Калейдоскоп

СКАЗКА О МАТЕМАТИКЕ

В древности у одного математика было три ученика. Когда они в совершенстве овладели четырьмя арифметическими действиями и научились более или менее сносно отличать целые числа от дробных, математик призвал их и сказал:

— Вот что, ребята. Теперь, когда вы достигли вершин, настала пора применить ваши знания в жизни. Идите же и сосчитайте, чего в мире больше — плюсов или минусов.

Ушли ученики и вернулись только через три года. Увидев их, учитель был очень растроган. Даже всплакнул от радости.

— Спасибо, ребята, не подвели старика. А я-то уж, грешным делом, думал, не попристраивались ли вы где-нибудь в городе.

После первых общих вопросов о житье-бытье, о здоровье и прочем учитель перешел к главному.

— Ну, вот ты, — обратился он к первому ученику, — скажи: чего в мире больше — плюсов или минусов?

— Дорогой учитель! — сказал этот ученик. — Я не зря потратил время. Когда я встретил ее…

— Кого это — ее? — не понял учитель.

— Разве я не сказал? Мою жену. Ах, это чудесная женщина. Умница, красавица, из высшего общества. Благодаря ей я стал владельцем прекрасной усадьбы. Ах, какая усадьба, учитель, какие сады, какие фрукты! Вы обязательно должны у нас побывать, мы все четверо будем вам рады!

— Почему четверо?

— Разве я не сказал? У нас двое деток. Ах, какие детки, дорогой учитель, ах, какие детки! Вы обязательно должны с ними познакомиться!

— При чем здесь детки? — рассердился учитель.

— Ты должен был сосчитать, чего в мире больше — плюсов или минусов!

— Как же, как же, я все сосчитал. Все плюсы. А вот минусов, знаете, не заметил. Может, они только в математике?

— Господи, кого я учил! — вздохнул учитель и повернулся к другому ученику.

— А ты что насчитал?

— Я считал… Все время считал… Много насчитал всего и золота, и разных драгоценностей… А потом меня ограбили. Жулье, проходимцы, мошенники…

— Ну, и как же насчет плюсов и минусов? — напомнил учитель.

— Какие там плюсы! Где они? Вы их видели? Одни минусы и минусы на каждом шагу!

Учитель только махнул рукой и — ничего не ответил.

— А ты что успел подсчитать? — спросил ои у третьего ученика.

— Я, учитель, ничего не успел, — сказал третий ученик. — Видел я и плюсы и минусы, видел, что плюсы приносят людям радость, а минусы — горе. И мне захотелось сделать так, чтобы в жизни людей было как можно больше плюсов и как можно меньше минусов…

— Но такого действия не знает математика! — воскликнул учитель.

И, помолчав, добавил:

— А все-таки это — отличное действие. Больше плюсов, меньше минусов — ради этого стоит жить! Молодец! Ты здорово усвоил мою науку!

НОЛЬ

Надоела Нолю холостая жизнь.

«Так вот живешь и ничего не значишь, — подумал он. — Надо множиться!»

Стал Ноль искать, с кем бы помножиться. Выбирал, выбирал — все не по нраву. Единица слишком тоща. Тройка горбата. Семерка косо стоит, еле на ногах держится. Все Нолю не так, видно, высокие у него требования.

Наконец приглядел Восьмерку. Симпатичная Восьмерка, кругленькая, даже будто на Ноль похожа, только поуже в талии. Подкатился к ней Ноль с одной стороны, подкатился с другой, а потом — чего долго раздумывать! — пошел множиться.

Собрались Восьмеркины родственники. Все старые цифры, солидные. 88, 888, даже 88888, очень большая величина, и та пришла, не погнушалась. Только жених на родственников — ноль внимания. Что ему их многозначность? Он сам Ноль, не кто-нибудь!

— Ты, — говорит Ноль Восьмерке, — должна понимать, что такое семья. Как я сказал, так и все, без разговоров!

— Я постараюсь! — обещает Восьмерка.

Робкая, безответная она была, да и засиделась в восьмерках, только и мечтала, как бы помножиться. И вот — помножились.

Доволен Ноль. Важный такой стал, степенный. А Восьмерки при нем и не видно. Затер он ее, затер совсем, до того затер, что потом никто и сказать не мог, куда девалась Восьмерка.

