Истина в пределе

Приложение. Эйлер и бесконечно малые

Чтобы показать, как используются бесконечно большие и малые величины, приведем пример разложения функции e^z в степенной ряд. Этот пример продемонстрирован Эйлером в книге «Введение в анализ бесконечно малых». Сначала Эйлер определяет число е следующим образом. Показательные функции а^z, а > 1, описывают множество кривых, которые имеют общую точку (0, 1). Угол наклона касательной к этим кривым в этой точке зависит, разумеется, от основания степени а и бесконечно возрастает от 0, соответствующего а = 1. Число е определяется как число, для которого тангенс угла наклона касательной e^z в точке (0,1) равен 1. Иными словами, касательная к кривой е² в точке (0, 1) описывается уравнением 1 + z. Так как Эйлер понимал кривые как многоугольники со сторонами, имеющими бесконечно малую длину, это означает, что бесконечно малый отрезок кривой у = e^z, находящийся в точке с координатами (0,1), что соответствует е⁰ = 1, совпадает с прямой у = 1 + z. Для бесконечно малых чисел w получим, что они находятся одновременно на прямой и на кривой, которые совпадают на этом бесконечно малом участке. Таким образом, для бесконечно малого w выполняется равенство e^w = 1 + w. Для Эйлера это было не приближенное, а строгое равенство.

С учетом этого будем записывать данное число z в виде произведения бесконечно малого числа w на бесконечно большое число N:z = wN. Допустим, что z = 2, и запишем его в следующем виде

Таким образом,

и N = 2 ∙ 10^1000000. Однако этого недостаточно: это значение w очень мало, но не является бесконечно малым, равно как и N не является бесконечно большим.

Тем не менее читатель легко представит разницу между очень малым и очень большим и между бесконечно малым и бесконечно большим. С учетом свойств показательной функции можно записать: e^z = e^wN — (e^w)^N. Так как w является бесконечно малым, то, учитывая равенства, изложенные в нашей дискуссии о касательных, получим: е^z = (1 + w)^N. Так как w = z/N, это означает:

где N — бесконечно большое число. Запишем это равенство в следующем виде:

Применим теорему о биноме:

Так как N — бесконечно большое, получим, что N — 1 = N, N — 2 = N и так далее, что позволяет преобразовать равенство:

Заметим, что в методе Эйлера для разложения показательной функции в ряд бесконечно большие и бесконечно малые числа появляются и исчезают, подобно предметам в руках у фокусника. Тем не менее они используются не напрасно: они помогают преобразовать функцию и выявить ее важные скрытые свойства.

Этот метод Эйлера по разложению в ряд кажется недостаточно строгим, но здесь не идет речь о логической строгости рассуждений Эйлера. К тому же следует отметить, что на самом деле они всего лишь подразумевают использование более сложной логики, чем та, что лежит в основе стандартного анализа.

В некотором смысле эти выкладки Эйлера демонстрируют его гениальность. Как мы уже говорили в главе 6, Хобсон так отзывался о «Введении в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот».