Истина в пределе

Бесконечности, большие и малые

Анализ бесконечно малых был наполнен бесконечно большими и бесконечно малыми величинами с самого момента создания, в течение первых трех четвертей XVII века, когда его продвинули вперед Ньютон и Лейбниц, равно как и позднее, в течение всего XVIII века. Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Так как она не является строго равной нулю, ее можно использовать в знаменателе дроби, а так как она является бесконечно малой, ее можно принять равной нулю, когда мы хотим упростить выражение. Бесконечно большая величина, в свою очередь, остается неизменной, когда мы прибавляем к ней обычное число. Иными словами, если N — бесконечно большая величина, то выполняется достаточно необычное равенство: N + 1 = N.

Разумеется, из-за этих необычных свойств существование бесконечно больших и бесконечно малых неоднократно ставилось под сомнение. Анализ бесконечно малых регулярно критиковался из-за того, что он был основан на бесконечно малых величинах. Критики задавались вопросом: как можно получить верный результат с помощью метода, в основе которого лежит понятие, столь нечеткое с точки зрения логики?

Математики, которые начали использовать бесконечно малые в XVII веке, — Кеплер, Кавальери, Ферма, Валлис, Паскаль, Барроу (этот список далеко не полон), много раз указывали, что подобные рассуждения приводил еще Архимед. Однако они не утруждали себя написанием строгих доказательств — в отличие от Архимеда. Известные в то время труды Архимеда были опубликованы в середине XVI века, и прошло почти 50 лет, прежде чем математики того времени смогли понять и применить его непростые методы. Архимед был наиболее цитируемым автором в течение всего XVII века. Как мы уже говорили в главе 2, математики этого периода очищали методы Архимеда от геометрической «оболочки» и приводили их в арифметическом и алгебраическом виде. Эти разделы математики набирали популярность в течение XVII века, особенно после открытия аналитической геометрии Декартом и Ферма. В то время математиков больше интересовали открытия, которые можно совершить, используя необычные свойства бесконечно малых, и они не тратили время на построение строгих геометрических доказательств.

Во многих случаях подобное пренебрежение строгостью объяснялось попросту нежеланием заниматься излишней работой: «Всё это можно доказать, используя архимедовы техники, однако это потребует больших усилий», — писал Кавальери в 1635 году.

Ньютон, Лейбниц и бесконечно малые

Даже создатели математического анализа не приводили исчерпывающих доказательств открытых ими методов. И Ньютон, и Лейбниц осознавали недостаток логики в своих работах и пытались каждый по-своему если не устранить, то хотя бы смягчить этот недостаток.

Так, Ньютон попытался избежать использования бесконечно малых путем перехода к пределу, однако потерпел неудачу. Тем не менее его усилия стали источником вдохновения для Коши. Покажем, как следует понимать дробь ⁰/₀, получаемую при h = 0 в выражении

необходимом для определения производной f(x) функции f в точке х. Здесь мы позволим себе небольшой анахронизм. Сам Ньютон никогда не использовал понятие производной функции, равно как и не использовал подобные обозначения, а вместо этого употреблял понятие «исчезающая величина». Таким образом, разность f(x + h) — f(x) и само число h будут исчезающими величинами: обе они «исчезают», когда h становится равным нулю. «Последним отношением исчезающих величин» он называл значение вышеуказанной дроби при h = 0. Очевидно, что Ньютон имеет в виду переход к пределу, когда говорит о «последнем отношении исчезающих величин», чтобы обосновать неопределенность ⁰/₀, к которой сводится вышеприведенная дробь при h = 0. Однако он так и не дал этому методу строгого определения. Сам Ньютон осознавал этот недостаток и в объяснении прибегал к физическим аналогиям: «Вероятно, вы можете возразить, что последнего отношения исчезающих величин не существует, поскольку до того как величины исчезают, отношение не является последним, а когда величины исчезают, никакого отношения не существует. Однако, следуя этой же логике, можно отрицать, что тело, которое прибыло в определенную точку и остановилось в ней, не имеет последней скорости, поскольку до этого его скорость не была последней, а после того как тело прибыло в эту точку, его скорость равна нулю. Однако ответ на этот вопрос крайне прост. Под последней скоростью понимается скорость, с которой движется тело в самый момент прибытия, не раньше и не позже, то есть скорость, с которой тело прибыло в последнюю точку и с которой его движение прекратилось. Этим же образом под последним отношением следует понимать отношение величин не до того, как они исчезнут, и не после того, как они исчезнут, а отношение, при котором они исчезнут».

