд покинет ствол орудия, тем по более вытянутому и крупному эллипсу он полетит. На рисунке показана эллиптическая орбита спутника, по которой он будет двигаться, если его скорость лежит в пределах от 8 до 11 . При скоростях, близких к параболической, эллиптические орбиты становятся настолько огромными и вытянутыми, что вблизи ньютоновой пушки их трудно отличить от параболы. Наконец, когда достигнута «скорость отрыва», вместо обращения Земли по эллиптической орбите спутник навсегда покинет Землю, отправившись, в путешествие по параболе.

Мыслим и такой случай, когда скорость снаряда станет больше 11,2 . Тогда, как доказал Ньютон, тело никогда не вернется на Землю, но двигаться оно будет не по параболе, а по одной из гипербол. Чем больше скорость снаряда, тем более «разогнутой» становится его гиперболическая орбита, тем больше она приближается по своей форме к прямой, служащей касательной к поверхности Земли в вершине ньютоновой горы. Само собой разумеется, двигаться по касательной снаряд никогда не сможет — для этого его скорость должна стать бесконечно большой, что практически недостижимо.

Подведем итоги:

Снаряд ньютоновой пушки может лететь по разным траекториям. Если его скорость меньше круговой (8 ), снаряд падает обратно на Землю по дуге, на малом протяжении сходной с параболой[2] при скорости 8 снаряд превращается в искусственный спутник Земли, обращающийся вокруг нашей планеты по круговой орбите. Могут быть созданы и «эллиптические» спутники, для чего необходимо, чтобы их начальная горизонтальная скорость заключалась в пределах от 7,9 до 11,2 . Наконец, для совершения межпланетного перелета необходимо сообщить телу скорость не менее 11,2 . В этом случае оно полетит по параболической или по одной из гиперболических орбит.

Ньютон был основателем небесной механики — науки о движениях небесных тел, вызванных их взаимным притяжением. Ему принадлежит полное решение основной, простейшей задачи небесной механики — так называемой «задачи двух тел».

Представим себе два небесных тела с известными массами m₁ и m₂. Допустим, что тела притягивают друг друга и в начальный момент расстояние между ними равно r (рис. 3). Скорость каждого из тел изобразится вектором, величину и направление которого будем считать известными (векторы υ₁ и υ₂). «Задача двух тел» заключается в том, чтобы, исходя из указанных начальных данных, определить положение тел для любого момента времени в будущем и в прошлом.

Ньютон решил эту задачу. Он доказал, что если одно из тел считать неподвижным, то второе тело может двигаться относительно первого только по одной из известных нам кривых — эллипсу, параболе или гиперболе. Какова же конкретно будет орбита второго тела — это зависит от исходных данных «задачи двух тел». Нетрудно заметить большое сходство простейшей задачи небесной механики с задачей Ньютона. И там и здесь — два тяготеющих друг к другу тела. И там и здесь некоторые «начальные условия» определяют конкретное решение задачи.

Однако задача двух тел более общая, чем «задача Ньютона». В последней начальная скорость второго тела имеет всегда одно и то же (горизонтальное) направление. В «задаче двух тел» как величина, так и направление начальной скорости, а также расстояние между телами могут быть любыми.

Искусственные спутники Земли, как мы увидим в дальнейшем, будут созданы на разных высотах. Различны будут их массы и начальные скорости. Вот почему для расчета орбит искусственных спутников Земли придется воспользоваться не только решением «задачи Ньютона», но и формулами задачи двух тел.

Если бы можно было пренебречь притяжением небесных тел и считать, что на спутник действует только сила земного тяготения, орбита спутника могла бы быть только окружностью или эллипсом. В действительности движение спутника во многих случаях будет гораздо более сложным.

Наш естественный спутник — Луна — обладает настолько большой массой и так близок к Земле, что пренебречь его воздействием на искусственные спутники невозможно. Только те из них, которые будут обращаться вокруг Земли на сравнительно небольшой высоте (сотни километров), не испытают на себе заметного влияния Луны.

Для более же отдаленных спутников притяжение Луны способно сильно усложнить их орбиты.

