Истина в пределе

Заключение

Начиная с Эйлера и в особенности после того, как усилиями Коши и Вейерштрасса был выстроен фундамент анализа бесконечно малых, эта дисциплина стала ядром математического анализа. Функции, пределы, производные и интегралы — фундаментальные инструменты математического анализа. С их помощью великое множество физических, технических, экономических и даже медицинских задач можно свести к уравнениям, где будут одновременно использоваться функции, их производные и интегралы. Так, задачи поиска оптимальной формы крыла самолета, определения кровяного давления в венах и артериях организма или выявления роста раковых опухолей решаются с помощью уравнений такого типа.

Эти уравнения формулируются с использованием понятий математического анализа, в том числе анализа функций нескольких переменных, а также законов физики. Однако составить такие уравнения — это одно, а уметь решать их — совсем другое. Решения некоторых подобных уравнений были однозначно определены, уже когда Ньютон и Лейбниц создали анализ бесконечно малых, однако большинство из них настолько сложны, что и сегодня не существует способов их точного решения. Математический анализ также описывает методы приближенного и численного решения подобных уравнений, позволяющие найти их корни с определенной точностью. С появлением современных компьютеров в середине XX века в этой области математического анализа произошла революция.

Обычные люди, как правило, удивляются, когда слышат, что математики до сих пор совершают новые открытия. В действительности же их число с каждым годом увеличивается экспоненциально. Когда кто-то говорит, что занимается работами в новой области математики, несведущие задают вопрос: «А разве в ней еще не все известно?» Разумеется, это не так. Нам неизвестно множество уравнений, описывающих загадки природы, решение которых будет способствовать прогрессу человечества. Технологический прогресс и развитие медицинских и экономических методов ставят перед учеными новые задачи, и математикам ежедневно приходится их решать.

Эта книга начинается с фразы: «Анализ бесконечно малых, вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками». Однако наука ставит перед нами столько задач, что в математическом анализе, пришедшем на смену анализу бесконечно малых, непрерывно требуется разрабатывать новые техники и приемы их решения.