Бесконечно малые величины играли в математическом анализе Лейбница заметно большую роль. Например, они фигурировали в самом определении кривой, которым пользовался Лейбниц. Для Ньютона кривая была образована точкой в движении: «Полагаю математические величины не состоящими из очень малых частей, а описываемыми непрерывным движением. Кривые, таким образом, описываются и создаются не расположением частей, а непрерывным движением точек». Лейбниц же считал, что кривые состоят из отрезков прямой бесконечно малой длины: «Чтобы найти касательную, надо провести прямую, соединяющую две точки кривой, расположенных на бесконечно малом расстоянии, или продленную сторону многоугольника с бесконечным числом углов, который для нас равносилен кривой», — писал Лейбниц в 1684 году.

Понятие кривой еще более четко описывается в книге «Анализ бесконечно малых» маркиза Лопиталя (1696). Второй постулат книги звучит так: «Будем предполагать, что кривую линию можно считать состоящей из бесконечного числа бесконечно малых линий, или, что аналогично, многоугольником с бесконечным числом сторон, каждая из которых имеет бесконечно малую длину, а кривизна линии определяется углами между этими сторонами».

Лейбниц объяснял использование бесконечно малых подобно своим предшественникам: «Выбираются столь большие или столь малые величины, чтобы ошибка была меньше данной, так что различия с методом Архимеда заключаются лишь в способе записи, но наш метод более соответствует духу изобретательства». Лейбниц попал в самую точку: в то время ученых больше интересовали открытия, а не доказательства.

«Призраки исчезнувших величин»

Несмотря на огромный шаг вперед, который позволил совершить анализ бесконечно малых Ньютона и Лейбница, критика в адрес недостаточной прочности его основ была обоснованной.

Наиболее ярым критиком был английский епископ и философ Джордж Беркли. В 1734 году он опубликовал книгу под названием «Аналитик», где в критическом духе были рассмотрены основные идеи анализа с целью продемонстрировать их недостаточную логичность.

Так, Беркли заявил, что вывод формулы для вычисления производной произведения, приведенный Ньютоном в «Началах» (см. главу 3), был ошибочным. Приведя доказательство Ньютона, Беркли пишет: «Однако очевидно, что для получения момента или приращения прямоугольника АВ прямым и истинным методом необходимо взять стороны такими, какими они получились в результате увеличения их на полные приращения, и затем перемножить их (А + а) x (В + b), а полученное произведение (АВ + аВ + bА + ab) и есть увеличенный прямоугольник. Отсюда, если мы вычтем АВ, остаток (aВ + bА + ab) и будет истинным приращением прямоугольника, превышающим тот, который был получен предыдущим незаконным и непрямым методом, на величину ab. И это справедливо в любом случае, какими бы ни были величины а и b — большими или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями».

Говоря о методе вычисления флюксий с помощью исчезающих величин, он пишет: «Правда, надо признать, что он использовал флюксии подобно лесам при строительстве здания, которые нужно было отбросить в сторону или от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны этим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюксий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо понять. А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?»

Эйлер и анализ бесконечно малых

Если Ньютон и Лейбниц считаются создателями дифференциального и интегрального исчисления, то Эйлера можно назвать создателем математического анализа — области математики, куда входят оба эти раздела. В этом смысле его книги «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755) и «Интегральное исчисление» (1768—1770) сыграли ключевую роль в оформлении структуры этой новой дисциплины.

Трактат «Введение в анализ бесконечно малых» стал для математического анализа тем же, что «Начала» Евклида для геометрии. В этом трактате Эйлер указывает, что функция является основным предметом изучения в анализе, систематизирует работы предшественников об элементарных функциях, изучает их, не прибегая к дифференциальному или интегральному исчислению, однако обильно использует бесконечно большие и бесконечно малые величины (см. приложение). Он также всеми возможными способами старается избежать геометрических рассуждений и чертежей, отдавая предпочтение аналитике и формулам. Структуру дифференциального исчисления он изложил во второй книге трилогии.