В таком случае возникает задача не двух, а трех тел: Земли, Луны и спутника. Пусть искусственный спутник расположен где-то между Землей и Луной. Будем считать, что в некоторый начальный момент времени взаимные расстояния трех тел, их массы и начальные скорости известны. Задача состоит в том, чтобы определить, как будут двигаться все три притягивающих друг друга тела, в частности интересующий нас искусственный спутник Земли.

Задача трех тел исключительно сложна и в общем случае, т. е. когда массы тел могут быть любыми, она по существу не получила и доныне своего решения. Правда, в начале текущего века финляндский математик Зундман вывел формулы, выражающие положение всех трех тел через начальные условия. Однако формулы Зундмана настолько громоздки, что никаких практических расчетов по ним производить нельзя.

Только в некоторых частных случаях «задача трех тел» допускает сравнительно простые решения. Одно из них было найдено знаменитым французским математиком Лагранжем в конце XVIII века. «Случай Лагранжа» заключается в следующем.

Допустим, что три тела в некоторый момент времени образуют вершины равностороннего треугольника. Тогда, как доказал Лагранж, и в дальнейшем их взаимное расположение не изменится, как бы сложно не перемещался в своей плоскости возникший равносторонний треугольник.

Любопытно отметить, что «случай Лагранжа» наблюдается в природе. Оказывается, у крупнейшей планеты солнечной системы — Юпитера есть своеобразные «конвоиры» (рис. 4). Это — карликовые планеты (астероиды), обращающиеся вокруг Солнца по орбите Юпитера. Десять из них предшествуют Юпитеру, а пять идут сзади, причем в каждый момент времени Солнце, Юпитер и «троянцы»[3] находятся в вершинах двух равносторонних треугольников.

Точки, вблизи которых находятся «троянцы», в небесной механике, называются «треугольными точками либрации». Помещенное в них тело окажется в состоянии устойчивого равновесия. Что же касается «троянцев», то не совпадая в точности с точками либрации, они описывают вокруг этих точек небольшие, но очень сложные орбиты.

«Случай Лагранжа» должен быть учтен при создании искусственных спутников Земли. Ведь в системе Земля–Луна также есть треугольные точки либрации, и спутники, помещенные в них, постоянно находились бы от Земли и Луны на одинаковых расстояниях.

По исследованиям Лагранжа, кроме треугольных точек либрации, в задаче трех тел есть еще три «прямолинейные» точки либрации. Они расположены на прямой, проходящей в нашем случае через центры Земли и Луны (рис. 5). Для астронавтических целей эти точки, однако, менее интересны, чем предыдущие, так как тело, помещенное в них, оказалось бы в неустойчивом равновесии.

Массы искусственных спутников Земли будут, несомненно, ничтожно малы по сравнению с массами Земли и Луны. Именно поэтому, к вычислению орбит спутников вполне применимы выводы так называемой ограниченной задачи трех тел. Как раз в этом частном случае задачи трех тел считается, что масса третьего тела бесконечно мала в сравнении с массами двух других тел.

Ограниченная задача трех тел исследовалась такими крупнейшими математиками XIX века, как Якоби, Джорж Дарвин и Пуанкаре. Ими были вычислены всевозможные замкнутые «периодические» орбиты, по которым при тех или иных начальных условиях будет двигаться третье тело. Результаты оказались весьма интересными.

На рисунке 6 показаны примеры некоторых «периодических» орбит. Это уже не такие простые кривые, как окружность или эллипс. Многие орбиты имеют весьма сложную и необычную форму, как, например, кривая II.

Исследователи «ограниченной задачи трех тел», конечно, не предполагали, что результаты их теоретических изысканий могут иметь какое-нибудь практическое значение. Однако, как это часто бывало в истории науки, то, что казалось отвлеченным, получает впоследствии практическое применение.

Некоторые из изображенных на рисунке 6 орбит могут быть использованы астронавтами, как, например, орбита I, обеспечивающая регулярное сообщение спутника с Землей и Луной. Как только во вселенной появятся самоуправляемые небесные тела — космические корабли и спутники, созданные человеком, многие вопросы небесной механики приобретут новый, глубоко практический смысл.