Вот как это выглядело:

0Х8-0.

И опять остался Ноль один.

— Не повезло мне с Восьмеркой, — оправдывается он перед ее родственниками. — Слишком уж она смирная была, ни в чем не перечила. С такой и жить неинтересно.

Стал Ноль искать себе другую пару. Нашел Пятерку — цифру тоже ничего. Правда, с Восьмеркой ее не сравнить, не те пропорции, но ведь теперь Нолю и выбирать-то особенно не приходится.

На этот раз Ноль повел себя иначе. «Ну его, это умножение! — подумал. — С этими домостроевскими обычаями, чего доброго, опять жену в гроб загонишь! Нет уж, лучше по-современному: записаться и жить».

Записались они с Пятеркой. Пятерка и Ноль. Хорошо получилось: 50. Пятерка выросла в десять раз, а Ноль — уж неизвестно во сколько. Семья все-таки много значит!

Доволен Ноль.

— Вот как, — говорит, — вышло. Ты простой Пятеркой была, а теперь кем стала?

— Да, теперь..

— Именно теперь! — не унимается Ноль. — Именно теперь, когда я взял тебя, когда ты со мной на равных правах.

— На равных… — эхом отзывается Пятерка.

— Может, скажешь, не на равных? Я тебя даже вперед пропустил, ты всегда впереди меня. Разве ты не чувствуешь этого?

— Чувствую…

— Ты как будто даже не рада?

Это были долгие разговоры. Сначала Пятерка терпела, думала: ну, поговорит Ноль на радостях и успокоится. Да не тут-то было. Чем дальше, тем Ноль больше распаляется. Зудит и зудит — нет спасения!

Чуть свет — уже начинает:

— Вспомни, кем ты была. Уже ночь, а он все еще:

— Не забудь, кем ты стала.

Не выдержала Пятерка.

— Лучше уж, — говорит, — я простой Пятеркой буду, чем так радоваться.

И ушла от Ноля.

Остался Ноль в одиночестве и не поймет: что случилось? Так хорошо жили, и вот — покинула его Пятерка. За что, скажите пожалуйста?

А ему, Нолю, теперь, как никогда, подруга нужна. Стар он стал, здоровье совсем сдало. Еле-еле нашел себе какую-то Двойку. Горбатенькая Двойка, кривая, но все-таки цифра!

Долго Поль соображал, долго прикидывал, как бы и на этот раз маху не дать. Выведал, с кем Двойка в задачнике встречалась, как вела себя в таблице умножения, какие у нее были плюсы и минусы. Узнал, что Двойка ведет дневник, в дневник заглянул. В дневнике тоже было все в порядке: двойка как двойка, к тому же по математике.

«Пора закругляться!» — решил Ноль. И сразу приступил к действию.

— Давайте соединимся!

— Ишь, старый хрыч! Если хочешь сложиться, так и говори, а нет — проваливай.

— Я сложусь, я сложусь, — заторопился Ноль. — Я всегда готов, ты не сомневайся!

Так и сложились они:

2 + 0.

Два плюс Ноль… А чему же равняется?

2 + 0 = 2

Вот и доигрался Ноль, домудрился. Нет Ноля. Конец ему пришел.

Даже мелкие цифры, которые всегда ниже Ноля стояли, и те не удержались:

— Ну и дурак был этот Ноль! Круглый дурак!

ТОЧКА НА ПЛОСКОСТИ

Не знала Точка ни забот, ни тревог, но пришло время и ей подумать о своем месте на плос-

кости.

— Я хочу стать центром окружности! — заявила Точка.

Что ж, по законам геометрии все точки равны и каждая из них может стать центром окружности. Для этого нужны только циркуль и карандаш, и ничего больше.

Но едва лишь к ней прикоснулся циркуль, Точка завопила:

— Ой! Больно! Ой! Что вы колетесь?!

— Но вы хотели стать центром окружности, — напомнил Циркуль.

— Не нужен мне ваш центр, не нужна мне ваша окружность, оставьте меня в покое!

Оставили Точку в покое. Но ненадолго. Должна же Точка занять какое-то место на плоскости!

— Я хочу стать вершиной угла, — заявила Точка на этот раз.