Хотя Эйлер был последователем Лейбница, в «Наставлении по дифференциальному исчислению» он понимает дифференциал как разницу, однако вносит изменения в исчисление Лейбница. С учетом поправок Эйлера понятие дифференциала приближается к понятию ньютоновской «исчезающей величины».

Извечные сомнения, касающиеся бесконечно малых, Эйлер развеял так. По его мнению, важнее было не то, что такое бесконечно малые величины, а то, как они себя ведут. В этом смысле для Эйлера бесконечно малые были равны нулю или в итоге приравнивались к нулю; важнее то, что эти величины могут делиться друг на друга. Результат подобного деления, по сути эквивалентного ⁰/₀, может равняться четко определенному конечному числу. Так, дифференциалы dx, dy играют главную роль при определении значения дроби dy/dx.. Исчисление описывает, как вычислить эту дробь, когда приращения «исчезают». В «Наставлении по дифференциальному исчислению» Эйлер описывает «метод определения пропорции исчезающих приращений, которые получают функции, когда аргументы функции получают одно из таких приращений». Иными словами, в анализе Эйлера вводится отношение приращений

определяющее производную функции — понятие, которое заменило дифференциалы dx, dy, занимающие почетное место в исчислении Лейбница. Внесенные Эйлером изменения приблизили понятия дифференциального исчисления Лейбница к понятию предела, которое впоследствии использовал Коши.

В последнем труде трилогии Эйлера, «Интегральное исчисление», интегрирование описывается как операция, обратная дифференцированию. Интегрирование по-прежнему соответствовало понятию площади, но потеряло независимый характер, который отстаивал Лейбниц, что помогло Коши при введении понятия определенного интеграла.

Д’Аламбер, Лагранж и Карл Маркс

Шел XVIII век, и Д’Аламбер, который обладал намного большим авторитетом в математике, чем Беркли, критически отнесся к понятию бесконечно малых: «Величина есть нечто или ничто; если она — нечто, то она еще не исчезла, если она ничто, то она исчезла в буквальном смысле. Предположение о том, что существует промежуточное состояние между этими двумя, есть химера».

Д’Аламбер во французской Энциклопедии дает примитивное определение предела, на которое Коши опирался при разработке фундамента математического анализа: «Одна величина называется пределом второй, если вторая может приблизиться к первой настолько, что будет отличаться от нее менее, чем на любую данную величину, но никогда не будет совпадать с ней». В своей статье о дифференциалах для этой же энциклопедии Д’Аламбер указал путь к четкому определению исчисления: «Ньютон использовал другой принцип, и можно сказать, что метафизика этого великого математика об исчислении флюксий очень точна и ясна, несмотря на то что допускает несовершенное толкование его мыслей. Я никогда не рассматривал дифференциальное исчисление как изучение бесконечно малых величин, но как метод первых и последних рассуждений, или, что есть одно и то же, метод нахождения пределов рассуждениям. Кто-то может счесть, что допущение бесконечно малых величин необходимо лишь для сокращения и упрощения рассуждений, но дифференциальное исчисление необязательно предполагает существование подобных величин. Более того, это исчисление заключается лишь в алгебраическом определении пределов рассуждения».

Совершенно иным путем следовал Лагранж, который в своей книге «Теория аналитических функций», опубликованной в 1797 году, определил производную f’(x) функции f(х) в точке x как коэффициент при h в разложении в степенной ряд функции f(x + h). Именно Лагранж ввел термин «производная» и первым стал обозначать производную функции f знаком апострофа — f’. К сожалению, его усилия оказались безуспешными и завершились неудачей, поскольку, как позднее показал Коши, функция f необязательно совпадает со степенным рядом, полученным на ее основе.

Стоит отметить, что работы Лагранжа по построению фундамента математического анализа очень ценил философ Карл Маркс, основатель марксизма. Маркс даже написал несколько трудов о производных и интегралах (1863—1883), однако в этот период уже появились работы Вейерштрасса, в которых была сформирована прочная основа математического анализа. Маркс рассматривал три этапа развития исчисления: мистическое дифференциальное исчисление Лейбница и Ньютона, рациональное дифференциальное исчисление Д’Аламбера и чисто алгебраическое исчисление Лагранжа. О математиках первого этапа он писал: «Они сами определили загадочный характер недавно открытого исчисления, что привело к получению верных результатов с помощью определенно ошибочных математических преобразований». К Д’Аламберу и Лагранжу он относился более снисходительно: «Д’Аламбер, лишив дифференциальное исчисление мистической завесы, совершил огромный шаг вперед. <…> Лагранж взял за основу теорему Тейлора, которая является наиболее общей и широкой, и в то же время описывает рабочую формулу дифференциального исчисления».

Огюстен Коши

В первой половине XIX века был окончательно сформирован четкий фундамент анализа бесконечно малых. Решение этой задачи начал Коши, а завершил Вейерштрасс. Значимый вклад также внес Бернард Больцано своими работами о непрерывных функциях, которые выходят за рамки этой книги.

Коши удалось создать математическое течение, целью которого было добиться большей строгости доказательств. Это течение стало основополагающим для математики XIX века.

Эту точку зрения он пытался донести до своих учеников в Политехнической школе, где преподавал с 1817 по 1830 год, а также излагал в своих работах. Основными его трудами, о которых мы упомянем, были «Курс анализа» (1821) и «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823).

«Курс анализа» был ответом Коши на критику со стороны его коллег по ученому совету Политехнической школы, высказанную в адрес его методики преподавания механики и анализа студентам первого года обучения. Во введении он явно указывает цель своей работы: «Я попытался изложить методы, требуемые геометрией, никогда не обращаясь к аргументам, следующим из общности алгебры. Рассуждения такого типа, которые иногда допускаются, особенно при переходе от сходящихся рядов к расходящимся и от вещественных величин к мнимым, лишь указывают путь к истине и не связаны с точностью, которой должна гордиться математика». «Общность алгебры», о которой упоминает Коши, означает признанный всеми с конца XVI века факт, согласно которому все, что верно для вещественных чисел, так же верно и для комплексных; все, что верно для конечных величин, применимо и к бесконечным; все, что верно для сходящихся рядов, верно и для расходящихся.

В качестве основного понятия анализа бесконечно малых Коши предложил понятие предела, которое определил так: «Когда последовательные значения переменной бесконечно приближаются к конкретному значению так, что в итоге отличаются от него на произвольно выбранную величину, последнее значение называется пределом остальных».

Используя понятие предела, Коши определил бесконечно малые как переменные, которые стремятся к нулю: «Когда последовательные значения переменной бесконечно уменьшаются так, что становятся меньше любой заданной величины, эта переменная называется бесконечно малой. Предел таких переменных равен нулю».

Он также ввел понятие предела последовательности, которое с дополнениями Вейерштрасса используется и сейчас. Коши также установил, что можно говорить о сумме ряда лишь в том случае, когда он сходится, и определил ее как предел последовательности частичных сумм ряда.

На пятистах страницах «Курса анализа» также приводятся определения непрерывной функции, комплексного числа, формулируются критерии сходимости рядов и так далее.

Работы Коши о сходимости рядов вызвали большое возбуждение. Рассказывают, что после собрания Французской академии наук, где ученый изложил свои идеи о сходимости рядов, обеспокоенный Лаплас заперся у себя дома и не выходил, пока не проверил, что все ряды, использованные им в «Небесной механике», сходятся, и лишь тогда вздохнул с облегчением.

Коши планировал, что «Курс анализа» будет состоять из двух томов, но неблагоприятные отзывы заставили его отказаться от написания второго тома. Суть критики сводилась к тому, что книга, по мнению руководства Политехнической школы, не подходила для образования будущих инженеров. Поэтому Коши решил пересмотреть идею о публикации второго тома и вместо этого выпустил дополнение к «Курсу анализа», представлявшее собой краткое изложение его лекций. Первый том увидел свет в 1823 году под названием «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых», где давалось современное определение производной как предела

когда h стремится к 0.

В «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» также приводится определение интеграла непрерывной функции

как предела сумм Коши:

где a < х₁ < х₂ < … < x_n-1 < b — разбиение интервала [а, b], а искомый интеграл рассчитывается как предел при разбиении интервала на отрезки, длины которых стремятся к 0.

Как показано на иллюстрации, каждое слагаемое этой суммы соответствует площади прямоугольника, и мы можем выразить площадь подграфика функции с любой точностью.