По законам геометрии вершиной угла тоже может стать каждая точка. Для этою на прямую, на которой она находится, достаточно опустить перпендикуляр.

Стали опускать на прямую перпендикуляр.

— Вы что, ослепли?! — закричала Точка при виде Перпендикуляра. — Вы падаете прямо на меня. Разве вам мало места на плоскости?

Растерялся Перпендикуляр, повис в воздухе.

— Погодите, дайте-ка мне, — сказала Секущая. — У меня эта Точка станет вершиной сразу четырех углов.

Но не тут-то было. При виде Секущей Точка прямо-таки забилась в истерике.

— Не секите меня! — рыдала она. — Я не привыкла, чтобы меня секли!

Что было с ней делать? Махнули на Точку рукой. Не стала она ни центром окружности, ни вершиной угла, а осталась простой точкой на простой прямой, параллельной тысячам других прямых.

СТЕПЕНЬ

Много лет прослужила Единица без единого замечания, и нужно же было как-то отметить ее заслуги!

Поэтому Единицу решили возвести в степень. Думали этими ограничиться, но опять Единица служит прилежно, а замечание — хоть бы одно!

Возвели ее еще в одну степень. И опять ни одного замечания. В третью степень возвели, в четвертую, в пятую — нет замечаний!

Далеко пошла Единица. Теперь она Единица в тысячной степени. Посмотреть на нее — обычная Единица, но как глянешь на степень — да, это величина!

А что изменилось от этого? Ничего, ровным счетом. Ведь Единица в тысячной степени — та же Единица.

И на тысячную долю не больше!

ПРОСТАЯ ДРОБЬ

У Числителя и Знаменателя — вечные дрязги. Никак не поймешь, кто из них прав. Числитель толкует одно, а Знаменатель перетолковывает по-своему. Числитель говорит:

— У меня положение выше, почему же я меньше Знаменателя?

А Знаменатель свое:

— Я-то числом побольше, с какой же стати мне ниже Числителя стоять?

Поди рассуди их попробуй!

И ведь что вы думаете — была такая попытка. Целое Число, которому надоело это брюзжание, сказало им напрямик:

— Склочники несчастные, чего вы не поделили? В то время, когда у нас столько примеров, столько задач…

— Тебе, Целому, хорошо, — проворчал Знаменатель, и Числитель (в первый раз!) согласился с ним.

— Знаменательно! — воскликнул Числитель. — Знаменательно, что именно Целое Число делает нам замечание!

— А кто вам мешает стать Целым Числом? Сложитесь с какой-нибудь дробью.

— Ладно, обойдемся без ваших задач и примеров, — сказал Числитель, а Знаменатель, придвинувшись к Целому Числу, выразил эту мысль более категорически:

— Проваливай, пока цело!

Целое Число махнуло на них рукой и приступило к очередным задачам.

А Числитель и Знаменатель призадумались. Потом Числитель нагнулся, постучал в черточку:

— Послушайте, — говорит, — может, нам и впрямь с другой дробью сложиться?

— Э, шалишь, брат, — возразил Знаменатель, — хватит с меня и одного Числителя!

— Если уж на то пошло, — обиделся Числитель, — мне тоже одного Знаменателя предостаточно.

Еще подумали.

Потом Знаменатель стал на цыпочки, постучал в черточку:

— Слышь, ты! А если нам так стать Целым Числом, без другой дроби?

— Можно попробовать, — соглашается Числитель. Стали они пробовать. Числитель умножится на два, и Знаменатель — не отставать же! — тоже на два. Числитель на три — и Знаменатель на столько же.

Умножались, умножались, совсем изнемогли, а толку никакого. Та же дробь, ни больше ни меньше прежней.

— Стой! — кричит Знаменатель. — Хватит умножаться. Делиться давай. Так оно вернее будет.

Стали делиться.

Знаменатель на два — и Числитель на два. Знаменатель на три — и Числитель на столько же. А дробь — все прежняя.

БИССЕКТРИСА

Заспорили Стороны угла, никак между собой не поладят.

— Я, со своей стороны, считаю… — говорит одна Сторона.

— А я считаю, со своей стороны… — возражает ей другая.

Ничего не поделаешь: хоть у них и общий угол зрения, но смотрят-то они на мир с разных сторон!

Проходила как-то между ними Биссектриса. Обрадовались Стороны: вот кто будет их посредником! Спрашивают Биссектрису:

— А вы как думаете?

— А ваше мнение каково?

Стоит посредник посрединке, колеблется.

— Ну скажите же, скажите! — тормошат Биссектрису со всех сторон.

— Я думаю, вы совершенно правы, — наконец произносит Биссектриса, кивая в правую сторону.

— Ах, какая вы умница! — восхищается правая Сторона. — Как вы сразу все поняли!

А Биссектриса между тем поворачивается к левой Стороне:

— Ваша правда, я тоже всегда так думала.

Левая Сторона в восторге:

— Вот что значит Биссектриса! Сразу сообразила, что к чему!

Стоит Биссектриса и знай раскланивается: в одну сторону кивнет — мол, правильно, в другую сторону кивнет — мол, совершенно верно. Мнение Биссектрисы ценится очень высоко, поскольку оно устраивает обе стороны.

ОСТРЫЙ УГОЛ

От этого Угла никому в учебнике не было покоя. Ох, и доставалось же от него геометрическим фигурам! Треугольнику доставалось за угловатость. Окружности — за обтекаемость, Квадрату — за отсутствие разносторонности.

Как всегда бывает, тут же находились охотники, которые подхватывали остроты Угла, и — начиналась критика. Эта критика из-за Угла приняла такие размеры, что к нему даже стали относиться с уважением.

Так пришла к Углу слава, а с ней и все остальное. Угол раздался, стал солидней, внушительней и — куда девалась его былая острота! Теперь уже никак не поймешь, отчего он отупел — от градусов или от всего остального.

УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Разные числа — большие и малые, целые и дробные, положительные и отрицательные — впервые встретились в уравнении.

Они любезно, хотя и сдержанно, обменялись приветствиями, а затем стали знакомиться.

— Четверка.

— Очень приятно. Двойка.

— Тройка.

— И я Тройка. Значит, тезки!

— Одна Четвертая…

— Две Четвертых…

— Три Четвертых…

Очень быстро все перезнакомились. Только одно число не назвало себя.

— А вас как зовут? — стали спрашивать у него числа.

— Не могу сказать! — важно ответило это число. — У меня есть причины…

— Ах, подумайте, какие загадки! — затараторила Одна Девятая. — Как можно жить в обществе и совсем не считаться с его мнением!

— Спокойно, спокойно, — вмешался Знак Равенства, самый справедливый знак во всем задачнике. — Все выяснится в свое время. А пока пусть это число остается неизвестным. Мы назовем его Иксом. Что поделаешь, будет у нас уравнение с одним неизвестным.

Все числа согласились со Знаком Равенства, но теперь они вели себя еще сдержанней, чем даже во время знакомства. Кто его знает, что за величина этот Икс? Здесь нужно быть осторожным.

Некоторые попытались заискивать перед. Иксом, по он так важно себя держал, что даже у дробей отпала охота добиваться его расположения.

— Ну нет, — прошептала Двойка Четверке. — Ты как хочешь, а я перебираюсь в другую сторону уравнения. Пусть я буду там с отрицательным знаком, но зато не буду видеть этой персоны.

— И я тоже, — сказала Четверка и вслед за Двойкой перебралась в другую сторону уравнения. За ними последовали две тезки — Тройки, а потом и дроби — Одна Четвертая, Две Четвертых, Три Четвертых — и все остальные числа.

Икс остался один. Впрочем, это его не встревожило. Он решил, что числа просто не хотят его стеснять.

Но числа решили по-другому. Они сложились, перемножились и поделились, а когда все необходимые действия были произведены, Икс ни для кого уже не был загадкой. Он оказался мнимой величиной, такие тоже встречаются в математике.

То-то он так мнил о себе, этот Икс!

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ

На последней странице тетради выстроилась таблица умножения. Строгие колонны чисел стоят, сомкнув ряды, и готовы по первому знаку продемонстрировать свою силу и мощь любому ученику — от первого до десятого класса.

По первому знаку — это понятно. Ведь командует парадом Знак Равенства.

— Равняйсь! — командует Знак Равенства.

И числа равняются.

Дважды два равняется четырем.

Трижды пять равняется пятнадцати.