Также в книге определяются и рассматриваются несобственные интегралы, главные значения несобственных интегралов и сингулярные интегралы, основная теорема анализа, формула Тейлора и так далее. Коши продемонстрировал функцию

ряд Тейлора для которой в точке 0 сходится, но отличается от функции в окрестности нуля. Это доказывает невозможность выстраивания анализа бесконечно малых поверх прочной основы, предложенной Лагранжем.

Мы не будем говорить о других работах Коши и резюме его лекций, а расскажем о значимости его трудов в формировании основы анализа бесконечно малых.

Несомненно, его попытки логически обосновать анализ бесконечно малых были значимым этапом, но тем не менее не окончательным. Нильс Абель, великий норвежский математик, одним из первых обратил внимание на важность работ Коши, отметив их строгость и вместе с тем неполноту. Одновременно с этим он указал, в чем именно заключаются недостатки работ Коши. Это был очередной шаг вперед на пути, который полностью был пройден в середине XIX века с появлением работ Вейерштрасса. Окончательное и четкое определение вещественных чисел было дано еще два десятилетия спустя. Сам Абель в статье, опубликованной в 1826 году, доказал, что одна из теорем «Курса анализа» Коши «допускала исключения» (оцените дипломатичность формулировки!). Эта теорема Коши была не единственной, «допускающей исключения».

Однако усилия Коши по приданию математическому анализу большей строгости были лишь очередным промежуточным этапом развития этой дисциплины. Доказательством этому служит то, что исследователи работ ученого не пришли к единому выводу об истинности или ошибочности его теорем. Это кажущееся противоречие вызвано тем, что определения, представленные Коши в «Курсе анализа», были неточными и нечеткими и порой допускали несколько толкований. Неоднозначность этих определений лучше всего объясняет Айвор Граттангиннес: «Достаточно сказать, что использованные им технические термины заслуживают внимания, и в теореме Коши, как и во всем его анализе, они применяются крайне свободно».

Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики

Следует рассказать и об эстетическом начале, поскольку, вопреки мнению многих, эстетика не только не чужда математике, но и составляет ее значимую часть.

Название этой главы — «Укрощенные бесконечно малые» — указывает, что Коши совершил решающий шаг, преодолев с помощью теории пределов логические проблемы, возникавшие в анализе бесконечно малых с XVII века. Как мы уже говорили выше, бесконечно большим и бесконечно малым величинам изначально не было дано логически строгого и четкого определения. В этом смысле, например, «Введение в анализ бесконечно малых» Эйлера является недостаточно логичным. По этой причине математики в итоге стали отдавать предпочтение пределам. Однако теперь нам известно, что рассуждения Эйлера с использованием бесконечно малых столь же строги, как и современные рассуждения, в которых используются пределы. Строго говоря, логический фундамент анализа XVIII века сформировал Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории моделей он показал, что вещественные числа можно расширить множеством бесконечно малых, с которыми можно производить стандартные арифметические операции. Созданный им раздел математики получил название «нестандартный анализ».

Теперь, как и было обещано, мы расскажем об эстетической составляющей математики, так как рассуждения Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых» намного красивее, чем рассуждения, записанные с использованием пределов.

Математику часто называют сухой наукой, которая изучает идеальные абстрактные объекты, числа и треугольники, наукой, в которой нет места эмоциям. Это совершенно не так. Профессиональные математики выбрали свою профессию по разным причинам, но всех их объединяет одно: математика представляет для них источник сильных эмоций. Эрнест Уильям Хобсон (1856—1933) сказал о «Введении в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот». Любой, кто читал его, полностью согласится с Хобсоном. Это впечатление создается потому, что труд Эйлера вызывает бурные эмоции, оставляет след. Гениальность Эйлера нашла воплощение в красоте его работы, в ее эстетической ценности, выходящей далеко за рамки простой математики. Иными словами, эта книга не только обладает свойствами, о которых говорит Харолд Харди (1877—1947) в своей знаменитой «Апологии математика», рассуждая о красоте математических идей. В ней также присутствуют общие эстетические категории, о которых писали Иммануил Кант, Теодор Адорно и Джордж Сантаяна.