Семью восемь равняется пятидесяти шести.

Вот какая здесь во всем точность!

В таблице умножения суровая дисциплина, но числа подчиняются ей легко и охотно. Разве можно не подчиниться дисциплине, которая существует под знаком равенства?

ТРЕУГОЛЬНИК

Задумал Угол треугольником стать. Нашел подходящую Прямую линию, взял ее с двух сторон за две точки — и вот вам, пожалуйста, чем не треугольник?

Но Прямая оказалась строгой линией. Сдерживает она угол, ограничивает. Теперь ему не та свобода, что прежде.

А вокруг, как назло, ломаные линии вертятся, выламываются:

— Ну как ты, Угол, со своей Прямой? Ладите?

Что им ответишь? Молчит Угол. Молчит, а сам думает: «Зря я такую прямую линию взял. Ломаные куда удобней!»

За этой мыслью пришла и другая: «А вообще-то, чем я рискую? Можно такую ломаную найти, что она с моей прямой и не пересечется».

Такая ломаная линия быстро сыскалась. Соединил ею Угол те же две точки, что и Прямая соединяла, и — доволен.

Потом еще одной ломаной обзавелся, потом еще одной. А Прямая верит Углу, ни о чем не догадывается.

Но вот ломаные линии, как набралось их много; стали между собой пересекаться. Так закрутили Угол, так завертели, что его среди них и не видать.

Еле выпутался бедняга.

«Хватит, — решил, — возиться с этими ломаками. Лучше уж прямой линии держаться».

И опять остался Угол со своей Прямой. Дружно живут. Хороший треугольник.

Оно и понятно: через две точки, как свидетельствует геометрия, можно провести только одну прямую.

А ломаных — сколько угодно.

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

Это число было настолько незначительной величиной, что стояло даже ниже Ноля, не говоря уже о других, положительных числах. Поэтому, не довольствуясь своим положением, оно все отрицало и стояло в задачнике со знаком минус.

Но теперь все изменилось. Отрицательное число возвели в степень, и оно стало положительной величиной. Оно утверждает то, что прежде отрицало, и отрицает другие отрицательные числа — ничтожные величины, стоящие ниже Ноля.

Минус на минус дает плюс — это простая арифметика.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ

— Смотрите, — говорят соседям, — это наше произведение. Ну, каково? Двузначное число, не то что мы, однозначные.

А произведение и не смотрит на сомножителей. Воротит нос, боится, как бы знакомые сотни чего не подумали. Как-никак сомножители — однозначные числа, стыдно произведению иметь такую родню.

— Произведение ты наше единственное, погляди на нас, хоть словечко молви!

Куда там! До того ли сейчас произведению! Произведение давно забыло, кто его произвел на свет. Теперь произведению с самой Тысячей помножиться в пору!

ФИГУРА

Прибежала Трапеция к Окружности.

— Ох, ты даже себе не можешь, не можешь представить! Сверху плоско, снизу выпукло, а о боках нечего и говорить!

— Что плоско? Что выпукло? Ты объяснишь толком?

— Вот послушай, — стала объяснять Трапеция. — Появилась у нас в учебнике новая фигура. Откуда она взялась, никто не знает. Может, ее кто нарисовал так, для смеха…

— Что же это за фигура?

— Как, ты еще не поняла? Ну пошли, сама посмотришь.

Пошли они смотреть на Фигуру. А там уже, такое творится! Треугольники, Квадраты, Параллелограммы… А в центре эта самая Фигура красуется…

При виде ее Окружность так и покатилась со смеху, но не успела откатиться особенно далеко — остановилась, призадумалась.

— Ты знаешь, — сказала она Трапеции, — в ней что-то есть. Вот эта линия, обрати внимание. Она выглядит вполне Современно.

— Пожалуй, — согласилась Трапеция. — А поверхность? Видишь, какая у нее поверхность? У нас все слишком плоско…

— Да, мы привыкли к симметрии, — вздохнула Окружность. — А кому теперь нужна симметрия?

Подоспели и другие геометрические фигуры. Они с восхищением глядели на незнакомую Фигуру и в один голос вздыхали:

— Как это асимметрично!

И вот — Фигуры давно уже нет, а поглядите, что делается в учебнике. Ни одной геометрической фигуры невозможно узнать.

Все они на одно лицо: сверху плоско, снизу выпукло, а о боках нечего и говорить.

Мода, ничего не поделаешь.

Закон моды!

Вопреки всем известным законам геометрии.

ЗНАКИ

Стоит Пятерка в задачнике, что-то тихонько подсчитывает. Вокруг много знакомых цифр, они то и дело окликают Пятерку, справляются о здоровье, желают всего наилучшего. И вдруг:

— Стой! Отдай половину! Пятерка растерялась.

— Я стою, — забормотала она, — но почему вы так со мной разговариваете?

— А как с тобой разговаривать? Сказано, гони трояк, и баста! Или не узнала меня? Я — Минус!

Пятерка попятилась в ужасе. Она много слыхала об отчаянном и жестоком Минусе, атамане разбойников, которые держали в страхе весь задачник.

— Ну давай, а то отниму! — сказал атаман, свирепо шевеля усами. Но Пятерка от испуга не могла двинуться.

Тогда Минус отнял у нее три единицы и пошел себе как ни в чем не бывало. Он шел и пел свою атаманскую песню.

— Эге, да ты, я вижу, с прибытком! — вдруг окликнули его. — Ну-ка, что там у тебя, выкладывай!

Бравый атаман разбойников сразу узнал этот голос. Он съежился и хотел проскочить мимо, но его бесцеремонно взяли за шиворот.

— Ты никак спешишь? — ласково спросил толстый Плюс, для верности дав Минусу по загривку. Известный в задачнике коммерсант и делец, Плюс сам ни у кого ничего не отнимал, он только складывал то, что отнимал Минус.

— Да нет, куда мне спешить, — стал оправдываться Минус. — Просто не заметил вас, извините.

— Ладно! — сказал Плюс. — Давай, сколько там у тебя?

Он взял три единицы, отнятые Минусом у Пятерки, отпустил атамана на все четыре стороны и пошел себе, напевая:

Потом он остановился, чтобы прибавить новый заработок к прежней сумме, но ему помешали.

— Рад вас приветствовать! — сказал, подходя к нему, Знак Деления. — Кажется, у вас есть что разделить?

— Какое там есть! — несмело запротестовал Плюс. — Жалкие три единицы.

— Всякое деление благо, — сказал Знак Деления. — Делитесь и умножайтесь, как сказано в чистописании, то бишь в арифметике.

— Но нас двое, — все еще сопротивлялся Плюс, — а три на два не делится.

— Не печальтесь, поделим. Дайте-ка сюда эту троицу.

Он взял три единицы и удалился, оставив Плюс в полном недоумении, каким же образом тройка делится на два.

— тянул Знак Деления, уходя.

— У вас отличное настроение! — сухо сказал ему Знак Умножения.

— О, я счастлив вас… — начал Знак Деления, но Знак Умножения его не слушал.

— Тут ко мне приходила Двойка, — продолжал он, — Она была Пятеркой, но ее ограбили. Позаботьтесь о ней, это по вашей части. И, кроме того, у вас что-то есть ко мне?

— Да так, ничего особенного, — замялся Знак Деления. — Пустяк… три единицы.

— Давайте их сюда, — сказал Знак Умножения.

И затянул свою песенку:

И, пряча полученные три единицы, крикнул вдогонку Знаку Деления;

— Так не забудьте об этой Пятерке! О той, которую ограбили!

ВЕЛИЧИНА

Позавидовала Единица Десятке: «Конечно, с такой кругленькой суммой, как этот ноль, я бы тоже кое-что значила!»

Поэтому, когда Единице удалось наконец, обзавестись нолем, она не поставила его сзади себя, как Десятка, а выставила наперед — пусть, мол, все видят!

Получилось очень внушительно:

0,1.

Потом какими-то способами Единица добыла еще один ноль. И тоже выставила его наперед. Глядите, дескать, какие мы:

0,01.

Единица стала входить во вкус. Она только и думала, как бы скопить побольше нолей, и после долгих стараний ей удалось собрать их в большом количестве.

Теперь Единицу не узнать. Она стала важной, значительной. Куда до нее какой-то Десятке!

Теперь Единица выглядит так:

0,00000000001.

Вот какой величиной стала Единица!