Один из самых удивительных результатов, содержащихся в труде Эйлера, как с математической, так и с эстетической точки зрения — это разложение функции синуса в бесконечный ряд:

а также то, как Эйлер использует этот ряд вместе с разложением в степенной ряд для нахождения суммы следующих бесконечных степенных рядов:

Живительно, что эти потрясающе красивые результаты, которые не смогли найти Лейбниц, братья Бернулли и, возможно, сам Ньютон, Эйлер смог вывести с помощью бесконечно малых всего на нескольких строках. Его рассуждения просты и гениальны, и можно четко проследить, какие идеи позволили ему совершить эти открытия. Если попытаться переписать эти рассуждения, используя теорию пределов, они теряют значительную долю простоты и красоты. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить выкладки Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых» и последние страницы «Курса анализа» Коши (примечания VIII и IX). Коши пытается подтвердить правильность результатов Эйлера с помощью пределов, в результате чего элегантные и краткие рассуждения Эйлера, занимающие несколько строк, превращаются в несколько десятков страниц вычислений. Можно без преувеличения сказать, что Коши превратил деликатный эротизм Эйлера в порнографию.

Карл Вейерштрасс

В первой половине XIX века математики начали задумываться над тем, что постулаты евклидовой геометрии не являются априори истинными и что отрицание этих постулатов, в особенности постулата о параллельности прямых, может привести к созданию принципиально новой геометрии, столь же корректной, как и геометрия Евклида. Это было продемонстрировано в работах Николая Ивановича Лобачевского (1792—1856) и Яноша Бойяи (1802—1860). Этого же мнения придерживался великий Гаусс, однако он действовал излишне осмотрительно и поделился своими идеями лишь с немногими соратниками, из-за чего принятие неевклидовой геометрии в научных кругах происходило не так быстро, как могло бы. Процесс создания неевклидовой геометрии завершил Бернхард Риман (1826—1866). Риман в своем докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», который он сделал 10 июня 1854 года с целью получить пост преподавателя в Гёттингенском университете, представил общую теорию геометрии, простиравшуюся намного дальше, чем частные случаи, описанные Лобачевским и Бойяи, которые были получены отрицанием постулата о параллельности прямых. Риман сделал основой своей геометрии утверждение, над которым другие математики размышляли в течение 50 лет: постулат о параллельности, равно как и любой другой постулат евклидовой геометрии, не является априори истинным в абсолютном пространстве, а, напротив, представляет собой эмпирический результат, полученный в процессе наблюдения той небольшой части пространства, что нас окружает. Спустя некоторое время после смерти Гаусса была опубликована его частная переписка, где он восхвалял новую геометрию предшественников Римана — Лобачевского и Бойяи. Если бы кто-то узнал о том, какой интерес и энтузиазм проявлял великий Гаусс по отношению к неевклидовой геометрии, это стало бы решающим толчком к ее широкому принятию.

Как следствие, это серьезно повлияло бы на вопросы, связанные с математической и логической строгостью. Корректность этих результатов, не проверенных эмпирическим путем, а доказанных строгими геометрическими рассуждениями, оставалась под сомнением. Таким образом, геометрия Евклида перестала быть неэмпирической дисциплиной, на основе которой с математической строгостью строились другие разделы математики. Ее место быстро заняла арифметика — раздел математики, изучающий числа и их свойства.

В этом смысле Карл Вейерштрасс (1815—1897) пересмотрел определение предела Коши и убрал из него геометрические элементы, в частности формулировки «бесконечно приближаются», «бесконечно уменьшаются» и «меньше любой заданной величины», заменив их арифметическими выражениями, в которых фигурировали величины эпсилон и дельта, используемые и сейчас: «Предел функции f(х) равен 1, когда x стремится к а, если для любого положительного ε > 0 существует другое положительное число δ > 0 такое, что для любой точки x, в которой определена данная функция, выполняется неравенство 0 < |f(x) — 1| < ε.

С конца 1850-х до конца 1880-х годов Вейерштрасс преподавал в Берлинском университете. Он не публиковал свои лекции, и данные им определения дошли до нас из конспектов его учеников. Начиная со второй половины XIX века Германия постепенно становилась мировым математическим центром, придя на смену Франции, что способствовало эффективному распространению анализа Вейерштрасса.